实验定积分的近似计算

实验定积分的近似计算（共9篇）

1.实验定积分的近似计算 篇一

◆王 茜 刘 光 荣

( 空军工程大学理学院应用数学物理系)

【 摘要】定积分的概念 是用极 限来 定义的 ， 有很 强的 思想性。用 定

义 计 算 定积 分 是 教 学 中的 一 个 难 点 。 这 里 给 出 用 定 义 计 算 定 积 分 的 方 法 和 步骤 ， 举例 说 明借 助 定 义 来计 算 的 函数 类 型 ， 即幂 函 数 ; 指

数 函数 ; 角函 数 。 三

解

…于函数_ ： Cab ，I f ：. 区间 l，】 厂 ) E l l ) r ( t j l 在 口6上可积 。 所

，

以将 区 间 l6 等 分 。分 点 为 口 (一 )f 1， n ， 小 区 间 a ， + 6 n (= ，…，) 2

^

【 关键 词 】定 积 分

幂 函数

指 数 函数

三 角 函数

l+ (一 ) n 6 口

，

+

k( ‘b

―

nI 长度 ： )的

，取 小区 问 的右端 点

在 初 学 定 积 分 的 概 念 与 性 质 之 后 ， 没 有 学习微 积 分 基 本 公 还 式 时 ， 们 遇 到 了定 积 分 的计 算 问题 ， 取 的 方 法 使 用 定 义 和 几 何 我 采

+( n 于 r ：m ba +( 训 ， 是 百 -―， l￣ ― i 一

=

意义来计算 ， 而利用几何 意义求 定积 分要求必 须是 特殊 的曲边梯 形 ， 如是 圆 ， 例 三角形 等 ， 即必须是可利用公 式求 出图形 的面积的 ; 或是关于原点对称的区 间上的被 积 函数 是奇 函数 的积分 ， 结果 为 零 。利用定积分的定义解 题过程 有一定 的模式 ， 面临一 个和式 要 的极限来处理 ， 本文就是 来 明确 一下 用定 义计算定 积分 的函数 的

类型 。 1用定 义计 算 定积 分 的方 法 和 步 骤

定积 分”的概念 是 由极限运 算 定义 的，它是 一 I 个和 式的 极限 ，即

( 6 n+ (

：( b-a) ( 口+ 一口 =Ib _ ) 21

2 2

例 用 义 算 积 x 2利 定 计 定 分f d .

解 ｝ 于 函数 ， x = co 1 则 ， ： I 1 () x ∈ I 1， ， ( ) 在 区问 I q . 积 。 O k￣ ， T 所 以将 区问 I l 等分 ，分 点 为 (： ， …，) o ' f 1 ， ，小区 间 I ， 的长 2

r = 喜 - ， ， ( )

其 中 ， ： a{ ， ： ｝ mx ， ， ￣ …， 。定 义中 对积分 区间 l b分划 的任 口 1 ， 意性 与 小 区 间 I A ， I 选 取 点 蟊 f 1 ， 一 的任 意性 有 很 强 的思 - h (= ， …，) 2

度

= 三 ， 取 小 区 间 的 右 端 点 二 ， 于 是

H ^

f ：喜 =

喜 x ( 1

： I ― n+ i . m (

― ― ― ―

想 性和 包 容性 。但 是在可 积 的情况 下 ，可 以选 取特 殊 的分法 与取 法 ：

一

2 ) I ： .n + 1 X ―

― ― 一

1

一

：

_坩 ―

6

3

3用定义计算指数函数 和三角函数 的定积分

等 区 【 l按 积 的 义 有r( …百ba(。 分 间 ， 定 分 定 ， ，) l￣ -， ) 6 i出=m

可 取 小 区 问 ， l 左 端 点 + 的 (一 ) 右 端 点 6 或

借助下面的等 比数列求和公式可求某些指数函数的定积分 ：

口+唧 +. +卵 一 ： . .

