集合与函数概念例题

集合与函数概念例题（精选12篇）

1.集合与函数概念例题 篇一

河北省衡水中学高一数学必修一强化作业：第一章 集合与函数概念

综合训练（1）

一、选择题

*1.已知全集UN,集合A=x|x2n,nN*，B=x|x4n,nN*，则（）

AUABBU(CUA)B

CUA(CUB)DU(CUA)(CUB)

2.设f(x)是定义在R上的函数，则下列叙述正确的是（）

Af(x)f(x)是奇函数

Bf(x)/f(x)是奇函数

Cf(x)f(x)是偶函数

Df(x)f(x)是偶函数

3.已知y(f)x,，x那a么b集合 (x,y)|yf(x),xa,b(x,y)|x2中所含元素的个数是（）

A0B 1C 0或1D 1或2

4.函数yx4x6,x1,5的值域为（）2

A 2, B,2C2,11D2,11

5.已知函数f(x)满足f(ab)f(a)

（）

A 2(pq)Bp(pq)Cpq Dpq

6.已知f(x)=

22f(且b)f(2)p,f(3)q,则f(36)等于22x3,x9，则f(5)的值为（）f[f(x4)],x91

A4B6C8D11

二、填空题

7.设函数yf(x)是偶函数，它在0,1上的图像如图所示，则它在1,0上的解析式是

8若函数f(x)=

9.设集合A,B都是U=1,2,3,4的子集，已知(CUA)(CUB)=2，(CUA)B=1，则A=

10.Ay|yx1,xR,B(x,y)|yx1,xR则A

三、解答题

11.已知UR，且Ax|4x4，Bx|x1,或x3，求（1）AB(2)

x1(x2007)，则ff2006的值为 2007(x2007)









CU(AB)

x2

12.已知函数f(x)=，求： 2

1x

⑴f(x)+f()的值；

⑵f(1)f(2)f(3)f(4)+f()+f()+f()的值。

1x

121314

13.设yxmxn(m,nR)，当y0时，对应x值的集合为{2,1}，(1)求m,n的值；

(2)当x为何值时，y取最小值，并求此最小值。

14.已知集合AxR|xax10，B1,2，且AB,求实数a的取值范围。



15.（实验）定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有

f(xy)f(xy)2f(x)f(y)且f(0)0。

（1）求证f(0)1；（2）求证：yf(x)是偶函数

综合训练（1）答案

1.C 2.D 3.C 4.D

5.解：f(ab)f(a)f(b)且f(2)p,f(3)q,f23f6pq,f66362p+q, 答案为A。6.解：

f5ff9f6ff10f7ff11f8=ff12f96答案为B解：fx是偶函数，fx过1,1,0,2两点，设f

xkxb，f(x)=x+2。

8.解：ff

2006f20072008。答案为2008

9.3,410. 三：解答题：

11.AB=

x|4x1,或3x4

;

因为AB =12.解（1）

x|xR=R,所以CU(AB)=。

x2

2

11x2x11f(x)f112x=1x21x2x

1f(x)f

x的值是1.所以

（2）由（1）知，f(2)f=1，f(3)f=1，f

1

213

4f

11()=1，又因为f1,42

所以f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)+ f()ff

1371的值是。

24

3131

13.（1）（2）yx3x2x，当x,y的最小是。m3,n2

2424

14.解：AB，A,或A ,当A,a40,a24,2a2，当A时，A1,11a,111，a1,综上2a2.15（1）令xy0f

0f02f0,f00,f01。

(2)令x0,yx，fxfx2f0fx2fx

fxfx，fx

是偶函数。

2.集合与函数概念例题 篇二

【关键词】集合概念 非集合概念 集合体 群体

现行逻辑教材在讲概念的种类时，多数是根据不同的标准，把概念分为不同的种类。大致有三种划分：第一，根据概念外延所指称对象的大小，即概念所指称对象数量的不同，把概念分为单独概念和普遍概念；第二，根据概念所指称的对象是否为集合体，把概念分为集合概念和非集合概念；第三，根据概念所指称的对象是否具有某种属性，把概念分为正概念和负概念。

