高中几何基本定理

高中几何基本定理（共14篇）

1.高中几何基本定理 篇一

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)

2、射影定理(欧几里得定理)

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是

D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三 边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

2.高中几何基本定理 篇二

所谓的拟人解剖理解法, 就是先把定理拟人化.其实, 很多定理都可以看作是一个个动画故事.比如, 教师在引导学生学习“对顶角相等”这个定理时, 可以给此定理创设这样的故事场景:两根会动的竹竿, 孙竹竿和猪竹竿 (可以设想是孙悟空的猪八戒变成的) 在草地上玩, 累了交叉躺在那里 (把图画出来) , 他们形成的多少个锐角中?形成的四个锐角中, ∠1和∠3相对顶, ∠2和∠4相对顶, 那么∠1和∠3谁大谁小?∠2和∠4谁大谁小?接下来, 我们就可以通过邻补角来证明∠1=∠3、∠2=∠4.学习了“对顶角相等”这个定理, 接下来就要学习“两直线平行, 内错角相等”, 在授课时, 可以顺着往下创设故事场景:后来孙竹竿和猪竹竿在草地上平行地躺着, 这时沙僧来了, 也变成一根竹竿, 横躺在他们的身上……这就创设出内错角、同位角和同旁内角, 从而引出它们之间的关系.

把定理通过创设故事场景进行拟人化之后, 更关键的是解剖这个故事 (定理) , 通过解剖让学生明白定理的“主”和“谓”, 也就是我们语文句子的“主语”和“谓语”.那怎么解剖更好呢?解剖的方法可以通过三问来完成.一问:主人公是哪几个?二问:他们做什么?三问:结果怎么样?就如上面的定理———对顶角相等, 主人公是孙竹竿和猪竹竿 (两直线) , 他们交叉躺 (相交) , 结果对顶角相等.连成句子就是:两直线相交, 形成的对顶角相等.这里“两直线”是主语, “相交”是谓语, “对顶角”是主语, “相等”是谓语.

如果觉得定理拟人化牵强, 可以直接解剖定理, 解剖的方法也同样可以通过上面的三问来完成.例如, 定理“全等三角形的对应角相等”, 一问:主人公是哪几个? (两个三角形) .二问:他们做什么? (重叠时完全重合) .三问:结果怎么样? (对应的角相等) .又比如“垂径定理”, 一问的主人公是“两条弦”.二问的答案是“他们垂直相交且有一条经过圆心 (过心弦) ”.三问的结果是“未经过圆心的弦 (离心弦) 被平分, 它所对的两条弧也被平分”.通过这样三问式的解剖, 学生对定理的理解应该更深更透了.接下来, 我们可以用“列组记忆法”来记定理了.

“列组记忆法”主要是两步:一是“列”, 二是“组”.“列”就是把解剖定理的三问中的第二问和第三问的关键词 (元素) 列出来.“组”就是将列出来的这些“元素”组合成“前题”和“结论”.例如“垂径定理”的二问和三问中的元素是:垂直相交、过心弦、平分离心弦、平分离心弦对弧.用这四个元素的其中两个作题设, 用另两个作结论 (我们简称为“二因二果”, 也就是由两个条件推得出两个结果) , 还可以列组成五个命题, 分别是“垂直相交、平分离心弦, 则过心弦平分离心弦对弧”;“垂直相交、平分离心弦对弧, 则过心弦平分离心弦”;“过心弦平分离心弦, 则垂直相交、平分离心弦对弧”;“过心弦平分离心弦对弧, 则垂直相交、平分离心弦”;“平分离心弦、平分离心弦对弧, 则垂直相交、过心弦”.这五个命题都是真命题, 也就是“垂径定理”的推论.因此, 只要理解了定理, 记住这四个元素及其组合方法 (二因二果) , 也就记住了“垂径定理”及其推论.

用“列组”的方法来分类定理, 可以把定理分成一因一果、一因二果、一因多果、二因一果、二因二果、多因一果等类型.例如, 勾股定理就是一因一果;同圆等圆的性质定理“圆心角相等、对弧相等、对弦相等”就是一因二果;平行四边形的性质判定“两对边分别平行、两对角分别相等、对角线相平分、两对边分别相等、一对边平行且相等”就一因多果;切线的判定性质“是半径、互相垂直、是切线”就是二因一果;而“垂径定理”及其推论就是二因二果;全等三角形的判定“SAS”等就是多因一果.

“列组记忆法”最主要的优点是把定理和定理的推论、定理的逆定理都列组在一起.除此外, 还可以把相关的定理列组在一起.例如, 有关圆周角的定理:“在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 相等的圆周角所对的弧相等.”这个定理可以列组到同圆等圆的性质定理中去, 也就是在“圆心角相等、对弧相等、对弦相等”中增加“圆周角相等”这个元素, 组成了一个“一因三果”的定理.又如, 把“等腰三角形的性质判定”和“等腰梯形的性质判定”列组在一起, 也就是“等边、等角、中位线平行底边”, 这就列组成一个“一因二果”的定理.通过这样把相关的定理列组在一起, 不仅便于学生记忆, 更主要的是学生在运用定理时, 能想到相关的条件因素, 从而更快地打开解题思路.

