一元一次方程及应用

一元一次方程及应用（精选19篇）

1.一元一次方程及应用 篇一

一、一元一次方程应用的解题步骤

有关一元一次方程类应用题的解答有一定的步骤, 即“找、设、列、解、答”五个步骤.所谓“找”就是找准等量关系, 找出能够表示题意的等量关系.这是列方程解答应用题的关键一步, 找不出题目中的等量关系就不能列出方程, 也就不能解答应用题了.分析应用题中等量关系的一般方法有: (1) 译式法, 将题目中的关键性语言、数量及各数量间的关系译成代数式, 然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系; (2) 线示法, 用同一直线的线段表示应用题中的数量关系, 然后根据线段的长度的内在联系, 找出等量关系; (3) 列表法, 将已知条件和所求的未知量纳入表格, 从而找出各种量之间的关系;4.图示法, 利用图表示题中的数量关系, 它可以使量之间的关系更为直观, 更方便找出其中的等量关系.“设”就是设未知数, 弄清题意和找准等量系后, 用字母表示题目中的一个未知数.“列”就是列出方程, 用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量, 依据找准的等量关系, 列出方程.“解”就是解方程, 解出所列的方程, 求出未知数的值.“答”就是作出应答, 检验方程的解是否符合实际, 作出回答且注明单位.

二、常见一元一次方程应用题解析

一元一次方程应用问题, 关键是考查同学们列一元一次方程解决实际问题的能力, 大多数属于这类题目中的基本题或中档题, 学习中应抓住其核心问题列方程, 从等量关系入手, 而不是只让学生套题型, 套步骤去解应用题.下面介绍几种常见的一元一次方程应用题.

(一) 劳动力分配问题

例1某车间有100个工人, 每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个, 要使每天加工的螺栓与螺母配套 (1个螺栓要配2个螺母) , 应如何分配加工螺栓、螺母的工人?

分析等量关系为螺栓数∶螺母数=1∶2.

解设加工螺栓人数为x, 则加工螺栓的总数为18x个, 加工螺母总数为24 (100-x) 个.

依题意, 可以列方程24 (100-x) =2×18x, 解得x=40 (人) , 所以加工螺母的人数为100-x=100-40=60 (人) .

答:应分配40人去加工螺栓, 60人去加工螺母.

(二) 等体积问题

例2一个圆柱形水桶, 底面半径为11厘米, 高25厘米, 将满桶的水倒入底面长30厘米、宽20厘米的长方体容器, 问:此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水 (π取3.14, 结果精确到0.1厘米) ?

分析从相等关系入手, 即圆柱形容器体积=长方体容器体积.

解设长方体容器的高为x厘米, 依题意, 有30×20x=25π×112, 解方程, 得x=≈15.9 (厘米) .

答:长方体容器的高至少需要15.9厘米.

点评“等积变换”是中学数学的常用方法, 要让学生理解和把握这种方法, 并能在实际问题中灵活应用.

(三) 行程问题

例3由甲地到乙地前的路是高速公路, 后的路是普通公路, 高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是100千米/时, 在普通公路的行驶速度是60千米/时.B车在高速公路上的行驶速度是110千米/时, 在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A, B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶, 在距离丙地44千米处相遇, 求甲、乙两地之间的距离是多少.

分析本题在相遇过程中A, B两车同时出发相向而行至相遇如图所示, 相等关系是A车行驶时间=B车行驶时间距丙地44千米处, 有两种可能: (1) 相遇处在高速公路上距丙地44千米; (2) 相遇处在普通公路上.解题时要考虑到这两种情况, 再根据实际取舍.

解设甲、乙两地相距x千米, A车从甲地到丙地, 需要B车从乙地到丙地, 需要, 通过比较, 所以A, B两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得, 解得x=441.

答:甲、乙两地之间的距离是441千米.

点评“线示法”分析等量关系比较方便, 但要注意分类讨论各种情况, 以免挂一漏万.

除以上所列的三种问题类型外, 还有诸如盈亏问题、工程量问题、利息问题等, 在这里不再一一赘述.解答一元一次方程类应用题, 关键是要根据题意找出其中的等量关系, 然后列方程解答.学生要熟悉各种类型的题目, 明确解答步骤和技巧, 提高解题能力.

参考文献

[1]任小平.一元一次方程和它的解法教案一则[J].天府数学, 1998 (5) .

2.一元一次方程应用题 篇二

一、 名题欣赏：李白买酒

诗仙李白嗜酒、豪放、旷达，斗酒诗百篇，是唐代“饮中八仙”之一.民间流传李白买酒的歌谣：

李白街上走，提壶去打酒；

遇店加一倍，见花喝一斗；

三遇店和花，喝光壶中酒.

试问酒壶中，原有多少酒？

【分析】设壶中原有x斗酒.

一遇店和花后，壶中酒为：2x-1；

二遇店和花后，壶中酒为：2（2x-1）-1；

三遇店和花后，壶中酒为：2[2（2x-1）-1]-1.

因此，有关系式：2[2（2x-1）-1]-1=0；

解得：x=8/7.

二、 名题欣赏：九章算术·共买鸡

今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六，问人数、物价各几何？

【分析】设有x人共同买鸡，则共用钱可用二个式子表示，一个是9x-11，另一个是6x+16，则得方程9x-11=6x+16，解得x=9，9x-11=70，答：人数9，鸡价70钱.

三、 名题欣赏：四元玉鉴·及时梨果

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱.

问：梨果多少价几何？

此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1 000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各几个，各付多少钱？

答：买梨付款总价803文，买果付款总价196文.

许多数学问题，像陈年老酒，历久弥香，背后展现的是丰富的数学文化.

（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）

3.《一元一次方程的应用》教学反思 篇三

一、成功之处：

1、能创设一个有趣的问题情境，与学生日常生活有关的问题切入，七年级的学生好奇心比较强，可以用计算年龄的引入是学生积极参与到今天的学习中去。充分调动学生的积极性。

2、能进行发散思维的培养，从例题的不同设法、列方程的解法中逐步培养学生从不同的角度去分析问题、解决问题的能力。

3、恰当的使用了多媒体设备，设置一些卡通画面和声音的播放，带动学生使用眼、手、耳、及大脑等器官进行全方位的接受信息和发出信息。

4、营造了一种非常宽松、愉悦的课堂气氛，让学生在高兴的情绪下积极和老师互动，和同学互动、讨论。

二、不足之处：

1、七年级的学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在一元一次方程的应用这几节课中，我始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法。但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误。如，数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设的步骤等。

2、本节课的教学中，我忽视了学生的活动和交流，新课程标准下的教学，是要让学生有更多的机会进行探究、发现。让学生自己分析，相互探讨，哪怕是错了再进行纠正，学生对知识的掌握也会更牢固。在以后的教学中我要注重对学生这方面能力的培养，让学生逐渐掌握分析问题的方法，从而达到解决问题的目的。这使我深刻体会到：课前备课除了要认真研究教材和设计好教学内容外，还要研究学生，研究教学方法与手段，创设情景让学生主动参与、自主探究，真正促进师生的共同发展。

