量子力学小结

量子力学小结（精选10篇）

1.量子力学小结 篇一

§约束小结•一．概念•1.自由体、非自由体、主动力（P、F）•••••2.约束：阻碍非自由体运动的一切装置称之3.约束反力：约束给被约束物体的力约束反力的大小：取决于主动力的大小。方向：与被阻碍的物体运动的方向相反。符号：F••二.几种常见的约束1.光滑接触面约束：（1）面接触：（2）线接触：（3）点接触：FNFNFN•一个约束反力，只能是压力，方向沿接触面的公法线（法向反力）用“FN”表示。•2.柔性体约束：柔绳、链条、胶带构成的约束。表示。3.光滑铰链约束一个约束反力，拉力，方向沿柔索中心线。用“F”T•（1）向心轴承（或称径向轴承、普通轴承）•约束反力：作用线⊥轴线并过轴心，正交两分力。FAyA轴承轴FAx（2）圆柱铰链（简称铰链）•约束反力：二个正交的分力，力的作用线与轴线在同一平面上。FyFx轴线 •（3）固定铰链支座（固定铰链）约束反力：二个正交的分力，力的作用线与轴线在同一平面上。FyFx轴线4.其它约束（1）滚动支座（辊轴支座）（可动铰链）•一个约束反力，作用线⊥支承面，方向可指向或离开支承面。FF（2）球铰链：约束反力：三个正交分力FBzFByFBx（3）止推轴承：约束反力：三个正交分力止推轴承FyAFxFz轴 例2已知：主动力F；试画出拱AC、CB的受力图。解：1.取拱CB为分离体2.取拱AC为分离体孔带销钉FCB例3•解：1.取CB为分离体FCxFCyFB•2.取ABD为分离体FB3.取整体为分离体FCxFCyFAxFAxFAyFAy

例4••解：1.取ACD（包括滑轮D）为分离体。FAxFAyFAxFBxFTFByFAyFCxFCyFCxFT•2.取BCE为分离体。3.取整体为分离体。FBxFByFCy

2.量子力学导论 第十章 教案 篇二

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

引

言

（一）近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；

（3）势垒贯穿问题；

（4）氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。

（二）近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。

（三）近似解问题分为两类

（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论；

2.变分法。

（2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论；

2.常微扰。§10.1 非简并定态微扰理论

（一）微扰体系方程

（二）态矢和能量的一级修正

（三）能量的二阶修正

（四）微扰理论适用条件

（五）讨论

（六）实例 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

（一）微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(0)，本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程：

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时，|n|n ； , EnEn(0)(0)当H0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En状态由|n En，|n。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：

ˆW H其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。

为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n，请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En，En，2En，…分别是能量的0 级近似，能量的一级修正和二级修正等；(0)(1)(2)而||n，|n，2|n，…分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得：

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得：(0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得：

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分别是|n和|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。

（二）态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定，H0的本征矢|n是完备的，任何态矢量都可按(1)其展开，|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。|k(0)（k1,2,,）代回前面的第二式并计及第一式得：

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性：

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)（2）态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0（可以取为0）

证：

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0，[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数，故可令annanni（为实）。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

（三）能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明，展开式中，ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即ann0。这样一来，(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k(0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样，将|n按|n 展开：

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式 6 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性，有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1.当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2)0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。(0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2.当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0)Hnn(0)knEnEk

（四）微扰理论适用条件

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：

Hkn(0)(0)，EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明：

|k|H|n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)要小，即微扰矩阵元要小；

（2）EnEk 要大，即能级间距要宽。

例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n成反比，即

2En

Z2e422n28，n1,2,3,... 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。

（五）讨论

（1）在一阶近似下：

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

（2）展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)（3）由EnEn加上微扰Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。

（4）对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0)1，En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正，态矢求到一级修正即可。

（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把W理解为H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。

（六）实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解：（1）电谐振子Hamilton 量

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)（2）写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

