约会型几何概型问题

2024-07-20

约会型几何概型问题（11篇）

1.约会型几何概型问题篇一

§3.3.1几何概型（第一课时）（人教A版〃必修3）

教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体；

（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力

（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法

3、情感态度与价值观：

本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点

几何概型的概念、公式

教学难点

几何概型的应用

教辅手段

投灯片，计算机及多媒体教学．

教学过程

一、情景设置——温故知新处理方式

借助课件，提出问题，引导学生回顾

1、现实生活中有的古典概型的问题

2、古典概型的特点

二、新知探究

（一）创设情境：

处理方式

1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

（1）回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。（2）引导学生思考讨论得出结果。

2、几何概型的概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体

三、即时体验

处理方式

1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。

问题1：判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）将一颗豆子随即的扔到如图的方格中,假设豆子不落在线上,求落在红色区域的概率.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）豆子落入红色区域时有无限多个结果，而且不难发现“落入红色区域”的概率可以用红色部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

2、以问题探究的形式引导学生理解几何概型中的事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

问题2：取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率为多大？

问题3：一海豚在水中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。

问题4：有有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯中取出0.1升水,求小杯中含有这个细菌的概率.问题2解：设A={剪得两段的长都不少于1m}，A的发生就是中间一米的那段一段：

P（A）=13

问题3解：设A={海豚嘴尖离岸边不超过2m}，为图中兰色区域：

P（A）=3020261630200.12=

23750.31 问题2解：设A={小杯中含有这个细菌}，它的概率只与取出的水的体积有关

P（A）=

=0.5

四、归纳提升

处理方式

引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果教师帮助完善。

1、几何概型的概念，特点

2、几何概型的公式及应用

五、课后延续

1、回顾本课的学习过程，整理学习笔记

2、完成书面作业P14习题1

3、选作问题：

（1）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边做正方形，求这正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率。

（2）已知地铁列车每10分一班，在车站停1分，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

2.约会型几何概型问题篇二

对于初学者来说,不容易搞清楚基本事件的样本空间究竟是长度,还是面积,或者是体积,还是角度.在做题时往往感到无从下手,极容易出错,也容易产生歧义.本文通过对有争议的例题的探究,来说明求几何概型应注意的问题.

题目如图1所示,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C作一条射线CM,交AB于点M,求AM

此题有以下两种典型的解答过程:

解法一以点A为圆心,AC长为半径作一个小圆,交AB于C',不妨设AC=a,则,从而所求的概率为

解法二以点A为圆心,AC长为半径作一个小圆,交AB于点C',连结CC',则∠ACC'=67.5°.

从而所求的概率为

这道题目的两种解法,孰是孰非,谁对谁错,颇有争议.(可参阅人教论坛http://bbs.pep.com.cn/thread-268184-1-1.html)一些教辅材料给出的是第一种解答方法,另一些教辅材料给出的是第二种解答方法.这两种解答过程看似均正确,让人无可适从,甚至于有人提出两种结果都对,只不过是对题意理解不同的说法.

同一数学问题两种解法结果不同,显然,至少有一解法不正确,那么究竟谁对谁错呢?为了研究这一问题,我们先来看这样两个题目.

题目1如图2,在等腰直角三角形ABC中,在直角边BC上任取一点M,求∠CAM<30°的概率.

解:在BC上取一点M0,连结AM0,使∠CAM0=30°,则点M应在线段CM0上.所以

题目2如图2,在等腰直角三角形ABC中,过点A作一条射线AM,交直角边BC于点M,求∠CAM<30°.

解:在∠CAB内作射线AM0,使∠CAM0=30°,则AM应在AC和AM0之间.所以

那么两个问题实质相同吗?在BC上任取一点M,不就对应着一条射线AM吗?但如果实质相同,为什么这两个题目计算的结果不一样呢?

上面两道题实质是不一样的.

第1题中∠CAM<30°的概率是指在BC上取使∠CAM<30°的点M的概率.因为在BC上任取一点都是等可能的,所以P(∠CAM<30°)应该等于线段CM0与线段CB长的比.本小题实质上是线段比的概率

第2题中∠CAM<30°的概率是指在∠BAC内作使∠CAM<30°的射线AM的概率.问题实质是求射线位置的概率.因为过点A所作的射线是等可能的,所以此题中P(∠CAM<30°)应该等于∠CAM0和∠CAB的度数比.本小题实质上是角度比的概率.