3、在本节课的教学中我以师生共同探究为主线进行了教学，课堂上大部分学生积极参与，表现出学习的欲望和热情，但还有一部分同学学习的积极性不高，可能是课堂对他缺乏吸引力，这是值得我深思的，通过本节课，我对怎样激发学生的学习兴趣，让学生的思维动起来有了更深刻的体会。在今后的教学中，我要努力给学生充分的思考交流的时间，鼓励学生提出有价值的问题，抓住他们思维的闪光点。

4、教学内容量偏大，没有正确的分配时间，以致没有时间让学生进行自我归纳和总结。没有达到应有的学习效果，教学效果不佳。

三、改进方法：

作为教师，要想真正搞好以探究活动为主的课堂教学，必须掌握多种教学思想方法和教学技能，不断更新与改变教学观念和教学态度，在课堂教学中始终牢记：学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体；教师只是课堂的组织者、引导者和合作者。因此，课堂教学过程的设计，也必须体现学生的主体性。在以后的教学中，我会继续发扬我的成功之处，逐步完善我的不足之处，我将尽自己最大的能力，上好每一堂课。

一元一次方程的应用教学反思2

一元一次方程的应用是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点。在教学中应如何突出重点，特别是突破学生学习的难点，尤其是环形追及问题，一直以来是我们数学教师不断研究和探讨的问题。

反思本节课的教学，有以下几处优点：

1、本节课研究的是行程问题，是学生最难解决的一类应用题，教材上只安排了一道例题（环形跑道中的追及问题），我根据教学的需要对教材进行了适当的加工和处理，搭了一些台阶，增加了几道例题，由直线上的相遇问题、追及问题，到环形跑道上的相遇问题、追及问题，由浅入深，层层递进。

2、分析寻找行程问题中的等量关系是本节课的难点，为此在教学过程中我设计了两种不同的分析方法，一种是画图分析，另一种是列表分析，这样可以帮助学生寻找等量关系，从而列出方程，学生在这样的思路的引导下，逐渐掌握解决行程问题的方法。

3、运用多媒体教学，让问题情景再现，充分的调动了学生们的学习积极性。给教学的进一步开展奠定了基础。

4、让学生自己设计追及问题，分组讨论解决方案。

在教学过程中学生曾为环形追及问题进行了激烈的讨论，我此时记忆犹新，我引导学生把问题分成几类：

1、同时同地同向追及慢者在前（快追慢）解决方法：快者路程—慢者路程=一圈路程；

2、同时异地同向追及慢者在前（快追慢）解决方法：快者路程—慢者路程=两者相距路程（较短）；

3、同时异地同向追及快者在前（慢追快）解决方法：快者路程—慢者路程=一圈路程—两者相距路程（较长）；

在解决第三种问题时，我们还总结了一句话帮助记忆：要想快追慢，路程换一换。更有优秀学生提出用相对速度来解决追及问题，在他回答后我给予肯定和表扬。

反思本节课的教学，有些地方需要改进：

1、课题气氛太活跃了，感觉有点控制不住，最气人的有两位学生因为争执竟然当堂吵价。看来制造活跃的学习氛围很重要，控制活跃的程度也是我以后要注意的问题，为自己定个目标：争取做到收放自如。

2、由于讨论占用了很多时间，对练习有点浅尝辄止的味道，故时间的安排也是要注意的问题，不然会影响了下一学科的教学。

希望我的学生和我自己，在课程改革的过程中，也能化被动为主动，不断地提出问题，研究问题，解决问题，一路思索，一路前进！

一元一次方程的应用教学反思3

在讲课的前一天，我把学案发给了学生，并利用自习时间让学生进行预习并讨论。本来我打算让学生回家学习，但有些学生没有完成预先制定的目标。但通过小组之间的讨论与学习，大部分学生基本能掌握利润，利润率，售价，进价，标价，打折等基本量的定义，以及了解它们之间的关系。上课时，我先用了几分钟时间由学生自由发言，说出打折等概念及其应用，接着介绍有关的概念和有关的关系式。在此过程中我发现学生虽然能说出它们之间的关系式但是不会灵活应用。于是我又出示了相对应的练习然后小组之间相互讨论包含了刚刚讲过的所有内容。并且先由学生自己解决，然后小组讨论落实结果。同时我深入倾听了几个小组的意见后重点讲解了错误较多的问题。

经过这几轮不同形式的练习，接着就是用一元一次方程解决打折销售问题了。解应用题的关键是找出题目中的相等关系，这也是最让学生头疼的难关。由于前面概念讲解的详细，相关练习做的较全面，所以大部分学生顺利找出了问题（一）中的相等关系，并应用它列出了所需方程。然后的几个问题是改变问题（一）中的已知条件，一题多变，以便考察学生对今天所学知识的理解和真正掌握情况、经过统计，在每个学生自己思考后的基础上，半数学生可以自己找出相等关系列方程，还有一部分学生经过小组组员的提示后也能列出正确地方程。他们在做完练习后，还总结出了用数学方法解决实际问题的规律和列方程解应用题的步骤，达到了本节课的教学目标。

经过本节课的教学，我觉得平时应用题教学时讲授时间偏长，学生自主学习时间较少，课堂生活单调，学生难以体验到学习的快乐。而本节课采用了先让学生社会调查身临其境，使他们充分体验生活中数学的应用与价值，感受数学与自己生活的密切联系。这样他们自己就有了学习的愿望，变被动为主动，这也正是我每节课希望达到的目标。因此，在后面的应用题教学中我还要多采用这种方法，以便提高学生的兴趣，更好的完成教学任务。

一元一次方程的应用教学反思4

数学源于生活，生活中蕴含着数学，“打折销售”这一司空见惯的经济现象，就能够把数学和生活联系起来。通过教学，让学生在生活中学习数学，让数学走进生活。这样的课，学生乐意去学也愿意去学。但教学中如果老师还是用传统的模式去实施教学，则学生不可能从中找到乐趣，教学也不可能取得很好的效果，更谈不上完成新课标的要求。

方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，是从事生产、生活和继续学习数学的必备知识；是初等代数的重要内容；方程的思想是重要的数学思想方法，可以帮助学生更好地探求客观世界的规律，形成科学的世界观和正确的价值观。为了进一步理解学习方程的目的，本章节提供了几个实际问题，学生通过分析，就能初步体会到方程作为实际问题的数学模型的作用。方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型。因此，教科书从学生熟悉的实际问题开始，提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，创设了丰富的问题情景，展开利用方程解决实际问题的学习，认识到方程的出现源于解决实际问题的需要，使学生体会学方程的意义和作用。

折扣问题，学生在小学阶段已有所接触和认识，并且已经知道“几折”所表示的意义，而且学会了用算术方法计算一些简单的打折销售问题，如：已知原价和折扣，求售价等；但对于较复杂的打折销售问题，教材中是作为思考题出现的。因而对于绝大多数学生而言，通过建立等量关系来分析一些较复杂的打折销售问题，还存在一定困难。教材七年级（上）在学习了方程后，紧接着就是较多课时的列方程解应用题，这样安排的目的，一是让学生充分感受到列方程解答应用题的优越性；另一方面也更好地体现了数学是为解决实际问题而服务的。

在上本节课之前，我提前布置了社会调查作业，让学生深入商场、超市等，感受打折销售的现实情景，了解商品打折的有关情况，以及商品标价、售价、折数、利润等有关知识，从而进一步了解利润、售价、进价之间的关系。同时要求学生在感受、体验的过程中能提出数学问题。