3.高中几何基本定理 篇三

数学教师在教学上经常会遇到很多困难，特别在农村初中。其中比较突出的是有较多学生对几何定理的理解运用感到困难，思考时目的性不明确。本文针对这些情况，提出了以下教学方法供大家参考。

一、对几何定理概念的理解

我认为能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。

例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

三写：能用符号语言表达。如：∵△ABC是RT△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

二、对几何定理的推理模式

从学生反馈的问题看，多数学生觉得几何抽象还在于几

何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

① 条件 → 结论 → 新结论（结论推新结论式） ② 新结论（多个结论推新结论式） ③ 新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

三、组合几何定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。下面通过一例来

说明这一步骤的实施。

例：已知，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线 AC与 BD 相交于E，且 AB ＝ AE·AC，BD＝ 8。求△BAD的面积。

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质 →证相似 →相似三角形性质 →垂径定理 →勾股定理 →三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。

四、联想几何定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形可以引发联想，对于识图或想象力较差的学生我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：⊙O1和⊙O2相交于B,C两点，AB是⊙O1 的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

4.部分课外平面几何定理证明 篇四

一.四点共圆

很有用的定理，下面的定理证明中部分会用到这个，这也是我把它放在第一个的原因。

这个定理根据区域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，据笔者所知，北京中考是可以直接用的。其余的还是问问老师比较好。起码在选择题是大有用处的。

二.三角形三垂线交于一点

四点共圆的一次运用。很多人都知道三垂线交于一点，在这里给出证明

三．三角形垂心是连接三垂直所得到新三角新的内心

由三角形的三垂线可得多组四点共圆，一般有垂心的题都离不开四点共圆。

估计这个结论在中考是不能直接用的，如果地区允许四点共圆的话稍微证一下就行了。

四．圆幂定理（在这里只是一部分）

·为割线定理、切割线定理于相交弦定理的总称。

这个应该是很多地方都允许用的，如果不能用的话也是稍微证一下就行了。

五．射影定理（欧几里得定理）

什么也不说了，初中几何里应该是比较常用的。目测考试随便用

六．三角形切线长公式

·已知三角形三边长可求内切圆切点到顶点距离

可能是做的题比较少吧，很少见有这样的中考题。推导也是很简单的。

七．广勾股定理

估计中考允许用的地方不多，除非你那允许“引理”这货

八．弦切角定理

很简单，估计每个地方都允许的。就算不把它当定理，自己也能发现这个结论

九．燕尾定理（共边比例定理）

面积法思想，出现中点时可以用来证线段相等（例如下一个，重心），另外用于比例也是挺好使的。

中考的时候，直接用的话估计老师会认为你跳跃度太大，考虑的时候想到这个，证明的时候用面积法就行了。

十．海伦公式

已知三角形三边可求其面积，可用余弦定理和正弦求面积公式推导，但余弦定理是高中知识（在后面会放出

来）所以不用在这里。另外公式里带根号，若三边中有根号的配凑一下应该可以开根。这里是海伦公式的一个探讨，推广至n边形面积。在第五页有海伦公式的各种变形，其中变形⑤的个边带有平方，可以解决边长带根号的问题，缺点是过于冗繁。吧友可以根据自己的情况进行探讨。

中考嘛，一直不是很喜欢，过多的限制，不能发挥自己的能力。这个公式就不推荐考试的时候用了。

十一．重心

三中线交于一点。同垂心

十二．重心定理：重心把中线分为2:1两部分。

总的来说这些定理考试能用否得问老师，不能用的话，作平行线把推导过程代进证明过程就算是侧面使用定理了，肯定不会扣分的。

十三．欧拉线

由重心定理简单得出

估计中考题都不会考共线神马的（起码广东这地方是不会考的）。

十四．托勒密定理

很好用的一个竞赛定理。中考填空就能用这个解，作垂线设方程就得出来了，其他人还向外做了正三角形神马的。所以个人感觉了解多点知识对于考试或对于兴趣都是挺好的

十五．余弦定理

十六．正弦定理

十七．赛瓦定理（ceva定理）

十八．梅涅劳斯定理（简称梅氏定理menelaus定理）

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

十九．调和点列

二十．中线定理

·表述了三角形三边与中线长的关系

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系： AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2 或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2

二十一．角平分线定理

·角平分线的比例性质

二十二．九点共园定理（欧拉圆、费尔巴赫圆）

三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆

二十三．张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理： 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。

