推理问题数学小论文

推理问题数学小论文（精选19篇）

1.推理问题数学小论文 篇一

邮件车厢上，一箱黄金饰品被人抢走了。福尔摩斯正好乘坐这列火车，他赶到现场时，发现地上有两个烟头。

列车劫案值班员皮特回忆了当时的情景：“上午，我们组长送来一个邮包，说里面有贵重物品，让我注意看管。火车开了一段时间后，我听见有人敲门，先是两下轻的，然后是三下重的。我以为是列车员，便将门打开了，结果闯进来两个陌生人，他们都戴着头套，只露出两只眼睛。他们将我打倒后，各点上一支烟，还叽叽咕咕地说了些什么，但火车声音太大了，我没听清楚……”

福尔摩斯听到这里，摆摆手说：“皮特先生，我认为你有很大嫌疑，你刚才编的这段话里漏洞实在太多了……”

小侦探们，赶紧开动你们的小脑筋想一想，皮特的话里到底有哪些漏洞呢?

答案：

1、劫匪戴着只露出眼睛的头套，怎么可能吸烟?2、火车声音很响，连说话都听不清，皮特怎么还能听到那两声轻轻的敲门声呢?

2.推理问题数学小论文 篇二

一、小学数学合情推理内容

1.数字推理方面。

数字推力模式主要是指一个数列中,数字与数字之间的关系,寻找并发现它们之间的排列规律,补充空缺数字,完善原有数列。数字推理是培养学生熟悉并掌握数量关系的理解能力,提高学生反应速度,能够充分反映一个学生的抽象思维能力。

2.图形推理方面。

图形推理主要是发现一组图形中,各个图形之间的关系,并寻找规律。图形推理具有两大特点:一方面,图形推理具有综合性,是将推理作为基础,为其他思维方式提供辅助的过程,能够培养学生空间想象能力;另一方面,具有有效性,图形推理不仅需要考虑形式空间,还需要兼顾图形之间的联系,难度较高。

3.文字推理方面。

文字推理主要通过语言描述,站在事实角度,结合已知事物特点,推出结论,能够培养学生正确进行思维,通过文字推理,学生不仅能够有条不紊地表达其思想,在提高学生的综合能力方面也具有积极作用。

二、培养小学生数学情理推理能力的有效对策

1.注重合情推理。

我国教育自古以来将严谨治学作为教育根本,特别体现在数学教学中,教师和学生在受到传统教学思想的影响下,误认为数学是一门纯演绎科学,在一定程度上束缚教师思想,扼杀了学生的推理思想。因此,转变传统教学观念,认识到推理对学生未来发展的重要性成为当下小学数学教学的重中之重。

教师要将合情推理作为基础,鼓励学生大胆猜想、发现问题、提出问题,引导学生积极猜想,学生进行数学猜想,是夯实基础知识的有效途径,也是培养学生良好的推理能力的关键手段。另外,教师在学生猜想过程中,不能盲目否定任何一个学生的猜想,针对不正确猜想,教师要引导其进行探索、论证,帮助学生寻找正确答案,促使学生对自身以及数学知识有一个正确的认知。

2.重视情境教学。

情境教学是吸引学生注意力,激发学生学习兴趣的重要手段,在启发学生思维,唤醒学生问题意识方面十分有效。因此,教师要重视情境教学,结合教学内容,合理利用情境教学,激发学生好奇心,促使学生能够参与到推理教学过程中来,促使学生思维从深度和广度两大方面发展。例如:在进行商不变性质教学过程中,可以提出班级要举办聚餐活动,分别安排三个同学去买水果,教师利用多媒体将问题呈现在同学们面前,小明花了90元买30元 / 千克苹果,小花花了45元买15元 /千克鸭梨,小丽花了180元买60元 / 千克的草莓,谁买的水果比较多,教师可以引导学生猜想,并进行计算,最后验证同学们的猜想。

3.培养学生观察能力。

观察是在明确目标的前提下进行的知觉行为,是发现事物特征,激发潜能的重要条件,与注意力和思维能力等联系十分密切。因此,在数学教学过程中,教师要明确观察对培养学生推理能力的重要意义。学生观察能力的培养并非一朝一夕就能够实现的,教师要结合教材内容,有针对性地引导学生进行观察,从多方面、全角度去探寻事物之间的关系和规律,激发思维。

4.加强语言表达。

数学课堂是学生交流数学思想的重要场所,为了能够对数学理论与现象作出解释,教师需要用数学语言区表达,而一部分学生对数学交流的重要性认识不到位,忽视了语言表达,增加了师生之间沟通和交流难度。因此,教师要加强培养学生语言表达能力,在教学过程中,要鼓励学生大胆表达内心想法,阐述题意、过程、思路等,促使学生思维在广度和深度两方面发展;突出学生作为教学主体的重要地位,让学生成为课堂的主人,有针对性地训练学生语言表达能力。

3.填字游戏&世博课堂&小推理 篇三

一、意大利导演安东尼奥尼的作品，影片由四个互不关联的故事组成。

二、形容公正耿直、不畏权势、不徇私情。

三、根据梁羽生武侠作品改编的电影。甄子丹在其中扮演楚昭南。

四、世界最大岛，主权属丹麦王国，首府戈特霍布。

五、原指留声机。现比喻话多的人。

六、以歌唱为主综合诗歌、音乐、舞蹈等艺术的戏剧。

七、长篇小说《暗算》的作者，原名蒋本浒。

八、被派遣或收买来从事刺探机密、情报或进行破坏活动的人员。

九、梁静茹的一首歌。首句歌词是“在东京铁塔，第一次眺望”。

十、对双方结婚五十周年的称呼。

十一、为进行秘密活动的人守望、观察动静。

十二、成语，形容感情破裂，多指夫妻离异。

十三、比喻起主要作用的骨干力量。

横向：

1一种以本初子午线的平子夜起算的平太阳时的计时方法，又称为“世界时”。

2韩国电视剧《巴黎恋人》女主角姜太英的扮演者。

3古龙小说《绝代双骄》中的人物，狂狮铁战之女。

4张敬轩的歌，其中一句歌词是“我吻过你的脸”。

5广东地道小吃的一种，又叫馄饨面。

6杜甫《望岳》中“一览众山小”的前一句。

7指不让别人知道的夫妻间的秘密话，也称“私话”。

8陈钢与何占豪所创作的著名小提琴协奏曲，取材干中国民间故事。

9李克勤的歌，首句歌词是“命运就算颠沛流离”。

10闻一多于1925年在美国留学期间创作的一组诗，共七首。

11美国作家塞林格的著名作品，又名《麦田捕手》。

12李幼斌主演的—部主旋律作品，讲述“战神”式将军李云龙的故事。

13指专门从事戏剧剧本写作的作家，最早可追溯到公元前五世纪的希腊时期。

世博课堂

世博会和奥运会、世界杯等超级大型活动一样。都十分重视吉祥物对于演绎主题、传承文化的重要作用。历届世博会标志和形象已经成为独特的无形资产，是世界公认的遗产之一。世博会吉祥物，不仅是世博会形象品牌的重要载体，而且体现了世博会举办国家、承办城市独特的文化魅力。

你知道右面几个吉祥物分别是哪一届世博会的吗?

小推理机智脱身

4.恐怖悬疑推理小故事 篇四

晚上，他待在房间里加班。正当他飞快地敲打着键盘的时候，一阵风吹起了帘子，屋里的灯忽然熄灭了。

停电了?张云找来蜡烛点燃。

微弱的烛火飘忽摇曳，在地上拖出一个长长的陌生影子。

他抬起头，倒吸一口凉气：房间内不知何时多出了一个家伙，面白如纸，双脚离地，一双眼睛瞳内浑浊不堪，死气沉沉。

张云镇定下来，壮着胆子问：鬼大哥，你找小弟有事吗?

对方马上笑了：你是这一带最杰出的设计师，我找你当然是帮我设计房子了。

大哥，我是设计别墅的，不是造坟墓的啊!张云急了，语气中带着哭腔。

触类旁通嘛，这事还不是小菜一碟?鬼见张云还是太不情愿，立刻沉下了脸，你要不愿意，把命给我就行。

人为刀俎，我为鱼肉，张云没办法，只好应了下来，鬼这才满意离去。

张云开始研究设计坟墓，一个星期后总算出了设计图。鬼如期而至，看了一眼图纸，不停地点头称赞：好，这墓设计得够气派、豪华，我喜欢!张运松了口气，却又看见鬼在怀里来回摸索，好像在找什么东西，刚放松的心情又紧张起来。

找到了。鬼松了口气，像是变戏法般从衣服里捧出一个银色的金属箱子。

这是你的报酬。它说完打开箱子。张云只觉得一颗心狂跳不已，里面装满了钱，图纹几乎闪花了眼。直到对方离开了，他才清醒过来，一阵欢呼。

一个星期后，那鬼又来了。不同上次的是它还带了一群同伴：都是要求设计坟墓的。

张云一一帮它们解决，作为回报，一个个银色皮箱堆满了房间。

张云现在对钱都麻木了，他只是越来越奇怪：鬼里面也有穷鬼，它们究竟是怎么弄到这么多钱的?

