TanX的导数

TanX的导数（精选12篇）

1.TanX的导数 篇一

基本初等函数的导数公式及导数运算法则测试题

一、选择题

1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于

A.1 B.2

C.3 D.4

[答案] D

[解析] y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)

=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，

y|x=1=4.

2.若对任意xR，f(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=()

A.x4 B.x4-2

C.4x3-5 D.x4+2

[答案] B

[解析] ∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c，又f(1)=-1

1+c=-1，c=-2，f(x)=x4-2.

3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn+1 B.n+2n+1

C.nn-1 D.n+1n

[答案] A

[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，

m=2，a=1，f(x)=x2+x，

即f(n)=n2+n=n(n+1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn=112+123+134+…+1n(n+1)

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1=nn+1，

故选A.

4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

[答案] C

[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx，f(x)=2ax+b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，

顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.

5.函数y=(2+x3)2的导数为()

A.6x5+12x2 B.4+2x3

C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x

[答案] A

[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

y=6x5+12x2.

6.(江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()

A.-1 B.-2

C.2 D.0

[答案] B

[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的`思想，f(x)=4ax3+2bx，f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f(1)=4a+2b，f(-1)=-f(1)=-2

要善于观察，故选B.

7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f(1)=()

A.0 B.-1

C.-60 D.60

[答案] D

[解析] ∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，f(1)=60.

8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()

A.22cos2x- B.cos2x-sin2x

C.sin2x+cos2x D.22cos2x+4

[答案] A

[解析] y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)

=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.

9.(2010高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()

A.3 B.2

C.1 D.12

[答案] A

[解析] 由f(x)=x2-3x=12得x=3.

10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()

A.-15 B.0

C.15 D.5

[答案] B

[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)

f(x+5)=f(x)，f(5)=f(0)

又f(-x)=f(x)，f(-x)(-1)=f(x)

即f(-x)=-f(x)，f(0)=0

故f(5)=f(0)=0.故应选B.

二、填空题

11.若f(x)=x，(x)=1+sin2x，则f[(x)]=_______，[f(x)]=________.

[答案] 2sinx+4，1+sin2x

[解析] f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=2sinx+4.

[f(x)]=1+sin2x.

12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<)，若f(x)+f(x)是奇函数，则=________.

[答案] 6

[解析] f(x)=-3sin(3x+)，

f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)

=2sin3x++56.

若f(x)+f(x)为奇函数，则f(0)+f(0)=0，

即0=2sin+56，+56=kZ).

又∵(0，)，6.

13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.

[答案] 32x(1+2x2)7

[解析] 令u=1+2x2，则y=u8，

yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x

=32x(1+2x2)7.

14.函数y=x1+x2的导数为________.

[答案] (1+2x2)1+x21+x2

[解析] y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.

三、解答题

15.求下列函数的导数：

(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);

(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.

[解析] (1)y=(x)sin2x+x(sin2x)

=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.

(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .

(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .

(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2

=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2

=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.

16.求下列函数的导数：

(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosxsin3x;

(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1.

[解析] (1)y=[cos2(x2-x)]

=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)

=(1-2x)sin2(x2-x).

(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)

=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.

(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.

(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2

=2log2ex2-1.

17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f(x)=2(1+x2)2g(x)，求g(x).

[解析] ∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2

=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx]，

又f(x)=2(1+x2)2g(x).

g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.

18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).

[解析] (1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x2f1x.

解法2：y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.

(2)解法1：设y=f(u)，u=v，v=x2+1，

2.TanX的导数 篇二

例1:若抛物线y=4x2 上的点P 到直线y=4x-5 的距离最短, 则点P 的坐标为多少?

解:在抛物线y=4x2 上求一点P 到直线y=4x-5 的距离为最短, 即找一点P 使过该点的切线与直线y=4x-5 平行, 对函数y=4x2 求导, 得y1=8x, 所以曲线上任一点的切线斜率k=8x, 令8x=4, 求出x=0.5代入抛物线方程得y=1, 故点P (0 , 1) 。

2 导数在研究函数极值与最值中的巧妙应用

例2:若函数f (x) =-x3+ax2+bx+1 在x=1 时有极值此, 试求函数f (x) 的极值, 并求函数f (x) 在区间[-3, 1.5] 上的最值。

解:函数的定义域为 (-∞, +∞) , f1 (x) =-3x2+2ax+b, 由x=1时f (x) 取得极值3 可知f1 (1) =0, f (1) =3 即-3+2a+b=0 , -1+a+b+1=3, 解得a=0, b=3。∴f (x) = -x3+3x+1, f1 (x) = -3x2+3, 令f1 (x) =0 得 x= -1 或x=1, 当x 变化时, f (x) , f1 (x) 的变化状态如下表

X (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞)

f (x) - 0 + 0 -

F (x) ↘ 极小值-1 ↗ 极大值3 ↘

故当x= -1 时, f (x) 取得极小值-1; 当x=1 时, f (x) 取得极大值3, 又f (-3) =19, f (3/2) =17/8因此当x=-3 时, f (x) 在[-3, 3/2] 上取得最大值19;当x= -1 时, f (x) 在[-3, 3/2]上取得最小值-1。

3 导数在解决实际问题中的巧妙应用

例3:用边长为60 厘米的正方形铁皮做一个无盖水箱, 行在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转900 度, 再焊接而成, 问当水箱底边的长为多小时, 水箱容积最大, 最大容积是多小?

解:设水箱底边长为x 厘米, 则水箱高h=60-x/2, , 水箱容积V=V (x) =xxh=60xx-xxx/2 ( 其中0

例4:已知f (x) =x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数, 其图象交x轴于A、B、C三点, 点B的坐标为 (2, 0) , 且 f (x) 在[-1, 0]和[0, 2]有相反的单调性. ①求C的值. ②若函数f (x) 在[0, 2]和[4, 5]也有相反的单调性, f (x) 的图象上是否存在一点M, 使得f (x) 在点M的切线斜率为3b? 若存在, 求出M点的坐标. 若不存在, 说明理由.

分析:①f′ (x) =3x2+2bx+c, ∵f (x) 在[-1, 0]和[0, 2]有相反的单调性.∴ x=0是f (x) 的一个极值点, 故f′ (0) =0. ∴c=0. ②令f′ (x) =0得3x2+2bx=0, x1=0, x2=0 因为f (x) 在[0, 2]和[4, 5] 有相反的单调性, ∴f′ (x) 在[0, 2]和[4, 5] 有相反的符号. 故2≤-2b3≤4, -6≤b≤-3. 假设存在点M (x0, y0) 使得f (x) 在点M的切线斜率为3b, 则f′ (x0) =3b. 即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3· (-3b) =4b (b+9) , 而f′ (x0) =3b. ∴△<0. 故不存在点M (x0, y0) 使得f (x) 在点M的切线斜率是3b.

点评:证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f (x) >0 (<0) 再通过求f (x) 的最值, 实现对不等式证明, 导数应用为解决此类问题开辟了新的路子, 使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法, 彰显导数方法运用的灵活性、普适性。

4 导数在最值证明中的巧妙应用

例5: ( 1) 求证:当a≥1时, 不等式对于n∈R恒成立.

