初中数学《反比例函数的应用》的教案

初中数学《反比例函数的应用》的教案（8篇）

1.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇一

《3 反比例函数的应用》教案

教学目标：

1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．

2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

3、通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力．

教学重点：

掌握从实际问题中建构反比例函数模型．

教学难点：

从实际问题中寻找变量之间的关系．

教学过程：

某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们

2这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么：

(1)含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

2(2)当木板面积为0．2m时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数国象． 课堂小结：

本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图像，渗透数形结合的思想．

2.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇二

本节内容是利用反比例函数来解决生活中的实际问题, 其关键是从实际问题中抽象出函数关系, 从而将文字转化为数学语言, 通过反比例函数的概念列出函数关系式, 再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题.

利用反比例函数解决实际问题的关键是:建立反比例函数模型, 列出反映实际问题的反比例函数解析式:

(1) 列出反映实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的分式, 即:实际问题中的变量之间的关系→建立反比例函数模型→解决实际问题.

(2) 在列反映实际问题的函数关系式时, 一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.

【学法指津】

1. 学会把实际问题转化为数学问题, 充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.

2.要熟悉一些常见的函数模型, 能用函数的观点分析、解决实际问题, 让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系, 并得到解决.

3.要认真阅读题目, 理解题意, 抓住关键量, 主要是题目中的定值、常量和恒定不变的数据等, 准确地抽象出函数关系, 然后正确设出函数关系式, 用待定系数法求出待定系数.

4.由于实际问题中有很多限制条件, 因此当自己认为解决了问题后, 还要回头再把题目看一看, 是否有疏忽的地方, 以免求出的答案不符合题意.

【典例解析】

例1:

如下图, 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1) 储存室的底面积S (单位:m2) 与其深度d (单位:m) 有怎样的函数关系?

(2) 公司决定把储存室的底面积S定为500m2, 施工队施工时应该向下掘进多深?

(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下15m时, 碰上了坚硬的岩石, 为了节约建设资金, 储存室的底面积应改为多少才能满足需要 (保留两位小数) ?

分析: (1) 根据圆柱体的体积公式, 我们有S×d=104, 变形可得:;

(2) 把S=500代入所求得的解析式, 即可求得深度d;

(3) 把d=15代入解析式, 即可求得储存室的底面积S.

解: (1) ∵S×d=104, ∴ (d>0) .

(2) 把S=500代入, 得:.解得:d=20.

答:如果把储存室的底面积定为500m2, 施工时应向地下掘进20m深.

(3) 根据题意, 把d=15代入, 得:, 解得:S≈666.67 (m2) .

答:当储存室的深为15m时, 储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要.

例2:

某地上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度, 本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间, 经测算, 若电价调至x元, 则本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 又当x=0.65时, y=0.8;

(1) 求y与x之间的函数关系式;

(2) 若每度电成本价为0.3元, 则电价调至多少元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?[收益=用电量× (实际电价-成本价) .]

分析: (1) 此题属于把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题.

(2) 此题属于函数解析式的应用问题.要解决的问题是:若每度电成本价为0.3元, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?须考虑“收益=用电量× (实际电价-成本价) ”这一关系.而上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度.于是可算出本年度电力部分收益为0.6亿元.

解: (1) 由于本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 所以可设所求的关系式为:, 又当x=0.65时, y=0.8;代入, 可求得k=0.2,

于是可得:;

(2) 依据题意, 得:;

解得:x1=0.5, x2=0.6;根据实际问题, 这两个值都符合题意.

答:电价调至0.5或0.6元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%.

例3:

制作一种产品, 需先将材料加热达到60℃后, 再进行操作.设该材料温度为y (℃) , 从加热开始计算的时间为x (分钟) .据了解, 设该材料加热时, 温度y与x时间成一次函数关系;停止加热进行操作时, 温度y与x时间成反比例关系 (如下图) .已知该材料在操作加工前的温度为15℃, 加热5分钟后温度达到60℃.

(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时, y与x的函数关系式;

(2) 根据工艺要求, 当材料的温度低于15℃时, 须停止操作, 那么从开始加热到停止操作, 共经历了多少时间?

分析:本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法.但由于本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数, 所有要注意分类讨论, 分别写出函数关系式. (1) 显然将材料加热时, 即0≤x≤5, y与x是一次函数, 直线过点 (0, 15) , (5, 60) ;停止加热时, 即x≥5, y与x是反比例函数, 图像过点 (5, 60) , 易求得函数关系式; (2) 当材料的温度低于15℃时, 需停止操作, 即令y=15, 求对应的自变量的值.

