分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

2024-12-20

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（共2篇）（共2篇）

1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用篇一

教学准备

1.教学目标

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式

2.教学重点/难点

教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解

3.教学用具

多媒体

4.标签

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

教学过程引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.分类加法计数原理（1）提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有

5+4=9（种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法„„在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以，第一类，m1 = 1×2 = 2

条

第二类，m2 = 1×2 = 2

条

第三类，m3 = 1×2 = 2

条所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6

条

练习1．填空：(1）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿;

(2）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．

2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用篇二

一、直接枚举

计数问题中，当可能的结果很少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来．

例1 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里．第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆．到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？

分析与解

按题意画出下表：

汽车编号

开走前1， 2， 3， …， 29， 30第一次开走后剩下的2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16， 18， 20， 22， 24， 26， 28， 30



第二次开走后剩下的4， 8， 12， 16， 20， 24， 28

第三次开走后剩下的8， 16， 24第四次开走后剩下的16

从上表看出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车．按题意，第四次8号、24号车开走．到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车．

例2 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门．如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？

分析与解

本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）．这类问题中简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算．但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树状图，非常直观地得到结果．这样的图不妨称为“枚举树”． 

由上图可知，共有6种不同的安排．

二、分类枚举

计数应用题中，当可能的结果较多且问题繁杂时，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决的目的，我们把这种枚举称为分类枚举，分类枚举又可分为两大类：按逻辑顺序一一分类枚举和部分分类枚举．

1 按逻辑顺序一一分类枚举

例3 将数字1， 2， 3， 4填入标号为1， 2， 3， 4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有种．

分析与解

当问题结果数目不大，解决办法也不一般，采用枚举法有时能取得意想不到的效果．显然这个问题难用两个原理列式计算，但可以把各种方法一一列举出来，本题我们可按1号格子中的数字进行分类：数字2填在标号为1的格子中的不同填法有：2143， 2341， 2413共3种；数字3填在标号为1的格子中的不同填法有：3142， 3412， 3421共3种；数字4填在标号为1的格子中的不同填法有：4123， 4312， 4321共3种.故共有9种不同的填法．

【变式1】将1， 2， 3， 4变为1， 2， 3， 4， 5，如何解决？

【变式2】将1， 2， 3， 4变为1， 2， …， n呢？

分析

变式1仍可用枚举法，但结果已经很烦琐；对于变式2，我们可将这类问题进行推广：集合

{1, 2, …, n}的一个排列{a1, a2, …, an}中，如果ai≠i (i=1, 2, …, n)，则称这种排列为一个错位排列（也称更列），则错位排列的个数为Dn=Ann－An－1n+…+(－1)nA0n，有兴趣的同学可以自己研究一下．

通过此例我们可体会出枚举法的优点和缺点及其适用范围．

例4 （2010届湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 .

分析与解

本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况．

(1) 若0个相同，则信息为：1001，共1个；

(2) 若1个相同，则信息为：0001，1101，1011，1000，共4个；

(3) 若2个相同，又分为以下情况：