定理的推论：

在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

二十四．蝴蝶定理

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

二十五．清宫定理

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

二十六．西姆松定理（cave定理）

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

二十七．角元塞瓦定理

设P为平面上一点（不在AB、BC、AC三条直线上），且（sinBAP/sinPAC）（sinACP/sinPCB）（sinCBP/sinPBA）=1则AD、BE、CF三线共点或互相平行． 推论若所引的三条线段都在△ABC 内部，则这三条直线共点。

【暂时缺图】

二十八．莫利定理

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

二十九．斯坦纳定理

如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形

三十．斯台沃特定理（斯氏定理）

任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，联结AD，则有：AB^2×CD+AC^2×BD=(AD^2+BD×DC)×BC 也可以有另一种表达形式：设BD=u，DC=v，则有：AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv

三十一．笛沙格定理

平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

三十二．牛顿定理

牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

5.高中几何基本定理 篇五

一、线与角

1、两点之间，线段最短

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线

3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等

4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

5、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

6、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行

7、平行线的特征：

（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补

8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形

10、三角形中的有关公理、定理：

（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角③三角形的外角和等于360°

（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

（3）三角形的任何两边的和大于第三边

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

11、多边形中的有关公理、定理：

（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°

（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°

（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=22、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分

13、等腰三角形中的有关公理、定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

（5）三边都相等的三角形叫做等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形

14、直角三角形的有关公理、定理：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

三、特殊四边形

15、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分.16、平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、平行线之间的距离处处相等

18、矩形的性质：

（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分

19、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形

20、菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

21、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

22、正方形的性质：

（1）正方形的四个角都是直角（2）正方形的四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

23、正方形的判定：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形

（3）两条对角线垂直的矩形是正方形

（4）两条对角线相等的菱形是正方形

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

24、等腰梯形的判定：

（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质：

（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

（2）等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半

四、相似形与全等形

27、相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应边成比例（2）相似多边形的对应角相等

（3）相似多边形周长的比等于相似比

（4）相似多边形的面积比等于相似比的平方

（5）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方

28、相似三角形的判定：

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

29、全等多边形的对应边、对应角分别相等

30、全等三角形的判定：

（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）

（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.A.S.）

（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.)

（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）

（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（H.L.）

五、圆

31、（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；

（3）90°的圆周角所对的弦是圆的直径

32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等

33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆

34、（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）圆的切线垂直于过切点的半径

35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角

36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

37、垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

六、变换

37、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

38、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.39、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等

40、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

6.高中几何基本定理 篇六

证明:

( 1) 设点P为球O内一点,过点P作直线分别交球于A,B,C,D,E,F……. 则面ABCD,面ABEF,面CDEF,……分别与球O相交,且相交线为一个圆.

因为面ABCD交球O得一个圆.

根据相交弦定理得: PA·PB =PC·PD

因为面ABEF交球O得一个圆.

根据相交弦定理得: PA·PB = PE·PF.

因为面CDEF交球O得一个圆.

根据相交弦定理得:

PC·PD = PE·PF.

自点P引直线过球心点0,交球于点G,H,令PH > PG,

则: PH = OP + R,PG = R - OP.

因为面ABGH交球O得一个圆,根据相交弦定理得,

根据相交弦定理得,PA·PB = PH·PG = ( R + OP) ( R - OP) = R2- OP2.

因为点P在球内所以R > OP,即R2- OP2> 0.

即 PA· PB = PC · PD = PE·PF = PG·PF = … =R2- OP2.

也就是说在球内的一点引一条直线与球相交于两点.这点与球两个交点线段的长度的乘积为一定值. 大小为( 球半径的平方) 与( 该点与球心距离的平方) 的差.

( 2) 设点P在球上. 则OP = R,OP2- R2= 0,根据球幂定义,恒为零.

( 3) 设点P在球外. 自点P引切线交球O于T,

自点P引割线交球O于A1B1,C1D1,E1F1…….

因为直线PT与球O相切

( 点T,A1,B1,C1,D1,E1,F1共球)

所以:

直线PT与( 球O与面PTA1B1相交的圆) 相切.

直线PT与( 球O与面PTC1D1相交的圆) 相切.

直线PT与( 球O与面PTE1F1相交的圆) 相切.

根据切割线定理,得:

自点P引直线过球心点0,交球于点G1,H1,设PH >PG,则PH1= R + OP,PG1= OP - R.

根据切割线定理,则PT2= PH·PG = OP2- R2,

因为点P在球外,则OP > R即OP2- R2> 0.

( 4) 点P在球O的外部,自点引割线交球O于点A2B2,C2D2,E2F2…….

因为任意平面与球相交的曲线都是圆.

所以面A2B2C2D2交球O的曲线是圆.

面A2B2E2F2交球O的曲线是圆.

面C2D2E2F2交球O的曲线是圆.