解: (1) 将材料加热时, y与x是一次函数关系, 可设

∵当x=0时, y=15;当x=5时, y=60;

∴当0≤x≤5时, y与x的关系式为:y=9x+15.

停止加热时, y与x成反比例函数关系, 设,

∵当x=5时, y=60, ∴, ∴k1=300.

∴当x≥5时, y与x的关系式为:.

(2) 把y=15代入, 得,

∴x=20.即从开始加热到停止操作, 共经历了20min.

例4:

如下图, 已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图像交于A、B两点.求: (1) A、B两点的坐标; (2) △AOB的面积.

分析:综合运用一次函数和反比例函数的知识解题, 一般要先根据题意画出图像, 然后可借助图像和题目中提供的信息解题.

解得:∴A (-2, 4) , B (4, -2) .

(2) 解法一:

y=-x+2, 当y=0时, x=2, M (2, 0) .

∴OM=2.作AC⊥x轴于C, 作BD⊥x轴于D.

解法二:

y=-x+2, 当时x=0时, y=2, N (0, 2) .∴ON=2.

作AC⊥y轴于C, BD⊥y轴于D.

【总结反思】

用函数观点处理实际问题, 关键在于分析实际情境, 建立函数模型, 并进一步明确数学问题, 将实际问题置于已有的知识背景之中, 用数学知识重新解释这是什么?可以看到什么?逐步形成解决实际问题的能力.而在解决问题时不仅要充分利用函数的图像, 渗透数形结合的思想, 还要注意函数不等式、方程之间的联系, 以及学科之间知识渗透.重要的有以下几点经验:

1. 通过分析, 把实际问题中的数量关系转化为数学问题中的数量关系;

利用构建好的数学模型、函数思想来解决这类问题.

2. 通过观察图像, 把图像中提供、展现的信息转化为与函数有关的知识来解题.

3.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式, 往往仍用待定系数法.

【典题演练】 (供教师做习题参考.)

1.已知某矩形的面积为20cm2.

(1) 写出其长y与x宽之间的函数表达式;

(2) 当矩形的长为12cm时, 求宽为多少?当矩形的宽为4cm时, 其长为多少?

(3) 如果要求矩形的长不小于8cm, 其宽最多应是多少?

2. 某蓄水池的排水管每时排水8m3, 6h可将满池水全部排空.

(1) 蓄水池的容积是多少?

(2) 如果增加排水管, 使每时的排水量达到Q (m3) , 那么将满池水排空所需的时间t (h) 将如何变化?

(3) 写出t与Q之间的函数关系式;

3. 如下图所示, 正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像交于A、B两点, 其中点A的坐标为.

(1) 分别写出这两个函数的表达式.

(2) 你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?

(3) 若点C坐标是 (-4, 0) , 请求△BOC的面积.

4. 为了预防流行性感冒, 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.

已知, 药物燃烧时, 室内每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间x (分钟) 成正比例, 药物燃烧后, y与x成反比例 (如下图所示) .现测得药物8分钟燃尽, 此室内空气中每立方米的含药量为6毫克, 请你根据题中所提供的信息, 解答下列问题:

(1) 药物燃烧时y关于x的函数关系式为:, 自变量的取值范围是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;药物燃烧后y与x的函数关系式为:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(2) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室, 那么从消毒开始, 至少需要经过＿＿＿＿＿＿＿分钟后, 学生才能回到教室;

(3) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时, 才能有效杀灭空气中的病菌, 那么此次消毒是否有效?为什么?

答案与提示:

1.

2. (1) 蓄水池的容积为:8×6=48 (m3) . (2) 答:此时所需时间t (h) 将减少. (3) t与Q之间的函数关系式为:

3. (1) 正比例函数表达式为:y=2x;反比例函数表达式为:; (2) (1) 可利用图像, 根据对称性来求; (2) 可将y=2x与组成方程组, 求出方程组的解.答案:B的坐标为. (3) 由于点C坐标是 (-4, 0) , B的纵坐标为, 所以△BOC的底边长为4, 高为, 则 (面积单位) .

4. (1) ; (2) 30; (3) 答案:有效;因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克, 当到第16分钟时含药量开始低于3毫克, 这样含药量不低于3毫克的时间共16-4=12分钟, 故有效.

