小学奥数工程问题总结

小学奥数工程问题总结（精选10篇）

1.小学奥数工程问题总结 篇一

小学六年级奥数教案—06工程问题二

本教程共30讲

工程问题

（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？

分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后

么还要几天才能完成？

分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作

们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独

例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？

分析与解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、„„的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？

分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是

例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流

件工作，要用多少天才能完成？

分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到

练习6

1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？

需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？

3.加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？

独修各需几天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？

6.单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、甲、乙、„„的顺序轮流工作，每次1时，那么完成这项工作需要多长时间？

7.一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？

答案与提示练习6

1.360个。

2.甲18天，乙12天。

3.7.2时。

解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以单独干李需12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为

5.上午9时。

6.10时15分。

7.8.5天。

解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。

甲乙甲乙„„甲乙甲乙甲乙„„甲乙 甲

现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。

2.小学奥数教案——容斥问题 篇二

容斥问题

一 本讲学习目标

理解并掌握容斥问题。

二 重点难点考点分析

容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。

三 概念解析

容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。

四 例题讲解

一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？

四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对？

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？

光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？

一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？

100个人参加测试，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格。测试结果是：答对第一题的有81人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的79人，答对第五题的有74人，那么至少有多少人合格。

五 课堂练习

在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？

实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

六 课后作业

六

（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的图画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅？

五年级有22名学生参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

七 励志或学科小故事——阿契塔

阿契塔（Archytas）希腊数学家。公元前约420年生于意大利塔伦通（现塔兰托）；公元前约350年卒。阿契塔是毕达哥拉斯学派的成员，居住在塔伦通，那里是当时保留到最后的一个纺织毕达哥拉斯学派的活动中心。阿契塔象公元前四世纪的许多希腊学者那样，致力于说服希腊各城邦联合起来反对日

效力增长的外来势力。可是，同所有其他希腊学者一样，他也失败了。希腊人坚持彼此之间的自相残杀，直到被马其顿所征服。

3.小学三年级奥数行程问题试题 篇三

小学三年级奥数行程问题试题

1.一只轮船往返于相距240千米的甲、乙两港之间.逆水速度是每小时18千米，顺水速度是每小时26千米.一艘汽艇的.速度是每小时20千米.这艘汽艇往返于两港之间共需多少小时?

考点：流水行船问题.

分析：根据题意，轮船的逆水速度是每小时18千米，顺水速度是每小时26千米，由于逆水速度=船速-水速，顺水速度=船速+水速，由和差公式可得：水速=(顺水速度-逆水速度)÷2;继而可以求出这艘汽艇的顺水速度与逆水速度，然后再进一步解答即可.

解答：解：根据题意可得：

水速是：(26-18)÷2=4(千米/时);

汽艇顺水速度：20+4=24(千米/时);

汽艇逆水速度：20-4=16(千米/时);

这艘汽艇往返于两港的时间：240÷24+240÷16=25(小时).

答：这艘汽艇往返于两港之间共需25小时.

4.小学奥数工程问题总结 篇四

【摘要】如何让小学生学会用数学的思维方式去观察和分析生活，如何帮助他们更好地学好数学这门学科呢?

1.一列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度.

2.某列车通过342米的隧道用了23秒，接着通过288米的隧道用了20秒，这列火车与另一列长128米、速度为22米的列车错车而过，问需要几秒钟?

3.一位旅客乘火车以每秒15米的.速度前进，他看见对面开来的火车只用2秒钟就从他身边驶过.如果知道迎面来的火车长70米，求它每小时行驶多少千米?

4.一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，这条隧道长多少米?

5.一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米?