(2) 对于在 (0, 1) 中的任一个常a , 问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在, 求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析: (1) 证明: (Ⅰ) 在x≥0时, 要使 (ex-x-1) ≤ax2e|x|2成立。

只需证: ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①令y (x) =a2x2+x+1ex,

求导数y′ (x) =ax+1·ex- (x+1) ex (ex) 2=ax+-xex∴y′ (x) =x (a-1ex) ,

又a≥1, 求x≥0, 故y′ (x) ≥0∴f (x) 为增函数, 故f (x) ≥y (0) =1, 从而①式得证

(Ⅱ) 在时x≤0时, 要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,

即需证:1≤ax22e-2x+ (x+1) e-x ②

令m (x) =ax22e-2x+ (x+1) e-x, 求导数得m′ (x) =-xe-2x[ex+a (x-1) ]

而φ (x) =ex+a (x-1) 在x≤0时为增函数

故φ (x) ≤φ (0) =1-a≤0, 从而m (x) ≤0

∴m (x) 在x≤0时为减函数, 则m (x) ≥m (0) =1, 从而②式得证

由于①②讨论可知, 原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时, 恒成立

(2) 解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0

将原式变形为ax022+x0+1ex0-1<0 ③

要找一个x0>0, 使③式成立, 只需找到函t (x) =ax22+x+1ex-1 的最小值, 满足t (x) min<0即可, 对t (x) 求导数t′ (x) =x (a-1ex) 令t′ (x) =0得ex =1a,

则x= -lna, 取x0= -lna在0 -lna时, t′ (x) >0 t (x) 在x=-lna时, 取得最小值t (x0) =a2 (lna) 2+a ( -lna+1) -1

下面只需证明:a2 (lna) 2-alna+a-1<0, 在0

又令p (a) =a2 (lna) 2-alna+a-1, 对p (a) 关于a求导数则p′ (a) =12 (lna) 2≥0,

从而p (a) 为增函数

则p (a)

于是t (x) 的最小值t (-lna) <0 因此可找到一个常数x0=-lna (0

点评:最值证明在不等式中的应用, 一般转化不等式 (转化的思想) 构造一个函数, (函数的思想方法) 然后求这个函数的极 (最) 值, 应用恒成立关系就可以证明, 对于应用导数解决实践问题, 关键是建立恰当的数学模型。

5 导数在极值方面的巧妙应用

例6:已知函数f (x) =ln x, g (x) =12x2-a (a为常数) , 若直线l与y=f (x) 和y=g (x) 的图象都相切, 且l与y=f (x) 的图象相切于定点P (1, f (1) ) .

(1) 求直线l的方程及a 的值;

(2) 当k∈R时, 讨论关于x的方程f (x2+1) -g (x) =k的实数解的个数.

分析: (1) ∵f′ (x) =, ∴f′ (1) =1 ∴k1=1, 又切点为P (1, f (1) ) , 即 (1, 0)

∴l的解析式为y=x-1,

∵l与y=g (x) 相切, 由y=x-1

y=12x2+a, 消去y得x2-2x+2a+2=0

∴△= (-2) 2-4 (2a+2) =0, 得a=- 12

(2) 令h (x) = f (x2+1) -g (x) =ln (x2+1) -12x2+12

∵h′ (x) =2x1+x2-x=-x (x-1) (x+1) 1+x2, 则h′ (x) >0, h (x) 为增函数, -11时, h′ (x) <0, h (x) 为减函数。

故x=±1时, h (x) 取极大值ln2, x=0时, h (x) 取极小值12。

因此当 k∈ (ln2, +∞) , 原方程无解;当k=ln2时, 原方程有两解;当12

点评:利用导数求函数极 (最) 值解答这类问题的方法是:①根据求导法则对函数求出导数。②令导数等于0, 解出导函数的零点。③分区间讨论, 得出函数的单调区间。④判断极值点, 求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较, 求出最值。

例7:设x1、x2是函数f (x) =ax3+bx2-a2x (a>0) 的两个极值点.

(1) 若x1=-1, x2=2, 求函数f (x) 的解析式;

(2) 若|x1|+|x2|=22, 求f (x) 的最大值;

分析: (1) ∵f (x) =ax3+bx2-a2x (a>0) , ∴f′ (x) =ax3+bx2-a2x (a>0)

依题意有f′ (-1) =0

f′ (2) =0, ∴ 3a-2b-a2=0

12a+4b-a2=0

解得a=6

b=-9, ∴f (x) =6x2+9x2-36x.

(2) ∵f′ (x) =3ax2+2bx-a2 (a>0) ,

依题意, x1, x2是方程f′ (x) =0的两个根, 且|x1|+|x2|=22,

∴ (x1+x2) 2-2x1x2+|x1+x2|=8.

∴ (-2b3a) 2· (-a3) +2|-a3|=8, ∴b2=3a2 (6-a) .

∵b2≥0, ∴0

设p (a) =3a2 (6-a) , 则p′ (a) =-9a2+36a.

由p′ (a) >0得00得a>4.

即:函数p (a) 在区间 (0, 4]上是增函数, 在区间[4, 6]上是减函数,

∴当a=4时, p (a) 有极大值为96, ∴p (a) 在 (0, 6]上的最大值是96,

∴b的最大值为46.

导数的广泛应用, 为我们解决函数问题提供了有力的工具, 用导数可以解决函数中的最值问题, 不等式问题, 还可以解析几何相联系, 可以在知识的网络交汇处设计问题。因此, 在数学教学中, 要突出导数的应用, 尤其是导数的巧妙应用。

参考文献

[1]华东大学数学系.数学分析上册[M].高等教育出版社, 2004.

[2]同济大学数学教研室.高等数学.上册.高等教育出版社, 2005.

3.导数的魅力 篇三

类型1：涉及函数单调性，零点，极值，最值问题，以及不等式的参数取值范围问题

【例1】 设函数f(x)=14x4+bx2+cx+d,当x=t1时，f(x)有极小值．

（1） 若b=-6时，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；

（2） 在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间［m-2,m+2］上单调递增，求实数m的取值范围；

（3） 若函数f(x)只有一个极值点，且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0，证明：g(x)=f(x)-12x2+t1x 在区间(t1,t2)内最多有一个零点．

分析 第一小问考查函数极植问题，题中告诉函数f(x)有极大值，有极小值。这表明f′(x)=0至少有两个相异实根，而f′(x)是三次函数，所以f′(x)=0必然有三个互异的实根。第二小问考查单调性问题并求参数的取值范围，涉及存在性与恒成立问题，这类题目一般先满足一个方面，再考虑另一个方面，如本题先满足存在，再考虑恒成立。第三小问涉及零点问题，解决此题只需证函数g(x)具有单调性，即证当t10即可。此题关键是对f(x)只有一个极值点和f′(t2)=0的理解。

解 （1）∵f(x)=14x4+bx2+cx+d,∴h(x)=f′(x)=x3-12x+c.由题设，方程h(x)=0有三个互异的实根,考察函数h(x)=x3-12x+c,则h′(x)=0,得x=±2.当x<-2时，h(x)单调递增．当-22时h(x)单调递增．有h(-2)>0，h(2)<0， 即c+16>0c-16<0.∴-16

（2） 存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0成立，即x3-12x≥-c,∴x3-12x>-16，即(x-2)2•(x+4)>0

在区间m-2,m+2上恒成立.