3.反比例函数图象应用的几个层次 篇三

一、识图

学会认识题目中的图形,使解题思路清楚,将题目“清晰化”

例1(漳州)矩形面积为4,它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为()

解析:由题意xy=4,即y是x的反比例函数,图象B和C都是反比例函数图象,但图象B的自变量取值范围是x>0,选B。

例2 (兰州) 如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y= (x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会()。

A.逐渐增大B.不变

C.逐渐减小D.先增大后减小

解析:双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴不相交,在第一象限内当点B的横坐标逐渐增大时,点B到x轴的距离越来越小,所以△OAB的面积将会逐渐减小。选C。

点悟:识图是学习函数图象的基础,“点动成线”即图象是由满足某个条件的无数个点组成的,而这些点的横坐标、纵坐标分别代表着函数的两个变量,因此函数的变化可以通过点的变化形成的图象直观地反映出来。

二、想图

无图想图,把数和形有机地结合起来,将题目“明朗化”

例3 (扬州) 函数y= 的图象与直线 没有交点,那么k的取值范围是( )。

A.k>1B.k<1C.k>—1D.k<—1

解析:由解析式想图象,直线y=x经过一、三象限,而函数y=的图象是双曲线,它又与直线无交点,那么双曲线只能在二、四象限,得1-k<0。选A。

例4 (东营) 已知点M (-2,3)在双曲线y= 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )。

A.(3,-2)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(3,2)

解析:第二象限的点 M (-2,3 )在双曲线y= 上,可知双曲线在二、四象限,题中四个点只有A在第四象限,因此选A。

点悟:研究函数离不开图象,当题目中没有图象时,要能根据条件充分地想象,把“数”转化为“形”,以形助数,从而得到解决问题的方法。

三、画图

作出符合题意的图象,将题目“直观化”。

例5 (内江) 若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y= 的图象上,且a<0,则b与c的大小关系为()

A.b>cB.b

C.b=cD.无法判断

解析:k=1>0,所以图象在一、三象限,又a<0,所以a—2 b。选B。

例6 (梧州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=

(k>0)图象上的两点,若x1<0

A.y1<0

解析:k>0,所以图象在一、三象限,又x1<0

点悟:把数转化成形,并能画出函数图象是学习函数的基本要求之一,通过画出图象使题目直观化,这样能更好地分析函数性质,加深对数量关系的认识,有利于探求解题的途径。

四、用图利用图象的桥梁作用,把性质和解析式联系起来,将题目“互动化”

例7 (黄石) 如图所示,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与 轴相切的两个圆,若点A的坐标为(2,1),则图中两个阴影部分面积的和是 。

解析:因为反比例函数图象关于原点的中心对称图形,所以A、B两点是对称点,那么整个图形是中心对称图形,得两圆的阴影部分可拼成一个圆,半径为1,所以两个阴影部分面积的和为π。

例8 (铁岭)如图所示,反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A(2,1),若y2>y1>0,则x的取值范围在数轴上表示为()。

解析:由图象知,反比例函数y1随x的增大y反而减小;正比例函数y2随x的增大y也增大,这样在点A右侧满足y2>y1>0,所以x的取值范围是x>2。选D。

4.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇四

【设计意图及教法说明】

通过三个实际问题的解决，培养了学生“发现问题”、“解决问题”的能力，也达到了学以致用的目的。

2.能力拓展

(1)你能举个反比例函数的实例吗？与同学进行交流。

(2)y=5xm是反比例函数，求m的值。

【设计意图及教法说明】

问题(1)是一个开放性的题，既解决了随堂练习2，也培养了学生的发散性思维。问题(2)能助于学生抓住关键点，澄清易错点(反比例函数中k≠0)，并且加强了新旧知识的联系。

(四)归纳总结，反思提高

通过这节课的学习你有哪些收获？还有哪些问题？与同伴进行讨论。(如：你学到了什么？懂得了什么？你发现了什么？还有什么困惑？应注意什么？还想知道什么？)

【设计意图及教法说明】通过问题式的小结，让学生再次归纳、总结本节课的重点，弥补教学中的不足。

(五)推荐作业，分层落实

必做题：课本第134页习题1、2题。

选做题：已知y与2x成反比例，且当x=2时，y=-1，求：

(1)y与x的函数关系式。

(2)当x=4时，y的值。

(3)当y=4时，x的值。

5.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇五

一、教学目标

1.利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．

2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．

3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。

二、重难点

重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。

三、教学过程

（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?