早上，他坐在桌前喝着豆浆，他早就把工作辞了。

张云拿起旁边的报纸，一条消息映入眼帘：近期多地出现坟墓改建现象，豪华墓地数量一路猛增，风格疑似出自同一人之手。

张云一惊，马上明白这是自己干的，心里不免得意起来。他接着看另一版面，这里刊登了另一则新闻：最近全国各地运钞车晚上频频被劫，劫匪中弹不倒，警方正根据钱的流向，缩小搜查范围，抓捕嫌疑人。

5.10个高智商推理小故事 篇五

1、弟弟

我曾经有个弟弟，虽然过往的记忆已经很模糊，但是我印象最深刻的就是跟弟弟分享爸爸给我的糖柑仔（就是糖球）时，那份快乐的回忆。

只是好景不常，弟弟出生没几个月就死了，只是到现在还活在每一个家人的心中。

2、日记

1904年8月，我在家中发现了一本可疑的日记。

先说明下，我家是6年前结婚的妻子挑屋并购入的中古住宅，不过我妻子已经在前年和两个女儿一同在船难中丧生，两个女儿虽然在其两日后被冲上不同的两个海岸边，但还是没被救活。

前几天，因为要改造妻子的房间故请了木工师傅来，结果他交给我一本说是在妻子房间天花板内发现的日记本。

那本日记确实是妻子的笔迹没错，翻开看了看： / 15：从今天开始我就要老公你一起生活了。（那天是我跟妻子的结婚纪念日啊。）/ 21：这是因为你才有了现在的我。/ 9：尽管如此，我还是不会离开老公你的。2 / 23：就快了喔！2 / 29：你能够明白了吗？

当下我立即感到无比惊惧，立刻搬家到很远的地方去了。

3、由美？

从学校回到家的我到厨房去倒了杯麦茶，边喝边想着在榻榻米地板下方的储纳空间中藏着母亲尸体的事。

在当时，我看到爸爸从隔壁房间出来，对我说：“由美？你妈妈她有了别的男人，想要抛弃你离开这个家，所以我跟她大吵了一架，失手杀了她„„”说完已是潸潸泪下。

我并没有去**那检举爸爸的打算，而打算就这样跟爸爸相依为命。

正打算回房换个衣服，却在房间内发现撕成三片写有东西的笔记本碎片，是妈妈的笔迹，我试着将碎片上的字句拼凑起来。“由美？快逃吧，爸爸，丧失理智了。” 如果是你的话，是会相信爸爸，还是妈妈呢？

4、梦境

我是个参悟了梦境之道的男人，拥有在自己的睡梦中完全自由行动且心想事成的特殊能力，因此我每晚的梦对我来说是个完全自由的乐园，唯一美中不足的是，我在其中会丧失五感中的嗅觉和味觉。

对于这样的我来说，每天一早起来就把还没忘记的梦境内容，记在我的“梦之笔记本”逐渐成了例行公事。

每当阅读之总会让我重温那无比的快乐，每当我跟睡在我一旁的弟弟谈到我的梦，以及给他看我的梦之笔记时，他总会羡慕万分。此时我总会告诉他：“那是你修行还不够哈！”

为了快速记录梦境，今晚也是一样瞒着弟弟把笔记本和钢笔放枕头边，躺进了被窝。

等我回过神来发现自己正身处战场，四处都是此起彼落的枪炮和子弹擦过的声响。“呵呵，来个这种梦也不坏，大开杀戒吧！”我捡起了散落脚边的枪枝，开始对准目标狂射一气。

但意外的是，感觉实在不太爽快，于是我集中精神，开始想起下一个梦境。眼看着我的枪逐渐由内而外变化成日本刀，感觉十分称手，立刻举刀向眼前的敌人劈砍过去。

感觉太爽啦！想不到劈人是这么有快感的事，我忘情的挥砍着，直到把敌人刺得像个蜂窝，眼看他悲鸣着弥漫着浓烈血腥倒下身子，我仍毫不在意的继续劈刺。不久我终于感到充分的满足，好了，差不多可以离开梦境醒过来了，得赶快把这事记在我的梦之笔记才行呢。你看出了什么？

5、诅咒

我终于从某处获得了传说中的“诅咒真书”。

翻开来，里头开头第一句话就是：“若按照本书中所记载的步骤实施，便可成功的咒杀你所希望的对象，但是若步骤有出一点错，那么这个咒杀令便会反噬到施咒者身上！即便如此你仍要继续吗？” 废话！

就是因为我有个绝对饶恕不得的仇人，所以才费尽千辛万苦拿到这本诅咒真书的，我开始阅读并实行其书上的指令：

“

1、请先闭上你的眼睛，专心回想你想要咒杀的对象的脸。”

那家伙的脸„„我想忘也忘不了的，立刻闭上眼回想他的面容特征，再来是什么呢？

“

2、接着请仔细的想像该如何咒杀他的方式。”

我立刻把脑海中所有能想到的痛苦死法都回想一遍，再来呢？ “

3、最后更新请睁开眼睛。” 你能想得到结局么？

6、日记 在某个午后

许多小鸟出没的森林中，一个小女孩飞也似地走着 「妈妈，你在哪里啊？」

小女孩大声的叫着，但是却没有回应 在这之中，少女不知不觉来到一间房子前 「妈妈，你在这里吧？」

小女孩若有所知的打开房子的大门一看 赫然发现房子里面什么都没有，只有一本日记 5月16日

明天是很快乐的圣诞节，会收到很多礼物 一定是个快乐的一天 5月17日 圣诞老公公没来 圣诞老公公没来 圣诞老公公没来 5月18日 昨天真的很快乐

因为从圣诞老公公那里拿到了一份礼物 不过，好奇怪喔。这份礼物要放在哪里才好呢？ 9月33日

时钟的指针慢慢的、慢慢的接近了 12月65日

今天，终于能够去外面了 而且外面的人好多喔

数不尽、简直是数不尽的异常得多 但是每个人的脸色看起来都显得很奇怪 这是为什么呢？

小女孩看到这里突然把日记盖上，因为她发现了一件事„„ 是的，小女孩她终于发现„„

7、逃

不会读书、也无法与人交谈。这样的我、对谁来说都是不需要的。

在家中作为父亲的出气筒。对我的施暴更变本加厉。真的很令人悲伤。「我以为逃的掉的」

想逃离家、马上遭遇的。是比以往更加倍的殴打。真的很讨厌无知的我。

怀孕中的母亲、跟姐姐有说有笑的准备晚餐。这样辛苦的日子、今天是最后了吧。意识慢慢模糊不清了。

这样应该会、照我期望的。大家、跟我„ 阿阿、去死吧。照我期望的！数月后

「是很健康的男孩呢！」 叔叔这样说了。

我并不是悲伤、却大声哭了起来。睁开眼睛、有对男女看着我。不知为什么很怀念的人。男人用很温柔的声音说。「你觉得逃的掉吗」

8、杀人的哥哥

哥哥突然发狂了，接着杀了全家人。

但是这样的哥哥也立刻遭到逮捕，处以死刑了。

其中妹妹幸运的活了下来，整件事也因为过度的惊吓而丧失记忆。

失去了父母亲，没了记忆，行尸走肉般活下来的妹妹，有一天，遇上了一名占卜师。

于是开始占卜起自己的过去。「为什么哥哥会突然发狂呢？」 「不，你的哥哥相当的冷静喔。」 「那为什么哥哥要杀了全家人。」 「不，你哥哥只杀了一个人。」

突然，妹妹一切都想起来了，开始啜泣。

9、宅配员

我和宅配员间的对话

「不好意思，我想请问这包裹的地址...」宅配员说 「喔喔，这个的话在B栋一楼喔。」我说 「谢谢你。」宅配员说 关上了门。

话说我的房间是C栋3楼呢。

10、圣诞老公公 哇~谢谢爸爸“ ”阿！不是爸爸,是圣诞老公公给的,对吧 妈妈??“ ”喝喝~~一定是这样的“ 圣诞老公公

我最喜欢圣诞老公公了

我呀 如果长大的话也要成为圣诞老公公 今天我要一直玩 一直玩刚拿到的新玩具 ”喀咚" 嗳,什么声音...爸爸是圣诞老公公 妈妈是圣诞老公公 那圣诞老公公是谁...阿

6.脑筋急转弯悬疑推理小故事 篇六

脑筋急转弯：在一间别墅里面，发生了一宗杀人案件，死者是一位富有的商人。警方到现场进行调查，凶手已经逃去无踪，于是便向周围的人查询，并发现屋外栽有矮树。一位刚巧在凶案发生时，经过现场的男子，向警方提供了以下的情况。他表示，在较早时，他经过了现场，由屋外的磨砂玻璃向窗内观望时，见到有一阵阵的烟由磨砂玻璃处显现，似乎有一个人在内吸烟，只是，他并未看清楚凶手的真正面目。警方经过调查，发现凶案发生时，有两个可疑的人物进入了屋内，一个是4尺9寸高的阿伦，一个则是身高6尺的米高，但两人之中，只有一个是凶手。请您运用自己的推理能力，确定谁是杀人凶手?

答案：米高，视觉问题，因为阿伦很矮更本看不到他在吸烟。

7.培养学生数学推理能力的研究 篇七

关键词：小学数学,新教材,教学实践,推理能力,全面发展

推理能力是一种重要的数学能力。根据新课程标准编写的小学数学教材突出了推理能力的训练,把培养学生逻辑推理能力的教学和数学基础知识教学紧密结合,相互促进,促使学生学好数学。那么,怎样利用教材,培养学生的推理能力呢?笔者根据教学实践,以四年级数学内容为例谈谈这方面的教学体会。

一、全面把握教材,明确培养目标

新教材有关逻辑推理的内容是从一年级开始安排的,不同年级有不同的训练内容和教学要求。教师在进行四年级教学前, 要先通读、分析教材,了解有关推理能力训练的内容和形式,及彼此之间的联系与区别,弄清编者的意图,明确培养学生逻辑推理能力要达到的目标。在新教材中,推理能力训练内容,从形式上看,有图形推理、数字推理、符号推理(等量代换推理)、文字算式推理等。图形推理是根据图形的变化规律推理、计算。数字推理分为按规律填数;根据数字排列规律改错数;挑出不同规律的数组;挑出不同规律的数组填数。符号推理分为符号算式推理和等量代换推理。文字算式推理分为比较简单的和比较复杂的。 这些题目,既训练了推理能力,又发展了智力。四年级推理能力训练内容有一定的区别,又相互联系。通过对训练内容的分析, 了解它们之间的联系和区别,从而明确本学期培养学生推理能力要达到的目标,做到心中有数。

