教案：直线与平面垂直

教案：直线与平面垂直（精选11篇）

1.教案：直线与平面垂直 篇一

第16课时直线与平面垂直的判定与性质

（一）教学目标：

使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。教学重点：

直线和平面垂直的判定。

教学难点：

判定定理的证明。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］直线和平面平行的判定方法有几种？

［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.2．讲授新课：

1.直线和平面垂直的定义

［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电

筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。

［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直

（若先回答射影，可引导其抽象为直线）

师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线

位置如何呢？依据是什么？

［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：

如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.可记作l⊥α

其中直线l叫平面α的垂线.平面α叫直线l的垂面.［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法

.（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）

画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 l⊥α点P是垂足

让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.经师诱导，生得到结论.［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？

2.直线和平面垂直的判定

例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a∥b，a⊥α

求证：b⊥α

分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则

需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面

线垂直于面内线完成证明.学生依图，及分析写出证明过程

证明：设m是α内的任意一条直线

［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］

给出判定定理，学生思考证明途径.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面.已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求证：l⊥α.分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线

即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.学生先思考，如何先确定线位置

.由于已知条件中有m∩n=B,所以可先从l、g都通过点B的情况证起，然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.证明过程学生可先表述，然后共同整理.证明：设g是平面α内任一直线.（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.1°g与m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g与m（或n）不重合，那么在α内任作一线CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g

（2）当l、g不都通过点B时

过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可证l′⊥g′，因而l⊥g

综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α

［l、g不都通过点B，可解释为：l、g之一过点B，l、g都不过点B］

［师］对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.3．课堂练习：

1.判断题

（1）l⊥αl与α相交（）

（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（）

解：（1）√若不相交，则应有l∥α，或lα.（2）×m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.（3）√由例题结论可推得.2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求证：n⊥α.证明：因

3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.4．课时小结：

1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：

过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：

（1）定义强调“任何一条直线”；

（2）例1的结论符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；

（3）判定定理必须是“两条相交直线”.5．课后作业：

预习：

（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？

（2）直线到平面距离如何转化为点到平面距离？

2.教案：直线与平面垂直 篇二

例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且

B1MMA=C1NNB，求证：MN∥平面A1B1C1D1.

分析 在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：

图1

(1) 由“面面平行线面平行”去证.

在面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于K点，连结KN，由平行线截割定理知B1MMA=B1KKB，而已知B1MMA=C1NNB，所以B1KKB=C1NNB，则KN∥B1C1，

因为MK∩KN=N，

所以平面MKN∥平面A1B1C1D1，

而MN平面MKN，

所以MN∥平面A1B1C1D1.

(2) 添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证.

图2

连结BM并延长，交A1B1于P点，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB，

所以B1MMA=PMMB，而B1MMA=C1NNB（已知），

所以PMMB=C1NNB，由平行截割定理得MN∥PC1，

而PC1平面A1B1C1D1，

所以

MN∥平面A1B1C1D1.

评析 较低一级的位置关系，决定着较高一级的位置关系，如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证明题中的主要思维指向.辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断.

图3

例2 如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA1B1B.

分析一 若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法.

证法一 如图4，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.连结EF，则EF平面AA1B1B.

图4

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为MEBC=B1MB1C，NFAD=BNBD，

所以MEBC=NFAD，所以ME=NF.

又ME∥BC∥AD∥NF，所以MEFN为平行四边形.

所以MN∥EF.从而MN∥平面AA1B1B.

证法二 如图5，连结并延长CN，交BA延长线于点P，连结B1P，则B1P平面AA1B1B.因为△NDC∽△NBP，所以DNNB=CNNP.

又CM=DN，B1C=BD，

所以CMMB1=DNNB=CNNP.

所以MN∥B1P.

因为B1P平面AA1B1B，所以MN∥平面AA1B1B.

图5

分析二 若过MN能作一个平面与平面AA1B1B平行，则由面面平行的性质定理，可得MN与平面AA1B1B.

证法三 如图6，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP.

图6

因为MP∥BB1，所以CMMB1=CPPB.

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为CMMB1=DNNB，所以CPPB=DNNB.