∴m-2,m+2是不等式解集的子集,m-2>-4，m+2<2 或m-2>2,即-24.

（3） 由题设，可得存在α,β∈R,使f′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),且x2+αx+β≥0恒成立,又f′(t2)=0,且在x=t2两侧同号．∴f′(x)=(x-t1)(x-t2)2．另一方面

g′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)(x-t2)2-1.∵t1

所以-10，所以g′(x)<0，所以g(x)在(t1,t2)内单调递减.从而g(x)在（t1，t2）内最多有一个零点．

点拨 这是一道导数的典型题目，第一小问说明函数的极值问题转化为函数导数对应的方程根的问题。第二小问导数涉及函数的单调性问题求参数范围，常常转化为恒成立问题解决。而第三小问处理函数的零点个数的问题，往往研究函数的单调性，而这一过程完全依赖于导数。

总结 单调性、零点、极值、最值、参数取值等函数热点问题往往借助于导数这一工具，作适当的分析、综合、转化来解决。这类题型灵活性较强，综合性大，要求高。

类型2：涉及不等式证明问题

【例2】 设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).记G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,且x1,x0,x2成等差数列，求证：G′(x0)>0.

分析 通过G(x)有两个零点这一条件代入找出a,b关系，列出G′(x0)表达式，再变形整理，然后根据式子特点，构造函数研究其单调性，从而得证。

证明 G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2，则有x21 + 2-alnx1-bx1=0

x22 + 2-alnx2-bx2=0，

两式相减得x22-x21-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0，即x2+x1-b=a(lnx2-lnx1)x2-x1,于是

G′(x0)=2x0-ax0-b=(x1+x2-b)-2ax1+x2=a(lnx2-lnx1)x2-x1-2ax1+x2=ax2-x1•

lnx2x1-2(x2-x1)x1+x2=ax2-x1lnx2x1-2x2x1-11+x2x1.

①当01且G′(x0)=ax2-x1lnt-2(t-1)1+t,

设u(t)=lnt-2(t-1)1+t(t>1),则u′(t)=1t-4(1+t)2=(1-t)2t(1+t)2>0,则u(t)=lnt-2(t-1)1+t在(1,+∞)上为增函数.而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-2(t-1)1+t>0.又因为a>0,x2-x1>0,所以G′(x0)>0；

② 当00.综上所述: G′(x0)>0.

点拨 此题是不等式证明问题，通过消元整理，再等价变形，特别是2(x2-x1)x1+x2=2x2x1-11+x2x1，记x2x1=t，这一步构造函数是关键，借助于导数这一工具研究其单调性，求解函数的最值，使不等式得到证明。

总结 不等式的证明是高中数学的重要内容，又是不等式中的难点，通过构造函数借助于导数研究其单调性来证明不等式，已成为近年来高考命题的热点题型，所以对它要足够重视。

类型3：涉及解析几何中曲线的切线问题

【例3】 设函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在点（1，f(1)）处的切线方程为y+2=0，若过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

分析 利用导数的几何意义，求解出f(x)的解析式。这道题目难点是对三条切线如何理解，一般切线问题总是找（设）切点（x0,y0）利用导数的几何意义求出x0,m的方程关系，问题转化为方程有三个不同解，借助于导数研究其极值，从而解决此题。

解 ∵f′(x)=3ax2+2bx-3，根据题意,得f(1)=-2,f′(1)=0,

即a+b-3=-2,3a+2b-3=0, 解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x.因为点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上，∴可设切点为(x0,y0).

则y0=x30-3x0．∵f′(x0)=3x20-3，∴切线的斜率为3x20-3，则3x20-3=x30-3x0-mx0-2，即2x30-6x20+6+m=0．∴过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线，所以方程2x30-6x20+6+m=0有三个不同的实数解．∴函数g(x)=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点．

则g′(x)=6x2-12x，令g′(x)=0x=0或x=2．

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)

g′(x)+0-0+

g(x)增极大值减极小值增

则g(0)>0,g(2)<0, 即6+m>0,-2+m<0, 解得-6

点拨 本题虽以曲线的切线形式出现，但考查的本意通过把三条切线的问题转化为方程有三个不同解的问题，再依赖于导数加以解决。

总结 曲线的切线的问题总是找（设）切点问题，通过导数来完成。

类型4：涉及实际应用问题

【例4】 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)2万件．

（1） 求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式．

（2） 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).

分析 本题是求商品利润的最大值问题，通过第一小问找出函数关系式，同时注意到定义域范围和参数a的取值，借助于导数并通过分类讨论求出最值。

解 （1） 分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式为：L(x)=(x-3-a)•(12-x)2,x∈

［9,11］.

（2） L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L′(x)=0得x=6+23a或x=12（不合题意，舍去），∵3≤a≤5,∴8≤6+23a≤283.在x=6+23a两侧L′(x)的值由正变负．

（a） 8≤6+23a<9即3≤a<92时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).

（b） 当9≤6+23a≤283即92≤a≤5时

Lmax=L6+23a=6+23a-3-a•

12-6+23a2=43-13a3.

∴Q(a)=9(6-a),3≤a<92，

43-13a3,92≤a≤5. 

综上所述：若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大Q(a)=9(6-a)（万元）；当92≤a≤5，则当每件售价为6+23a元时，分公司一年的利润L最大，最大Q(a)=43-13a3（万元）．

点拨 这道题不难，但很有技巧性，同学们对第一小问表达式L(x)=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］展开，再求导，则不易求出极值点，本题难在分类讨论。

总结 学以致用，是数学永远的关注点，而用导数处理应用题中的最值问题是高考中的又一热点。

牛刀小试

1． 已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)．

（1） 当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

（2） 若函数y=f(x)-t-1有三个零点，求t的值；

（3） 若存在x1,x2∈［-1,1］,使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1，试求a的取值范围．

2． 已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为x+2y-3=0. 

（1） 求a,b的值；

（2） 证明：当x>0,且x≠1时，f(x)>lnxx-1.

3． 如图有一块半椭圆形钢板，其长半轴长2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S．

（1） 求面积S以x为自变量的函数式，并写出定义域；

（2） 求面积S的最大值．

【参考答案】

1． （1） f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)•lna，由于a>1，故当x∈(0,+∞)时，lna>0,ax-1>0，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．

(2） 当a>0,a≠1时，因为f′(0)=0，且f′(x)在R上单调递增，故f′(x)=0有唯一解x=0．

所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：

x(-∞,0)0(0,+∞)

f′(x)-0+

f(x)递减极小值递增

又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点，所以方程f(x)=t±1有三个根，

而t+1>t-1，所以t-1=(f(x))min=f(0)=1，解得t=2．

(3） 因为存在x1,x2∈［-1,1］，使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1，所以当x∈［-1,1］时，|(f(x))max-(f(x))min|=(f(x))max-(f(x))min≥e-1.

由(2）知，f(x)在［-1,0］上递减，在［0,1］上递增，

所以当x∈［-1,1］时，(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(-1),f(1)}，

而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-1a+1+lna=a-1a-2lna，

记g(t)=t-1t-2lnt(t>0)，因为g′(t)=1+1t2-2t=1t-12≥0（当t=1时取等号）

所以g(t)=t-1t-2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增，而g(1)=0，

所以当t>1时，g(x)>0；当0

也就是当a>1时，f(1)>f(-1)；当0

①当a>1时，由f(1)-f(0)≥e-1a-lna≥e-1a≥e，

②当0

综上所述，所求a的取值范围是a∈0,1e∪［e,+∞).