( 点A2B2C2D2E2F2共球)

根据割线定理,则

PA2·PB2= PC2·PD2PA2·PB2= PE2·P2FPC2·PD2= PE2·PF…….

自点P引直线过球心,交球于点G2 ,H2. 设PH2> PG2,

则PH2= OP + R,PG2= OP - R.

因为面A2B2G2H2交球O的曲线是圆,则根据割线定理

因为点P在球外,则OP > R,即OP2- R2> 0.

根据( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 得,在三维空间中,空间中的一点,与球的球心的距离,( 设为d) ( 设球的半径为R) ,自该点任意引直线交球于两点.

则该点与两交点的距离乘积恒为定值. 大小为( d2-R2) .

圆幂定理是球幂定理,在一个平面中的特例.

若该点在球内,则该点的球幂为负.

在球上,恒为零.

在球外,球幂为正.

7.《平面向量基本定理》教案 篇七

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

8.高中几何基本定理 篇八

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D

是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大

小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与

圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝3，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圆

O的直径为4.tan ∠AOP答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

9.高中几何基本定理 篇九

一、圆柱中的最短距离问题

沿圆柱体表面绕行的最短距离问题可以利用圆柱体的侧面展开图求解.这类问题一般有实际背景,学生在解题时要注意审题,读出隐含的限制条件.

【例1】如图1,一个圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.

二、长方体中的最短距离问题

长方体的长、宽、高各不相等时,各个面就不一样,从长方体表面一点绕行到另一点的走法也就不唯一.学生在解决长方体中的最短距离问题时,往往会对可能出现的情形考虑不全面,导致漏解.

【例2】如图3,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处,若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇?这时,蜘蛛走过的路程是多少厘米?

三、台阶中的最短距离问题

台阶中的最短距离问题是利用勾股定理求几何体最值问题的基本题型,将立体图形展开成平面图形是解决这类问题的最有效、最直接的方法.

【例3】如图7,一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别是55cm、10cm、6cm,A,B两点是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃食物,那么这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶爬到B点的最短距离是多少?

解析:准确画出展开图是解决这道题的关键.如图8,根据题意,可求出AC=3×(10+6)=48cm,BC=55cm.利用勾股定理,在直角三角形ACB中,,所以蚂蚁爬行的最短距离是73cm.

10.高中几何基本定理 篇十

一．自学达标： 1．共线向量定理：

2．共面向量定理：

3．空间向量分解定理:

,b,

4．ac可作空间的基底的充要条件是：

5．已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA

1B1C1D1,AB1c，试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB

1二．例题精选：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，设

ABa,ACb,AA

1c，M,N分别为AC1 ,BC中点，证明：（1）MN，a,

c共面

（2〕证明：MN

A1B

例2：空间四边形中，OAa,OBb,OC

c，M,N分别

为OA,BC中点，G在MN上，NG2GM，用基底

{a,b,c}表示MN，OG

三．达标练习：

1．下列命题正确的是（）



A．若a与b共线，b与c共线，则a与ca共线



B．向量、b、c共面即它们所在的直线共面

Ｃ．零向量没有确定的方向b

Ｄ．若a，则存在唯一的实数，使ab

2.设空间四点O、A、B、P，满足OPmOAnOB，其中

mn1，则（）

A.P在直线AB上B.P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对

3.①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知

ab，则a，b

与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN

不能构成空



间的一个基底，则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空



c间的一个基底，若ma，则{a,b,c,m}

也是空间的一个基底。其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

{a,b,

4．若c}是一组基底，则xyz0是

xaybzc的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在B和D11

1B1D上，且BE3B1B，DF3

D1D。

（1）证明A,E,C1,F四点共面；

（2）若EFxAByADz

AA1，求xyz

自助餐：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有OPxOAyOBzOC

11.高中几何基本定理 篇十一

建水县第二中学：

贾雪光

 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin(AB)sinC、cosAB2sinC的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如：

1、在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A1212sin2A，a7求△ABC的面积的最大值；

2、已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：

a2bc2bccosA, 2

2b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2c22bc，a2c22ac，b2a22ab在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：a22bc(1cosA),b22ac(1cosC)

c22ab(1cosc)于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；

二、导函数；

三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：

例1：在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A12sin2A，a7求△ABC的面积的最大值。

解析：由已知条件cos2A得A=312sin2A有cos2Asin2A12即cos2A212所以知道2A=

323解，同时由于a2b2c22bccosA、b2c22bc知7b2c22bccos1212 即有：72bcbc也就是有bc7 同时又因为SABC734734bcsinAbcsin312732于是有：SABC即△ABC的面积的最大值是

