全等三角形定义与证明

全等三角形定义与证明（9篇）

1.全等三角形定义与证明 篇一

全等三角形证明题

1在直角坐标系中,有两个点A(2,4)B(-2,-4),(即A.B两点是

关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别

连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!

2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?

3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?

4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?

5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形的直角边长为3和4.求证两三角形全等.(注:SAS)

6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)

7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三

角形CDA全等.8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?

9在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等.(由

于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS)

10.已知：三角形中AB=AC，求证：(1)∠B=∠C

11三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)

12三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等

(ASA)

三角形ADF是直角三角形

所以角EAD=90度-角BDA

三角形ADB是直角三角形

所以角BAD=90度-角BDA

所以角EAD=角BAD

CE平行AB

所以同旁内角互补

所以角BAD+角ACE=180度

角BAD=90度

所以角ACE=90度

所以角BAD=角ACE

所以三角形BAD和三角形ACE中

角EAD=角BAD

角BAD=角ACE

AB=AC

由ASA

三角形BAD≌三角形ACE

所以AD=CE

因为D是AC中点，且AB=AC

所以AB=2AD

所以AB=2CE

只要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了

AE垂直BD，所以角EAC=角DBA(为什么?因为角EAC+角BAE=90度，而角BAE+角DBA=90度，所以角EAC=角DBA)

然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度

看三角形BAD和ACE

角EAC=角DBA

角BAD=角ACE=90

又因为AB=AC

所以两个直角三角形全等

所以AD=CE

又因为BD是中线，所以AC=2AD

所以AB=2CE

∵∠DEC=∠AEB(对顶角相等)

∠A=∠D

AE=ED

∴△ABE全等于△DEC(ASA)

∴EB=EC

∵∠DEC=50°

∴∠BEC=180°—∠EDC=180°—50°=130°

∵BE=EC

∴△BEC是等腰三角形

∴∠EBC=∠ECB=(180°—∠BEC)×(1/2)=25°

2.全等三角形定义与证明 篇二

当时有很多学生都会想, 这个性质也不怎么用啊, 但是到了初二, 在学习三角形全等的证明过程中, 大家会发现它是证明角相等非常好、也是非常常用的一种方法, 尤其是余角的性质最为常用.

例如人教版八年级下册第27页第9题.

例1已知如图1, ∠ACB=90°, AC=BC, BE⊥CE于E, AD⊥CE于D, AD=2.5 cm, DE=1.7 cm, 求BE的长.

分析:在这个问题中, 很容易知道, 我们要证明△ADC和△CEB全等, 并且容易找到一边一角的条件, 即直角和AB=CB, 再找一个角或再找一个边就可以了.

其实这个时候会发现有很多的直角, 我们找角就是比较常见的, 并且基本上都是利用余角的性质, 因为∠DAC+∠ACD90°, ∠BCE+∠ACD=90°, 所以∠DAC=∠BCE.

由上面的这个题目拓展出来下面的题目.

拓展:△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 直线MN过点A, BD⊥MN于D, CE⊥MN于E.

(1) 当MN在△ABC外部时, 如图2, 猜想并证明DE、BD、CE之间的等量关系;

(2) 当MN与线段BC相交时, 即变成下图3、4时, 猜想并证明DE、BD、CE之间又各有什么等量关系.

以上题目都是课本上题目的变式, 并且变成了一个开放性的题目, 尽管是开放性的题目, 但是基本的思路是没有变的, 都是要证明△ABD≌△CAE, 并且在准备角的条件时都要用到余角的性质.

比如下面的几个题目:

1.已知如图5, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD垂直AB于点D, 点E在AC上, CE=BC, 过E点作AC的垂线交CD的延长线于点F, 求证AB=FC.

分析:要证明AB=FC, 必须先证明△ABC≌△FCE, 题目中有BC=EC, ∠ACB=∠FEC=90°, 所以要找角, ∠A与∠F都是∠ACD的余角故相等.

2.如图6, 在△ABC中, AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D、E, AD、CE交于点H, 已知EH=EB=3, AE=4, 求CH的长.