可见,解决此类问题,关键在于弄清楚问题的实质:所求的是什么事件的概率.即构成基本事件的样本空间是用长度,还是用面积,或者是用体积,还是用角度作为测度的.

实际上,以A为圆心,以AC为半径画弧,交AB于E.如图3.在∠CAB内画任意一条射线,等价于在弧CE上任取一点.在弧CE上任取一点P,设射线AP交CB于Q,令Q与P对应.如果在弧上等密度取点,则在CB上对应点的密度,由C到B是不断减小的(即对应点的距离不断增大).这就是两题“结果不一样”的原因.

我们再来看本文刚开始提出的这道有争议的题目.这里的事件是在等腰直角三角形ABC中,过点C作一条射线CM,使AM

3.一个几何概型问题的解决与探究篇三

几何概型问题灵活性大,趣味性强,是激发学生学习兴趣的好素材.在教学中碰到如下一道习题:设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率.

此题存在一种有趣的悖论性解法.设A、B为圆上两定点，过A、B两点作两条直径，圆被两直径分成四部分，要使△ABC是锐角三角形，则C点只能在优弧AB所对的弧上.如图1所示，当A、B两点无限接近时,那么三个点构成锐角三角形的概率为0；当两直径互相垂直时, 那么三个点构成锐角三角形的概率为14；当A、B兩点几乎成直径时,那么三个点构成锐角三角形的概率为12.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P∈0,12.我们知道几何概型是建立在以测度论为基础概率模型,它的求解可以转化到与长度、面积、体积等相关的测度之比,所以概率P为定值而非范围图1.

二、问题的解决：

解法一:如图1,不妨设圆的半径为1,A、B、C三点分圆O所成的三段弧长分别为x,y,2π-(x+y),试验的全部结果为Ω,能构成锐角三角形的所有试验结果为A,则有

Ω:0

0<2π-x-y<2π 即

A:0

0<2π-x-y<π即

如图2,P=S(A)S(Ω)=14,故圆内接△ABC是锐角三角形的概率为14.

图2

解法二:为了简便起见, 不妨设分圆O所成的三段弧中2π-(x+y)最长,则试验的全部结果Ω:

图3

2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<2π

即2x+y<2π

x+2y<2π

2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π

x+2y<2π

它所表示的区域是△MPN内部且S△MPN=π26.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P=S(A)S(Ω)=S△MPNS四边形OMPN=14.

三、问题的引申：

对这个问题作进一步探究,我们还可以求出△ABC为钝角三角形及△ABC为直角三角形的概率.

若△ABC是钝角三角形,则试验结果A′:2π-(x+y)>x

2π-(x+y)>y

0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π

x+2y<2π

四、问题的变化：

对原题稍加改变,就能得到一道具有相似背景的变题:有一段长为L的木棍,随机截成三段(如图4),求三段长可以构成三角形的概率.

图4

圆上任意三点都可以构成三角形,但此题中随机截成的三段不一定能构成三角形.为了简便起见, 同样设所截的三段中L-(x+y)最长,

则试验的全部结果Ω:L-(x+y)>x

L-(x+y)>y

即2x+y

x+2y

图5

它所表示的区域是四边形OMPN的内部, 可得S四边形OMPN=L26. 若所截的三段能构成三角形,那么只需满足x+y>L-(x+y)即可, 则所截的三段能构成三角形的所有实验结果A：2x+y

x+2y

x+y>L2，它所表示的区域是图5中△PMN的内部且S△PMN=L224.故三段长可以构成三角形的概率P=S△PMNS四边形OMPN=14

4.约会型几何概型问题篇四

教案第十一编概率统计主备人张灵芝总第59期

§11.6 几何概型

基础自测

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为.答案 12

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.（第2题）（第5题）

答案 2

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是.答案 35

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）=.答案 13

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为.答案 16

例题精讲

例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=

103310=

410=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再

376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为927922=3281.14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