例2：已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求

2角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

解析：由两向量共线知：2sin2A3cosAsinA3即：1cos2A3sin2A3也就是说

3sin2Acos2A2有辅助角公式可知2sin(2A6)2即有sin(2A6)1解得角A3，又由于：a2b2c22bccosA、b2c22bc知22b2c22bccos即有：42bcbc也就是有bc4 同时又因为SABC43412123

1232bcsinAbcsin34

于是有：SABC 3即△ABC的面积的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。

解析：（1）由MN72解得cosA12所以A3

3A222（2）在△ABC 中abc2bccosA且a3bc2bc22所以有32bc2bccos223bcbc22即有bc3当且仅当bc时取等号，此时有abc所以当

△ABC面积最大时，三角形式正三角形。

12.高中几何基本定理 篇十二

1 与“平面向量基本定理”教学相关的高等数学背景综述

1.1 向量理论是线性代数的理论基础,而线性代数是研究科技问题的重要数学工具

我们知道高中阶段数学学习是为学生进入高校学习服务的,高中阶段学习的很多内容都与大学阶段学习的数学内容有着重要的联系,是学习它们的基础,因此,高中数学教学必须站在高等数学的高度来审视教学的内容,用高观点来指导教学,这样,高中数学教学才能高屋建瓴,才能更为深刻.向量这一章的学习内容虽然是由物理学中的矢量引入,但是在它进入数学研究领域之后,有关它的理论研究却更为深刻,高等数学中的线性代数(Linear Algebra)的理论基础,一部分就来自于对向量及向量空间的研究.

线性代数做为数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组.线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中.线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论.由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或近似转化为线性问题,因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具.由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为理工类学科必备的数学基础.因此线性代数成为高等院校一些专业的重要数学基础课.

线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量.三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价的表达.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见,向量空间及其理论是构成线性代数基本理论的基石,向量理论中有一些重要的概念,其中包括极大线性无关组概念.

1.2“平面向量基本定理”是极大线性无关组定理的二维特例

文[1]给出如下定理:设向量组A:a1,a2,…,am线性无关,而向量组B:a1,a2,…,am,b线性相关,向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.

定义 如果n维向量组A:a1,a2,…,as中的一个线性无关的部分组A0:aj1,aj2,…,ajr(r≤s),r已达到最大可能,即如果除这r个向量以外向量组还有其他向量,那么任意r+1个向量构成的部分组均线性相关,则A0称为向量组A的极大无关组.一个向量组的极大无关组一般不唯一,但极大无关组所含向量的个数r是唯一确定的.极大无关组A0相当于向量组A的“代表”,因为向量组A的任一个向量都可由A0唯一表示,讨论向量组A的性质就转化为对A0的讨论,达到简化的目的.若记全体n维向量构成的向量组为Rn,显然,n个线性无关的n维向量都是Rn的极大无关组,其中n维单位坐标向量e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T构成的向量组也是Rn的一个极大无关组.

现行教材中对平面向量基本定理的表述如下:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(文[2]).我们可以取二维单位向量e1=(1,0),e2=(0,1),作好为基底(二维极大无关组).

对照以上的定理、定义可以知道,“平面向量基本定理”只是n维向量空间中关于极大无关组内容的一个特例.“平面向量基本定理”中的“e1,e2是同一平面内不共线的两个向量”表明e1,e2是二维向量空间的一个极大无关组,按照极大线性无关组的定义及定理,“平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使得a=λ1e1+λ2e2”显然成立.

高中阶段的数学教学必须为学生进入高校后的数学学习打好基础,从向量空间的角度来说,平面向量基本定理所涉及的内容是二维向量空间,它的几何背景就是学生最为熟悉的平面,平面向量在平面基底上的线性分解是有其物理学模型的,即力、速度、位移等的分解,这些都使得学生更易理解二维平面的线性相关,通过以上理论分析,我们可以知道,学生理解了平面向量基本定理,再学习后续空间向量基本定理以及n维向量空间中关于极大无关组内容时,就有了知识依托,利于他们后续知识的学习.所以我们必须正确地认识平面向量基本定理的教学的这个作用,使这一部分的教学真正能够发挥它的教育功效.