其中，集合概念和非集合概念的区分与使用一直是教学中的重点和难点部分，本文章针对集合概念与非集合概念的定义与不同进行了梳理，有助于同学们对二者进行正确识别及准确使用，避免把集合概念与非集合概念混为一谈，制造诡辩。

一、集合概念与非集合概念的定义

根据概念所指称的对象是否为集合体，把概念分为集合概念和非集合概念。集合概念是以集合体为指称对象，这个集合概念反映的特有属性是由若干同类个体组成的群体的属性。

群体（集合体）是由若干同类个体有机组成的，表达的是集合体与个体的联系。例如：森林、丛书、人类、民族、工人阶级、中国人民解放军等概念，都是由若干同类个体有机组成在一起的群体，强调的是整体性，表达的是集合体与个体的联系，是集合概念。

非集合概念是指称任何个体的概念，不以集合体为指称对象。这类概念反映的特有属性是某类或某个个体的属性，因此它所指称的对象是个体，表达的是类和分子的联系。 例如： 树、书、人、汉族人、工人、中国人民解放军战士等概念可以指称任何一个个体，并且它们作为概念所具有的属性，其个体也具有，因此都是非集合概念。

一个群体所具有的属性不一定为组成它的每一个个体所具有。例如：我们说“工人阶级有力量”并不是说每一个工人都有力量；我们说“森林很大”也不意味着森林中的所有树都是大树，因此，有必要对集合概念和非集合概念加以区分。否则，会犯混淆概念的错误，也容易制造诡辩。

二、集合概念与非集合概念的区分

有些时候，一个概念是否是集合概念，是由它所出现的语境决定的。因为，有的语词在一般情况下指称的是某类个体，是在非集合意义上使用的，这时它是非集合概念；但是在特定的语境中又可以指称某一群体，是在集合意义上使用，这时它是集合概念。

因此，我们判定一个概念是否是集合概念，就是看它是否指称一个集合体。例如：在下列两个语句中：

A、“鲁迅的著作不是一天能读完的”

B、“《祝福》是鲁迅的著作”

概念“鲁迅的著作”哪个是集合概念？

“鲁迅的著作不是一天能读完的”中的“鲁迅的著作”是集合概念；《祝福》是鲁迅的著作”中的“鲁迅的著作”是非集合概念。

又如：

①青年人应该尊敬老人。

②青年人是祖国的希望。

例①中的“青年人”表达的是非集合概念，因为它指称的是每一个青年人个体。

例②中的“青年人”表达的是集合概念，因为它指称的是所有青年人组成的群体，意义相当于“青年一代”。

也可以使用这样的方法：由①加上“小张是青年人”能推出“小张应该尊敬老人”，而由②加上“小张是青年人”不能推出“小张是祖国的希望”，原因是“小张是青年人”中的“青年人”是一个非集合概念，它与例①中的“青年人”等义，而与例②中的“青年人”不等义。

那么，如何具体区分集合概念与非集合概念呢？

一般地讲，对于一个概念，只要好好想一想：它作为集合体所具有的本质属性是否为它的个体所具有，即可确定它是一个集合概念，还是一个非集合概念。如果一个概念作为集合体所具有的本质属性为它的个体所具有，那么它就是一个非集合概念；如果一个概念作为集合体所具有的本质属性不为它的个体所具有，那么它就是一个集合概念。

在客观事物中，存在着两种不同的联系：一是集合体和个体的联系，一是类和分子的联系。集合体是由若干同类个体有机组成的统一整体，是集合体和个体的联系，集合体最主要的特征是具有整体性，集合体所具有的本质属性，构成它的任一个体不必然具有；非集合概念是类和分子的联系，非集合概念的个体必须具有类的属性。 例如：

“中国人是勤劳勇敢的。”

“中国人要遵纪守法。”

“张三是中国人。”