J～ 口

其中 ，

( g≠l 】

口 +

三( 一口 。 6 )

J l

例 用 义 算 积 . 3利 定 计 定 分f 出

解 由 于函数 ，() E ab ，则 ， e 在 区问 【，l 可积 。 ;E Cl，l () x 口b上 所 以将 区 间 【，l 分 ， 分点 为 口 ’b )f 2…，) 小区 问 口b n等 +i(一口 (：1 ， 月 ，

，

这样我们用定义来 计算定 积分 的话 ， 一般有 下 面的解题 格式

与 步骤 ：

首先 ， 由可积 的充 分条件 判断 函数可 积。如果被 积 函数 是连 续 函数 的话 ， 那么 函数可 积 ; 如果有 有 限个 间断 点的话 ， 由积分 则 的可加性 ， 将其转化为几个连续 函数积分 的和 。 其次， 由函数可 积想到定 积分与分 法 、取法无关 ， 而选取特 从 殊的分法 ： 区间等分 ; 将 特殊 的取法 ： 小区间的左端点或右端点。 第三 ， 将定积分写成一个特定和式 的极 限 ， 用已知 的求 和公 利

：

+

H

(一 )n (一 )的长 度 A ， b― 6 口， + 6 口I x =― a，取小 区问 的右端 点 -

n 月

。+

i- lpx… ( 卜r a 足 dl H ” o =喜 i a r 。 鬲

l i m

…

式求和 ， 求和是关键 ， 也是难点。

( 一P ) 1

= e 一 ￡ 。

最后 ， 求数列极 限 ， 得出定积分的值 。

2.实验定积分的近似计算 篇二

定积分被广泛应用在社会实践和自然科学中, 如利用定积分求平面图形的面积﹑旋转体的体积﹑旋转曲面的面积﹑平面曲线的弧长等都被看成是定积分的计算问题. 定积分是微积分学的重要内容, 是研究科学技术和实际问题极其重要的数学工具, 但定积分的计算方法与技巧尤为丰富, 因而让学生学习好定积分的计算非常重要.

定积分的计算方法有很多种:定义法﹑牛顿-莱布尼茨公式法﹑换元积分法﹑分部积分法等, 针对不同的题型选择适合的定积分计算方法.本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

二、计算定积分的一些基本方法

1.牛顿-莱布尼茨公式法 (又称微积分基本公式) :若函数f (x) 在[a, b] 上连续, 且存在一个原函数F (x) , 则有f (x) 在[a, b]上可积, 即.

例1:计算定积分

通过例1可以看出, 牛顿-莱布尼茨公式法形式简单, 便于求解, 被视为求定积分最常用的方法.

2.换元积分法:假设函数f (x) 在[a, b]上连续, 函数x=φ (t) 满足条件:

(1) φ (α) =a, φ (β) =b,

(2) φ (t) 在[α, β] ( 或[β, α]) 上具有连续导数, 且其值在区间[a, b]内, 则有

例2:计算定积分

解:设, 则, x=0时t=1, x=2时,

注1:形如的定积分, 通常做变量代换进行计算.

注2:进行换元计算时, 要整体换元, 也就是说当用x=φ (t) 进行换元时, 积分区间也相应发生改变, x的积分区间要换为t的积分区间, 同时dx也换成与变量t有关的形式.

例3:计算定积分

解:设x=asint, 则dx=acostdt, 且x=0时t=0, x=a时, 将题中的x整体都换成和变量t有关的式子.

(1) 凑微分: 形如的定积分, 通常将凑成, 再做变量代换cx+d=t.

例4:计算定积分

(2) 对称区间上的定积分计算

设f (x) 在关于原点对称的区间[-a, a]上连续, 则有

(1) 若f (x) 为偶函数, 则有;

(2) 若f (x) 为奇函数, 则有

例5:计算定积分

解:由题可知, 积分区间[-1, 1]关于原点对称, 设, 易知f (x) 为偶函数, 由 (1) 知

3.分部积分法:设u (x) , v (x) 在区间[a, b]上有连续的导函数, u′ (x) , v′ (x) , 则有 (uv) ′=u′v+uv′, 故

例6:计算定积分

技巧:利用分部积分法计算的关键在于:是将哪一个函数先放入微分号, 如果选择错误就会得不出结果, 那么如何选择正确的解法成为关键.根据多年的解题经验, 我们总结出在选择上遵循以下这一规则“反对幂指三”, 即两个函数作比较排名在后的优先进入微分号.

例7:计算定积分

分析:x为指数函数, cosx为三角函数, 根据规则“反对幂指三”可知, 三角函数cosx排在指数函数x之后, 所以cosx优先进入微分号.

注:当两个函数中, 其中一个为指数函数ex时, 则将ex优先放入微分号.

例8:计算定积分

三、结语

定积分是微积分学的一个重要内容, 定积分的计算题型更是千变万化, 为了更好地计算的定积分, 避免题海战术, 本文对定积分的计算方法与技巧进行了归纳总结, 有助于学生计算思路的扩展, 促进了实际问题的快速求解.

