勾股定理的应用类型

2025-01-25

勾股定理的应用类型（共14篇）

1.勾股定理的应用类型篇一

“勾股定理的应用”说课稿

大塘学校

李丽霞

一.说教材

本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容,是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一.勾股定理是我国古数学的一项伟大成就.勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系,它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据,也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法,这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面.教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析,使学生获得较为直观的印象,通过联系和比较,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用.据此,制定教学目标如下: 1．知识和方法目标:通过对一些典型题目的思考,练习,能正确熟练地进行勾股定理有关计算,深入对勾股定理的理解.2．过程与方法目标:通过对一些题目的探讨,以达到掌握知识的目的.3．情感与态度目标:感受数学在生活中的应用,感受数学定理的美.教学重点:勾股定理的应用.教学难点:勾股定理的正确使用.教学关键:在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形之后,再应用勾股定理.二.说教法和学法

1．以自学辅导为主,充分发挥教师的主导作用,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程.2．切实体现学生的主体地位,让学生通过观察,分析,讨论,操作,归纳理解定理,提高学生动手操作能力,以及分析问题和解决问题的能力.3．通过演示实物,引导学生观察,操作,分析,证明,使学生获得新知的成功感受,从而激发学生钻研新知的欲望.三.教学程序

本节内容的教学主要体现在学生的动手,动脑方面,根据学生的认知规律和学习心理,教学程序设置如下:(一)．回顾

问勾股定理的内容是什么? 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,今天我们来学习这个定理在实际生活中的应用.（二）

．新授课例

1.如图所示,有一个圆柱,它的高AB等于4厘米,底面周长等于20厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的C点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路线是多少？（课本P57图14.2.1）

①学生取出自制圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线.思考:那条路线最短? ②如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从A点到C点的最短路线是什么?你画得对吗? ③蚂蚁从A点出发,想吃到C点处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路线是什么?

思路点拨:引导学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线;提醒学生将圆柱侧面展开成长方形,引导学生观察分析发现“两点之间的所有线中,线段最短”.学生在自主探索的基础上兴趣高涨，气氛异常的活跃，他们发现蚂蚁从A点往上爬到B点后顺着直径爬向C点爬行的路线是最短的！我也意外的发现了这种爬法是正确的，但是课本上是顺着侧面往上爬的，我就告诉学生：“课本中的圆柱体是没有上盖的”。只有这样课本上的解答才算是完全正确的。例2．(课本P58图14.2.3)思路点拨:厂门的宽度是足够的,这个问题的关键是观察当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H,寻找出Rt△OCD，运用勾股定理求出 2.3m CD= = =0.6,CH=0.6+2.3=2.9>2.5可见卡车能顺利通过.详细解题过程看课本引导学生完成P58做一做.三．课堂小练 1．课本P58练习第1,2题.2．探究:

一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?

四．小结

直角三角形在实际生活中有更为广泛的应用希望同学们能紧紧抓住直角三角形的性质，学透勾股定理的具体应用，那样就能很轻松的解决现实生活中的许多问题，达到事倍功半的效果。

五．布置作业

课本P60习题14.2第1,2,3题.

2.勾股定理的应用类型篇二

首先, 来看看古代人是怎样应用勾股定理的.

例1数学家程大位, 在所著的《算法统宗》里有一道秋千问题:

平地秋千未起, 踏板一尺立地, 送行两步与人齐, 五尺人高曾记;仕女佳人争蹴, 终朝笑语欢嬉, 良工高士素好奇, 算出索长有几?

他的意思是:当秋千静止时, 秋千的踏板离地的距离为1尺, 将秋千的踏板往前推两步 (这里的每一步为5尺) , 秋千的踏板与人一样高, 这个人的身高为5尺, 当时秋千的绳索是直线状态, 现问这个秋千的绳索有多长?

【分析】首先根据题意画出图形, 再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.

解:如图1, OA表示绳索, CD为平地, BC为身高5尺的人, AE为两步 (相当于10尺) 的距离, A处有一块踏板, EC为踏板离地的距离, 它等于1尺.

令OA=x, 则OB=OA=x, FA=BE=BC-EC=5-1=4 (尺) , BF=EA=10 (尺) , 在Rt△OBF中, 利用勾股定理, 可得OB2=OF2+BF2, 即x2= (x-4) 2+102, 解得x=14.5 (尺) , 故秋千绳索的长度为14.5尺.

其次, 勾股定理在立体图形中的应用.

例2如图2, 图中有一长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm的木箱, 在它里面放入一根细木条 (木条的粗细、变形忽略不计) , 要求木条不能露出木箱, 请你算一算, 能放入的细木条的最大长度是 () .

【分析】图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度, 可先连接BC, 根据已知条件, 可以判断BD是Rt△BCD的斜边, 根据已知条件可以求出BC的长, 从而可求出BD的长.

说明:本题的关键是构造出直角三角形, 利用勾股定理解决问题.

例3如图3, 长方体的底面边长分别为1cm和3 cm, 高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B, 那么所用细线最短需要______cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B, 那么所用细线最短需要______cm.

【分析】要求最短细线的长, 得先确定最短线路, 于是, 可画出长方体的侧面展开图, 利用两点之间线段最短, 结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B, 即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1) , 同样可以用勾股定理求解.

说明:对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.

最后, 勾股定理在交通问题中的应用.

例4在某段限速公路BC上 (公路视为直线) , 交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时, 并在离该公路100米处设置了一个监测点A.在如图5所示的直角坐标系中, 点A位于y轴上, 测速路段BC在x轴上, 点B在A的北偏西60°方向上, 点C在A的北偏东45°方向上, 另外一条高等级公路在y轴上, AO为其中的一段.

(1) 求点B和点C的坐标;

(2) 若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶, 一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶, 设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍, 求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

【分析】 (1) 要求点B和点C的坐标, 只要分别求出OB和OC即得.

(2) 为了求解, 可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米, 则此时小汽车行驶了2x米, 于是利用勾股定理可求出两车距离关于x的表达式进而求得.

说明:本题在求最近距离时, 一定要注意正确理解代数式的意义, 注意到 (x-60) 2的最小值是0.

3.应用勾股定理的常见错误篇三

一、忽视定理的使用条件

例1 在边长均为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长。

错解由“勾3股4弦5”得AB=5cm。

剖析只有在直角三角形的条件下,才能应用勾股定理。而本题并未说明△ABC是直角三角形,因此,要用三角形三边的关系求解。

正解由AB >AC,AB

二、受思维定式的影响

例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长。

错解第三边长为==5。

剖析同学们都习惯了“勾三股四弦五”的说法,这意味着两直角边为3和4时,斜边长为5。但这一理解的前提是3、4为直角边。而本题中并未作任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,也可能为直角边。

正解 (1)当两直角边为3和4时,第三边长为==5;

(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为=。

三、混淆勾股定理及其逆定理的概念

例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()。

A.1、2、3 B.32,42,52 C.,, D.,,

错解选B

剖析未能区分勾股定理及其逆定理,对概念的理解流于表面形式。判断直角三角形时,应将所给数据进行平方,看是否满足a2+b2=c2的形式。

正解因为()2+()2=()2,故答案选C。

四、利用勾股定理解题的格式不当

例4 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,求AC的长。

错解在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC2=AB2-BC2===3。即AC的长是3 cm。

剖析 AC的长确实是3 cm,不过问题出在求解过程中的格式书写不当,即AC2=AB2-BC2≠。

正解在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,

所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC====3。即AC的长是3 cm。

五、出现漏解的情况

例5 已知:在△ABC中,AB=15 cm,AC=13 cm,高AD=12 cm,求S。

错解如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2)。

剖析由于给定的条件中并没有给出图形,所以求解时除了要考虑如图1的情况外,还要考虑如图2的情况,即要画出所有可能的图形。错解正是漏掉了如图2的情形。

正解分两种情况:①如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2);②如图2,在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理,得BD====9,CD====5。所以BC=BD-CD=9-5=4。故S=BC•AD=×4×12=24(cm2)。

六、逻辑推理错误

例6 已知:在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求∠C的度数。

错解因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2,

所以由勾股定理逆定理可知∠C=90°。

剖析本题错在逻辑推理错误,一开始列出(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2这个等式,其实就等于默认了a2+b2=c2,这是错误的。

正解因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1;

而c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2。

4.14.2勾股定理的应用教案篇四

执笔人：

审核：八年级数学组课型：新授时间：

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

课前复习

1、勾股定理的内容是什么？

问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。新课过程分析：

大家分组合作探究：

解：在RtΔABC中，由题意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过。学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少

22厘米？

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝

＝10

∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝

周长为：6+8+2

＝2＝14+2

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米答：梯足将外移0.8米。例3 再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

=1.5（米）

＝2.4（米）

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。

例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。

三、作业：完成书P77页1，P78页2、3

5.勾股定理的应用类型篇五

教学目标具体要求：

1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。

重点：

勾股定理的应用

难点：

勾股定理的应用

教案设计

一、知识点讲解

知识点1：(已知两边求第三边)

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________。

2.已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是______________。

3.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长?