k本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象，x探究它有什么性质．

（二）探究发现：

6活动1.画出函数y的图象．

x分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．

3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．

提问 1这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

6活动2：画出反比例函数y的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握

x画函数图象的步骤）．

学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．

61.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y的图象有什么不同？

xk2.反比例函数y(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？

x3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？

k反比例函数y有下列性质：

x(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

注 1．双曲线的图象向x轴、y轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x轴和y轴没有交点；

2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y=x、y=-x．

（三）实践应用

例1 若反比例函数y(m1)x2m2的图象在第二、四象限，求m的值．

分析 由反比例函数的定义可知：2m21 ,又以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

2m21,解 由题意，得 解得m3．

m10k(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次x函数y＝kx－k的图象经过的象限． 例2 已知反比例函数yk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此kx＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

k解 因为反比例函数y(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，x所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

k解(1)设：反比例函数的解析式为：y(k≠0)．

x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．

k所以2，k＝－2．

12即反比例函数的解析式为：y．

x分析 由于反比例函数y

222(2)点A(－5,m)在反比例函数y图象上，所以m，x552点A的坐标为(5,)．

52点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；

52点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上；

例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象．

20解(1)因为100＝5xy,所以y ．

x(2)x＞0．

(3)图象如下：

说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．

1例5．如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、xB分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定

k分析：从反比例函数y（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作

x1垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝，故

2选B

k练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数y（k＞0）的图象上的一

x点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为

四、交流反思

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)． 2.反比例函数有如下性质：

(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

（3）k的几何意义

四、课堂练习：1P52页练习1、2若反比例函数y(3n9)xn213的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．

五、小结：这节课，你学会了什么？

六、作业 ：见题篇

七板书设计：

6.反比例函数教案及教学反思 篇六

《反比例函数的意义》教学反思：首先简单复习了一次函数、正比例函数的表达式，目的是想让学生清楚每种函数都有其特有的表达式，对反比例函数表达式的总结作了一个铺垫。其次利用题组(一)中的三个题目列出了

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三个表达式，当让学生观察这三个表达式与以前我们所学的y=kx+b和y=kx有什么联系时，居然有很多同学认为它们和正比例函数类似，当时在课堂上对于这个问题的处理过于仓促，现在想来应注意细节问题。利用题组

(二)对反比例函数的三种表示方法进行巩固和熟悉。

例题非常简单，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养，同时通过两次变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。在变式训练之后，我又补充了一个综合性题目的例题，(在上学期曾有过类似问题的,由于时间的久远学生不是很熟悉)但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的解决有点走弯路。

题组(三)在本节既是知识的巩固又是知识的检测，通过这组题目的处理，发现学生对本节知识的掌握还可以。从整体来看，时间有点紧张，小结很是仓促，而且是由老师代劳了，没有让学生来谈收获，在这点有些包办的趋势。

虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学习积极性。总之，我会在以后的教学中注意细节问题的。

7.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇七

“成正比例的量”是人教版六年级下册第三单元教学的内容, 这节课是在学生已经认识了比和比例的知识、常见的数量关系的基础上进行编排的。这是一节概念课, 通过本节课的学习, 帮助学生理解正比例的意义, 能找出生活中成正比例量的实例, 并能应用知识解决一些实际问题, 同时初步渗透函数思想。

本人曾多次执教过这节课, 但每次总觉得课堂气氛沉闷, 学生的学习积极性不高, 学生只是机械的跟着老师完成下面的教学环节:

教师出示例题中的表格, 引导学生观察并回答下列问题。

表中有哪两种量?它们是相关联的量吗?

写出几组这两种量中相对应的两个数的比, 并比较比值的大小。

这两种量成正比例吗?为什么?