教学开始，我不是急于向学生讲解知识，而是让学生来汇报自己调查中的收获，一些概念的引入，公式的给出是学生在体验中获得的。对于一些数学问题，也是建立在学生的了解上，通过提问的方式，层层递进，把学生引向他们的“最近发展区”，使他们的思维始终处于积极活跃的状态，让他们带着愉快的心情跨进知识的大门，这样就很自然的把学习新知转化成了一种内在的需求，从而促使学生对知识的渴求，进而主动地投入到自主学习的过程中去。设计问题串，提问是层层递进，而且利用算术方法就能解决，学生就会有一种“跳一跳，就能摘到桃子”的感觉。本节课有三个收获：

一是我根据教材特点，以及新的教学理念，将学生的学习视野由课内引向课外，课前组织学生进行课外调查，了解有关商场打折销售的情况，为课堂教学作好了知识和心理的充分准备。这样学生既丰富了社会知识，又为数学学习储备了原料，符合新课改的“引导学生自主探索，培养学生的创新精神”。

二是课堂教学中如利润率如何计算等一些问题放手让学生探索、组织小组合作讨论，师生共同归纳解决。这样，学生不仅掌握了运用一元一方程解有关打折销售的数学问题的策略和方法，还培养了学生提出问题，解决问题的能力，提高了学生主动适应社会的意识和能力。

三是多媒体在教学中的应用比较到位，把学生看得见摸得着的生产生活中的实际问题活灵活现的呈现在学生面前。我想在新课程实施中，多媒体教学技术不光作为给学生演示的工具，而应该成为改变学生学习方式的有效手段。

当然教学中也面临着一些问题，如：从算式到方程的过渡我没有加以比较，学生没有深刻的领会方程的优越性；学生的合作探究比较局限，应进一步提高让学生探究交流合作的意识。同时，对于教学我还有一些感触：

1、可以尝试让学生把练习编成小品表演，这样一来趣味性强，且人人皆知。那身临其境的场面，呈现给学生刺激性的数学信息，引发学生学习数学的兴趣，启迪思维，激发学生的好奇心、求知欲，唤醒学生强烈的问题意识，使课堂产生愉快的学习气氛。情境教学改变了原来数学课堂的沉闷和枯燥，它拉近了学生与老师之间的心理距离、拉近了学生之间的心理距离、拉近了学生与教材之间的心理距离，使学生很快能够“入境”。创设生动活泼的教学情境能够不断提高课堂的学习效率，使全体学生都主动参与到教学过程中来。

4.《一元一次方程的应用》教学反思 篇四

方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，是从事生产、生活和继续学习数学的必备知识;是初等代数的重要内容;方程的思想是重要的数学思想方法，可以帮助学生更好地探求客观世界的规律，形成科学的世界观和正确的价值观。为了进一步理解学习方程的目的，本章节提供了几个实际问题，学生通过分析，就能初步体会到方程作为实际问题的数学模型的作用。方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型。因此，教科书从学生熟悉的实际问题开始，提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，创设了丰富的问题情景，展开利用方程解决实际问题的学习，认识到方程的出现源于解决实际问题的需要，使学生体会学方程的意义和作用。

折扣问题，学生在小学阶段已有所接触和认识，并且已经知道“几折”所表示的意义，而且学会了用算术方法计算一些简单的打折销售问题，如：已知原价和折扣，求售价等;但对于较复杂的打折销售问题，教材中是作为思考题出现的。因而对于绝大多数学生而言，通过建立等量关系来分析一些较复杂的打折销售问题，还存在一定困难。教材七年级(上)在学习了方程后，紧接着就是较多课时的列方程解应用题，这样安排的目的，一是让学生充分感受到列方程解答应用题的优越性;另一方面也更好地体现了数学是为解决实际问题而服务的。

在上本节课之前，我提前布置了社会调查作业，让学生深入商场、超市等，感受打折销售的现实情景，了解商品打折的有关情况，以及商品标价、售价、折数、利润等有关知识，从而进一步了解利润、售价、进价之间的关系。同时要求学生在感受、体验的过程中能提出数学问题。

教学开始，我不是急于向学生讲解知识，而是让学生来汇报自己调查中的收获，一些概念的引入，公式的给出是学生在体验中获得的。对于一些数学问题，也是建立在学生的了解上，通过提问的方式，层层递进，把学生引向他们的“最近发展区”，使他们的思维始终处于积极活跃的状态，让他们带着愉快的心情跨进知识的大门，这样就很自然的把学习新知转化成了一种内在的需求，从而促使学生对知识的渴求，进而主动地投入到自主学习的过程中去。设计问题串，提问是层层递进，而且利用算术方法就能解决，学生就会有一种“跳一跳，就能摘到桃子”的感觉。本节课有三个收获：

一是我根据教材特点，以及新的教学理念，将学生的学习视野由课内引向课外，课前组织学生进行课外调查，了解有关商场打折销售的情况，为课堂教学作好了知识和心理的充分准备。这样学生既丰富了社会知识，又为数学学习储备了原料，符合新课改的“引导学生自主探索，培养学生的创新精神”。

二是课堂教学中如利润率如何计算等一些问题放手让学生探索、组织小组合作讨论，师生共同归纳解决。这样，学生不仅掌握了运用一元一方程解有关打折销售的数学问题的策略和方法，还培养了学生提出问题，解决问题的能力，提高了学生主动适应社会的意识和能力。

三是多媒体在教学中的应用比较到位，把学生看得见摸得着的生产生活中的实际问题活灵活现的呈现在学生面前。我想在新课程实施中，多媒体教学技术不光作为给学生演示的工具，而应该成为改变学生学习方式的有效手段。

当然教学中也面临着一些问题，如：从算式到方程的过渡我没有加以比较，学生没有深刻的领会方程的优越性;学生的合作探究比较局限，应进一步提高让学生探究交流合作的意识。同时，对于教学我还有一些感触：

1、可以尝试让学生把练习编成小品表演，这样一来趣味性强，且人人皆知。那身临其境的场面，呈现给学生刺激性的数学信息，引发学生学习数学的兴趣，启迪思维，激发学生的好奇心、求知欲，唤醒学生强烈的问题意识，使课堂产生愉快的学习气氛。情境教学改变了原来数学课堂的沉闷和枯燥，它拉近了学生与老师之间的心理距离、拉近了学生之间的心理距离、拉近了学生与教材之间的心理距离，使学生很快能够“入境”。创设生动活泼的教学情境能够不断提高课堂的学习效率，使全体学生都主动参与到教学过程中来。

5.一元一次方程应用题匹配问题 篇五

例：某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

分析：生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝22

2×螺钉的数量=螺母的数量

解：设分配 x 名工人生产螺钉，则有（22 – x）名工人生产螺母，且每天可以生产螺钉1 200 x个，螺母2000(22-x)个，由于一个螺钉要配两个螺母，并且每天生产的螺钉与螺母刚好配套，所以2×1 200 x = 2 000(22-x).去括号，得400x = 44 000 – 2 000x.移项、合并同类项，得400 x = 44 000.系数化为1，得

x = 10.生产螺母的人数为22 – x = 12.答：应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