摘要：本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

关键词：定积分,原函数,连续

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

3.定积分的课堂探究 篇三

【关键词】 定积分概念 基本定理 方法技巧

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、如何理解定积分的概念？

（1）“∫”叫作积分号，a与b分别叫作积分下限和积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，函数f（x）叫作被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫被积式。

（2）定积分的含义：定积分∫abf（x）dx是一种特定形式的和式

的极限，即∫abf（x）dx表示当n ∞时，和式 所趋近的定值.

（3）定积分∫abf（x）dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母无关。

二、如何用定积分的定义求定积分？

用定积分的定义求定积分的一半步骤为：分割、近似代替、求和、取极限，要借助求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的问题去体会定积分的基本思想.求解时要注意以下技巧：（1）要均分积分区间；（2）每个小区间上的函数f（x）的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替；（3）熟记以下结论：①1+2+3……+n=■，②12+22+32……+n2=■，③13+23+33……+n3=■n2（n+1）2.

三、微积分基本定理的作用有哪些？

（1）微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的联系，提供了计算定积分的有效方法.应用微积分基本定理计算定积分要注意：一要正确选择被积函数，二要注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F（b）-F（a）.

（2）利用微积分基本定理计算定积分∫abf（x）dx的关键是找F'（x）=f（x）满足的函数F（x），通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）.

（3）求导数运算与求原函数运算互为逆运算.在微积分基本定理中，函数F（x）叫做函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数。因为所以也是函数f（x）的原函数。

（4）微积分定理实际上给出了微分和积分之间的联系，在解决含有参数的定积分问题时，往往要对字母参数进行讨论，有时解决这类问题要与其它知识联系起来，综合解决.

（5）在物理上应用微积分定理可以求变速直线运动的物体所经过的路程、变力做功问题等。作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v（t）[v（t）≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即S=∫abv（t）dt作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解.所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可；一物体在恒力F（单位：N）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），那么F力所做的功W=Fs为如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a

（6）解决定积分实际应用问题的关键是将问题划归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。对于变化率为不定量的求和问题通常都通过转化到定积分上进行求解的.注意模型的合理构建是做此类题的关键。

四、求定积分的方法与技巧有哪些？

求定积分的基本方法有：（1）定义法；（2）利用微积分基本定理；（3）利用定积分的几何意义.常用的方法是（2）和（3），在定积分的计算中，除了注意灵活选择计算方法外，还要注意技巧的使用.技巧的注意点：（1）利用被积函数的奇偶性；（2）对被积函数进行适当的变形或化简；（3）灵活选取积分变量。

五、利用定积分解决实际问题应注意什么？

解决定积分实际应用问题的关键是将实际问题化归为定积分表示，根据问题的具体背景，确定被积函数和积分上、下限，然后用微积分基本定理求解。应用导数与积分求面积时有时会遇到所求面积是某一变量的函数，这时需要注意积分的上、下限与变量的关系。

六、如何利用定积分求平面图形的面积？

微积分基本定理使我们得到了求定积分的一般方法，定积分的几何意义为我们提供了用定积分求平面图形面积的理论依据。因此，要明确定积分的几何意义，借助图形的直观作用加深对微积分基本定理的理解，对求平面图形的面积形成一个完整的认识，并利用数形结合的方法来确定被积函数和积分的上、下限。具体步骤为：

（1）在平面直角坐标系中画出曲线或直线；

（2）解方程组求出交点坐标，从而确定积分的上、下限；

（3）确定被积函数，特别要注意被积函数的性质；

（4）写出所围成平面图形的定积分表达式；

4.定积分的几何意义是什么？ 篇四

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的`面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

5.实验定积分的近似计算 篇五

1.教学目标

（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质

（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.2.教学重点/难点

【教学重点】：

理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】：

对定积分概念形成过程的理解

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.5.3定积分的概念

教学过程

课堂小结

6.实验定积分的近似计算 篇六

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1 f(2)x2   f(n)xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

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第五章 定积分

f(i)xi(i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1(i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1  i  xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积

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第五章 定积分

f( i)xi(i1 2   n) 并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi](i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢？

定理

1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积

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第五章 定积分

定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n)

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f(x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f(x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则

这是因为g(x)f(x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f(x)|  f(x) |f(x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f(x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f(x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C(C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C(axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1.计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3.计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数

例7.求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？

提示

若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002(2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin（0f(sint)dt0tf(sint)dt

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第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

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第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c(acb)为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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第五章 定积分