思考一

“为什么?”———为什么要学习“正、反比例这部分的知识”?在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容, 这部分内容肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”, 这是函数思想渗透的重要契机。即“学习这部分的知识有助于逐步培养学生的代数思维, 更好的实现小学与中学数学学习上的衔接”。

思考二

“是什么?”———这一知识的本质是什么?教材中用了一大段语言 (共65个字) 描述了成正比例的量和正比例关系, 其实它就是学生今后要继续学习的正比例函数的雏形, 是研究两个相关联的变量之间的一种数学模型。说到函数, 老师们可能并不陌生, 虽然小学阶段不出现函数这一概念, 但在小学阶段始终都渗透着函数思想, 因为有变化的地方都蕴含着函数思想。

思考三

“怎么学?”———抓住本质, 激活元认知, 渗透函数思想。

函数的核心是“把握并刻画变化中的不变, 其中变化的是‘过程’, 不变的是‘规律’ (关系) 。”因此要为学生提供熟悉的、直观的情境让学生感悟生活中存在许多变化的量, 而这些变化的量又有一定的联系, 如一个量的变化会引起另一个量的变化, 而我们要探究的是相关联的量的“变化规律”。

教学实践:

(一) 认识生活中变化的量, 初步感知相关联的量。

(1) 师:同学们, 在今年的春晚中有一个节目感动了全国许多的观众, 它就是“时间都去哪儿了”。现在让我们随着音乐, 再来欣赏一下这个节目。在欣赏的同时, 请认真观察, 看看你能发现哪些数学信息。 (课件出示5张大萌子成长的照片)

(2) 学生观察图片并发现变化的量 (年龄、身高) 。

(3) 把这些数据整理成表格, 请看。

观察表格, 说说小女孩的身高是怎样变化的?

师: (小结) 身高随着年龄的变化而变化, 像这样一种量的变化会引起另一种量的变化, 在数学上我们把这样的两种量叫做相关联的量。

(二) 自主探究, 学习新知。

1.联系生活, 进一步感知相关联的量。

(1) 在生活中, 你还知道哪些两种相关联的量, 能举些例子吗?

(2) 老师也为大家提供了一些例子, 你们能从中找到两种相关联的量吗?

情境1: (图片形式呈现)

师:看完了春晚, 小明领到了1000元压岁钱, 正在计划着怎么用。

计划用去100元, 还剩下900元。

计划用去200元, 他还剩下800元。

计划用去300元, 他还剩下700元。

情境2:圆的半径和周长 (课件动态呈现画圆的过程)

情境3:行驶的汽车的视频。

师: (小结) 只要仔细观察, 生活中有很多像这样相关联的量, 也就是一个量总是随着另一个量的变化而变化。那么在变化的过程中他们有什么规律吗?

2.探索相关联的量, 研究变化规律。

情境4:书本情境图。

师:请同学们拿出答题卡1 (例1) , 按照要求, 填写表格, 并回答问题。

例 1:

(1) 请同学们根据图中的信息填表格。

(2) 观察表格, 说说你有什么发现?

师:现在, 谁来说说你有什么发现?

师:是的, 总价随着本数的变化而变化, 在这变化的过程中有什么是不变的吗?

生:单价。

师:单价真的是不变的吗?谁会用数据来说明?

生:15÷1=15 (元) , 30÷2=15 (元) ,

师: 这个比值15实际上表示什么? (单价)

师:他们的比值都是15, 所以说比值相等, 也可以说单价是一定的。

师: (小结) 现在咱们来回顾一下, 刚才是怎样研究这道题的?

(1) 通过观察我们发现, 总价和本数是两种相关联的量, 总价随着本数的变化而变化。 (2) 通过计算我们还发现, 总价和本数的比值 (单价) 是一定的, 也就是不管本数与总价怎样变, 但单价始终不变。

3.进一步探究, 感悟成正比例的量。

(1) 同桌合作探究。

师:你会用刚才这样的方法来研究这些例子吗? (有困难的同学, 可以借助以下的问题进行研究?)

1表格中, 有哪两种量?它们是不是相关联的量?

2写出几组这两种量对应的两个数的比?算一算他们的比值相等吗?

(2) 汇报交流 (略)

(3) 观察比较, 揭示规律。 (课件:出示下面三个表格)

师:现在老师把刚才咱们研究的三件事放在一起, 你有什么发现吗?

生:事情不一样, 但它们的意思都一样。

生:都是相关联的两个量, 一个量变化, 另一个量也随着变化。

生:他们的比值是一定的。

师:说得真好, 事情不一样, 但它们却有共同的地方?

看!两种相关联的量, 一种量变化另一种量也随着变化, 当他们相对应的比值一定时, 我们就把这两种量叫做成正比例的量, 他们的关系叫做正比例关系。 (板书课题:成正比例的量)

4.归纳概括成正比例量。

(1) 结合以上3个例子说一说谁和谁是成正比例的量, 为什么?

(2) 不用例子, 你会用自己的语言说说什么是成正比例的量吗?