，Nn n2n!(0)，n0,1,2, En(n12)(1)（3）计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0，是因为被积函数为奇函数所致。（4）计算能量二级修正

矩阵元。欲计算能量二级修正，首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式：

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式，得

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E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有；

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222(2)22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关.(1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论-----电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低，而平衡点向右移动了距离。22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为：Hc300c2（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：

（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

1000c0H0030，Hc00

00200cH0是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

(0)(0)E1(0)1，E23，E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正：

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为： 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0(0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为：

E11c21212E232c E32c(2)精确解：

设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得：

E21c212E221c E2c3(3)将准确解按 c(<<1)展开：

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较（1）和（2）之解

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E11c2E21c2121212E232c，E221c E2c3E32c可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

（一）简并微扰理论

（二）实例

（三）讨论

（一）简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的，那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1，|n2，……，|nk n|n

(0)为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n，请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程：

ˆE(0)]|n0，1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0，1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时，需要知道0级近似波函数，但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件，我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化，系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得：

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0）（由n|[Hnˆ|n。n|H其中H得：1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根：En（=1,2,...,k），因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除；若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数，而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：

1k(1)En[H]c0，1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为：

k|

（二）实例

例1.氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

（2）外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

（3）H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。

2e2，a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是：

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中，|2，1,2,3,4。即

1|21ψ2001|21ψ200（4）求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式：

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

，H21不等仅当l1，m0时，H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式（5）能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程：

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根：

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级E2在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：

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6）求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组：

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是：

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240，代入上面方程，得：

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成：

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数（经常这样处理），即令：

c31c40(0)3211则(0)。4211orc30 c41（7）讨论

(0)上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4，那末，氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子，其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行；而对于处在3, 4态的氢原子，其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：HH0H，其中

2000H0020，H0002000，1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得：

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

解得：E(1)0,。记为：

(1)0，E1(1) E1(1)，E2故能级一级近似：

E1E0E1(1)2(1)E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2)求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程，得：

0000由归一化条件：

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解：c11

2c1110。

21将E20代入方程，得：(1)00由归一化条件：

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解：c21

0 21 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。0(0)如法炮制，得3110

21

（三）讨论

（1）新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性，有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

，

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0(1)nk1(1)(1)对于EnEn的根，k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为：

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。*1k上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件，对于同一能量，即角标，则上式变为：

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中，H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证：

(0)23 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2－3步用到了（1）式

E]c0。[H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时，上式给出如下关系式：

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如：前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i，i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中，从而使 H 对角化。

根据表象理论，若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出，1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为：

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出：

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解，而 H’很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

（一）能量的平均值

（二）< H >与 E0 的偏差和

（三）如何选取试探波函数

（四）变分方法

（五）实例

（一）能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：

ˆ|H，则必有EE EH|H0证： 插入单位算符|nnn|1，则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明，用任意波函数计算出的平均值 总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。

若未归一化，则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数: : (1)，(2)，…，(k)，…称为试探波函数，来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数与0之间的偏差和平均值（2）如何寻找试探波函数。

（二）< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数， 就越接近基态能量 E0

.那末，由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢？

为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：

< H > 与 E0之间偏差的关系；

||0||1

其中是一常数，是任一波函数，满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式，通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：

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ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|）（利用了Hnnn可见，若是一小量，即波函数偏差0|

是一阶小量，那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说， 是小量，与0很接近，则< H >与 E0更接近。当且仅当0时，才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

（三）如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。

（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的边界条件；

（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；

（4）若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1，而H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。

例：一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量：

22dˆH12x2 222dx其本征函数是：

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n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I：

试探波函数可写成：

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的，我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的； 2.满足边界条件，即当|x| →∞ 时，ψ→ 0； 3.含有一个待定的λ参数。方法 II:

亦可选取如下试探波函数：

(x)Aex2

A ——归一化常数， 是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为 1.(x)是光滑连续的函数；