5.小学奥数牛吃草问题教案(二) 篇五

典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：

设定一头牛一天吃草量为“1”

1草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）

2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。

这类题的基本数量关系是：

1（牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）=草地每天新长出的草

2牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=原有草量 解决多块草地的方法

巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。

设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）

5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（）小时。自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）

6.一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小时可将可将水池中的水抽干。设1根抽水管每小时抽水量为1份。

（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。（2）设1头牛1天的吃草量为1份。

（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？

4个 设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。

（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）

6.小学奥数工程问题总结 篇六

一、情景谈话，导入新课

1、谈话引入：

师：小朋友知道现在是什么季节吗？（秋季）

秋季过了，接下去是什么季节呢？（冬季）再接着是什么季节呢？（春季、夏季）过完夏季我们又该到什么季节了？ 师：我想过完秋季直接过春季行吗？

那能不能再继续过秋季？为什么不行？

师：又如我们每个星期的学习生活是从那天开始的？（周一）接着是周几？ 小结：一年四季春夏秋冬、每个星期都是按照规律依次重复出现，周而复始。

像这样：按照一定的规律，依次不断重复出现的，我们把这种现象叫“周期” 出示课题：周期问题

二、动手操作，感知周期（有序排列）

1、出示：下列图形发现什么规律？你能接着画吗？

① ○□○□○□

② △□○△□○△□○

③ ◇○○□□◇○○□□ 反馈交流

师：哪几个在重复出现的？

①每两个一组，按照○□重复出现；②每三个一组，按照△□○重复出现；③每五个一组，按照◇○○□□重复出现；

小结板书： “每几个一组”、“ 依次重复出现”

三、自主探究，体会规律 １、出示： 想一想：这串图形中，第31个是什么图形？（在练习纸上试一试）（1）○△□○△□○△□……（）…… 反馈： ⑴：画图： ⑵：计算：

31÷3=10（组）……1（个）（板书）○

讨论：算式中的“31”、“3”、“10”、“1”分别表示什么？

师：那么这1个它是在第几组第几个？ 小结： 第31个是在第11组的第1个，每一组的第1个都是○，所以第31个是○。（2）△△△○△△△○……（）…… 计算：

7.小学奥数工程问题总结 篇七

在归一问题中，同类数量之间的倍数关系是相同的。根据这一点，我们还可以用更换两组同类数量之间的倍数关系的方法--更比法来解答归一问题。因此，用更比法来解答了的归一问题，又称作倍比问题。

我们观察一个例子。

一辆汽车4小时可以行驶224千米，照这样计算，这辆汽车24小时可以行驶多少千米？

用归一法来求汽车24小时可行驶的路程是

224÷4×24=1344（千米）。

本题中，4小时和24小时被称作同类数量（时间）；224千米和1344千米也被称为同类数量（路程）。有意义的是，24÷4=6（倍），1344÷224=6（倍），同类数量之间的倍数关系是相同的！那么，你能利用这个倍数来解答下面的每道题吗？

（1）一辆汽车4小时可以行驶224千米，照这样计算，这辆汽车24小时可以行驶多少千米？

解：__________________。

（2）一辆汽车4小时可以行驶224千米，照这样计算，这辆汽车行驶1344千米需要多少小时？

解：_________________。

（3）一辆汽车24小时可以行驶1344千米，照这样计算，这辆汽车4小时可以行驶多少千米？

解：_________________。

（4）一辆汽车24小时可以行驶1344千米，照这样计算，这辆汽车行驶224千米需要多少小时？

解：_________________。

你能总结出倍比问题的解题规律吗？

【规律】

倍比问题（归一问题）的解题规律是：

首先，求出已知同类数量之间的倍数；

其次，用另一组同类数量中的已知数量乘以（或除以）这个倍数，就得到这组同类数量中的未知数量。

【练习】

1.一台拖拉机5小时可以耕地60公亩。照这样计算，这台拖拉机要耕地240亩，需要多少小时？

2.用3平方米的硬纸板可以剪开做成27个小纸盒，照这样计算，42平方米的硬纸板能做成多少个硬纸盒？

3.甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时，甲行走了3.6千米。已知甲每分钟行120千米，乙每分钟行100千米，求相遇时乙行走的路程是多少千米？

4.种子推广站，有甲乙两块面积一样的试验田，甲块试验田共收种子400千克，已知甲乙两块试验田的亩产量之比是2∶3，求乙块试验田共收种子多少千克？

8.小学奥数工程问题总结 篇八

教学目标

1.能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用

2.根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图

3.能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。

知识精讲

二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：；

；

多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

例题精讲

板块一、多人从两端出发——相遇、追及

【例

1】

有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米?

