平均数的训练应用题（5篇）
1.平均数的训练应用题 篇一
【关键词】假设检验 平均数显著性检验 平均数与总体平均数
一、平均数显著性检验的涵义
在教学中，我们常会遇到在教学和测试等各个方面进行比较的问题。例如：对比新旧教学方法，看哪种方法更好;一学期期中、期末测试完后，对不同班级或院校的平均分数作比较，看哪个班或院校的成绩较好等等。比较的目的就是检验两者间是否存在差异性，统计学上把这样的差异检验称为显著性检验，对这种显著性检验进行推理的过程称作假设检验（hypothesis testing） （韩宝成，2001：63）。
平均数的假设检验问题通常分为两种类型：（1）对一个样本平均数与总体平均数的差异性检验问题，称为平均数的显著性检验; （2）两个样本平均数差异的假设检验问题，称为平均数差异的显著性检验。本文仅讨论第一种情况，即一个样本内平均数显著性检验问题。
二、平均数显著性检验的过程
根据总体分布形式及总体标准差的条件，检验过程可分为几种情形。这里我们仅讨论总体呈正态分布下的情形。此外，样本容量可分为大样本容量和小样本容量。通常，若样本容量≥30，我们称为大样本容量（标记为N）;若样本容量<30，我们称为小样本容量（标记为n）。
1.大样本容量的假设检验。在总体呈正态分布，总体标准差已知的情况下，这样的假设检验称为Z检验。假设总体均值为，总体标准差为σ0，样本均值为，则检验统计量为 。根据研究的目的性而言，检验又分为双侧检验和单侧检验（即左侧检验和右侧检验）。只强调差异而不强调方向性的检验称为双侧检验（韩宝成，2001：68）。其假设形式及拒绝域如下表（贾俊平，邹明霜，2004：85）：
双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式
拒绝域
下面举例来说明如何在教学中进行大样本容量的假设检验。某省对初中毕业生举行了一次学期统考，统考平均分是77，标准差是11.5。其中一所学校，有100名学生参加了这次考生，其平均分是82。那么，这所学校的平均成绩与全省平均成绩之间的差异是否显著？（=0.05）
从上面的数据显示可以看出，这所学校的考生平均分比全省平均分高出五分。通常老师们会主观认为这五分的差异能够证明学校与全省之间存在着显著性差异，而忽视了用统计的方法进行验证。我们可以按以下步骤进行显著性检验。
第一：要根据题目问题确定该检验属于双侧检验还是单侧检验，本例属于双侧检验，然后再建立原假设和备择假设，即
第二：根据样本容量大小计算检验统计量。该样本统计检验属于大样本均值检验，其检验统计量Z值为：
第三：求出的临界值。根据所给的α取0.05，在正态分布表中查询得出的临界值，即=1.96
第四：做出决策。将所计算出的Z值与进行比较，若，则原假设（H0）应被拒绝;若，则原假设（H0）应被接受。如图所示（阴影部分为拒绝域）：从以上计算中可以看出，由于 =4.35>1.96， 则原假设应当被拒绝。做出决策：这所学校与全省之间的平均数存在显著性差异。
这个例子中所给的总体标准差是已知的，若总体标准差是未知的情况下，通常用样本标准差（标记为s）来代替，其检验统计量为：，其余的步骤同上。
2.小样本容量的显著性检验。通常，在小样本容量中，如果总体标准差是已知的，检验的过程同大样本容量中的Z检验法一样;如果总体标准差未知，显著性检验的过程就要用t检验的方法。在t检验中，未知的总体标准差要用样本标准差s来代替，此时样本平均数的分布是按照自由度（标记为df）为n-1的t分布，检验统计量为。其假设形式及拒绝域如下表所示（贾俊平，邹明霜，2004：85）：
双侧检验 左侧检验 右侧检验
假设形式
拒绝域
下面举例来说明t检验的过程。某校老师为了提高学生英语阅读成绩，每天利用课堂五分钟的时间对该班的25名同学听写单词，目的是检验听写单词是否有助于提高学生的阅读成绩。试验一学期后，在全年级举行了期末考试。全年级的平均分是75，该班25名同学的平均成绩分别是：75，82，81，77，86，81，65，78，67，72，66，87，92，84，78，83，74，67，79，87，70，69，85，73，81。（=0.05）
根据=75，可以计算出样本均值和标准差：= =1939/25=77.56
s==
第一步：根据题目问题，确定该检验问题属于双侧检验，再建立原假设和备择假设，即
第二步：该样本统计检验属于小样本均值检验，其检验统计量t值为：
第三步：根据所给的=0.05，and df=19-1=18.，通过查正态分布表，求得tα/2的临界值，即tα/2 =2.101。
第四步：做出决策。将t值与tα/2的值进行比较，=1.7<2.101，原假设可接受。这表明该教师对该班采用听写单词的方法对提高学生阅读成绩没有帮助。
三、结论
平均数显著性检验在教学方法及测试决策分析中起着重要的作用，本文仅讨论了教学中一个样本平均数与总体平均数的差异性检验问题。通过统计学的运用能使论证过程更加缜密具有说服力，做出的决策更加科学客观。
参考文献：
[1]Anthony Woods， Paul Fletcher， Arthur Hughes.Statistics in Language Studies[M].外语教学研究出版社，1996.