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第五章 定积分

7.实验定积分的近似计算 篇七

关键词：多项式函数,有限迭代计算方法,H-M方法,导数和积分的值,复杂度分析

众所周知函数在具体某点的导数值和其在某区间的定积分在数学应用中非常重要, 诸如Newton-Raphson迭代法求非线性方程的根[1]、定积分求面积和函数逼近[2,3]等。而且有时借助它们的计算能提高一些问题的计算质量, 甚至为某些问题的计算开辟一条更有效的新的计算途径, 尤其在一些误差分析当中更是离不开函数的导数计算。根据Taylor’s定理[4], 任何连续且可导函数都可以展开成在连续点的多项式函数, 因此如何求得任意连续可导函数在某点的导数就显得尤为重要, 而多项式函数作为一种最为特殊的一类连续且任意阶可导函数, 求其在某点的导数以及其在某确定区间上的定积分就成了一个最为常用且最基本的求导数值和定积分计算的问题。尽管有许多计算一般函数在某点的导数和固定区间上的定积分, 但是相对而言比较复杂, 尤其对多项式函数来言, 其在某点的导数和某固定区间上的定积分的计算没有必要那样去算。考虑到计算多项式函数在某点的函数值, 通过其方法和思想推导出具体详细的多项式函数在某点的导数和某固定区间的定积分的计算方法并比较该方法的复杂性和分析其相应误差。

1 导数计算

1.1 多项式函数值计算的Horner方法

引理1[5]:假设多项式函数为f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a 0, 对任一实数c,

则有f (c) =b0=a0+cb1, 其中。

证明:

因为f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a0,

根据多项式的分解性质, 可设f (x) 分解成如下的形式:

因此可得:f (c) =b0。

的对应系数, 则有:

故有bn=an, bk=ak+cbk+1, k=0, 1, ...n-1,

虽然这样计算f (x) =an xn+...+a1 x+a0在x=c的值没有利用众所周知的公式f (x) = ( (... (an x+an-1) x+...+a2) x+a1) x+a0计算来的方便, 但它对于求解多项式函数在某点c的任何k阶导数值和在某固定区间的定积分确非常实用。

1.2 求多项式函数的导数

由于在阶数上任何多项式函数的导函数都要低于原函一阶, 因此对于多项式函数在某点的任意阶导数, 我们可以得到任意k阶导函数在某点的导数值与其前一阶导函数的系数之间关系的如下两个计算结论。

定理1设多项式函数f (x) =an xn+an-1xn-1+...+a1 x+a 0, 对任何实数c, 则有f' (c) =g (c) =b1+b2 (1) ,

其中b1=a1+cb2, bn (1) =bn, bk (1) =bk+cbk+1 (1) , k=1, 2, ...n-1。

证明:

用类似的方法可以将g (x) 表达出来, 不妨设

并定义下面函数

则比较两个函数的对应的系数, 则有

因此f' (c) =g (c) =b1+b2 (1) 。

证明:

根据定理1,

则有g' (c) =g1 (c) ,

并且:

依此类推, 则有:

其中相应有:

类似, 对任何整数k,

与其他求函数在某点导数值不同, 除了截断误差外本方法的计算结果几乎没有误差, 而且其复杂度更为简单。

2 定积分计算

在数值分析时, 我们通常用Composite Trapezoidal-Simp-son方法[6]来计算函数在某区间上的导数, 但是当被积函数是多项式函数时, 这种方法就已经没有必要, 而且我们可以用Newton-Leibniz定理[7]来计算定积分。

证明:

由于H (x) =x F (x) ,

而且:

所以有

3 复杂度分析[8]

从上面的结论中我们看到用该方法无论是求多项式函数在某点的各阶导数值还是求多项式函数在固定区间上的定积分, 都没有进行多次累乘的情况, 在各阶迭代运算中都只对相应各个系数进行了一次乘法运算, 这样在计算中, 相比进行多次乘积运算, 将降低因多次相乘的所带来的误差, 而且在积分计算中, 每个系数迭代用公式, 这些分母k+1, k=1, 2, Ln将降低截断误差, 并使得计算更加有效和简单, 而且在忽略截断误差的影响, 理论上该方法不会带来其他误差。

4 结语

基于以上的推导和证明, 我们将发现多项式函数在定点的各阶导数求值的有限迭代公式很好地避开了确定点的取值对计算结果的影响, 同时在确定区间上的定积分有限迭代计算公式简化了定积分的计算过程, 从而使得该计算方法更加适合通过编写计算机程序来实现, 是一种具有实际应用价值的导数和定积分的计算方法。

参考文献

[1]J.H.Mathews, K.D.Fink.Numerical Methods Using Matlab (third edition) [M].London:Prentice Hall, 1999:177-178.

