推理与证明单元测试题

推理与证明单元测试题（精选13篇）

1.推理与证明单元测试题 篇一

《推理与证明》测试题

一、选择题：（每题5分，共50分）

1．下列表述正确的是(D)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（A）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3、下面使用类比推理正确的是（C）.A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

abab（c≠0）” ccc

nn（ab）anbn” 类推出“（ab）anbn” D.“C.“若(ab)cacbc” 类推出“

4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（B）。

A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。

5、如图，这是三种化合物的结构及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式是

（B）

A.B.C.D.6、对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：

222①(ab)(bc)(ca)0；②ab,bc,ca不能同时成立，下列说法正确的是（A）

A．①对②错 C．①对②对

B．①错②对

D．①错②错

7、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（C）

A．甲B．乙C．丙D．丁

8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计

例如，用十六进制表示,则（A）A．6EB．72C．5FD．B0

x(xy)

9、定义运算:xy的是（C）例如344,则下列等式不能成立．．．．

y(xy),A．xyyxB．(xy)zx(y)z

C．(xy)2x2y2D．c(xy)(cx)(cy)（其中c0）10． 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=，CD=b(>b)．若EF∥AB，EF到CD与到AB的距离之比为m：n，则可推算出：EF=，试用类比的方法，推想

出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于o点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与到AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0 与S1、S2 的关系是（D）A.B.C.D.二、填空题：（每题5分，共35分）

11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若

将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是_14___。

12、在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BD.BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为（S△ABC）= S△BOC S△BDC。

13、从11，14(12),149123，14916(1234)，„,广到第n个等式为_____1223242„(1)n1n2(1)n1(123n)____________________.14、已知a13，an1

.3an，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，推测出an＝an

3___________.n

15.如图，命．题：点P，Q是线段AB的三等分点，则有+=+，把此命题推广，设点A1，A2，A3，„„An-1是AB的n等分点(n3且n∈N*)，则有1+OA2+„+OAn1=__________(+)．

16、方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝xn＋1＝

n∈N*)，则x2 013＝_2006_______.1fxna11＋a12＋„＋a20a1＋a2＋„＋a30

{bn}中，会1030

b1b2„b30____.x

有唯一不动点，且x1＝1 000，ax＋2

n

117.已知等差数列{an}中，有有类似的结论：____

b11b12„b20＝

三、解答题：（12+13+13+13+14）

18.证明：2，不能为同一等差数列的三项.18.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足

3=2+md①5=2+nd②

①n-②m得：n-m=2(n-m)两边平方得： 3n+5m-2mn=2(n-m)

左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数 所以，假设不正确。即、3、5不能为同一等差数列的三项19．用分析法证明：若a＞0，则

19(分析法).a2＋22≥a＋2.aa

1a2＋2≥a＋－2，只需证aa

a2＋＋2≥a＋2.aa

∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（1

2只需证a2＋4＋

4a2＋2＋2）2≥（a＋＋2）2，aa

a

a2＋2≥a2＋22＋22（a＋，aaa

a2＋2（a＋，只需证a＋2（a＋2＋2），a2aa2a

即证a＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.a

20.通过计算可得下列等式：

2212211 3222221 4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n 即：123n

n(n1)

2222332

类比上述求法：请你求出123n的值.（提示：(n1)n3n3n1））

332332

19.[解] 21313113232321

4333332331┅┅

(n1)3n33n23n1

将

以

上

各

式

分

别

相

加

得

：

(n1)3133(122232n2)3(123n)n

2222

所以： 123n

11n[(n1)31n3n] 32



n(n1)(2n1)6

21.（13分）自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其

再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与

xn成正比，这些比例系数依次为正常数a,b,c.（Ⅰ）求xn1与xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a,b,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

21.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

22cxn,因此xn1xnaxnbxncxn,nN*.(*)

即xn1xn(ab1cxn),nN*.(**)

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得xn(abcxn)恒等于0,nN*,所以abcx10.即x1所以a>b.猜测：当且仅当a>b，且x1

ab

.因为x1>0，c

ab

时，每年年初鱼群的总量保持不变.c

ACBC

AEBE

A

22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则＝.其证明过程：作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F

A

∵CE是∠ACB的平分线，G ∴EG＝EH.ACAC·EGSΔAEC

又∵ ＝ ＝，BCBC·EHSΔBEC

B

2hC 图2

AEAE·CFSΔAEC

＝＝，BEBE·CFSΔBEC

∴ ＝ACBCAEBE

B HC

图1

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）证明你所得到的结论.SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

21．结论:＝或 ＝ 或＝

SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵＝＝

SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

A

A G

B

2B HC

图1

hC

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴＝SΔBCDBE

2.推理与证明单元测试题 篇二

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

3.推理与证明 篇三

一、 考纲要求

根据《2012年江苏高考数学科考试说明》及《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》，合情推理与演绎推理要求为B级，分析法、综合法及反证法要求A级，这里的要求是对其概念的要求，而不是对方法的要求，会用分析法、综合法、反证法证明一些问题还是需要的，不可忽视。

1. 合情推理的两种常用形势包括归纳推理和类比推理。其中，由个别事实推演出一般的推理是归纳推理；根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理是类比推理。