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

甲、丙6分钟相遇的路程：(米)；

甲、乙相遇的时间为：(分钟)；

东、西两村之间的距离为：(米).【答案】米

【巩固】

一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

(分钟)．

【答案】分钟

【例

2】

在公路上，汽车、、分别以，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少千米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】四中，入学测试

【解析】

汽车在与汽车相遇时，汽车与汽车的距离为：千米，此时汽车与汽车的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了小时，那么甲、乙两站的距离为：千米．

【答案】千米

【巩固】

甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．

【答案】16500米

【巩固】

小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米／时、48千米／时和42千米／时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

270千米。提示：先求出面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的距离（相遇问题），再求出从出发到面包车与小轿车相遇经过的时间（追及问题），最后求甲、乙两地的距离（相遇问题）。

【答案】270千米

【巩固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。

【答案】5130米

【巩固】

小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

画一张示意图：

图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离：（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要：130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：130＋65=195（分钟）＝3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.【答案】3小时15分

【巩固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×1=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130÷（65-60）=26分钟，所以路程=26×（65+70）=3510米。

【答案】3510米

【巩固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×2=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=260÷（60-50）=26分钟，所以路程=26×（60+70）=3380米。

【答案】3380米

【巩固】

甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

那5分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100）×5=950米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差。所以乙丙相遇时间=950÷（90-80）=95分钟，所以路程=95×（90+100）=18050米。

【答案】18050米

【巩固】

小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

30分钟是小王和小李相遇，所以距离是千米，这距离是小王和小李相遇时间里小张和小王的路程差。所以小李和小张相遇时间=7.5÷（6-5）=7.5小时，所以路程=7.5×（6+10）=120千米。120÷10=12（小时）

【答案】12小时

【巩固】

甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为（米），（分），A、B之间的距离为（米），行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：

甲

乙

丙

方法二：丙与乙相遇时，各行了（分），速度与时间成反比，所以，丙行完全程需要（分）；乙行完全程需要（分）.方法三：丙与乙相遇时，乙比甲多行了（米）；丙比甲多行了（米），所以A地与B地之间的距离为（米）.行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：

甲

乙

丙

【答案】甲

分；乙

分；丙

分

【巩固】

甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：出发1小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙千米；10分钟后丙、乙相遇，相向而行共行了2千米，其中乙行了千米，丙行了千米，丙每小时行千米，所以甲、丙相遇时，丙行了千米。

方法二：丙1小时10分钟（与乙相遇）行的距离与1小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于甲1小时行的距离之差，所以丙的速度等于千米/小时，丙与甲相遇时，丙行了千米。

【答案】千米

【例

3】

甲、乙两车的速度分别为

千米／时和

千米／时，它们同时从

A

地出发到

B

地去，出发后

时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1

时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为

千米；72

千米就是1

小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为

千米／时，所以卡车速度为

72-40=32

千米／时。

【答案】卡车速度为

千米／时

【巩固】

甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇．求东西两村的距离．

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

先画示意图如下：

甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇．甲、丙在3分钟内共走路程是(米)．显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走(米)．所以，甲、乙相遇时离出发的时间是(分钟)．两村间的距离是：(米)

【答案】米

【巩固】

甲、乙、丙三辆车同时从

A

地出发到

B

地去，甲、乙两车的速度分别为

千米／时和

48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8

时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

甲车每小时比乙车快(千米)．则5小时后，甲比乙多走的路程为(千米)．也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为(千米/小时)，卡车在与甲相遇后，再走(小时)才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程．由此，丙的速度也可求得，应为：(千米/小时)．

【答案】千米/小时

【巩固】

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后

6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

39千米／时。提示：先利用甲、乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24千米／时。

【答案】卡车速度为24千米／时

【例

4】

李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

老师出发时，李华已经走了（千米）。接下来相遇所需要的时间为（小时）。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：（千米）。所以张明要用小时感到距离学校10千米处，张明的速度为（千米/时）

【答案】千米/时

【例

5】

甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据题意可知，（40+60）×7=700（米），700÷（63+7）=10（米/分），乙的速度为50米/分，（15×50-700）÷10=5（分），（40+50）×（15+5）=1800（米）

【答案】1800米

【巩固】

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇。已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】希望杯，四年级，二试

【解析】

丙车和卡车的速度均是50千米/时。

【答案】50千米/时

【例

6】

一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米，学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米，14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟14时16分+24分=14时40分