所以NP∥CD∥AB，所以面MNP∥面AA1B1B.又MN面MNP，所以MN∥面AA1B1B.

评析 证明直线l与平面α平行，通常有以下两个途径：①

通过线线平行来证明，即证明该直线l平行于平面α内的一条直线；

②通过面面平行来证明，即证明过该直线l的一个平面平行于平面α.

例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BC,BB1上的点，且BE=BF=BG，求证：BD1⊥平面EFG.

分析 根据条件，在正方体中易得EF∥AC，而AC⊥BD1，

故BD1⊥EF，同理BD1⊥EG.

图7

证明 如图7，

因为ABCD为正方形，BE=BF，所以EF∥AC.

又因为AC⊥BD，所以EF⊥BD.

因为BD为BD1在面AC上的射影，所以BD1⊥EF.

同理BD1⊥EG.又EF∩EG=E，

所以BD1⊥平面EFG.

评析 证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的.

图8

例4 如图8，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1) 求证：MN∥平面PAD；

(2) MN⊥CD；

(3) 若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

分析 (1) 要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可.

因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD.

(2) 要证MN⊥CD，可证MN⊥AB.由(1)知，只需证AE⊥AB.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.又AD⊥AB，PA∩AD=A,

所以AB⊥平面PAD.又AE平面PAD，所以AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，所以MN⊥CD.

(3) 由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可.

因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PA⊥AD.

又∠PDA=45°，E为PD的中点，

所以AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD.

评析 本题是涉及线面平行、线线垂直、线面垂直诸知识点的一道综合题.(1)的关键是选取PD的中点E，所做的辅助线使问题处理明朗化.线线垂直←线面垂直←面面垂直是证垂直的转化规律.

图9

例５ 如图9，在空间四面体SABC中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AN⊥SB，AM⊥SC，证明：SC⊥平面AMN.

分析 由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，须证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.

证明 由∠ABC=90°，知BC⊥AB.

又因为SA⊥平面ABC，而AB为SB在平面ABC中的射影，

由三垂线定理，BC⊥SB，所以BC⊥平面SAB.

因为AN平面SAB，所以BC⊥AN.

因为AN⊥SB，所以AN⊥平面SBC，所以SC⊥AN.

因为AM⊥SC，所以SC⊥平面AMN.

评析 本题在运用判定定理证明线面垂直（SC⊥平面AMN）时，将问题化为证明线线垂直（SC⊥AN）；而证明此线线垂直时，又转化为证明线面垂直（AN⊥平面SBC）.

巩 固 练 习

1. 正方体AC1中，E，F分别为CD，B1C1的中点，M、N分别为A1C1，AD1上的点，使A1M=AN.

(1) 求证：EF∥平面B1BDD1；

(2) 求证：MN∥平面C1CDD1.

图10

3.教案：直线与平面垂直 篇三

笔者上课的时间是2010年3月9日第三节，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的公开课。我校是乡下普通高中，上课的班级是高二普通班，学生基础知识十分薄弱。广西桂林市全州县石塘高级中学廖永球教学课题

2.1课题：《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

2.2教材：高中数学第二册（下A）人教版第九章《直线、平面、简单几何体》

中的第四节“直线与平面垂直的判定和性质”第一课时教材分析

3.1 内容分析

“直线和平面垂直的定义与判定”这一内容经修改后教学要求大大降低，将“三垂线定理及其逆定理”由“掌握”级降为“了解”级要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探究。

3.2 教学目标

(1)知识目标：理解和掌握直线与平面垂直的定义及判定定理。

(2)能力目标：在合作探究中发展学生几何直观能力和空间想象能力。

(3)德育目标：通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。

3.3 教学重点与难点

(1)教学重点：会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。

(2)教学难点：在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。4 教学方法与思路

本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：1．充分利用“观察”、“思考”、“探究”等，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组讨论，自主探究。2．多媒体演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。3．学生课前准备：自由分组；三角板、正方体模型。教学过程

师：空间中直线和平面有哪几种位置关系？

生1：平行、相交、直线在平面内。

师：直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行。请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线l，天安门广场抽象成平面，我们可以看到直线l与平面具有怎样的位置关系？