[2]GuLemin, The Best Uniform Approximation Polynamial of Cosine Function Type[J].Journal of Numerical Methods and Computer Applicat, 2012, 33 (3) :173-180.

[3]Xiyong Zhang;Xiwang Cao;Rongquan Feng.A method of evaluation of exponential of binary quadraric function[J].Finite Fields and Their Applications, 2012, 18 (6) :16-18.

[4]Yonatan Katznelson.Taylor polynomials[J].UCSC, AMS/ECON, 2008, 6 (2) :11-17.

[5]Uwe Naumann.the complexity of derivative computation[J].RWTH Achen, August, 2005, 5 (3) :35-37.

[6]林成森.数值分析[J].北京:科学出版社, 2007:212-213.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical Analysis (first volume) [M].Berlin:Springer, 2000:199-200.

8.求定积分的几大误区 篇八

一、忽视符号的含义

由于定积分是高度符号化的形式，其中包含着较多的内涵，需要认真领会.

例1 求定积分[-22kdx].

误解 [-22kdx=12x2]|[2-2=0.]

正解 [-22kdx=k-22dx=kx]|[2-2=4k.]

剖析 积分变量是[x]，而不是[k(k]是参数）.因此也就弄清被积函数到底是什么.

理解[abf(x)dx=limn→+∞i=1nf(xi)][△x]很有必要.可以认为[abf(x)dx]表达简洁，而[limn→+∞][i=1nf(xi)][△x]更能直接反映定积分的内涵；一个注重形式，一个反映本质.所以理解符号要首先理解定义，关注定义的背景来源.

二、忽视几何意义

定积分作为新概念被引入，最直观的解释就是其几何意义，也是我们求定积分的一个基本的有效方法.因为它更本质化、更直观形象，所以要经常回归到这一思路解题.

例2 求定积分[024-x2dx.]

由于很难找到被积函数[f(x)=4-x2]的原函数，所以陷入困境. 结合定积分的几何意义不难得知，该定积分其实是求圆[x2+y2=4]在第一象限内的面积，[024-x2dx]=[14]π·22=π.

此外，将其推广并变式如下：

例3 求[-aab2-b2a2x2dx(a>b>0).]

解 [-aab2-b2a2x2dx]=[ba-aaa2-x2dx]

[=ba×12πa2]=[πab2.]

进一步思考可以发现[-aab2-b2a2x2dx]表示的几何意义就是椭圆[x2a2+y2b2]=1的上半部分的面积，从而我们也得到椭圆的面积公式[πab].同时启示我们，被积函数[f(x)=m2-n2x2]的定积分都可以变形为[f(x)=1n(mn)2-x2]，再将其转化为圆的面积这一几何意义求解.

三、忽视被积函数的化简.

目前所学习的定积分基本不涉及复杂函数的定积分，因为更多的技巧要大学微积分的知识才能解决，所以如果不能直接找出被积函数的原函数，可以试图对其先化简，再作处理.

例4 求[0π2sin2x2dx].

分析 由于一时间找不到[sin2x2]的原函数，故解不出来，而几何意义又很难发现. 结合三角函数知识，可以对[sin2x2]先化简，目的是化简成能直接找到原函数的类型.

解 [0π2sin2x2dx]=[0π21-cosx2dx]

[=12(x-sinx)|π20=π-24.]

同学们可以思考以下两个问题：

求下列定积分：

①[0π2(cos2x2-sin2x2)dx]；②[49x(1+x)dx.]

点拨 如果找原函数困难、几何意义又不明显时，不妨先对被积函数化简，使之成为基本初等的被积函数.

四、缺乏讨论，陷入困境

定积分与导数是互逆运算，所以求定积分的过程就是找原函数的过程，但有些函数在整个区间内不存在原函数，那么就要对区间分段讨论使之具有原函数.

例5 求[-11|x|dx].

分析 显然不存在函数的导数为[x]，这样只要去掉绝对值符号就可以找到原函数.

解 [-11|x|dx=-10(-x)dx+01xdx=-12x2|0-1+12x2|10=1]

点评 遇到含绝对值的函数或分段函数的定积分一般要分段分开求积分，这样可以更方便找到其原函数.

五、陷入机械运算、不能活用性质

定积分有丰富的性质，除一些基本的运算性质外，还有奇偶函数在对称区间上的定积分性质等，解题时灵活运用往往会事半功倍.

例6 求[-π2π2sinxcosxdx.]

解 [y=sinxcosx]是[-π2,π2]上的奇函数，故[-π2π2sinxcosxdx=0.]

试求[-aa(xcosx-5sinx+2)dx.]