这三句话中的“中国人”在意义上有区别吗？

作为集合体的“中国人”所具有的“勤劳勇敢”的本质属性，不一定为它的分子个体所

具有，例如“张三”就不一定具有如此的品质； 而“要遵纪守法”是对每一个中国公民的要求，遵纪守法的只能是一个具体的人，“张三”作为一个具体的人就应该具有如此的品质。因此，“中国人是勤劳勇敢的”中的“中国人”是集合概念，“中国人要遵纪守法”和“张三是中国人”中的“中国人”是非集合概念。

【参考文献】

[1]何向东. 逻辑学教程[M]北京：高等教育出版社，2010.8

[2]吴龙. 对集合概念与非集合概念的再认识[J].贵州教育学院学报，2001（01）

[3]原所修. 集合概念与非集合概念的区分及依据[J].辽宁师范大学学报（社会科学版），1998（05）

3.集合与函数概念例题 篇三

（1）有理数加法法则：

(+3)+(+2)=+

5(-3)+(-2)=-5

即：①、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.(-3)+(+2)=-(+3)+(-2)=+1

(+3)+(-3)=0 ②、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0.③、一个数同0相加,仍得这个数.（2）有理数减法法则：

4.第二讲 函数的极限典型例题 篇四

函数的极限

一

内容提要

1.函数在一点处的定义

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.右极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.左极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0x0x，有f(x)A.注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．

注2 的存在性（以xx0为例）：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，只要对给定的0，能找到某一个，能使0xx0时，有f(x)A即可．

注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于A．

注4 limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xx0xx0xx0n注５ limf(x)A{xn}{xn}|xnx0,且xnx0，有limf(xn)A，称为

nxx0归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）注6 limf(x)A00,xx00，x:0xx0，有f(x)A0． 函数在无穷处的极限 设f(x)在[a,)上有定义，则

limf(x)A0,xXa,Xa,Xa,使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． xlimf(x)A0,limf(x)A0,x注１ limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xxx 1

n注２ limf(x)A{xn}{xn}|xn，有limf(xn)A．

nx３ 函数的有界

设f(x)在[a,)上有定义，若存在一常数M0，使得x[a,)，有f(x)M，则称f(x)在[a,)上有界． ４ 无穷大量

xx0limf(x)G0,0,X0,使得x:0xx0，有f(x)G． 使得x:xX，有f(x)G． limf(x)G0,x类似地，可定义limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)等．

xx0xx0xx0xx0注 若limf(x)，且0和C0，使得x:0xx0，有f(x)C0，xx0则limf(x)g(x)．

xx0

特别的，若limf(x)，limg(x)A0，则limf(x)g(x)．

xx0xx0xx0５ 无穷小量

若limf(x)0，则称f(x)当xx0时为无穷量．

xx0注1 可将xx0改为其它逼近过程．

注2 limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0．由于有这种可以互逆的表xx0xx0达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 limf(x)0，g(x)在x0的某空心邻域内有界，则limf(x)g(x)0．

xx0xx0注4 limf(x)0，且当x足够大时，g(x)有界，则limf(x)g(x)0．

xxx0注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质

以下以xx0为例，其他极限过程类似．（1）limf(x)A，则极限A唯一．

xx0（2）limf(x)A，则,M0，使得x:0xx0，有f(x)M．

xx0（3）limf(x)A，limg(x)B，且AB，则0，使得x:0xx0，xx0xx0有

f(x)g(x)注

这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．（4）limf(x)A，limg(x)B，且0当0xx0时，f(x)g(x)则xx0xx0AB．

（5）limf(x)A，limg(x)B，则

xx0xx0xx0limf(x)g(x)AB

limf(x)g(x)AB

limxx0f(x)g(x)xx0AB（B0）

要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若0,使得x:0xx0，有f(x)g(x)h(x)，且

xx0xx0xx0limf(x)limh(x)A，则limg(x)A． Cauchy收敛准则

函数f(x)在x0的空心邻域内极限存在0,0,使得x,x，当0xx0，0xx0时，有f(x)f(x)． 无穷小量的比较

设lim(x)0，lim(x)0，且limxx0xx0(x)(x)xx0k，则

（1）当k0时，称(x)为(x)的高阶无穷小量，记作(x)o(x)；（2）当k时，称(x)为(x)的低阶无穷小量；（3）当k0且k时，称(x)为(x)的同阶无穷小量．