知识点2：

利用方程求线段长

1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，

(1)使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处?

(2)DE与CE的位置关系

(3)使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处?

利用方程解决翻折问题

2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm.当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时EC有多长?

3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的长是多少?

5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。求点F和点E坐标。

6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求(1)三角形ADC的面积，(2)点B1的坐标，(3)AB1所在的直线解析式.

知识点3:判断一个三角形是否为直角三角形间接给出三边的长度或比例关系

1.(1).若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________。

(2).将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是____________。

(3)在ABC中，a：b：c=1:1：，那么ABC的确切形状是_____________。

2.如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，你能说明∠AFE是直角吗?

变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC，你能说明∠AFE是直角吗?

3.一位同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。问这位同学又走了50米后向哪个方向走了

二、课堂小结

谈一谈你这节课都有哪些收获?

应用勾股定理解决实际问题

三、课堂练习以上习题。

四、课后作业卷子。

本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程;第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。

针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节：

一、复习引入

对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短，学生知识水平低，引入内容简短明了，花费时间短。

二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法

活动一：用对媒体展示搬运工搬木板的问题，让学生以小组交流合作，如何将木板运进门内?需要知道们的宽、高，还是其他的条件?学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书。整个活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。

活动二：解决例二梯子滑落的`问题。学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写过程，教师与学生一起合作修改解题过程。

活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问题。利用勾股定理的前提是什么?如何作辅助线构造这一前提条件?在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯;体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

二、巩固练习，熟练新知

通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。

在教学设计的实施中，也存在着一些问题：

1.由于本班学生能力的差距，本想着通过学生帮带活动，使学困生充分参与课堂，但在学生合作交流是由于学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能真正的参与到课堂中来。

2.课堂上质疑追问要起到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主题的现象。

6.勾股定理应用说课稿篇六

一、教材分析

1、教材的地位与作用：

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就。它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系，其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛的应用于数学和实际生活的各个方面。本节教材是在学生研究了勾股定理及其逆定理在数学应用的基础上进一步研究其在实际生活中的应用。通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解勾股定理的应用方法，同时亦为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。

2、教学目标:

根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：

知识与技能：

能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。

学会选择适当的数学模型解决实际问题。

过程与方法：

通过问题情境的设立，使学生数学来源于生活，又应用于生活，积累利用数学知识，决日常生活中实际问题的经验和方法。

情感、态度和价值观：

使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识 , 体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。

3、教学重点与难点：

应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型(直角三角形)则是本节课的教学难点.

二、学情分析：

在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。

三、教学过程

1.创设情境，导入新课：

首先借助多媒体展示校园花圃被学生踩踏的一角。然后及时出示问题: 学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走 “ 捷径 ” ，在花园内走出了一条 “ 路 ” ，若在拐角的两边缘走，要分别走 3 米和 4 米，那么请同学们计算走“捷径”仅仅少走了几米路 , 而踩伤了花草。不仅解决了问题还对学生进行了思想教育，并引入本节课的学习内容。进一步让学生体会勾股定理与实际问题之间的关系。引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么?”

这个环节主要是从由简单的实际问题(平面上)激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型(直角三角形)，体会勾股定理在生活中无处不在。激发和点燃学生学习的兴趣。为后续学习起到了引领作用。

2.合作交流，探索新知：

对于课本上“例1”的分析。我是在帮助学生理解如何将所求的实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的基础上，通过学生自学完成的。在正确理解例1的基础上,我把课本的例2进行重新编排，将其分解为三个问题。在具体的教学中是这样处理的：学生自己解决第一个问题，老师示范讲解第二个问题，师生共同讨论第三个问题。

本环节的设计意图是通过对两个实际问题的分析讨论,让学生理解用勾股定理解决实际问题的方法,体现化归的数学思想。

3.迁移训练，学以致用：

在这个环节中,我共设计了二个问题.第一个问题是通过直接运用勾股定理计算来加深学生对勾股定理应用方法的理解;一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?

第二个问题是让学生先从实际问题中划归出直角三角形的模型,再由学生自己给出解答过程。考查了学生对本节课学习内容的理解。(见课本86页，例2)

这个环节的设计意图让学生利用勾股定理解决问题，培养学生的空间概念和把未知问题转化为已知问题来解决的化归思想。通过这两个变式训练，加深学生对勾股定理和转化思想的理解与运用，引入了分类讨论思想，培养了学生的`动手操作能力。

4.总结反思拓展升华

首先鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会;然后帮助学生自主建构知识体系;接着布置本节课的课内与课外作业。

四、设计说明

本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。并通过一题多变的手段帮助学生理解数学中的化归思想与分类讨论思想。

在教学过程中注重以小组合作的形式设计，实施开放式教学，让学生人人参与，提高学生学习兴趣.通过教师的引导，尽可能多给学生提供积极思考，交流的机会，达到合作交流的目的，使不同的学生在交流合作的过程中得到不同的发展。体现了新课标人人学数学,人人用数学教学理念。

7.勾股定理的应用类型篇七

一、数形结合思想

数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,将数量关系和空间形式巧妙结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,发现问题中所隐含的条件. 勾股定理本身就是数形结合的定理,它的验证和应用,都体现了数形结合的思想.

例1有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹折,因新断处比前次低了5 cm,且标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.

【分析】依题意作图如图1,数形结合求解.设第一次吹折后下段AB的长为xcm,上段BC的长为y cm,第二次吹折后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm,依题意得,

只要求出x+y的值即求出标杆的高而不必单独求x与y的值.

解:设第一次吹折后下段AB的长为x cm, 上段BC的长为y cm,

第二次吹折后下段AD的长为(x-5)cm,

上段DE的长为(y+5)cm,依题意得,

由2-1得,10(x+y)=500,

∴x+y=50.

故标杆的高为50 cm.

【点评】利用三边的平方关系或辅助线结合生活常识可获得直角三角形,进而可求边长或面积. 数形结合思想是数学中的重要思想方法,它可以使抽象的知识转化为形象的图形,从而处理起来更直观、容易, 应该引起同学们的重视.

二、方程思想

例2在△ABC中,AB=10,AC=6,∠C= 90°,点O是AB的中点,将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转,M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点.

(1) 如图2,当点M与点A重合时,求BN的长.

(2) 当三角板旋转到如图3所示的位置时,即点M在AC上(不与A、C重合), 猜想图3中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系,并说明你得出此结论的理由.

【分析】(1) Rt△ABC中,已知AB=10, AC=6,可由勾股定理直接求出BC=8.不难发现连接AN可证AN=BN,在Rt△ACN中已知AC及AN与CN的数量关系,可设BN= x,则CN=8-x,由勾股定理得到方程62+ (8-x)2=x2即能解出BN.

(2) 观察题中线段都含有平方,联想到勾股定理,但发现不能直接得出数量关系,只能添加辅助线构造全等将BN转化为AE,使得AM、AE和CM、CN存在两个直角三角形中,利用勾股定理则有AE2+AM2= EM2、CN2+CM2=MN2的数量关系,再由EM、 NM相等建立等量关系便能解决问题.

解:(1)连接AN.

∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2=64,

∵BC>0,

∴BC=8,

∵OA=OB,∠AON=∠BON,ON=ON,

∴△OAN≌△OBN(SAS),∴AN=NB.

设BN=x,则CN=8-x.

∵Rt△ACN中,∠C=90°,

∴AC2+CN2=AN2,∴62+(8-x)2=x2,

∴x=25/4,∴BN=25/4.

(2) 延长NO到E,使EO=NO,连接AE、EM、MN.

