奥数应用题训练题

奥数应用题训练题（精选6篇）

1.奥数应用题训练题 篇一

关于奥数训练题

91、 16+16+16+8=( )×( )。

92、已知：○+□=15，○-□=1。那么○=( )，□=( )。

93、一些笔平均分给8个同学刚好分完，最少有( )支笔。

94、63减去7，减( )次结果是0，用算式( )。

95、确定一个顶点，可以画( )个角。一个角的`两条边延长，这个角的大小( )。

96、判断(对的打√，错的打×，共10分)

(1.在乘法算式里，积不一定比每个因数大。( )

(2.一个方桌的一个角被截去后，这个方桌就剩下三个角。( )

(3. 9乘一个数，这个数每增加1，积就增加9。( )。

(4. 13名同学做纸花，每4人用一张纸，最少要用3张纸。( )

(5. 36是4的9倍，就是36里面有4个9。( )。

97.操作题(10分)

(1.画一条线断，长度是1厘米的4倍。(4分)

(2.在图中添一条线段，使它增加4个直角。(6分)

98.计算(16分)

(1.列竖式计算(12分)

68-27-13 54+14+28

18+(72-27) 86-(35-14)

(2.在括号中最大能填几?(4分)

8×( )﹤71 47﹥9×( )

( )×7﹤60 23﹥4×( )

99.列式计算(16分)

(1. 一个因数是8，另一个因数比36少27，积是多少?

(2. 54里面有几个9?

(3. 6的8倍是多少?

(4.被除数是24，除数是3，商是多少?

100.(每小题7分，共35分)

(1.一只手有5个手指，那么两个人共有多少个手指?

(2.有4盆黄花、5盆红花，每盆都开6朵花，一共开了几朵花?

(3.二⑴班有男生28人，有女生24人，二⑵班比二⑴班多3人，二⑵班有多少人?

2.出入相补原理在小学奥数中的应用 篇二

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。

所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”

下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。

一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用

在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。

二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用

试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：

（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。

结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。

（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高

结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。

（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高

结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2

结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以

S=π×半径×半径=π×半径2

例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）

解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。

方法一：如下图，把阴影部分的面积转为

本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。

出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。

【参考文献】

[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.

[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.

[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.

（责编 黄珍平）

【关键词】出入相补原理 小学奥数 整数运算 平面几何的面积计算

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。

所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”

下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。

一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用

在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。

二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用

试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：

（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。

结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。

（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高

结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。

（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高

结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2

结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以

S=π×半径×半径=π×半径2

例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）

解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。

方法一：如下图，把阴影部分的面积转为

本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。

出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。

【参考文献】

[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.

[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.

[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.

（责编 黄珍平）

【关键词】出入相补原理 小学奥数 整数运算 平面几何的面积计算

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。

所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”

下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。

一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用

在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。

二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用

试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：

（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。

结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。

（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高

结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。

（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高

结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2

结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以

S=π×半径×半径=π×半径2

例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）

解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。

方法一：如下图，把阴影部分的面积转为

本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。

出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。

【参考文献】

[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.

[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.

[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.

3.五年级上册奥数训练题 篇三

分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。

设胶鞋有x双，则布鞋有(46-x)双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9(46-x)元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。

解：设有胶鞋x双，则有布鞋(46-x)双。

7.5x-5.9(46-x)=10，

7.5x-271.4+5.9x=10，

13.4x=281.4，

x=21。

答：胶鞋有21双。

2、教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生?

分析与解：设最初有x个女生，则男生最初有(x-10)×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程

x-10=[(x-10)×2-9]×5，

x-10=(2x-29)×5，

x-10=10x-145，

9x=135，

x=15(个)。

3、甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。

分析与解：设每人可免费携带x千克行李。一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重(150-3x)千克，超重行李每千克应付4÷(150-3x)元;另一方面，一人携带150千克行李超重(150-x)千克，超重行李每千克应付8÷(150-x)元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程

4÷(150-3x)=8÷(150-x)，

4×(150-x)=8×(150-3x)，

600-4x=1200-24x，

20x=600，

4.六年级奥数班思维训练题4 篇四

（二）姓名：

1.甲数比乙数多

3，那么乙数比甲数少几分之几？

2.商店有1200台电脑，第一个月卖出总数的14，第二个月卖出余下的13，还剩多少台没买？

3.一条水渠，第一天修了全长的1

3，第二天又修了余下的3，还剩300米没有修。这条水渠全长多少米？

4、某校三个年级共有学生480人，五年级的人数比四年级多1

8级少14人，六年级有多少人？

5．某工厂原有工人248人，15

31，后来调走几名女工，这样女工人数占总人数的7

56．一件工作，由甲乙丙三人单独完成，分

别需要6天、8天、12天，如果三人合作完成，多少天可以完成？

7、师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共同完成任务的710，如果由师徒两人单独完成这批零件各需几天？

8．.打印一份稿件，甲单独打4小时打了这

份稿件的，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的1

4，剩余的甲、乙共同打，还

需几小时？

9.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时。丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙丙三个水管，问水池注满要多少小时？