【答案】14时40分

【巩固】

铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。

法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。

解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。

法二：直接设火车的车长是x,那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/26＋3＝x/22＋1

这样直接也可以x=286米

法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。

两次的追及时间比是：22：26＝11：13，所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11，可得V车＝14米/秒，所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）

答：这列火车的车身总长为286米。

【答案】286米

【例

7】

甲、乙两人从相距490米的、两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】填空

【解析】

如图所示：

假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从走处到处．根据题意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从到再到的长度是的6倍，那么，可见．那么丙从到所用的时间是从到所用时间的，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(加)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(加，即全程)的，所以，而，可得，．

相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为(米/分)，即乙每分钟走60米．

当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的，为米．

【答案】米

【例

8】

甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖的周长是600米，求丙的速度．

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】三帆中学

【解析】

甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，再过分第二次遇到乙，所以甲、乙经过分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为米/分，甲的速度为米/分．甲、乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要分钟，甲、丙的速度和为米/分，从而丙的速度为米/分．

【答案】米/分

【巩固】

甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。

【答案】4.2千米

【巩固】

池塘周围有一条道路．、、三人从同一地点同时出发．和往逆时针方向走，往顺时针方向走．以每分钟80米、以每分钟65米的速度行走．在出发后的20分钟遇到，再过2分钟，遇到．请问，池塘的周长是几米？

【考点】行程问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

换个角度去思考这个问题，假设用一把剪刀将道路剪开，并将弧形的道路拉成直的，这样此题就转化成了相遇问题．如图，行了20分钟后，与相遇，此时、、都行了20分钟，而落后(米)，也就是此时，与相距300米．题目又告诉我们过2分钟与相遇，这说明这2分钟与一共行了300米，所以的速度为(米/分)．池塘周长为：

(米)．

【答案】米

【巩固】

甲从A地出发前往B地，1小时后，乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是220千米，C、D两地之间的距离是20千米．求丙的速度．

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

假设乙走了单位“1”，得

丙走了1.5，即丙与乙的路程差为1.5-1=0.5,因为实际的路程差为20×2=40(千米)

所以乙走了80千米，即

甲后来走了80千米，丙走了120千米，220-80-120=20(千米)

所以甲的速度是20(千米/小时)

丙的速度=20×1.5=30(千米/小时)

【答案】30千米/小时

【例

9】

如图，C,D为AB的三等分点；

8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲,乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲,丙8:30相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级，初试

【解析】

方法一：根据题意，乙从8点12分到8点30分共18分钟走到了点，说明乙走个全程用时6分钟，则当乙走到点时为8时24分，此时甲从点走到点，用了24分钟。即甲从个全程用时24分钟，而丙在8点24分在点，从8点24分到8点30分这6分钟内甲丙相遇，甲走了，丙走了，则丙走DB需要时间：6÷=8分钟，所以丙出发是在8点16分。

方法二：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6¸3´4=8分，从B出发的时刻为8:16。对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。

方法二：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6¸3´4=8分，从B出发的时刻为8:16。对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。

【答案】8点16分

【例

10】

一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇

千米．

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】迎春杯，复赛，高年级组

【解析】

如图，甲、乙两人从地出发，丙从地出发，甲、丙相遇在处，此时乙到达处，、相距20千米；三人继续前进，当丙和乙在处相遇时，甲到达处，、相距30千米．

当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；

当丙和乙分别从、出发走到处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．

由于，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．

当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为，那么两人相遇时丙走了千米，甲走了千米，乙走了千米，丙和乙的速度比为，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．

【答案】千米

【巩固】

甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳

米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】填空

【关键词】仁华学校，期末考试，四年级

【解析】

现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是（米），甲目前比它们的距离之和要多(米)．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米．要使这个差为0，甲应向前游了

(米)．

【答案】米

【例

11】

A、B两地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

甲、丙相遇时，丙行的时间为（小时），甲乙之间距离为

（千米），当丙处在甲、乙之间的中点时，甲、丙相遇后，甲、丙又行的距离之和一定等于33.6

千米减去乙、丙又行的距离之和，丙又行的时间为（小时），因

此，当丙处在甲、乙之间的中点时，丙共行了（小时）

【答案】小时

【巩固】

两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从地，丙从地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时之后，乙正好在甲、丙两人的中点？