变式训练：

1、某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在90天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？

分析：生产甲、乙两种零件的天数之和为90天，甲、乙两种零件的件数之比为3:2。

解：设生产甲种零件用x天，则生产乙种零件用（90-x）天，且该车间能生产甲种零件120x个，生产乙种零件100（90-x）个*，由题意，得

2×120x=3×100（90-x），解得 x=50

90-x=40

答：生产甲种零件用50天，则生产乙种零件用40天。

2、用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？ 分析：2×盒身=盒底

设X张做盒身 100-X张做盒底

2×10X=30（100-X）

解得X=60 所以60张做盒身40张做盒底

6.一元一次方程及应用 篇六

在教学中, 教师要理论联系实际, 结合学生的实际来解决问题。用代数法处理一些实际问题对于七年级的学生来说确实有点难度, 究其原因是以前很少接触, 这一点主要表现在以下四个方面:

1.学生不习惯利用代数法来处理问题, 还停留在小学的算术解法上;

2.抓不住相等关系。有些应用题中“能够表达应用题全部含义的相等关系”比较隐蔽, 从题目字面上较难找出来, 需要认真分析关键词语, 细心揣摩, 有时还要借助图形分析才能找出, 这确实对七年级的学生来说, 难度比较大, 所以他们时常感到无从下手;

3.即使找出相等关系, 也不能顺利地列出代数式及方程;

4.当问题中含有不只一个未知量时, 由于审题、分析能力较差, 不知道该选择哪一个未知量作为未知数才简单。

通过这几年的实际教学经验, 笔者就此谈谈自己在教学中突破这些的方法。

一、要让学生感觉到代数解法的优越性

初列方程, 对学生来说确实不适应, 这就要求教师在教学中运用例题对算术法和代数法作比较, 找出两种方法的特点, 让学生认识到代数解法的优点, 反复训练, 使学生逐渐体会到代数法的妙处。

例如:把一些图书分给某个班学生阅读, 如果每人分3本, 则剩余20本, 如果每人分4本, 则还缺25本, 这个班有多少学生?

算术法: (20+25) / (4-3) =45 (人)

这对一般学生来说, 是很难做到的。

代数法分析:设这个班有x名学生, 共分出3x本, 加上剩余20本, 这批书共有 (3x+20) 本, 每人分4本, 需要4x本, 减去缺的25本, 这些书共有 (4x-25) 本。

等量关系:第一种分法书的总量=第二种分法书的总量

解:设这个班有x名学生, 根据题意得

3x+20=4x-25

解得:x=45。

答:这个班有45名学生。

二、教会学生自己寻找相等关系

列方程解应用题一般有五步:弄清题意, 找出能够表示应用题全部含义的相等关系, 设出未知数进而列出方程, 解这个方程, 答。其中最关键的一步是正确找出“能够表示应用题全部含义的相等关系”。

在应用题中, 相等关系主要有两类:一类是题目给出条件的等量关系, 如教材中的“等积变形”问题, “行程”问题等, 可按事物发展的顺序来找等量关系。

如:将一个底面直径是10厘米, 高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱, 高变成了多少?

这是一个典型的等积变形问题, 不管锻压前还是锻压后, 总有下面的等量关系:

锻压前的体积=锻压后的体积

另一类是可在事物之间的内在联系中找到相等关系, 如“工作问题”—“浓度问题”等就要在问题的内在联系中去找等量关系。

如:要把150克浓度为95%的硫酸溶液加水稀释成35%的稀硫酸溶液, 需要加多少水?

这一问题中, 由于是在原来的硫酸溶液中又加入一部分水, 虽说总重量和浓度都变了, 但是纯硫酸 (溶质) 的重量却没有变, 于是即有下面的相等关系:

加水前纯硫酸的重量=加水后纯硫酸的重量

三、列方程解应用题常用的分析方法

1. 代数式法

用代数式将题目中的数量及数量之间的关系表示出来, 找到相等关系, 列出方程。如:“数字”问题, “和、差、倍、分“问题等多运用这种方法。

2. 图示法

有些问题可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系, 这类问题可以通过画出图形, 可由图中有关基本量的内在联系找到相等关系, 列出方程, 如行程问题、等积问题多运用这种方法。

3. 表格法

我们可将题目中有关数量及其关系填在设计的表格中, 然后根据表格逐层分析, 由各量之间的内在联系找到相等关系, 列出方程, 如“日历中的方程”问题、“浓度配比”问题及其它条件较多的题目多运用这种方法。

四、指导学生掌握设未知数的技巧和方法

应用题中, 如果未知量特别多时, 我们若能巧妙地设未知数, 可以给列方程带来很大方便。设未知数是列方程解应用题的第一步, 对含有多个未知量而又只允许设一个未知数的问题时, 选择适当的未知量设为未知数直接关系到列方程的难易程度。一般来说, 有两种设法:一种是直接设法, 就是题目怎样问, 就怎样设。这种方法主要用于简单的问题中, 如:小颖种了一株树苗, 开始时树苗高为40厘米, 栽种后每周树苗长高约5厘米, 大约几周后树苗长高到1米?这个问题就宜采用直接设法;另一种是间接设法。有些问题, 若采用直接设法, 会给列方程增加麻烦, 就采用间接设法。如一个两位数, 各位上的数字之和是7, 若把它们十位上的数字与个位上的数字对换, 所得的两位数比原来的两位数大27, 求这个两位数?此问题就应选用间接设法。

总之, 列方程解应用题虽然是七年级教学中的一个难点, 但是, 只要我们认真分析, 具体问题具体对待, 就一定能掌握列一元一次方程解应用题的方法和技巧。

摘要：本文分析出七年级学生学“列一元一次方程解应用题”难的原因, 指出突破的方法, 教会学生根据实际问题巧设未知数的方法。

7.一元一次方程及应用 篇七

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响 ，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称具体做法注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如 ，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解： ， ， ，∴ 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程： 或原式=

正解：

总之，会解一元一次方程是很重要的最基本，解题步骤较小学显得繁琐，学生容易出现错，就需要我们平时多细心，做适量的题，才能真真达到掌握的目的！

参考文献：人民教育出版社七年级上册

8.一元二次方程应用 篇八

1．（2011•黑龙江）我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛 制为单循环形 式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了 6 场，则共有 人进入半决赛． 2．（2007•防城港）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，应 邀请 个球队参加比赛
3．（2010•毕 节 地 区）毕 业 之 际，某 校 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 相 约 到 同 一 家 礼 品 店 购 买 纪 念 品，每 两 个 同 学 都 相 互 赠 送 一 件 礼 品，礼 品 店 共 售 出 礼 品 30 件，则 该 兴 趣 小 组 的 人 数 为（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）

4.握手问题

5.数字问题

6.（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量为 8.1 吨，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率 相同，求捐款 增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 8（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 9.（2013•来宾）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售 出 60 件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月就可以多售出 5 件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多 少元？ 10.（2013•泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销 售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品 共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 11（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各 围成一个正方形． 2（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm，小林该怎么剪？ 2（2）小峰对小林说： “这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm ． ”他的说法对吗？请说

9.数学《一元一次方程》教案及练习 篇九

2.培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.