∵OB=OA, ∠NOB=∠EOA,ON=OE,

∴ △NOB ≌ △EOA(SAS),

∴BN=AE,∠B=∠EAO,∴AE∥BC,

∴∠EAC+∠C=180°.

∵∠C=90°,∴∠EAC=90°,

∵MO垂直平分EN,∴EM=MN.

∵AE2+AM2=EM2,CN2+CM2=MN2,

∴AM2+BN2=CN2+CM2.

【点评】我们发现“方程”是解决勾股定理计算问题的有效工具,思路清晰,解题简便.我们也体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系,把研究等腰三角形转化为研究直角三角形,转化的思想是研究问题的一种策略.

三、整体思想

例3已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边,且a+b=14,c=10,则S△ABC=_______.

【分析】一般的想法,要求直角三角形的面积,先求出其两条直角边a、b,则S△ABC即可求出,但这样求a、b非常繁杂,甚至在现阶段不可能.如果注意到:S△ABC=1/2ab,那么只要求出ab这一整体就可以了.

解:由a+b=14,两边平方得:a2+2ab+b2=196,所以

根据勾股定理,a2+b2=c2.

所以,.

8.勾股定理的两个变形及其应用篇八

1985年9月28日,侯明辉发现了具有重要应用价值的数学三弦定理.这个定理是:过圆上一点引该圆任意三条弦,则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积的和.这一定理的发现,得到了国内一些知名专家的肯定和赞誉,认为该定理是中学数学中的一个新亮点.

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则a2+b2=c2.这是同学们所熟知的勾股定理.本文给出勾股定理的两个变形,并举例说明其应用,供同学们参考.

一､勾股定理的两个变形

由勾股定理a2+b2=c2,可得到下面两个变形.

变形1: (a+b)2-2ab=c2. 变形2: (a-b)2+2ab=c2.

通过这两个变形,我们可以从a､b､c､a+b､a-b､ab中任意两个出发,求出其他各个量.

二､应用举例

应用上述两个变形求解某些直角三角形问题,十分简便.

例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7,S△ABC=6,求AB的长.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= AC·BC=6,得AC·BC=12.由变形1及AC+BC=7,得AB2=72-2×12=25,则AB=5.

例2 一个直角三角形的周长是2+ ,斜边上的中线长是1,求这个直角三角形的面积.

解:设这个直角三角形的两条直角边分别为a､b,斜边为c.由a+b+c=2+ ,而斜边上的中线长是1,所以c=2,从而得a+b= .由变形1,得 2-2ab=22,故得ab=1.所以这个直角三角形的面积为 ab= .

例3 已知一个三角形的一边长为2,这条边上的中线长为1,另两条边长的和为1+ ,求这两条边长的积.

解:在△ABC中,设BC+AC=1+ ,AB=2.因为AB边上的中线长为1,所以∠C=90°.由变形1知,1+ 2-2BC·AC=22,得BC·AC= ,即为所求.

例4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a>b.如果S△ABC=30,c=13,求a+b与a-b的值.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= ab=30,得ab=60.由变形1,得(a+b)2-2×60=132,得a+b=17.由变形2,得(a-b)2+2×60=132,得(a-b)2=49,因a>b,故a-b=7.

例5 在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.如果c= ,a-b= ,求△ABC的周长.

解:因∠C=90°,故由变形2,得(a-b)2+2ab=c2,即 2+2ab= 2,所以ab=3.由变形1,得(a+b)2-2ab= 2,则(a+b)2= +6= ,所以a+b= .所以,△ABC的周长= + =6.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

9.高一数学《正弦定理的应用》教案篇九

正弦定理的应用

教学目标

（一）知识与技能目标

会利用正弦定理求解简单的斜三角形边角问题．

（二）过程与能力目标

(1)通过用向量的方法证明正弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．

(2)通过启发、诱导学生发现和证明正弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．

（三）情感与态度目标

通过三角函数、正弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点

正弦定理的应用．教学难点

正弦定理在解三角形时的应用思路．教学过程

一、复习

正弦定理： abc2R sinAsinBsinC变式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S ABC111absinCbcsinA acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角；

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.二、应用

例 1.在ABC中，已知a20,b28,A40, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).例 2.在ABC中，已知a60,b50,A38, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).湖南省长沙市第一中学数学教案高一（下）第五章平面向量

归纳：在△ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种情况： 1.当A为锐角时：

CbAaBCbAB2aaB1CbAab一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAab无解BCbAaBa > b一解练习

在ABC中，已知A30,b4,试分别讨论下列情况的解的个数(1)a1,(2)a1,(3)a3,(4)a4,(5)a5.例 3.在ABC中, 若a2tanBb2tanA, 试判断这个三角形的形状.例 4.在ABC中，若B30，AB23，AC2，求ABC的面积.课堂小结：

已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种情况.作业：

10.三垂线定理的证明及应用教案篇十

教学目的

使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力．

教学过程

一、复习和新课引入

师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：

(1)直线与平面垂直的定义．

(2)直线与平面垂直的判定定理．

(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影．

生：略．

师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．)

[平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．]

二、猜想与发现

师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？

(演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面内的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)

师：那么，是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？

[演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α内的n的位置，此时学生发现平面α内有直线与平面的斜线垂直．]

师：如果我们把铁丝m在平面内平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？

[学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．]

师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？

[指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直．]

师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．)

师：实验得出的结果是否正确还得进行证明．

[引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．]

三、证明

师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．

(学生叙述，教师板书．)

已知：如图4，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在平面α上

求证：a⊥PO．

师：这是证明两条直线互相垂直的问题．在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？

(学生思考、议论，教师归纳．)

师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．现在要证明a⊥平面PAO呢？只要证明a⊥平面PAO内的两条相交直线即可．

证明(师生共同完成．)

师：这个命题的证明，体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法．这个方法很重要，大家要给以足够的重视．

上述命题反映了平面内的一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系．这就是有名的三垂线定理．下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．(学生叙述，教师板书．)

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

[这样由具体到抽象地研究问题，能够培养学生的概括能力．从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力．]

四、剖析定理

师：(逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论．)

(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的．那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由．

(2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线，a和斜线PO的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形．

(学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结．)

师：(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立．因为定理中并没有水平平面的限制．定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关．

(2)因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直．反映三垂线定理的图形有四种情况(如图5)．

以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理．a不过斜足O时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的重视．

[剖析定理是几何教学中的一个重要环节．通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施．]

五、定理的应用

[定理的应用是学习定理的重要环节．它既能巩固所学知识又能培养能力．]

师：请同学们证明下题：

已知：如图6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面 ABC，连结PA．求证：BC⊥PA．

(学生思考后，教师分析．)

ABC，所以，要证明BC⊥PA，只要证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎样确定PA的射影呢？

请大家把证明过程写在练习本上．

(同时指定一学生上黑板板演．)

生：(板演)因为PO、PA是平面的垂线和斜线，连结AO且延长交BC于D(图7)，则AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得 BC⊥PA．

师：请谈谈证明的思路．

生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，„„．

师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线．

师：这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法．应用三垂线定理的思维过程是：

“一定”——定平面及平面内的一条直线；

“二找”——找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；

“三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直．

[在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的．]

师：我们来研究第二道题．(板书．)

已知：正方体ABCD－A1B1C1D1．

求证：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．

先考虑A1C⊥BC1如何证明？

(在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面BCC1B1及平面内的一条直线BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂线，A1C是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形．连结B1C，用三垂线定理证明A1C⊥BC1．)

证明略．

师：把第(1)小题作为条件证明第(2)小题，只需再证A1C⊥BD就可以了．

[学生连结AC，顺利地证明了A1C⊥BD，第(2)小题的证明就水到渠成了．证明过程是：

师：在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程．但必须注意推理的严密性．例如，上面的证明过程中，要防止漏掉 BC1∩DB=B．(证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此．)

[讲定理的应用时，关键是选好例题．这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力．]

六、小结

(师生共同进行．)

(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题．

(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法．

(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关．运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”．

七、课外作业

课本习题：略．

补充题：

写出三垂线定理的逆定理，并加以证明．

课后扎记

学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻．不仅学习了知识，而且培养了能力．从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得好．这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式．

11.透视数学中考题中的勾股定理应用篇十一

一、直接用勾股定理计算

例1 （2015·吉林长春）如图1，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______.