2. 演绎推理的主要形式是三段论式推理，其一般模式为：（1）已知的一般原理，即大前提，B是C，（2）所研究的特殊情况，即小前提：A是B，（3）根据一般原理，对特殊情况作出判断，即结论：A是C。

3. 直接证明就是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，逐步推得命题成立的证明方法。

4. 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法为综合法；从证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法为分析法。这两种证法均属于直接证明。

5. 反证法是一种间接证明方法，它的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”。即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。

二、 难点疑点

1. 类比的关键在（1）要能找到两类事物之间的相似性或一致性；（2）类比不是简单的模仿，要抓住一类事物的本质去推测另一事物的性质；（3）类比的结论不一定正确。

2. 用综合法是由条件证结论，是执因索果的过程，而分析法则是执果索因，从结论出发寻找结论成立的充要条件，对格式有严格的要求。

3. 反证法的难点在由假设出发，如何通过推理论证，得出怎样一个与已知条件或客观事实相矛盾的结论，从而否定假设，肯定原命题。

三、 经典练习回顾

1. 已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a33为 

BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A

--！> 2. “∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴AC，BD互相垂直且平分.”补充以上推理的大前提是 .

3. 用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除.”那么假设的内容是

4. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

四、 例题精析

【例1】 如图，在三棱锥P

矛盾，则假设不成立，即AE不平行平面PFD.

点拨 本题考查线面与面面位置关系的基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，用到了直接证明与间接证明。请思考：第一问中包含了几个三段论。

【例2】 已知{bn}是公比为q（q≠1）等比数列，是否存在这样的正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.

解析 本题可用分析法进行探究，如果存在正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列，不妨设第k，m，n项.根据q>0，可设k0，所以，q=1，与条件矛盾.失败了！失败不要紧，关键是我们找到了一个新思想：合情推理！这是解决本题的一把好钥匙.继续合情推理：一元二次方程不行，那么，最简单的就是一元三次方程了，那么，一元三次方程行不行呢？不妨设n-k为m-k的3倍，那么，如果令qm-k=x，那么就有x3-2x+1=0，尽管这是一个三次方程，但由于很明显有一个x=1的解，而由条件知x≠1，所以上面的方程可化为x2+x-1=0，解得x=5-12，于是，只要看对应的k，m，n为何值就可对了.继续合情推理：最简单的情形是m-k=1，n-k=3，这样的正整数k，m，n是否存在呢？很简单：k=1，m=2，n=4即可.于是q=5-12，难关攻克！

4.推理与证明单元测试题 篇四

sin30cos60sin30cos60

202000

sin20cos50sin20cos50

3，sin15cos45sin15cos45

17、（10分）已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数列。

abc18、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

15、猜想：sin2cos2(30)sincos(30)证明：4

1cos21cos(6002)sin(3002)sin300

sincos(30)sincos(30)

222

cos(6002)cos2112sin(3002)sin30011 00

1[sin(302)]1[sin(302)]

222222

3113 00

sin(302)sin(302)

5.推理与证明单元测试题 篇五

一、选择题（12×5＝60分）

1、复数1+2=()2i

(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)

32、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

3、设复数z满足1zi，则|1z|=（）1z

A.0B.1C.2D.2m1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni（）1i

A．12iB． 12iC．2iD．2i

122x

5、有四个关于三角函数的命题: p1:x,yR;sinxcos2

2sinx p2:x,yR;sin(xy)sinxsiny ；p3:x[0,];

4、已知

2A,p1,p4B,p2,p4C,p1,p3D,p2,p36、在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、如下面的图,框图表示的程序所输出的结果是（）

（A）3（B）12（C）60（D）3608、下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A.c > xB.x > cC.c > bD.b > c 1

9、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，121称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示 1331的数是（）14a41(A)2(B)4(C)6(D)8 151010

51p4:sinxcosyxy, 其中是假命题的是()

第(7)题图

第(8)题图

3an，那么根据归纳推理可得数列的通项公式()3an

2332n1A,B,C,D, 2 n1nn22n1n2

11、平面向量a，b共线的充要条件是（）

10、已知数列{an}中，a11,an1

A.a，b方向相同

C.R，ba B.a，b两向量中至少有一个为零向量

D.存在不全为零的实数1，2，1a2b0

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）．．．

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

二、填空题（4×5＝20分）

13、若复数z1a2i, z234i，且

14、若xy2z1为纯虚数，则实数a的值为。z

20，则x0且y0的逆否命题_____________________________

15、设zC，且|zi||z1|，则复数z在平面直角坐标系中对应的点的轨迹方程为

___________________________________。zi的最小值为________________。

16、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则 f(4)__________;f(n)=________________

三、解答题（4×10＝40分）

17、在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a, b,c.且A,B,C成等差数列，a, b,c成等比数列。求证：△ABC为等边三角形。

18、已知复数z1m(4m2)i(mR)，z22Cos(3Sin)i

(,R)，并且z1z2，求的取值范围。

19、已知{a*

n}是正数组成的数列，a1=

1，且点an1)(nN)在函数

y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若列数{ba

2n}满足b11,bn1bn2n，求证：bnbn2bn1.20、设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60