[2]韩宝成.外语教学科研中的统计方法[M].外语教学与研究出版社，2001.
[3]贾俊平，邹明霜.统计学学习指导书[M].中国人民大学出版社，2004.
[4]文秋芳，俞洪亮，周维杰.应用语言学研究方法与论文写作[M].外语教学与研究出版社，2004.
作者简介：
1.彭文婧，女，山西省山阴县人，1982.1，硕士研究生，山西林业职业技术学院基础部助教，研究方向：外国语言学及应用语言学。
2.平均数的通俗解码 篇二
日常生活中我们经常会处理大量数据以了解其代表性，常用的计算方法便是计算平均数。计算过程中，首先要对统计口径有一个清晰的说明。其次，计算中采用的是哪种平均数很关键。平均数这个词的涵义很宽泛，常见的有3种 均值、中位数、众数。所以，当我们看到某个数是平均数时，除非标注着它的具体种类——均值、中位数、众数，否则，可要细细推敲这平均的涵义喽!
众数、中位数都是用来描述一组数据的集中趋势的。众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。中位数是将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数的平均数)，一组数据中的中位数是惟一的。均值是各数据的总和除以数据总个数的商。平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，其中任何一个数据的变化都会相应引起平均数的变动。它反映的是一组数据的总体水平(一般水平)。
我们在描述人类某些生理特征，诸如身高等数据时，三种数的数值十分接近。这个时候的数据具有正态分布的形态特点，均值、中位数和众数会落在钟形曲线的同一点上，这时使用哪个平均数都不会产生多大的差异。但有些时候，区分还是有必要的。
冰火两重天——均值
均值的优点是计算简单，便于理解，不足之处在于，当数据的分布呈现正偏态或负偏态时，均值往往高于或低于一般水平。我们的收入分布就是典型的正偏态分布，所以平均工资偏高就很正常了。
均值易受数据中极端数值的影响。比如，当某个不了解中国天气情况的外国人计划去新疆吐鲁番旅行的时候，他通过网络了解到当地的平均气温是25摄氏度，却忽略了气温的波动范围，可想而知，到了那里，他或被冻个够呛，或被热晕过去，这个宜人的平均温度掩盖了8度到38度之间30度的气温波动范围。
张百万的故事——中位数
中位数的优点在于，在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”会比较适合。
网上曾有这样一首打油诗：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万。”这当然不是“平均数”的错，也不是统计学的错，很显然这是用均值掩盖了极端数据，换成“中位数”来计算，就能把问题说清楚了。以一个101人的企业为例，把所有人员年收入从大到小排列，正中间的一位，即第50位的年收入就是这家企业年收入的中位数。这个时候平均数不能说明的问题，中位数就说清楚了。
为什么买不到34码的鞋——众数
用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法十分简便。众数的优势在于，当数值或被观察者没有明显次序(常发生于非数值性资料)时特别有用，由于可能无法良好定义算术平均数和中位数，显然用众数是最好的方法。
3.“平均数”的“变教为学” 篇三
通过对平均数进行研究，发现历史上平均数最早是用来估计大数的。在公元4世纪的古代印度故事中，有一棵长有两条巨大树枝的茂盛的大树，主人公Rtuparna想要计算这两条树枝上叶子和果子的数量，他先估计了树根部的一条细枝上叶子和果子的数量，再乘以细枝的数量，最后得出的答案是2095，这和第二天人们数出来的真实数字非常接近。[1]尽管在故事中Rtuparna是如何选择细枝的还不能确定，但他必须选择一条平均大小的细枝，才能得到比较好的估计。这其中隐含着平均数直观的初期形式（intuitive precursor），因为所选的细枝代表了其余的所有细枝，在求总数的过程中，它扮演了连接的角色，平均大小的细枝具有代表性。