2.关于 x = 0 点对称，满足边界条件，即当 |x|→∞ 时，ψ→ 0；

3.(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。

（四）变分方法

有了试探波函数后，我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数，欲使< H(λ)>取最小值，则要求：

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

（五）实例

对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数：

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为：

52H42135520.5976

351421410.5，比较二式可以看出，近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数：

1.对第二种试探波函数定归一化系数：

(x)Aex

2量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22，得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121， 2代入上式得基态能量近似值为：

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数，得：

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性（Hamilton量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。

作业

3.量子力学模块化教学 篇三

在教学中我们发现，除了量子力学基本分析方法之外，是一些基本理论模型，如一维无限深势阱、势垒贯穿理论等对于核工程类专业学生后续学科的理论学习有很好的指导作用，在教学中我们加深对这些方面的讲解，力图通过本课程为学生以后的学习打下坚实基础。

量子力学是一门基础理论。

如何使其更好的为核类学生服务是我们一直关注的问题，在教学实践的基础上结合量子力学理论体系结构的特点，我们提出模块化改革教学的理论，以解决各专业对量子力学学习要求的不一致，将量子力学分为波函数及薛定谔方程模块、量子力学量模块、表象变换模块、微扰论及粒子自旋模块、散射理论模块等五个模块。

对不同的核类专业，教学内容有不同的模块结构和相应的课时分配计划。

对于核物理专业，其对量子力学理论知识要求较高，在教学实践工作中必须强调课程知识体系的全面性和深入性，加大对理论基础的讲解力度，让其掌握利用量子力学理论去分析和解决常见的微观现象。

我们较系统地讲解这五大模块，引导学生利用已学量子力学知识去解决一些核物理问题。

对于核类其他专业，如核工程与核技术、核科学与核技术、核反应堆工程等专业，其对量子力学基础知识要求较低，在教学过程中保证教学内容的连续性和体系的完整性的同时，选择其中的波函数及薛定谔方程模块、量子力学量模块和微扰论模块重点来讲解，表象及表象变换略去不讲，对于散射模块，也只做简单的介绍。

3 结束语

在日常教学中，我们运用模块化的思想，给核类专业的学生讲授量子力学，取到了良好的成绩。

我们注重总结并收集反馈意见，研究调整模块结构及其课时分配计划，在模块化教学的框架下适当修改完善，已取得一定成效。

参考文献：

[1]周世勋.量子力学教程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，.

[2]褚圣麟.原子物理学[M].北京：高等教育出版社，.

4.量子力学导论第3章参考答案 篇四

3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？

解：能量的本征值和本征函数为

若，则

这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；

三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子

讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数

.（1）

（2）

在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）

当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为,（参P57，（12））

动量的几率分布

3.5）设粒子处于半壁高的势场中

（1）

求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出:

（2）

其中

（3）

方程的解为

（4）

根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则

当时，则

于是

（5）

在处，波函数及其一级导数连续，得

（6）

上两方程相比，得

（7）

即

（7’）

若令

（8）

则由（7）和（3），我们将得到两个方程：

（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即

（11）

时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，故有

由在、处的连续条件，得

（1）

由（1a）可得

（2）

由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。

因而

（3）

又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，(4)

由(3)，得

(5)

结合(4),(5)，得

或

（6）

一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：

（7）

当时，仅当

才有束缚态，故给定时，仅当

（8）

时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）

当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:

其中

3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为

在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故

由，得。

由，得。

从上二式消去c,得。

反射系数

将代入运算，可得

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明

谐振子波函数满足下列关系

并由此证明，在态下，证：谐振子波函数

（1）

其中，归一化常数

（2）的递推关系为

（3）

3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））

证：A3.式（12）：

3—10）谐振子处于态下，计算，解：由题3—6），由题3—7），对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，（1）