二、利用迁移规律,启迪学生探索

四年级培养学生逻辑推理能力的训练,是在前三个学年教学基础上进行的,这就为利用迁移的规律、启迪学生自己探索推理方法奠定了基础。

为了收到更好的训练效果,在进行有关推理训练之前,要求学生复习过去解答类似题目的方法,想一想那方法能否解答将要学习的题目,以很好地利用迁移规律,在温故中知新。为了使学生养成运用旧知识、探索新知识的习惯,在其他数学知识教学中,也要求学生遇到题目后,首先要考虑是否学过类似的题目, 能否用那些解题方法来解答。倒如,在进行有关图形变换教学时,布置学生复习三年级的相关内容,思考一下那些题是用什么方法解答的,能不能从中受到启发。实际上,三年级有的题目是使用前两幅图相对平移,使中点重合的方法,得到第三幅图案, 从而按照这一规律选出正确答案。有的是把第一幅图沿逆时针方向旋转,得出第三、四幅图案,这样旋转下去,就能推导出第五、六幅图案。过去是运用图案的平移、旋转来解答,这次应该运用图案的什么变化规律呢?学生就会受到启发,这次不是运用相对平移、上下平移等变化规律,也不是运用旋转规律,而是运用一个顶一个,前面的被顶到后面去,后面的被依次顶到前面来的前后移动的规律,再考虑几何图形明暗的排布,选出正确图案。通过布置学生预习,点燃了学生思维的火花,学生就可以试解将要学习的题目。还可以引导学生讨论,吸取他人之长,调整自己的思维。这样,一方面运用了知识的迁移规律,使学生主动探索新知识;另一方面,增强了学生的自立意识,使他们感到自己想的和教师讲的差不多,依靠自己动脑、动手,是能够学到新知识的,从而培养学生的自学能力。

三、运用整体性原则,注意在平时教学中相机渗透

推理能力的训练是在数学基础知识教学的基础上进行的, 它是整个数学教学中不可分割的一部分。因此,推理能力的训练也要从整体性教学原则出发,在平时数学基础知识的教学中,要有意识地进行适当渗透。例如,从题型方面进行有意识的引发, 使学生在推理训练时感到题目似曾相识,没有生疏之感,也就容易生成解答思路。例如,在进行四则计算教学时,设计类似下面的题目,要求先填方框,再把方框内的数依次排列。

这种常规性学习,学生会感到很容易。比如,第一题方框内应填:6,18,54和162。还要求把方框内的数排列起来,如果第4个数不填,能不能想出应填几?这实际上渗透了数字推理题目的编制方法,锻炼了数字推理能力。

四、结束语

8.趣味数学小问题 篇八

问题1:抽屉里有４支红铅笔和３支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿几，才能保证至少有１支蓝铅笔

解答1：假设拿出的铅笔都不是蓝色的，至多共有４支，剩下的无论拿哪一支，都肯定是蓝色的，因此需取５支，才能保证至少有１支蓝铅笔

判断与推理

问题2:甲、乙、丙、丁四人比赛乒乓球，每两人都赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

解答2：０场.

列举法解题

问题3:有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取九分钱，有几种取法？

解答3：７种.

倒推法解题

问题4:甲、乙各有若干元，甲拿出五分之一给乙后，乙拿出二分之一给甲，这时他们各有９０元.他们原来各有多少元？

解答4：甲有７５元，乙有１０５元.

容斥问题

问题5:在１到５００这５００个数中，不能被７和９整除的数有多少个？

解答5：有３８１个数不能被７和９整除.

数的奇偶性

问题6:１＋４＋７＋１０＋１３＋……＋３３１＋３３４的和是奇数还是偶数？

解答6：是偶数.

韩信巧点兵

问题7:一个数除以３余２，除以５余３.除以７余４，适合这条件的最小数.

解答7：是５３.

牛吃草问题

问题8:牧场上长满了牧草，每天均速生长，这片牧场可供１０头牛吃２０天，可供１５头牛吃１０天.问供２５头牛可吃几天？

解答8：可供２５头牛吃５天.

分解质因数

问题9:把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成倍组，每组积相同.

解答9：1组是39、49、60.2组是70、78、84.3组是56、45、91.

染色问题

问题10:象棋上的马跳了M步后回到原处，请辨别M的奇偶性.

解答10：M是偶数.

列方程解题

问题11:女儿今年8岁，母亲38岁，问几年后母亲的年龄正好是女儿的3倍？

解答11：7年后.

类比解法

问题12:从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

9.推理问题数学小论文 篇九

学习目标

1。 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2。 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;

3。 体会合情推理和演绎推理的区别与联系。

学习过程

一、课前准备

复习1：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习2：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

复习3：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习4：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

二、新课导学

※ 典型例题

例1 观察(1)(2)

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

变式：已知：

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的`证明。

例2 在 中，若 ，则 ，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。

变式：命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数，”对正四面体是否有类似的结论?

例3：已知等差数列 的公差为d ，前n项和为 ，有如下性质：

(1) ，

(2)若 ，

则 ，

类比上述性质，在等比数列 中，写出类似的性质。

例4 判断下面的推理是否正确，并用符号表示其中蕴含的推理规则：已知 是5的倍数，可知或者m+1是5的倍数，或者5m+1是5的倍数;因为5m+1不是5的倍数，所以m+1是5的倍数。

※ 动手试试

练1。若数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 的值，推测出

练2。代数中有乘法公式。：

再以乘法运算继续求：

…………

观察上述结果，你能做出什么猜想?

练3。 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积 ，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为 ，则四面体的体积V= 。

三、总结提升

※ 学习小结

1。 合情推理 ;结论不一定正确。

2。 演绎推理：由一般到特殊。前提和推理形式正确结论一定正确。

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1。 由数列 ，猜想该数列的第n项可能是( )。

A。 B。 C。 D。

2。下面四个在平面内成立的结论

①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交

③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交

在空间中也成立的为( )。

A。①② B。 ③④ C。 ②④ D。①③

3。在数列 中，已知 ，试归纳推理出 。

4。 用演绎推理证明函数 是增函数时的大前提是( )。

A。增函数的定义 B。函数 满足增函数的定义

C。若 ，则 D。若 ， 则

5。 设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用 表示这n条直线交点的个数，则 = ;当n>4时，=(用含n的数学表达式表示)。

课后作业

1。判别下列推理是否正确：

(1)如果不买彩票，那么就不能中奖。因为你买了彩票，所以你一定中奖、

(2)因为正方形的对角线互相平分且相等，所以一个四边形的对角线互相平分且相等，则此四边形是正方形。

(3)因为 ，所以

2 证明函数 在 上是减函数。

3。 数列 满足 ，先计算数列的前4项，再归纳猜想 。

10.数学广角推理教案 篇十

【教学内容】二年级数学下册第109页例1。

【教学目标】

1.通过日常生活中的最简单的事例，让学生进行分析、体验推理的过程，理解推理的含义。

2.借助连线，列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。

3.使学生推理得出结论，培养学生初步观察、分析与推理的能力。

4.在解决问题的过程中，培养学生有顺序地、全面思考问题的能力。

【教学重点】理解推理的含义，初步获得一些简单推理的经验，经历简单推理的过程。

【教学难点】推理依据的叙述。

【教学过程】

课前游戏热身

师：老师这里有两个袋子（黄色袋子和白色袋子），每个袋子里都装有一顶帽子，请你猜猜看老师的袋子里装的是什么颜色的帽子？

请几位同学猜。

师：刚才小朋友猜的各种答案都有，让我给你们第一个提示信息：老师的两个袋子里一个袋子里装的是蓝色帽子，另一个袋子里装的是红色帽子。现在你们能确定吗？

还有谁愿意猜？还有不同的吗？到底哪一种是正确的呢？（指名猜）

老师再给你们一个提示：黄袋子里装的不是红色帽子，现在你能一次猜中吗？（全班一起说出结果）

师：我们来验证一下你们的猜测对不对？（学生说结果时师从袋子里拿出帽子进行验证）

追问：开始怎么就猜不出来，现在怎么能猜出来呢？你们有什么想说的吗？

小结：看来猜的时候可不能漫无目的地乱猜，而要根据所给的信息条件来猜。游戏先玩到这，我们准备上课了，李老师希望大家能把自己最好的一面展现给大家看，有信心做到吗？好，带上你的自信和老师一起出发吧，上课。

一、激趣引入。

师：老师有个脑筋急转弯题，大家敢挑战吗？

小刚的妈妈有三个孩子，老大叫大宝，老二叫二宝，老三叫什么？

学生说想法后老师用PPT出示答案。

过渡：看来啊“小刚的妈妈有三个孩子”这句话

是解决问题的关键。像咱们刚才这样依照提供的信息

进行有根据的思考，最后推出结论的过程就叫推理。

这节课我们来研究生活中的推理。（板书课题）

二、探索新知。

1.教学例1。

师：告诉咱们一个好消息，小刚和他的同学也来到我们的课堂，一起来看一看。（PPT播放例题动画。）

师：从题目中，你能知道什么？

追问：这里的信息说三人各拿一本

是什么意思？能一人拿两本书吗？能不

能一本也不拿？

师：也就是说，必须每人拿一本书，而且只能拿一本。

2.根据信息，思考推理。

这个问题应该怎样解决呢？请听小组合作要求。

3.汇报交流方法。

预设方法一：用文字描述推理的过程。

要求学生把话说完整，并说出是从哪一句开始想的。

像你这样用文字来描述推理的过程，这是推理的一种办法。（板书：文字）

预设方法二：连线法。

过渡：三个人三本书，怎样才能看出每人拿的是什么书呢？让人一眼能看明白的？你有什么好办法？

展示一生连线方法，并请该生上讲台介绍方法，学生边介绍老师边板书。

师：像这样子，我们把人名和书名写成两行（板贴）。可以怎样进行连线呢？先看哪一句数学信息？也就是说先确定谁拿什么书？接着看谁？

追问：老师有点不明白，为什么小丽说：“不是数学书”就是品德与生活呢？不是还有语文书吗？

学生：因为语文书已经给小红拿走了，把语文书去掉，所以小丽说不是数学书，就是品德与生活书了。

师：你表达得真清楚，掌声送给他。在数学上，我们把去掉叫排除。

小结：连线这个方法真好，让人一目了然。连线也可以帮我们思考（板书：连线）

我们一起来看看电脑老师的方法：PPT演示连线方法。

4.课件动态介绍第三种方法：列表法。

师：小刚为大家也带来一种方法，请看。

课件动态演示列表方法：先画了一个表

格出来，然后把小红、小丽、小刚的名字写在表格里（PPT把名字飞到表格里），再把数学信息语文书、数学书、品德与生活也写在表格里，接下来我们可以根据信息作记号了。比如说，我们先确定的是？那我就可以在小红对应语文书这一格里作个记号……