分析:因为∠BAD+∠B=90°, ∠BCE+∠B=90°, 所以∠BAD=∠BCE, 再加上直角与BE=EH, 可证△AEH≌△CEB.

3.如图7, △ABC中, ∠ABC=45°, CD⊥AB于D, BE平分∠ABC, BE⊥AC于E, 与CD相交于点F, H是BC边的中点, 连结DH与BE相交于点G.求证:BF=AC.

分析:如图∠ABE+∠A=90°, ∠ACD+∠A=90°, 所以∠ABE=∠ACD, 其他的问题基本上和上面的就都一样了.

那么到底什么时候会用到这个性质呢?其实都是在找角的关系时比较常用这个性质, 当然因为要会用余角的性质, 所以大多数会存在多个直角三角形的, 这是用它的一个很重要的标志.掌握了这种找角相等的方法之后, 学生在做题的过程中会减少很多思维障碍.当然余角的性质可以找角相等的关系, 很多学生还会想到, 我们还学了一条补角的性质, “等角的补角相等”, 它在做题时一样很好用, 比方说下面一题.

例2如图8所示, 在△ABC中, AD平分∠BAC, 点E、F分别为AB、AC上的点, ∠EDF+∠BAF=180°, 求证DE=DF.

分析:因为这个题目中有角平分线, 所以学生根据经验很容易作出辅助线, 即过点D作DG⊥AC于G点, DH⊥AB于点H, 然后证明△DEH≌△DFG.但是会少一个条件, 很多学生想不到了, 其实我们有一个条件还没有用, 即∠EDF+∠BAF=180°.用它可以得到∠AED+∠AFD=180°, 而∠AFD+∠DFG=180°, 所以可以得到∠AED=∠DFG, 这样就利用了等角的补角相等, 为三角形全等准备了角相等的条件.

上面的例子都是直接应用余角或补角的性质, 但是有的时候也发现, 为了证明角相等的关系, 却用不了余角或补角的性质.这个时候, 我们也可以把性质进行一般化, 比方说:

例3 (2010·日照) 如图9, 四边形ABCD是正方形, 点G、E分别是边AB、BC的中点, ∠AEF=90°, 且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1) 证明:∠BAE=∠FEC;

(2) 证明:△AGE≌△ECF.

学生在做第一问的时候就会出现问题, 无从下手, 或者过F点作BH的垂线段, 然后来证明两个直角三角形全等.但是这样证明条件不足, 其实我们是可以直接证明这对角相等的, 我们可以轻松地证明出∠BGE=∠GEB=45°, 所以可以得到两个等式∠BAE+∠AEG=45°、∠FEC+∠AEG=45°, 所以可以得到∠BAE=∠FEC, 这样证明就不需要添加辅助线了.

在这里我们就把等角的余角相等一般化了, 即“如果两个角都与同一个角 (或相等的角) 的度数和相等, 那么这两个角也相等”, 这一条在应用上会更加得心应手, 例如, 我们可以把例3进行变式.

变式1:如图10, 在正方形ABCD中, M是BC边 (不含端点B、C) 上任意一点, P是BC延长线上一点, N是∠DCP的平分线上一点, 若∠AMN=90°, 求:AM=MN.

变式2:如图11将变式1中的“正方形ABCD”改成“正三角形ABC”, N是∠ACP的平分线上一点, 则∠AMN=60°时, 结论AM=MN是否还成立?请说明理由.

这两个变式我们需要构造全等三角形, 在AB边上截取AE=MC, 连接ME, 通过例3的方法证明出∠EAM=∠CMN, 再证明三角形全等就可以了, 可以看出这种方法是非常行之有效的.

3.和全等三角形有关的和差式的证明 篇三

全等三角形是证明线段相等、角相等的一个重要工具.随着学习的深入，出现了证明一些线段的和（差）等于某条线段的题目，让学生感到困难.这时，通过恰当添加辅助线，将线段的和差问题转化为线段的相等问题，同时构造全等三角形，成为解决问题的主要手段.

一、与三角形、四边形有关的线段和差问题

例1如图1，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB.

求证：BC=AD+AC.