特别的，当k1时，称(x)和(x)为等价的无穷小量，记作(x)～(x)．

注1 上述定义中，自变量的变化过程xx0也可用x，x，x，xx0，xx0之一代替． 注2 当x0时，常见的等价无穷小有：

sinx～x，tanx～x，1cosx～

x22，e1～x，ln(1x)～x，(1x)xm1～mx

注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：

若(x)～(x)（P），则

limPf(x)(x)limPf(x)(x)f(x)limP(x)(x)(x)或

limg(x)(x)limg(x)(x)PP(x)(x)． limg(x)(x)

（P为某逼近过程）

P而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．

注4 在某一极限过程中，若(x)为无穷小量，则在此极限过程，有

(x)o(x)～(x)． 10 两个重要极限（1）limsinxx1x01；

（2）lim(1x)xe．

x0

二、典型例题

例 用定义证明下列极限：（1）limx(x1)x12x112；

12（2）limxx1x2x．

例 limf(x)A，证明：

xx0（1）若A0，则有lim31f(x)2xx01A2；

（2）lim3xx0f(x)A．

例 设f(x)是[a,b]上的严格严格单调函数，又若对xn(a,b]（n1,2,），有limf(xn)f(a)，试证明：limxna．

nn

例 函数f(x)在点x0的某邻域I内有定义，且对xnI（xnx0,xnx0），且 0xn1x0xnx0（nN），有limf(xn)A，证明：limf(x)A．

nxx0

例

设函数f(x)，x(0,1)，满足f(x)0（x0），且

f(x)f()o(x)（x0）

2x则

f(x)o(x)（x0）

问：在题设条件下，是否有f(0)0？答：否．如f(x)01x0x0．

例

设函数f(x)在(0,)上满足议程f(2x)f(x)，且limf(x)A，则

n

f(x)A（x(0,)）．

例

求下列函数极限（1）limn0xb（a0,b0）；

axxb（2）lim（a0,b0）；

n0ax12exsinx（3）lim． 4n0x1ex 8

例

求下列极限（1）lim1tanxx1tanxn0e1；

（2）lim1cosxx)x；

n0x(1cosln(sin22（3）limxe)x2xn0ln(xe)2x．

例

求下列极限：（1）limn0etanxexsinxxcosx；

（2）lim1cosxcos2x3cos3xx2．

n0 10

例

求下列极限：（1）limx1xlnxx；

n1（2）lim(ax)ax2xx．

n0

例

求下列极限：

1（1）lim(cosx)n0ln(1x)2；

11（2）lim(sinn1xcos1x)；

nx1xa（3）设ai0（i1,2,,n），求limn0ax2ax． nxn

例

（1）已知lim(1xaxb)0，求常数a,b；

5.《指数函数概念与图象》教学设计 篇五

郑美华

〈设计思想〉新课程改革的根本目的是更加全面，更加深刻地实施素质教育，强调学生形成积极主动的学习态度，所以我在教学设计过程中倡导学生主动参与，乐于探究，培养学生学会用科学的方法获得知识，逐步形成发现问题与分析问题的能力。下面从几个方面谈我的教学设计。

﹙一﹚教材分析

1、地位和作用

本节课是在《集合与函数概念》一章中继函数性质后的第一个具体函数，通过本节课学习过程可以使学生体会研究具体函数的过程和方法，为进一步研究其它函数奠定基础。而图象变换也是本章的难点，分散难点也是本节课的设计意图。

2、教学目标

①使学生理解指数函数的概念和意义，能画出指数函数的图像 ②探索指数函数衍生函数图象

③培养学生独立分析和解决问题的能力

3、教学重点

指数函数概念和图象

4、教学难点

探索指数函数有关的图象变换 ﹙二﹚分析学生情况与教材处理

我校是一所省级师范性高中，学生普遍基础扎实，思维活跃开阔，求知欲强。但是部分学生过分依赖老师，独立分析问题解决问题能力较差，因此通过教师的引领提高这方面能力就显得尤为重要。