师：这种方法我们可以称它为列表。（板贴）

5.方法对比。

师：连线的方法还有小刚的列表法和我们刚才写的文字那么多的方式相比，你更喜欢哪种方法？

6.小结。

师：不管是文字的方法、还是连线、列表法，我们都是先确定谁拿的什么书？（小红说的话闪动两次）为什么啊？

小结：由小红的话就可以直接确定小红拿的是（语文书），这是最关键的条件。（课件出示）在推理当中能确定的先确定（板贴：能确定的先确定），确定好的先排除掉（板贴排除），把语文书先排除掉，这样的推理问题就变成两个人选两本书的更简单问题了，所以在推理的时候首先要寻找最关键的条件，这样可以使我们接下来的推理更简单。推理的方法可以文字法，也可以用连线、列表的方法来帮助我们想。

7.温馨提示。

小刚为我们带来了他的温馨小提示，请一起读一读。

三、应用提升。

1.做一做第一题：在书上完成。

师：三个小朋友家里的小狗也来了，欢欢、乐乐、笑笑是三只可爱的小狗。乐乐比欢欢重，笑

笑是最轻的，你能写出它们的名字吗？请同学们在书上P109完成。

要求：把先确定的最关键的条件用直线画出来，并圈出题目中的关键词语。

全班汇报：

三条信息当中，哪一条最关键呢？也就是说从这句话我们可以最先确定谁？你还圈出

了哪些关键词语？乐乐比欢欢重，从这句话中你知道了什么？

3.猜图形。

师：三个平面图形也来到我们的课堂了，它们与我们玩起了捉迷藏游戏。（课件出示题目）从题目中你知道了哪些数学信息？（随着学生的回答，用课件画出关键条件。）

课件出示小组合作交流要求：

猜猜看三个图形各是什么颜色？

小组交流，老师深入到小组巡视。

各小组汇报情况。

师：三个图形中，最先确定的是什么颜色的图形？为什么？剩下的两个图形呢？（请小组代表汇报小组交流情况）

预设一：红色是三角形，蓝色是长方形。预设二：红色是长方形，蓝色是三角形。

预设三：不能确定，缺少一个信息。

师：我们现在能不能确定？需要再给大家一个信息，才吧？三角形和长方形迫不及待地想与你们见面，听到你们不确定，蓝色图形有话说（PPT播放录音：我不是三角形。）

现在大家能猜出来了吗？我们

一起来口答：红色是（三角形），绿

色是（圆形），蓝色是（长方形）。

四、全课总结。

师：同学们，这节课我们学习了什么？你有什么收获？

【板书设计】

推 理

能确定的先确定

11.小学数学推理能力的培养 篇十一

关键词：学生；推理能力；发展现状；思考

一、容纳异议，创设自由开放的推理能力发展空间

1.尊重和容纳不同的见解，锻炼推理能力

教学中，教师首先要尊重和容忍学生的不同见解，放下架子，不要唯我独尊。这种过分强调师道尊严是不对的。老师所讲的不是绝对正确的，书本也不是绝对正确的，要尊重和容忍学生的不同见解。其次要让班上的所有同学尊重有不同见解的学生。

2.尊重和鼓励唱反调的学生，发展推理能力

传统教学中，特别强调老师的权威，强调纪律、规范，不准对老师提出一些相反的意见，这种现象是妨碍学生创造性发展的。如果课上学生指出老师的错误，或对老师提出了不同的意见，老师要对学生的创造性表现进行鼓励和认可，对他们很新鲜的想法不要嗤之以鼻，不要采用压抑的态度，不予支持，把学生的积极性给打下去。所以应该对唱反调的学生予以尊重和鼓励，哪怕他是错的，你也要尊重他、鼓励他，这样学生就知道老师可以接受不同意见的，他的探究欲望就会更加积极，可以更加大胆地提出自己的见解，更好地促进推理能力的发展。

3.营造宽松的课堂氛围，提升推理能力

在课堂上，过于严格、过于服从的课堂环境，就会压抑学生创造性的发展，相反，比较宽松的、有一定自由的课堂教学环境，对学生创造性思维的发展是有益的。教学中，我们经常发现，学生对某个问题产生了兴趣，由于思维的活跃，会产生兴奋感，身体坐姿也会跟着随意起来，而且会出现坐立不安，跃跃欲试，这种表现是好的现象，教师应该适当放宽创造性活动的纪律约束，老师循循善诱地支持他提出的各种意见，支持他提問题，允许课堂内合理的骚动，为学生推理能力的培养提供自由开放的气氛。

二、激发潜能，接受并鼓励推理能力发展

1.引导学生运用脑激励法，增强推理能力

脑激励法又称脑风暴法，就是把学生头脑里的所有东西都发挥出来，像暴风雨一样把它引发出来。基本做法是：教师先提出问题，然后鼓励学生进行推理能力培养，让学生提出方法的时候，不必要提出这个方法是正确还是不正确，老师也不必要对所提的方法，每提一个做一个评论，只不过是把所提出的每一条方案一一列出来，然后对这些想法整理，进行讨论，进行评价，修改合并形成一个创造性的解决方案，这是一种培养创造性思维的很好的

办法。

2.引导学生乐于求异和变通，逐渐积累推理能力

例如，在教学三年级“两位数加减两位数”时，当学生能够轻松地说出“63+28=”，其中一个算理过程：“先算63+20=83，再算83+8=91”。在此基础上，我便问：“谁能对这道题提出不同的算法？”这样，学生的思维便大大拓展开了。由此产生了另外几种不同的算法。有的学生说可以先算：“60+20=80，再算3+8=11，然后再将80+11=91。”还有的学生说：“先算60+28=88，再算88+3=91”。等。这样长此以往的提问，学生就习惯于在别的同学解法之外再想出另外的解法。

三、培养自信，提供丰富的刺激增强推理能力

1.鼓励学生相信自己的判断

当学生问教师一个问题，实际上他往往自己有可能回答上来。这时，教师要重复或明确该问题，把问题推给学生，把问题踢回去，让他自己回答，鼓励他形成自己的判断。例如，在平常的数学课中，有的学生对自己想出的答案没有把握，当你问他时，他会没有底气说出自己的想法。这时老师应该及时地予以鼓励，激励他大胆地说出想法，要相信自己的判断。另外老师布置一些不作对错评价的作业，让学生自己去发挥，你这样写也可以，你那样写也可以，就是一个开放的题目，这时就要鼓励学生自己的判断，要有信心把它做好，这样的话学生就会做得比较好。

2.强调每个人都有创造的潜能

在平常的教学中，老师应该时常鼓励每位学生，让他们知道每个人的创造潜能是无限的。老师可以开展各种活动，让学生了解科学家、艺术家的发明创造，向他们学习。但是在讲这些科学家、艺术家的时候，要避免过分地夸大他们的才能，把他们说成是超人，可望而不可即，这样学生觉得他们很伟大，但是我做不到，老师应该鼓励学生，你们每个人都有自己的创造性，都有可能进行创造的，而且从小的创造到大的创造，将来也有可能像大艺术家和发明家一样有发明创造。利用发明家的榜样示范作用，可以潜移默化地激发学生的思维积极性，遇到问题时能够积极思考，及时探究。

参考文献：

[1]岳晓东，龚放.教育研究[M].人民教育出版社，1999-05.

[2]吉尔福特.创造性才能[M].施良方，等，译.人民教育出版社，1990-06.

12.小学数学演绎推理的形式和运用 篇十二

一、演绎推理的表现形式

演绎推理具有多种表现形式,如三段论、选言推理、关系推理、假言推理、直接推理等。

(一)三段论

在逻辑学中,三段论是由三个性质命题构成的,两个已知命题为前提,推出的新的命题为结论。结论中的主项就是“小项”,结论的谓项就是“大项”,在两个前提中各出现一次,而在结论中不出现的项是“中项”。例如,所有长方形都是平行四边形,所有正方形都是长方形,可以推出所有正方形都是平行四边形。在这个推理过程中,共有三个命题:(1)所有长方形都是平行四边形;(2)所有正方形都是长方形;(3)所有正方形都是平行四边形。在结论中平行四边形称之为大项,而结论中的正方形称之为小项,中项就是长方形。

在小学数学教学过程中,应用三段论时,通常会省略其小前提、大前提或结论,此为三段论的省略模式。例如:已知四边形A BCD是一个平行四边形(图1),可知对边BC与A D是相等的,此时将“平行四边形对边相等”这一大前提忽略了。在该三段论中,“对边相等”是大项,“BC与AD”是小项,“对边”则是中项,“平行四边形的一组对边为BC与A D”是小前提,“平行四边形的对边是相等的”是大前提,“BC与AD这一组对边相等”是三段论的结论。

(二)选言推理

选言推理是根据选言命题的逻辑性质进行的推理。选言命题有相容与不相容之分,相应地,选言推理分为相容选言推理和不相容选言推理两种。例如:根据梯形的特点,只有一组对边平行,所以在梯形ABCD中(图2),AB椅CD或AD椅BC,这两个命题只能有一个为真,而不能同时为真。根据不相容选言推理的规则:(1)否定一部分选言支,就要肯定另一部分选言支;(2)肯定一部分选言支,就要否定另一部分选言支。我们可以进行这样的推理,如果否定AB椅CD,则肯定A D椅BC;反之,肯定AB椅CD,则否定A D椅BC。

(三)关系推理

关系推理是指在演绎推理过程中,将关系判断作为前提或结论,前提与结论可称之为纯关系推理,自反性、对称性与传递性是关系的三大逻辑特性。自反性的例题为:若A≥B且B≥A,则可知A=B;对称性的例题为:若1000克=1千克,可知1千克=1000克;传递性的例题为:若A≥B,B≥C,则可推出A≥C。而混合关系推理是指将性质判断与关系判断作为前提,推理出关系判断结论,也叫做关系三段论。例如:整数的各个位数之和为3的倍数,则这个数为3的倍数;135各位数字之和为9,是3的倍数,则可以推出135是3的倍数。通过这种例题可提高小学生数学推理思维能力,也能提高他们对数学的兴趣,这对他们以后学习数学很有帮助。

