全等三角形证明的例题

全等三角形证明的例题（精选19篇）

1.全等三角形证明的例题 篇一

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

2.全等三角形证明的例题 篇二

当时有很多学生都会想, 这个性质也不怎么用啊, 但是到了初二, 在学习三角形全等的证明过程中, 大家会发现它是证明角相等非常好、也是非常常用的一种方法, 尤其是余角的性质最为常用.

例如人教版八年级下册第27页第9题.

例1已知如图1, ∠ACB=90°, AC=BC, BE⊥CE于E, AD⊥CE于D, AD=2.5 cm, DE=1.7 cm, 求BE的长.

分析:在这个问题中, 很容易知道, 我们要证明△ADC和△CEB全等, 并且容易找到一边一角的条件, 即直角和AB=CB, 再找一个角或再找一个边就可以了.

其实这个时候会发现有很多的直角, 我们找角就是比较常见的, 并且基本上都是利用余角的性质, 因为∠DAC+∠ACD90°, ∠BCE+∠ACD=90°, 所以∠DAC=∠BCE.

由上面的这个题目拓展出来下面的题目.

拓展:△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 直线MN过点A, BD⊥MN于D, CE⊥MN于E.

(1) 当MN在△ABC外部时, 如图2, 猜想并证明DE、BD、CE之间的等量关系;

(2) 当MN与线段BC相交时, 即变成下图3、4时, 猜想并证明DE、BD、CE之间又各有什么等量关系.

以上题目都是课本上题目的变式, 并且变成了一个开放性的题目, 尽管是开放性的题目, 但是基本的思路是没有变的, 都是要证明△ABD≌△CAE, 并且在准备角的条件时都要用到余角的性质.

比如下面的几个题目:

1.已知如图5, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD垂直AB于点D, 点E在AC上, CE=BC, 过E点作AC的垂线交CD的延长线于点F, 求证AB=FC.

分析:要证明AB=FC, 必须先证明△ABC≌△FCE, 题目中有BC=EC, ∠ACB=∠FEC=90°, 所以要找角, ∠A与∠F都是∠ACD的余角故相等.

2.如图6, 在△ABC中, AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D、E, AD、CE交于点H, 已知EH=EB=3, AE=4, 求CH的长.

分析:因为∠BAD+∠B=90°, ∠BCE+∠B=90°, 所以∠BAD=∠BCE, 再加上直角与BE=EH, 可证△AEH≌△CEB.

3.如图7, △ABC中, ∠ABC=45°, CD⊥AB于D, BE平分∠ABC, BE⊥AC于E, 与CD相交于点F, H是BC边的中点, 连结DH与BE相交于点G.求证:BF=AC.

分析:如图∠ABE+∠A=90°, ∠ACD+∠A=90°, 所以∠ABE=∠ACD, 其他的问题基本上和上面的就都一样了.

那么到底什么时候会用到这个性质呢?其实都是在找角的关系时比较常用这个性质, 当然因为要会用余角的性质, 所以大多数会存在多个直角三角形的, 这是用它的一个很重要的标志.掌握了这种找角相等的方法之后, 学生在做题的过程中会减少很多思维障碍.当然余角的性质可以找角相等的关系, 很多学生还会想到, 我们还学了一条补角的性质, “等角的补角相等”, 它在做题时一样很好用, 比方说下面一题.

例2如图8所示, 在△ABC中, AD平分∠BAC, 点E、F分别为AB、AC上的点, ∠EDF+∠BAF=180°, 求证DE=DF.

分析:因为这个题目中有角平分线, 所以学生根据经验很容易作出辅助线, 即过点D作DG⊥AC于G点, DH⊥AB于点H, 然后证明△DEH≌△DFG.但是会少一个条件, 很多学生想不到了, 其实我们有一个条件还没有用, 即∠EDF+∠BAF=180°.用它可以得到∠AED+∠AFD=180°, 而∠AFD+∠DFG=180°, 所以可以得到∠AED=∠DFG, 这样就利用了等角的补角相等, 为三角形全等准备了角相等的条件.

上面的例子都是直接应用余角或补角的性质, 但是有的时候也发现, 为了证明角相等的关系, 却用不了余角或补角的性质.这个时候, 我们也可以把性质进行一般化, 比方说:

例3 (2010·日照) 如图9, 四边形ABCD是正方形, 点G、E分别是边AB、BC的中点, ∠AEF=90°, 且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1) 证明:∠BAE=∠FEC;

(2) 证明:△AGE≌△ECF.

学生在做第一问的时候就会出现问题, 无从下手, 或者过F点作BH的垂线段, 然后来证明两个直角三角形全等.但是这样证明条件不足, 其实我们是可以直接证明这对角相等的, 我们可以轻松地证明出∠BGE=∠GEB=45°, 所以可以得到两个等式∠BAE+∠AEG=45°、∠FEC+∠AEG=45°, 所以可以得到∠BAE=∠FEC, 这样证明就不需要添加辅助线了.

在这里我们就把等角的余角相等一般化了, 即“如果两个角都与同一个角 (或相等的角) 的度数和相等, 那么这两个角也相等”, 这一条在应用上会更加得心应手, 例如, 我们可以把例3进行变式.

变式1:如图10, 在正方形ABCD中, M是BC边 (不含端点B、C) 上任意一点, P是BC延长线上一点, N是∠DCP的平分线上一点, 若∠AMN=90°, 求:AM=MN.

变式2:如图11将变式1中的“正方形ABCD”改成“正三角形ABC”, N是∠ACP的平分线上一点, 则∠AMN=60°时, 结论AM=MN是否还成立?请说明理由.

这两个变式我们需要构造全等三角形, 在AB边上截取AE=MC, 连接ME, 通过例3的方法证明出∠EAM=∠CMN, 再证明三角形全等就可以了, 可以看出这种方法是非常行之有效的.

3.和全等三角形有关的和差式的证明 篇三

全等三角形是证明线段相等、角相等的一个重要工具.随着学习的深入，出现了证明一些线段的和（差）等于某条线段的题目，让学生感到困难.这时，通过恰当添加辅助线，将线段的和差问题转化为线段的相等问题，同时构造全等三角形，成为解决问题的主要手段.

一、与三角形、四边形有关的线段和差问题

例1如图1，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB.

求证：BC=AD+AC.

思路1：（截长）在BC上截取CE=CA，连接DE.如图2.

易证△ACD≌△ECD（SAS）.

∴∠3=∠A=2∠B.

∵∠3=∠B+∠4，

∴∠B=∠4.

∴BE=DE=AD.

∴BC=BE+EC=AD+AC.

思路2：（补短）延长CA到E，使得EC=BC，连接DE.如图3.

由条件推出△CED≌△CBD（SAS）.

与思路1相仿，由∠E=∠B，∠BAC=2∠B，得∠4=∠E.AE=AD.下略.

点评：对于线段之间的和差关系，常采用“截长”、“补短”等添加辅助线方法，构造全等三角形，从而转化为两线段间的相等关系.

例2如图4，△ABC中，∠B=2∠C，AD垂直BC于D.

求证：CD=AB+BD.

思路：如图5，在DC上截取DE=DB，连接AE.

易知△ABD≌△AED（SAS）.

∴AB=AE，∠2=∠B.

又∠B=2∠C，得∠1=∠C，AE=CE.

∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+DE=AB+BD.

点评：本解法是截长的方法.也可用补短的方法去证：延长DB到E，使BE=BA，连接AE.读者不妨自己试试.

例3如图6，等边△ABC中，延长BA到D，延长BC到E.若DC=DE，求证：AD=AC+CE.

思路：如图7，延长BC到F，使EF=BC，连接DF.因EF=BC=AC，故只要证CF=AD即可.

易证△DCB≌△DEF（SAS）.

∠F=∠B=60°.

故△DBF是等边三角形.

∴BD=BF.

而BA=BC，故AD=CF=CE+EF=CE+AC.证毕.

点评：本题还可以作以下辅助线证明：作EM∥AC交BD于M.证明△ACD≌△MDE（AAS）.

例4如图8，AE∥BC，AD、BD分别是∠EAB、∠CBA的平分线.过点D的直线EC交AE于点E，交BC于点C.求证：AE+BC=AB.

思路1：（截长）在AB上截取AF，使AF=AE，连接DF.如图9.

易证△ADE≌△ADF（SAS）.

∴∠E=∠AFD.

∵AE∥BC，

∴∠E+∠C=180°.

又∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠C=∠BFD.

∴△BDF≌△BDC（AAS）.

∴BF=BC.AE+BC=AF+BF=AB.

思路2：（补短）如图10，延长BC交AD的延长线于F.要证AE+BC=AB，只需要证明AB=BF和AE=CF.

由题设∠1=∠F=∠2，△ABF是等腰三角形.

∴AB=BF.

又BD是∠FBA的平分线，由等腰三角形“三线合一”知AD=FD.

∴△ADE≌△FDC（ASA）.AE=CF.

∴AE+BC=CF+BC=BF=AB.

二、运动型线段和差问题

例5如图11（1），在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA.分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F.

（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，并说明理由.

（2）若点P在DC的延长线上（如图11（2）），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请说明理由.

（3）若点P在CD的延长线上（如图11（3）），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请说明理由.

简解：（1）结论是：BE-DF=EF.

注意同角的余角相等，易证△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AF-AE=BE-DF.

（2）结论是：DF-BE=EF.

与（1）类似，易证△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AE-AF=DF-BE.

（3）结论是：DF+BE=EF.理由略，请读者自行探究.

点评：本题是典型的运动型线段和差问题.在运动过程中，图中某些线段保持相似或相同的数量关系.本题的证明中应用三角形全等的性质，“化解”了线段间的和差关系.一般来说，这类题目的证法基本相同或类似.但在个别情况下，线段间不保持原有的关系.

练习

1. 如图12，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠1=∠2.求证：AC+CD=BC.

提示：在CB上截取CE=CD，连接DE.证明△ABD≌△EBD（AAS）.

2. 如图13，△ABC中，AD为∠BAC的平分线.M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F.求证：CF=BE，AB+AC=2BE.

提示：延长EM到G，MG=FM，连接BG，证△BMG≌△CMF.

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图14（1）的位置时，求证：DE=AD+BE.

（2）当直线MN绕点C旋转到图14（2）的位置时，求证：DE=AD-BE.

4.刘老师三角形全等的证明专题 篇四

（1）条件充足时直接应用

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，ABD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．

那么图中全等的三角形有___对．

ED

O

BC

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 A例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．B

ED

C（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线选用判别方法 A

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：AO平分∠BAC．

12OBC

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 C例4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF． DE求证：∠ADC=∠BDF．

BAF

G

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

练习：

1．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．

2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求证：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，A再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC

平分∠AOB．你能说明道理吗？M

PC

OQNB

4．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．

A7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

BC

D

8．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．CD

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．A

E

C BG F

A10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

5.八年级简单的全等三角形证明0 篇五

1、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.（1）证明：△BDF≌△DCE ；

A

FE

BC D

(第4 题图)

2．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求证：BD = CD

B

DA

图 9

D3．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

AB4、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF；AD

F

BC5、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM._B

_ M

_A_D

_N

_C

6．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

A

B

E

第9题图

C7、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

图10

C12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

6.全等三角形证明为何非直角三角形 篇六

不能用ASS（角边边）证明

证明全等中的ASS

1）直角三角形ASS是可以的（HL）

2）非直角三角形不行 A

C

不行的原因要证明：

B

已知：

C和ABD

AA

ABAB

ACADAC

为什么会出现这两个三角形不全等呢？

说明：

cosAbca

2bc222

而

COSC=-COSD

才造成了这两个三角形不全等

7.“全等三角形”题型解析 篇七

一、条件开放型

例1:如图, △ABC与△ABD中, AD与BC相交于O点, ∠1=∠2, 请你添加一个条件 (不再添加其他线段, 不再标注或使用其他字母) , 使AC=BD, 并给出证明.

你添加的条件是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

证明:

分析:此题答案不唯一, 若按照以下方式之一来添加条件: (1) BC=AD, (2) ∠C=∠D, (3) ∠CAD=∠DBC, (4) ∠CAB=∠DBA, 都可得△CAB≌△DBA, 从而有AC=BD.

点评:本题考查了全等三角形的判定和性质, 要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件, 有一定的开放性和思考性.

二、结论开放型

例2:如右上图, 已知AB=AD, BC=CD, AC、BD相交于E.由这些条件可以得到若干结论, 请你写出其中三个正确的结论. (不要添加字母和辅助线, 不要求证明.)

结论1:

结论2:

结论3:筝桦川县第二中学刘芳琪

分析:由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC, 同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC, AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等.以上是解决本题的关键所在, 也都可以作为最后结论.

点评:本题是源于课本而高于课本的一道基本题, 可解题思路具有多项发散性, 体现了新课程下对双基的考查毫不动摇, 且更具有灵活性.

三、综合开放型

例3:如图, 点E在AB上, AC=AD, 请你添加一个条件, 使图中存在全等三角形, 并给予证明.所添条件＿＿＿＿.你得到的一对全等三角形是△＿＿＿＿＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析与证明:在已知条件中已有一组边相等, 另外图形中还有一组公共边.因此只要添加以下条件之一: (1) CE=DE, (2) CB=DB, (3) ∠CAE=∠DAE, 都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE;并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB.

点评:本题属于条件和结论同时开放的一道好题目, 题目本身并不复杂, 但开放程度较高, 能激起学生的发散思维, 值得重视.

四、构造命题型

例4:如图, 在△ABD和△ACE中, 有下列四个等式: (1) AB=AC, (2) AD=AE, (3) ∠1=∠2, (4) BD=CE.请你以其中3个等式作为题设, 余下的作为结论, 写出一个真命题 (要求写出已知、求证及证明过程) .

分析:根据三角形全等的条件和全等三角形的特征, 本题有以下两种组合方式:组合一:条件 (1) (2) (3) 结论: (4) ;组合二:条件 (1) (2) (4) 结论: (3) .值得一提的是, 若以 (2) (3) (4) 或 (1) (3) (4) 为条件, 此时属于SSA的对应关系, 则不能证得△ABC≌△DEF, 也就不能组成真命题.

评析:几何演绎推理论证该如何考?一直是大家所关注的.本题颇有新意, 提供了一种较新的考查方式, 让学生自主构造问题, 自行设计命题并加以论证, 给学生创造了一个自主探究的机会, 具有一定的挑战性.这种考查的形式值得重视.