生：垂直的！

师：下面我们来学习：直线与平面垂直的定义与判定。

【探究活动一：尝试探究中生疑】

一．引出定义

师：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？ 生：垂直！

师：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？

学生通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！

师：由此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。

二．强化定义

师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？

生：用桌面和笔不断进行尝试与探索，对线面垂直的定义有了深层次的理解。生2：不能。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。

师：很好！该同学抓住了句中关键字：无数！回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任何”！由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？

【探究活动二：分组讨论中释疑】

让学生分组实验，大胆讨论猜想，借助桌面、笔、三角板等进行探究实验。生：只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。

师：是平面内的任意两条吗？

生3：必须是平面内两条相交直线！

教师用两三角板直观演示，得出结论：线不在多，相交就行！至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与直线l垂直时，就可以判断直线l与平面垂直了！

通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。展示线面垂直的几种常见直观图的画法。

【探究活动三：】

师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？

生4：比如我们所在的教室。右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！

教师引入教材中的探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。

【探究活动四：实验操作中新疑】

师：在正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？

生：通过模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平的棱垂直于左右侧面。师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？

生5：我们组发现正方体的面对角线BD与平面ACC1A1垂直。

师：你能否证明你的结论？

师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，证明它们与已知直线均垂直。这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。

生6：我们组觉得线B1D与平面A1BC1好象是垂直的！

师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。你们能结合线面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？

生7：好象学生5得出的结论对我们证明学生6的猜想有所帮助！

师：非常好！你认为平面ABCD内哪一条直线既与BD相交又与它垂直？ 生8：当把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生7已经证出的那对线线垂直完全一样！

师：说得好！

教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生，并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。当有学生在通过实验猜想体对角线与三条面对角线构成的对角面垂直时，教师引导其如何利用判定定理规范证明。在教学过程中教师必须时刻注意与学生的互动，追随学生的思维，不断调整。这也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求。由于采取“猜想——证明——表达与交流”的学习模式，教师充当着合作者与促进者，与学生更为贴近，课堂气氛活跃。

【归纳总结】

本节课学习了空间中直线与平面垂直的定义和判定定理。借助线线垂直来定义线面垂直；要证明线面垂直可以借助定义和判定定理转化为证明线线垂直。在证明与判定过程中需要灵活运用转化思想，大胆猜想，小心验证。

【课后作业】

作业：课本P33：2、3、4教学反思

4.教案：直线与平面垂直 篇四

直线与平面的垂直关系是研究空间线线、面面垂直关系的桥梁，它们之间可互相转化。线线垂直概念及判定是中学数学立体几何中的核心概念。“普通高中数学课程标准”要求“几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言”、“在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力”、“借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义”、“通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理”，由此看到，可以通过对数学学习对象进行多元表征，提高学生的几何直观能力，进而培养学生的逻辑推理能力及空间想象能力。本文根据数学多元表征学习教学设计理念以及优化数学多元表征的信息结构（教学内容）教学设计的原则，对直线与平面垂直的概念及判定的教学内容（或教学信息）进行打包优化设计，为教学实践提供参考。

一、优化数学多元表征学习的教学设计理念概说

1。优化数学多元表征学习教学设计的基本原则和基本任务

优化数学多元表征学习的教学设计的基本原则为“减负增效”：减少工作记忆承受的外在负荷和内在负荷，提高教学策略水平，增进学习者主动积极地参与深度意义的学习，生成足够的有效负荷，提高深层码和整合码的建构效果和效率。

数学多元表征学习的教学设计优化的基本任务：优化多元表征的信息结构和优化教学活动设计，提高或增强认知操作的教学策略水平。

2。优化数学多元表征信息结构（教学内容）教学设计的原则(1)学习材料的打包原则

降低学习材料内在负荷的打包原则：①部分任务原则：把学习材料分为若干的子材料，然后对各子材料进行打包。②整体任务原则：把握整体，注重抽取学习任务本身包含的重要元素，将其压缩成组块或信息单元并加以打包。

增加学习有效负荷的打包原则：①任务变异原则：设计教学任务时，变换任务本身（如表层内容或深层结构的变异）和呈现方式（如变式）。②嵌入支架原则：设计任务时，嵌入一些脚手架（如提供问题、暗示、提示、反馈、过程工作单等），增进学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷。(2)空间邻近原则