求能量本征值和本征函数。

解：

（2）的本征函数为，本征值

现将的本征值记为，本症函数记为。

式（1）的势能项可以写成其中

（3）

如作坐标平移，令

（4）

由于

（5）

可表成（6）

（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知

（7）

（8）

即

（9）

(10)

其中

(11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以

3—13）设粒子在下列势阱中运动，(1)

是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq:

(2)

对于束缚态（），令

(3)

则

(4)

积分，得跃变的条件

(5)

在处，方程(4)化为

(6)

边条件为

因此

(7)

再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得

(8)

(9)

由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）

(10)

此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时，所以,利用,（10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为

（11）

纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。

条件（11）可改写为

（12）

即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出

即

（13）

与势阱的结论完全相同。

令，则式（10）化为

（14）

由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级

5.量子力学小结 篇五

课程号： 00432214 新课号： PHY-1-044 课程名称：量子力学 开课学期：春、秋季 学分： 3 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。

内容提要：

1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律

2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒 3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子

4.量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。

5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用

教学方式：课堂讲授 教材与参考书：  曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999.学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％

课程号： 00432214 新课号： PHY-1-054 课程名称：量子力学I 开课学期：春、秋季 学分： 4 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的：

使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。内容提要：

1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律

2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒 3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子

4．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用；

5．定态微扰论与变分法：定态微扰论、简并的情形、变分法 6．跃迁与散射：跃迁几率、散射、Born近似、分波法 教学方式：课堂讲授 教材与参考书：

 《量子力学导论》曾谨言, 北京大学出版社。 《量子力学》张启仁, 科学出版社。 《量子力学》张永德，科学出版社。 《量子力学》苏汝铿，复旦大学出版社。 《量子力学教程》 周世勋，高等教育出版社  《量子力学原理》王正行，北京大学出版社。 《量子力学导论》，德国，顾莱纳(中、英)，北京大学出版社。 Quantum Mechanics, L.I.Schiff, Stanford University, McGRAW-HILL BOOK COMPANY。

 《量子力学原理》P.M.Dirac（中、英）。 《量子力学》朗道、栗弗席茨（中、英）。（具体教材和主要参考书由任课教师指定）学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％

课程号： 00432216 新课号： PHY-1-055 课程名称：量子力学II 开课学期：春、秋季 学分： 2 先修课程：量子力学I（PHY-1-054）基本目的：

使得同学对于量子力学的一些具体应用和近年来的进展有所了解与掌握。适合物理学院纯粹物理型同学选修。内容提要：

1．原子与分子：He原子、多电子原子、电磁场中的原子、双原子分子、多原子分子

2．准经典近似：WKB近似、玻尔量子化条件、势垒的隧穿

3．量子力学的路径积分表示：路径积分的概念、自由粒子、谐振子 4．量子力学中的相位。

6.工作小结(实习工作小结) 篇六

转瞬即逝，我来公司已经三个月了，让我从一个从刚出校门的学生蜕变成一个职业工作者。让我明白社会竞争的残酷和无情，同时也让我明白自己专业知识的匮乏和沟通技巧的不足。了解了通信线路设计的基础知识和一本完整设计的组成部分。

对我而言，不论在哪里，在哪个公司，只要我能有幸成为其中的一员，我都将以饱满的热情，认真的态度，诚恳的为人积极的工作融入其中。这是作为一个员工基本的原则，团队精神是每个公司都倡导的美德。我认为，公司要发展，彼此的合作协调是很重要的。没有各个部门和各位同事的相互配合，公司的工作进程要受到阻碍，工作效率会大打折扣，公司效益自然会受损。这样对公司和个人都无益处。

来公司的第一个月我学会了CAD绘图的基础知识和快捷键，了解了线路设计绘图中所用的基本图框和图例，以及一些绘图规定。进一步学习了图例中个图形所代表的意思和图中字、数字的高度。跟随师父外出勘察，知道了勘察所要收集的资料和注意的问题。