(3) 请翻开书P39页, 读一读书上的概念并会用字母表示。

5.用图像表示成正比例的量。

(1) 师: (课件出示坐标图) 你知道横轴表示什么?纵轴表示什么吗?

师:如果把这些点描在图中, 并把它们连起来, 想象一下会是怎样的一条线呢?

(2) 师:仔细观察, 老师画的跟同学们的有什么不一样? (从零开始)

师:是啊, 成正比例的图像是经过原点的一条直线。

师:想象一下, 如果这辆车一直开下去, 会是怎样的情形?

(3) 师:不用计算, 根据图像判断, 如果汽车行驶2.5小时, 路程是多少千米?

如果汽车行驶了360千米, 用了多少时间?

小结:这条直线上的每一个点, 都有一对数字与它一一对应。

三、巩固应用, 判断成正比例的两个量。 (略)

教后反思

本节课学生对正比例关系的理解有了质的突破, 关键是教师抓住了知识的核心, 设计了有价值的探究活动, 让学生在观察、比较、分析、抽象、概括的数学活动中建构知识体系, 感悟函数思想方法。

1.激活经验, 直观感知。

激活生活经验, 让学生充分感知相关联的量。学生举例后, 教师又提供了4组的例子, 这些例子的呈现方式有静态的图片、动感的视频等, 从不同的视觉感官上激活学生的生活经验, 帮助学生直观的感知一种量的变化会引起另一种量的变化。

2.自主探究, 积累数学活动经验。

“数学基本活动经验”的内涵是“指学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的学习策略与方法。”本节课为学生提供了2次自主探究的机会, 首先在例题的教学中, 教师让学生根据购买图书的直观图和数据填表格, 然后同桌交流“你能结合数据说说书的总价与数量是怎样变化的吗?”从学生的表现来看他们习惯比较两个量的增减变化, 习惯把两个量进行四则计算。怎样把学生的思维引到比较“比值”上呢?教师适时的追问很重要, 如“在这变化的过程中有什么是不变的吗?”“谁会用数据来说明”。通过追问, 让学生在思维的冲突中思考, 不管数量与总价如何变, 单价始终不变, 并通过小结帮助学生完善探究的策略和方法。“你能用刚才的方法研究下面的题目吗?”接着教师再次给足时间让学生探究, 学生在探究中进一步感悟相关联的两个量在“变化中的不变关系”, 通过观察、比较, 突出了“成正比例的量”的本质特征, 让学生经历了自主构建知识的过程, 体会到数学知识是怎样从具体的事物中抽象、概括出来的, 做到知其然更知其所以然, 而且积累了数学活动经验。

3.数形结合, 渗透函数思想方法。

本节课除了从“数”的角度引导学生感悟变量之间的相互依存关系;还从“形”的角度丰富学生的学习体验, 渗透函数思想方法。这是学生第一次接触函数图像, 在此之前他们甚至都没有见过图像, 不知道图像是什么样的, 因此教师在这部分内容的教学中, 大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动, 如:“如果把这些点描在图中, 并把它们连起来, 想象一下会是怎样的一条线呢?”“你们画的图与老师画的有什么不同?”“如果这辆车一直行驶下去, 会是怎样的情形呢?”教师通过这些问题让学生认识到正比例关系的图像是一条经过原点的直线, 它可以延伸, 即不断的运动、发展、变化。接着又通过一组的问题, 如:“不计算, 你能知道这辆汽车4.5小时行驶多少千米吗?”“行400千米呢?”引导学生观察发现, 在这条直线上的每一个点都有一对数字与它一一对应。在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识, 让零散的连起来, 让静止的动起来, 让变量之间的抽象关系显得更加形象、直观, 这个过程就是函数思想方法渗透的过程。

参考文献

[1]人教版数学六年级下册《教师教学用书》

8.初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇八

关键词：几何画板；初中数学；函数教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）12-0085

函数的“数、式、形”三者的相互转换，常常要运用到数形结合、建模等数学思想方法，对于学生的逻辑、认知水平要求较高。一部分初中生学习数学比较吃力，是由于初中生抽象思维能力比较薄弱，空间想象力差，在学习的过程中需要形象的教学工具作为依托。随着信息技术的发展，“几何画板”使原本抽象的数学问题变得形象，使复杂的数形变换通过具体的图像表现出来。“几何画板”成为了数学教师进行函数教学的首选软件，被越来越广泛地运用到函数教学中。