从历史故事中得到启发，平均数的学习应该以大数估计为起点，通过“活动一”再现这种方法，让学生理解平均数的代表性。
活动一：某学校总共有30个班级，每个班级的人数如下，你能算出全学校大约有多少人吗？和同伴说说你的想法。
活动一要求学生计算全学校大约有多少人，也就是让学生估算出这组数据的和，这和历史故事中估计“叶子和果子的数量”是类似的。由于估算方法具有多样性，所以学生会产生如下解法。
方法一：将这组数据中最大的数和最小的数相加再除以2，用得数乘30。
方法二：将这组数据按大小顺序排列，用处于最中间的一个数乘30。
方法三：选取数据中出现次数最多的数，再乘30。
方法四：运用四舍五入法，“42”近似为“40”，“47”近似为“50”，“34”近似为“30”，再把这些数和个数相乘，最后相加得到结果。
前三种方法都是选取了能代表一组数据的值，这个值要能代表班级人数的平均水平，才能得到比较好的估计，虽然有的班级人数多于平均数，有的班级人数少于平均数，但在求和过程中正好相互抵消，其中也出现了中位数、众数的概念。通过此活动可以发现平均数和估算有密切关系，并且平均数、中位数和众数都具有代表性，建立了学习内容与数学知识之间的联系。教师可以在“活动一”之后给学生讲述平均数的历史故事，让学生进一步思考和体会。按照历史的发展，平均数的教学应由大数估计引入，先让学生理解平均数的代表性，再来学习计算方法，而不是先学习计算方法，再让学生理解代表性。
当学生对平均数有了直观的认识之后，“活动二”的设计是学习平均数的计算方法。经历平均数计算方法的探索过程，可以加深学生对平均数的认识。
活动二：（1）甲、乙两商店出售帽子，下图列出了甲商店前四个星期卖出的帽子数、乙商店前三个星期卖出的帽子数，你知道哪家商店的销量较好吗？（2）乙商店在第四个星期卖出多少顶帽子，才能使平均每天卖出7顶帽子？和同伴说说你是怎么做的。
设计活动二的第一个问题的目的之一是学习平均数的两种计算方法，一种是用数据总数除以个数，另一种是移多补少，用多的部分去补偿少的部分；目的之二是让学生体会平均数可以用来比较数量不同的群体，体会平均数的作用。学生会发现，此时用帽子的总数比较销量不太公平，所以会想出如下解法。
方法一：分别算出甲、乙商店帽子的销售总数，再除以对应的星期数，最后用得出的两个数据进行比较。
方法二：甲商店把第一个星期的1顶帽子移动到第二个星期，把第四个星期的2顶帽子移动到第三个星期，此时每个星期的帽子数量都相等。乙商店把第一个星期的3顶帽子移动到第二个星期，此时每个星期的帽子数量也都相等。最后用两个平均数进行比较。
活动二的第二个问题给出了三个数据和一个平均数，让求第四个数据。用数据总数除以个数的方法此时无法直接使用，考查的是对平均数的理解。学生可能会想出如下解法。
方法一：四个星期平均每天卖出7顶帽子，求出四个星期卖出帽子的总数，再减去前三个星期卖出帽子的数量。
方法二：第一个星期卖出的帽子较多，把其中3顶帽子移动到卖出帽子较少的第二个星期，则前三个星期都卖出了6顶帽子，要求平均每天卖出7顶，这样就还差3顶，再加上第四个星期平均卖出的7顶，得出第四个星期需要卖出10顶才可以。
方法三：把第一个星期中的1顶帽子移动到第二个星期，再移动1顶到第三个星期，这样前三个星期分别卖出了7， 4， 7顶，那么，用第二个星期差的3顶，再加上第四个星期平均卖出的7顶，答案是10顶。
方法四：第一个星期保留3顶帽子，把6顶都移动到第四个星期，这样四个星期距离要求的7顶帽子，分别差了4，4，1，1顶，计算4+4+1+1=10，答案同样是10顶。
平均数计算公式的灵活运用和移多补少的方法都可以解答这道题，方法二、三、四使用的都是移多补少的方法，不同之处在于分别以6，7，3为标准，当然也就存在着其他的解法，需要学生认真地思考。