2“平面向量基本定理”在高中数学中的地位

2.1“平面向量基本定理”与高中数学其他内容的联系

“平面向量基本定理”是沟通“一维”与“三维”的桥梁,在学习这个定理之前,学生已经学习了“共线向量定理”:共线的向量有无数多个,在“选定一个非零向量a”的前提下,其他向量b均可用a唯一表示,即存在唯一的实数λ,使得b=λa成立.这样,共线的所有向量的运算都可以转化为向量a的运算.这是一维(直线)的情形,教学中可以由这个定理类比过渡到到二维(平面)的情形,可引导学生进行探究,学生理解了“平面向量基本定理”,可以深化对“共线向量定理”的认识,同时,利用升维类比,可以在后续学习中引导学生探讨三维(空间)的情形,为选修内容中“空间向量基本定理”的学习做好铺垫.“平面向量基本定理”也是联系“几何”与“代数”的纽带,根据“平面向量基本定理”,平面内每一个向量都与有序实数对(λ1,λ2)唯一对应,特别是在单位正交基底下进行的线性分解,使得平面向量的关系可由坐标的运算来表示,这样,平面中共线、垂直等关系都可转化为数值运算,而由于向量的自由平移特性,使得向量处理平面几何问题时,比解析几何更少的依赖图形本身的一些性质,用向量坐标的纯代数运算解决问题时也更少受到限制.同时,一些代数问题(如二维柯西不等式),可以通过构造向量,借助向量“形”的方面加以解决.这样,通过“平面向量基本定理”,向量成为沟通数与形的重要工具.

2.2“平面向量基本定理”的方法效应

在高中数学中,有一些常见的数学思想与方法,其中基本量方法就是一种重要的方法.文[3]中指出基本量方法是从整体分析和把握数学问题的一种方法,若某个数学对象F满足:(1)存在n个相互独立的量,使F唯一确定;(2)任何k个相互独立的量(k<n)都不能使F唯一确定.则称F的自由度是n.若F的自由度是n,G={g1,g2,…,gn}使F唯一确定,则称G是F的一组基.此时,gi(i=1,2,…,n)称为F的基本量.所谓基本量方法,其指导思想就是在解数学问题时,先确定数学对象F的基本量,然后用基本量去表示与问题有关的F的非基本量,使问题转化为仅仅涉及到基本量的寻求,从而减少未知量个数,以求获得问题的解.这种借助于基本量来解决问题的方法就叫做基本量方法.

从以上叙述可以看出,平面向量的基本量就是平面的基底(二维极大无关组),平面向量的自由度为2,利用“平面向量基本定理”,将平面内的所有向量的运算问题转化为基底的运算问题,这就是基本量方法.“平面向量基本定理”为学生展示了一个具有基本量方法的重要模型,因此教学中要向学生揭示定理中所蕴含的这种方法,并在后续学习具有这种方法的内容时(如等差数列、解三角形等),进行比较,让学生对这种方法有更为深刻地理解.

3“平面向量基本定理”教学的目标定位

通过以上的分析,笔者认为在平面向量基本定理的教学中,必须要让学生厘清以下问题:(1)平面的基底为什么要由两个基向量构成,为什么它们之间要有不共线的关系;(2)平面内的任意一个向量是否都可以由基向量进行线性分解;(3)平面向量在给定基底下的线性分解形式是否是唯一的.而我们的教学也应围绕着这三个方面重点展开.同时,我们还要通过教学,让学生体会定理中所蕴含的基本量方法,及化繁为简的思想内涵,体会数学中所蕴含的简捷之美.

4 学习者特征分析

本节内容是在高一年级进行教学,从知识角度来说,高中一年级的学生已经具备了物理学中矢量的分解与合成的知识,这可以成为本节课教学所依托的前知识经验.在本节课的之前,学生学习了向量的线性运算及“共线向量定理”,可以利用它与“平面向量基本定理”的升维类比关系引入课题.

从能力角度来看,高中一年级的学生已经具备了一定的理性认知、理性分析与理解能力,但对于较为抽象、严谨的数学定理表述语言还会有理解的困难,特别是对“平面向量基本定理”中“任意性”、“唯一性”等数学逻辑用语还不能达到深刻的认识,这就需要在教学中利用学生熟悉的语言,设计相应的问题链,分解学生的理解困难,引导学生达成对定理的理解.

高一年级的学生理性认识能力虽然在发展中,但在数学理解中仍较多地依赖直观,所以本节定理教学中,设计制做多媒体课件,如几何画板的应用,可以帮助学生产生直观感受,达到分解难点,帮助理解的作用.

数学课程标准中指出,数学教学要让学生逐步学会用数学的眼光观察世界,发展数学抽象、直观想象素养;用数学的思维分析世界,发展逻辑推理、数学运算素养;用数学的语言表达世界,发展数学建模、数据分析素养.学生这些能力的提升,素养的形成,来自于每堂课的教学之中,本节课亦然,在本节教学中需要设计相应的教学环节,让学生进行表达与交流,以提升他们的能力.