﹙三﹚教学方法

①以设疑，探究，解疑为主体 ②多次应用启发式教学

③设置知识台阶，将问题一分为二，化难为易 ﹙四﹚教学程序

1、指数函数概念

形如yaxa0,a1的函数叫指数函数

xx1〈思考〉①y2 ②y3 ③y5.4 是否是指数函数？

x﹙学生讨论，得出正确答案﹚

2、指数函数图象

①四组同学分别画y2,y3,y4,y5图象

②请同学讨论这四个函数的共同特点：定义域为R；值域为0,；过0,1；在R上单调递增。

◆电脑演示时指数函数图象a1

xxxx11◆四组同学分别画y,y图象

23◆请同学讨论这两个函数共同特点：定义域为R；值域为0,；过0,1；在R上单调递减。

◆电脑演示0a1时指数函数图象 ◆请同学总结两类图象

﹙三﹚研究指数函数图象与底数关系

xx11◆请同学在同一坐标系中画函数y2x,y3x,y,y的图象

23◆讨论图象与底数关系：a1时，a越大图象在Y轴右侧越接近Y轴，Y轴左侧部分越接近X轴。0a1时，a越小图象在Y轴左侧越接近Y轴，在Y轴右侧部分越接近X轴。

﹙四﹚巩固练习

1、① y2x1 ② y3x1 ③ y2x ④ y2|x|

2、画函数y|3x1|简图，并利用图象回答： ① 何时方程|3x1|k无解？ ② 何时方程|3x1|k有一解？

﹙五﹚请同学总结本堂课内容

6.集合与函数概念例题 篇六

关键词：变量与函数；概念教学；案例分析；教学反思

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-247-02

2015年7月22日-8月5日，由兵团教委，教研室组织的中学数学继续教育培训在石河子大学成功举行。本次活动是全疆数学教师的再教育，再深造。其中由兵团教研室杨卫平主任组织的“变量与函数”说课活动引起了大家的关注。作为普通教师的一员，笔者有幸参加了观摩活动，深受启发。下面从以下几个案例提出自己的反思：

案例一：例1、日气温变化图：图18.1.1是某日的气温变化图，根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应.

例2、高尔夫球的轨迹

我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度.此时高度h随着水平距离l的变化而变化。

例3、水中的波纹

把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹。

面积S随着半径r的变化而变化.每一个半径r都有唯一的面积S与之对应.

反思：考虑实例要尽量贴近学生的生活，此案例对课本上提供的例子作了修改，选择了"一日内的温度变化"、"高尔夫球的运动"、"水中的波纹"这样三个例子.如果后两个例子学生在生活中根本没有经验，学生理解起来会有困难。

案例二：例1、《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？”

例2、我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

反思：此案例的设计意图是想从学生的生活入手，但现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题.当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。否则，教师不易控制课堂节奏，会在这一环节浪费大量时间，这样的引入是否有必要？

案例三：问题一：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.

1、请同学们根据题意填写下表：

t/时12345t

s/千米

2、在以上这个过程中，变化的量是______。不变化的量是__________。

3、试用含t的式子表示s=__________，t的取值范围是 _________。

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.

问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？

1、请同学们根据题意填写下表：

售出票数（张）早场150午场206晚场310x

收入y （元）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是__________.

这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.

问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含m的式子表示l？

1、请同学们根据题意填写下表：

所挂重物（kg）12345m

受力后的弹簧长度l（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含m的式子表示l. l=___________m的取值范围是_____。

这个问题反映了_________随_________的变化过程.

问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢？怎样用含有圆面积s的式子表示圆半径r？ 关系式：________

1、请同学们根据题意填写下表：

面积s（cm2）102030s

半径r（cm）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是__________

这个问题反映了___随___的变化过程.

问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为sm2，怎样用含有x的式子表示s呢？

1、请同学们根据题意填写下表：

长x（m）1234x

面积s（m2）

2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.