重点

了解一元一次方程及相关概念.

难点

寻找问题中的相等关系，列方程.

活动1：创设情境，导入新课

师：小学中我们已经学习过列方程解决问题，什么是方程?你能举一个例子吗?

学生回答.

活动2：探究新知

1.定义方程，回顾举例

师：你知道什么叫方程吗?

生：含有未知数的等式叫做方程.

师：你能举出一些方程的例子吗?

由学生举例，教师总结.

练习：

判断下列式子是不是方程，正确的打“√”，错误的打“×”.

(1)1+2=3 (2)x+2>1 (3)1+2x=4

(4)x+y=2 (5)x2-1 (6)x2=x+2

(7)x+3-5 (8)x=8

2.如何根据题意列方程

师：利用多媒体展示图片，出示教材本小节开头的问题：

一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1小时经过B地，A，B两地间的路程是多少?

10.关于一元二次方程应用的教学设想 篇十

关键词：初中数学；应用题；积极性

一、充分调动学生学习应用题的积极性，用所学知识解决身边的问题，让他们感到学有所用

黄金分割在生活中有大量的应用，它为美化生活、提高工作效率做出了较大的贡献，尤其是黄金比。上课时可以这样引入：同学们还记得黄金比吗？它是怎么求得的？引导学生用一元二次方程的知识加以解决。

例1：养鸭专业户李先生准备在一面临水的湖边滩地用100米长的竹篱笆围成一个矩形鸭场，如图所示，这个鸭场的面积是1250平方米。

试求：（1）这个鸭场的长与宽各是多少？

（2）用100米长的竹篱笆可否围出1500平方米的滩地鸭场？

通过解决这些问题，让学生感到所学知识可以解决身边熟悉的问题，从而调动他们学习数学的积极性。

二、一题多变，从多变中寻求不变

例2：新华都商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调查表明，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？每天应进多少台冰箱？

引导学生分清各种量，并寻找本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=每天的销售利润，从而设未知数、列出方程、解方程、检验、答。学生是不难解决的。

本题表面上是一个销售问题，但从数量关系看它与工作效率×工作时间=工作总量，速度×时间=路程，长×宽=矩形的面积，等等实质一样，都是两个量的乘积等于第三个量，用式子表示为：A×B=C，如果将A、B、C赋予不同的含义，就可突破该例销售问题的界限，依照它给定的数量关系编出各种应用题。

如：某果园有一百棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。如果要使产量增加15%，那么应多种多少棵桃树？

因为改编后的应用题等量关系未发生变化，所以学生在弄懂例题的前提下，能轻松解决。然后要求学生相互讨论，根据例题及改编的应用题，自编出其他类型的应用题。

让学生互相解編出的应用题，并不断修改、完善，然后把他们的应用题汇编成册。这样既让他们复习了所学的知识，也调动了他们学习的积极性，学生乐此不疲。

学生通过改编应用题，加上彼此的讨论、探讨，可收到举一反三、触类旁通的效果。学生会不同程度地体会到许多表象千差万别的应用题，从数学角度去看，它们的本质——等量关系是一致的，关键是认真分析应用题中的数量关系、等量关系，这才能使问题迎刃而解。紧接着再利用一个例题强化训练。

例3：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，减少库存，商场调查后发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天就多售出2件，若商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？

让学生通过解这道题，能更加熟练地解决这类应用题，同时明白：衬衫的销售利润不仅仅可以用“销价-进价”来表示，也可以用其他方式来表示，如用“原利润-上涨的价格”来表示，这样反而显得更简便。

再布置一道课后练习题，让学生能灵活运用所学知识解决类似的问题，增强解题能力。

某食品零售店为面包房代销一种面包，未售出的面包可退回面包房。从已统计的销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包的单价每提高1角钱，该零售店每天就少卖20个，考虑了所有因素后，该零售店每个面包的成本是5角。

设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角，（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数。（2）求y与x的函数关系式。（3）求此食品零售店每天获得利润为500角时，定价是多少？

三、一题多解，从多解中探究规律

对于例题2，能否直接设冰箱的定价为x元，或设每天应进y台冰箱呢？通过讨论，学生不难得出结论。

对应用题，寻求不同解法的过程，就是理清应用题中数量关系的过程。一道应用题，从不同的角度去思考，设出不同的x，列出不同的方程，有助于学生分清题中的量，哪些是已知，哪些是未知的，分清题目中的已知和未知这两类量之间的关系，从而能迅速、准确的解出应用题。为提高学生解应用题的能力，应在仔细分析其数量的基础上引导学生进行一题多设、一题多变、一题多解的训练。

在“一元二次方程的应用”的教学中，打破传统教学方法中的“类”的界限，进行整体教学的尝试，探索各类应用题之间的相互联系，在变中寻求不变，加深学生对列方程解应用题实质的理解，提高了学生分析、解决应用题的能力，也调动了他们学习应用题的积极性，取得了较好的效果。

（作者单位 福建漳平第二中学）

11.一元一次方程及应用 篇十一

一、名题欣赏：李白买酒

诗仙李白嗜酒、豪放、旷达，斗酒诗百篇，是唐代“饮中八仙”之一.民间流传李白买酒的歌谣:

李白街上走，提壶去打酒；

遇店加一倍，见花喝一斗；

三遇店和花，喝光壶中酒.

试问酒壶中，原有多少酒？

【分析】设壶中原有x斗酒.

一遇店和花后，壶中酒为：2x-1;

二遇店和花后，壶中酒为：2(2x-1)-1;

三遇店和花后，壶中酒为：2[2(2x-1)-1]-1.

因此，有关系式：2[2(2x-1)-1]-1=0;

二、名题欣赏：九章算术·共买鸡

今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六，问人数、物价各几何？

【分析】设有x人共同买鸡，则共用钱可用二个式子表示，一个是9x-11，另一个是6x+16，则得方程9x-11=6x+16，解得x=9,9x-11=70，答：人数9，鸡价70钱.

三、名题欣赏：四元玉鉴·及时梨果

九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.

问：梨果多少价几何？

此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1 000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各几个，各付多少钱？

【分析】设买梨x个，则买果（1 000-x）个，由题意有

即77x+36 000-36x=62 937,41x=26 937,41x÷41=26 937÷41,x=657，买梨付款总价：（文），买果付款总价：999-803=196（文）.

答：买梨付款总价803文，买果付款总价196文.