五、猜想证明型

例5:如下图, E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点, DE=BF, 请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 (只需研究一组线段相等即可) .

(1) 连结＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(2) 猜想:＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(3) 证明:

(说明:写出证明过程的重要依据。)

分析:连接FC, 猜想:AC=CF.由平行四边形对边平行且相等, 有AB//CD, AD//BC, AB=CD, AD=BC;再加上DE=BF, 因此, 只要连接FC, 根据全等三角形的判定定理SAS, 容易证得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF, 从而得到AE=CF.

点评:此题为探索、猜想、并证明的试题.猜想是一种高层次的思维活动, 在先观察的基础上, 提出一个可能性的猜想, 再尝试能够证明它, 符合学生的认知规律.本题难度不大, 但结构较新, 改变了传统的固有模式.

六、判断说理型

例6:两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置, E, A, C三点在一条直线上, 连结BD, 取BD的中点M, 连结ME, MC.试判断△EMC的形状, 并说明理由.

分析与解答:△EMC是等腰直角三角形.由已知条件可以得到:

DE=AC, ∠DAE+∠BAC=90°, ∠DAB=90°.

连接AM, 由DM=MB可知MA=DM, ∠MDA=∠MAB=45°.

从而∠MDE=∠MAC=105°, 即△EDM≌△CAM.

因此EM=MC, ∠DME=∠AMC,

又易得∠EMC=90°,

所以△EMC是等腰直角三角形.

点评:本题以三角板为载体, 没有采取原有的那种过于死板的形式, 在一定程度上能激发学生的解题欲望.先判断, 再说理, 试题平中见奇, 奇而不怪, 独具匠心, 堪称好题.

七、拼图证明型

例7:一张矩形纸片沿对角线剪开, 得到两张直角三角形纸片, 再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式, 使点B、F、C、D在同一条直线上, 且DE交AB于P.且 (1) 求证AB⊥ED; (2) 若PB=BC.请找出图中与此条件有关的一对全等三角形, 并给予证明.

分析: (1) 在已知条件的背景下, 显然有△ABC≌△DEF, 故∠A=∠D, 因而不难得∠APN=∠DCN=90°, 即AB⊥ED.

(2) 由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°,

又PB=BC及∠PBD=∠CBA.

根据ASA有△PBD≌△CBA, 在此基础上, 就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

点评:本题将几何证明融入到剪纸活动中, 让学生在剪、拼等操作中去发现几何结论, 较好地体现了新课程下“做数学”的理念. (2) 题结论开放, 而且结论丰富, 学生可以从不同的角度去进行探索, 在参与图形的变化过程及探究活动中创造性地激活了思维, 令人回味.

八、阅读归纳型

例8:我们知道, 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下, 它们会全等吗?

(1) 阅读与证明:

对于这两个三角形均为直角三角形, 显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形, 可证它们全等 (证明略)

对于这两个三角形均为锐角三角形, 它们也全等, 可证明如下:

已知:△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1.

求证:△ABC≌△A1B1C1. (请你将下列证明过程补充完整.)

证明:分别过点B, B1作BD⊥CA于D,

B1D1⊥C1A1于D1,

则∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1, ∠C=∠C1,

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

(2) 归纳与叙述:

由 (1) 可得到一个正确结论, 请你写出这个结论.

分析: (1) 由条件AB=A1B1, ∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1, 因此∠A=∠A1,

又由∠C=∠C1, BC=B1C1,

从而得到△ABC≌△A1B1C1.

(2) 归纳为:两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形 (或直角三角形或钝角三角形) 是全等的.

点评:边边角问题是全等三角形判定中的难点, 也是学生易出错的内容, 要涉及三角形形状的分类.本题构思新颖, 创造性地设计了阅读情境, 引领学生跨越障碍, 引导学生合情推理并总结概括, 考查了学生阅读理解、类比、概括等综合能力, 同时也培养了学生灵活、精细、严谨的数学思维品质.

九、作图证明型

例9:已知Rt△ABC中, ∠C=90°.

(1) 根据要求作图 (尺规作图, 保留作图痕迹, 不写画法) (1) 作∠BAC的平分线AD交BC于D; (2) 作线段AD的垂直平分线交AB于E, 交AC于F, 垂足为H; (3) 连接ED.

(2) 在 (1) 的基础上写出一对全等三角形:△＿＿＿＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿＿＿并加以证明.

分析: (1) 按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD、作线段AD的垂直平分线, 并连接相关线段.

(2) 由AD平分∠BAC,

可以得到∠BAD=∠DAC;由EF垂直平分线段AD,

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°, EA=ED,

从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH, 再加上公共边,

从而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三组中任选一组即可.

点评:作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一, 动手作图, 使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现, 体验数学的神秘与乐趣, 并实现数学的再创造, 从而进一步感受数学的无限魅力, 促进数学学习.

8.构造全等三角形的常用方法 篇八

一、作垂线构造全等三角形

例1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC.M是AC边的中点.AD⊥BM交BC于D，交BM于E.试说明：∠AMB=∠DMC.

解：作CF⊥AC交AD的延长线于F.如图2.

∵∠A=90°，AD⊥BM，

∴∠FAC=∠MBA=90°-∠AMB.

∵AB=AC，∠BAM=∠ACF=90°，

∴△ABM≌△CAF.

∴∠F=∠AMB，AM=CF.

∵AM=CM，∴CF=CM.

∵∠MCD=∠FCD=45°，CD=CD，

∴△MCD≌△FCD（SAS）.

∴∠F=∠DMC.

∴∠AMB=∠DMC.

二、利用旋转构造全等三角形

例2如图3，正方形ABCD中，Q在DC上，P在BC上，∠1=∠2.求证：PA=PB+DQ.

证明：△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°到△ABM的位置，如图4.

∴△ABM≌△ADQ.

∴∠4=∠2=∠1，∠M=∠AQD，BM=PQ.

∵AB∥CD，

∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP.

∴∠M=∠MAP.

∴PA=PM=PB+BM.

∴PA=PB+DQ.

三、利用折叠构造全等三角形

例3如图5，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD.求证：AB>AC.

证明：将△ADC沿AD翻折，因∠BAD>∠CAD，故点C落在BD上的E点处，如图6.

∴△ADC≌△ADE.

∴∠C=∠AED.

∵∠AED>∠B，

∴∠C>∠B.

∴AB>AC.

四、与中点连接构造全等三角形

例4两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图7所示放置，E、A、C三点在一条直线上.连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.

解：△EMC是等腰直角三角形.

由已知条件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°.

故∠DAB=90°.

如图8，连接AM.由AD=AB，DM=MB可知△ABD为等腰直角三角形，且△AMD≌△AMB（SSS），故∠MAD=∠MAB=45°=∠MDA.

∴AM=DM.

从而∠MDE=60°+45°=∠MAC，故△EDM≌△CAM（SAS）.