【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE的长.

解：过E作EM⊥AB于M，如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴AB×EM=8，得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，

∴BE2=42+32=25，

∴BE=5.

【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.

二、勾股定理和逆定理并用证垂直

例2 （2013·内蒙古包头）如图3，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.

【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.

解：连接EE′，如图4，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′，

∴∠EBE′是直角，

∴△EBE′是直角三角形，

∵△ABE与△CBE′全等，

∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，

∴∠BEE′=∠BE′E=45°，

∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，

∴EC2=E′C2+EE′2，

∴△EE′C是直角三角形，

∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.

三、利用勾股定理解决实际问题

例3 （2015·福建厦门）已知A，B，C三地位置如图5所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_______方向.

【分析】根据勾股定理来求AB的长度.由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，

∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，

∴AB=5（km）.

又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角.这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

四、利用勾股定理经典图创设问题

例4 （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于_______.

【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE长，即AH的长.

解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100-4=96，

设AE为a，DE为b，即4×ab=96，

∴2ab=96，a2+b2=100，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，

∴a+b=14，∵a-b=2，

解得：a=8，b=6，

∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.

【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣.本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的.本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

12.勾股定理的应用类型篇十二

一、顺应师生“本心”,首先是顺应学情基础

“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现,故又称为“商高定理”。三国时期,蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中,对勾股定理作出了详细的注释。可以说,“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系,是重要的几何定理,也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是 :(1)能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题 ;(2)学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前,学生已经准确地理解了勾股定理,并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中,已知任意两边可以求出第三边 ;利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以,教学时笔者就从基础知识巩固开始——

师 :我们已经学习了勾股定理,知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,请同学说一下。

生 :直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

但是,从发展的“本心”看,学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽 ;相关复杂条件下的探究能力还没有形成 ;分类讨论思想,特别是抽象思维训练还有待加强。因此,笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。

“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时,本着顺应学生的发展“本心”出发,尽量让问题解决生活化、情境化,让学生由浅入深,渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化?尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣,学生才能阳光乐观、踏实坚定,才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后,笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”,以积累学生问题解决的经验。

师 :有两棵树,一棵高10m,一棵高4m,相距8m,一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C,至少飞行多少米?这个问题可以转化为怎样的数学问题?

生 :两点之间线段最短。

师 :树可以看成线段,树和地面是垂直的,小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢?怎么求AC?

生 :过C作CD垂直于AB,构造直角三角形。

师 :我们看升旗的问题。下垂时,绳子刚好接触地面,求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的?

生 :绳子的长度不变。

师 :如何转化成数学问题呢?

生 :标上字母,顶点为A, 2米处为D,构造直角三角形。设旗杆高度为x米,则AD=(x-2)米。

师 :很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x,然后利用勾股定理建立方程,解决问题。

师 :第三个游泳问题, BC=200米, AC=520米,求河宽即AB的长。

生 :可以构造直角三角形。(如图)

师 :有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。

生 :520和200的比值是13比5,所以另一条是12,回过去就是480。

师 :正好借此就会复习常用的勾股数

生 :3,4,5 ;5,12,13, ;6,8,10 ;7,24,25 ;9,40,41 ;8,15,17。

师 :我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子,如果没有直角三角形,我们就要构造直角三角形 ;如果数据不充分时,可以设未知数建立方程来解决问题。

第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法 :构造直角三角形,同学们几乎都会回答,一开始的引导也比较到位,“树木和数学里的什么概念可以联系起来”,“最短距离就是数学中的什么概念?”等等,一下就把学生带到了数学几何的宫殿里,学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”,还有就是会用方程的思想来解决问题,学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题,蕴含了很重要的计算技巧,在合理的引导下,学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇,而且印象深刻,从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了!

顺应师生“本心”,首先是顺应学情基础。教学时,笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始,引导学生将单调的勾股定理原理,转化为生活中的实际问题,即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境,使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后,笔者对学生说 :“如果没有直角三角形,我们就要构造直角三角形 ;如果数据不充分时,可以设未知数建立方程来解决问题。”这样,通过勾股定理的一般应用,学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题,在巩固“常用的勾股数”的同时,学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。

从“尚德理念”出发设计课堂教学环节,立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材,让教学内容充满趣味性和吸引力。这样,更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。

二、顺应习得规律,有序开展应用探究

在尚德教育体系中,数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬,但前提是数学学习要顺应知识习得规律,在基于生活问题解决过程中,要有序地开展应用探究,这样,数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。

当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后,笔者推出了下面这个内容——

师 :我们看4题,壁虎要从B处爬台阶,到A处吃食物,这只壁虎请怎样做,才是聪明的呢?请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。

生 :(作图如下)。

笔者将这个台阶展开来,变成一个长方形。

师 :这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题?

生 :AB2=202+(9+6)2,AB=25。

师 :转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题(如图),长方体的长、宽、高分别为3、4、5,则图中在表面上A到B的最短距离为______。

师 :吕云天,你想到了几种爬法?

生 :2种。

(师 :请上黑板画出来。

(吕云天上黑板画图)

师 :还有可以补充的吗?

师 :刘诗睿请上黑板进行补画。

(刘诗睿上黑板画图)

图3

师 :计算三种不同情况的不同结果,并分为三种情况进行比较。

师 :我们看第6题,细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么?请同学上黑板画图并解决问题。

(郁思杰上黑板完成。AA’=8,A’B’=6)

师 :邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。

生 :把四个面全部展开,标上长和宽,连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短,

师 :看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径 ;

(2)当AB=4, BC=4, CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。

生 :前右或者前上(学生作画,如下)

师 :如果每个面都是正方形,它爬的路程怎样?

生 :一样的。

师 :但第2小题里说是长方体,情况怎样?

生 :不一样。

生 :不一样。师 :利用勾股定理计算一下AC和AC’, 利用勾股定所以从前面的面爬到右面到C比较近。

为什么要这样设计?因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时,例题难度只有层层深入,才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中,在笔者的正确引导下,学生的思维进入正轨,没有胡乱思考,考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论,大部分学生能想出2种情况,也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来,因为有的同学所认为的不同,其实有可能是相同的情况,只是观察思考的角度不同而已。这样,我们讨论后,归纳出有3种不同情况。这样,更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。

这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节,从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶,然后细线绕长方体一圈,让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形,只是展开后的情形是不同的。而从例5开始,渐渐增加问题解决的难度,让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以,例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度,以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心,不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难,循序渐进,从而走进尚德课堂教学境界。这节课,在学生研究每个题目时,笔者只是起到穿针引线的作用,主要让学生自己思考研究,自己画图并解决问题。这样,每个学生都成为“尚德课堂”的参与者,他们自由讨论,自由交流,自主建构着开放式的勾股定理应用模型。

尚德课堂崇尚“遵行本心,顺乎自然”的理念。在教学时,笔者也预设了可能出现的问题,以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正,这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐,学生也是极其快乐。由于教师不加限制,学生的思维可以无限的展开,从而主动建构自己的运用模型,增强了学生运用勾股定理的自信心。

由于所教班级中女生较多,而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时,其中有一个女生上来修改了3次,但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定,这样他们才会越来越有自信!我们的核心理念“顺其自然,合乎本心”,这与数学课程的设计理念,教学方式真是不谋而合!学生在探究过程中,为什么会出现这种问题?如果在课前准备好一个长方体模型,在课堂上适时展开,这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况,可能更符合学生的认知情况,也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。

13.勾股定理的应用类型篇十三

授课年级：九年级

学校：眉县青化中学教师姓名：张亚雄

章节名称垂径定理及其应用计划学时 1 本节内容是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

学习内容分析因此，这节课无论从知识上，还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。通过分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。因此，本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

学习者分析处于这一阶段的学生，对于圆的弦、弧、圆心角、圆周角已经了解，但对于它们之间的关系还不太明白，还需要在课堂上进一步引导，达到教学目标。

课程标准：进一步理解垂径定理和灵活运用垂径定理。

知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力

教学目标

过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦

情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

教学重点及解决措施教学重点：理解垂径定理和灵活运用垂径定理。解决措施：选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。

教学难点及解决措施教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。解决措施：让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。

整个教学设计内容分七个环节来完成。

1、复习提问---创设情境教师演示动画：将一等腰三角形对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。并提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？这样了解了学生的认知基础，带领学生作好学习新课的知识准备并逐步引入新课。