或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围。

高中数学测试题

（八）答案

一，CACCABDACC DD

二，13，814，若x0或y0，则xy20

315，y

x，16，f(4)=37;f(n)3n23n1 三，17，证明：有A,B,C成等差数列，有2B＝A+C,①

∵A,B,C为△ABC的内角，∴ A＋B＋C＝,②∴由①②得，B

由a, b,c23。③ 成等比数列，有bac。④由余弦定理以及③式可得，b2a2c22acCos2B2a，再由④式可得，caca2c2acac

即(ac)20，因此ac，从而有A＝C,⑤由②③⑤可得

ABC

18，由z13，所以△ABC为等边三角形。z2，可得m2Cos，①4m23Sin，②

2由①②可得：44Cos3Sin 即化简4Sin23Sin 32939即4(sin)∴当Sin时，min 816816

当sin1时，max7，故[9,7]。16

19，（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2.n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2+2+···+2+1n-1n-2

12n

＝12=2n-1.因为bnn+2n-1

n·bn+2-b2

n1=(2-1)(2-1)-(2-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b2

n1,20，设A{x︱x24ax3a20(a0)}＝{x︱3axa(a0)}

B{x︱x2x60或x22x80}

＝{x︱2x3}∪{x︱x4或x2}＝{x︱x4或x2} ∵p是q的必要不充分条件，∴qp且p推不出q

∴CRBCRA，∵CRB{x︱4x2}

CRA＝{x︱x3a或xa}

则有a4且a0①或3a2且a0②

所以a4或2

6.推理与证明单元测试题 篇六

1.【2011江西高考理】观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为

()

A．3125B．5625C．0625D．8125 2.【2012高考上海文】若Snsin

个数是（）

A、16B、72C、86D、100【答案】C 3.【2011陕西高考理】观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n个等式为__________．

4.【2010陕西高考理】观察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，…，根据上述规

律，第五个等式为__________． ．．．．．5.【2012高考陕西文】观察下列不等式

1



sin

27

...sin

n7

（nN），则在S1,S2,...,S100中，正数的332,3332,33332



1





53，1





1413



5314

……

15

照此规律，第五个不等式为【答案】1．．．

222





116

.6.【2102高考福建文20】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

|x||y|2的不同7.【2012高考江西文】观察下列事实|x||y|1的不同整数解(x,y)的个数为4，整数解(x,y)的个数为8，|x||y|3的不同整数解(x,y)的个数为12 ….则|x||y|20的不同整数解(x,y)的个数为

A.76B.80C.86D.92【答案】B

8.【2012高考湖北】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研

究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：

(1)b2 012是数列{an}中的第______项；(2)b2k－1＝______.(用k表示)

9.【2012高考湖北文】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他

们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（1）b2012是数列{an}中的第______项；

（2）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（1）5030；（2）

xx2

5k5k1

10.【2011年高考山东卷理科】设函数f(x)

xx2, x3x4

x7x8

x15x16, , ,(x0),观察:

f1(x)f(x)

f2(x)f(f1(x))f3(x)f(f2(x))f4(x)f(f3(x))



根据以上事实，由归纳推理可得：



当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x))11.【2011年高考安徽卷理科】在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列

命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

12.【2011年高考湖北卷理科】给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着

色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

．．．．

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形．．．．相邻的着色方案共有__________种．(结果用数值表示)．．

13.观察下列数字

照此规律，2013在第______行第________列 14.观察下列数字

照此规律，2013在第______行第________列 15.观察下列数字

照此规律，第2013个数字是______

第5题第6题

16.【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF

13。

动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3 【答案】B

17.【2012高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik

时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.18.【2011高考湖南理】对于n∈N，将n表示为na02ka12k1a22k2ak121ak20，当i＝0时，ai＝1，当1ik时，ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×2＋0×2，故I(1)＝0，I(4)＝2)，则

127

*

(1)I(12)＝______；(2)

2

n1

I(n)

______.19.【2102高考北京文】设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；

记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

7.推理与证明方程的有关概念 篇七

定义对一个数学对象的描述.如果定义是合适的，那么该对象的一切性质都可以由它推出.

problem solving Technique for solving problems efficiently， involving a special set of skills. Some of the skills are listing methods，trial and error methods， analytical methods，numerical methods， use of mathematical models，and so on.

解题方法包括一系列特殊技巧的有效解决问题的方法：列举法、尝试法、解析方法、数值方法、数学模型的使用，等等，都是这类技巧的例子.

mathematical induction Formal method of proof in which the proposition P（n+1） is proved true on the hypothesis that the proposition P（n） is true. The proposition is then shown to be true for a particular value of n， say k， and therefore by induction the proposition must be true for n=k+1， k+2， k+3，…. In many cases k=1， so then the proposition is true for all positive integers.

数学归纳法证明的形式方法，在证明时，先在假设命题P（n）成立的条件下，证明命题P（n+1）成立. 然后对于一个特殊的n，比如k，证明命题是成立的，由此对于n=k+1，k+2，k+3，…，命题必定成立. 在很多情况下，k=1，所以命题对一切正整数是成立的.

proof A set of arguments used to deduce a mathematical theorem from a set of axioms.

证明 从一组公理出发推导出数字定理的一组论理.

solve To find the roots of an equation or the answer to a problem.

求解 找出方程的根或找出问题的答案.

real number Any of the rational numbers（which include the integers） of irrational numbers. Real numbers exclude imaginary numbers， found in complex numbers of the general form a+bi where i =，although these do include a real component a.