5.奥数应用题训练题 篇五

2、3、同学们参加学校运动会，裁判员请各代表队报告人数。小强对电影院里小红坐12排，倒数还是12排，电影院座位有几排？ 裁判员说：“我们参赛队员排成了一排，我和小力、小涛是这一排的最后三个人，报完数后，我们三个人报的数加起来是和是27。”你知道小强这一队一共有多少人吗？

4、5、五一节挂彩灯，按黄、红、蓝、绿的顺序依次组装，一共有25今天是6日，星期一，到30日是星期几？ 盏灯。想一想：第20盏灯是什么颜色？

6、小力有一本画报，每4页之间有2页插图，也就是说2页插图前后各有2页文字。那么第28页是插图还是文字？

7、同学们在一条32米长的小路旁栽树，每隔8米栽一棵。如果两端各栽一棵，需要多少棵树？

8、老师买了一些练习本，比20本多，比30本少，如果2 本2 本的数，多1本，3本3本地数，少1本，老师买了多少本练习本？

9、大姐、二姐和小妹三人的岁数之和是24岁。二姐比小妹大4岁，而且大姐的岁数是二姐的2倍。姐妹三人各几岁？

10、小猴天天要爬上15米高的大树，可是它每爬3米后就会滑下1米，然后又鼓起勇气继续再爬第二次……小猴天天要在第几次才能爬到树顶？

11、明明和红红共有画片70张，如果明明给红红5张，那么红红就比明明多2张，原来明明和红红各有多少张画片？

12、今年小宏6岁，他的妈妈34岁，当两个年龄和是52岁时，丙人年龄各多少岁？

13、买一枝铅笔和一枝钢笔共用8元，已知铅笔比钢笔便宜4元钱，那么买一枝铅笔和一枝钢笔各用了多少钱？

14、一个大袋子里放4个中等的袋子，每个中等的袋子里又放6个小袋子，你知道一共有多少个袋子吗？

15、食堂李阿姨洗碗，红红问她：“你天你洗了多少个碗？”李阿姨说：“12个人吃饭，每人用1个饭碗，平均2人共用1个菜碗，3个人共用1个汤碗。”你知道她洗了多少个碗？

16、32人去参观，有两种车，一种是面包车，每辆可乘7人，另一种是小轿车，每辆可乘4人，从尽量减少空位来考虑，采用哪种方案乘车最好？

17、有一组电话号码，从左到右相邻的两个数的和分别是6，8，10，12，14，16，18，你知道这组有趣的电话号码是多少吗？

18、二年级一班有30名学生，其中测验后，老师问语文得“优”的举手！结果有20人。老师又问数学得“优”的举手！结果有25人。最后老师问两门都没有得优秀的举手，一个也没有。你知道两门都得“优”的同学有多少名吗？

19、小刚家的钟停了，爷爷看电视上的时间是3点，把钟调整了，结果把时针和分针颠倒了。妈妈下班回来，看到钟才3点，感到奇怪，你知道现在应该是几点吗？

20、将1—9九个数字平均分成三组，使每组的三个数相加的和相等，这样的分法有几种？

1、渡河

农夫要将一只羊、一条狼、一筐青菜运到河对岸。但渡般很小，每次只能带一样上船，而若农夫不在场，刚狼要吃羊，羊要吃青菜。你帮助农夫设计一个渡河方案吧，使狼吃不到羊，羊吃不到青菜。

2、打开哪只箱子？

有红、黄、蓝3只箱子，其中一只箱子里有一本《格林童话》。每个箱盖上都写着一句话，但这三句话中至少有两句是错误的。请问《格林童话》在哪个箱子里？

红箱子上的话：书在此箱中

黄箱子上的话：此箱内无书

蓝箱子上的话：书不在红箱子内

6.课本题改编题训练二(平面向量) 篇六

1-1. (改编)设任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E,F, 求证:=(+).

1-2. (改编)设任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E,F,求证:=(+).

2. (人教A版必修4第98页例4)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,你能用a,b表示向量和吗?

2-1. (改编)如图,在五边形ABCDE中,=a,=b,=c,=d,试用a,b,c,d表示向量和.

2-2. 在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由?

2-3. (改编)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),求点D的坐标.

2-4. (改编)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.

3. (人教A版必修4第100页例6)如图,已知任意两个非零向量a,b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b,你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么?

3-1. (改编)已知=a+2b,=2a+4b,=3a+6b(其中a,b是任意两个非零向量),证明:A,B,C三点共线.

3-2. (改编)已知A,B,C三点在同一直线上,并且=a+b,=(m-2)a+2b,=(n+1)a+3b(其中a,b是任意两个非零向量),试求m,n之间的关系.

4. (人教A版必修4第121页练习A第9题)已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标.

4-1. (改编)在四边形ABCD中,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).

(1) 若∥,求x,y满足的关系式;

(2) 满足(1)的同时又有⊥,求x,y的值.