平均数的求法在我国古代文献中就早有记载。魏晋数学家刘徽（约公元225—公元295）注释的《九章算术》第一卷记载：“平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。”意思是在许多不相等的数中，把大的数减小，把小的数增大，最后使得所有的数都相等，称之为“平分”。这与移多补少的方法相同，数据少的时候采用移多补少的方法可以直观地体现出平均数的补偿性。
经过以上两个学习活动，学生对平均数已经有了初步的认识，此时，很容易将“平均数”和以前学习过的“平均分”混淆，这两者具有密切的联系，但在概念上又有本质的区别。“除法的初步认识”中的平均分指每份分得同样多，平均分是一种确定的分法，在任何一种分法的基础上，通过移多补少就可以实现平均分，每份分得的数量具有实际意义。平均数是一个统计概念，它在现实生活中不一定具有实际意义。学生是在已经学过平均分的基础上进行平均数的学习，平均分是指“总数÷份数=每份数”，平均数的计算公式为“数据总数÷个数=平均数”。例如：甲有3个苹果，乙有5个苹果，一共有8个，如果平均分，则甲、乙各得到4个。这个计算过程和求平均数的方法看起来十分类似。“活动三”的设计可以帮助学生了解平均数是一个统计概念。
活动三：有新闻报道：“上海每户家庭平均2.5人；韩国平均2.5人就拥有1辆汽车。”请你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？
在学生的回答中，有的学生会认为“点5”是一个孩子，“2.5人”就表示两个大人和一个小孩，出现这样的问题说明在学生的思维中平均数还没有完成由一个代数概念到一个统计概念的转变。半个人是不存在的，当A家庭有2人，B家庭有3人，每户家庭平均就有“2.5人”。以上报道可以理解为“上海每两户家庭平均5人”和“韩国平均5人就拥有2辆汽车”。教师此时还可以追问学生“每个人平均每天锻炼1. 5小时”中的“1.5小时”是什么意思，学生可能认为“1.5小时”是一个具体的时间，所以它有实际意义。教师要引导学生理解和区分，让学生用自己的语言去解释平均数的统计意义。
“变教为学”强调学习内容要“实现关联”，指的是既要建立学习内容与数学知识之间的联系，还要建立学习内容与生活的联系，所以，最后设计“活动四”，让学生感受平均数在自然界和社会中处处存在。
活动四：说说哪些生活场景、自然现象或者数学知识与平均数有关？
活动四的回答是开放性的，在学生举例的基础上，教师可以补充一些有关平均数的知识。比如，自2014年12月28日起，考虑儿童身高普遍提高的实际状况，可免票乘车的儿童身高从1.2米提高到1.3米，范围增加了10厘米。北京市2010年国民体质监测结果显示，6岁男童身高均值为120.3厘米，6岁女童身高均值为118.8厘米。北京市就是参照6岁儿童的平均身高确定的免票线高度。南水北调工程和西气东输工程分别是把水和天然气从资源多的地方运往贫乏的地方，达到一个相对的平均，都体现了移多补少的概念。
“变教为学”要求学习内容“突出本质、渗透文化、实现关联”。所以，对“平均数”教学进行的学习活动设计，应注意以下几个方面的内容：首先，需要突出平均数的本质，了解其发生和发展的历史，创设情境让学生感受“知识因需要而产生”，体会其存在的价值。其次，需要渗透平均数的文化，让数学学习更加丰富多彩。最后，把平均数与学生已经熟悉的内容建立联系，实现“化未知为已知”，教会学生在生活中使用平均数来解决问题。
“变教为学”把备课过程中主要思考的内容定位于学生应当“学什么”和“怎样学”，也就是要确定学生应当学习的学习内容和设计学生应当经历的学习活动。[2]因此，对于教师来说，首要任务是确定准确、精练的学习内容，设计可行、有效的学习活动，这是一个需要主动学习和思考的过程。
参考文献：
[1] Arthur Bakker and Koeno P.E. Gravemeijer. An Historical Phenomenology of Mean and Median [J]. Educational Studies in Mathematics，2006，62（2）：149-168.