实数任何有理数（包括整数）或无理数. 实数不包括一般形式为a+bi（i=）的复数，尽管它有实部 a. 但是i=是虚数，不是实数.

complex number A number of the form a+ib， where a and b are real numbers and i2=-1（or equivalently，i=）.A complex number is often denoted by a single letter， usually z， we write z=a+ib，where a=Rez（read:“the real part of z”） and b= Imz（“the imaginary part of z”）. If b=0，the number is real；if a=0，it is imaginary. Thus the set of real numbers（and also the set of imaginary numbers） is a subset of the set of complex numbers.

复数一个形如a+ib的数，其中a和b为实数，而i2=

-1（或等价地，i=）. 一个复数常常用一单个字母表示，通常用z，我们写作z=a+ib，其中a=Rez（读作：“z的实部”），b=Imz（“z的虚部”）.如果b=0，此数为实；如果a=0，它为虚. 因而实数集合（还有虚数集合）是复数集合的子集.

complex conjugatesThe conjugate of the complex number a+ib is the complex number a-ib；for example，the conjugate of 5+7i is 5-7i；and vice versa. The conjugate of the imaginary number 3i is the imaginary number -3i；the conjugate of the real number 2 is 2，because either can be written as 2+0i.

8.推理与证明 篇八

初中数学中，推理与证明是非常重要的，主要是培养学生的逻辑思维能力，推理与证明是人类认识世界的重要手段。中学数学教育的一个重要职能是培养学生的推理与证明能力，这也是数学中几何教学的优势所在。

传统数学教学中，就是以几何教学为主来培养学生的逻辑推理能力，以及学习数学证明方法的。但在新课程的教学中由于计算机和多媒体的广泛应用，使得几何代数学化，加大实验几何的内容，用学生日常生活中每天都可以看到和使用着的“形”的知识，借助直观，扩大公理体系，同时采用几何变换的语言对欧氏几何予以重新组织，让学生体会空间逻辑化的方法。

首先，要使学生掌握现代生活学习中应该具有的数学知识和技能，要培养人的能力。其次，要培养人，要为未来服务的。数学培养人的抽象思维和推理能力。再次，要培养人的应用意识、创新意识。课程标准很突出的一个变化，除了知识技能能力方面，特别提出了培养学生的情感、态度、价值观这方面的要求。推理最基本的作用都是基础性的、奠基的思维训练，是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。有条理地思考，言之有据，而且不是一句言之有据，而是步步言之有据，这个训练是数学的独特性。从思维发展的角度考虑，思维一般分成几个过程：一个是形成概念的过程；一个是做出判断的过程；再一个是进行推理的过程。就是这概念、判断、推理，它是一个逐步上升的。如果把这个思维过程表达出来，就是数学当中经常说的定义（对应概念的），命题（对应判断的），证明（对应推理的）。

课标对推理比较强调合情推理和演绎推理。在注重演绎推理的同时还注重合情推理，尽管有时合情推理不严谨，但是对人发现新的东西，导致你产生一些新的猜想，是非常重要的，也离不开的。

我发现初中学生基于学生年龄的特点，学生在空间想象能力和抽象思维能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，学习几何的困难的较大。大部分学生不知道什么是推理，部分学生不明白为什么要推理。学生不会建立知识与题目之间的关系，遇到证明问题，不会分析，不会运用定理去证明；学生不会运用几何的语言去书写，逆向思维能力差，步骤没有条理。难于根据几何语言画出正确的图形。识图能力较差.不能将已知条件和图有机结合起来。学生不会添加辅助线，不会总结规律；学生觉得证明题太难、对枯燥的数学知识没有兴趣。

在教学中，我们要站在学生的角度去思考问题。可从总体的上去换位思考，充分估计学生们可能出现的各种情况。主要是在全班学生的认知水平上去考虑，灵活运用各种方法让大部分学生都能理解、接受的方式去指引、讲解，以达到教学目标。另外，也可以有针对性地从个别学生位置去换位思考，主要是对个别提出的不理解的特别问题，我们要站在他（她）的角度、认识水平、知识点、思路上去思考，寻求适合他（她）方法去指引、讲解。这样往往能够起到“药到病除”的功效，达到事半功倍的效果。

推理与证明的认识

发布者:林志刚发布日期:2011-11-28 12:40:10.0

数学中的推理与证明的学习主要是培养学生的逻辑思维能力，即推理与证明的能力。推理与证明是人类认识世界的重要手段，也是数学学习的重要组成部分。中学数学教育的一个重要职能是培养学生的推理与证明能力，这也是数学中几何教学的优势所在。

一、推理与证明能力的培养在传统数学教学和新课程数学教学中的区别。

传统数学教学中，就是以几何教学为主来培养学生的逻辑推理能力，以及学习数学证明方法的。但在新课程的教学中由于计算机和多媒体的广泛应用，使得几何代数学化，加大实验几何的内容，用学生日常生活中每天都可以看到和使用着的“形”的知识，借助直观，扩大公理体系，同时采用几何变换的语言对欧氏几何予以重新组织，让学生体会空间逻辑化的方法。

二、数学课程标准对学生推理能力的要求。

首先，要使学生掌握现代生活学习中应该具有的数学知识和技能，要培养人的能力。其次，要培养人，要为未来服务的。数学培养人的抽象思维和推理能力。再次，要培养人的应用意识、创新意识。课程标准很突出的一个变化，除了知识技能能力方面，特别提出了培养学生的情感、态度、价值观这方面的要求。