在公司的第二、三个月我从总体上了解了通信线路设计的全过程。学会了画图、作预算、写说明等工作。能够独立的完成一些简单工程的勘察、设计（光缆接入、FTTB）。

第四个月出版设计四本《榆阳区市华鑫投资管理有限公司、榆阳区市交警支队青山西路口违法处理中心等八处光缆接入工程》 《出版榆林电信肤施路邮政银行、GJ018到GJ008光缆接入、供电局电力检修公司、肤施路永安保险公司光缆接入工程》 《榆阳区市德庆宝汽车检测有限公司英和汽车销售有限公司FTTB》《榆林电信榆阳区东方红网吧、市烟草公司和富丽豪庭ATM机光缆接入工程》。

其实上天对每个人都是公平的。作为公司也一样，因为公司是一个大家庭，每个人在公司的位置不同，工作不同，作用不同，自然待遇会有所不同。所以，这些方面我并不会放在心上。惟一值得关心的就是自己本职的工作是否能做好。自己是否拿到了自己应得的报酬。而在这点上，我认为只要努力做好自己的本职工作，公司会给予相应合理的待遇的。

7.见习小结、工作小结、南高齿 篇七

这半年多以来，我几乎每天都在装配车间学习以及配合车间师傅们装配各种型号的掘进机和各种矿用减速器例如采煤机行走部、采煤机摇臂、刮板输送机减速器等。我深深知道，掘进机和煤矿机械等产品是我们高特公司二次创业重点发展项目，这对刚进入公司的我们来说既是机遇也是挑战，为此我不顾车间夏日的炎热和冬天的寒冷，坚持呆在车间并抓住每一次学习的机会，努力去研究我们公司生产的每一个产品，争取做到全面了解，以便使自己更早更好的投入到公司的生产工作中去。在车间，我一边配合师傅们工作，一边抽空看设计图纸，遇到不懂之处就向师傅们请教或下班回家查阅资料。一分耕耘一分收获，经过几个月的学习以及到北京煤机展的参观，我基本掌握了各种型号掘进机的组成部分和工作原理以及安装过程中的基本要求，同时了解了不同类型掘进机之间的异同之处以及我们公司的产品与其他公司产品之间的异同之处，并对我们公司二次创业充满信心。

在过去的学习工作中，自己虽然进步了不少，但是仍然存在很多不足之处，总结起来主要有：一是在生产过程中没有勇敢的把自己好的想法说出来，二是没有更好更充分的利用好车间学习的时间和机会，三是现在还没有完全掌握掘进机各方面的知识等。在今后的工作生活中，我将会继续努力学习，提高自身各方面的素质，扬长避短，培养自己的胆识和毅力，提高自己解决实际问题的能力，并在工作中培养仔细、积极、热情的工作态度，加强与同事之间的交流与合作，争取早日实现公司二次创业的宏伟蓝图！

邵春发

8.量子力学小结 篇八

个人学习总结

大学生活是如此的丰富如此的多彩，生活让我充满了乐趣，我也觉得很充实。当然，这就离不开我们的组织部了。在团总支这个大家庭里，我很快乐。在那里，我认识了更多的朋友，学到了更多在平时学习和生活中学不到的东西。同时在这里又充实了我的大学生活。？那时，由于我们刚刚走上这样的工作岗位，工作经验的缺乏，我们也深知我们好存在这样那样的缺点和不足，我们也并没有完全适应我们的工作，影响了活动具体开展我们各部门之间缺乏交流和沟通合作，衔接还不到位，致使