3、试用含x的式子表示s=_______________，x的取值范围是 __________。

这个问题反映了矩形的__随__的变化过程.反思：此案例引用了课本的五个实例。第三个例子，由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象.过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎.

综合以上案例分析：

7.集合与函数概念例题 篇七

例1在-720°～720°之间，写出与60°的角终边相同的角的集合S． 解与60°终边相同的角的集合为｛α|α=k·360°+60°，k∈Z｝．

令-720°＜k·360°+60°＜720°，得k=-2，-1，0，1

相应的α为-660°，-300°，60°，420°，从而S=｛-660°，-300°，60°，420°｝．

例2把1230°，-3290°写成k·360°+α(其中0°≤α＜360°，k∈Z)的形式．

分析用所给角除以360°，将余数作α．

解∵1230÷360=3余150，∴1230°=3×360°+150°．

∵-3290÷360=-10余310，∴-3290°=-10×360°+310°．

注意：负角除以360°，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值．

例3写出终边在y轴上的角的集合．

解终边在y轴的正半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝．终边在y轴的负半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．故终边在y轴上角的集合为

｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．

=｛α|α=2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=(2k+1)·180°+90°，k∈Z｝ =｛α|α=n·180°+90°，n∈Z｝．

8.函数概念教学反思 篇八

山东省济钢高级中学 翟争艳

函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，贯穿整个高中数学学习，乃到一生的数学学习过程。然而函数这部分知识在教学中又是一大难点。这主要是因为概念的抽象性，学生理解起来不容易，接受起来就更难。函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。有些学生高中毕业了，对函数这个概念也没有理解透彻。突破了它后面的学习就容易了。所以在函数概念的教学上要下足功夫，争取不让学生吃夹生饭。我注意对知识进行重组，努力去揭示函数概念的本质，使学生真正理解它，觉得它有用，而乐于学习它。本班学生思维活跃，课堂上能从多个不同的角度积极提出问题，并解决问题，全员参与，热情高涨。应当说在学生的共同努力下，本节课比较好地完成了预定的教学目标。给我留下较深印象的有以下几处：

一、设置问题情境，激发学生的学习兴趣。

首先复习初中函数的定义，强调变量之间的依赖关系，接着提出问题，在这个定义下，y=5是函数吗，大部分学生认为它不是函数，有的说：它只是一个式子，而没有自变量，有的说：5没有发生变化，用已有概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突。学生学习热情高涨，学习积极性和主动性得到了充分调动，急于解决问题。

二．探究课本三个实例，概念形成。

提出问题2：你从例题中了解到哪些信息？自变量，因变量的取值范围是什么？自变量与因变量有何关系？问题情景的设置应形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索。学生独立思考2-3分钟，然后分组讨论，交流。讨论、整理出本组同学所想到的各种想法。实际问题引出概念，激发学生学习兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。通过小组讨论、自主回答，不同层次的学生选取适合自己的问题，同分享团队协作的喜悦成果，调动了学生的积极性。体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学

生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.在这一环节中，我主要是要通过表格、解析式刻画变量之间的对应关系，关注自变量和因变量的范围，逐步使学生体会两个集合之间的对应关系，了解函数概念的本质，同时也为下节课函数的表示法做好铺垫。在整个交流中，我既有对正确认识的赞赏，又有对错误见解的分析。师生互动，抓住函数概念这一重点，举出实例来突破理解对应法则f这一难点。函数是一个系统，而不只是一个单纯的式子。它由定义域、值域、对应法则三要素组成。我形象地将这一系统比喻成计算机，输入的数集为定义域，输出的数集为值域。让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好。

三、师生合作，总结归纳函数定义。

最后归纳出函数定义，并在全班交流。学生自己探究数学结论,使学生尝试用集合与对应的语言进行描述，通过学生的观察、尝试、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵，从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。通过教师的再提炼又得到观点，再揭示近代函数定义的本质：在讲解概念时，在多媒体上有意识的用不同颜色的字体，突出强调重点，调动学生的非智力因素理解概念。在这个近代函数定义下，完成提出的问题，y=5是函数，大家有种恍然大悟的感觉，解决课前提出的问题，觉得学有所用。