三、增强培养学生的推理能力的意识。

推理最基本的作用都是基础性的、奠基的思维训练，是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。有条理地思考，言之有据，而且不是一句言之有据，而是步步言之有据，这个训练是数学的独特性。

从思维发展的角度考虑，思维一般分成几个过程：一个是形成概念的过程；一个是做出判断的过程；再一个是进行推理的过程。就是这概念、判断、推理，它是一个逐步上升的。如果把这个思维过程表达出来，就是数学当中经常说的定义（对应概念的），命题（对应判断的），证明（对应推理的）。

课标对推理比较强调合情推理和演绎推理。在注重演绎推理的同时还注重合情推理，尽管有时合情推理不严谨，但是对人发现新的东西，导致你产生一些新的猜想，是非常重要的，也离不开的。

四、留意观察，准确把握学生现状。

我发现初中学生基于学生年龄的特点，学生在空间想象能力和抽象思维能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，学习几何的困难的较大。大部分学生不知道什么是推理，部分学生不明白为什么要推理。学生不会建立知识与题目之间的关系，遇到证明问题，不会分析，不会运用定理去证明；学生不会运用几何的语言去书写，逆向思维能力差，步骤没有条理。难于根据几何语言画出正确的图形。识图能力较差.不能将已知条件和图有机结合起来。学生不会添加辅助线，不会总结规律；学生觉得证明题太难、对枯燥的数学知识没有兴趣。

五、换位思考，以人为本，充分估计学生们可能出现的各种情况。

在教学中，我们要站在学生的角度去思考问题。可从总体的上去换位思考，充分估计学生们可能出现的各种情况。主要是在全班学生的认知水平上去考虑，灵活运用各种方法让大部分学生都能理解、接受的方式去指引、讲解，以达到教学目标。另外，也可以有针对性地从个别学生位置去换位思考，主要是对个别提

9.推理与证明复习(基础) 篇九

高二级班姓名年月日

《推理与证明》复习

学习目标：

1、能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构。

2、能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活运用各种方法进行一些数

学证明。

3、了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。

本章知识结构图：

一、数学推理

（一）基础知识填空：

1．合情推理

合情推理是根据__________________的结果，个人的__________________、已有的_________和正确的_________(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的_____________．

①归纳推理的含义

根据一类事物中_______________具有某种属性，推断这类事物____________________，我们将这种推理方式称为归纳推理．归纳推理是由_________到_________，由_________到_________的推理．

②类比推理的含义

两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据_____________的其他特征，推断_____________也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为_____________．

2．演绎推理

（1）从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.

（2）三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前

提——________________；③结论——________________________________.

（二）基础训练

1．下列说法中，正确的是（）

A.类比推理是由特殊到一般的推理

B.演绎推理是特殊到一般的推理

C.归纳推理是个别到一般的推理

D.合情推理可以作为证明的步骤

2．下面使用类比推理恰当的是（）

A．“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”

B．“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”

ab

cc（c≠0）C．“若(a+b)c=ac+bc” 类推出 c”

D．“（ab）n=anbn” 类推出“（a+b）n=an+bn”

3．观察一下各式：1=12;2+3+4=32；3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;„，你得到的ab

1一般性结论是____________.4．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111234×9＋5＝11 111345×9＋6＝111 111

„„

A．1 111 110B．1 111 111

C．1 111 112D．1 111 11

35.（2011年高考陕西卷文科)观察下列等式

照此规律，第五个等式应为__________________.二、数学证明

（一）基础知识填空：

1.综合法

从命题的_________出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过_________推理，一步一步地接近要证明的_________，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． 综合法的基本思路是_________．

2.分析法

从求证的_________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的___________，直到归结为这个命题的_________，或者归结为__________________等．这种证明问题的思维方法称为分析法．分析法的基本思路是___________．

3.反证法（间接证明法）

在证明数学命题时，先__________________成立，在这个前提下，若推出的结果与_________、_________、_________ 相矛盾，或与命题中的_________相矛盾，或与

_________ 相矛盾，从而说明_________不可能成立，由此断定_________成立，这种证明方法叫作反证法．

（二）典型例题：

例1.已知a,b为正数，且a+b=1,求证：a11b4.例2.求证3645

例3.若a,b，c均为实数，且ax22y

中至少有一个大于零.（三）基础训练：

1.在△ABC中，ACcosB,证明：B=C.ABcosC2，by22z32，cz2x6，求证:a,b,c

2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA＝PB＝PC.求证：PO⊥平面ABC.3.设a,b是实数，求证：a2b22

2(ab).4.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.5.已知a,b,c为正实数，且a+b+c=1，求证：111118.abc1

6.设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.（四）巩固练习：

ab1.若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2＋2≥4.2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，记A,B,C的对边为a,b,c.求证：

ab1

bc3

abc.3.设x,y为正实数，且

4.用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．

10.几何推理与数学证明的教学策略 篇十

【关键词】几何推理    数学证明    教学    策略

1前言

有效教学指的是在教学活动中教师遵循一定的教育教学规律，采用各种方式和手段，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果，实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的活动。提高课堂教学效率是无数教育工作者的共同心愿和奋斗目标，时代要求我们构建一种新型的、高效率的课堂教学模式。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学得好不好。因此，教学策略显得尤为重要。