2． （1） f′(x)=ax+1x-lnx(1+x)2-bx2，由于直线x+2y-3=0的斜率为-12，且过点(1,1)，故有

f(1)=1,f′(1)=-12, 即b=1,a2-b=-12,

解得a=1,b=1. 

(2） 由（1）知f(x)=lnxx+1+1x，所以f(x)-lnxx-1=11-x22lnx-x2-1x．

考虑函数h(x)=2lnx-x2-1x(x>0)，则h′(x)=2x-2x2-(x2-1)x2=-(x-1)2x2，

所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)=0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得11-x2h(x)>0；

当x∈(1,+∞)时，h(x)<0，可得11-x2h(x)>0.从而当x>0且x≠1时，f(x)-lnxx-1>0，即f(x)>lnxx-1．

3． （1） 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图)，则点C的横坐标x,点C的纵坐标y满足方程x2r2+y24r2=1(y≥0),解得y=2r2-x2(0

则S=12(2x+2r)•2•r2-x2=2(x+r)r2-x2，其定义域为{x|0

（2） 记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0

4.《导数的概念》教学反思 篇四

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的`单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用(解答题的第2、第3个问)往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的8分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点(a,f(a))的曲线方程，

2、求曲线y=f(x)过点(a,f(a))的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，王祖青同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。

5.导数的几何意义说课稿 篇五

一、教材分析

本节内容选自人教B版数学选修1-1第3章“导数及其应用”第3.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法.教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用形成完整概念，有利于学生对知识的理解和掌握.通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.二、学生学习情况分析

选修1是文科学生学习的内容，学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点。

三、教学目标

1、知识与技能：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线 方程的方法。

2、过程与方法：通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力。并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从 特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题 时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。

四、教学重点、难点

教学重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。教学难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解。

为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，我特别设计了如下的教法和学法：

五、学法与教法 教法：

在教学过程中始终以学生为主体开展一切教学活动，注重师生互动，共同探索；教师精心设计问题，引导学生循序渐进，获得知识。

(1)新课的引入：通过课件的展示，提出问题，激发学生的求知欲。(2)探索导数的几何意义：数形结合，让学生在观察，思考，发现中学习。(3)例题处理：始终从问题出发，引导学生在探索中获得答案。(4)随堂演练：深化对导数几何意义的理解与应用，巩固新知。

学法：

(1)自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如对导数几何意义的探讨）

(2)合作学习：师生之间，同学之间合作交流，共同探讨问题（如对切线方程解法的归纳总结）

(3)探究学习：引导学生主动探索解答问题的方法（如例题的处理）

六、教学过程设计

（一）旧知回顾、新课引入

yf(x0x)f(x0)1.平均变化率定义：=；

xx2.平均变化率几何意义：函数图象割线AB的斜率k ； 3.导数的定义：f(x0)limyf(x0x)f(x0)

x0xx4.导数的物理意义：物理中，导数的一种意义就是瞬时速度，反映物体某一时刻运动的快慢程度.那么，导数的几何意义是什么呢？

设计意图：通过提问，学生复习，实施类比迁移，引入本节课题，并为探寻导数的几何意义作好准备.（二）导数几何意义的探求过程 [一]切线的定义

演示课件：圆的割线与切线。

问题

1、以前学习过圆的切线是如何定义的？

学生：圆的切线定义用直线与圆交点个数或圆心到直线的距离来定义.课件演示：一般曲线的切线和割线

问题

2、曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗？ 设计意图：概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定。由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程。

演示课件：曲线的割线PQ趋近确定位置PT的过程

问题3：已知点P,Q,当点Q趋近于点P时，割线PQ的变化趋势是什么？

设计意图：通过PPT课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.学生：点Q趋近于点P时，割线PQ趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线。教师：引导学生归纳总结曲线在点P处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，不一定是曲线的切线.[二]导数的几何意义

问题

4、观察割线PQ斜率（平均变化率）与切线PT斜率k有什么的关系？ 设计意图：要求学生数与形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义.板书课题：导数的几何意义

对导数几何意义的细节问题进行分析归纳(1)概念分析：导数几何意义的实质；导数几何意义可以解决那些问题。 (2)注意问题：要根据割线是否有极限位置来判断曲线在某点是否有切线；曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷个；P处切线”与“过点P的曲线的切线”区别：“曲线上点板书、板图点P位置对曲线切线的影响并引入下一个环节：应用导数的几何意义解决求曲线切线的问题 板书：导数几何意义的应用

（三）导数几何意义的应用

例

1、求抛物线yx21 过点（1,2）的切线的斜率。

问题

7、点（1,2）是否是抛物线上点？

设计意图：引导学生注意已知点的位置对求切线的斜率的影响。学生：点（1，2）是抛物线上的点，即为切点。

问题

8、根据导数的几何意义曲线上某一点切线的斜率应等于？

设计意图：强化导数的几何意义。

学生：曲线上某一点切线的斜率应等于这一点的导数。问题

9、试着写出例题1的解题步骤。

设计意图：锻炼学生独立思考与解答问题的能力。

11过点(2,)的切线方程。

2x问题

10、如果求切线方程，我们还需要什么条件？ 例

2、求双曲线y设计意图：引导学生从问题出发思考问题，培养学生清晰的解题思路。学生：常用点斜式求直线方程。问题

11、如何计算切线斜率? 设计意图：进一步熟悉导数的几何意义，并使学生初步掌握求解曲线上某一点切线方程的常用方法。

学生：利用求导数的方法计算。

11师生：一起求出双曲线y在点(2,)处的导数，并用直线方程的点斜式写出

2x直线方程。

练习：已知曲线yx21上一点横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。学生板演，师生共同点评。

设计意图：培养学生正确运用数学语言独立解决问题的能力。

师生共同总结过曲线上某点切线方程的求解步骤（学生归纳总结，教师用大屏幕演示）

（1）确定曲线上点P的坐标；

（2）求出曲线在点P处的导数即切线的斜率；（3）利用点斜式求切线方程.当点P不在曲线上是，如何求过点P的切线方程呢？

教师板书分析过程

师生：通过多媒体课件的演示，设切点坐标，从利用直线上两点坐标求切线斜率和应用导数求切线斜率两方面入手，求解出切点坐标以及切线斜率。并应用点斜式写出切线方程。

师生共同总结已知点P不在曲线上时，过点P的曲线切线方程的求解步骤：

(1)设切点为Q(x0,y0)；(2)f(x0)=切线的斜率k ；(3)利用两点式求切线斜率k ；(4)联立f(x0)yPyQxPxQ，解得x0；

(5)根据x0求的斜率k；(6)根据点斜式写出切线方程。

跟踪演练：

1.在曲线yx2上过哪一点的切线（1）平行于直线y4x5

（2）垂直于直线2x6y60

123x过点(1，）的切线方程。22设计意图：通过学生独立应用导数意义求过某点的曲线的切线方程，培养学生主2.求抛物线y动探索，解决问题的能力，并且加深学生对导数几何意义的理解，熟练掌握几何意义的应用。