(四)假言推理

在推理中有一个或一个以上假言判断的叫做假言推理,借助假言判断的特点得出演绎推理的结论。肯定后件式、肯定前件式、否定后件式、否定前件式是假言推理的四种不同形式。在上述四种演绎推理中,只有肯定前件式与否定后件式是正确的,如下例题所示。第一,肯定后件式:若一个数是8的倍数,则该数是4的倍数;这个数是4的倍数,可以推出该数是8的倍数,这是错误的。第二,肯定前件式:若一个数是8的倍数,则该数是4的倍数;这个数是8的倍数,可以推出该数是4的倍数,这是正确的。第三,否定前件式:若某数是8的倍数,则该数是4的倍数;而当该数不是8的倍数时,就可知该数也不是4的倍数,这是错误的。第四,否定后件式:若某数是8的倍数,则该数是4的倍数;若某数不是4的倍数,可推出该数也不是8的倍数,这是正确的。

(五)直接推理

前提为一个判断关系,进而推出结论的演绎推理叫做直接推理。例如:所有的菱形都是四边形,可推出有些四边形是菱形。在小学数学教学中,有两种直接推理方法,第一种是利用判断变形进行推理,包括换位法、换质法、换质位法等。例如,换位法:由有些菱形是正方形可以推出有些正方形是菱形;换质法:由不能被2整除的数为奇数,可推出不能被2整除的数都不是偶数;换质位法:凡是质数且位数为两位的都是奇数,可以推出两位的偶数不是质数。第二种是根据反对关系、下反对关系、矛盾关系与和差关系等进行直接推理,例如,已知凡是正整数都是自然数,可以推出没有一个正整数不是自然数。

二、演绎推理在教学中的运用

对小学数学教学而言,要培养学生的数学推理能力,使学生能够利用数学知识,解决生活中遇到的问题,有助于学生理解与掌握数学知识,促进学生数学思想能力的提升。

(一)演绎推理与小学数学概念教学

对小学数学教师来说,要善于利用演绎推理进行数学教学,提高学生的判断推理能力。例如,小学教师在讲解“长方体与正方体的认识”时,首先根据数学课本引导学生认识长方体的特点,如长方体有8个顶点、6个面、12条棱,再引导学生仔细观测长方形,通过测量可知长方体的6个面全部都是长方形,相对的两个面,相互平行且相等;长方体的12条棱可分为3组,每组是4条长度相等的棱。在全面掌握了长方体特征的基础上,再学习正方体的特征,先观察正方体,同样也有8个顶点、6个面、12条棱,同时其6个面全部相同,12条棱的长度也全部相等。

为使学生进一步掌握长方体与正方体的关系,教师可引出更深的问题,引导学生讨论,如“长方体所具有的特征,正方体全部具备吗?”此时学生会发现正方体与长方体的顶点、面、棱的个数相同,还会发现正方体的6个面全部相同,棱长也是全部相等,由此可知,正方体是特殊的长方体。通过上述思考问题的过程,有利于学生掌握数学演绎推理,既能让学生认识长方体与正方体的相同点与不同点,又能让学生掌握研究、讨论问题的方法。

小学数学教师在讲解圆的特征时,首先要以课本为基础,让学生了解并掌握每一个圆的半径与直径的长度处处相等,且半径的长度为直径长度的1/2。教师在课堂教学中,可让学生利用手中的直尺测量圆的半径与直径的长度,再归纳总结其特征,还可利用多媒体教学设备,在课堂上演示圆的半径与直径之间的关系,将枯燥、无味的数学知识具体化、直观化。

在小学数学课堂上,教师要引导学生自主画圆,并利用直尺测量与比较半径、直径,再归纳总结得出:圆的半径处处相等;再根据画出的图形可知半径的长度等于直径长度的1/2;最后根据等量的同倍量相等这一知识,可以推出圆的直径也处处相等。又如,在判断三角形是否为直角三角形时,我们能否只根据该三角形的一个角不是直角直接判断这个三角形不是直角三角形呢?对于该问题,教师可引导学生积极思考、讨论。

(二)演绎推理与小学数学规则教学

数学思想方法常蕴含在教学过程中,具有潜移默化、润物无声的特点,教师切不可片面要求学生在数学思想方法———特别是演绎推理上追求一蹴而就,那样只能是适得其反。因此小学数学教师要以数学教材为基础,根据学生的实际情况,选择科学合理的教学方法与内容,进而提高小学数学课堂教学质量。

例如第一学段,在讲解“10以内的加减法运算”时,教师可引入加法交换律,将教学内容进一步加深,一组学生有3人,另一组学生有7人,在计算共有学生多少人时,有些学生列出“3+7”的算式,有些学生列出“7+3”的算式,经过计算可知,这两个算式的结果是相同的。经过数学题目的实际验算,可知加法交换律适用于任何情况。

再比如在第二学段,在教学生如何计算“正方形和长方形的面积时”,先讲解长方形的特点,然后解释面积的概念,通过对多种不同长、宽的长方形的分析归纳,再对各种不一样的长方形的面积做出比较总结,由此得出了长方形的面积计算公式。接着,再对特殊的长方形———正方形进行推导,即把正方形的边长看作长方形的长和宽,这样便能很快得出正方形的面积公式。这里就有了演绎推理的运用,大前提是“长方形的面积是长乘宽”,小前提是“正方形每条边都相等”,结论“正方形面积是边长乘边长”。

在第三学段,教学圆柱体的体积计算公式的时候,可以先复习一遍长方体体积的公式“底面积乘以高”,然后引入圆柱体。把圆柱体沿高的方向将圆柱体分成若干份,然后将底面为圆形的圆柱体拼成一个近似的长方体,在分割圆柱体的过程中,分的份数越多,越接近长方体,而得到的长方体的体积等于圆柱体的体积,然后长方体与圆柱体的底面积相等,圆柱体的高便是长方体的高,这样可以利用长方体的公式得到圆柱体的体积公式。利用长方体推导出圆柱体计算公式的过程,便是一个演绎推理的过程,而这个阶段,教师要关注全班大多数学生,要通过鼓励,引导学生大胆假设,并加以论证。

数学教学在小学教学中占据十分重要的地位,学生可以通过学习数学知识,解决生活中遇到的问题,可以在轻松、愉快的氛围中探索数学的奥秘,还可以增长知识,拓展视野,为日后踏上工作岗位做铺垫。对小学生来说,只有学好数学推理方法,掌握数学思想,才能更好地提高数学能力。

摘要：小学数学知识具有一定的逻辑性,如果熟练掌握演绎推理方法,就能更好地培养学生的抽象思维和逻辑思维能力。在小学数学教学中,运用逻辑推理方法能帮助学生解答不少难点问题。

13.高考数学推理与证明 篇十三

1．（08江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为▲.n2n6【答案】 2

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n

n2nn2n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为22

n2n6． 2

2.（09江苏8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲.【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

3.（09福建15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.【答案】：5

解析：由题意可设第n次报数，第n1次报数，第n2次报数分别为an，an1，an2，所以有anan1an2，又a11,a21,由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

4.（09上海）8.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R12R23R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________.

【解析】S14R1S122

S22R2S32R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1

2R23R3

5.（09浙江）15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1593C1C17C17C171C71727125，1

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1*

答案：24n1122n1。【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，n

第二项前有1n，二项指数分别为24n1,22n1，因此对于nN

14.植树问题数学小日记 篇十四

这一次，我们学的就是植树问题，这一次学的基本就是要先会背一个植树问题里的定义，一共有三个定义。第一个定义是两端都栽，间隔数加一，等于棵数。第二个定义是一端栽，一端不栽，间隔数等于棵数。第三个定义是间隔数减一等于棵数。

虽然我都感觉都会背了，但我为什么还不会做这类题呢?难道是我上课没认真听?我觉得也许是这样吧。这次的题的确是很难，不过，老师布置的作业很难。老师又讲了一遍，让我又懂了一些，但还是没有全会。

15.浅析如何培养小学生数学推理能力 篇十五

要想培养小学生数学推理能力, 首先得明确推理论证的重要性。在小学这一阶段学习数学, 小学生年龄都比较小, 他们由于自身的认知结构与年龄的限制, 采取实验、测量以及观察等方法来学习数学, 但是到了初中这一阶段学习数学, 光有观察是不够的, 因为从观察所得到的认识往往是不够全面的。比如, 在小学数学的学习过程中, 我们观察过一些三角形, 知道了三角形三个内角的和等于180°的结论, 但是要想知道所有的三角形的内角和是不是都是180°以及为什么每种三角形三个内角和都是180°等结论时, 那么, 这个时候只用观察的方法就不行了, 而是必须在观察的基础上再有理有据地说明理由, 这个说明理由的过程就是推理。只有经过推理让我们从观察得到的知识更加全面的同时, 才可以了解到新的知识, 从而充分说明了推理的重要性。

二、激发学生对数学的学习兴趣

兴趣能够激发人们在思想感情上去探索各种事物的底蕴, 它直接联系着人们的工作效力与智力, 所以说兴趣是人们探求知识和力求认识事物的心理倾向。为了能够更好地激发学生学习数学的兴趣, 对此提出了以下对策:

1.把理论与实际联系起来, 注意授课技巧, 激发小学生的学习兴趣

数学是一门既严谨又逻辑性十分强的学科, 它也是丰富多彩的一门学科。在小学的所有学习课程中, 数学算是最难学以及多数学生都对其不感兴趣的一门课程, 由于书本上大多数都是枯燥的数学符号, 学生学习起来会感到乏味, 这会影响学生对数学的学习兴趣。那么, 教师在教学过程中, 除了要掌握翔实的数学史料外, 还应该把握教材内容和小学生的心理特点, 把数学教材上的知识变成生动有趣的问题, 通过多提问以及讨论等方式多给学生提供体验愉快心情的机会, 用生动形象的事例来激发学生学习数学的兴趣。

2.加强老师与学生之间的感情, 注重师生交流

在以往的教学经验中, 教师不注重与学生进行感情交流, 当学生犯了错误时, 教师动不动就对其进行批评, 使师生之间存在隔阂, 导致学生对学习数学彻底绝望。要想增进师生之间的感情交流, 我认为应该从以下两个方面入手: (1) 交心。教师在教学中应该把学生当作自己的朋友, 热爱自己的学生, 平时对他们多加关心, 在教学中要让学生感受到轻松愉快、感情亲近, 来缩短师生之间的距离, 使师生之间相处能够更加融洽。 (2) 引领。教师应该先主动引导带领学生做一些有关学习数学的趣味游戏, 良好的师生关系决定着课堂的学习气氛, 是一堂课的关键, 活跃愉快的学习氛围能够激发学生的学习兴趣, 有利于学生能够获得最大限度的进步与发展。