2教学策略及其特点、分类

教学策略是实施教学过程中的教学思想、方法模式、技术手段这三方面动因的简单集成，是教学思维对其三方面动因的进行思维策略加工而形成的方法模式。

教学策略具有指向性、整合性、可操作性、灵活性、调控性、层次性等特点。所谓指向性，指教学策略是为实际的教学服务的，是为了达到一定的教学目标和教学效果。目标是教学整个过程的出发点。教学策略的选择行为不是主观随意的，而是指向一定目标的。所谓整合性，指教学过程是一个彼此之间相互联系、相互作用的整体，各个教学环节连接紧密，各个教学因素的变化都会起到牵一发而动全身的作用。所谓可操作性，指所有的教学活动并不是一成不变的，一成不变的教学只会让学生感觉枯燥乏味，影响教学效果，因此，必须从学生的整体出发不断调整适合学生的、学生易于接受的教育教学策略。所谓灵活性，指教师在教学活动中具有很强的调控权利，能够从学生的整体利益和教育教学效果出发，适当调整自己的教育教学方法策略，灵活地运用多种教学策略。所谓调控性，是教师在教育教学工作中的调控能力。每一位教师都有自己的教育教学策略和教学风格，最好的教育教学策略是真正适合大部分学生的方式方法，所以，教师在选择教育教学策略时的调控力显得更为重要。层次性指教学具有不同的层次，加涅把教学分为课程级、科目级、单元级和要案级四种水平。

根据各种教学策略的不同特点，可以将其分为产生式教学策略、替代式教学策略、独立学习与小组学习策略和竞争与合作学习策略。

3几何推理与数学证明的教学策略研究

几何推理和数学证明具有抽象性，并且对于毕业生来说，该部分所占分数比例较重，但是掌握了相关的方法策略确实很容易得分，因此，教师必须设计较为良好的教学策略，使学生在短时间内更好地掌握。

3.1讲授法

讲授法是指教师通过口头语言，辅助以板书、挂图、投影等媒体向学生传递语言信息的方法，是一种教师讲、学生听的活动。讲授法的优点是能在短时间内让学生获得大量系统的科学知识;缺点则是学生比较被动，师生都难以及时获得反馈信息，个别差异也很难全面照顾。因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位，所以首先要采用讲授法教学生，并在讲授的基础上归纳出“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。 例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。 “一划”就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分，如“直角三角形”“高线”“相似”。 “二画”就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。“三写”即能用符号语言表达，争取不丢分。

3.2演示法

演示法指借助实物、图片，或使用投影、电视、电影等手段，将要感知的过程或要学习的技能记录下来播放、演示，通过不同形式的直观化方式，增强学生的感性认识，或在已有理性认识的情况下，再通过感性材料深化理性认识的教学方法。借助现代教学媒体，如电影、电视、多媒体计算机等，可以化静态为动态，因而其逼真程度和直观程度更高。学生觉得几何抽象还因为几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤，因此必须采用演示的方法，使学生能够有一个全方位的理解。演示法的具体教学步骤：首先选择各种类型的证明题，根据方法利用进行分类，再将正确的、规范的解答步骤向学生演示，同时给予一道解题方法相似的题目加以巩固。

3.3训练和实践法

训练和实践法是让学生通过一系列设计好的实践活动来进行练习，运用所学知识解决同类任务，以增加技能的熟练程度或增加新能力的方法。使用这种方法的前提是假设学习者在练习之前已基本掌握了与某种训练有关的概念、原理和技能。现代多媒体技术、人工智能技术和虚拟现实技术可以为学习者创设逼真的学习和实践情境，使学习者在真实的情境中进行练习和实践。基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

4小结

教学策略是教学效果的重要影响因素，结合几何推理与数学证明问题的抽象性和考试相关要求提出的教学策略具有适应性、针对性、灵活性和快捷性。在教育教学工作中，结合学生实际情况，有针对性地创新教学策略，使学生易于接受、牢固记忆，不断促进教育教学工作更好发展。

【参考文献】

[1]和学新.教学策略的概念、结构及运用[J].教育研究.

[2]熊川武.反思性教学[M].上海：上海华师大出版社.

11.推理与证明单元测试题 篇十一

答案：

2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.2.用反证法证明命题“如果a>b，那么a>b”时，假设的内容应为______________． 答案：a＝b或a

3333解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即a＝b或a5－7

解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋41010.因为42>40，所以6－5－7成立．

4.定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A·B的所有元素之和为________．

答案：0

π解析：依题意知α≠kπ＋，k∈Z.423π2①α＝kπ＋(k∈Z)时，B＝，422

22A·B＝0，； 22

π②α＝2kπ或α＝2kπ＋∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}； 2

π③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}； 2

kπ3π④α≠α≠kπ＋∈Z)时，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，－sinα，24

－cosα}．

综上可知A·B中的所有元素之和为0.115.(选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且a＋b＝1≥μ恒成立ab的μ的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