5“平面向量基本定理”(第一课时)教学设计

5.1 引言设计

老子云“道生一,一生二,二生三,三生万物”,这句话告诉我们,任何复杂的事物都有其简单而深刻的内涵.老子《道德经》中说“万物之始,大道至简,衍化至繁”.意思是说大道理(指基本原理、方法和规律)是极其简单的.把复杂冗繁的表象层层剥离之后就是事物最本质的大道理.在数学中,我们往往也在追求至简的“大道”.如笛卡尔曾经设想,能否将繁杂的生活中的问题都转化为数学问题,将所有数学问题都转化为代数问题,而将所有的代数问题都转化为方程问题,通过解方程,就能解决各种生活中的问题.笛卡尔的设想虽然失败了,但是他这种化繁为简的思想却是值得我们借鉴的.在向量的学习中,我们也是这样做的,前一节课我们学习了实数与向量的积,并学习了“共线向量定理”,共线向量定理告诉我们,直线上存在无数个向量,我们可以通过选定直线上一个非零向量a,而其他向量b均可用a唯一表示,即存在唯一的实数λ,使得b=λa成立.这样,共线的所有向量的运算都可以转化为向量a的运算,这样,就将直线上复杂的向量问题转化为有关一个向量的简单问题了.同样,平面内也存在无数个向量,它们是否也可以转化为用少量的几个向量来表示,从而将复杂的向量问题归结为这几个向量的运算问题,从而使问题简单化.

设计意图引言开门见山,直指平面向量基本定理的方法内涵,让学生一开始就明确本节课学习的目标,即探讨平面内的每一个向量是否都能用少量的几个向量来表示,这样引导学生在学习的开始就将注意力集中在平面基底的选取之上.通过引言,揭示了“共线向量定理”与“平面向量基本定理”的关系,同时还能让学生体会数学的追求就是至臻至简.

5.2 教学重点环节问题链及活动设计

见表1.

5.3 例题与练习设计

(3)你能利用以上表达式说明AE与CF的关系吗?

设计意图 平行四边形、三角形都是学生非常熟悉的平面图形,向量的加法法则也是在平行四边形和三角形当中加以定义的,所以设计以平行四边形、三角形为背景的例习题,是将学生置于了一种熟悉的情境下,学生理解与解决问题都较为容易.例题中的问题(1),(2),及练习题都是为了训练学生进一步熟悉将一个向量在基底上进行线性分解,但是难度是有所区分的.例题中的问题(3)可以帮助学生进一步认识“平面向量基本定理”的作用,即将平面内任一向量转化为基向量,利用基向量的关系、运算来解决问题.

5.4 结束语设计

同学们,今天这节课我们学习了“平面向量基本定理”,通过学习与练习,我们可以知道,利用“平面向量基本定理”,我们可以将平面内的任意一个向量表示为给定平面基底的唯一线性分解形式,即a=λ1e1+λ2e2,这样,平面内所有向量的运算都转化为了基向量的运算,从而起到了化繁为简的作用,这样的方法称为基本量方法,这是一种重要的数学方法,在今后的数学学习中,我们还会使用这种方法解决数学问题.同时,“平面向量基本定理”说明在给定基底下,平面内每一个向量都与有序实数对(λ1,λ2)产生了唯一的对应,这样,平面向量的问题可以借由数字运算来解决,这样起到了化“形”为“数”、简化思维的作用,平面向量的这个作用,我们在后续学习中将进一步体会到.

设计意图 结束语是在教师引导学生进行自我小结之后,由教师对本节内容进行的升华与提炼,它与引入语相互呼应,进一步点明“平面向量基本定理”的作用,以及向学生明示定理中所蕴含的思想方法,这使得学生更加深刻地理解了新知识的内涵,使他们对新知识的理解得以升华.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数(第4版)[M].北京:中国人民大学出版社,2000.

[2]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修4(第2版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[3]马明,马复.基本量方法[J].中学数学教学,1989,(5).

[4]马明,马复.基本量方法(续)[J].中学数学教学,1989,(6).

[5]黎栋材,王尚志.平面向量基本定理教学设计[J].数学通报,2015,(1).

13.用基本图形分析法证几何题 篇十三

—— 谢老师

无论多复杂的几何图形，拆散后都是由一些基本图形组成的。因此，利用基本图形的特性分析证明几何题就能起到化难为易、简明快捷的作用。下面略举几例：

基本图形一：角平分线+平行线等腰三角形出现

例

1、已知，如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于M。过M的平行线分别交AB、AC与E、F。

A求证：EF=BE﹣CF FEM

D BC

例

2、如图，已知，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC边上的中点，MF∥DA交AB和CA的延长线于E、F。

1求证：BE=CF=(AB+AC)

2FEBAMDC例

3、已知，如图，□ABCD中，AB＞AD，∠A、∠D的平分线交于E，∠B、∠C的平分线交于F。

DC求证：EF=AB﹣AD

EF

AB 变式练习：

1、如图，已知，□ABCD中，AD=2AB，将AB向两方分别延长至E、F，使AE=AB=BF，求证：CE⊥DF

DC

EF AB2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD中点。

求证：AE、BE分别是∠DAB和∠ABC的平分线

AD

E

BC3、已知，(1)如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，F是CE中点，求证：∠BAF=2∠DAE