思路1：（截长）在BC上截取CE=CA，连接DE.如图2.

易证△ACD≌△ECD（SAS）.

∴∠3=∠A=2∠B.

∵∠3=∠B+∠4，

∴∠B=∠4.

∴BE=DE=AD.

∴BC=BE+EC=AD+AC.

思路2：（补短）延长CA到E，使得EC=BC，连接DE.如图3.

由条件推出△CED≌△CBD（SAS）.

与思路1相仿，由∠E=∠B，∠BAC=2∠B，得∠4=∠E.AE=AD.下略.

点评：对于线段之间的和差关系，常采用“截长”、“补短”等添加辅助线方法，构造全等三角形，从而转化为两线段间的相等关系.

例2如图4，△ABC中，∠B=2∠C，AD垂直BC于D.

求证：CD=AB+BD.

思路：如图5，在DC上截取DE=DB，连接AE.

易知△ABD≌△AED（SAS）.

∴AB=AE，∠2=∠B.

又∠B=2∠C，得∠1=∠C，AE=CE.

∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+DE=AB+BD.

点评：本解法是截长的方法.也可用补短的方法去证：延长DB到E，使BE=BA，连接AE.读者不妨自己试试.

例3如图6，等边△ABC中，延长BA到D，延长BC到E.若DC=DE，求证：AD=AC+CE.

思路：如图7，延长BC到F，使EF=BC，连接DF.因EF=BC=AC，故只要证CF=AD即可.

易证△DCB≌△DEF（SAS）.

∠F=∠B=60°.

故△DBF是等边三角形.

∴BD=BF.

而BA=BC，故AD=CF=CE+EF=CE+AC.证毕.

点评：本题还可以作以下辅助线证明：作EM∥AC交BD于M.证明△ACD≌△MDE（AAS）.

例4如图8，AE∥BC，AD、BD分别是∠EAB、∠CBA的平分线.过点D的直线EC交AE于点E，交BC于点C.求证：AE+BC=AB.

思路1：（截长）在AB上截取AF，使AF=AE，连接DF.如图9.

易证△ADE≌△ADF（SAS）.

∴∠E=∠AFD.

∵AE∥BC，

∴∠E+∠C=180°.

又∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠C=∠BFD.

∴△BDF≌△BDC（AAS）.

∴BF=BC.AE+BC=AF+BF=AB.

思路2：（补短）如图10，延长BC交AD的延长线于F.要证AE+BC=AB，只需要证明AB=BF和AE=CF.

由题设∠1=∠F=∠2，△ABF是等腰三角形.

∴AB=BF.

又BD是∠FBA的平分线，由等腰三角形“三线合一”知AD=FD.

∴△ADE≌△FDC（ASA）.AE=CF.

∴AE+BC=CF+BC=BF=AB.

二、运动型线段和差问题

例5如图11（1），在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA.分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F.

（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，并说明理由.

（2）若点P在DC的延长线上（如图11（2）），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请说明理由.

（3）若点P在CD的延长线上（如图11（3）），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请说明理由.

简解：（1）结论是：BE-DF=EF.

注意同角的余角相等，易证△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AF-AE=BE-DF.

（2）结论是：DF-BE=EF.

与（1）类似，易证△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AE-AF=DF-BE.

（3）结论是：DF+BE=EF.理由略，请读者自行探究.

点评：本题是典型的运动型线段和差问题.在运动过程中，图中某些线段保持相似或相同的数量关系.本题的证明中应用三角形全等的性质，“化解”了线段间的和差关系.一般来说，这类题目的证法基本相同或类似.但在个别情况下，线段间不保持原有的关系.

练习

1. 如图12，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠1=∠2.求证：AC+CD=BC.

提示：在CB上截取CE=CD，连接DE.证明△ABD≌△EBD（AAS）.

2. 如图13，△ABC中，AD为∠BAC的平分线.M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F.求证：CF=BE，AB+AC=2BE.

提示：延长EM到G，MG=FM，连接BG，证△BMG≌△CMF.

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图14（1）的位置时，求证：DE=AD+BE.