2、引入新课---揭示课题：在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。（出示教具演示）。然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题 7.3垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。

教学设计思

3、讲解新课---探求新知：首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想路

得出结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。此时再板书垂径定理的内容。为了强调定理中的条件，我出示题组训练一，让学生抢答，根据实际情况进一步强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式

4、定理的应用：为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。

5、巩固练习----测评反馈：为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了与代数、物理相关的反馈题组训练三，针对学生解答情况，及时查漏补缺。

6、课堂小结---深化提高：至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结

7、布置作业结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，必做题。目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高。另外，作业限时20分钟，减轻学生的负担，提高学习效率。

板书设计为了使本节课更具理论性、逻辑性，我将板书设计分为三部分，第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理及其变式，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。

设计要突出的特色：为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。通过“实验--观察--猜想--证明”的思想，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，进行各学科间的整合，为学生提供了广阔的思考空间，同时辅以相应的音乐，为学生创设轻松、愉快、高雅的学习氛围，在学习中感悟生活中的数学美。

依据的理论做中学、引导发现法、直观演示法和合作学习。信息技术应用分析知识点定理内容0.例

1、巩固练习教学过程（可续页）教学环节教学内容所用时间教师活动

教师演示动画：将一等腰三角形对折，导入新

启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称课，以动复习提问---创设画为契机5分钟

情境

提出问

圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否题。

是轴对称图形呢？

问题：如果以这个等腰三角形的顶点为

题

图形，复习轴对称图形的概念。并提出

学生回答问

利用动画引入对

学生活动

设计意图

学习水平媒体内容与形式理解应用

计算机显示内容

使用方式计算机显示内容

使用效果较好

计算机显示内容、黑板演示。计算机显示内容、黑板演示增大练习量

学生动手实验、观察，通过实验得出结论：(1)圆是轴

学生动手实

对称图形；(2)经引入新课---揭示引入新课 5分钟

课题

出示教具演示，导出本节课题。

学生回答问

直线（注：不能说

题。

直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。学生实验、观察并得出猜想，然后引

学生动手实

导学生分析上述讲解新课---探求探求新知 15分钟

新知

书垂径定理的内容

学生回答问

将文字语言转化

题。

为符号语言，写出已知、求证。

定理巩固练习

设计了包括例1在内的有梯度的，循序----测评反馈：定理的应用：定理的应10分钟

用

练二

渐进的与物理、代数相关的变式题组训

解题

掌握定理

验分组讨论，猜想得出结论，并

14.小学分数应用题的类型篇十四

学生学习分数应用题知识，关键是通过分数应用题中的分率句寻找标准量，而教材中（包括课外书）的分率、标准量有明显的，也有隐含的。要使学生理解分数应用题，必须通过有关分率句准确找出分数应用题的分率、标准量。如十一册教材第5页例2（第一中学买了40000块砖，盖房用去了3/5，用去了多少块砖？），总数（40000块砖）是标准量，盖房用去的是总数的3/5，通过“盖房用去3/5，”这一分率句，帮学生分析清楚：“3/5”是相对于哪个量而言？哪个量代表“1”？数量关系如何理解？这样，整道题的数量关系揭示无遗，题中的问题就迎刃而解了。这里，点拨起到了“画龙点睛”的重要功效。二“导”——导读、导议，培养能力

这里所说的“导”，是指通过导读教材和导议疑难，激发学生学习的积极性、自觉性和主动性。我通过导读，引导学生按要求阅读教材有关内容，使之口读心思；然后导议，引导他们讨论疑难点（一般采用分小组讨论法），以使学生相互借鉴、启发，对疑难点有充分、深刻的认识，增进其独立思考、鉴别的能力，提高其语言表达能力。

如教学十一册教材第70页例2时，我先让学生阅读课本例题（原计划造林160亩，实际造林200亩，实际造林比原计划造林增加了百分之几？），然后引导他们根据我设立的问题进行小组讨论：

(1)要求实际造林比原计划造林增加百分之几，首先要知道什么条件（要知道原计划几公亩和实际比计划多多少公亩）？

(2)哪个条件不清楚（“实际比原计划多多少公亩”不清楚）？如何求？为什么？(3)如何解题，为什么？（40÷160=25%，求实际比原计划增加公亩数是原计划的百分之几，根据百分数的意义，用除法计算。）学生通过议论，兴趣盎然、热情高涨，基本上正确解答了我提出的问题。这样可以变一言堂为群言堂，提高了学生阅读、观察、探索等能力，并培养了集体研讨的良好习惯。三“式”——运用“演”讲式、练习式、自学式教学法

根据教学内容和学生掌握知识情况，我在教学中选择“演”讲式、自学式、练习式的教学法进行教学。

“演”讲式教学。我通过电教演示、讲述、分析，加深了学生对学习内容的理解和掌握，优化了课堂教学。特别是在分数应用题教学中，恰当地使用电化教学手段，把静的东西变动，把抽象的东西变具体，旨在唤起学生的学习兴趣，帮助们们提高分析、综合、比较的逻辑思维能力。如教学十一册第58页思考题（用绳子测量井深，把绳子三折来量井外作4尺，把绳子折来量，并外作1尺，求绳长和井深）。我借助投影，向学生分析了通过每种折法的线段图的关系，利用直观演示，使学生对这类难度较大的题易于明liǎo＠①。练习式教学。这种教学法，旨在使学生学得主动，深化认知，有效地提高解题技能，发展智力。如在分数应用题复习课中，我在扼要复习分数应用题的基本知识后，有层次、有梯度地出示练习，例如：

（一）分析下面句子，找出标准量，列出乘法关系式：

1、海豚每小时游水速度比鲸鱼速度快1/6。

2、今天烧煤是昨天的6/7。

（二）解答如下应用题。

1、甲工厂6000人，比乙工厂人数少2/3。①本题把什么看作单位“1”的量？为什么？②乙工厂有多少工人？③甲厂比乙厂少几个工人？

2、甲工厂6000人，乙厂比甲厂人数少2/3。①这里把什么量看作标准量？②乙工厂有多少人？学生练习后，指导他们及时检查小结，运用同一个基本数量关系去思考，去解题。这样，即巩固知识，也形成了技能，使学生能从多种不同角度理解题意，培养了发散思维。自学式教学。古人云：“授之以鱼，不如授之以渔。”自学式教学起到“授之以渔”的作用。我在分数应用题部分内容的教学中，让学生自己阅读教材、完成作业、测试检查等，促进了学生能力发展，使之聪明才智和学习主动性得以发挥，也培养了他们的自信心、自学能力和良好习惯。如：在“分数乘法应用题”内容第一次测试时，我由学生分组命题进行测试，然后向各组提供题型样板，说明每种题型在考查时的侧重点，由学生讨论命题，把试卷交换作答，独立完成；再后互改互评，以组为单位批改、评议给分；最后我复阅、小结，对有特色的题目，让全班交流、学习。这就调动了他们积极性，增强了他们学习兴趣，使学生的智慧潜能得到充分发挥。

“四性”——培养学生思维的灵活性、独立性、敏捷性、深刻性

思维是智力的核心，是理解、掌握知识的重要心理因素，因而要重视学生思维品质的培养。我认为，培养学生对概念、题型结构的思维深刻性很重要。在教学中，我通过引导，让学生了解分数应用题有关概念的本质属性，探究数量关系，掌握解题思路及其推理过程，从而对分数应用题的知识有正确的认识。我启发学生深刻理解“求一个数的几分之几是多少”的简单应用题的题型结构、数量关系，特别是对“一个数”、“几分之几”、“多少”等概念的理解。有此为基础，整个分数应用题的教学就较容易进行了。

我不仅注重启发学生总结认知规律，而且鼓励他们运用规律，独立思考，大胆想象，寻求新的发现，培养独创性的思维品质。如我选出一道应用题：李村计划今天植树200棵，结果上午完成3/5，下午完成的与上午同样多。今天李村植树比原计划多多少棵？起初，学生解答为：200×(3/5+3/5)-200=40（棵）。我在学生解答后，问：这道题能否用更简单的方法解答？引导他们突破思维定势，大胆想象。学生经独立思考，分组讨论后，得出了如下的解法：①200×(3/5×2)-200；②200×3/5+200×3/5-200；③200×3/5×2-200；④200×(3/5+3/5-1)；⑤200×(3/5×2-1)。我归纳了学生思考回答出的解法，指出了较简单的解法（解示⑤）。学生的独创性思维品质，出现了一次飞跃。