信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在空间上邻近或组合，而不要远离或分离。

(3)时间临近原则

信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在时间上同步或临近，而不要异步或间断呈现。(4)一致性原则

信息打包时，多元表征的信息结构与数学学习对象的结构成分必须保持一致，剔除与学习对象的结构成分不一致的、无关的信息，使多元表征结构保持精简。(5)双通道原则

信息打包时，“信息包”要包含有视觉表征和听觉表征。

二、“直线与平面垂直”概念教学内容的优化 1．教学信息的打包

(1)“直线与平面垂直”概念的现实原型：现实生活中，如桥的立柱与水面，公路上的电线杆与地平面等等，都是“直线与平面垂直”概念产生的现实原型，可以给出相应的图片表征如图l、图2。

(2)“直线与平面垂直”概念的文字语言表征：如果一条直线l与一个平面∏内的任一条直线垂直，那么直线Z与平面∏垂直，记作l⊥∏，直线l叫做平面∏的垂线，平面∏叫做直线l的垂面，它们的唯一的公共点叫做垂足。

(3)“直线与平面垂直”概念的数学符号表征：对学生来说来得有些突然，但却突出了其任意性）。

(4)“直线与平面垂直”概念的动态视觉图形表征：如图3。拖动点J或直线a，可以看到平面∏内直线a的变化，即直线a具有任意性。

(5)概念辨析1：如果一条直线Z垂直于一个平面∏。a是平面∏上的一条直线，那么直线l是否与直线a垂直？

(6)概念辨析2：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

(7)概念辨析3：如果一条直线与平面内的一条直线不垂直，那么这条直线与这个平面不垂直吗？

(8)概念辨析4：如果一条直线垂直平面内的无数条直线，则这条直线与该平面垂直吗？如图4。

2。教学信息块的意义

数学对象的产生可以来自于现实世界，也可以来自数学学科本身，直线与平面垂直的概念也一样。通过信息块(1)，学生可以根据自己的生活经验直观地感知到直线与平面的垂直关系，进而概括抽象得出信息块(2)的几个概念的文字语言表征的数学定义，模块(3)和(4)，是根据优化多元表征的信息结构教学设计及时间邻近的原则、空间临近的原则，对直线与平面垂直概念作进一步的数学语言符号表征和动态的几何图形表征，同时，要注意贯彻双通道的原则和一致性的原则，这样，将减少学生认知的外在及内在负荷，增加认知的有效负荷，特别是两模块中强调平面内的直线a的任意性，可以使学生更好地掌握几何符号语言以及增强空间想象能力，对于模块(5)~(8)，尽管我们可以认为是很简单的命题，但是对于刚刚学习“直线与平面垂直”概念的学生来说，却是很容易混淆和不明确的，因而有必要在课堂上作强调加以明晰。(5)与(6)是线面垂直向线线垂直转化，(7)与(8)可以说是对线面垂直的否定以及如何判定的思考，不仅仅增强学生的思维活动，也起到思维导向和为线面垂直判定定理的学习作铺垫的作用。

三、“直线与平面垂直判定定理”教学内容的优化 1．教学信息的打包(1)实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？

(2)必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的二点不共线后放在桌面。(3)用几何图形表示探究的各种情形。

(4)“直线与平面垂直判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

(5)“直线与平面垂直判定定理”的数学语言

(6)“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征：如图9所示。

(7)命题辨析1：判定定理中，平面∏内的直线只需两条，但必需是相交的，交点也不一定是l与∏的交点（垂足）。(8)命题辨析2：这个定理是需要证明的，在后续的学习中会给出证明。2．教学信息块的意义

信息模块(1)是学生在教师的组织下进行的实验探索，根据学习材料信息的打包的原则：为了增加学习有效负荷——嵌入支架设计策略，在学生操作过程中，教师可以适时地提出一些问题、暗示或提示等，如模块(2)，可以促进或增强学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷，通过直观感知、操作，概括得到模块(3)中的各种几何图形（图5～图8），教师贯彻优化多元表征的信息结构教学设计的时间临近、空间邻近以及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳，进而通过抽象概括确认得到判定定理及其图形表征，如图9。模块(4)～(6)则是判定定理的多元表征，结合教师的讲解，将使学生对命题的特征结构有更深刻的理解，从而，“直线与平面垂直的判定定理”数学模型已然建立。模块(7)与(8)是作为对模型的确认和进一步的强化。