[2] 郜舒竹. “变教为学”从哪儿做起[J]. 教学月刊小学版数学，2013（9）.
4.平均数的训练应用题 篇四
1.平均数：
对权的理解：反映了某个数据在整个数据中的重要程度.
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）.
2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
求一组数据的中位数，应遵循如下的基本思路：
例6 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，这13名学生的预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛。小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）.
A.中位数 B.众数
C.平均数 D.极差
分析：对于各种比赛，我们所关注的参赛队员成绩的排位通常是按照名次决定的，所以，想知道自己能否进入决赛，就得关注自己的位次.故选A.
考点7 方差的计算
例7 某段时间，小芳测得连续5天的日最低气温后，整理出下表（有两个数据被遮盖）.
被遮盖的两个数据依次是（ ）.
考点9 平均数、中位数和众数的综合运用
例9 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
（2）假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由.
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.平均数是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
5.逃脱“平均数陷阱” 篇五
企业管理者通常以平均数思维方式思考问题和制定计划，从各种管理计划中经常看到平均数形式的数据，例如市场需求量、资金使用量、市场价格、项目工期等。依据业务逻辑和管理需求，这些平均数形式的数据将被进一步组合计算，得出其他平均数形式的目标数据，例如投资回报率、年度总收入、项目总工期等。从风险的角度看，平均数思维在企业管理上有些时候会带来严重的问题。美国斯坦福大学教授Savage曾经说过，使用平均数方式做的管理计划平均上是错的，许多管理上的失败都来自平均数思维。
平均数形式的计划数据，在某些特定情景发生的情况下才具有意义。如果管理者没有充分考虑这些特定情景发生的可能性，那么这些计划数据是不正确的甚至在现实中是不存在的：某药企在研发新药，研发成本2000万元，投产后外销欧美市场，预计投资回报率达16%。首先，2000万元研发成本是平均意义上的成本。其次，16%的投资回报率是基于项目研发成功且外销欧美市场成功情景下做出的平均估计。那么，这些情景发生的可能性有多大呢？是100%出现吗？如果研发不成功呢？如果研发成功但外销不成功呢？不考虑这些情景，单纯地去讨论平均数形式的计划数据没有太大意义，基于这些数据进行的决策也会带来严重的问题。好比一条河流平均水深为1米，一个人徒步过河会不会出现风险呢？假设这条河流大部分地方水深小于1米但中间一段水深为3米，那么基于平均1米水深的过河决定将会给这个人带来很大的风险。
当企业经营遇到限制性条件的时候，平均数形式的计划数据也是不正确的。假定产品的市场需求为10万个、单位价格为100元，那么计划生产10万个将会带来1000万元的收入。然而按照这样的生产计划，如果市场需求高于10万个，那么收入为1000万元;如果市场需求低于10万个，那么收入就不再是1000万元。平均意义上的1000万元的收入计划是不正确的，真正的平均收入会低于1000万元。
平均数思维方式内含的一个假设是：按照平均数制定计划其结果也是平均数。不幸的是，这个假设在许多情况下是不成立的。当一个总活动由多个单项活动组成时，基于单项活动的平均数制定的总活动计划经常会落入“平均数陷阱”。假设一个项目包括同时进行的10个任务，每个任务的完成时间在3个月和9个月之间等可能性出现，这样每个任务的平均完成时间为6个月，所有任务完成后才可以进行下一步工作。按照平均数思维方式，进行下一步工作的计划应该定在6个月后。然而，这个计划是可行的吗？经过简单测算就会知道，项目在6个月内进行下一步工作的可能性基本接近为零。任何一个任务的完成时间高于6个月都会拖后整体项目进度，现在有10个并行的单项任务，所以全部单项任务的完成时间都低于6个月几乎是不可能的。