9281.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）=101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，180所以∠ACC′=302=75°，1590A=90-75=15，Ω=90，所以，P（D）=

16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=6024522=360020253600=

716.60377 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.答案 16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A=0.1升，Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=

AΩ=

0.12=

120=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）=

3090=

13.378 5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞y＜l2,x+l-x-y＞y

l2,y+l-x-y＞xx＜l2l2l2.故所求结果构成集合

l2A=(x,y)|xy,y,x.由图可知，所求概率为

1P（A）=A的面积Ω的面积=l22l22=14.2回顾总结

知识方法思想

课后作业

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是.答案 310

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是.答案 15

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是.答案 116

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为.379（第4题）(第7题)答案 1-2



S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是.答案 6

7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 172565”的概率为.二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142

14×122 cm

×12.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率

1P（A）=41412.21222=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.210.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

380 解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A=1-212×12×12=78，Ω =1，所以P（A）=

AΩ=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜3区间0，a的长度3区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==33.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2

(0,30)的长度(0，45)的长度=

23.12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=

912=

34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为

123222{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=

32=

5.古典概型教学反思1 篇五

《古典概型》是高中数学必修3第三章概率的第二节内容，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。一．教学设计反思

本节课我将“知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观”这三维目标结合在一起，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，使学生们理解并掌握了古典概型及其计算公式，会用会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。二．教学过程反思

通过两个试验：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成40次，最后由科代表汇总；(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由科代表汇总。学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题,归纳出基本事件及其计算公式。三．反思优点与不足

本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。在学生小组讨论时指导得不够到位，应该赋予学生更多的时间，给他们更多的自主权。

6.几何概型常见错误辨析篇六

例1, 已知直线l过点E (-1, 0) , l与圆C: (x-1) 2+y2=3相交于A、B两点, 则弦AB≥2的概率为____。

另一部分学生认为这道题应该用直线的倾斜角来算。

到底哪种方法正确呢?通过分析, 这道题的试验是过定点作直线, 用倾斜角是均匀的, 而斜率不能均匀, 不满足等可能性。如斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了, 这样前一种方法就错了。

笔者认为以上评析有三点需要纠正。其一, 解法二不能称“用直线的倾斜角来算”, 因为倾斜角的范围是[0°, 180°) , 而应该改成“用以射线EC为始边, 以射线EA为终边所形成的角”来算。其二, “斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了”, 也只有在直线已经过原点时才能这样说。其三, 解法一用直线的斜率作为所表示区域, 王波凤认为“斜率不能均匀, 不满足等可能性。”, 其实例1中直线l的斜率可以这样理解:

解法一错误的真正原因, 应该是选取的空间形成的区域不符合题意。因为根据题意, 直线l应该由过E点与射线EC成不同的角而得到, 并不是在圆C的切线DF上取不同的点而得到。所以纠正后的解法二是正确的。

下面的问题提醒我们要注意几何概型问题的另一类错误。

错因分析:

解法二:开头与解法一相同, 得到x+y=2cos (θ-60°) 后, 根据题意, 射线OC与OA成不同的角就能得到圆弧AB上不同的C点, 并且满足等可能性。所以选取角表示空间形式相应的区域。

著名科学家钱学森在1962年1月4日《中国青年报》刊文指出:“正确的结果, 是从大量错误中得出来的。没有大量错误做台阶, 也就登不上最后正确结果的高座。”。本文关于几何概型问题的两例错解, 确实为问题的正确结果起到了台阶作用。而判断基本事件在相应区域内是否可能出现, 以及选取的空间形式表示的区域是否符合题意则是解题的关键。

参考文献

7.几何概型测度的确定篇七

一般来讲，解决几何概型问题可以按以下几步骤进行:① 选择适当的角度观察随机试验的所有基本事件，将其视为一个个不同(位置)的点，这里要注意各个基本事件(点的位置)的发生(取得)应是等可能的;② 找出该试验中所有基本事件(点的位置)所对应(组成)的区域D;③ 找出随机事件A包含的基本事件所对应的区域d;④ 利用公式P(A)=d的测度D的测度来计算A的概率。