我在教学中还通过一题多变、一题多解等训练，让学生从多个角度去分析、研讨一道应用题，有效地培养了学生思维的敏捷性。

如我在分数应用题单元复习中，曾选用一道练习题：根据下面条件，看谁提的问题多，并列式（小张今天植树5棵，比计划多植树1/8，？列式。）结果，学生提出了如下问题①计划植树多少棵？②小张今天植树比计划多多少棵？③实际植树是计划植树的几分之几？④计划植树比实际植树少几分之几？⑤计划植树是实际植树的几分之几？而且列式正确。通过此类型的训练，学生思维更加敏捷，想象更加丰富，同时激发了学习兴趣。我还注意引导学生把学到的知识进行迁移和应用，做到举一反

三、触类旁通。如在处理第十一册一道练习题（车站有货物45吨，用甲汽车运10小时可以运完，用乙车运要15小时运完，用两车同运，多少小时可以运完？）时，我引导学生运用如下两种方法：

1、运用一般解题的思路去解题：45÷(45÷10+45÷15)=6（小时）

2、运用分数应用题（工程）方法解：1÷(1÷10+10+1÷15)=6（小时）

这可使学生理解到从不同角度考虑，就有不同方法处理，培养他们灵活性的思维品质。

小学分数应用题一·求分率的分数题

一、求一个数是另一个数的几分之几、百分之几

1、六年级四班有女生25人，男生15人，求男生是女生的几分之几？女生是全班人数的几分之几？

15÷25 =3/5（女生是标准量）（比较量÷标准量=比较量的分率）25÷（15＋25）= 5/8（全班人数是标准量）

如果求一个数是另一个数的百分之几，就是先把两数的商用小数表示再乘100%，比如上题：

15÷25×100% =0.6×100% =60% 25÷（15＋25）×100%=0.625×100% =62.5% 求合格率、出面率、出勤率等的题都属于这一题型

二、求一个数比另一个数多（或者少）几分之几、百分之几

2、学校栽杉树240棵，栽白杨树180棵，白杨树比杉树少几分之几？杉树比白杨树多几分之几？

第一问分析：先求出白杨树比杉树少多少棵，然后找出标准量是杉树，看看少的棵数占标准量的几分之几

240－180 = 60（棵）60÷240 =1/4 综合算式：（240－180）÷240 第二问分析：先求出杉树比白杨树多多少棵，然后找出标准量是白杨树，看看多的棵数占标准量的几分之几

240－180 = 60（棵）60÷180 = 1/3 综合算式：（240－180）÷180

如果求一个数比另一个数多（或少）百分之几，可以用上边一类题的方法去解决。练习：五年级同学植树，女生植树280棵，男生植树320棵，男生植的树比女生多百分之几？女生植的树比男生少百分之几？

这两个问题不是一回事，请注意标准量在变化。虽然少的树和多的树的数没有变，但由于标准变了，所以得数也不一样。

以上两类题都是求分率的题，归为一大类。小学分数应用题

（二）·标准量已知的分数题

三、已知甲数，求甲数的几倍或几分之几是多少？

例：

1、学校栽白杨树320棵，栽的杉树是白杨树的1/4，学校栽杉树多少棵？

2、学校栽白杨树320棵，栽的杉树是白杨树的4倍，学校栽杉树多少棵？分析：我们可以这样认为，在这儿，标准都是白杨树，而用来和标准进行比较的量是杉树，一个是4倍，一个是四分之一，那么四倍和四分之一有什么不一样呢？4 和1/4 只是数的不同，解法应当是一样的。四倍只是和标准量进行比较之后，比标准量多，而四分之一和标准量进行比较之后，比标准量少而已，没有什么本质的不同。

解法：1题：320×1/4 = 80（棵）

2题：320×4 = 1280（棵）答：略。

四、已知甲数，乙数比甲数多（或少）b/a，求乙数是多少？

例

1、小明家养白兔80只，养的黑兔比白兔多1/5，求小明家养黑兔多少只？

分析：这个题有两种解法。

第一种解法：可以先求出黑兔比白兔多了多少只，然后再加上白兔数就是黑兔数。可以列式： 80×1/5 = 16（只）80 + 16 = 96（只）综合算式是：80 + 80×1/5

第二种解法：可以先求出黑兔是白兔的几分之几，然后用“求一个数的几倍或几分之几是多少？”的方法去解。从题意可知，养的黑兔比白兔多1/5，那么黑兔就是白兔的1 + 1/5=6/5。可以列式： 1 + 1/5=6/5 80×6/5 = 96（只）

综合算式为： 80×（1 + 1/5）答：略。

例2：小明家养白兔80只，养的黑兔比白兔少1/5，求小明家养黑兔多少只？

分析：这个题有两种解法。

第一种解法：可以先求出黑兔比白兔少了多少只，然后用白兔数减去少的兔子数就是黑兔数。可以列式： 80×1/5 = 16（只）80 — 16 = 64（只）综合算式是：80 — 80×1/5

第二种解法：可以先求出黑兔是白兔的几分之几，然后用“求一个数的几倍或几分之几是多少？”的方法去解。从题意可知，养的黑兔比白兔少1/5，那么黑兔就是白兔的1 — 1/5=4/5。可以列式： 1 — 1/5=4/5 80×4/5 = 64（只）

综合算式为： 80×（1 — 1/5）答：略。

以上各类，都是分数乘法应用题。也就是标准量“1”是已知的，求的是比较量。现在的教材不提标准量和比较量，那不一定好。其实说一下，学生对常见的分数应用题有一个更全面的认识。我向来是主张提出来说的。比如去某个地方买了东西，觉得好，有人也觉得好，如果问起，没有店名子，得费好大的劲去说地方，或许还说不清。有个名字，大家对他的印象就深一些。不过，有名字没有名字，并不是很重要的，重要的是学生要理解这些知识才行。就是知

道名字而不理解也是白搭小学分数应用题

（三）·求标准量的分数题

七、已知甲数是乙数的几倍或几分之几，求乙数。

例

1、六年级有男生120人，是女生的2倍，求女生有多少人？

分析：这个题应当是二年级的题，相信大家都会做。女生的2倍数和男生数相等，那么关系式应当是：

女生×2 = 男生，求女生数则为：男生÷2=女生，可以选择用算术方法或用方程解。

方法1：算术方法：120÷2=60（人）

方法2：方程：

解：设女生有X人 2X=120

X=120÷2

X=60 答：女生有60人。例

2、六年级有男生120人，是女生的4/5，求女生有多少人？

分析：根据以上的题意，女生的4/5就是男生数，意思就是说把女生数分成5份，男生占其中的4份，而这4份就是120人。可以采用三种方法解。方法1：份数解法：120÷4×5=150（人）方法2：分数解法：120÷4/5=150（人）方法3：方程解法：

解：设女生有X人，则男生就是女生数的 4/5 X，因此列方程得 4/5 X = 120

X = 120÷4/5

X = 150 答：（略）

例

3、六年级有男生120人，是女生的1又3/5倍，求女生有多少人？

分析：本题和上题的区别只是数的不同而已。把4/5换成了1又3/5，而1又3/5就是8/5，也就是说把女生数分成5份，而男生就是这样的8份。所以解法和上题相同。方法1：份数解法：120÷8×5=75（人）方法2：分数解法：120÷1又3/5=75（人）方法3：方程解法：

解：设女生有X人 1又3/5 X = 120 X = 120÷8/5

X = 75 答：（略）。

当然，以上的题都是基本题，在实际学习中，一些题会有一些变化，但是只要你认真分析，也最终能找出和基本题一样的条件。请看下面的例题：

例

4、一个车队运一堆货物，第一天运了30%，第二天运了50吨，还剩一半没有运，求这堆货物有多少吨？

分析：第一天运30%，第二天运了50吨，还剩一半，那就是说前两天一共运了50%，也就是说第二天运了50%—30%=20%，那么就可以知道，50吨是这堆货物的20%。这和例2就一样了。