9.全等三角形的判定 篇九

定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 性质：全等三角形对应边和对应角相等

活动二：进入本节课的学习引入两个探究：

探究

1，三角形全等的性质让我们知道AB=AB’BC=BC’AC=AC’∠A=∠A’∠B=∠B’∠C=∠C’，满足六个条件中的一部分，能确定△ABC≌△A’B’C’吗？先让学生画出△ABC，再让学生在画△A’B’C’过程中明白，确定一个条件或两个条件下不能确定两个三角形全等。通过一定时间的探究，利用尺规作图法画△A’B’C’引导得出，当AB=A’B’BC=B’C’

AC=A’C’时，只能画出一个△A’B’C’满足条件，于是得出定理：三个对应边相等的两个三角形全等，简写成SSS。

活动三：得出定理后，通过讲解简单的例题，让学生懂得定理SSS定理的运用。

例题1：如图1,△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架。求证△AB≌△ACD证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵AB=AC BD=CD AD=AD

∴△ABC≌△ACD(SSS)

探究

2，先让学生画出△ABC，再让学生在画△A’B’C’，使AB=AB’AC=AC’∠A=∠A’（即使两边和它们的夹角对应相等）。把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，看它们是否全等，于

是得出：定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成SAS。

10.找准全等三角形对应元素的诀窍 篇十

全等三角形是平面几何的重要内容，它为初中几何解决线段和角的相等的问题提供了重要工具，也为后面的学习奠定了必要的基础．要学好全等三角形，必须学会找准全等三角形的对应元素（对应边、对应角）的方法．本文谈几点意见，供同学们学习时参考．

[问题与情境]

同学们，你们都见过大风车吧！“大风车转起来，各地的朋友来相会．”现在请你仔细地观察图1中这个大风车，看看它是由哪些图形组成的，这些图形有什么特点．很显然，它是由4个三角形组成的，这4个三角形是全等的.

生活中，我们可以发现很多图案是由全等三角形组成的（如图 2）.

[开眼界]

魔术师的地毯

一个魔术师拿着一块边长为 8 m 的正方形地毯找一个地毯匠，要他把地毯改成长为 13 m、宽为 5 m 的长方形地毯．地毯匠算了算，面积由 64 m2 改成 65 m2，认为这是不可能的事情，可是魔术师却说：“你按我的办法剪裁，保证没有问题．”魔术师拿出一张图给地毯匠看．按图 3 中粗线裁剪后，得到两个全等的直角梯形和两个全等的直角三角形，然后按照图 4 就可以拼成一个（5 × 13） m2长方形．地毯匠横看竖看，始终看不出破绽，但又不敢下剪刀，聪明的同学们，你们明白究竟是怎么回事吗？

提示：如果你仔细地画一个大一点的图出来，就会发现在 5 × 13 的长方形中，中间接缝是有空隙的，这个空隙的面积恰好是 1 平方单位.

[经典例析]

例1 如图 5，△AOC△BOD，∠A和∠B是对应角，AO和BO是对应边，请写出其他的对应角、对应边.

分析：找全等三角形的对应元素（对应角，对应边），应按照如下规律．

（1） 根据已知的对应元素来找．

① 已知对应顶点，以对应顶点为顶点的角是对应角，以对应顶点为端点的边是对应边；② 已知对应角，对应角的对边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；③ 已知对应边，对应边的对角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

（2） 根据两个全等三角形的位置来找．

① 有公共边的，公共边一定是对应边；② 有公共角的，公共角一定是对应角；③ 有对顶角的，对顶角一定是对应角．

（3） 根据大小来找．

① 一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；② 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角．

（4） 根据两个全等三角形的位置关系，分析其中一个是由另一个经过哪种全等变换（平移、旋转、翻折）形成的，从而找出对应关系.

① 翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素；② 旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；③ 平移法：沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素．

点拨：因为△AOC △BOD，所以，将△AOC绕点O旋转180°后，能与△BOD完全重合，不难找到其对应元素.

解：∠C和∠D、∠COA和∠DOB是对应角.AC和BD、CO和DO是对应边.

此题同学们容易出现的错误是认为∠C与∠B是对应角，∠A与∠D是对应角.

例2 如图 6，△ADE△CBF，AD =CB.求证：AE∥CF.

点拨：欲证明AE∥CF，只需证明∠AED = ∠CFB，∠AED = ∠CFB可由△ADE△CBF推出.根据已知条件，只需将△ADE向右平移BD长，便可使△ADE与△CBF完全重合.

证明：△ADE△CBF → ∠AED = ∠CFB → AE∥CF.

有的同学通过∠A = ∠C，证得AE∥CF，你认为对吗？事实上，虽然能证出∠A = ∠C，但∠A与∠C既不是同位角，也不是内错角，因而得不到AE∥CF.

例3 如图 7，已知△ABC△BAD，点A、C的对应顶点分别为点B、D.如果AB ＝ 7 cm，BC ＝ 5 cm，AC ＝ 10 cm，那么BD等于（）.

A. 10 cmB. 7 cmC. 5 cmD. 无法确定

点拨：本题的解答关键是正确找出BD的对应边.可将△BAD向右翻折，与△ABC重合，便可得到BD的对应边是AC.

解：选 A.

本题的已知条件AB ＝7 cm、BC ＝ 5 cm看似多余，其实旨在考查同学们能否正确找出BD的对应边，具有一定的迷惑性.

例4 如图 8，已知△ABC△CDA，AB与CD平行吗？

点拨：本题结论未定，属于探索性命题，需要进行探究.只需将△ABC绕AC的中点O旋转180°，便可得到∠BAC与∠ACD重合.

解：AB与CD平行.△ABC△CDA → ∠BAC = ∠ACD → AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.

解答探索性命题时，不要先猜出一个结论，再去推理论证，应从已知条件入手进行推理论证，得到结论.

[即学即练]

1. 如图 9，△ABD△CDB，且AB、CD是对应边，下面4个结论中不正确的是（）.

A. △ABD和△CDB的面积相等

B. △ABD和△CDB的周长相等

C. ∠A + ∠ABD = ∠C + ∠CBD

D. AD∥BC且AD = BC

2. 如图10，矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD = 7 cm，DM = 5 cm，∠DAM = 39°,则AN = cm，NM = cm，∠NAB = .

3. 如图11，△ABC△DEF，∠A = 50°，∠B = 35°，ED = 8，则∠F = ，AB =.

4. 如图12，已知△ABC△EFC，且CF = 5 cm，∠EFC = 65°，则∠B = ，BC = ．

5. 如图13，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1 + ∠2之间有一种数量关系始终保持不变，你发现这个规律是（）．

A. ∠A = ∠1+∠2

B. 2∠A = ∠1 + ∠2

C. 3∠A = 2∠1+∠2

D. 3∠A = 2（∠1+∠2）

6． 如图 14，将一张长方形纸片按图示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）．

A． 60°B． 75°C． 90°D．95°

7． 如图15，△ABC△A1B1C，且∠A∶∠ABC∶∠ACB = 1∶3∶5，则∠A1CB1与∠ABC的比等于（）．

A．3∶1B．5∶1C．5∶3D．5∶2

8. 如图 16，把△ABP 绕A点逆时针旋转60°得到△ACE．问：△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP ＝ 40°，∠B ＝ 30°，求∠CAE、∠E和∠BAE的度数.

9. 已知：如图17，△ABC△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB = 105°，∠CAD ＝ 10°，∠D = 25°．求∠EAC、∠DFB、∠DGB的度数．

[中考风向标]

1. （2006年·广东）如图 18，若△OAD△OBC，且∠O = 65°，∠C = 20°，则∠OAD = ．

解析：全等三角形的对应角相等，根据该性质可得∠OAD = ∠OBC.借助三角形的内角和可求得∠OBC的度数.因为△OAD△OBC，所以∠OAD = ∠OBC.由∠O = 65°，∠C = 20°，可得∠OBC = 180° - 65° - 20° = 95°. 所以∠OAD = 95°.