我们的一些活动中，组织工作不能完全到位，缺乏整体性和连续性，似乎每次活动我们的宣传并不是很到位，活动的准备似乎也不是很充分。

每次要开展活动时还是缺乏一定的主动性和积极性，多是在被动中开展本部门工作。在进行过程中还是会出现一些混乱和不足。而这学期我们要认真总结了上学期的这些不足，这些都是我们要注意到的经验教训，这学期我们也做了相应改进，为成功举行各项活动活动做好了准备和铺垫。活动前我们要进行了交流和沟通合作，衔接工作比较到位，组织工作得到改善，但如果缺乏整体性和连续性，出现突发情况还无法及时解决，这方面要加强。这也恰恰说明了我们的活动组织准备似乎也不是很充分。当然，我们的工作似乎很繁琐，但我们也可以看到，我们的各位干事，团总支的各个部门，我们所体现出来的团结合作是值得肯定的。学习小结如在我们的赛前准备，我们互相协助，做好会

场的布置，各部门各干事不仅是做好了自己内部的工作，还有的就是互帮。

虽然在本学期我也并没有做到什么很出色的工作，只是，我的主动性和积极性比上个学期更高。但即使是很琐碎的事情我也没有逃避，有时候它就是要搬搬座椅，这其中就有许多许多的乐趣。每次工作，我们都比较勤奋，又负责，能按时完成。这是我们肯干，肯付出才做出今天这样的成果！至少，我们与上学期相比——我们更进步了！加油！！今天，我们毕竟走了过来了，我们要继续发扬我们做得好的地方，要反省要改进我们做的不足的地方，吸取经验，争取在以后的工作中扬长避短，积累经验。从实际出发，积极、努力做好每次的工作，力争在教训中走向成熟。？不过以后我走的是什么路，在以后的工作实践中，希望部长及各位干事要不断的努力和探索，在工作中更要创新，因为只有在创新中才能稳步前进，逐步完善自我。我也坚信，以后在每次的活动

中如果都能以积极的心态主动的工作，认真务实，我想，我们的部门将是一个更重要的部门，更具凝聚力和战斗力。我们的团总支也将表现得更出色，谱写出更加壮丽的篇章。

个人学习总结

三年的研究生学习生涯即将过半，对自己这一年半的学习情况做一个系统的整理，既是对之前的总结，也是对后面三个学期的展望。

20**年9月开始了自己的河北大学行政管理专业的研究生涯，第一个学期的课程安排比较全面，既有专业课程的传授，也有政治理论课程的熏陶，还有公共英语的学习。按照专业课老师们给的书单，自己阅读了一些专科课方面的论文以及学术着作；此外，自己还阅读了几部二战时期的人物传记，比如丘吉尔、罗斯福和戴高乐等。研一下学期则进入了全面的专业课程授课阶段，四门专业课加一门公共外语，结合四门专业课的内容以及写结课论文的过程，自

己阅读了约翰洛克的《政府论》、阎照祥的《英国政治制度史》、托克维尔《论美国的民主》等着作以及一些中西方民主方面的学术论文，对自己这个学期专业课程的学习提供了很多的帮助和知识的补充，受益颇多的一个学期。

一年的时间很快，已经来到了研究生阶段的第二个年头，研二的这个学期也是研究生阶段最后一个安排课程的学期，显得格外珍惜，自己这学期做到了全勤，好好珍惜自己二十年学生生涯的最后一个学期，当然了，这也与这个学期的2门课程的吸引力程度呈正相关，一门课是人力资源管理的课程，一门是专业外语，都是自己本科时的老师，均是很有个人魅力的老师，所以同学们的出勤率显得格外的高；而自己还有一个原因，自己的毕业论文方向选的是人力资源管理，所以每节课都在很认真的听课，记笔记。按照老师给出的书单，正在读HR方面的着作，目前已经读过了美国学者罗纳德与约翰共同写就得《公