1111ba＝2＋≥2＋2解析：∵ a＋b＝1，且a、b为两个正数，∴ ＋＝(a＋b)abababab

1＝4.要使得≥μ恒成立，只要μ≤

4.ab

1.直接证明

(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式

本题条件

已知定义已知公理已知定理ÞAÞBÞ

C„本题结论．

(3)综合法

① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．

② 推证过程

已知条件Þ

„Þ

„

Þ结论

(4)分析法

① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．

② 推证过程

结论

Ü„Ü„Ü

已知条件

2.间接证明

(1)常用的间接证明方法有(2)反证法的基本步骤

① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．

② 归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． [备课札记]

题型1 直接证明(综合法和分析法)

例1 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

S

(1)数列n是等比数列；





n＋

2(n＝1，2，3，„)，证明： nn

(2)Sn＋1＝4an.n＋2

(n＝1，2，3，„)，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，nn

Sn＋1S整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴，nn＋

1Sn＋1n＋1S即2，∴ 数列n是等比数列．

Sn

Sn＋1Sn－1Sn－1

(2)由(1)知：＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋4an(n≥2)．又a2＝3S1

n＋1n－1n－1

＝3，∴ S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，∴ 对一切n∈N*，都有Sn＋1＝4an.例2 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.lgclgc

证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明lgalgb

lga＋lgb

14lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.≥4，由于a>1，b>1，故

lgalgblga·lgb

lga＋lgb21211

lga>0，lgb>0，所以0

4lgalgb2

变式训练

设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立．求证：数列{an}是等比数列．

证明：因为对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn ①，从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．

题型2 间接证明(反证法)

证明：(1)∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝

例3 证明：2，3，5不能为同一等差数列中的三项．

证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足3＝2＋md ①，

＝2＋nd②，①×n－②×m3n5m＝2(n－m)，两边平方得3n2＋5m2－15mn＝2(n－m)2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠不能为同一等差数列的三项．

备选变式（教师专享）

已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

解：若方程没有一个实数根，则

16a－4（3－4a）<0，

3（a－1）2－4a2<0，解之得－2－1.4a2＋8a<0，3

a≥－1或a≤.故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是a

2





1.用反证法证明命题“a·b(a、b∈Z)是偶数，那么a、b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是__________________________________．

答案：假设a、b都是奇数(a、b都不是偶数)

解析：用反证法证明命题时反设的内容是否定结论．

2.已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c＋1，若以a、b、c为三边构造三角形，ab

则c的取值范围是________．

答案：(10，16)

解析：要以a、b、c为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边

19b9a＝10之差小于第三边，而ac恒成立．而a＋b＝(a＋b)abab

11111019

16，∴c<16.又>，＝1，∴c>10，∴10

1f0（x）－，fn(x)＝fn－1（x，(n≥1，n≥N)，3.设函数f0(x)＝1－x2，f1(x)＝22

n11

则方程f1(x)＝________个实数根，方程fn(x)＝3有________个实数根．

3＋

答案：4 2n1

1111

51－x2＝x2－＝ x2＝x2＝有4个解． 解析：f1(x)＝22366

∵ 可推出n＝1，2，3„，根个数分别为22，23，24，1n＋∴ 通过类比得出fn(x)＝3有2n1个实数根．

4.若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离ab.(1)解：x∈(－∞2)∪(2，＋∞)．

(2)证明：对任意两个不相等的正数a、b，有 a3＋b3ab，a2b＋ab2ab.因为|a3＋b3－ab|－|a2b＋ab2－2ab＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a

3＋b3－2abab|>|a2b＋ab2－2abab|，即a3＋b3比a2b＋ab2远离2abab.1.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－证明：要证b－ac<3a，只需证b2－ac<3a2.∵ a＋b＋c＝0，∴ 只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立．

2.已知等差数列{an}的首项a1＞0，公差d＞0，前n项和为Sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，求证：Sn＋Sm≥2Sp.证明：∵m2＋n2≥2mn，∴2(m2＋n2)≥(m＋n)2.又m＋n＝2p，∴m2＋n2≥2p2.3.如图，ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；

(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.证明：(1)因为ABCD为直角梯形，AD2AB2BD，所以AD2＝AB2＋BD2，因此AB⊥BD.又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PBÌ平面PAB，所以BD⊥平面PAB，又PAÌ平面PAB，所以PA⊥BD.(2)假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN、BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因为BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.x－

24.已知f(x)＝ax(a＞1)．

x＋

1(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明：(1)设－1＜x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，x－2x－23（x－x）

从而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所以

x2＋1x1＋1（x2＋1）（x1＋1）

f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x0－2

(2)设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，则ax0＝－x0＋1

x0－21

由0＜ax0＜10＜－＜1，即＜x0＜2，此与x0＜0矛盾，故x0不存在．

2x0＋1

1.分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

2.反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．

12.期末复习：推理与证明,复数 篇十二

期末复习：推理与证明，复数

一、推理

1．归纳推理是由，从的推理。

Ex1:将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，（二）间接证明：反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结

论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

Ex: 用反证法证明数学命题: 设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1

4三、复数

24k4k+14k+24k+

31、虚数单位i，规定：i=；i=；i=；i=；i=（kN*）

2、复数的代数形式是，全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3.z=a+bi（a、bR），则复数z的实部是；复数z的虚部是。复数z是实数，复数z是虚数，复数z是纯虚数

4、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），复数z1=z2；复数z1>z2

5、复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________轴，y轴叫做

_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6、z=a+bi（a、bR），则|z|=|a+bi|=，|z|的几何意义是