解答：方法1：1—50%—30%=20% 50÷20%=250（吨）

方法2：解：设这堆货物有X吨，则 X—50%X—30%X=50 20%X=50

X=250 答：略。例

5、小红看一本书，第一天看这本书的3/10，第二天比第一天少看42页，还剩3/5没有看，求这本书有多少页？

分析：先要求出第二天看了几分之几，可以列式为：1—3/10—3/5 = 1/10，再求第二天比第一天少看了几分之几：3/10—1/10 = 1/5，那就是说少看的42页就是全书的1/5，由此可知全书的页数。解答：

方法1：1—3/10—3/5 = 1/10 3/10—1/10 = 1/

542÷1/5 = 210（页）方法2：解：设全书有X页，则

3/10 X —（1—3/10—3/5）X =42 3/10 X — 1/10 X = 42 2/10 X = 42 X = 210

八、已知甲数是乙数的几倍或几分之几还多A或少A，求乙数。

例

1、六年级有男生130人，是女生的2倍还多10人，求女生有多少人？

本题是和七例1相似的题，只是多了个条件“是女生的2倍还多10人”，那么可以这样想，如果男生不多这10个人，那就刚好是女生的2倍，这时男生的人数应当是130—10=120，和上面七类例1 就成一样的了。解法就不说了。

例

2、六年级有男生110人，是女生的2倍少10人，求女生有多少人？

同本类例1的分析，列式为：（110+10）÷2=60（人）

列方程为：

解：设女生有X人，则 2X=110+10 例

3、六年级有男生130人，是女生的4/5还多10人，求女生有多少人？本题是和七例2相似的题，只是多了个条件“是女生的4/5还多10人”，那么可以这样想，如果男生不多这10个人，那就刚好是女生的4/5，这时男生的人数应当是130—10=120，和上面七类例2 就成一样的了。列式：

用份数解：（130—10）÷4×5 用分数解：（130—10）÷4/

5用方程解：

解：设女生有X人，则男生就是女生数的 4/5 X，因此列方程得 4/5 X = 130—10 X = 120÷4/5 X = 150 下面各题请自己分析解答。

例

4、六年级有男生108人，是女生的4/5少12人，求女生有多少人？

例

5、六年级有男生128人，是女生的1又3/5倍多8人，求女生有多少人？例

6、六年级有男生110人，是女生的1又3/5倍少10人，求女生有多少人？

九、已知甲数比乙数多或少几分之几，求乙数。

例

1、笑笑家有桃树360棵，比梨树多2/7，求笑笑家有梨树多少棵？

分析：在本题中，梨树的棵数为标准量，就是单位“1”的量，那就是说梨树是“7/7”，桃树360棵，比梨树多2/7，那桃树的棵数就占梨树的“1+2/7=9/7”那本题就是可以变成：“笑笑家有桃树360棵，是梨树的9/7，求笑笑家有梨树多少棵？”那就很好做了：

用份数解：360÷9 × 7=280（棵）

用分数解：360÷9/7=280（棵）

用方程解：解：设梨树有X棵，则 X+2/7X=360

或：（1+2/7）X=360 答：略。

例

2、笑笑家有桃树360棵，比梨树少2/7，求笑笑家有梨树多少棵？

十、已知甲数比乙数多或少几分之几还多或少A，求乙数。

例

1、笑笑家有桃树370棵，比梨树多2/7还多10棵，求笑笑家有梨树多少棵？本题是九类例1 的变型题。

分析：在本题中，梨树的棵数为标准量，就是单位“1”的量，那就是说梨树是“7/7”，桃树370棵，比梨树多2/7还多10棵，那桃树的棵数占梨树的“1+2/7=9/7还多10棵”那本题就是可以变成：“笑笑家有桃树370棵，是梨树的9/7还多10棵，求笑笑家有梨树多少棵？”假如桃树不多这10棵，那桃树就刚好是梨树的9/7，那可以选择下列方法：

用份数解：（370—10）÷9 × 7=280（棵）

用分数解：（370—10）÷9/7=280（棵）

用方程解：解：设梨树有X棵，则 X+2/7X+10 =370

或：（1+2/7）X+10 =370 答：略。

例

2、笑笑家有桃树370棵，比梨树少2/7多10棵，求笑笑家有梨树多少棵？

本题分析请参考上题。

现在小学六年开始有分数应用题了，但我经过多年教学实践发现大部分学生对于找“单位1”和解题方法不能理解，造成解题错误，为了解决不能理解分数关系的同学做不对题的现象，我编了小学分数应用题解法速记口诀，如下：

小学分数应用题，的前比后单位一。求一除法不求乘，多加少减没问题。

“小学分数应用题，的前比后单位一。” 这两句是为了找到单位1的。应该看分数，然后找“的”和“比”字。比如：二班的人数是一班的1/3，分数是1/3，它前面是“的” 那么“ 的"前面的量就是单位1的量。再如：二班比一班多1/3，分数是1/3，它前面是“比” 那么“比”后面的量就是单位1的量。

“求一除法不求乘，”的意思是求单位1的量用除法，求另外一个量用乘法。如：二班有40人，二班的人数是一班的1/3，求一班有多少人？根据口诀前两句判断，一班是单位1的量，求的是一班，就是求单位1的量用除法。所以列算式是 40÷1/3 “多加少减没问题。”是对于 “二班比一班多1/3” 的应用题的。如：二班有40人，二班的人数比一班多1/3，求一班有多少人？应该用 40÷（1+1/3）来算。

1、某校参加数学竞赛的男生人数比女生人数的4倍少8人，比女生人数的3倍多24人，这个学校参加数学竞赛的男生有多少人？女生有多少人？

2、修一条长200米的水渠，已经修了80米，再修多少米刚好修了这条水渠的3/5？

3、一本书600页，第一天看了它的1/4，第二天看了它的2/5，两天一共看了多少页？

4、爱达花园小学向希望工程捐款，六（1）班捐的占六年级的1/3，六年级捐的占全校捐款的1/4，全校共捐款2400元，六（1）班捐了多少元？（用两种方法解答）

5、图书室有故事书180本，科技术比故事书少1/6，科技书有多少本？

6、图书室有故事书180本，科技书比故事书多1/6，科技书有多少本？

7、图书室有故事书180本，科技书是故事书的1/6，科技书有多少本？

8、图书室有故事书180本，故事书比科技书多1/6，科技书有多少本？

9、图书室有故事书180本，故事书比科技书少1/6，科技书有多少本？

10、图书室有故事书180本，故事书是科技书的1/6，科技书有多少本？

11、两袋米一功重168千克，从第一袋里取出全袋米的四分之三，从第二袋取出全袋米的三分之二，两袋中剩下的米一样多，两袋中原来各有多少千克？

12、甲乙二人各有人民币若干元，甲的钱数是乙的2倍，若甲给乙11元，则甲的钱数是乙的7/20，甲乙原各有多少元？

小学分数应用题一求分率的分数题

一、求一个数是另一个数的几分之几、百分之几

1、六年级四班有女生25人，男生15人，求男生是女生的几分之几？女生是全班人数的几分之几？ 15÷25 =3/5（女生是标准量）（比较量÷标准量=比较量的分率）

25÷（15＋25）= 5/8（全班人数是标准量）

如果求一个数是另一个数的百分之几，就是先把两数的商用小数表示再乘100%，比如上题：

15÷25×100% =0.6×100% =60% 25÷（15＋25）×100%=0.625×100% =62.5% 求合格率、出面率、出勤率等的题都属于这一题型

二、求一个数比另一个数多（或者少）几分之几、百分之几

2、学校栽杉树240棵，栽白杨树180棵，白杨树比杉树少几分之几？杉树比白杨树多几分之几？第一问分析：先求出白杨树比杉树少多少棵，然后找出标准量是杉树，看看少的棵数占标准量的几分之几

240－180 = 60（棵）60÷180 = 1/3 综合算式：（240－180）÷180 如果求一个数比另一个数多（或少）百分之几，可以用上边一类题的方法去解决。不再重复。练习：五年级同学植树，女生植树280棵，男生植树320棵，男生植的树比女生多百分之几？女生植的树比男生少百分之几？