9.量子力学小结 篇九

时光如流水般转瞬即逝，不知不觉2011年已近尾声，我来公司已经有一年半的时间。在这纷繁忙碌而充实的一年里，我学到了不少新的知识，极大的拓展了自己的视野，也近一步加深了自己的业务能力。我作为九九久一员普通的一线销售人员，在这充满挑战的一年里，兢兢业业的做好自己的本职工作，不断学习完善自我，加深业务水平，在销售经理的带领下，紧跟公司发展的脚步，不断克服种种困难，保证了在不利的市场大环境下公司产品的稳定销售。取得了一定的成绩，也遇到了一些经验教训。

每当岁末年首，总是人们回首一年历程、总结经验教训，展望美好未来的时刻。为更好的做好今后的工作，总结经验、吸取教训，我对本的工作做以下的总结：

本，在部门领导的带领下，在朱老师的教导下，我主要负责二甲基海因的销售工作，主要分为：市场信息收集、保护和维护市场、收集整理合同、核对账款、催收货款和协助朱老师进行对外贸易等工作。

在市场信息收集方面：

加强市场调研，了解国内外同行业生产经营情况，分析产品发展动向，为公司决策提供依据。

定期收集客户信息并进行管理沟通，跟据调查目的进行分类；并将统计调查资料与原有资料进行比较分析。

在合同的签订和管理方面：

在供需双方协商一致的基础上签订销售合同，明确数量、价格、发货时间、结算付款方式及期限、违约责任等，经销售部经理审核后报董事长审批。

已签订的合同及送货回单，增值税发票收据以及业务往来传真、信函、对帐单等资料，妥善自行保管好；重要资料则将原件交公司办公室随合同保管。

在核对和催收账款方面：

对销售产品的货款负责，及时进行清收，收到的客户货款，及时上缴公司财务部。合同销售产品的货款回收按照合同约定的付款期限及方式履行，及时跟踪，确保货款及时到位。

对未能在合同约定的时间内履行付款手续的，及时跟踪客户动态，采取必要措施，确保在最短时间内收回资金。

做好产品跟踪和售后服务工作，及时了解客户的要求和想法，巩固产品市场。一年以来，在公司领导的支持和鼓励下，在部门领导的带领和同志们的共同努力下，二甲基海因销售取得了较好的成绩：

今年二甲基海因完成销售4643.5吨，销售额：人民币3996.816万元，美元452.46636万元；与去年相比，增长率为45%。羟甲基海因完成销售55.05吨。

一年多来，我作为职场新人走过了人生的比较重要的一步，己深感责任重大，无所适从，但我遇到了很好的领导和同事，他们的帮助和包容是我成长的重要因素，也使我渐渐成熟，逐渐适应竞争激烈与多变的销售市场。

又是一年春来到，站在这岁末年初的门槛上，回首过去，展望未来，新的一年，新的开始，新的起点，新的目标，在新的一年里我将将充分利用业余时间，专研专业知识营销策略。开拓视野，丰富知识，总结经验，把理论变为实践，化压力为动力，沿着公司领导指导的方向不断前行。

10.量子力学小结 篇十

材料力学主要研究的是杆件，板料、壳体也有涉及但不是主要的。材料力学主要是从理论力学的静力学发展而来，应为刚体是不会变形的，所以在理论力学中是不可能解释变形体的问题的，但实际上物体没有不发生形变的，材料力学就是研究物体在发生形变以后的一些问题，比如说刚度，强度，稳定性等等。理论力学无法解答超静定问题，但是在材料力学中可以根据变形协调方程或者一些边界约束条件可以解答超静定问题，这是材料力学比理论力学更丰富的地方。而且材料力学在解释实际生活中的问题时时把问题工程化。另外动载荷和疲劳失效问题材料力学中也有涉及但不是重点。

结构力学核材料力学就差不多了，他研究的范围比材料力学更广一些，但是一些基本的工具和思想都是差不多的。

理论力学 研究物体的机械运动 材料力学 研究构件的失效规律 结构力学 研究结构体系的失效规律 简单的说就是这样，具体的就麻烦了。。学过这三门课，就会清楚了。