EFC D

B A

(2)、如图，正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上的一点，且AF=FC+CB。

F求证：BE平分∠CBF

DC

E

BA 基本图形二：角平分线+角平分线的垂线等腰三角形出现

例

4、如图，△ABC中，BC=3AB，BO是角平分线，CD⊥BO交BO的延长线于D。求证：DO=BO，D AO

BC

变式练习

如图，已知，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是角平分线，CE⊥BD于E。求证：BD=2CE

例

5、如图，已知，△ABC中，BD、CE是角平分线，AF⊥CE于F，AG⊥BD于G。求证：（1）FG∥BC；

（2）FG=

1(AB +AC ﹣BC)2AEFGDCB变式练习

（1）如图，已知，BD、CE是△ABC的∠B、∠C的外角平分线，AF⊥BD于F，AG⊥CE于G，求证：（1）FG∥BC；

（2）FG=

1(AB +BC +AC)2ADE

FG

BC

(2)、如图，已知，△ABC中，BE、BF分别是∠B和∠B的外角平分线，AG⊥BF于G，AH⊥BE于H，过G、H的直线分别交AB、AC于M、N。

M NGH

CB

（3）、已知，如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是角平分线，E是BC的中点，EF⊥AD交AD、AB的延长线于F、G。

A求证：BD=2BG

DBC EF G

1求证（1）四边形AGBH是矩形；

（2）MN=BC

2AFE基本图形三：用平行线证比例线段

例

7、如图，已知，C、D、E、F是∠AOB的两边上的四点，且OC∶OD=CE：DF，CE、DF的延长线交于G。

DB求证：GE=GF C

AOEF

G

例

8、如图，△ABC中，直线MN分别交边AB、AC于F、E，交BC的延长线于D，求证：

例

9、已知，△ABC中，D是AC边上的一点，长线交BC于F。AFBDCE··=1 BFCDAEMFAEBCDNAD1=，E是BD的中点，AE的延CD2BF1 求证：CF

3ADEBFC变式练习

1、已知，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且线交BC的延长线于F。

求证：

AD3CE2,，DE的延长BD4AE3AE

BFC

2、如图，已知，△ABC中，D是BC中点，E是AD上的任意一点，CE的延长线交AB于F。求证：EF7 DF10DAE2AF

DEBFA

FE

CB

D

14.高中几何基本定理 篇十四

一、选择题（每题3分，共36分）

1.54，ab10，则a与b的夹角为（）

A.90B.120C.135D.150

2.cos83cos38sin83sin38的值为（）

A.123B.C.D.1 22

23.在ABC中，已知a8，B60，A45，则b为（）

A.4B.42C.43D.46

4.下列方程的曲线经过点(0,0)的是（）

A.yx2B.y122C.xy4D.y2x x

5.点P(1,1)到直线3x4y60的距离为（）A.24B.C.1D.2 5

56.直线2x3y10关于原点对称的直线方程为（）

A.2x3y10B.2x3y10C.2x3y10D.3x2y10

7.过圆x2y24上一点M(1,)的切线方程是（）A.x3y40 B.x3y40C.x3y40D.x3y40

x2y2

1的渐近线为（）8.双曲线 49

A.y9432xB.yxC.yxD.yx 492

329.抛物线y4x的焦点坐标为（）

A．(1,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(1,0)

10.若C12C12x3x4，则x为（）

A．2B．2C．2D．4 11.(x24)中的常数项为（）x

A．6B．6C．24D．2

412.酸、甜、苦、辣、咸、涩六味，假设任何两种或多种混合调出的味道都不同，则六味可以调出多少种不同的味道（）

A．6种B．21种C．63种D．720种

二、填空题（每题4分，共24分）

13.sin75cos75 _______

14.过点(3,2)且倾斜角为45的直线方程为___________

15.直线yx52与圆x2y225的位置关系为_________ 

x2y

21上一点到一个焦点的距离为6，则该点到另外一个焦点的距离为____ 16.椭圆1006

42526269817.C100C50C51______ _____，C50

18.从5名男同学和4名女同学中选出3名参加某种技能比赛，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的选法有______种

三、解答题（共40分）

19.（本题6分）已知（2,)，且sin3，求tan，tan2

520.（本题6分）第29届北京奥运会表彰会上，中国乒乓球队男女主力队员各3名，与主教练刘国梁合影留念。

（1）教练站着中间有多少种排法？

（2）女的站在前排，男的站在后排，有多少种排法？

21.（本题8分）求满足下列条件的直线方程：

（1）经过(2,3)且与直线3x2y70平行的直线

（2）经过(2,3)且与直线3x2y70垂直的直线

22.（本题6分）已知点A(1,7),B(1,1)，求以线段AB为直径的圆的方程

x2y

21的长轴长、短轴长，焦点坐标和离心率 23.（本题8分）求椭圆2516

24.（本题6分）(x1)7a0a1xa2x2a7x7

（1）求a0