六、求面积理解不到位

定积分[abf(x)dx]的几何意义：仅当[f(x)>0]时，表示曲边梯形的面积；而[f(x)<0]时以及多种形状的曲边图形面积都可以从这个基本的几何意义出发得到理解，并最终转化为这种类型求解.

例7 求由曲线[y=x],[y=2-x,y=-13x]所围成图形的面积.

分析 先画图，再求交点坐标以确定积分上下限，然后对照图形，将面积用定积分表示出来，最后再求积分.

解 [S=01[x-(-13x)]dx+13[(2-x)-(-13x)]dx]

=[01(x+13x)dx+13(2-23x)dx]

=[(23x32+16x2)|10+(2x-13x2)|31]

=[23+16+(3-53)=136]

点拨 从中可以看出关键是要将图形分割成最基本的曲边图形，目前除图甲类型外，还有图乙类型.即如图所示的曲边图形求面积.

通过对各种情况的讨论，结合面积割补方法以及转化为曲边梯形面积. 总可以得到，若[f(x)>g(x)]，则面积[S=ab[f(x)-g(x)]dx],而与[f(x)]、[g(x)]的符号无关.

[甲][乙]

9.实验定积分的近似计算 篇九

1.1电力系统短路故障及其危害

在发生短路时可能产生以下的后果：

1.通过故障点的很大的短路电流和所燃起的电弧，使故障元件损坏；

2.短路电流通过非故障元件，由于发热和电动力的作用，引起它们的损坏或缩短它们的使用寿命；

3.电力系统中部分地区的电压大大降低，破坏用户工作的稳定性或影响工厂产品质量；

4.破坏电力系统并列运行的稳定性，引起系统振动，甚至使整个系统瓦解；电气元件的正常工作遭到破坏，但没有发生故障，这种情况属于不正常运行状态。例如，因负荷超过电气设备的额定值而引起的电流升高（一般又称过负荷），就是一种最常见的不正常运行状态。由于过负荷，使元件载流部分和绝缘材料的温度不断升高，加速绝缘的老化和损坏，就可能发展成故障。此外，系统中出现功率缺额而引起的频率降低，发电机突然甩负荷而产生的过电压，以及电力系统发生振荡等，都属于不正常运行状态。故障和不正常运行状态，都可能在电力系统中引起事故。事故，就是指系统或其中一部分的正常工作遭到破坏，并造成对用户少送电或电能质量变坏到不能容许的地步，甚至造成人身伤亡和电气设备的损坏。系统事故的发生，除了由于自然条件的因素（如遭受雷击等）以外，一般者是由于设备制造上的缺陷、设计和安装的错误、检修质量不高或运行维护不当而引起的。因此，只要充分发挥人的主观能动性，正确地掌握客观规律，加强对设备的维护和检修，就可能大大减少事故发生的机率，把事故消灭在发生之前。在电力系统中，除应采取各项积极措施消除或减少发生故障的可能性以外，故障一旦发生，必须迅速而有选择性地切除故障元件，这是保证电力系统安全运行的最有效方法之一。