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

方法一：丙、乙相遇时，甲、乙、丙均行走了（小时），这时甲在乙前（千米），若乙要正好处在甲、丙之间的中点，乙、丙必须共同增加这个距离乙、丙速度之和为48（千米），甲、丙速度之和为（千米/小时），因为甲比乙每小时多行（千米），乙、丙每小时只能净增（千米），所以从乙、丙相遇，到乙正好在甲、丙之间的中点，还需经过（小时），因此乙处在甲、丙之间的中点时，共经过（小时）.方法二：因为甲、乙、丙3人的行走速度为等差数列36、30、24，所以，在任何时刻3人所行的距离也为等差数列，即甲行的距离与乙行的距离之差等于乙行的距离与丙行的距离之差，所以，当题中所说的乙正好处在甲、丙之间的中点时，甲比乙多行的距离等于乙比丙多行的距离，因此，若有两个丙分别从A、B两地与甲、乙同时出发相向而行，这两个丙相遇时，乙一定处于甲、丙之间的中点，经过了（小时）.【答案】小时

【例

12】、两地相距米，甲、乙、丙的速度分别是米/分、米/分、米/分。如果甲、乙从，丙从地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的倍。

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】希望杯，第一试

【解析】

由于乙的速度比甲的速度快，本题有两种情况：

⑴丙在甲、乙之间，此时甲、丙的距离为甲、乙距离的，而乙每分钟比甲多走米，如果甲每分钟比原速度多走米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为：（分）。

⑵丙在甲的左侧，此时甲、丙的距离与甲、乙的距离相等，由于乙每分钟比甲多走米，如果甲每分钟比原速度少走米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为：（分）。

【答案】分；分

板块二、多人从同一段出发——追及问题

【例

13】

张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地距离千米。赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，走了60千米，每小时走千米。所以，赵追上李时用了：小时，即中午12时。

【答案】中午12时

【巩固】

甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50

=9：10，即速度比为10：9。甲和乙的时间比为60：75

=4：5，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为

25：20：18。甲和丙的速度比为25：18

【答案】25：18

【巩固】

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据题意可知，甲车走了1000×6=6000米

乙车走了800×8=6400米

长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=200米/分

丙车速度（200×2+6400）÷10=680米/分

【答案】680米/分

【例

14】

铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向。乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

略

【答案】8.75秒

【例

15】

甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：（1）

A，B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

1)

乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度是乙的。

因为乙到B时比丙多跑24米，所以A、B相距米

2)

甲跑120米，丙跑120-40=80米，丙的速度是甲的甲的速度是（米/秒）

【答案】（1）米；（2）米/秒

【巩固】

甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回.在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

在距西村30公里处和乙相聚，则甲比乙多走60公里，而甲骑自行车每小时比乙快12公里，所以，甲乙相聚时所用时间是（小时），所以甲从西村到和乙相聚用了（小时），所以，甲速是（公里/小时），所以，丙速是（公里/小时），东村到西村的距离是：（公里），所以，甲丙相遇时间是：(小时).【答案】小时

【例

16】

甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）。

【答案】950米／分

【巩固】

快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为(千米)，中车追上这段路用了(分钟)，所以骑车人与中车的速度差为(千米/小时).则骑车人的速度为(千米/小时)，所以三车出发时与骑车人的路程差为(千米).慢车与骑车人的速度差为（千米/小时），所以慢车速度为（千米/小时）.【答案】千米/小时

【巩固】

快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为60千米／时和40千米／时，求中速车的速度。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据题意可知，快车走了6千米慢车走了8千米骑车人的速度（8-6）÷（12-6）=

千米/小时，中速车速度（×3+6）÷=

千米/小时

【答案】千米/小时

【例

17】

甲从A地出发前往B地，1小时后，乙也从A地出发前往B地，又过1小时，丙从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍,C、D两地之间的距离是50千米．求乙出发1小时后距B地多少千米。

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据题意可知：甲出发两小时后，甲乙在同一地点，假设此时距B为“1”，C、D两地之间的距离=，千米

【答案】千米

【例

18】

甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。问：

（1）从学校到体育场的距离是多少？

（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？

【考点】行程问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

（1）

9300米；（2）

10时6分40秒。提示：从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以从出发到甲、乙相遇共用62分。甲从体育场返回到与乙相遇用了62－60=2（分），从而可求出甲每分走310÷2=155（米）。

【答案】155米

【例

19】

A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙．若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少?