（四）归纳小结：

先由学生口头总结，然后教师归纳整理（大屏幕展示）：

1、切线定义（无限逼近的方法定义切线，反映了切线的直观本质）.2、导数的几何意义是曲线在点P处切线的斜率.(是函数f(x)在P 处的瞬时变化率).3、应用导数的几何意义求曲线的切线方程一般步骤。

（五）作业：（必做）教材练习A：3，练习B：2（选作）教材习题3-1A: 4,习题3-1B：4

思考：你能尝试着利用导数的几何意义描述曲线的凹凸性与增减性的关系吗？

七．评价与反思

本节课通过多媒体课件的直观演示，引导学生通过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义。在教学的过程中加强了对学生观察能力，独立思考能力，理解归纳能力，及数形结合能力的训练。并且注重师生，生生之间的合作交流，及时对学生所取得的成绩进行肯定，从而使学生获得成就感。增强其自信心，激发学

6.导数的经济意义 篇六

1.1 常用的边际函数

经济学家经常把一个函数的导数称为该函数的边际值: (1) 成本函数与边际成本。某工厂生产一种产品的成本函数记为C=C (q) , q为产量, 称为边际成本, 它表示在产量为q的基础上, 多生产一单位产品所增加成本的近似值。 (2) 收益函数与边际收益。在商业活动中, 一定时期内的收益, 就是指商品售出后的收入, 记为R.商品的总收入取决于销售量q和价格p, 因此, 收入函数为:R=pq。设收入函数为R=R (q) , 则R' (q) 称为边际收入。它可以估计在现有条件下, 再多销售一单位商品所得收入的增加量。 (3) 利润函数与边际利润。利润是指收入扣除成本后的剩余部分, 记为L即L=R-C。

设利润函数为称为L=L (q) , L&apos; (q) 边际利润。它可以估计在现有条件下再多销售一单位商品所得利润的增加量。

1.2 边际分析在实际中的应用

在实际问题中通过边际函数我们可以定出最合适的价格, 得出最佳产量、最大的利润从而制定出最佳的生产计划。

例1:某商店每周购进一批商品, 进价为6元/件, 若零售价定为10元/件可售出120件;当售价降低0.5元/件时, 销量增加20件。问售价p定为多少和每周进货多少时利润最大。

解:利润函数

L&apos; (p) =40 (19-2p)

L&apos; (p) =0圯p=9.5

所以当零售价为9.5元/件时利润最大, 此时每周进货量为:

例2:已知某商品的成本函数为, 求当q=10时的平均成本和边际成本并从降低成本角度看, 是否应当继续提高产量。

解:平均成本函数

以上结果表示生产每一件产品的平均成本是22.5元。若在产量为10件的基础上再多生产一个单位需要增加的成本是5元。即边际成本为5远低于平均成本22.5, 从降低成本的角度看增加生产还是有利可图的, 应当继续提高产量 (反之边际成本若大于平均成本应当减少产量) 。

2 经济中的弹性分析

2.1 弹性的概念与意义某种商品的价格由10元/件

涨到11元/件, 另一种商品的价格由10000元/件涨到10001元/件, 二种商品价格的绝对改变量都是1, 但与原价格相比第一种商品上涨了10%, 第二种商品只上涨了0.01%, 因此在边际分析中, 我们分析的是经济量的绝对改变率, 而在经济问题中仅仅用绝对量是不足以深入分析问题的, 还有必要分析函数的相对变化率, 为此定义弹性概念:

2.2 需求价格弹性

2.2.1 需求价格弹性的概念。

需求和价格的关系是供求理论中的重大问题。我们需要了解需求量对价格的变化的敏感程度即某商品价格下降或上升百分之一时, 所引起的市场对该商品需求量增加或减少的百分比, 衡量商品需求量与价格的这种关系用需求价格弹性, 记做Ep (价格是自变量设为p, 需求量是因变量设为Q) , 其计算公式为:

则;即当价格增加或减少1%时, 需求量受之影响在原条件下改变Ep% (-Ep%) 。

2.2.2 弹性分析的应用。

弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。比如价格上升5%, 对销售额有什么影响?销售额增加20%, 价格需下降多少?若大米和彩电同时涨价20%, 为什么人们继续买大米而暂时放弃买彩电等等。

一般情况下需求函数Q=Q (p) 是单调减少的函数, 即价格提高, 需求量减少 (△p>0, △Q<0) , 因此需求弹性Ep<0。因为当某种商品价格增加或减少1%时, 需求量将增加或减少|Ep|%, 所以当我们比较商品需求弹性的大小时通常是比较其需求弹性的绝对值Ep的大小, 绝对值大, 商品的需求弹性就大。

|Ep|>1 (Ep<-1) 时, 需求量的相对变化大于价格的相对变化, 即价格的变化对需求量的影响较大, 称为富有弹性。|Ep|<1 (-1<Ep<0) 时, 需求量的相对变化小于价格的相对变化, 称为缺乏弹性, 一般来说生活必需品的市场需求量对价格的变化幅度不大, 弹性值小。|Ep|=1 (Ep=-1) 时, 需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等, 称为单位弹性。需求弹性反映出人们对某东西的需求程度。

2.2.3 需求价格弹性与收益关系的分析。

不同商品的需求弹性不同, 价格变动引起的销售量的变动不同, 从而总收益R的变动也就不同:

(1) 需求富有弹性的商品需求价格弹性与总收益之间的关系:若某种商品的需求是富有弹性的, 那么价格下降时, 需求量增加的比率大于价格下降的比率, 销售者的总收益会增加;当价格上升时, 需求量减少的比率大于价格上升的比率, 销售者的总收益会减少。即此时|Ep|>1 (Ep<-1) , R'<0, R递减, 则价格上涨, 总收益减少, 价格下降, 总收益增加。 (2) 需求缺乏弹性的商品需求价格弹性与总收益的关系。对需求缺乏弹性的商品, 当该商品价格下降时, 需求量增加的比率小于价格下降的比率, 销售者的总收益会减少。当该商品的价格上升时, 需求量减少的比率小于价格上升的比率, 销售者的总收益增加。此时|Ep|<1 (-1<Ep<0) , R'>0, R递增, 则价格上涨, 总收益增加, 价格下跌, 总收益减少。若|Ep|=1 (Ep=-1) 需求量的变化幅度等于价格的变化幅度, 价格与需求量同比例上升或下降, 总收益不变。因此, 需求富有弹性的商品|Ep|>1, 厂商如果涨价, 收入反而减少, 此时应采取降价政策;需求缺乏弹性的商品|Ep|<1, 厂商涨价后收入可以提高, 此时可以采取提价政策;若Ep=1, 需求量的下降抵消了价格上涨的收益, 厂商收入不变。

参考文献

[1]田勇.微积分[M].机械工业出版社, 2002:152-176.

[2]宋劲松.经济数学基础[M].北京:科学出版社, 2007:53-57.

7.例析导数的误区 篇七

例1 已知函数[f（x）=x33-（4m-1）x2+（15m2-][2m-7）x+2]在实数集R上是增函数，求实数[m]的取值范围.