在上述过程中，找准测度是至关重要的一步。有时，随机试验中变化(不确定)的就是点的位置，如下面的例2、例4、例5，这样的问题本身就是几何问题，点的变化区域比较容易确定，其测度也比较容易计算。有时，随机试验中变化(不确定)的是代数量的取值，如下面的例1、例3，这样的问题需要经过转化，将代数问题几何化，即通过建数轴或平面直角坐标系或空间直角坐标系等，将代数量用点来表示，然后再确定点的变化区域及其测度。

一、一维区域

点的变化区域是线段，以线段的长度为测度。

例1 在某地铁站，每隔15分钟有一班列车发出，并且列车出发前在该站停靠3分钟。

(1) 求乘客到达站台后立即上车的概率;

(2) 求乘客到达站台后候车时间大于10分钟的概率。

分析时间(时刻、时段)是抽象的，可以将它表示(具体)为几何图形(点、线段)，这样便于分析和表达。图1

解设相邻两班列车到站时刻所对应的点分别为A，B，则线段AB表示两班列车到站相隔的时段，且AB=15。作出相应的图象，如图1。根据列车运行的周期性，可以认为乘客到站的时刻所对应的点等可能地落在AB上的任一点处。

设C为列车发出时刻所对应的点，由于列车到站后、出发前要停靠3分钟，则线段AC=3。

(1) 记“乘客到达站台后立即上车”为事件M，而当乘客到达的时刻t所对应的点落在AC上时，乘客就能立即上车，可知P(M)=ACAB=315=15。

(2) 记“乘客到站后候车时间大于10分钟”为事件N。而要使得事件N发生，乘客就要在列车出发出后与下班列车到来前的10分钟之间到达车站。如图1，设下班列车到来前10分钟的时刻所对应的点为D，则BD=

10，且当乘客到达的时刻t所对应的点落在CD上时，事件N就发生了，因此P(N)=CDAB=15-3-1015=215。

点评候车问题与时间变量的取值有关，可将时刻抽象为点，时段抽象成线段。因此单个时间变量的问题就可以抽象为一维几何概型问题。

二、二维区域

1。以平面图形的面积为测度

点的变化区域是平面封闭图形(限于同学们会求其面积的多边形和圆)内部。

图2

例2 如图2，一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，又留着被雨点打过的痕迹，请估计这个地图的面积。

分析可认为雨点打在木板上的位置是随机的。数出地图内有9个雨点痕迹，地图外有18个雨点痕迹，可用雨点落在地图内的频率来估计雨点落在地图内的概率，再用此概率来求地图的面积。

解由题意，雨点落在地图内的概率约为99+18=13，由于正方形木板的面积为1平方米，故所求地图的面积约为1×13=13(平方米)。

点评本题是一个几何问题，点在平面区域内随机地取位置。如果是已知地图的面积，要求雨点打在地图内的概率，那么这就是一个“典型”的几何概型问题。而本题是它的“逆向”问题，这是本题的特殊之处。实际上，本题为我们提供了一种“估计任意曲线所围成的图形的面积”的方法:用正方形围住这个图形，向正方形区域内抛掷大量散点，那么该图形的面积S=knA，其中k为曲线内的散点数，n为正方形内的散点数，A为正方形的面积。此方法叫作“蒙特卡洛方法”，可以通过计算机模拟来实现。

例3 汤姆和杰瑞两人约定在上午8∶00到9∶00之间在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即离去，试求两人能相遇的概率。(假设他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。)

解设 x和y分别表示上午8∶00以后9∶00以前两人到达约会地点的时间(以距8∶00的分钟数计)，则两人可能的到达时间可由点(x，y)来表示，且0

建立如图3所示的平面直角坐标系，则点(x，y)的所有可能的结果所对应的区域是图3中的边长为60的正方形。设“两人能会面”为事件A，为使他们相遇，图3他们的到达时刻之差必须在15分钟之内，这样两人能够会面的条件为|x-y|≤15。故能使两人会面的所有点(x，y)所对应的区域是图3中的阴影部分。故P(A)=602-452602=716。