2. （2006年·济南市）如图 19，一张长方形纸片沿AB对折，以AB的中点O为顶点，将平角五等分，并沿五等分线折叠，再从点C处剪开，使展形后的图形为正五边形，则剪开线与OC的夹角∠OCD为（）.

A. 126°B. 108°C. 90°D.72°

解析：此题初看很难，俗话说，实践出真知，我们不妨动手试一试，把正五边形按折痕折叠后进行对比即可找出展开图中是那个位置的角.选 C.

11.全等三角形错题汇集与解析 篇十一

例1已知△ABC与△DEF全等,∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E的度数是______.

【错误解答】因为△ABC≌△DEF,所以∠E=∠B=37°.

【错因剖析】已知△ABC与△DEF全等,因已有∠A=∠D,所以两三角形全等还有两种对应关 系 :△ABC≌△DEF和△ABC≌△DFE.

【正确解答】在△ABC中,∠C=180°∠A-∠B=53°,因为△ABC与△DEF全等,所以当△ABC≌△DEF时,∠E=∠B=37°,当△ABC≌△DFE时,∠E=∠C=53°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质,分两种情况进行讨论是解决本题的关键,容易忽视△ABC≌△DFE这一情况,解题时要特别注意.

例2如图所示,点E、F在BC上 ,BE =CF,AB =DC,∠B = ∠C,问AF与DE相等吗?

【错误解答】在△ABF和△DCE中,AB=DC,∠B=∠C,BE=CF,所以△ABF≌△DCE,所以AF=DE.

【错因剖析】没有对照所证的两个三角形的对应边(或角),只注重文字条件中两边一角相等,而此两边一角并不是这两个三角形的对应边(或角).

【正确解答】因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,所以BF=CE,在△ABF和△DCE中,AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,所以△ABF≌△DCE,所以AF=DE.

【点评】在寻找两三角形全等的条件时,我们要认真结合图形来分析,仔细审题,严格对照三角形条件中的边角关系看是否具备.

例3如图2所示,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,BC=DE,且点C在DE上 ,若添加一个条件能判定△ABC≌△ADE,这个条件是( ).

A. ∠BAC=∠DAE B. ∠B=∠D

C. AB=AD D. AC=AE

【错误解答】选C或D.

【错因剖析】三角形全等的条件中必须有三个要素,并且一定有一组对应边相等,解题时要按判定全等的方法逐个验证,特别注意SSA不能作为判定条件.

【正确解答】因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,所以∠BAC=∠DAE,又因为BC=DE,A选项中条件与∠BAC=∠DAE重复;添加B选项根据AAS判定△ABC≌△ADE;添加C、D选项,由于SSA不能作为判定条件,所以均不能判定△ABC≌△ADE.

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,一般的两个三角形全等共有四个定理:AAS,ASA,SAS,SSS,HL,但不能用AAA,SSA证明两个三角形全等.

例4如图3所示,△ABC中,D为BC上一点,且AD=AC,AB=AE,CB=DE,则图中与∠CAD相等的角是_______.

【错误解答】∠BAE.

【错因剖析】根据SSS判定△ABC≌△AED,所以∠BAC=∠EAD,由等式性质得∠CAD=∠BAE,没能进一步找与∠BAE相等的角,而由三角形内角和定理可证明∠BDE=∠BAE.

【正确解答】由AD=AC,AB=AE,CB=DE,根据SSS判定△ABC≌△AED,所以∠BAC=∠EAD,∠B=∠E,由等式性质可得∠CAD=∠BAE;又因为∠AOE=∠BOD(AB交DE于O点),∠B=∠E,由三角形内角和定理可得∠BDE=∠BAE. 所以图中与∠CAD相等的角是∠BAE和∠BDE.

例5如图4所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F. 求证:BE=CF.

【错误解答一】认为DE =DF,并以此为条件,在Rt△BDE与Rt△CDF中,因为DE =DF,BD =CD,所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). 所以BE = CF(全等三角形的对应边相等).

【错误解答二】认为AD⊥BC,并以此为条件,通过证明△ABD≌△ACD,得AB=AC. 再由Rt△AED≌Rt△AFD,得AE=AF.从而得到:BE=CF.

【错因剖析】错解一中认为DE=DF,并直接作为条件应用,因而产生错误;错解二中,认为AD⊥BC,没有经过推理,而直接作为条件应用,因而也产生错误. 产生上述错误的原因是审题不清,没有根据题设,结合图形找证题方法,推证过程不符合全等的判定方法.

【正确解答】因为AD是角平分线,所以∠DAE=∠DAF,又因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠AED=∠AFD=90°,又因为AD=AD,所以△ADE≌△ADF,所以DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF,BD=CD,所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),所以BE=CF.

例6如图5所示,已知AB=AC,∠B=∠C,CE=BD,M是ED的中点 ,试说明 :AM⊥ED.

【错误解答】在△ABO和△ACO中,AB=AC,∠B=∠C,AO=AO,△ABO≌△ACO(SSA),所以BO=CO,又因为BD=CE,所以OD=OE,又因为M是ED的中点,所以DM=EM,又OM=OM,所以△OME≌△OMD(SSS),所以∠OME=∠OMD,又∠OME+∠OMD=180°,所以∠OME=∠OMD=90°,所以AM⊥ED.

【错因剖析】本题错在判定△ABO≌△ACO时,错用了“SSA”的判定方法,这是不正确的,因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

【正确解答】连接AE、AD,在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,所以△ABD≌△ACE(SAS),所以AE=AD,又因为M是ED的中点,所以DM=EM,又AM=AM,所以△AME≌△AMD(SSS),所以∠AME=∠AMD,又∠AME+∠AMD=180°,所以∠AME=∠AMD=90°,所以AM⊥ED.

12.全等三角形的作业试题 篇十二

一、耐心选一选，你会开心:(每题6分，共30分)

1.下列说法：①全 等图形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的 对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为( )

A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④

2.如果 是 中 边上一点，并且 ，则 是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

3.一个正方形的侧面展开图有( ) 个全等的正方形.

A.2 个B.3个 C.4个D.6个

4.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.下列说法正确的是( )

A.若 ，且 的.两条直角边分别是水平和竖直状态，那么 的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态

B.如果 ， ，那么

C.有一条公共边，而且公 共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等

D.有一条相等的边，而且相等的边在每 个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等

二、精心填一填，你会轻 松(每题6分，共30分)

6.如图所示，沿 直线 对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌，AB的对应边是，BC的对应边是，∠BCA的对应角是.