这两个问题不是一回事，请注意标准量在变化。虽然少的树和多的树的数没有变，但由于标准变了，所以得数也不一样。

以上两类题都是求分率的题，归为一大类。

分数另一类应用题请看小学分数应用题二·标准量已知的分数题

难算的分数（比和比例）应用题

（一）1、一条路已修了500米，是未修的2/5，求这条路一共有多长？解答：已修的是未修的2/5，那就是说是已修的是全长的2/7。

列式为：500÷2/7=1750（米）答：略。

2、一桶油用去1/5后连桶重14千克，用去1/3后连桶重12千克，求桶重多少千克？油重多少千克？分析与解答：用去油1/5后连桶重14千克，用去1/3后连桶重12千克，那就是说这桶油的1/3比1/5多2千克，也就是说1/3—1/5=2/15就是2千克。那么这桶油重可以列式求出来：

（14-12）÷（1/3—1/5）=2÷2/15=15（千克）

那么桶重就是14-15×（1—1/5）=2（千克）或者12-15×（1—1/3）=2（千克）答：略。

3、修一条水渠，已修了4天，平均每天修35米，已修的比剩下的少全长的30%，这条水渠全长多少米？

分析与解答：已修四天，每天修35米，则已修的是35×4=140米。已修的比剩下的少全长的30%，那就是说，如果去掉这30%，剩下的和已修的刚好相等。于是就有：（100%—30%）÷2=35%，这35%就是已修的。到这儿就很好算了。

列式：35×4÷[（100%—30%）÷2] =140÷35% =400（米）列方程为：

解：设这条路全长为X米，则

X—35×4—35×4=30%X 或（X—30%X）÷2=35×4 答：略。

4、师傅和徒弟合做200个零件，师傅做的1/4比徒弟做的1/5多14个，求徒弟做了多少个？分析：师傅做的1/4比徒弟做的1/5多14个，那就是说，师傅做的4/4比徒弟做的4/5多14×4=56（个）。这样题就变成了“师傅和徒弟合做200个零件，师傅做的比徒弟做的4/5多56个，求徒弟做了多少个？”这已是一个和倍问题了。如果去掉师傅多的56个，就变成了师傅做的是徒弟的4/5，一共做200—56=144个零件。

用算术方法列式为：（200—14×4）÷（1+4/5）=144÷9/5 =80（个）用方程解：

解：设徒弟做了X个，则师傅做4/5X个

X+4/5X=200—14×4 9/5X=144 X=80 答：（略）。

5、小明和小华集邮，一共集了390张，小明集的2/5和小华集的5/7相等，求小华和小明各集了多少张？

分析：这道题从题型上来说仍然是和倍分问题，从题中可以看出两人集邮数的和为390张。还知道两人集邮的分数。我们把题中条件变一下：小明集的2/5和小华集的5/7相等，那也可以这样说：小明集的10/25和小华集的10/14相等，这是把两个人集邮的分数通分子得到的，为什么这样做呢？分子不同，不便于比较，我们把它们通分后，就能看出两数的比例关系了。两个分数的分母就是两个人分别集邮的总份数。从以上的分析可知，小明集邮数和小华集邮数的比是25：14。至此，就很好算了，可以选用多种方法。

解答：用按比例分配法算：

25+14=39 390×25/39=250（张）这是小明集邮数 390×14/39=140（张）用分数解法：

390 ÷（1+25/14）这个算出来是标准量小华的集邮数 =390÷39/14 =140（张）

390-140=250（张）这是小明集邮数用方程解：

解：设小华集邮X张，则小明集邮数为25/14X张。

X + 25/14X=390 39/14X=390 X=140 25/14X=25/14×140=250 答：（略）

这种题解法很多，愿意去探索的小朋友可以自己去研究其他算法。

用两元一次方程组也可以解，并且很好算，只可惜小学生没有学过，现在把它写出来：设小华集邮X张，小明集邮Y张。X+Y=390 2/5Y=5/7X 解这个方程组就可以。

6、某校五年级人数是四五六三个年级总人数的1/4，六年级人数是四年级人数的3/4，五年级人数比四年级人数少40人。求这个学校四、五、六三个年级各多少人？

分析：这个问题比较复杂，关系到单位“1”的转变。

五年级人数是四五六三个年级总人数的1/4，那么四、六两个年级人数就占总人数的3/4。六年级人数是四年级人数的3/4，就是说四年级人数是四六两个年级的人数的4/7，也就是说四年级人数是四五六三个年级的总人数的4/7×3/4=12/28，六年级人数是四六两个年级的人数的3/7，也就是说六年级人数是四五六三个年级的总人数的3/7×3/4=9/28。这一步怎么来的呢？举个例子来说吧。甲是乙的1/2，乙是丙的1/3，则甲是丙的1/2 ×1/3=1/6。这一点如果能想通，这道题可以说已没有大问题了，后面的就是计算上的问题了。

列式：3+4=7 4 ÷7=4/7 3÷7=3/7 4/7×（1-1/4）=12/28 3/7×（1-1/4）=9/28 总人数为：

40÷（12/28-1/4）=40÷5/28=224（人）

五年级人数为：224×1/4=56（人）

四年级人数为：224×12/28=96（人）

六年级人数为：224×9/28=72（人）答：（略）。

7、一盒糖，里边有奶糖和果糖，奶糖占45%，如果往里边加入32颗果糖后，奶糖占总糖数的25%，求奶糖有多少颗？

分析：一盒糖，里边有奶糖和果糖，奶糖占45%，那么果糖占55%，也就是说果糖是奶糖的11/9，加入32颗果糖之后，这时奶糖占总糖数的25%，也就是说这时果糖是奶糖的75%÷25%=3倍，也就是27/9，比原来多了16/9，这正是加入的果糖所占的分率。在这道题中奶糖的颗数没有变，可以看做单位“1”。

列式：（1—45%）÷45% = 11/9（1—25%）÷25% =3 3—11/9=16/9 32÷16/9=18（颗）

这道题也可以变成比和比例的应用题。如下一盒糖，里边有奶糖和果糖，奶糖和总糖数的比是9：20，如果往里边加入32颗果糖后，奶糖和总糖数的比是1：4，求奶糖有多少颗？

解答略。

8、一个书架上下两层放书数的比是5：6，如果从上面一层取30本放入下面一层，这时上下两层放书数的比是3：4，这个书架原来上层放书多少本？

分析：这道题和上题不同之处是上下两层书的总数没有变，看以看做单位“1”。上下两层放书数的比是5：6，那么上层放书占总数“1”的5/11，上下两层放书数的比是3：4，那么上层放书数占总数“1”的3/7。因为单位“1”没有变，所以只是对“1”分得份数不同。我们不妨分成相同的份数：5/11=35/77 3/7=33/77，两个分数相差2/77，这正是30本书所占的分率。列式：5/11—3/7=2/77 30÷2/77=1155（本）这是算出来的总书记数

1155×5/11=525（本）这是上层书架原来的放书数答案：略。

9、一杯糖水40克，含糖20%，如果再加入一些糖，则含糖1/4，求加入了多少克糖？

解法1分析：在这道题中，没有变的量是水，我们可以把它看作单位“1”。一杯糖水40克，含糖20%，那么糖就是40×20%=8（克），那水就是32克。这时糖占水的1/4。如果加入一些糖，则含糖1/4，那么糖占水的1/3。那么加入糖后比加入前多了水的1/3—1/4=1/12，只要求出水的1/12，就是加入的糖。

列式：40×20%=8（克）

40—8=32（克）

1/3—1/4=1/12 32×1/12=2又2/3（克）

解法2分析：一杯糖水40克，含糖20%，那么糖就是40×20%=8（克），那水就是32克。如果加入一些糖，则含糖1/4，那么水占糖水的3/4。这时可以把加入糖后的糖水看作“1”。那么可以算出单位“1”是多少，然后减去以前糖水的重量，就是最后加入的糖的重量。

40×20%=8（克）

40—8=32（克）

1—1/4=3/4 32÷3/4=42又2/3（克）

42又2/3—40=2又2/3（克）

解法3分析：在这道题中，没有变的量是水。一杯糖水40克，含糖20%，那么糖就是40×20%=8（克），那水就是32克。如果加入一些糖，则含糖1/4，那么糖占水的1/3。这时可以把水看作“1”，也就是32克。然后减去以前糖水的重量，就是最后加入的糖的重量。

40×20%=8（克）40—8=32（克）

1—1/4=3/4 1/4÷3/4=1/3 32÷1/3=10又2/3（克）

10又2/3—8=2又2/3（克）方法4：当然也可以用方程解。设后加入了X克糖，则有