四．对练习题的设计由浅入深，层层递进，突出本节课的重点，突破难点。知识应用的目标落实的比较好。

总体来说，这堂课较好地使学生在学习中完成了“引起关注----激发热情----参与体验”的过程。倡导课前预习，先学后教，以学定教，学生能课前自主解决的内容课堂不讲，增加课堂容量，追求课堂教学效益的最大化；引导学生学会阅读教材、理解教材，体会数学概念的形成过程，由具体实例到抽象知识再用抽象知识解决具体问题的认知过程，注重培养学生的自学能力和良好的学习习惯.但也存在一些不足：

1.语言方面还不够精炼，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。其实知识点够不够精简好记，重点难点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了，这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己想透了没，找到合适的讲授或类比方法没。突破完全在一瞬间一个简单的道理，所以在课下要下功夫，找到突破难点的好方法。

2.由于学生提前预习，先学后教，课堂教学中知识缺乏系统性、完整性；课堂容量大，时间有些紧，课堂留白不足.3.在学生回答问题时，应该关注学生所表现出来的态度，用恰当的语言给与肯定和鼓励，使不同层次的学生获得不同的成功体验，从而增强信心，激发学生学习的兴趣。

9.函数概念教案 篇九

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1 函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花”。 生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学”。

二、学生学习情况分析

函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数;(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

1.有利条件

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

2.不利条件

用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

三、教学目标分析

课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

1.知识与能力目标：

⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;

⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;

⑶会求简单函数的定义域和值域

2.过程与方法目标：

⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;

⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

3.情感、态度与价值观目标：

感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

四、教学重点、难点分析

1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数;

重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。 但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y?1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y?1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

2.教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念;第二：符号“y=f(x)”的含义的理解.

难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

五、教法与学法分析

1.教法分析

本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的近代定我。

2.学法分析

10.函数概念教学论文 篇十

教师在组织高中学生学习函数内容时，一要帮助学生梳理函数概念，二要进行目标解析，三要帮学生诊断学习中遇到的问题。

[关键词]

初中阶段，学生已经学习过函数概念，但到了高中，函数概念发生了变化。

此时，数学教师要帮学生理清概念，解析问题。

一、对“函数”概念的理解

在初中，学生已经学习过函数概念，建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数。

其中x称为自变量。

这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。

从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。

进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x∈A叫做函数的值域。

这个概念与初中概念相比更具有一般性。

其实，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的。

不同点是表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法;初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。

且高中引入了抽象的符号f(x)，f(x)指集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f(x)也唯一确定。

另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：1.两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应。

2.涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空;这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。

也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有。

而且，在集合B中只能有一个与之对应，不存在两个或者两个。

3.函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。

二、目标解析

1.通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。

2.会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域。

3.通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。

教学的重点是，在研究已有函数实例(学生举出的例子)的过程中，感受在两个数集A、B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。

然后再进一步理解它。

三、教学问题诊断分析

1.学生对函数概念中的“每一个”“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深。

教学中，可以通过反例让学生加以认识。

如有学生的考试情况是这样的：集合A={1，2，3，4，5，6}，B={90，93，98，92}，f：每次考试成绩。

这里就不能表示一个函数。

因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应。

2.忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数。

如：高一(2)班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每个学生都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子。

这能否算作一个函数的例子，为什么?

3.对为什么集合B不是函数的值域不理解.让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得B={f(x)|x∈A} 更加合理。

4.当函数关系具有解析式表示时，f(x)当然可以用x的解析式表示出来。

学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示。

可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可。

但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决。

只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可。

5.本课的难点是：对抽象符号y= f(x)的理解。

可以通过具体函数让学生理解抽象的f(x)。

比如函数f(x)=x2，A=x|-2≤x<2 .f(-1)=1，f(1.5)=2.25，f(-2)=4，

f(2)无定义。

f(x)=x2，x∈A。

11.《函数的概念》教学设计 篇十一

教材分析：

函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响

教学目标：

知识与技能：

（1）理解函数的概念，;