13.全等三角形的判断教学反思 篇十三

1、三角形全等的判定是一个很重要的知识点，特别是第一节课尤其重要，必须要以后其它判定定理的顺利学习打下良好的基础。

2、知识的讲解不能只是教师在讲，要让学生学生经历探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，使学生明白要判定两个三角形全等，至少要具备三个条件。

3、“边边边”定理的学习，不仅要掌握和理解定理的内容，更重要的是如何具体的应用和书写的规范，这对以后其它判定定理规范应用起到很重要的作用。

4、不论是例题的讲解，还是学生做练习，老师要引导学生共同分析和讨论，提高学生的思维能力和解题能力。

5、在提高题中，可以适当拓展，不要连接对角线BD,让学生去构造三角形，通过三角形全等，来证明两个角相等，这样更有利于学生思维能力的.提高。

6、在作一个角等于已知角的时候，学生用尺规作图的方法还不是很明白，刚开始时很多学生不会画，对角的终边不知如何确定，这是老师未能充分预计的，应从确定角的开口的大小，引导学生，画好图，再通过“边边边”定理给予证明。

14.浅谈初中数学中全等三角形 篇十四

一、全等三角形的构造

在初中的几何证明题中,有时题目给出的图形是没有现成的全等三角形,需要学生自己想办法去构造。那么问题来了,如何构造全等三角形呢?构造全等三角形,从大方向来说主要有2种方法:旋转法和作辅助线法。作辅助线一般都是指中线、角平分线、三角形的高、平行线等等。

1.旋转法构造全等三角形

旋转法构造全等三角形通常是通过旋转对应线段或者旋转等腰三角形的顶角来得到。

旋转等腰三角形的顶角一定角度,得到全等的三角形也是跟旋转三角形对应线段所用的思想是一样的。

2.作辅助线构造全等三角形

三角形的辅助线我们一般用得较多的是中线、角平分线和三角形的高。但是通过作平行线来构造全等三角形这种方法就比较少用,下面笔者主要分析作平行线来构造全等三角形。因为只要提到线段的中点,我们很容易想到把中点和顶角连接起来;提到角度,也容易想起角平分线;提到直角三角形或者等腰三角形,会想起三角形的高。唯独平行线我们是最容易遗忘的一种辅助线。

如上图,△ABC中,∠B=∠C,D是AB上的一点,CE=BD,求证:FD=FE。仔细观察左图,并没有全等三角形,而证明两条线段相等的最常用方法为,证明这两线段所在的三角形全等。过点D作平行线DG交于BC于点G,这样在图形上就出现了一组全等三角形△DGF和△EFC,再利用题目给出的已知条件即可证明这组三角形全等,FD=FE也得以求证。为什么在这里要利用作辅助线平行线而不是其他的线呢?因为题目里面没有提到角度也没有提到重点,所以只能尝试平行线,而且平行线可以得出角度相等。

总之,发现题目给出的图形没有全等三角形,但是求证的是角度相等或者线段相等,最简单直接的方法就是构造出一组全等三角形。

二、全等三角形的判定

课本上提到了5种证明全等三角形的判断定理:(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)边边边(SSS)(4)角角边(AAS)(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。在这里教师要提醒学生,在这5组判断定理中,最后一组必须要在直角三角形中才能使用,另外的4组没有限制。其中“边边边”是最容易判断的,只要证明两个三角形的三条边长度相等即可得出这两个三角形为全等三角形。

三、全等三角形的实际应用

在生活中我们发现很多东西,由于地理位置或者物体自身形状所导致部分的长度尺寸很难用测量工具去测出来。这时候利用全等三角形的概念,把实际问题转化成数学问题来解决。

例如:河流宽度的测试,容器内径的测试(如下图)

作图中,如果按照常规方法要测该池塘的长度,要在水面上测量,这样的方法是麻烦和困难的,但通过全等三角形在平地上建立模型,测量另外一条和AB相等的边的长度是比较容易,我们可以先在平地上找一点,可以直接分别达到A、B两点的C,连接AC并延长到点D,使DC=AC;连接BC并延长到点E,使BC=CE,再根据全等三角形的判断定理边角边求证△ACB≌△DCE,则得出DE=AB,直接在平地量出DE的长度即为AB的长度。容器的内径检测的工具卡钳,所用的也是全等三角形的定理,图中相交的实线即为卡钳的形状,是根据全等三角形的性质来制作的。

由此可见,学好全等三角形性质和定理,不仅是为了应付考试,更多的可以运用这个定理来解决生活中比较棘手的问题,化困难为容易。全等三角形这个概念还会促进一些生产测量用具的诞生的。数学理论和生活联系起来才是最有意义的。

摘要：全等三角形是初中数学几何图形中重要的一章,在几何证明题中也经常运用到构造全等三角形来证明线段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知识点,它在生活中的运用也很广泛。因此,本文将从全等三角形的构造、判定以及在生活中的实际应用进行分析。

关键词：初中数学,全等三角形,构造,判定,实际应用

参考文献

[1]马亚丽.问题来了:如何构造全等三角形解题.中学生数理化,2014(12):14-15

[2]施克全.判定全等三角形的方法提炼.成才之路,2014(24):86

[3]李圣春,万春.利用全等三角形解决实际问题.初中生世界,2014(38):29-30

15.全等三角形题型展示 篇十五

一、命题判定型

（2011年上海市中考题）下列命题中，真命题是（ ）

A.周长相等的锐角三角形都全等

B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等

D.周长相等的等腰直角三角形都全等

解析 全等三角形的判定方法有4种，直角三角形的判定方法有5种，本题选项A、B、C中命题的正确性都不容易判定，但容易直观发现答案D满足了三组角都对应相等，只要能够找到一组边对应相等即可，等腰直角三角形的周长与其直角边有特殊的关系，当周长相等时等腰直角三角形的三条边长一定相等，故答案选D。

二、条件添加型

（2011年黑龙江省黑河市中考题）如图1，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：___________，使得AC=DF。

解析 要判断两个三角形中的两条边相等，可转化为考虑两个三角形全等。由已知条件得到一条对应边相等，一个对应角相等，要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF。

方法一：考虑用SAS判定△ABC≌△DEF，则添加AB=DE即可；

方法二：考虑用ASA判定△ABC≌△DEF，则添加∠ACB=∠EFD即可；

方法三：添加AC//FD可得∠ACB=∠EFD；

方法四：考虑用AAS判定△ABC≌△DEF，则添加∠A=∠D即可。

因此，可以添加的条件为AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠EFD或AC//FD中的任意一个。

三、全等计数型

（2011年湖南省郴州市中考题）如图2，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形。

解析 根据三角形全等的判定方法来解答，注意不重不漏。图中的全等三角形有：△ADC≌△AEB，△BOD≌△COE，△BDE≌△CED。所以，本题答案填“3”。

四、实际应用型

（2011年湖北省十堰市中考题）工人师傅常用角尺平分一个任意角。作法如下：如图3，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C作射线OC。由作法得△MOC≌△NOC的依据是（ ）

A.AASB.SAS

C.ASAD.SSS

解析 根据题意，在△MOC和△NOC中，有OM=ON、CM=CN，还有公共边OC=OC，因此判断△MOC≌△NOC的依据是SSS，故答案选D。

五、推理计算型

（2011年重庆市江津区中考题）如图4，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数。

分析 （1）根据直角三角形的全等的方法判定；（2）利用（1）的结论得出∠BCF=∠BAE=15°，从而求出∠ACF=60°。

解 （1）因为∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°。

在Rt△ABE和Rt△CBF中，因为AE=CF，AB=BC，

所以Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°。因为∠BAE=∠CAB—∠CAE=45°—30°=15°。由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，所以∠BCF=∠BAE=15°，所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°。