错解 [f（x）=x2-2（4m-1）x+15m2-2m-7，]依题意，[f（x）]在R上恒大于0，所以[Δ=m2-6m][+8<0]，得[2

分析 当[f（x）>0]时，[f（x）]是增函数，但反之并不尽然.如[f（x）=x3]是增函数，[f（x）=3x2]并不恒大于0（[x=0]时，[f（x）=0]）.

解 本题应该有[f（x）]在R上恒大于或等于0，所以[Δ=m2-6m+80]，得2≤[m]≤4 .

点拨 一般地，可导函数[f（x）]在[（a，b）]上是单调递增（递减）函数的充要条件是：[?x∈a，b]，都有[f（x）0（f（x）0）]，且[f（x）]在[a，b]的任何子区间内都不恒等于零.因此，在已知函数[f（x）]是增（减）函数，求参数的取值范围时，应令[f（x）0（f（x）0）]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使[f（x）=0]恒成立，若能恒成立，则参数应舍去；若[f（x）=0]不恒成立，则由[f（x）0（f（x）0）]恒成立确定解出的参数.

误区二 误认为导数为零的点（即：驻点）一定是极值点

例2 已知函数[f（x）=x44+b3x3-（2+a）2x2][+2ax]在点[x=1]处取极值，且函数[g（x）=x44+] [b3x3-（a-1）2x2-ax]在区间[（a-6，2a-3）]上是减函数，求[a]的范围.

错解 [f（x）=x3+bx2-（2+a）x+2a]，

由[f（1）=0]得[b=1-a]，

[∴g（x）=x3+bx2-（a-1）x-a=（x-a）（x2+x+1）.]

当[x

∴[（a-6，2a-3）][?][（-∞，a）]，

∴[a-6<2a-3a]，故[-3

分析 满足[f（x0）=0]的点[x=x0]称为驻点. 以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到[f（1）=0]，即[x=1]是[f（x）]的驻点，那么它究竟是不是极值点呢？当[b=1-a]时，[f（x）=x3+（1-a）x2-（2+a）x+2a=][（x-1）（x+2）（x-a）]，如果[a=1]，那么[x=1]就只是拐点而非极值点.

解 [a]的准确范围应为-3<[a]≤3且[a≠1].

误区三 误认为极值只能在导数为零的点取得

例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.

错解 由于[fx=x2-x-6 ，x-2或x3，-x2+x+6 ，-2

于是[fx=2x-1 ，x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]，得[x=12.]

当[-20]；当[12

所以当[x=12]时，函数有极大值[254].

分析 在确定极值时，只讨论满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象.

解 正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处，函数取到极小值0.

误区四 求曲线的切线方程时，习惯性地把题中所给的已知点当作切点

例4 已知曲线[C]的方程：[y=f（x）=3x-x3]，求曲线上过点[A（2，-2）]的切线方程.

错解 因为[y=3-3x2]， 所以[f（2）=-9]，切点为[A（2，-2）]，此时切线方程为[9x+y-16=0.]

分析 求高次函数[y=f（x）]在其上某点处的切线方程是导数的重要应用之一，但有时忽视对切点的位置进行具体分析，常常容易导致误解.若题中条件为求在点[x0，y0]处，或是在[x=x0]处的切线方程时候，已知点即为切点.若题中的条件为求过点[x0，y0]的切线方程，则应注意此点不一定是切点. 本题中虽然点[A（2，-2）]在切线上，但未必是切点，故应设出切点坐标，根据切点在曲线上，已知点在切线上，切点处的导数等于切线斜率这三个条件列出方程，求出切点坐标.

解 设切点坐标为[Px0，y0]，则在[P]点处的切线方程为[y-y0=（3-3x02）（2-x0）].整理得，[x03-3x02+4=0]，即[（x0+1）（x0-2）2=0]，所以[x0=-1或x0=2].

当[x0=-1]时，切点为[-1，-2]，此时切线方程为[y=-2].

当[x0=2]时，切点为[A（2，-2）]，此时切线方程为[9x+y-16=0].

所以过点[A（2，-2）]的切线方程为[y=-2]或[9x+y-16=0].

误区五 误用求导法则

例5 [y=lnx]的导数是 .

错解 [y=1x].

分析 应分类求导.

解 （1）当[x>0]时，[y=1x.]

（2）当[x<0]时，[y=ln-x=1x].故[y=1x.]

误区六 忽视导函数与原函数图象关系致错

例6 设[f（x）]是函数[f（x）]的导函数，[y=][f（x）]的图象如图所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）

[A B

C D]

错解 许多同学由于对导函数与原函数的图象的对应关系理解不到位而凭空乱猜.

分析 只要抓住导函数的零点就是原函数图象的极值点以及导函数与单调性的相互关系，就可以迅速解题.

8.TanX的导数 篇八

对两点边值问题,袁利用单元能量法提出了一类超收敛导数校正公式.该文给出了数学证明,理论分析和袁的计算结果一致.

作 者：魏继东 朱起定 WEI Ji-dong ZHU Qi-ding 作者单位：魏继东,WEI Ji-dong(衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

朱起定,ZHU Qi-ding(湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081)

9.导数应用的攻坚战 篇九

从内容上看，考查导数有三个层次：①导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；②导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；③导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．

从特点上看，高考对导数有时单独考查，有时与其他知识交汇考查，如常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查．

从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型也会同时出现．

重点：导数的概念；导数的运算法则和几何意义；用导数研究函数的单调性、极值、最值以及它与其他知识点交汇处的综合应用．

难点：与导数有关的难点主要集中在两个层面. ①概念理解层面：比如导数的极限定义，曲线“过一点”和“在一点”处的切线的区别，导数与函数单调性之间是充分不必要关系，可导函数极值点与导数之间是充分不必要关系，以及极值与最值的联系与区别，等等. ②能力发展层面：在高考中，导数对考生能力的考查是全方位的，它不仅要求考生能熟练应用高中常见的数学思想方法，例如化归与转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想，而且还要掌握一些重要的解题策略，例如分离变量、构造函数、换元法、变更主元、多重求导等解题技巧．

1． 利用导数研究切线斜率

２． 利用导数研究函数性质

特别值得注意的是，掌握以上几种典型类型问题的解法步骤只是解决好导数问题的基本能力，切不可生搬硬套，一定要结合具体问题做具体分析．

点评 特别提醒：“曲线在P处的切线”只有一条，且P为切点；“曲线过点P的切线”有两条，P不一定是切点，因此在审题过程中要仔细把握．

1． 明确方向，夯实基础

由于导数的应用在选择题、填空题和解答题中都会涉及，因此，首先要立足基础，抓好基本概念和基本题型的巩固复习，强化分类讨论、求导运算等基本功，熟练应用等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，适当加大复习题中对综合性问题的练习比例，提高自身解题能力．

2． 注意积累经验，触类旁通

10.二阶导数的几何意义 篇十

关键词：二阶导数,等价定义,凹率,二次切线,几何意义

1. 引言

函数f( x) 在x0处的导数f'( x0) 有明确的几何意义,就是曲线f( x) 在点( x0,f( x0))处切线的斜率,切线是曲线上两点割线的极限位置,切线方程为y = f'( x0) ( x - x0) + f( x0) .