12.一元一次方程及应用 篇十二

武威十九中

邱雪玲

一：教材分析：

1．教材所处的地位和作用：

本课是在解一元一次方程的基础上，讲述一元一次方程的应用，是本节的重点和难点，同时也是本章节的重难点。这节课是“列一元二次方程解应用题配套问题”，讲授以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运。既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用。

2．教学目标：

知识与能力：分析配套问题中的等量关系，建立解配套问题的数学模型

过程与方法：进一步经历运用方程解决实际问题的过程，情感与态度价值观：

1、体会方程模型的作用，会列一元一次方程解决简单的实际问题。

2、体会用方程思想解决生活中的实际问题的优越性。3．教学重难点

【教学重点】：寻找配套问题中的相等关系。【教学难点】：建立数学模型解决配套问题。

二、学情分析

学生初学列方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或在设未知数时，有单位却忘记写单位等。还可能存在三个方面的困难：（1）抓不准相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯于用小学算术解法，用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓怎样的相等关系。其次，学生在列方程解应用题时可能还会存在分析问题时思路不同，列出方程也可能不同，这样一来部分学生可能认为存在错误，实际不是。作为教师应鼓励学生开拓思路，只要思路正确，所列方程合理，都是正确的，让学生选择合理的思路，使得方程尽可能简单明了。还有，学生在学习中可能习惯于用算术方法分析已知数与未知数，未知数与已知数之间的关系，对于较为复杂的应用题无法找出等量关系，随便行事，乱列式子。5：学生在学习过程中可能不重视分析等量关系，而习惯于套题型，找解题模式。

3、【教学重点】：寻找配套问题中的相等关系。【教学难点】：建立数学模型解决配套问题。

三、说教法

如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。我在教学过程中进行了如下操作：

1：“读（看）——议——讲”结合法2：图表分析法3：教学过程中坚持启发式教学的原则。在教学过程中帮助学生弄清楚题意，抓住关键，克服难点，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，并列出代数式表示这相等关系的左边和右边。针对学生在列方程解应用题中可能存在的三个方面的困难，在教学过程中有意识加以解决，特别是学生抓不准相等关系这方面，可以让学生图表等形式帮助学生找出相等关系表示成方程。通过图表对比使学生更直观，理解更深刻，同时，降低了理论教学的难度和分量，提高课堂教学效益（教学手段）。2：在课后习题的安排上适当让学生通过模仿例题的思想方法，加深学生解应用题的能力，这主要由于学生刚刚入门，多进行模仿，习惯以后，再做与例题不一样的习题，可以提高运用知识能力，同时让学生进行一题多解，找出共同点，区别或最佳列法，以开阔学生的思路。

四、说教学过程(过程详见教案)

五、课后反思

1．本节课第一个例题，是应用问题中的配套例题，我在引导学生解决此题之后，总结了解一元一次应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程，让学生养成良好的解题习惯。

2．在讲完例题的基础上，将更多教学时间留给学生，这样学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互交流、相互学习，共同提高。

3．在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。4．需改进的方面：

（1）由于怕完不成任务，给学生独立思考时间安排有些不合理，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

（2）课堂上没有多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。以便在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。

13.一元一次方程及应用 篇十三

教学分析

重点：寻找和、差、倍、分问题的量与量之间的相等关系，列出一元一次方程。难点：寻找和、差、倍、分问题的相等关系。突破：从已知量和未知量之间的关系中找到相等关系。教学过程

一、复习

1、什么是等式？什么叫方程？一元一次方程的标准形式是什么？

2、什么是代数式？

3、列代数式：

（1）x的0.15，（2）比x多0.15，（3）比x的2倍小1。

二、新授

1、导课

在这一单元，我们将进一步学习设未知数列出方程来解应用题，我们将逐渐体会到，用代数方法解应用题，要比算术方法在列式上容易得多，而且可以解出用算术方法不易解出的或无法解出的实际问题。例1（课本P212）

某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩下42500千克，这个仓库原来有多少面粉？ 分析：已知运出面粉为原来面粉的15%，剩余面粉42500千克，未知原来有面粉重量与运出面粉重量。相等关系是：

原来有面粉重量运出面粉重量＝剩余面粉重量

设原来有面粉x千克，则运出面粉重量为15%x千克，这样左右两边都列出了代数式，放入相等关系中，即可得出方程：

x－15%x＝42500 完成求解过程，作出答案，强调4个注意点。解：略

三、练习P216习题：1，2。

四、小结

1、列方程解应用题应分析题中的数量关系，找出一个相等关系。

2、列方程解应用题比算术方法在列式上容易得多。

五、作业

1、P221 4.4A：1，2，3，4，5。

14.一元一次不等式组应用题选析 篇十四

一、敬老院的老人有多少

例1 (2012山东日照) 某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶, 那么剩下28盒牛奶;如果分给每位老人5盒牛奶, 那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒, 但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有 () 。

A.29人B.30人C.31人D.32人

解析:设有x位老人, 则牛奶有 (4x+28) 盒, 故1≤ (4x+28) -5 (x-1) <4, 得29

点评:本题主要考查一元一次不等式组的应用, 难点是设未知数列不等式组, 易错点是求解错误。

二、知识竞赛答对了几道题

例2 (2012福州) 某次知识竞赛共有20道题, 每一题答对得5分, 答错或不答都扣3分。

(1) 小明考了68分, 那么小明答对了多少道题?

(2) 小亮获得二等奖 (70分~90分) , 请你算算小亮答对了几道题?

解析:对于 (1) , 设小明答对了x道题, 则可列出一元一次方程进行求解;对于 (2) , 由于小亮得分在70分~90分之间, 如果设其答对了y道题, 那么他最少得70分, 最多得90分, 因此可列出不等式组进行求解。

答案:解: (1) 设小明答对了x道题, 依题意得

5x-3 (20-x) =68, 解得x=16

答:小明答对了16道题。

(2) 解:设小亮答对了y道题, 依题意得

答:小亮答对了17道题或18道题。

点评:本题通过两个问题, 考查学生列方程 (组) 、不等式组解决实际问题的能力, 体现数学问题源自现实生活, 而又为更好地解决现实问题的辩证规律。

三、有几种运输方案

例7 (2012年浙江省温州市中考) 温州享有“中国笔都”之称, 其产品畅销全球, 某制笔企业欲将n件产品运往A, B, C三地销售, 要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍, 各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。

(1) 当n时, (1) 根据信息填表:

(2) 若运往B地的件数不多于运往C地的件数, 总运费不超过4000元, 则有哪几种运输方案?

(2) 若总运费为5800元, 求n的最小值。

分析:数量关系: (1) 运往C地的件数是运往A地件数的2倍;件数和为200; (2) 运往B地的件数不多于运往C地的件数; (3) 总运费不超过4000元

解: (1) (1) 根据信息填表:

∵x为整数, ∴x=40或41或42,

∴有三种方案, 分别为:

(i) A地40件, B地80件, C地80件;

(ii) A地41件, B地77件, C地82件;

(iii) A地42件, B地74件, C地84件.

(2) 由题意得30x+8 (n-3x) +50x=5800, 整理得n=725-7x。

∵n-3x≥0∴x≤72.5。

又∵x≥0, ∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少, ∴当x=72时, n有最小值为221。

点评:列不等式组解实际问题与列方程组解实际问题的方法、步骤类似, 关键是要认真审题, 仔细分析数量之间的关系, 运用数学思维方式抓住表示不等的关键词句, 如:“超过”、“多于”、“不足”、“至少”、“大于”、“不超过”、“不小于”等列出不等式组.

四、用电量属于第几档

例4 (2012江苏省淮安市) 某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下:

例若某户月用电量400度, 则需缴电费为

210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) + (400-350) × (0.52+0.30) =230 (元)

(1) 如果按此方案计算, 小华家5月份的电费为138.84元, 请你求出小华家5月份的用电量;

(2) 依此方案请你回答:若小华家某月的电费为a元, 则小华家该月用电量属于第几档?