六、猜想证明型

（2011年四川省内江市中考题）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图5放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC。试猜想线段BE和EC的大小及位置关系，并证明你的猜想。

分析 先证明△EAB≌△EDC，可得∠AEB=∠DEC，EB=EC，从而可证得BE和EC的大小及位置关系。

16.判断三角形全等的方法1 篇十六

初中几何中“三角形”是一个重要的知识点，而“三角形”中有关全等的证明是“三角形”中重要的部分。许多同学在刚刚学习这方面的知识时，对于证明三角形全等时，方法总是很难用准。特别是寻找图形中的隐含的对应元素。

我们知道，对于证明一般的三角形全等，课本给出了四个公理（或推论），即“边角边（SAS）”、“角边角（ASA）”，“角角边（AAS）”，“边边边（SSS）”；而直角三角形的全等证明依据除了以上四个公理（或推论）外，还有一个斜边、直角边公理（HL）。

其实这些公理（或推论）中，我们可以看到，证明三角形全等必需具备三个对应元素（边或角），而这三个对应元素中都至少有一个是对应边；因此，在做具体的证明三角形全等的题目时，如果题目已知中给出了一组对应边和一组对应角，我们就可以考虑运用‘SAS’或‘ASA’或‘AAS’去寻找第三组对应的边或角；如果题目已知中给出了两组对应边，我们就可以考虑运用‘SAS’或‘SSS’去寻找第三组对应的边或角；如果题目已知中给出了两组对应角，我们就可以考虑运用‘ASA’或‘AAS’去寻找第三组对应的边。当然这个时候第三组对应的边（或角）可能要由已知中考虑的其它条件来证出，但往往这个对应的边（或角）不能由已知条件证出，而是在相关的图形中，这就要求我们要善于观察图形，在图形中寻找出隐含的对应边（或角）。

图形中隐含的条件，常见的有以下几种情形：①公共边是对应边，②公共角是对应角，③对顶角，④同一直线上的对应边，⑤共顶点的对应角，⑥垂直所得的角是直角，⑦同角（或等角）的余（或补）角，等等。下面给出这几种情况的相应例题，希望对同学们在做有关证明三角形全等的题目时有所帮助。

1、公共边是对应边

例1 已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证：△ACB≌△ADB。

例2 已知：如图，AB=CD，AD=BC，求证：∠A﹦∠C。

A D C

例3 已知：如图，AB=DC，AC=BD，求证：△ABC≌△DCB。

A D

B C

17.全等三角形证明题专项练习题 篇十七

1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．

2.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.E

3.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段

BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

B

N

4.在⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，过E点作BC的平行线交AC于F，交外角∠ACD的平分线于G。求证：F为EG的中点。

5.在⊿ABC中，∠B＝60。，∠BAC和∠BCA的平分线AD和CF交于I点。试猜想：AF、CD、AC

三条线段之间有着怎样的数

量关系，并加以证明。

18.在直角⊿ABC中，CA＝CB，BD为AC上的中线，作∠ADF＝∠CDB，如图，连结CF交BD于E，求证：CF⊥BD。（提示：作AC的中线CO）

A

B

D

C

20.以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一点P。试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。

21.在ABC中，AB=AC，DE∥BC.（1）试问ADE是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M为DE上的点，且BM平分ABC，CM平分ACB，若ADE的周长20，BC=8.求ABC的周长.A

M

DE

CB

26.如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰

Rt

△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF.求证

:

(1)AE=BF;(2)AE⊥

BF.27.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。

（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。

28.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A

B

G D

C

B

D

E

C

29.如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。

北

B

A

31.在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，请说明PB+PC与AB+AC的大小关系并写出证明过程。(10分)

32..一个三角形的两边长为3,5求第三边中线的取值范围？

33.等腰三角形的周长是10，腰长是x，则x的取值范围________。

1.在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是（）。

（A）两个角分别对应相等，一边对应相等（B）两条边对应相等，且第三边上的高也相等（C）两条边对应相等，且其中一边的对角也相等（D）一边对应相等，且这边上的高也相等

2如图10，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法： ①△EBD是等腰三角形，EB=ED ②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④△EBA和△EDC一定是全等三角形,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

B

C

D

3．下列两个三角形中，一定全等的是（）。AD（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；

图10

（B）两个等边三角形；

B（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；

（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形。

4.△ABC中，AB＝AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图8中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．7对D．8对

5.等腰三角形的周长是10，腰长是x，则x的取值范围________。

6.试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填在下表格中．

D 图8

C

18.全等三角形证明的例题 篇十八

一、以典型案例感知全等三角形内容要义

在全等三角形章节教学中,初中生在学习全等三角形的概念、性质以及他们的判定方法等相关知识时, 由于认识理解上的片面性,导致初中生对全等三角形知识点认知不全面不深刻. 此时,教者可以借助于案例所表现出来的形象、典型等特性,组织他们通过学习、 理解案例,实现对全等三角形相关内容的深刻认识,从而加深对所学的相关知识点的理解感悟,有效积累殷实的数学素养“根基”. 如“全等三角形的性质”环节讲解中,初中生在教者的有效讲解和指导下,对全等三角形的性质等相关内容有了一定了解,但对于两个全等三角形所具有的对应角、对应边相等认识还存在误区, 同时对全等三角形的性质实施和运用还不能达到有效掌握的地步. 因此,教者针对这一学习情况,借助于案例式教学方式,有针对性的设置了相关案例. 如图1, 已知三角形ABC和三角形DCB全等,AB = 3,DB = 4, ∠A = 60°,( 1) 写出三角形ABC和三角形DCB的对应边和对应角; ( 2) 求AC,DC的长度以及∠D的度数. 教师组织初中生进行解题练习,并要求初中生利用已经掌握的全等三角形的一些相关性质,让他们在完成问题案例解答的同时,实现对所学知识内容及内涵进行有效的巩固和利用,切实解决他们在学习认知全等三角形性质过程中存在的问题和不足,有效提高其学习效果.

二、以生动案例掌握全等三角形解析精髓

常言道,“教”是为了学生更好的“学”,借助于 “教”认知和掌握更为科学、更为高效的学习知识方法、解决问题精髓. 案例式教学进程中,教师通过设置生动的数学案例,组织和指导学生进行学习认知、判断推理、归纳总结,从而掌握解决案例的方法策略,提高其解决问题技能素养. 根据数学教材“全等三角形”章节纲要内容,传授他们解决全等三角形的数学问题解答技巧,是一项十分重要的任务和要求. 通过对全等三角形解题方法策略的总结和归纳,一般证明全等三角形的方法主要有以下几种: 利用平移法构造出全等三角形求证、旋转法构造出全等三角形求证、延长法构造出全等三角形求证、截取法构造全等三角形求证等. 教师在传授以上求证方法技巧时,应该设置出生动数学案例,组织初中生进行感受和解析,逐步获取求证三角形全等的方法策略[2]. 如“全等三角形的判定定理”一节课讲解中,教师根据教学内容及要求,有针对性设置了案例.“如图2所示,在一个△ABC中,如果∠ACB = 2∠B,∠BAD = ∠DAC,求证: AB = AC + CD. 初中生得到其解决案例的思路为,可以采用添加辅助线的方法, 通过延长AC边到点E,使AE的长度与AB的长度相等的解题路径,通过求证出△ABD和AED全等的方法,从而求证出AB = AC + CD. 此时,教师组织初中生对刚才的解题思路进行分析和研究,向学生指出,刚才解决问题的过程中,实际是运用了延长法构造出全等三角形进行求证的方法,并解决所设置的数学案例,向初中生进行讲解指出,如果遇到要求证线段是另外两条线段和的问题,可以通过延长法,将其中一条较短的线段进行延长,让其和长线段相等,然后再通过相关知识内容,求出延长后的线段与其他两条线线段相等; 或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段. 教师在通过典型案例的讲解活动,对构造图形解决此类问题提供了方法技巧,为初中生以后进行此类型的全等三角形案例解题积累了宝贵经验.