7、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则z1+z2=，对应向量运算；

z1-z2=，对应向量运算

8、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则|z1-z2|=，|z1-z2|的几何意义是

9、z1，z2是两个已知复数，z是满足下列等式的复数，写出z所对应的图形分别是什么？

（1）|z-z1|=a(aR，a>0)

（2）|z-z1|=|z-z2|

（3）||z-z1|+|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|<2a)

（4）||z-z1|-|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|>2a)

10、复数乘除法：（1）43i54i(2)2i74i11、z=a+bi（a、bR），则复数z的共轭复数为z=，zz=

12、实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、cR，且a0)的根的情况

当>0时，方程有根，分别为

当=0时，方程有根，为

当<0时，方程有根，分别为

四、题型分类

(一)i的运算1、1iiii12321232010、1iiii20101232010i3、i2i3i20105、f(n)=iinn2010、1i111i2i3i2010nn(nN*)的值域是1i

6、1i1i1i=

7、n为奇数，=1i1i

(二)复数分类

21、z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i)(mR)，z是实数，m取值； z是虚数，m取值；z是纯虚数，m取值；

2、z1=a+bi（a、bR），z2=2+ci（cR），则z1> z2的充要条件是

(三)复数的坐标表示、与向量之间的关系1、3+4i的点关于原点对称的点对应的复数为

22、(m+m-2)+(6-m-m2)i对应复平面上的点一定不在第象限

3、平行四边形中，z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i对应复平面上的点为三个顶点，第四个顶点对应的复数

为

4、复数3-4i和5-6i分别对应向量，求向量AB所对应的复数

(四)共轭运算

1、z1z223i，z1=1-5i，则z2=

2、(z+2)(z2)z,则z=

(五)模的运算及几何意义

2(12i)5(34i)

1、=

2、| z1+ z2|| z1|+| z2| 5(2i)

3、若集合M={z| |z+1|=1, zC},集合N={z| |z-2i|=|z|，zC},则MN=

4、复数z满足条件|z|=1，则|z+3-i|的取值范围是

5、复数z=cos+isin,(R)，则|z+1-i|的取值范围是

6、复数z1 z2满足| z1|=3，| z2|=4，| z1+ z2|=5，则|z1 –z2|=

7、|z|+z=8-4i，则z=

8、(1+i)z115i, z2=a-2i , |z1z2||z1|, a的范围(六)函数

1、f(z)=1-z,则z1=2+3i, z2=5-i, 则f(z1z22、f(z)=z-1,则z1=2-3i,f(z1 –z2)=4+4i，求z2=, |z1+z2|=

(七)一元二次方程1、2+ai，b+i（a、bR）是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，2、、是方程xxm0（mR）的两个根，且||=2，求m的值

3、复数、是方程xxm0（mR）的两个根，且||||=2，4、方程x+(k-2i)x+4+2i=0有一个根是2，复数另一个根为

五、反思小结

六、巩固练习

13.推理与证明单元测试题 篇十三

1-1. (改编)已知数列{an}中,a1=-,前n项和Sn满足Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

1-2. (改编)对于任意正整数n,猜想2n-1与(n+1)2的大小关系.

2. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例6)已知,≠k+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sin,sinθcosθ=sin2,求证:=.

2-1. (改编)求证:+>2+.

2-2. (改编)求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.

3. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例8)已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.

3-1. (改编)设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.

3-2. (改编)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

3-3. (改编)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”,写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论.

4. (人教B版选修2-2第2.3.2点“数学归纳法应用举例”例1)用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=.

4-1. (改编)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*),证明:an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0(n≥1).

4-2. (改编)数列{an}满足a1=1,且an+1=1+an

+(n≥1),用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).

5. (人教B版选修1-2第3.2.2点“复数的乘法和除法”例2)求证:

(1) z•=|z|2=||2;

(2) 2=()2;

(3) =•.

5-1. (改编)设复数z=,求1+z+z2+…+z2006的值.

5-2. (改编)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求z的值.

1-1. 由S1=-,S2=-,S3=-,S4=-,S5=

-,猜想Sn=-.

1-2. 当n≤6时,2n-1<(n+1)2;当n=7时,2n-1=(n+1)2;当n=8时,2n-1>(n+1)2(n∈N*).

2-1. 提示:用分析法,两边平方,逐步推导即可.

2-2. 设圆和正方形的周长均为l,则圆的面积为π2,正方形的面积为2.

只需证明π2>2,只需证明>.

两边同乘以正数,得>,即只需证明4>π.

因为上式是成立的,所以原命题得证.

3-1. 假设{Sn}为等比数列,则S2 2=S1S3,整理可得(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾.

3-2. 设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,这与假设矛盾.

3-3. 逆命题是:若“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”.它是真命题.

证明如下:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)

4-1. 当n=1时,由已知a1=1-2a0=(3+2)-2a0,即等式成立;

假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=[3k+

(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,

那么当n=k+1时,ak+1=3k-2ak=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,即等式也成立.

综上可知,等式对任意n∈N*成立.

4-2. 当n=2时,a2=2≥2,不等式成立;

假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么当n=k+1时,有ak+1=1+ak+≥1+×2+=2++>2(k≥2),即不等式也成立.

综上可知,an≥2对所有n≥2成立.

5-1. z=i,原式=i.

5-2. 设z=bi,则|z-1|=|-1+bi|=.