点评会面问题涉及两个时间变量，它们都是一维变量，合在一起就是一个二维变量。因此可通过建立平面直角坐标系将其转化为二维几何概型问题。

2。以平面上的圆弧(或圆周)的长度为测度(等价于以圆心角的角度为测度)

点的变化区域是平面上的曲线段(限于同学们会求其长度的圆弧或圆周)。

例4 一个长与宽不等的长方形被其对角线分成四个区域，如图4。图4在这四个区域中分别涂上四种颜色，在两对角线的交点处装一个指针，使其可以自由转动。对指针停留位置的可能性，下列说法正确的是()

A。停留在四个区域内的可能性一样大

B。停留在蓝、白区域内的可能性大

C。停留在红、黄区域内的可能性大

D。由指针转动圈数决定

解指针的针尖不是等可能地停留在矩形内的任一点处，不能用面积作测度。实际上，指针的针尖等可能地停留在以矩形中心为圆心、指针长为半径的圆上的任一点处。因为同一个圆上的弧长之比等于对应圆心角之比，所以可选择角度作为测度(当然也可以弧长为测度)。因为蓝、白区域对应的圆心角比红、黄区域对应的圆心角大，所以指针停留在蓝、白区域内的概率大。选B。

点评本题中的基本事件为指针的位置，但指针不可以抽象为一个点，它是一条线段。和点不同，若线段在一个平面区域内自由选取，则很难求出其落在某个小区域的概率。但本题中对线段的活动作了一点限制，即它的一端固定在某个点处，也即它只能绕这端自由转动。这样问题就变得容易了，我们只要以指针的另一个端点为考察对象，以它的位置为基本事件即可(只要它确定了，指针的位置就确定了)。考察对象(随机变化的量)为有一定限制的线段(实质上仍是点)，这便是本题的特殊之处。

三、三维区域

点的变化区域是空间封闭几何体(限于同学们会求其体积的棱锥、棱柱、球等)内部，以空间几何体的体积为测度。

例5 用橡皮泥做成了一个直径为

6 cm的小球，假设橡皮泥中间不小心混入了一粒很小的沙粒，那么这个沙粒距球心不小于1 cm的概率是多少?

解设“沙粒距球心不小于1 cm”为事件A，球心为O，沙粒的位置为G，则事件A发生就是OG≥1 cm。沙粒可能落在的区域的体积D=43π×33=36π(cm3)。而事件A发生时，沙粒可能落在的区域的体积d=43π×33-43π×13=1043π(cm3)。故P(A)=dD=2627。

类似地，如果遇到三个一维变量在一定范围内随机变化的问题，则可建立空间直角坐标系将其转化为三维几何概型问题。这里不再举例。

综上，解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象(随机变化的量)和其活动范围(随机变化的范围)。常见(可抽象为)的情形有:点在线段上活动，点在平面区域内活动，点在空间区域内活动，点在圆弧(曲线的一种)上活动，点在球面(曲面的一种)上活动。

遇到线段或平面图形在平面区域或空间区域内活动的问题时，一般题设都会对线段或平面区域作一定的限制，要么过定点(即只能旋转)，要么定方向(即只能平移)，等等，这时其实只要考察该线段或平面图形上的某个点，弄清它的活动范围即可。

如果遇到两个点(三个点也不难)分别在线段上自由活动的问题，我们可以把它转化为一个点在矩形区域内自由活动的问题，如例3。但如果两个点分别在圆弧上自由活动呢?情况则稍复杂些。

例6 在圆上任取两点作弦，求弦长小于半径的概率。

解法一圆是两端相接的线段，故可设其上任一点O为原点，且设其上任一点按顺时针(或逆时针)方向到原点的弧长为该点的坐标。在圆上任取两点A，B，图5设A，B的坐标分别为x，y，则0≤x，y<2πr(r为圆的半径)。

要使弦AB小于半径，则|x-y|<13πr或|x-y|>53πr。建立平面直角坐标系xOy，用平面上的点表示x，y的取值，如图5。可知所求概率为(2πr)2-2πr-13πr2+13πr2(2πr)2=13。 