5. (人教B版必修4第104页例1)已知=(2,5)和a=(1,y),并且∥a,求a的纵坐标y.

5-1. (改编)已知a=(1,0),b=(2,1).试问:当k为何实数时,ka-b与a+3b平行?平行时它们是同向还是反向?

5-2. (改编)已知a=(1,2),b=(x,1),當a+2b与2a-b共线时,求x的值.

6. (人教B版必修4第111页练习A第1题)已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)•(a-3b)的值.

6-1. (改编)已知向量a和b的夹角为60°,|a|=3,|b|=4,求(2a-b)•a的值.

6-2. (改编)已知|a|=3,|b|=4,(a+b)•(a+2b)=23,求a与b的夹角.

7. (人教A版必修4第118页例4)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,则k为何实数时,向量a+kb与a-kb互相垂直?

7-1. (改编)已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且向量3a+2b与ka-b互相垂直,求实数k的值.

7-2. (改编)已知a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),求c的坐标.

7-3. (改编)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,求实数λ的值.

8. (人教A版必修4第121页第10题)已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.

8-1. (改编)若i=(1,0),j=(0,1),求与4i+3j垂直的单位向量的坐标.

8-2. (改编)已知A(0,3),B(2,0),C(-1,3),求与+2方向相反的单位向量的坐标.

8-3. (改编)已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求|b-c|的值.

9. (人教A版必修4第134页第5题)已知向量,,满足条件++=0,||=

||=||=1,求证:△P1P2P3是正三角形.

9-1. (改编)在△ABC中,有•+•=0,求证:△ABC为直角三角形.

9-2. (改编)已知O为△ABC所在平面内的一点,且满足(-)•(+-2)=0,试判断△ABC的形状.

10. (人教A版必修4第135页第8题)在△ABC中,若•=•=•,则点O在△ABC的什么位置?

10-1. (改编)在同一个平面上有△ABC及一点O,满足关系式2+2=2+2=2+2,则O在△ABC的什么位置?

10-2. (改编)在同一个平面上有△P1P2P3及一点O,满足关系式++=0,则O在△P1P2P3的什么位置?

10-3. (改编)如图,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,求证:+=3.

1-1. 法一 因为E,F分别为DA,BC的中点,所以=,=.

又因为+++=0,+++=0,两式相加,得2+(+)+(+)+(+)=0,所以2=-(+)=+,所以=(+).

法二 连结EC,EB.

因为+=,+=,两式相加,得2+0=+,所以=(+).

又因为=+,=+,两式相加,得+=0++.

所以=(+).

1-2. 由1-1知=(+).又因为=+,=+,所以=(+)=(+++)=(+).

2-1. =++=-(a+b+d),=-(+++)=-(d+a+b+c).

2-2. 因为=++=

-8a-2b=2,所以∥且||

=2||,

所以四边形ABCD为梯形.

2-3. 由题意,+=+(平行四边形对角线的中点重合),所以=+-=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即点D为(0,-2).

2-4. 设=b,=a,则=b-a,=b-a,=b-a,代入条件式,可解得λ=u=,所以λ+u=.

3-1. 因为=-=a+2b,=-=2a+4b,所以=2,所以A,B,C三点共线.

3-2. =-=(m-3)a+b,=-=na+2b,由A,B,C三点在同一条直线上,可设=

k,则(m-3)=kn,2k=1,所以k=,(m-3)=n,即2m-n-6=0为所求.

4-1. (1) =(x,y),=-=-(++)=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).

因为∥,所以x(-y+2)-y(-x-4)=0,化简得x+2y=0.①

(2) =+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3).

由⊥,则(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,化简得x2+y2+4x-2y-15=0.②

联立①②,可解得x=-6,y=3或x=2,y=-1.

5-1. k=-,二者方向相反.

5-2. . 6-1. 12. 6-2. 120°.

7-1. . 7-2. -,-. 7-3. -. 8-1. ,或-,-. 8-2. (0,1).

8-3. 由a∥b,得b=2,-.由a⊥c,得c=2,.所以|b-c|=.

9. 法一 取P2P3的中点P,连结OP,先证明O,P,P1三点共线,再由△OP2P3为等腰三角形,知OP⊥P2P3,从而P1P⊥P2P3,这样有P1P2=P1P3.同理P2P2=P1P3.

法二 由已知,得+=

-,两边平方,得•=-,

所以||===.

同理,||=||=.

9-1. •(+)=•=0,所以⊥,故△ABC为直角三角形.

9-2. 取BC的中点D,则•(2-2)=0,即•=0,故BC⊥AD,从而有△ABC为等腰三角形.

10. O为△ABC的垂心.

10-1. 由2+2=2+2,知2+(+)2=2+(+)2,从而•=•,即•=•.

同理•=•.

故O为△ABC的垂心.

10-2. 重心.

10-3. 由点G是△ABC的重心,知++=0,得-+(-)+(-)=0,有=(+).

又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),于是存在λ,μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.