（2）当直线MN绕点C旋转到图14（2）的位置时，求证：DE=AD-BE.

4.全等三角形证明基础练习 篇四

1、如图1，△ABC≌△DEF，∠A=∠D，AB=DE，找出另外两对相等的边和相等的角。DA

BCE

图1 F2、如图2，AO=DO，BO=CO，AB与CD相等吗？说明理由。A

O

C

图

2图

13、如图2，BO=CO，AB∥CD，求证（1）△ABO≌△DCO（2）AO=DO4、如图1，已知∠B=∠DEF，AB=DE，BE=CF，求证（1）△ABC≌△DEF；（2）AC=DF

F5、如图3，∠F=∠C，∠B=∠A，EF=EC，△EFB≌△ECA吗？写出证明过程。

E

B图

36、如图

4、O是AC、BD中点，找出其中两对全等三角形，并证明。

D

图4ABDCABC7、图5，A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，BE=CF，AC=BD，求证：△ABE=≌△DCFEA

B

图

58、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AE=DF，AC=BD，求证：△ABE≌△DCF9、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，AB=CD，BE∥CF，求证：△ABE≌△DCF10、如图5，A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，∠E=∠F，AE=DF，求证：AC=BD

D

A11、12、13、14、15、如图6，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，求证：∠B=∠D

B

图6

D

如图6，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AC=AE，求证：∠C=∠E

如图7，AD=BC，AE=CF，∠DAE=∠BC F，求证：DE=BF D

图7

C

A

B

如图7，AD∥BC，AD=BC，AE=CF，求证：△ADE≌△CBF

如图7，AD∥BC，DE∥BF，AF=CE，求证：△ADE≌△CBF

A16、17、18、如图8，AB=AC，AF=AE，求证：△ABE≌△ACF

FB

图8

E

C

如图8，AF=AE，BF=CE，求证：△ABE≌△ACF

如图8，AB=AC，F、E分别是AB、AC中点，求证：（1）△ABE≌△ACF

（2）△BOF≌△COE

D19、如图

9、AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：△ABC≌△DCB

B

图920、如图9，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：（1）△ABC≌△DCB（2）AB=DC（3）△ABO≌△DCO

5.全等三角形的证明题综合整理 篇五

1.已知：如图 , AB=CD , AE=DF , 且AEBC于E , DFBC于F． 求证：∠B=∠C

2.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF． 求证：∠E=∠C

3.已知：如图 , DN=EM , 且DN⊥AB于D , EM⊥AC于E , BM=CN． 求证：∠B=∠C.4.如图 , ABBC于B , ADDC于D , 且CB=CD , AC , BD相交于O． 求证：∠ABD=∠ADB

5.已知：如图 , CE⊥AB于E , BF⊥CD于F , 且BF=CE． 求证：BE=CF．

6.求证：一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

7.已知：如图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF． 求证：OA=OC.8.已知：如图 , AB=CD , D、B到AC的距离DE=BF． 求证：AB∥CD．

9.已知：如图 , OC=OD , ADOB于D , BCOA于C.求证：EA=EB．

10.如图 , 已知：∠ACB和∠ADB都是直角 , BC=BD , E是AB上任一点 , 求证：CE=DE．

11.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．

12.已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC． 求证：△ABD≌△CDB

13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．

14.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF

15.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．

16.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

17.如图 , △ABC中 , AD是从顶点A引出的一射线交BC于D , BE⊥AD于E , CF⊥AD于F , 且BE=CF , 求证：BD=DC

18.如图, AB, CD, EF交于O点, 且AC=BD, AC∥DB.求证：O是EF的中点．

19.已知：如图 , AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF． 求证：AC=EF．

20.已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

21.已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC

22.已知：如图 , △ABC和△ADC有公共边AC , E是AC上一点 , AB=AD , BE=DE． 求证：∠ABC=∠ADC

23.已知：如图 , 点A、C、B、D在同一条直线上 , AC=BD , AM=CN , BM=DN 求证：AM∥CN , BM∥DN 24.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上． 求证：∠CAE=∠DAB．