解法二圆上两点将圆分成了两段(若分线段则成三段)，设两段弧长分别为x，y，则x+y=2πr且x，y≥0，也即0≤x≤2πr，y=2πr-x。要使弦AB小于半径，则x<13πr或y<13πr，亦即x<13πr或x>53πr。可知所求概率为(13πr-0)+(2πr-53πr)2πr=13。

解法三有两个点在圆上自由活动(随机地取位置)，考虑固定一个点。在一个点固定、另一个点在圆上自由活动的情况下，过这两点的弦要小于半径，则动点应在定点左、右各13πr弧长距离的范围内移动，这段弧的长度为23πr，所以其概率为23πr2πr=13。又当定点换到任何其他位置时，这一概率都是13不变。故所求概率为13。

巩固练习

1。一只小蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，那么任意时刻该小蚂蚁距离三角形三个顶点的距离都大于1的概率是多少?

2。已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在该正三棱锥内任取一点D，求D到底面的距离小于h3的概率。

3。如右图，P为半圆圆弧上的任一点，Q为P在直径AB上的射影，

分别求在下列条件下AP的长度不超过半径OA的概率。

(1) Q在线段AB上的每一点处的可能性相等;

(2) P在半圆圆弧上的每一个点处的可能性相等。

8.对一道几何概型概率题的探究篇八

例若函数[y=k（x+1）]的图象上存在点[x，y]满足约束条件[x-y+3≥0，3x-y-3≤0，y≥3，]则函数[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+][（y-3）2=2]有公共点的概率为（）

A. [12] B. [34]

C. [3-12] D. [3+14]

解法1 记样本空间为[Ω]，“函数[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点”为事件[A]，

根据数形结合，[y=k（x+1）]可以理解为平面直角坐标系中过定点[（-1，0）]的动直线，

要使[y=k（x+1）]的图象上存在点满足约束条件，只需[k∈33，3]即可，

而欲使[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点（如下图所示），

只需[5k-31+k2≤2?723≤k≤1.]

因此，[Ω=k33≤k≤3，][A=k33≤k≤1.]

故[P=1-333-33=3-12].

解法2 从直线[y=k（x+1）]倾斜角的角度可知，

要使[y=k（x+1）]的图象上存在点满足约束条件，只需[α∈][π6，π3，]

而欲使[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共点，

只需[α∈][π6，π4]，

所以[P=π4-π6π3-π6=12].

以上两种解法看似都正确，这使得很多同学感到困惑，其实也有一部分老师把它简单地归结为“等可能的角度不同，概率的结果也不同”，但是笔者认为：一个概率问题只会有一个结果，既然结果不同，那么它们一定是不同的问题.

问题探究，追本溯源

为了解决其中的疑虑，最好的方法是回归教材，因为教材是教学最直接的依据，只有透彻准确地理解教材，困惑才能迎刃而解！

解法1中试验的全部结果构成的区域为[Ω=k33≤k≤3，]满足条件[y=k（x+1）]的图象与圆[（x-4）2][+（y-3）2=2]有公共点的基本事件构成的区域为[A=k33≤k≤1，]由几何概型的概率公式得，[P=1-333-33=3-12.]

而解法2中基本事件角[α]在[0，π，2]上不是均匀分布的，即基本事件角[α]不是等可能发生的.

人教A版必修3教师用书第117页阐述：

“均匀分布是一种常用的连续型分布，它来源于几何概型”，这说明几何概型研究的是均匀分布的连续型随机变量.

“值得注意的是，由计算机不能直接产生区间[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到；如果[X]是区间[0，1]上的均匀随机数，则[a+（b-a）X]就是区间[a，b]上的均匀随机数.”

解法1中的[33，3]上的随机数[k]，与解法2中在区间[π6，π3]上的随机数[α]之间的关系为：[k=tanα.] 它们不是线性关系，所以解法2中区间[π6，π3]上的随机数[α]不是均匀分布的，反之亦然，故解法2是错误的.

应用举例，融会贯通

变式边长为1的正方形[ABCD]的顶点[A，][D]分别在[x]轴、[y]轴的正半轴上移动，求[OB?OC≥1+32]的概率.

解析过[B]作[BE⊥x]轴于点[E]，过[C]作[CF⊥y]轴于点[F]，记样本空间为[Ω]，“[OB?OC≥1+32]”为事件[A].