分析: (1) 计算出第二档最低用电量的费用进行比较即可; (2) 分别计算出第一档最低用电费和第二档最低电费对a值进行讨论。

解: (1) 因为属于第二档最低用电量的费用为:210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) =189 (元) >138.84元, 所以小华家5月份的用电量属于第二档。

设小华家5月份的用电量为x度, 由题意, 得210×0.52+ (x-210) × (0.52+0.05) =138.84.解得x=262。

答:小华家5月份的用电量262度。

(2) 对于a的取值, 应分三类讨论:

(1) 当0

(2) 当109.2

(3) 当a>189时, 小华家用电量属于第三档。

点评:本题考查了一元一次方程的应用, 解题关键是要读懂题目的意思, 根据题目给出的条件, 找出合适的等量关系列出方程, 再求解。

五、哪家宾馆更实惠

例5 (2012黔东南州) 我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习, 预订宾馆住宿时, 有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择, 其收费标准均为每人每天120元, 并且各自推出不同的优惠方案。甲家是35人 (含35人) 以内的按标准收费, 超过35人的, 超出部分按九折收费;乙家是45人 (含45人) 以内的按标准收费, 超过45人的, 超出部分按八折收费。如果你是这个部门的负责人, 你应选哪家宾馆更实惠些?

解析:设教师人数为x。

(1) 当0

(2) 当35

(3) 时x>45, 35×120+120 (x-35) ×90%<45×120+120 (x-45) ×80%, 即45

(4) 当x>45时, 35×120+120 (x-35) ×90%=45×120+120 (x-45) ×80%, 即x=55 (人) 时, 两家宾馆一样优惠;

(5) 当x>55时, 35×120+120 (x-35) ×90%>45×120+120 (x-45) ×80%, 即x>55, 乙宾馆更优惠;

答:总之, 当x≤35或x=55时, 选择两个宾馆是一样的;当3555时, 选乙宾馆比较便宜。

15.一元二次方程根的分布及相关性质 篇十五

例1 已知关于x的方程(k-2)x2-(3k+6)x+6k=0有两个负根,求实数k的取值范围.

解 由题意可知k-2≠0.设f(x)=(k-2)x2-(3k+6)x+6k,画出y=f(x)的一些可能的大致图像,如图1、图2.

图1(k-2>0) 图2(k-2<0)

则题设的充要条件是Δ≥0,3k+62(k-2)<0,(k-2)f(0)>0,

即(3k+6)2-4(k-2)•6k≥0,3k+62(k-2)<0,(k-2)•6k>0,

解得-25≤k<0.

性质1 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个负根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0,-b2a<0,af(0)=ac>0.

例2 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与x轴有两个不同的交点.

(1) 若两个交点中有且只有一个在原点的左侧,求实数m的取值范围.

(2) 若两个交点中至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围.

解 由题意可知m≠0.画出y=f(x)的一些可能的大致图像,如图3、图4.注意f(0)=1>0.

图3(m>0) 图4(m<0)

(1) 满足题意的函数y=f(x)的大致图像如图4,故m<0(实际上是mf(0)<0).

(2) 当m<0时,函数y=f(x)的大致图像如图4,它必与x轴有两个不同的交点,且一个交点在原点的左侧,另一个交点在原点右侧.(即(1)中的情况)

当m>0时,函数y=f(x)的大致图像如图3,故题设的充要条件是Δ>0,-m-32m>0,

得0

综上,使得两个交点中至少有一个在原点右侧的实数m的取值范围是m<1且m≠0.

性质2 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有一正一负两个根的充要条件是af(0)=ac<0.

类似性质1,有:

性质3 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个正根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0,-b2a>0,af(0)=ac>0.

例3 已知关于x的方程(1+a)x2-3ax+4a=0的所有根均小于1,求实数a的范围.

解 若1+a=0,则x=43>1,不合题意.故1+a≠0.设f(x)=(1+a)x2-3ax+4a,画出y=f(x)的一些可能的大致图像,如图5、图6.

图5(1+a>0) 图6(1+a<0)

可知题设的充要条件是Δ≥0,--3a2(1+a)<1,(1+a)f(1)>0,

即9a2-16a(a+1)≥0,a-2a+1<0,(a+1)(2a+1)>0,解得-12

性质4 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2且x1≤x20.

例4 已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.

解 由题意可知k≠0.设f(x)=2kx2-2x-3k-2,画出y=f(x)的一些可能的大致图像,如图7、图8.

图7(k>0) 图8(k<0)

则题设的充要条件是2kf(1)<0,

即2k(-k-4)<0,解得k<-4或k >0.

性质5 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2且x1

类似性质4,有:

性质6 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2且x1≥x2>k的充要条件是

Δ≥0,-b2a>k,af(k)>0.

例5 若关于x的方程x2-2kx+k2-1=0的两根不相等且介于-2和4之间(不等于-2或4),求实数k的取值范围.

解 设f(x)=x2-2kx+k2-1,画出y=f(x)的一些可能的大致图像,如图9.

可知题设的充要条件是Δ>0,-2<--2k2<4,f(-2)>0,f(4)>0,图9

即4k2-4(k2-1)>0,-20,16-8k+k2-1>0,解得-1

性质7 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2且m

Δ≥0,m<-b2a0,af(n)>0.

性质8 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0在区间(m,n)内有且只有一根(两个等根不算一个根,全文同)的充要条件是f(m)f(n)<0.

性质9 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2且x1

例6 若方程ax2-(a+1)x-4=0的两根为x1,x2,且-1

图10

解 设f(x)=ax2-(a+1)x-4,画出y=f(x)的大致图像,如图10.注意f(0)=-4<0.

可知题设的充要条件是f(-1)>0,f(2)f(3)<0,

f(-1)>0,f(2)<0,f(3)>0,

即a+(a+1)-4>0,4a-2(a+1)-4<0,9a-3(a+1)-4>0,解得32

点评 事实上,根据二次函数的性质,由f(-1)>0,f(0)<0及f(2)f(3)<0,便一定有f(2)<0,f(3)>0,而不可能有f(2)>0,f(3)<0.请同学们自己思考、研究其原因.

性质10 一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0

有两个实根x1,x2且k1

巩 固 练 习

1. 设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不等的实根x1,x2,且x1<1

A. 27

B. a>25

C. a<-27

D. -211

2. 若关于x的方程x2-32x-m=0在区间[-1,1]上有实根,则实数m的取值范围是 .

3. 若关于x的方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,则实数a的取值范围是 .

4. 已知抛物线y=x2+(m+4)x-2(m+6),m为实数.则m∈ 时,该抛物线与x轴的两个不同的交点都位于点(1,0)的右侧.

5. 方程x2+(2m-1)x+m-6=0的一个根不大于-1,另一个根不小于1,求实数m的取值范围.