参考文献：

5.教案：直线与平面垂直 篇五

教学目标

1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理； 2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题； 3．通过解综合题提高学生解综合题的能力． 教学重点和难点

教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”．

教学设计过程

师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．

例

1如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证： △ABC是锐角三角形．

师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．

所以

∠BAC是锐角．

同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角． 师：我们能不能直接用三垂线定理来证？

生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．

师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？

生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．

师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．

例

2如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．

师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．

生：因为 PA⊥BP，PA⊥CP，所以 PA⊥平面PBC． 故 PA⊥BC．

对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线． 因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC． 同理可证BH⊥AC，CH⊥AB． 故H是△ABC的垂心．

师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．

例

3如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．

师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？ 生：用反证法．

师：为什么想到用反证法？ 生：因为直接证不好证．

师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．

生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．

对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影． 因为 BO⊥PC，所以 AB⊥PC． 又因为 PA⊥平面ABC，PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．

师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4．

例

4如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：

（1）PO与平面α所成的角的正弦；（2）PO的长．

师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．

生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos

师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．

（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；

（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．

师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．

生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．

师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？

生：作MP⊥A1B1于P，又因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以A1D1⊥PM，故PM⊥平面A1B1C1D1． 师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影．我们要证MN⊥B1D1，只要证PN⊥B1D1即可．在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1⊥B1D1，所以现在只要证PN∥A1Q1即可．我们如何利用已知条件来证PN∥A1O1．

＝O1N∶NB1，所以PN∥A1O1，所以PN⊥B1D1，故MN⊥B1D1．同理可证MN⊥A1B，所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线．

师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？

师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索．

今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题．

作业 补充题

1．已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO⊥平

2．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，PC⊥△ABC所在平面，D为AB上一点，PA，PD，PB与平面ABC分别成60°，45°，30°的角，求证：D是AB的中点．

3．将正方形ABCD沿对角线BD折起来，使A点在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中点为E，求证：AE⊥CD．

〔提示：对于平面BCD来说，AO是垂线，OE是斜线AE在平面上的射影〕

AB＝13，AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较∠BAC与∠BA1C的大小．〔提示：用余弦定理可得∠BAC＝∠BA1C〕

5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作PQ⊥平面α，问：点P在什么位置时，∠QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明．

6.两条直线平行与垂直的判定学案 篇六

3.1.2两条直线平行与垂直的判定课时：

2学习目标：

1.探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行。

2.探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直。

3.自主学习，合作探究。培养和提高联系、对应、转化等辩证思维能力。

重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直。

难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论。

学习过程

一、预习：1.阅读教材P86----89.2.两直线平行的判定

（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，则_________；

反之，若k1=k2，则__________。

（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是__________，从而它们互相

__________。

3.两直线垂直的判定

（1）若两直线l1、l2都有斜率，分别为k1、k2，且它们互相垂直，则它们的斜率之积等于

_________；反之若它们的斜率之积等于—1，则它们___________，即___________。

（2）若两条直线中一条斜率不存在，另一条的斜率为___________，则它们互相垂直。

4.思维拓展

（1）若两条直线平行，斜率一定相等吗？

（2）若两条直线垂直，它们斜率之积一定为—1吗？

5.知识应用

（一）判断两条直线的平行关系

例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.跟踪练习1：已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）求点D坐标