设[OA=a]，则[BE=DF=a].

因为[A，][D]分别在[x]轴、[y]轴的正半轴上移动，

所以[a∈（0，1）].

易求得[AE=OD=CF=1-a2]，[OE=a+1-a2].

[∴B（a+1-a2，a）].

同理可得，[C（1-a2，a+1-a2）].

则[OB?OC=（a+1-a2，a）?（1-a2，a+1-a2）]

[=1+2a1-a2].

欲使[OB?OC≥1+32，]只需[1+2a1-a2][≥1+32.]

[?16a4-16a2+3≤0，]

[?12≤a≤32].

因此，[Ω=a0

由几何概型公式可得，[P（A）=32-121-0=3-12].

点拨当点[A]在[x]轴上等可能移动，此时点[D]在[y]轴上跟着等可能移动，因此点[A]在[x]轴[（0，1）]上是均匀分布的，所以设出[OA=a]计算是正确的.

归纳总结

9.例谈高中概率的古典概型问题篇九

一、深刻理解古典概型的定义和特点

【例1】把长为6米的一根铁丝分成3段,如果每段铁丝长都为整数,求能构成一个三角形的概率.这就是典型的古典概型数学题.描述古典概型定义应具备三个条件:(1)所有可能发生的基本事件至少有一个;(2)每个基本事件发生的可能性相同;(3)在任意一次试验中至多有一个发生.具有以上特点的概型称为古典概型或等可能概型.从上述条件看出,古典概型具有完备性、等可能性、互不相容性三个特点.而做这道题时,最容易出现的错误就是对条件(2)的认识不足.错误解法:分成3段的长度的基本事件有3种情况:(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2).其中能构成三角形的只有1种,即(2,2,2).因此,所求概率P=1/3.造成这个错误的原因,就在于对古典概型基本事件的认识不足,错误地认为基本事件只有3种,但是这3种情况并不是等可能的.如:(1,1,4)长度确实只有1种,但是分段的方法有3种可能,而分成(2,2,2)这种情况却只有1种情况.所以这道题目正确的解法应该如下.

方法一:分成3段长度均为整数的方法有(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1),(2,1,3)(3,2,1),(3,1,2),(2,2,2).共有10种可能.因此,所求概率P=1/10.

方法二:如果从另一个方面分析,用排列组合的方法解答就更容易理解.铁丝长度6就相当于1条6个单位的线段,除去两个端点,还有5个整数点,要截成3段,就是要从5个点当中选取2个点作为截断点,一共有C52=10种方法.而构成三角形只有从2、4处截取.因此,所求概率P=1/10.

在解答这道题时,有许多学生在没有提示的情况下会出现错误解答.导致错误解答的原因,从表面来看是对基本事件的错误认识,但从深层而来看,是混淆了有序事件和无序事件,即这个例题中的基本事件是要有顺序的.如(1,2,3)和(3,2,1)是不同的基本事件,而不是相同的基本事件.如果再深入研究将有序事件看成无序事件的本质原因,就是没有深入理解古典概型的定义,特别是对古典概型的第二个条件理解不够.

二、掌握古典概型的实质

理解古典概型问题的核心就是对基本事件的确认.在此基础上,再运用分类原理和分步原理求解基本事件总数和指定事件包含的基本事件的个数.有些学生认为,概率的求解就等同于排列、组合知识的应用.这肯定是不对的.但是如果能够将基本事件从比较复杂的形式变为相对简单的形式,就可以帮助我们更准确地把握古典概率的实质.

【例2】把12个人平均分成两组,每组任意指定正、副组长各1名,求12个人当中的甲被指定为组长的概率是多少?在此题中,如果把这12人平均分成两组,每组任意指定正、副组长各一名看作基本事件,这样的基本事件非常烦琐,从而会严重影响到对题目的理解.而我们如果换个角度看问题,此题就容易解决.在此题中,12个人排12个位置,其中首尾两个位置看作特殊位置,(一般可以任意指定两位置担任正组长)设基本事件总数为A,而甲任组长的事件(即甲在特殊位置的排法)为C21A1111,所求概率P=(C21A1111)/A1212=2/12=1/6.继续上面的思路,整个问题中只有甲作为特殊元素出现,所以我们只需主要关注元素甲,即把基本事件定义为从12个位置中选1个给甲,其基本事件总数为C,此时甲任组长的事件(即排在特殊位置的排法)为C112,所以所求概率P=C21/C112=2/12=1/6.