三、激发学生学习兴趣的基础上如何培养小学生数学推理能力

1.在培养小学数学推理能力方面, 要注意教师的示范性

教师在讲数学证明题的过程中, 要告诉学生应该如何去分析题, 让学生先看完结论后, 再看条件, 这样学生在做题时才能快速抓住重点。比如, 在证明一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形全等这种题时, 学生往往在做题时会先看条件, 然后才看结论, 从而导致学生审题不清楚, 把这道证明题看成是让证明两个小直角三角形全等, 如果反过来, 先看结论的话, 就不会出现审题不清等情况发生。除此之外, 教师在板书证明时, 格式要有条理性, 这样才能有助于学生数学推理能力的形成。

2.要注意推理能力培养的阶段性

推理论证能力的培养, 是一个长期的过程。教师在数学的几何教学过程中要多注意培养的阶段性, 因为在几何中体现推理论证比较明显。比如, 在第一阶段让学生回答是不是就行了, 不用说明原因。在第二阶段需要回答根据某个定理的问题。第三阶段让学生用文字语言叙述推理过程。第四阶段要求学生能够写出简单命题的已知与求证。第五阶段要对学生进行证明的正规训练。只有这样才能培养学生的推理论证能力。

3.教师要注重学生数学推理论证的准确性

在批改学生作业时, 应该对其进行精批细改, 这样在批改作业的同时能够发现一些错误, 从而使教师改进教学方法。还能从中找出一些写得比较好的论证方法, 教师把这些好的论证方法记录下来, 在给学生讲解题时, 把这些好的论证方法讲给学生听。这样有利于培养小学生的数学推理能力。

4.在教学中要启发学生积极思考, 调动小学生的主观能动性

教师在教学过程中应该与学生平等相处, 与学生相处融洽, 学生才会主动亲近教师, 在学习中, 主动把不会做的题告诉教师, 这样教师才能及时解决学生学习中的问题, 了解班里学生的学习情况, 在对数学的教学中, 教师应该多重视培养学生的推理能力, 教师在写出一个题目后, 应当先让学生思考一段时间, 然后再让学生解题, 这样有些学生可能将问题从整体解决, 有一些学生虽然对部分不了解, 但是最起码对问题有一些建设性的认识, 还有一些学生即使对题没有什么有价值的认识, 但是对问题的信息认识会比较全面。这样坚持下去, 小学生的数学推理能力会得到很大的提高。

总之, 在很多时候数学推理需要有一过程, 要让小学生意识到推理能力的重要性, 教师在小学数学教学中, 对学生进行推理能力的培养, 不仅能够让学生学到知识, 解决数学题中的问题, 让学生掌握在遇到新问题时该如何应对的思想方法, 还能够提高教师的课堂学习效率, 优化教学条件, 增加课堂教学的趣味性。因此, 在小学数学教学中, 教师应多注重培养学生的推理能力。

参考文献

16.推理问题数学小论文 篇十六

关键词：推理 思维 意识 能力

《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。人认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历若干阶段，从现象到本质的认识过程，开始只能根据已有的事实和结果，运用某种判断推理的思维方式，对事物的发展趋势及发展规律，提出一种推测性的看法，这种推测性的看法，就是合情推理。

在我们的课堂教学中要逐步渗透合情推理的思维过程，揭示知识的发生过程，教师的任务不是把知识和盘托出，而是通过教师的问题激活学生的思维活动，让学生学习数学知识的过程变成数学家当时探索的过程，进行合情推理，自己探索数学规律，发现数学结论，使得学生真正成为学习的主体。

如何发展合情推理能力，培养数学思维意识呢？

一、展现变化规律，引导学生观察、发现

人类的智力活动总是从眼睛获取信息开始，观察是智力活动的开端和源泉，是思维的窗口，是人们认识客观世界的门户，观察可以调动学生的各种感官，在已有知识的基础上产生联想，因此，观察可以培养学生推测的才干和发现知识的能力。在数学教学中，我们应给学生必要的时间和空间进行观察，培养学生良好的观察习惯，实现思维起步、提高思维能力。

二、大胆操作、实验，激发学生思维

一个人的能力只有通过活动才能形成和发展，数学理论的抽象性，通常都有某种“直观”的想法为背景.让学生“经历”一次发现、发明、创造的过程，既可帮助学生理解和巩固数学知识，又是培养学生实践能力和创新意识的好途径。

三、把握问题的基本框架，培养直觉思维能力

数学直觉是人们在分析解决问题时快速用自己所有经验和知识，在对对象经过总体上的观察分析后，直接解决事物本质，作出假设，然后再对假设作出检验或证明的一种思维方法。它主要表现在对数学对象的敏锐洞察，从而直接猜想和总体把握，所以数学直觉并不是胡乱猜想，它是数学知识、方法和思维能力厚积薄发的产物。因此，教学时应多鼓励学生从整体上、本质上、观察问题，迅速把握问题的基本框架和结构，从而产生某种“灵感”和“美的意识”。

四、仔细设计问题，激发学生猜想

牛顿说：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”数学猜想实际上是一种数学想象，是通过观察、归纳、类比、联想，凭借直觉获得的感性认识，是一种创造性思维活动，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略.因此，教学时要选择典型问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、直觉地试验、观察、提出猜想。

五、探索事物的内在规律，培养归纳推理能力

数学家拉普拉斯曾说：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳与类比。”归纳推理是根据考察一类事物的部分对象具有的某一属性，而作出该类事物都有这一属性的一般性结论的思维方法。它的思维过程是从特殊到一般，因此，在某个数学问题难以解决时，可先研究它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法或结果推广到一般问题上就可获得解决。

六、利用原有的认知结构，培养类比、迁移推理能力

类比推理是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理方法，思维进程是从特殊到特殊，思维方法表现性非常灵活.，对问题的探索教学，就好比爬坡，师生共同拾级而上，既有利于学生对问题的更深层次的认识，更有利于学生对问题规律的探索，并能有效培养学生阅读理解能力、迁移运用能力和归纳推理能力.正如波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人。”

七、利用事物的关联性、利用数形结合等培养学生的联想能力

亚里斯多德在它的《记忆与联想》一书中指出：“我们的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或者与它相接近的事物开始进行的，以后便追寻与它相关联的事物，由此而产生联想.”华罗庚也指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这说明联想是创造性思维的基础，能将学生的形象思维与抽象思维有机结合从而培养学生的联想能力，发展合情推理能力。因此，在数学教学中，引导学生对数学问题进行整体和部分、形式和本质、结构与特征、条件与结论，由表及里、由此及彼地观察、分析、思考，可提高思维的流畅性、灵活性、广阔性，可培养学生良好的联想品质和丰富的想象力。

合情推理是一种高层次的思维活动，合情推理能力的培养需要我们在教学中不断的探索、实践，不断的渗透；需要教师不断优化教育艺术和策略来帮助学生真正地学会合情推理，提高思维品质；也需要学生不断地在归纳中学习，发现中学习，不断从生活中认识、从实践中探索，从理性中应用.只有把培养合情推理能力与演绎推理能力有机的结合起来，学生思维的“灵感”才能“飞跃”，合情推理能力才能提高，数学思维意识才能加强，我们的教学才能充满活力。

17.推理问题数学小论文 篇十七

一、教学目标

1．通过观察、猜测等活动，让学生借助生活中简单的事件初步理解逻辑推理的含义，并能按一定方式整理信息，进行推理；经历简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验。

2．通过游戏，让学生用推理解决一些简单的数学问题，使学生感受推理的作用，初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

3．通过观察、猜测、解决问题等活动，培养学生初步的观察、分析、推理和解决问题的能力，以及有条理地阐述自己推理过程的数学表达能力。

二、内容安排及其特点 1．教学内容和作用

数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。有关逻辑推理的知识是人们在生活和科研中很重要的知识，人们从事学习、科研、经济和法律活动（如侦破、审理案件）都要用到推理。

同时，《标准(2011)》中指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。”因此，逻辑推理是进一步学习数学的基础，同时也是发展学生思维能力的良好素材。

为了体现《标准(2011)》的理念，本套教材从一年级就开始渗透和应用推理的数学思想，如一年级下册的“找规律”。在后续学习中也将它与四个领域内容的学习有机地结合起来，不断渗透和应用。此外，本套教材还在本册专门设置“推理”单元进行教学，把推理的数学思想通过学生日常生活中最简单的事例以及游戏形式呈现出来，并运用观察、猜测等直观手段解决这些问题，使学生初步了解推理的数学思想，感受数学思想的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识。

本单元内容结构如下表。

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由上表可以看出，修订后的教材对于推理内容的编排进行了调整，具体体现如下。

(1)删去了实验教材二年级上册第8单元例2（如下图1）的教学，保留了例3(如下图2)的教学。如此变化，使得例题的教学目标更清晰，层次更清楚，方便教师教学。

图1 图2(2)新增例2，让学生通过观察、分析、尝试一调整等活动，利用推理去解决一些简单的游戏中的数学问题，从而经历稍复杂的推理过程，学会按一定的方法进行推理，进一步体验推理的作用。

2．教材编排特点

基于学生的年龄特点及教材实验的结果，修订后的教材对本单元的内容进行了重新编排，在编排上有如下特点。

(1)以便于课堂上操作的游戏活动，让学生理解逻辑推理的含义，体验推理的过程。

推理过程是一种思维活动。为了让学生能够很好地理解逻辑推理，教材注意安排了便于课堂上操作的、生动有趣的数学活动，让学生根据已知条件在活动中进行判断、得出结论，增强了学习的趣味性。如，例1设计了猜不同学生分别拿的是什么书的活动，例2是类似于数独 “九宫格”的填数游戏。通过这些活动，使学生初步理解逻辑推理的含义，即推理就是我们从已知条件（判断）获得一个结论（一个新的判断）的（逻辑）方法。