函数f( x) 在x0处的二阶导数f″( x0) 是导函数y = f'( x) 在x0处的导数,即

对于二阶导数的几何意义,数学教材未见明确,仅定性给出二阶导数的正负可判定曲线的凹凸性. 至今尚未发现二阶导数的简明几何意义,为填补这一空白,本文从导数的几何意义出发,提出二阶导数的几何表达及等价定义,引入凹率概念,建立了二次切线的定义和方程,发现了二阶导数与二次切线( 抛物线) 焦准距的关系,对二阶导数作出全新的几何认识和理解,也是对导数理论的有益补充和完善.

本文在平面直角坐标系中讨论,涉及的所有抛物线均为纵向开口,为叙述方便,将 Δx替换为 δ.

2. 切线斜率的变化率

据导数的几何意义,二阶导数按( 1) 式可直接理解为曲线的 切线斜率 的变化率,也就是切线斜率的平均变化率的极限情形. 若函数相邻点的导数f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) ( δ≠ 0) ,则曲线两点处的切线斜率不同,两切线必相交,在函数y = f( x) ( f″( x) ≠0) 曲线上取定点M和动点N( 图1) ,分别作切线交于R,M的切线与N的纵线交于P; 设N与M的横坐标差为 δ,N与R的横坐标差为d,N与P的纵坐标差为h,则两切线斜率的增量为

则两切线斜率的平均变化率为

其中

在N→M时的极限处,( 3) 式右端的极限就是M点处切线斜率变化率的几何表述,即

由( 2) 和( 4) 有

令N→M,将 δ 作为变量用洛必达法则对上式求极限可有

将( 6) 代入( 5) 式右端即有

便得到( 5) 的等价式

注意到( 7) 式右端与变化量d无关,在f' ( x0+ δ) = f'( x0) ( h = 0) 时也成立,故( 7) 式就全面描述了曲线在M点处切线斜率的变化率,也就是函数y = f( x) 在x0处二阶导数的几何表达.

3. 二阶导数的等价定义

定理二阶导数等价定理: 一般地,函数f( x) 在某区间内x0处的二阶导数f″( x0) 可等价表达为

证明因f″( x0) 存在,故f'( x0) 必存在且函数f'( x) 在x0处连续,则由导数定义有

由定义式( 1) 即得结论,证毕. 当f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) 时, 即可推得( 6) 式.

( 8) 式就是二阶导数的等价定义! 在几何上,二阶导数则可由下式完全等价表达( 如图2) ,即

4. 二阶导数的几何本质 - 凹率

据曲线的凹凸性,f″( a) > 0时,曲线在a点上凹; f″( a) < 0时,曲线在a点下凹. 如果规定曲线在a点上凹为正,下凹为负( 以下均如此设定) ,则凹向的正负就与f″( a) 的正负一致,f″( a) 的正负就表示曲线在a点上凹的正负.

进一步分析二阶导数的几何表达式( 9) ,如图2,h是曲线纵向偏离切线的距离,当h > 0时向上偏离,当h < 0时向下偏离. h与f″( x0) 同号, 式( 9) 就包括了曲线在点M处上凹的正负性.

在几何上,二阶导数f″( x0) 的值就表示函数曲线f( x) 在点( x0,f( x0) ) 处的凹率大小,即f″( x0) = C.

5. 抛物线的凹率与焦准距

特殊地,对于抛物线

其导函数为y' = 2ax + b,二阶导函数为y″ = 2a.

由平均凹率的概念,抛物线( 10) 上任意弧段的平均凹率

这表明,抛物线( 10) 上任一点的凹率C = 2a都相同,称2a为整个抛物线( 10) 的凹率.

抛物线( 10) 经平移可得原点为顶点的标准抛物线,参数a不变,标准抛物线方程y =x2/2p,其中p为焦准距,定义焦准距为焦点与准线的纵坐标差,则抛物线( 10) 的焦准距p =1/2a,显然可得,抛物线的凹率是其焦准距的倒数,即C = 2a =1/p.

取任意非顶点A作抛物线( 10) 的切线和法线,与对称轴围成Rt△ABC( 图3) ,称作A点的抛物线三角形,作AD⊥BC,易证: 顶点E是切线段AC的轴投影DC的中点; 焦准距长︱p︱等于法线段AB的轴投影BD的长; 焦点F是的轴线段BC的中点.

6. 曲线的切割抛物线和二次切线

显然两曲线在M点相切,又在N点相割,称抛物线 ( 11) 为曲线f( x) 在切点M和割点N上的切割抛物线,其凹 )率即曲线f( x) 弧的平均凹率珔C.

同时,曲线f( x) 在N点的切线斜率f'( x0+ δ) 的极限也为f'( x0) ,于是N→M时两曲线在N点的两条切线斜率趋于相等,两切线趋于重合,两曲线因在N点趋于有公切线而趋于相切,即有

由二阶导数等价定理即等价式( 9) 知,δ→0( N→M) 时上式为

此时,切割抛物线( 11) 的割点N与切点M趋于重合, 切割抛物线与曲线在M点处第二次相切,又因抛物线属二次曲线,故可称极限处的切割抛物线( 12) 为曲线f( x) 在M点处的二 次切线,式 ( 12 ) 就是曲线f ( x ) 在点M(x0,f(x0))的二次切线方程.

二次切线的几何定义: 曲线上两点的切割抛物线( 纵向开口) 的极限位置.

二次切线的图形可由M点的抛物线三角形确定顶点焦点方便地作出. 抛物线的二次切线是其本身.

7. 二阶导数的几何意义

其中p是二次切线的焦准距( 焦点与准线的纵坐标差) ,其长度︱p︱等于法线段在对称轴上的投影长.

曲线f( x) 在点M( x0,f( x0) ) 处的二次切线方程为

特别地,当f″( x0) = 0时,曲线在x0处及其二次切线的凹率均为0,二次切线退化为切线.

8. 结论

11.数学建模在导数教学中的应用 篇十一

【摘要】 作为导数教学中的一个重要方法，数学建模有着不可替代的重要的作用。在数学教学的过程中必须保证其建模的准确性。因为建模的准确性直接影响到导数教学的效果。那么对于数学建模来说，其不仅是导数教学的一个重要组成部分，同时也是我国数学发展过程中的一种重要展现方式。随着数学学科的不断发展，在数学教学中出现了很多教学方法，但是事实证明，数学建模是目前为止在导数教学过程中最有效地一种方法。因此，下面重点来谈下数学建模在导数教学中的重要运用。

【关键词】 导数教学 建模 应用 影响 教学方式

一、数学建模在导数教学中的主要表现

1.1数学建模用于生活实践

相对于其他学科来说，数学本就是一个重在实践的学科。那么数学建模在导数教学中的主要目的就是指导实践，通过数学建模的方式，在最大程度上将数学理论用于实践才是数学的根本目的。对于建模来说，将抽象的导数转换成生活实践中的具体数值尤为重要。这种理论指导实践的方式，是我们数学学科区别于文学的重要特点。数学建模的形式可以对我们的生活中的一些问题进行具体的指导，这就是数学建模最大的优势所在。