电力系统的飞速发展对继电保护不断提出新的要求，电子技术、计算机技术与通信技术的飞速发展又为继电保护技术的发展不断地注入了新的活力，因此，继电保护技术得天独厚，在40余年的时间里完成了发展的4个历史阶段。建国后，我国继电保护学科、继电保护设计、继电器制造工业和继电保护技术队伍从无到有，在大约10年的时间里走过了先进国家半个世纪走过的道路。50年代，我国工程技术人员创造性地吸收、消化、掌握了国外先进的继电保护设备性能和运行技术［1］，建成了一支具有深厚继电保护理论造诣和丰富运行经验的继电保护技术队伍，对全国继电保护技术队伍的建立和成长起了指导作用。阿城继电器厂引进消化了当时国外先进的继电器制造技术，建立了我国自己的继电器制造业。因而在60年代中我国已建成了继电保护研究、设计、制造、运行和教学的完整体系。这是机电式继电保护繁荣的时代，为我国继电保护技术的发展奠定了坚实基础。自50年代末，晶体管继电保护已在开始研究。60年代中到80年代中是晶体管继电保护蓬勃发展和广泛采用的时代。其中天津大学与南京电力自动化设备厂合作研究的500kV晶体管方向高频保护和南京电力自动化研究院研制的晶体管高频闭锁距离保护，运行于葛洲坝500kV线路上［2］，结束了500kV线路保护完全依靠从国外进口的时代。在此期间，从70年代中，基于集成运算放大器的集成电路保护已开始研究。到80年代末集成电路保护已形成完整系列，逐渐取代晶体管保护。到90年代初集成电路保护的研制、生产、应用仍处于主导地位，这是集成电路保护时代。在这方面南京电力自动化研究院研制的集成电路工频变化量方向高频保护起了重要作用［3］，天津大学与南京电力自动化设备厂合作研制的集成电路相电压补偿式方向高频保护也在多条220kV和500kV线路上运行。我国从70年代末即已开始了计算机继电保护的研究［4］，高等院校和科研院所起着先导的作用。华中理工大学、东南大学、华北电力学院、西安交通大学、天津大学、上海交通大学、重庆大学和南京电力自动化研究院都相继研制了不同原理、不同型式的微机保护装置。1984年原华北电力学院研制的输电线路微机保护装置首先通过鉴定，并在系统中获得应用［5］，揭开了我国继电保护发展史上新的一页，为微机保护的推广开辟了道路。在主设备保护方面，东南大学和华中理工大学研制的发电机失磁保护、发电机保护和发电机?变压器组保护也相继于1989、1994年通过鉴定，投入运行。南京电力自动化研究院研制的微机线路保护装置也于1991年通过鉴定。天津大学与南京电力自动化设备厂合作研制的微机相电压补偿式方向高频保护，西安交通大学与许昌继电器厂合作研制的正序故障分量方向高频保护也相继于1993、1996年通过鉴定。至此，不同原理、不同机型的微机线路和主设备保护各具特色，为电力系统提供了一批新一代性能优良、功能齐全、工作可靠的继电保护装置。随着微机保护装置的研究，在微机保护软件、算法等方面也取得了很多理论成果。可以说从90年代开始我国继电保护技术已进入了微机保护的时代。

2继电保护的作用

被誉为电力系统“静静哨兵”的继电保护，一年365天，每天24小时站岗放哨，是保证电力系统安全、稳定运行的钢铁长城。建国以来常抓不懈的继电保护正确动作率成绩显著，经过科研制造、设计、运行单位几代继电保护人的共同努力，220kV以上超高压电网的继电保护装置正确动作率达到98%以上，对电力系统发生的各种故障能迅速、正确地隔离，全国没有发生过类似美国、法国、印度等国家的大面积、长时间的大停电事故，保证我国电力系统安全、稳定、经济运行，继电保护功不可没，同时造就了一支工作责任心强，作风严谨、特别能战斗的继电保护队伍。随着微电子技术的迅速发展，继电保护装置发生了新飞跃，计算机技术、网路技术等高新科技在几点保护应用技术中得到

2.1保障电力系统的安全性。当被保护的电力系统元件发生故障时，应该由该元件的继电保护装置迅速准确地给脱离故障元件最近的断路器发出跳闸命令，使故障元件及时从电力系统中断开，以最大限度地减少对电力系统元件本身的损坏，降低对电力系统安全供电的影响，并满足电力系统的某些特定要求（如保持电力系统的暂态稳定性等）。

2.2对电力系统的不正常工作进行提示。反应电气设备的不正常工作情况，并根据不正常工作情况和设备运行维护条件的不同（例如有无经常值班人员）发出信号，以便值班人员进行处理，或由装置自动地进行调整，或将那些继续运行会引起事故的电气设备予以切除。反应不正常工作情况的继电保护装置允许带一定的延时动作。

2.3对电力系统的运行进行监控。继电保护不仅仅是一个事故处理与反应装置，同时也是监控电力系统正常运行的装置。

3继电保护定值计算及意义

3.1继电保护整定计算

电力系统继电保护起着保证电力系统稳定运行的作用，万一电力系统出现故障，继电保护装置必须迅速、准确地切除故障元件。保护的合理配置与正确选择，是保障电网安全运行的重要条件。从安全运行角度出发，电网对继电保护装置性能提出了严格的要求，其必须满足可靠性、选择性、灵敏性和速动性。电力系统继电保护装置的可靠运行涉及到继电保护的配置设计、制造安装、整定计算、运行维护等很多方面。其中优化的保护配置和正确地进行整定计算，对保证继电保护装置的可靠运行具有及其重要的作用。

3.2继电保护整定意义

继电保护需要考虑的包括电网接线方式和运行方式的很多因素。随着电力系统的发展，电网规模越来越庞大，接线方式和运行方式也日益趋于复杂化，其中环网重叠，长输电线和短输电线相互联接已经很普遍。这给整定计算增加了难度。为了满足可靠性、选择性、灵敏性和速动性的要求,使继电保护配合达到最佳状态，继电保护整定计算过程中，必须对电网的各种运行方式进行详细周密的计算。但是，整定计算的计算量大，计算过程复杂。整定过程中，计算短路、断线及复杂故障的计算，对短路计算要求极高。环网线路保护配合困难，复杂环网结构系统中的线路后备保护定值相互配合，构成配合关系网，很难使整定计算定值各个保护装置完全配合。