(2)将推理的教学置于解决简单问题的过程中，既可使学生体会推理的作用，丰富学生解决问题的策略，同时也能够落实“四能”的培养。

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教材所编排的每一个游戏活动，本身即是一个数学问题。虽然教材没有以解决问题的方式加以呈现，但还是经历了“理解题意”“分析解答”“回顾反思”的解决问题的一般过程。如，例1在题目之后，呈现了学生边读题边摘录信息的理解问题的过程（左侧学生），右侧学生则边理解题意，边分析、解决问题，最后通过填空进行回顾与反思，确认解答方案的合理性。例2的呈现也是如此，只是更突出分析与解答的步骤。这种编排方式，既能使学生充分感受到推理的作用和推理的过程，又可以使学生经历用推理解决问题的过程，进而培养学生的“四能”。

(3)突出培养学生有序、全面地思考问题的意识。

教材在呈现本单元两个问题的解决过程时，都突出了有序、全面思考的分析过程。如例1中，两个学生都是先根据肯定的条件“我拿的是语文书’’，将问题转化为如图1中那种最简单的推理问题，再进行解决就很简单了。又如，例2通过小精灵的提示，呈现了分析问题的关键，也体现了有序思考、分析问题的方法。

(4)只以简单的形式教学较简单的推理，便于教师把握。

鉴于教学内容的抽象性及学生思维发展的特点，教材只编排了较简单的推理的问题，便于学生理解。同时，教材在编排上也没有呈现完整的表达推理过程的三段论式文字，只是呈现了学生通过连线、口头语言等形式表达的思考过程，因此也降低了教学的难度。

三、教学建议

根据教学内容和教材的编排特点，以及学生的实际情况，教师在教学本单元时应注意以下几点。

(1)利用学生熟悉的素材设计富有趣味性的活动，让学生切实理解逻辑推理。在日常的生活与学习中，学生经常会自发地使用三段论法进行推理，只不过常常省略大前提。如一年级利用数的组成进行猜数的游戏中，就有推理的运用。只不过学生没有明确地意识到。为此，在教学时，教师应利用好教材上的内容，设计有层次的趣味活动，让学生切实参与进活动中，体验用已知条件推出结论进而解决问题的过程，以此体会逻辑推理的含义，学会推理的方法。

当然，除了利用好教材上的相关素材外，还应充分重视本班学生已有的经验和体验设计一些有趣的数学活动，如利用数的组成猜数的游戏、填竖式中的未知

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数的游戏等，既让学生在趣味中体验什么是推理的过程，又能感受推理的重要作用。

(2)把握教学的重点，落实教学目标。．

本单元的教学主要是让学生在解决问题的过程中理解并体验什么是逻辑推理，并能用一定的方式（如连线、列表等）辅助推理，有条理地表述自己推理的过程。为此，在设计教学时就应在这些方面加以突出。如，例1的教学就应重在让学生读题后梳理信息并提炼出关键信息，然后放手让学生去解答问题，之后留出充足的时间让学生交流，使学生会借助口头语言表述自己推理的过程，并在此过程中体验推理的含义。例2的教学更是如此，为突出一般的思考过程，教师还可以先简化题目，改成3×3的方格，在使学生有所体会后再呈现例题的素材，后续练习中还可去掉有提示作用的字母，让学生充分体会用推理解决问题的一般思路。

(3)注重学生有条理地阐述推理过程，但要把握好教学的“度”

二年级的学生对简单推理知识的理解难度不是很大，但是用简洁的语言有条理地表达推理的过程还是有一定难度的，所以推理过程的叙述是本节课的难点。为此，教师在教学中要注意引导学生表述清楚自己的推理过程，如通过“你是怎样想的？”“通过小红的话，你能得出什么结论？”“你是怎样确定A（或B）是几的？”等让学生进行表述，并在学生表达不畅的地方加以辅助。但同时要注意对学生的语言表述要求不要过高，更不要求学生用严格的选言推理的方式进行叙述。只要学生能像教材中的学生那样，能表达清楚即可。语言是思维的外壳，只有想得清，才能说得明。所以注重数学语言表达的条理性，就能有效地培养学生思维的逻辑性。

(4)建议用3课时教学。

18.一分钟推理侦探小故事超简短的 篇十八

别看我现在风风光光的，以前我可是在贫穷困苦的生活中挣扎过，朋友们都很羡慕我，向我讨教成功秘诀。虽然如此，但我今天的成功并不是我努力工作奋发图强得来的，而是靠我的这只左眼，这只可以看到未来的眼睛。

也不知道什么原因，突然有一天，我发现我左眼可以看到1分钟之后的世界。当然，我靠它在赌场上赚了很多。但是左右眼不同步，对正常生活多少会有点影响，于是我平时都在左眼上带着眼罩。

太阳晒到了我的身上，头好晕，昨晚又朋友喝多了。。。对了，今天早上还要见一个客户，虽然有这只左眼，但我还是要做好随时会失去预见未来能力的准备，工作还是需要的，我匆匆洗了个澡，换了一套衣服就赶过去了，还好约见地点不远，穿过附近的工地十分钟就到了，我匆匆赶了过去。远远的，我看到一个人，傻乎乎的俯身向下看，不知道在看什么，突然建筑工地的上方一块砖头不偏不倚的砸在了他的头上。。。哇，这个人有够衰的，我走进打量，真可怕，脑浆都被砸出来了，此时我感到后悔了，真不该俯身来看这个被砸的人。。。试推理我为什么后悔?

19.聚集高考数学题中的合情推理 篇十九

著名数学教育家波利亚认为“合情推理是数学发现与创造的源泉”.教育观念悄然发生变革的今天, 合情推理已走进了高中数学新课程, 合情推理已作为一个专题内容——“推理与证明”纳入高中数学新课程教材中 (选修系列1-2和选修系列2-2) .《普通高中数学课程标准 (实验) 》指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.”因此, 对合情推理能力的考查, 是近年高考数学试题的一个新特点.本文结合近几年高考数学中的合情推理有关问题进行分类解析, 供大家复习参考.

1 函数中的合情推理问题

例1 (2011年山东高考题) 设函数$f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$, 观察:

根据以上事实, 由归纳推理可知:当n∈N+, 且n≥2时, fn (x) =f (fn-1 (x) ) =____.

解析 观察知:4个等式等号右边的分母为x+2, 3x+4, 7x+8, 15x+16, 即 (2-1) x+2, (4-1) x+4, (8-1) x+8, (16-1) x+16, 所以归纳出fn (x) =f (xn-1 (x) ) 的分母为 (2n-1) x+2n, 故当n∈N+且n≥2时,

$f{}_n(x)=f(f{}_{n-1}(x))=\frac{x}{(2{}^n-1)x+2{}^n}.$

评注 归纳就是从特殊到一般的过程, 是由小见大, 即从许多小的特殊的现实中总结出大的一般的原理.能否完成归纳, 关键在于通过思考后, 能否发现载体表面、题设条件或变化过程中所隐含在现象背后的规律.该试题以函数为载体借助归纳与概括来考查考生的合情推理能力.

例2 (2010年福建高考题) (Ⅰ) 已知函数f (x) =x3-x, 其图像记为曲线C.

(ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间;

(ⅱ) 证明:若对于任意非零实数x1, 曲线C与其在点P1 (x1, f (x1) ) 处的切线交于另一点P2 (x2, f (x2) ) , 曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3, f (x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1, S2, 则$\frac{S{}_1}{S{}_2}$为定值.

(Ⅱ) 对于一般的三次函数g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) , 请给出类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的正确命题, 并予以证明.

解析 (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 记函数g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像为曲线C′, 类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的正确命题为:若对于任意不等于$-\frac{b}{3a}$的实数x1, 曲线C′与其在点P1 (x1, g (x1) ) 处的切线交于另一点P2 (x2, g (x2) ) , 曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3 (x3, g (x3) ) , 线段P1P2, P2P3与曲线C′所围成的封闭图形的面积分别为S1, S2, 则$\frac{S{}_1}{S{}_2}$为定值.

证法1 因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线y=g (x) 的对称中心$\left(-\frac{b}{3a},g\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$平移至坐标原点, 因而不妨设g (x) =ax3+hx, 且x1≠0.

类似 (Ⅰ) (ⅱ) 的计算可得

$S{}_1=\frac{27}{4}ax{}_1^4,S{}_2=\frac{27\times 16}{4}ax{}_1^4\ne 0.$

故$\frac{S{}_1}{S{}_2}=\frac{1}{16}.$

证法2 由

g (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) ,

得 g′ (x) =3ax2+2bx+c,

故曲线C′在点 (x1, g (x1) ) 处的切线方程为

y= (3ax${}_1^2$+2bx1+c) x-2ax${}_1^3$-bx${}_1^2$+d.

由

得 (x-x1) 2[a (x+2x1) +b]=0,

所以 x=x1或$x=-\frac{b}{a}-2x{}_1,$

即$x{}_2=-\frac{b}{a}-2x{}_1,$

用x2代替x1, 重复上述计算过程, 可得

$x{}_3=-\frac{b}{a}-2x{}_2,S{}_2=\frac{(3ax{}_2+b){}^4}{12a{}^3}.$

又$x{}_2=-\frac{b}{a}-2x{}_1$且$x{}_1\ne -\frac{b}{3a}$, 所以

$\begin{array}{l}S{}_2=\frac{(3ax{}_2+b){}^4}{12a{}^3}=\frac{(-6ax{}_1-2b){}^4}{12a{}^3}\\ =\frac{16(3ax{}_1+b){}^4}{12a{}^3}\ne 0.\end{array}$

故$\frac{S{}_1}{S{}_2}=\frac{1}{16}.$

评注 本试题为类比研究题, 在设问形式上创新, 联系高等数学背景, 揭示数学的发生、发展过程.考查考生探索、研究及理性思维、合情推理, 综合应用.该试题的第 (Ⅱ) 题先用类比写出类似于 (Ⅰ) (ⅱ) 的命题, 再加以推理证明, 能较好地考查考生的合情推理能力.

2 三角函数中的合情推理问题

例3 (2010年福建高考题) 观察下列等式:

可以推测, m-n+p______.

解析 因为2=21, 8=23, 32=25, 128=27, 所以m=29=512;观察可得p=50;把α=0代入⑤得cos 0=512cos 0-128cos 0+1120cos 0+ncos 0+50cos 0-1, 得n=-400.所以m-n+p=962.

评注 本试题以考生所学的三角函数、数列知识为背景, 巧妙地设置了试题, 既考查三角变换、数列的性质, 又考查了合情推理、归纳, 关注对考生的探究与发现的考查.