16.一元二次方程的应用题 篇十六

2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：

（1）求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；

（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？

3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加

（1）根据提供的信息，回答下列问题：底的绿地面积为 _______公顷，比20底增加了_______公顷；在，年，20这三年中， 绿地面积增加最多的是 _______ 年；

（2）为满足城市发展的需要，计划到底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．

专题：行程问题：

1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？

2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度

3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时。请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速。

专题：经济问题：

1、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．

2、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2。8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0。5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？

专题：工程问题：

1、为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

2、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

3、一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元。

（1）甲单独完成需要几天？

17.数学一元一次方程的应用教学反思 篇十七

1、教学流程的设计方面：对于我所任教的班级来说，基础比较薄弱，引入的问题对他们而言有一定的难度，再加上两种不同解法，不符合由易到难的认知规律。不妨可以把学生在小学就已有一定接触的相遇和追击问题中的基础题型作为引入，这样既让学生复习已经学过的有关行程问题的知识，又能为本节课的主要例题(环形跑道)作了铺垫。

2、反馈练习方面：对于基础较弱的班级来说，课堂上的反馈练习是一个能及时反映学生接受的情况及提高课堂效率的有效手段，但习题难度不易过高，题量不易过大，因此预设的题目可作适当的调整。

18.一元一次方程及应用 篇十八

例:若直线y=kx-2与双曲线x2-y2=2没有公共点, 求实数k的取值范围。

分析:直线y=kx-2存在斜率k, 而且过定点 (0, -2) 。为求双曲线与直线无公共点, 只需使y=kx-2与双曲线x2-y2=2联立的方程组无实数解, 来体现平面解析几何的特点, 即转化为一元二次方程的解与两曲线交点个数的对立统一思想。

若使直线y=kx-2与x2-y2=2无交点

思维迁移一:若直线y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点, 如何求k的取值范围。

分析:依题意可知, 若使直线y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点, 保证 (*) 式仅有唯一解即可, 考虑到 (*) 式既有可能是二次方程, 也有可能是一次方程, 所以应采用分类讨论来解决。

解: (1) 若1-k2=0时k=±1, 这时两曲线的交点只有一个。

(2) 若1-k2≠0时, (*) 式是一元二次方程

当Δ=0时, 即时, 两曲线也仅有唯一交点。

综上所述, 当k=±1或时, y=kx-2与x2-y2=2仅有一个公共点。

点评:本题中的k=±1时, 实质是y=kx-2与两条渐近线分别平行时只与一支有一交点的情况, 而当是直线y=kx-2与双曲线相切时的两条切线 (与一支相切, 另一支无交点。) 。

思维迁移二:若直线y=kx-2与x2-y2=2有两个公共点, 如何求k的取值范围。

根据上面的两种分析, 学生不难得出结论。

解:方程 (*) 式有两个不相等的实数解

思维迁移三:若直线y=kx-2与x2-y2=2的左支有两个公共点, 如何求k的取值范围。

解:左支上有两交点, 即 (*) 式有两负根。

思维迁移四:若直线y=kx-2与x2-y2=2的右支有两个公共点, 如何求k的取值范围。

解:右支上有两交点, 即 (*) 式有两正根。

通过以上思维迁移, 利用一元二次方程根的分布解决直线与双曲线的位置关系, 并且可以借助这道题把直线与双曲线的交点情况理解得更加透彻。

19.一元一次方程及应用 篇十九

“一元一次不等式组”是初中数学比较重要的知识点，是教学的难点之一，同时也是中考必考的知识点.纵观近年广西中考数学试题，一元一次不等式（组）的考查内容主要集中在以下几个方面：不等式的性质，不等式的解集表示方法，一元一次不等式（组）的解法以及一元一次不等式（组）解的存在性问题的探讨.此外，一元一次不等式（组）与方程组相结合，考查学生确定参数的取值范围的问题及其综合应用都出现过.这类考点涉及的题型也是十分全面，不仅有填空题、选择题，还有占分比较大的解答题.从近年来中考数学考查一元一次不等式（组）设计的命题来看，题型的情境设计越来越贴近日常生活，大多数与现实生活中的经济问题、经营决策问题等热门话题作为题目的背景，题目设计偏向于引导学生利用数学知识解决实际问题.这类题目更具灵活性、开放性和实用性.因此，在中学数学课堂教学中，对于不等式的教学和训练都是非常重要的.

二、一元一次不等式（组）教学现状

针对初中数学不等式（组）的教学，新课程标准中有具体的阐述：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题，并体会不等式（组）也是描述实际问题的一个有效的数学模型.”可见，新课程标准中对于一元一次不等式（组）的教学目标要求是十分明确的，一元一次不等式（组）的考查方向也是十分清晰的.但在实际的教学实践中，大部分学生在遇到解决一元一次不等式（组）的问题时，往往“不知所措，无从下手”，部分学生由于解题经验不足，基础不扎实，甚至粗心大意，对题目的阅读理解出现偏差，抓不住题目要求的关键内容或关键词，混淆了一元一次不等式（组）的关键概念，在解题过程中往往容易出现定式思维，结果造成了会解的题解得懵懵懂懂，不会解的题如看天书.

三、教学对策

在对一元一次不等式（组）的内容进行教学和训练时，应当结合学生实际认知水平，打破传统的教学模式，即数学概念的讲授、数学解题方法的介绍、解题方法的归纳总结、学生实践、反复练习.重新根据新课程标准的具体要求，把教学目标侧重于以下几个方面：让学生反复体验在实际的数学问题中，对数量关系的分析后建立不等式的实践；把不等式组及其解集的概念融入生活中，加以分析引导，让学生了解清楚它们之间的关系及其应用；把数轴的工具性反复演示在实际的解题过程中，让学生养成利用数轴推导问题答案的习惯，学会看数轴、利用数轴.通过这一调整，夯实了学生的学习基础，使学生理清了相关概念、克服麻痹大意的心理，丰富了学生的学习经验.

1.以学生熟悉的生活情境为切入点设计问题.以学生熟悉的生活情境为切入点，设置与一元一次不等式（组）相关的数学问题，加深学生对理论知识运用于实践的意识，体现数学的实用性，从而摆脱数学教学实践中以题说题的枯燥性.同时，通过对学生熟悉的日常生活情境设置的问题，让学生认识到实际生活中确实是需要运用不等的数学关系处理相关问题，并产生能够动手列出不等式组及其解集的意识，进一步提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让学生在反复体验实际的数学问题中，对数量关系的分析后建立不等式的实践.

2.促进学生养成利用数形结合解决数学问题的习惯.数形结合是初中数学学习中一种常用且十分重要的数学思想，它不仅能给学生解决问题以直观、形象性，还能够避免因粗心大意造成的解题失误.我国著名数学家华罗庚曾经就数形结合提出过“数缺形时少直观，形少数时难入微”的经典论述.可见，数形结合思想在解决数学问题中的重要性.因此，在初中数学教学实践中，特别是在不等式（组）的教学中，应当积极引导学生学会运用数形结合思想解决数学问题.一元一次不等式（组）的解集，数轴工具性得到完美的体现.在教学实践中，把数轴的工具性反复演示在实际的解题过程中，让学生养成利用数轴推导问题答案的习惯，学会看数轴、利用数轴，同时，也应当注意数轴的使用并不是一个机械的运用，而是为了寻求答案、验证答案时，才运用的一个步骤.

总之，一元一次不等式（组）作为初中数学教学的重点和难点，也是中考数学偏爱考查的内容.在具体的数学教学实践中，应当结合学生的实际认知水平，打破传统的教学模式，尊重学生的认知规律，创新教学方式，促进学生学得简单、学得愉悦、学有所成.

参考文献

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[3]赵艳芳.数形结合在一次函数中的应用[J].中学生数学，2008（24）.

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