1.2数学建模的展现方法

对于数学学科来说，一个重要的展现方法就是通过逻辑思维的方式对我们的生活中的具体事件进行数字化的分析。用抽象的导数形式来表示生活中那些具象的事物，并且在不断变化的生活中，用数学建模的方式找到固定的发展规律，用以帮助人类了解日后事物的发展形势。一方面可以有效地掌握事物的发展规律，另一方面还可以节省大量的人力及其物力，对可能出现的危险进行及时的预防和限制。在对经济的发展趋势分析方面，数学建模有着十分广泛的应用。因为其有着良好的预测方法和精准的数据，在预测经济走向的时候，有着举足轻重的作用。

1.3数学建模应用在导数教学中的表现

对于一些抽象的事物来说，数学建模在很大程度上都可以应用在导数教学上。比如对于速度的测算方面，数学建模的作用是显而易见的。对于运动的总长度和平均速度来说，一个数学建模就可以将其非常精准的展现出来。复杂的数据也将不再成为你计算的问题和难题。通过数学建模的方式，在导数教学中可谓是不可多得的重要方法。那么对于我们生活中一些其他的问题同样也可以通过数学建模的方式对其进行解决。比如人口的增长率，人均国土面积甚至于我国经济的走向等等都可以用数学建模的方式来展现。

二、数学建模在导数数学中的问题研究

2.1收集数据的精准化

对于数学建模来说，精准的数据是影响导数教学的重要方面。这就要求数学建模的相关数据一定要准确。因为数据的差距会直接影响到数学建模的效果。我们的生活中是否会出现诸如此类的事件，因为一个小数点的变化而影响到整个数据的巨大差异。这就是要求我们的工作人员在工作的过程中一定要保证数据的精准化，这样也是保证数学建模准确的方式。数据的准确是我们在日常生活中应该追求的重要方面，在整个数学建模的过程中，保证数字的精准化，将会极大限度的发挥数学建模的重要作用。

2.2结合实际情况进行相对应的改变

任何事物都不是一成不变的，导数教学也一样。不同的情况下，导数教学的方式也不尽相同。因为随着我们生活的不断改变，层出不穷的新事物也将不断的涌现出来。随机应变也是数学建模中值得注意的一个问题。随着我们生活的不断发展和进步，越来越多的微信微博视频网站出现在我们的视野前。对于研究这些社交平台和视频的受众来说，我们不能单纯的计算这些视频的浏览率，同时还需要注意的就是在这些平台和视频上的停留时间。这就是结合实际情况进行相对应的改变。

很多具体的事件都不能完全的依靠固定的规律，要通过实践才能得出正确的结论。结合实际情况，进行数学建模是导数教学模式中最为重要的一个环节。也是我们在运用数学建模的过程中需要特别主要的问题。

三、结束语

数学建模作为导数教学过程必不可少的一个重要方式，不仅对我们的生活有着非常深远的意义，同时也是我国的数?W研究史上浓墨重彩的一笔。对于我们目前的生活来说，如何做到精准化，细致化和专业化才是我们应该全力追求的重要目标。

数学建模，不仅是数学上一个重要的方法，也是我国调查，统计相关工作的一个好帮手，它可以让庞大的数据变得简单，也可以让抽象的事物明显的展现出自己的发展趋势。对于我们这些数字模型的研究者来说，在研究的过程中会发现许多十分有趣的东西。这也算是数字模型对我们努力工作的一种嘉奖。

参 考 文 献

[1]赵春燕；；构造函数，利用函数性质证明不等式[J]；河北北方学院学报（自然科学版）；2006年02期

[2]江婧；田芯安；；在数学分析中作辅助函数解题[J]；重庆文理学院学报（自然科学版）；2006年03期

12.TanX的导数 篇十二

与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F (x)和如何构造函数F (x)不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数F (x)，给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。

一、与导数有关的函数题概述

与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围，含参(一元参数或二元参数)不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参(一元参数或二元参数)不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参(一元参数或二元参数)方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f(x)≥g(x)的形式来说明。

二、程序化构造函数F (x)的统一模式

1.直接法：令F (x)= f(x)-g(x)。

2.化积法：若 f(x)-g(x)=h(x)k(x)，且h(x)≥0,令F (x)= k(x)。

3.伸缩法：若 f(x)≥ f1(x)，则令F (x)= f1(x)-g(x)，其中，f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。

4.控元法：含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F (x)(F (x)不含参数)。

5.分离变量法：若能分离出变量k≥k(x)，则令F (x)=k(x)。

三、程序化构造函数F (x)的统一模式在高考题中的运用

例1 (高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。

(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论 f(x)的单调性。

(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0.

(Ⅰ)解：m=1. f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。(解答过程省略)

(Ⅱ)证明：当m≤2,x∈(-m,+∞)时，ln(x+2)≥ln(x+m)。记F (x)=ex-ln(x+2)，则F ′(x)=ex- .

∵F ′′(x)=ex+ >0,∴F ′(x)在(-2,+∞)上单调递增。

∵F ′(0)=1- >0,F ′(-1)= -1<0,即 = ,x0=-ln(x0+2)，∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.

当x∈(-2,x0)时，F ′(x)<0,此时函数F (x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时，F ′(x)>0,此时函数F (x)单调递增。

∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.

小结 本题是一道含参不等式的`证明题，考生若不假思索地直接采用构造F (x)=左-右，则在求F ′(x)=0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。

例2 (高考山东理科卷第22题)已知函数f(x)= (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。

(Ⅰ)求k的值。

(Ⅱ)求 f(x)的单调区间。

(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) f ′(x)，其中 f ′(x)为 f (x)的导函数。证明：对任意x>0,g(x)<1+e-2.

(Ⅰ)解：k=1.(解答过程省略)

(Ⅱ)解：函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。(解答过程省略)

(Ⅲ)证明：g(x)=(x2+x)・ =(1+x)・ .

欲证g(x)<1+e-2,即证1-x(ln x+1)< (1+e-2)。①

令F 1(x)=1-x(ln x+1)，则F (x)=-ln x-2.令F (x)=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈(0,+∞)。

当x∈(0,e- 2)时，F (x)>0,此时F 1(x)单调递增;当x∈(e- 2,+∞)时，F (x)<0,此时F 1(x)单调递减。∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.

令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0,∴F 2(x)在(0,+∞)上单调递增。∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得证。∴ g(x)<1+e- 2(x>0)。

小结 如何构造函数F(x)，关键在于F ′(x)=0是否易求(或易估)。若直接求g(x)，则g′(x)=0的求解将陷入泥潭。

例3 (20高考辽宁理科卷第21题)设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,b∈R,a,b为常数)，曲线y= f(x)与直线y= x在(0,0)点相切。

(Ⅰ)求a,b的值。

(Ⅱ)证明：当0 (Ⅰ)解：a=0,b=-1.(解答过程省略)

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.

∵ < (0 构造F (x)=ln(x+1)+ - ,则F ′(x)= + - = .

当x∈(0,2)时，∵x2+15x-36<0,∴F ′(x)<0.∴F (x)单调递减。∴F (x) ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ,即f(x)< .

小结 本题若直接对f(x)求导，则会在计算f ′(x)=0时碰壁。原因在于对 求导时，既有根式又有分式，而ln(x+1)的导数仅有分式，使得在求f ′(x)=0时眼到手不到。

(作者单位：厦门工商旅游学校;厦门英才学校)

(责任编校/周峰)

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《利用二次求导巧解高考函数压轴题》