（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归

纳知识以及建模等方面的能力；

3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用

意识、创新意识。相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。

教法：启发探究为主，讨论法为辅

学法：观察分析、自主探究、合作交流

教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数

教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数

教学过程：

一、复习引入：

．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法

二、概念情景引入：

思考1：（本P1）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见本P1图）

．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：

三、概念理解：

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（funtin），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（dain），与x的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

注意：

①“=f”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“=g”；

②函数符号“=f”中的f表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

思考2：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（）

2．集合，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，N为值域的函数关系的是（）

归纳：（1）一次函数=ax+b的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。

（3）反比例函数的定义域是，值域是。

2区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1）满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3）满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为。

小试牛刀：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（学生做，教师订正）

3概念应用：

例1．已知函数，（1）求的值；

（2）当a>0时，求的值。

（答案见P17例一）

练习．已知函数f=x2+2,求f,f,f,f)

答案:f=6f=a2+2

f=a2+2a+3f)=x4+4x2+6

【例2】已知函数

（1）求的值；（2）计算：

解：（1）由

（2）原式

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键

四、效果验收、归纳小结：

（一）当堂检测

．用区间表示下列集合：

2．已知函数f=3x＋x－2,求f、f、f、f的值；

3．本P19练习2。

4．已知＝＋x＋1，则＝__3+____；f［］＝_7_____．

．已知，则=

—1

（二）归纳小结：

函数的实际背景说明了什么?

函数概念的本质你认为是什么？如何领会函数的对应关系？

什么样的集合可以用区间表示？

作业布置：

12.集合与函数概念例题 篇十二

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标

学科素养

能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数

会求函数的定义域

会求函数的值域

1.逻辑推理：同一个函数的判断；

2.数学运算：求函数的定义域，值域；

1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；

2.教学难点：求函数的值域。

多媒体

复习回顾，温故知新

1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.2.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。

（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；

二、探索新知

探究一   同一个函数

前提条件

定义域相同

对应关系完全一样

结论

是同一个函数

思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？

提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．

探索二 常见函数的定义域和值域

思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？

提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．

当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．

例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．()

(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．()

(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()

[解析](1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．

(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．

(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．

例2(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是()

[解析]　由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．

例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(A)

A．{－2,0,4}　　　  B．{－2,0,2,4}

C．{y|y≤－}  D．{y|0≤y≤3}

例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()

A．{y|－1≤y≤1}  B．R

C．{y|2≤y≤3}  D．{－1,0,1}

[解析]　函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．

关键能力·攻重难

题型一 函数的值域

1、函数的值域是()

A．(－3,0]　　B．(－3,1]  C．[0,1]    D．[1,5)

[分析]　首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．

[解析]　由，可知当x＝2时，；当x＝0时，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．

[归纳提升]　二次函数的值域

(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；

(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；

(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．

题型二 同一个函数

2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？

(1)y＝与y＝1；

(2)y＝与y＝x；

(3)y＝·与y＝.[分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．

[解析](1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．

(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．

(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．

[归纳提升]　判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤

(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．

题型三　复合函数、抽象函数的定义域

3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.[分析](1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．

(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．

(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．

[解析](1)由－1<2x＋1<2，得－1

(2)∵－1

(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，由－1

[归纳提升]　函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：

(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．

误区警示

函数概念理解有误

1、设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是()

A．0

B．1

C．2

D．3

[错解]　函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．

[错因分析]　不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．

[正解]　图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．

[方法点拨]　函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．

学科素养

求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用

1．分离常数法

求函数y＝的值域．

[分析]　这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．

[解析]　∵y＝＝＝3＋，又∵≠0，∴y≠3.∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．

[归纳提升]　求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．

2．配方法

求函数的值域

[解析]　∵，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．

根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且；当x＝－2时，y取最大值，且.故的值域是[－12,3]．

[归纳提升]　遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．

3．换元法

求函数y＝x＋的值域．

[分析]　忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．

[解析]　设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．

[归纳提升]　求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．

WORD模版

源自网络，仅供参考！

如有侵权，可予删除！