3 数列中的合情推理问题

例4 (2005年湖南高考题) 自然状态下的鱼类是一种可再生的资源, 为持续利用这一资源, 需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量, n∈N*, 且x1>0.不考虑其它因素, 设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比, 死亡量与x${}_n^2$成正比, 这些比例系数依次为正常数a, b, c.

(Ⅰ) 求xn+1与xn的关系式;

(Ⅱ) 猜测:当且仅当x1, a, b, c满足什么条件时, 每年年初鱼群的总量保持不变? (不要求证明)

(Ⅲ) 设a=2, c=1, 为保证对任意x1∈ (0, 2) , 都有xn>0, n∈N*, 则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

解析 (Ⅰ) 从第n年初到第n+1年初, 鱼群的繁殖量为axn, 被捕捞量为bxn, 死亡量为cx${}_n^2$, 因此

即 xn+1=xn (a-b+1-cxn) , n∈N*.

(Ⅱ) 若每年年初鱼群总量保持不变, 则xn恒等于x1, n∈N*, 从而由 (*) 式得xn (a-b-cxn) 恒等于0, n∈N*, 所以

a-b-cx1=0,

即$x{}_1=\frac{a-b}{c}.$

因为x1>0, 所以a>b.

猜测:当且仅当a>b, 且$x{}_1=\frac{a-b}{c}$时, 每年年初鱼群的总量保持不变.

(Ⅲ) 若b的值使得xn>0, n∈N*.

由xn+1=xn (3-b-xn) , n∈N*, 知

0<xn<3-b, n∈N*,

特别地, 有0<x1<3-b, 即0<b<3-x1.

而x1∈ (0, 2) , 所以b∈ (0, 1]

由此猜测b的最大允许值是1.

下证:当x1∈ (0, 2) , b=1时, 都有xn∈ (0, 2) , n∈N*.

(ⅰ) 当n=1时, 结论显然成立.

(ⅱ) 假设当n=k时结论成立, 即xk∈ (0, 2) , 则当n=k+1时,

xk+1=xk (2-xk) >0.

又因为

所以xk+1∈ (0, 2) , 故n=k+1时结论也成立.

由 (ⅰ) , (ⅱ) 可知, 对于任意n∈N*, 都有xn∈ (0, 2) .

综上所述, 为保证对任意x1∈ (0, 2) , 都有xn>0, n∈N*, 则捕捞强度b的最大允许值是1.

评注 该题以数列应用为背景考查考生的合情推理与演绎推理能力, 充分显示了数学的归纳性和演绎性两个方面.

例5 (2008年江苏高考题) 将全体正整数排成三角形数阵:

根据以上的排列规律, 第n (n≥3) 行从左向右第3个数是____.

解析 该数阵的第1行有1个数, 第2行有2个数, …, 第n行有n个数, 则第n-1 (n≥3) 行的最后一个数为

则第n行的第3个数为$\frac{n{}^2}{2}-\frac{n}{2}+3(n\ge 3).$

评注 数表其实是数列的一种分拆, 不同的分拆方式就会产生不同的数表, 本题中的数阵是对正整数数列的一种重排, 只要找出其排列规律便不难求得答案, 本试题以三角形数表为载体, 考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质, 数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜, 如2008年山东高考试卷第19题.

4 立体几何中的合情推理问题

例6 (2003年全国高考题) 在平面几何里, 有勾股定理:“设△ABC的两边AB, AC互相垂直, 则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB两两相互垂直, 则____.”

解析 与△ABC相对应的, 是三棱锥A-BCD;与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的, 是三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB在一个顶点处构成3个直二面角;与Rt△ABC的直边AB, AC的长度相对应的, 是三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB的面积S△ABC, S△ACD, S△ADB;与Rt△ABC的斜边BC的长度相对应的, 是三棱锥A-BCD的底面BCD的面积S△BCD;类比平面几何的勾股定理AB2+AC2=BC2, 在三棱锥A-BCD中有S${}_{△ABC}^2$+S${}_{△ACD}^2$+S${}_{△ADB}^2$=S${}_{△BCD}^2$.

评注 类比的思想方法, 就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较, 对生疏的问题作出猜想, 并由此寻求问题的解决途径或结论.它是中学数学中重要的思想方法之一.在立体几何的试题中, 类比的思想方法广泛存在.由平面上直线a//b, b//c, a//c, 可类比出空间内的平面α//β, β//γ, α//γ;与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质;球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质;“面面垂直”与“线线垂直”, 四面体与三角形均有较多的类比性质等, 都是类比的思想方法获得运用的体现与展示.在平时的学习过程中, 应注意将空间问题和数量关系、位置结构相似的平面问题进行类比, 这样可以开拓思路, 诱发灵感, 增强数学发现能力, 同时还可以沟通知识间的联系.

5 解析几何中的合情推理问题

例7 (2003年上海高考题) 设F1, F2分别为椭圆C:$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a>b>0)$的左右焦点, 已知椭圆具有性质:若M, N是椭圆C上关于原点对称的两个点, 点P是椭圆上任意一点, 当直线PM, PN的斜率都存在, 并记为kPM, kPN时, 那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的值.试对双曲线C:$\frac{x{}^2}{a{}^2}-\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$, 写出具有的类似的性质, 并加以证明.

解析 类似的性质:若M, N是双曲线C上关于原点对称的两个点, 点P是双曲线上任意一点, 当直线PM, PN的斜率都存在, 并记为kPM, kPN时, 那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的值.

证明 设点M坐标为 (m, n) , 则点N的坐标为 (-m, -n) , 其中$\frac{m{}^2}{a{}^2}-\frac{n{}^2}{b{}^2}=1.$

又设点P的坐标为 (x, y) , 则

$\begin{array}{l}k{}_{{\rm P}{\rm M}}=\frac{y-n}{x-m},k{}_{{\rm P}{\rm N}}=\frac{y+n}{x+m},\\ k{}_{{\rm P}{\rm M}}\cdot k{}_{{\rm P}{\rm N}}=\frac{y-n}{x-m}\cdot \frac{y+n}{x+m}=\frac{y{}^2-m{}^2}{x{}^2-m{}^2}.\end{array}$

将$y{}^2=\frac{b{}^2}{a{}^2}x{}^2-b{}^2,n{}^2=\frac{b{}^2}{a{}^2}m{}^2-b{}^2$代入, 得$k{}_{{\rm P}{\rm M}}\cdot k{}_{{\rm P}{\rm N}}=\frac{b{}^2}{a{}^2}$为定值, 故类比猜想成立.

评注 此题是一道典型的考查类比能力的试题, 题目要求考生通过椭圆具有的性质类比推理出双曲线所具有的性质, 并加以证明.该试题主要考查思想方法上的类比, 它显示出类比是形成猜想, 获得新认识的一条重要途径.但需要区分的是, 类比并不是完完全全的照搬.关键是要将条件、过程或结果进行恰当的类比, 寻找到“类比点”.

6 等式中的合情推理问题

例8 (2011年陕西高考题) 观察下列等式:

照此规律, 第n个等式为_____.

解析 把已知等式与行数对应起来, 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n, 加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数:

所以

即 n+ (n+1) +…+ (3n-2) = (2n-1) 2.

评注 归纳总结时, 看符号左边式子的变化规律, 右边结果的特点, 然后归纳出一般结论.行数、项数及其变化规律是解答本题的关键.

7 进位制中的合情推理问题

例9 (2011年湖南高考题) 对于n∈N*, 将n表示为

n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2

+…+ak-1×21+ak×20,

当i=0时, ai=1, 当1≤i≤k时, ai为0或1.记I (n) 为上述表示中ai为0的个数 (例如1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I (1) =0, I (4) =2) , 则

(Ⅰ) I (12) =____;

(Ⅱ)

解析 (Ⅰ) 因为

故 I (12) =2;

(Ⅱ) 在2进制的k (k≥2) 位数中, 没有0的有1个, 有1个0的有C${}_{k-1}^1$个, 有2个0的有C${}_{k-1}^2$个, ……有m个0的有C${}_{k-1}^m$个, ……有k-1个0的有C${}_{k-1}^{k-1}$=1个.故对所有2进制为k位数的数n, 在所求式中的2I (n) 的和为:

1·20+C${}_{k-1}^1$·21+C${}_{k-1}^2$·22

+…+C${}_{k-1}^{k-1}$·2k-1=3k-1.

又127=27-1恰为2进制的最大7位数, 所以

${\displaystyle \sum _{n=1}^{127}2}{}^{{\rm I}(n)}=2{}^0+{\displaystyle \sum _{k=2}^{7}3}{}^{k-1}=1093.$

评注 该试题以进位制为载体, 由特殊到一般地考查二进制与十进制的相互转化, 通过观察、归纳得出一般的规律, 本试题能较好地考查考生的归纳推理能力和运算能力.

8 幂指数运算中的合情推理问题

例10 (2011年江西高考题) 观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57=78125, …, 则52011的末四位数字为 ( ) .

(A) 3125 (B) 5625

(C) 0625 (D) 8125

解析 观察发现幂指数是奇数的, 结果后三位数字为125, 故排除B, C选项;而52011>3125, 故A也不正确, 所以选D.

评注 该试题考查考生对“数”和“式”的归纳, 发现隐藏的规律.这种考查方式的重点是要求考生用“慧眼”洞察出数或式与自然数n的内在联系, 从而归纳得出普遍的结论.

9 图形中的合情推理问题

例11 (2009年湖北高考题) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 比如:

他们研究地图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数;类似的, 称图2中的1, 4, 9, 16, …这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 () .

(A) 289 (B) 1024

(C) 1225 (D) 1378

解析通过观察图形得, 三角形数的一般形式是正方形数的一般形式是m2, 从4个选项选一个同时满足两式的数, 因为故答案应选C.

评注此试题以古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形为背景, 考查考生的直觉观察、归纳推理等思维能力和运算能力, 同时也让考生在解题时领略到博大精深的数学文化.

从以上的试题解析可以看出, 合情推理的考题不仅存在于不同的题型中, 也存在于初、高中不同模块知识内容之中.由于它包含了观察、归纳、抽象、概括、类比、猜想等基本的思维活动, 因此容易考查学生对基本的数学思想方法的理解程度, 也有助于促进教师的教学方式和学生的学习方式的改进及完善, 所以, 在中学数学教学中应引起广大教师的重视.