【考点】行程问题

【难度】4星

【题型】解答

【解析】

甲以40千米／小时的速度行驶l小时45分钟，行驶了千米，那么剩下的105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的，所以乙的速度为千米／小时，如下图所示．

又甲、乙再行驶3分钟，那么甲又行驶了千米，乙又行驶了千米．即在甲、乙相遇3分钟后，乙行驶至距B地35+1=36千米的地方，甲行驶至距A地70+2=72千米的地方，此地距B地105—72=33千米，如下图所示．

而如果甲以20千米／小时的速度，乙的速度增加2千米／小时至22千米／小时，那么相遇点C距B地为：千米，如下图所示．

那么，当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时，乙在距B地36千米的地方，而后丙行驶至C地(距B地55千米)时，乙也在C地，即相遇．

在这段时间内，乙行驶了55-36=19千米，而丙行驶了55-33=22千米，所以丙的速度为千米／小时，如下图所示．

9.三年级奥数活动总结 篇九

三年级：杨清

林明

这个学期的奥数小组活动，学生们的学习兴趣空前高涨，许多学生要求能有机会再进行学习，并且在这些兴趣者的指引下有不少学生在学习中进行了小组学习。通过本学期学校的组织，我很快认识到组建兴趣小组的重要性，以下就近期的心得作如下总结：

一、培养了学生的对数学的极大兴趣

有参加兴趣小组的同学都有这么一个感受：就是以前做数学或许只是应付老师的作业，有时甚至是为了向爸爸妈妈“交差”。但通过学习他们意识到他们不再是被动的而是变成主动的学习，他们的学习能够自觉完成了而且还能头头是道地向同学介绍他所学习到的知识。在他们的指引下更多的学生参加了兴趣小组。

二、培养学生的知识面

在这次的兴趣小组中不但输入了数学的知识而且更多的是讲述一些数学的相关知识，很多同学在数学知识的学习过程中丰富了语文的功底，使他们的知识面得到很大的拓展。

三、增加了实践的机会

由于兴趣小组不仅有室内的理论学习而且还参与了实践，所以给很多同学以动手的机会，使他们认识到数学并不是仅仅用在“无聊”的计算上，而更大的就是“从实践中来，服务于实践”，使他们意识到学习数学的用处。当然也更增加他们的学习兴趣。

四、丰富了学生的第二课堂

从素质的角度丰富了学生的课余生活，他们的生活不在仅限于课堂上，让他们意识到学习的乐趣，更有兴趣学习了。

10.小学奥数牛吃草问题教案(二) 篇十

牛吃草问题二

典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：

设定一头牛一天吃草量为“1”

1草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）

2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数 3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。

这类题的基本数量关系是：

1（牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）=草地每天新长出的草

2牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=原有草量 解决多块草地的方法 多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

思维拓展 例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？

25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头

例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？ 【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。（）

A.10 B.12 C.15 C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。

每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。

4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。

设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）

5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（）小时。自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）

6.一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小时可将可将水池中的水抽干。设1根抽水管每小时抽水量为1份。（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）

7.某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）辆。设每两汽车每小时运的货物为1份。

（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）

（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。（2）设1头牛1天的吃草量为1份。

（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？

4个 设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。

（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）

10.现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？

15小时

设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为： 2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为： 7.5÷（1-0.5）=15（小时）

1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？2、3、4、5、6、7、牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天．问多少头牛4天把草地的草吃完? 有－牧场，21头牛20天可将草吃完，25头牛则15天可将草吃完，现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天则将草吃完，问原有牛多少头? 22头牛，吃33公亩牧场的草54夭可吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，‘84天可吃尽．请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃尽? 某火车站检票口，在检票开始前已有－些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，－个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有－个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队? 甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的大米，甲仓库用皮带输送机－台和12个工人5小时把甲仓库搬空，乙仓库用皮带输送机－台和28个工人3小时把乙仓库搬空．丙仓库有皮带输送机2台，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人? 牧场上－片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周匀速生长，可供21只羊吃几天?