整定计算的方法没有统一的标准，不同类型、不同电网的继电保护，整定计算方法极端相差很大。

考虑因素太多，变化大。保护整定计算中要考虑多种运行方式和故障情况，而且实时变化性较大，难以确定具体整定方法。由此可以知道，电力系统的运行对继电保护整定计算有着急切的需要，而继电保护整定计算软件会大大减少工作人员的操作和维护难度，提高运行维护能力和效率，使得电网在较佳状态下运行，保证了可靠性。

4目前国内外继电保护定值整定计算现状

继电保护定值整定计算的工具和方法随着科学技术的不断进步而不断进步。无论国际海事国内，从其发展历程而言，大体上能分为四个阶段：

50年代的全手工计算阶段 从

电磁式保护装置 到

晶体管式继电保护装置、到

集成电路继电保护装置、再到

微机继电保护装置。

第二章 继电保护原理 2.1方向距离保护原理

随着电力系统的发展，电网规模越来越大，结构也越来越复杂，继电保护整定计算的工作量也越来越大，而且整定计算的定值无法通过实际故障的情况，来验证其选择性和灵敏度。整定计算程序只能校验保护定值对本线的灵敏度，不能计算保护定值的远后的保护范围。另外，对于新设备的投产，整定计算不可能进行整个电网的保护整定计算，而只能进行局部电网的保护定值整定计算，因此，日积月累在整个电网保护定值配合上，可能会出现偏差，造成保护定值之间的不配合而使保护误动。整定的工作一般流程如下图：

往往审核人的审核只对计算结果进行审核，在运行方式上的考虑及配合是否合理还不能验证，而且校验工作也不是很直观。因此，开发研制继电保护仿真程序是非常必要的，也将是非常实用的。

有了继电保护仿真程序，将有助于继电保护的定值的校验，防止运行中的继电保护定值的失配及灵敏度不足等问题。继电保护仿真程序具有模拟电网各种故障(包括复故障)的功能，以校验保护定值的正确性与否，增加了以上环节后，保护定值整定计算工作的流程图如下：

二、继电保护仿真系统的组成

继电保护仿真程序就是利用计算机程序模拟电力系统各种故障，用故障量来检测保护的动作行为，并能输出各站的保护动作情况。其主要由程序和数据库两部分组成。

(一)数据库主要有：

1、电网一次系统图：

包括所有整定范围的一次电网结构图，应标有断路器状态，断路器在断开位置和合闸位置应有明显区别，以提醒计算人员有关保护动作跳闸情况。

2、继电保护定值库 a、元件参数：电网元件参数数据是用来模拟故障计算时依据，必须是电网运行元件的实测参数。

b、继电保护定值库：与在电网中运行的实际定值一致，包括各种保护的定值。(二)程序部分

程序主要包括下面几个部分：模拟故障计算、保护动作行为的判断和报告输出等。

1、模拟故障计算程序：

模拟故障计算程序是仿真系统的核心，它应能够模拟各种故障类型，并对各厂、变每条线的保护的各种测量值进行计算，如相电压、相电流、相间阻抗、接地阻抗、零序电流、负序电流等。

2、保护动作行为的判断

根据程序的计算结果，与继电保护定值比较，来判断继电保护的动作行为。对各种保护分别进行判断。对于阻抗、电压和电流等保护的判断，直接用测量值与定值进行比较，比较的顺序是，从一段开始，如果在一段范围内，则输出保护动作，不再进行下一段的比较；如果一段不动，再与二段定值比较，以此类推。纵联保护的动作与否，要看对侧高频测量元件是否动作，如果也动作，则输出高频保护动作，否则，判断为未动作。而分相电流差动保护还应与线路对侧矢量电流相加再与定值进行比较。

3、输出报告 比较完毕后，输出保护动作情况报告，并在电网一次结线图上标明保护动作情况。输出报告中保护动作情况表应有如下内容： 时间：年月日时分秒 系统运行方式：

机组运行情况，元件检修情况，故障情况：

故障地点，故障类型，相别，故障量：UA，UB，UC，3U0，IA，IB，IC，3I0 保护动作：

变电站名，线路名，测量值，保护定值，动作时间，灵敏度

从报告中可以清楚地看到保护的动作的详细情况。