10.用古典概型解决生活中的问题篇十

关键词：古典概型；生活问题；事件总数

2008年，学校由于种种原因，决定将初二（3）班的学生安排到其他班级去，由于班级的任课教师不同，家长的要求也不相同。为了公平起见，学校把学生家长集中起来，让学生家长抓阄来决定孩子最终的班级。

问题1，大家都想第一个抓，而且最后抓的心里觉得不公平，事实上学校可达预期的效果。

问题2，是不是第几个抓的可能性都一样呢？

上述这种情形在我们的现实生活中还是很多的，比如，买彩票、抛骰子等。其实要想解决上述问题，只要有一定的数学知识作基础，上述问题就可以迎刃而解了，它们统统可以归结为古典

概型。

要想了解古典概型必须先知道以下知识：

①随机实验满足三点：

ⅰ实验前知道实验所有可能的结果。

ⅱ每一个结果的出现都是等可能的。

ⅲ实验前不知道哪个结果出现。

抛骰子就是一个随机实验，骰子有6个面，抛之前谁也不知会是哪个出现，而且每一个点数出现的机会都是一样的，而所有结果也不过是1，2，3，4，5，6。所以，结果我们事先是知道的，它满足上述3个条件，那么它就是随机试验。

②样本空间：随机实验的所有结果的集合。

③样本点：随机实验的一个结果。

比如抛骰子的样本空间是（1，2，3，4，5，6），其中5就是一个样本点。

④事件的发生：事件的一个样本点出现则称事件发生。

比如事件A=“抛一下骰子点数是偶数”={2，4，6}，2，4，6，分别是事件A的样本点，如果抛一下骰子出现的是2，就说事件A发生了。

⑤古典概型滿足三点：

ⅰ实验的结果是有限的。

ⅱ实验前不知道哪个结果出现。

ⅲ每一个结果的出现都是等可能的。

古典概型的概率计算公式：

P（A）=

比如“抛骰子”就是古典概型，求抛一下骰子求点数是偶数的概率，因为实验结果可能有1，2，3，4，5，6所以基本事件总数是6，因为要求点数是偶数的概率，而满足条件的有点数2、点数4、点数6，所以满足条件的事件数是3。

P（抛一下骰子求点数是偶数的概率）=3/6=1/2

对于本文一开始的问题，要想做到公平公正，首先在准备工作上要保证每个阄都一样，而且要放在一个不透明的容器里，这样才能确保每个阄被抓的机会一样，而且事先也不知哪个被抓到，这样就使得我们的抓阄是一个古典概型。上述是将3班分了，所以我们的阄就是1班2班4班5班6班7班8班9班10班11班这10个阄，每个家长抓到每个阄的可能性是等可能的，第一个抓也有可能抓到这10个阄的任意一个，所以事件基本总数是10，抓到1班的概率是1/10，抓到8班的概率也是1/10，无论是哪个班级概率都是1/10。即使是最后一个抓的，他也有可能抓到这10个班的任意一个，所以事件基本总数是10，抓到1班的概率是1/10，抓到8班的概率也是1/10，无论是哪个班级概率都是1/10。所以方法还是很公平的，如果是阄的制作不是很规范，或者容器有点透明，那就另当别论了。只要前期工作做到位了，别人也就没有怨言了。

像上述类似的情况在我们生活中还是很多的，只要把它们归结到古典概型上，那么所有的问题都可以作类似的解释。比如，抽奖、抽签等等。

在学校就要把这种思想交给我们的学生，但是我们了解到学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐观。学生在数学应用能力上存在的一些问题：（1）数学阅读能力差，误解题意。（2）数学建模方法需要提高。（3）数学应用意识不尽如人意，数学建模意识很有待加强。

（作者单位安徽省蚌埠市第九中学）