25.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC．求证:∠B=∠D．

26.已知:如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C．求证:AF=DE．

27.已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF． 求证：AE∥CF

28.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE

29.已知：如图 , AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点． 求证：OE=OF．

30.已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 ,连结CM并延长交BD于点F．

求证：AC=BF．

31.已知：如图 , AB=DC , BD=AC , AC , BD交于O． 求证：△AOB≌△DOC． 32.如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

33.已知：如图 , AD=AE , BD=CE , AF⊥BC , 且F是BC的中点． 求证：∠D=∠E

34.已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF

35.已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为B、D ． 求证：AB=AD．

36.如果两个三角形的两角和夹边上的高对应相等 , 那么这两个三角形全等．

37.如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 ,P是BC上任意一点．求证：PA=PD.38.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE． 求证：∠B=∠CAE．

39.已知：如图 , AB=CD , BC=DA , E、F是AC上两点 , 且AE=CF． 求证：BF=DE

40.已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．

41.已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D

42.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF

43.如图:已知AE=CE,BE=DE,∠1=∠2 求证:AB=CD

44.已知 ：如图 , A、E、F、B在一条直线上 , AC=BD , AE=BF , CF=DE． 求证：AD=BC．

45.已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线 于E , CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC． 46.如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.写出你的证明．

47.已知:如图,AM=BM,∠CMB=∠DMA,MC=MD．求证:AC=BD

48.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．

49.已知：如图 , E、F是DA、BC延长线上的点 , AD=BC ,AB=CD ,∠E=∠F．求证：EB∥DF．

50.如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等 , 那么这两个三角形全等．

51.已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O , 求证：∠1=∠2．

52.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

53.已知:如图,△ABC中,点E、F分别在AB、AC边上,点D是BC边中点,且EF∥BC,DE=DF． 求证:∠B=∠C 54.已知:如图,AC、BD相交于O点,O是AC、BD的公共中点.求证:AB∥CD,AD∥BC．

55.已知：如图 , BC是△ABC和△DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F． 求证：AE=DF．

56.已知 ：如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D． 求证：BD=CD．

57.如图:已知,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,求证:BE=CD

58.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F． 求证:FD∥CB

59.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证:(1)BD=FC(2)AB∥CF

60.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4

61.求证:全等三角形对应中线相等． 62.如图,已知:△ABC中,BE,CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB.求证:AP=AQ．

63.已知：如图∠1=∠2 , ∠3=∠4.求证：AD=BC AC=BD．

64.已知：四边形ABCD中 , AC、BD交于O点 , AO=OC , BAAC，DCAC垂足分别为A , C．求证：AD=BC

65.求证：三角形一边的两个端点 , 到这边上的中线的距离相等．

66.已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D

67.已知:如图,AB=DC,OC=OB,AB、CD交于点O．求证:AC=DB．

68.已知：如图 , AB∥CD , ∠1=∠2 , O是AD的中点 , EF、AD交于O． 求证：O也是EF的中点．

69.已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线BE上． 求证：AB=DE , AC=DF．

70.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , DE=CE．E是BC上的一点． 求证：AE=BE

71.已知：如图AC∥BD , AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA , CD过点E． 求证AB＝AC＋BD

72.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4． 求证：∠ADC=∠BCD

73.已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE． 求证：△ABE≌△DCF

74.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE． 求证：∠BAC=∠DAE．

75.如图 , 已知：DC=AB , DF=BE , CF=AE , 求证：AO=CO EO=FO．

6.全等三角形证明题专项练习题 篇六

1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．

2.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.E

3.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段

BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

B

N

4.在⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，过E点作BC的平行线交AC于F，交外角∠ACD的平分线于G。求证：F为EG的中点。

5.在⊿ABC中，∠B＝60。，∠BAC和∠BCA的平分线AD和CF交于I点。试猜想：AF、CD、AC

三条线段之间有着怎样的数

量关系，并加以证明。

18.在直角⊿ABC中，CA＝CB，BD为AC上的中线，作∠ADF＝∠CDB，如图，连结CF交BD于E，求证：CF⊥BD。（提示：作AC的中线CO）

A

B

D

C

20.以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一点P。试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。