一、几何画板的简介以及功能特点

《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权在中国发行该软件的中文版。正如其名“21世纪动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是数学教师制作课件的“利剑”，也是学生学习函数的好帮手。

几何画板能把抽象的图像具体化，最大的特点是“动态性”，学生可以在绘制好的函数图像上用鼠标拖动图形中的任意一点，来观察变动的函数图形，从而掌握知识点。

二、几何画板在初中数学函数教学中的优势

1. 操作简单，功能强大

操作界面简单，实用性比较强。在几何画板中，只要规定好条件就可以客观地显示出数学结论。教师可以通过几何画板来辅助教学，学生也可以通过几何画板来辅助学习。如，验证三角形的三个角平分线相交于一点。如果学生只是通过传统的手工绘图来验证，那么工作量比较大而且在绘制的过程中容易出现错误，单就角平分线的绘制来说就存在一定的误差。但是通过几何画板，输入相应的限制条件就可以准确地画出三角形以及三个角的角平分线，并且可以通过拖动三角形任意顶点来改变三角形的形状，可以通过变换的三角形发现三角形的三个角平分线相交于一点的事实并不会随着三角形形状的变化而变化。

2. 突出教学特点，突破教学难点

初中生正处于生长发育、思维定势的黄金时期，有着强烈的好奇心，并且容易学习和接受新鲜事物。对此，几何画板便有了用武之处。几何画板本身具备动画技术，可以使静止的函数图像变为动态，可以使抽象的事物具体化，化繁为简充分调动学生的各种感官协调作用。可以突出教学重点，降低教学难点。

如，几何画板在“变化”菜单中提供平移、旋转、缩放等命令，使复杂的变化过程通过输入简单的指令即可操作完成。几何画板也通过数形结合的方式，形象直观地展现数形之间的关系。学生通过观察参数变化引起图像变化的动态过程，使学生了解到解题的关键点。

三、几何画板在初中数学函数教学中的应用

中学数学教材中绘制函数图像的方法大都是：列表、描点、用光滑的曲线连接。几何画板也可以体现教学中的这种学习思想。以正弦函数y=sinx为例，通过观察角度变化对正弦函数图像的影响，得出正弦函数的周期性：

1. 建立单位长度恒为1cm的坐标，对x轴右击，在弹出的快捷菜单中选择“属性”，并在属性对话框的“坐标轴”中选择“π的倍数”；2. 新建函数f（x）=sinx：用菜单“数据/新建函数”；3. 在x轴上任取一点P，度量点P的横坐标，得XP的值；4. 计算点P的函数值：用菜单“数据/计算”，弹出“新建计算”对话框架后，依次单击画板中的函数“f（x）=sinx”、度量值“xP”，即可算得“f（xP）”的值； 5. 制表：依次选择值“xP”和“f（xP）”，用菜单“数据/制表”，得2行2列表格；6. 添加表格数据：拖动点P，然后双击表格，表格中会自动添加一行数据，再次拖动点P后，双击表格，又再在表格中添加一行数据，依此类推，直到数据个数合适为止。7. 描点：右击表格，在快捷菜单中选择“绘制表中数据”； 8. 绘制点（xP，f（xP））：依次选择值“xP”和“f（xP）”，用菜单“绘图/绘制点（x，y）”，把该点标记为Q，选择点Q，用菜单“显示/追踪绘制的点”；9. 连线：拖动点P，可见点Q沿着系列点描绘出一条光滑曲线。10. 构造整个定义域内的图象：选择点P和 Q点， 用菜单“构造/轨迹”。通过图像，教师可以轻松地引导学生寻找正弦函数的“特殊点”、值域、增减区间，讨论函数的周期、奇偶性等。

四、结束语

随着信息技术的发展，如何将先进的信息技术运用到教学中，这无疑是一个教学改革的热点话题。如几何画板在初中数学函数教学中的应用，新的教学方法改变了以往枯燥乏味的教学方式，使数学的问题更加形象化，更容易理解。在中学课堂教学中通过运用信息技术辅助课堂教学，使课堂教学更加生动形象，激发了学生的学习热情，增强了学生的学习兴趣。

参考文献：

[1] 翁娟娟.几何画板在初中数学教学应用中的有效性研究[J].苏州大学，2010（9）.

[2] 蔡清怀. 几何画板在初中函数教学中的应用[J].教育信息技术，2013（10）.