（二）判断两条直线的垂直关系

例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.二.课堂小结：

三..基础自测

(1)判断下列直线的位置关系，并说明理由。

① l1: y=3x+2,l2: y=3x+5② l1: x=5,l2: x=8

③ l1: 5x+3y=6,l2: 3x—5y=5④l1: y=5,l2: x=8

(2)已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是（）

A、—8B、0C、2D、10

（3）判断下列各对直线平行还是垂直：

①经过两点（2,3），（-1,0）的直线l1，与经过点（1,0）且斜率为1的直线l2；

②经过两点（3,1），（-2,0）的直线l3，与经过点（1,-4）且斜率为-5的直线l4；

（4）求m的值，使过点A(m，1)，B(—1，m)的直线与过点P(1，2)、Q(—5，0)的直线

①平行② 垂直

7.教案：直线与平面垂直 篇七

一、教材分析：

直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

二、学情分析：

1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。

2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。

三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：

①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。

③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：

（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。

五、教学设计思路：

1、复习导入：

（1）线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：

（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：

感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。（2）探索新知：

已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β

(让学生思考怎样证明)

分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE

又∵AB⊥a, BE∩a = B，∴AB⊥β

（3）面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β=a, AB α, AB⊥a于 B，则 AB⊥β

注：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面

我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。

3、学用结合：

（1）例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.（教材第76页“思考”）

(2)例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, a α，试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α）（教材第76页例题5）（分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，∵ α⊥β ∴b⊥β

∵ a⊥β ∴ a ∥b , 又∵a α ∴ a ∥α

六、课堂练习：

教材第77页“练习”。

七、归纳总结：

（1）面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.八、布置作业： 教材第77页习题2、3。

九、板书设计：

2.3.4平面与平面垂直的性质

1、面面垂直判定定理：、3、例1

5、作业

4、例2

2、面面垂直性质定理：

8.教案：直线与平面垂直 篇八

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件： ；

2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

9.教案：直线与平面垂直 篇九

（二）教学目标：

通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。

教学重点：

两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。

教学难点：

找求问题解决的突破口，转化思想渗透。

教学过程：

1．复习回顾：

1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2．讲授新课：

［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类，例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与 面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：

解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，两线相交于E，连BE ∵BC∥AD 则BC∥面PAD

∴面PBC∩面PAD＝PE ∴BC∥PE

因PD⊥面ABCD，BC⊥CD 那么BC⊥PC，BC⊥面PDC 即有PE⊥面PDC PE⊥PD，PE⊥PC

∠CPD就是所求二面角的平面角 因PD＝AD，而AD＝DC

⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，∴只需找到另一个公共点，即可.因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1 则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O 取BB1的中点E，连EO

因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有 BG⊥面AC1，OE∥BG ∴OE⊥面AC1

因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点

1那么EB1∥

CC1

＝2∴CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点

连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱 因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120° ∴∠FA1B1＝30°

那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F 那么CA1⊥A1F（三垂线定理）

∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.∠CA1C1＝45°，因AA1∥ BB1∥ CC1

＝＝而面ABC∥面A1B1C1

∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3．课时小结：

10.教案：直线与平面垂直 篇十

面平行的判定》

一、教学内容分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析 任教的学生在年段属中下程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标 1.知识与技能(1)掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。(2)培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。2.过程与方法 学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。3.情感态度与价值观(1)让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。(2)培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真的习惯和实事求是的精神。

五、教学重点与难点(1)重点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及应用。(2)难点：判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计(一)知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表：(多媒体幻灯片演示)位置关系 公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。(二)判定定理的探求过程 1.直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗? 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。2.动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。3.探究思考(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行(2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗? 4.归纳确认：(多媒体幻灯片演示)直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：(内外)线线平行线面平行 符号表示： 作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。思想：空间问题转化为平面问题(三)定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)1.想一想：(1)判断下列命题的真假?说明理由： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行()②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行()③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行()(2)若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是()A、a∥ B、a C、a∥或a D、学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行演示。2.作一作： 设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由? 先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。

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11.教案：直线与平面垂直 篇十一

1.教学目标

1、知识与技能

（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

2.教学重点/难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

3.教学用具

投影仪等.4.标签

数学，立体几何

教学过程

（一）创设情景、导入课题

教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 表示

α来

例4（投影）师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：

（1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。教材P51 探究

让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解 教材P51 练习

学生独立完成后教师检查、指导

（三）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（四）作业

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P51习题2.1 A组第3题、第5题，B组第1题

课堂小结

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

课后习题 作业

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P51习题2.1 A组第3题、第5题，B组第1题