21.在ABC中，AB=AC，DE∥BC.（1）试问ADE是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M为DE上的点，且BM平分ABC，CM平分ACB，若ADE的周长20，BC=8.求ABC的周长.A

M

DE

CB

26.如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰

Rt

△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF.求证

:

(1)AE=BF;(2)AE⊥

BF.27.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。

（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。

28.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A

B

G D

C

B

D

E

C

29.如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。

北

B

A

31.在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，请说明PB+PC与AB+AC的大小关系并写出证明过程。(10分)

32..一个三角形的两边长为3,5求第三边中线的取值范围？

33.等腰三角形的周长是10，腰长是x，则x的取值范围________。

1.在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是（）。

（A）两个角分别对应相等，一边对应相等（B）两条边对应相等，且第三边上的高也相等（C）两条边对应相等，且其中一边的对角也相等（D）一边对应相等，且这边上的高也相等

2如图10，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法： ①△EBD是等腰三角形，EB=ED ②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④△EBA和△EDC一定是全等三角形,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

B

C

D

3．下列两个三角形中，一定全等的是（）。AD（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；

图10

（B）两个等边三角形；

B（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；

（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形。

4.△ABC中，AB＝AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图8中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．7对D．8对

5.等腰三角形的周长是10，腰长是x，则x的取值范围________。

6.试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填在下表格中．

D 图8

C

7.全等三角形定义与证明 篇七

1、如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF2那么△ABF与△ACF的面积比是＿＿＿＿＿

O2、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接

D CAD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是

()

AB

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④

△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④

3、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，A

B

C

△CBD的周长为28 cm，则DB＝。

4、如图在△ABC中,AB=AC,点D为AB的中点,DE⊥AB,交AC于E,已知△BCE的周长为10cm,且AC-BC=2cm ,求△ABC的周长。

5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE

A

D

E B

C6、在△ABC中, AB = AC, AD和CE是高,它们所在的直线相交于H.⑴若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD;⑵若∠BAC = 135°（如图②）,⑴中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论.B

H D

图①

图②

7、在△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图（1）、（2）所示。

ADC

B

A

D

C

(2)

B

C

(3)

E(1)

问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗？若存在，请在图⑶中画出，并选择图⑵或图⑶为例加以证明，若不存在请选择图⑵加以证明．

8、如图已知： △ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF9、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；

（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

10、已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE垂直于BD交BD的1延长线于E，求证：CE= BD.总结：如何做几何证明题

知识归纳：

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

一、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

三、证明一线段和的问题

1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

8.全等三角形定义与证明 篇八

四、教学重难点

重点：全等三角形全等条件的寻找.难点：能熟练快速的运用三角形的条件证明三角形全等

五、教法与学法

以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的.六、教具准备 三角板

七、课时安排 1课时

八、教学过程 复习提问已经学过的两个三角形全等条件的内容 2让学生独立解决黑板上的三道练习题

3让学生小组内一起交流出现的疑问，帮助有困难的同学 4找小组代表板书过程

5师生共同分析学生的板书内容

6老师归纳总结三道问题的条件以及我们学会如何思考 7对问题进行条件变式，让学生再进行解决。九

教学反思

9.全等三角形定义与证明 篇九

1.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

1AB

2延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而

AB=CD

∴BE=CE(等量加等量，或等量减等量）

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.15.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE

16.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延长线于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=

5∴AGF∽CDFAF=AG=5

∴DC=CF=2

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

P E

D

做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC BA∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

F

证明：

CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四点共元

∵∠AB E=∠CB E

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等）

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB BA∵ED∠C

∴△AEC≌△AGB

∴EC=BG=DG

∴BE=2CE25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

DEFC

AB

证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵ AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到

图1的位置时，求证： ①ADC≌CEB；②DEADBE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立

吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由

.（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

EC

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC

∵∠CAE=∠EAN

∴AE为公共,∴△CAE≌△EAN

∴∠ANE=∠ACE

又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

∴∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

∵BE为公共边

∴△EBN≌△EBD

∴BD=BN