三、以综合案例提升全等三角形应用技能

全等三角形作为初级中学数学体系的重要架构之一,其性质、定理等内容在初中阶段的一次函数、二次函数以及解直角三角形以及高中阶段的不等式、三角函数、平面向量等其他数学章节知识案例解答中有着一定的运用[3]. 在讲解全等三角形章节进程中,特别是其阶段性复习课案例训练过程中,教师可以运用数学案例的综合性和丰富性特点,提供包含多个知识章节内容的全等三角形的案例,组织通过自主分析以及小组研析等形式,开展多个知识点的综合运用,提高他们综合运用技能. 值得注意的是,教师在全等三角形章节综合性问题案例运用时,要结合初中生学习实际,设置要具有时效性和针对性,不能超出学生认知水平,出现“空对空”的“好高骛远”现象. 如全等三角形的章节复习课中,教师出示案例“如图3所示,在△ABC的BC边上有一点D,已知DE∥AC,DF∥AB,求: AE = DF ,假如AD平分∠BAC,试判断出AEDF是一个什么形状的四边形,并说出你的理由”,组织初中生进行解析案例, 让初中生通过问题案例的综合解析活动,认识在解析过程中不仅需要运用全等三角形的判定和性质,同时还要运用菱形的判定等内容,从而实现对全等三角形的判定以及菱形判定的有效掌握和综合应用.

总之,新课改课堂教学追求“有效”目标,而新课改下的“有效”内涵更为丰富. 案例式教学作为常用类型之一,需要教学工作者进行不断的深入探索和深刻研究,从而逐步得到教学观念和教学水平的完善和提高.

参考文献

[1]吴群.案例式教学在数学教学中的运用[J]考试周刊,2010,24(78).

[2]范远方.浅谈数学教学中的素质教育[A]国家教师科研基金十一五阶段性成果集(内蒙古卷)[C].2012(15).

19.全等三角形证明的例题 篇十九

一、教学目标

（1）知识目标:掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性,初步体会并运用综合推理证明命题。

（2）能力目标:经历探索三角形全等条件的过程,体验分类讨论的数学思想,体会利用操作、归纳、获得数学知识;让学生学会思考、并注重书写格式的养成。

（3）情感目标:在探究三角形全等的条件过程中,教师创设情境导入新课,以观察思考、动手画图、小组讨论、合作交流等多种形式让学生共同探讨,培养学生的协作精神。

二、教材的重点、难点

重点：三角形全等的“边边边”条件的探索和运用是本节重点, 通过：①分类提问: ②教师用多媒体展示现实生产生活中的实际例子: ③注重分析思路,让学生学会思考问题,注重书写格式,让学生学会清楚地表达思考的过程突出重点。

难点：使学生理解证明的基本过程,初步学会证三角形全等的格式是本节难点。通过：①幻灯出示两个三角形,引导学生口述,教师介绍,多媒体强化学生的感知。②例题由老师板书示范证明过程。③幻灯出示两道补充证明条件，进一步强化证明过程的理解和书写来突出难点。

关键：是学生能够熟练地找出“边边边”的三个条件,并能够证明两个图形全等的证明过程.

三、教法设计

（1）为了调动学生的学习积极性,使数学课上得生动生趣,采用启发式与分层训练法教学为主,讨论法、讲授法教学为辅。

（2）探究三角形全等的条件过程中,采用小组讨论归纳的方法,培养学生互助、协作的精神。

（3）让学生观察生产生活中三角形稳定性的应用,了解三角形的稳定性,并加深对“边边边”条件的理解。

四、学法指导

本课程中，学生在老师的启发和指导下,通过自己实践、猜想、讨论、模仿等学习方法,学会自己观察、探索、归纳和发现结论,并且善于运用结论,培养学生动手、动口、动脑的能力,从而进一步认识和理解"探索-归纳-运用"的数学思想。

五、教学过程

1.复习引入

我们已经学习了三角形全等。也就是：能够重合的两个三角形全等。②三组对应边相等、三组对应角相等的两个三角形等。今天我们探索两个三角形满足什么条件才全等。

2.提出问题

多媒体幻灯出示满足六个条件的两个三角形,问同学们是否全等,幻灯动态展示能够重合。我们今天要来研究三角形全等的条件，是不是要三组对应边相等及三组对应角相等这六个条件全部相等的两个三角形才全等呢？这样很麻烦。

（1）教师反问引入探究:一个条件、两个条件、三个条件。

（2）探索问题：学生猜想,老师用多媒体动画展示，

①一个条件,只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？有一条边对应相等的三角形不一定全等。有一个角对应相等的三角形不一定全等。②给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。a、三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；不一定全等如图3；b、三角形的两个内角分别为30°和 50°不一定全等如图4；c 、三角形的两条边分别为4cm，6cm. 不一定全等。

③。给出三个条件画三角形时，有两种可能的情况？a、三个角对应相等的两个三角形不一定全等;b、三个边对应相等的两个三角形：动手尝试：已知一个三角形的三边分别为4厘米，5厘米和7厘米，按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形：首先画线段AB=5cm，再分别以点A、B为圆心，4cm、7cm的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC、BC。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下来与同学比较，它们一定全等吗？

通过师生的问答，结合多媒体幻灯片观察在不同的条件下，这是我们探索三角形全等的第一个定理，也就是三边对应相等的两个三角形重合及全等。归纳出一般的结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”

3.例题讲解

例 :已知,ΔABC和ΔABD中,AC=AD,BC=BD,那么ΔABC和ΔABD全等吗?说明理由。

分析思路：要证△ABC≌△ABD，可看这两个三角形的三边是否对应相等。提问：

（1）请说说本例已知了哪些条件？还差一个什么条件，怎么办？（让学生学会找隐含条件）。（2）你能不能用“因为……所以……即∵……∴……”来说出证明的过程？

教师根据学生回答板书规范的证明过程。

解: ΔABC和ΔABD是全等三角形

理由：在ΔABC和ΔABD中

∴ΔABC≌ΔABD（SSS）

4、练习应用

（1）已知：AB=CD,AD=BC.則∠A与∠C相等吗？为什么？

（2）教师用多媒体展示现实生产生活中的实际例子:菜架、桥梁、铁塔、自行车中的三角形结构,再次说明三角形三边固定,三角形的形状、大小就固定了,这就是三角形的稳定性,也就是说三边对应相等的三角形全等。

（3）三角形的稳定性，而四边形、五边形等多边形稳定性不稳定性?学生举出生活中的三角形稳定性的例子。

六、教学小结

三角形全等的条件（sss）教学，采用了探索、归纳、分类讨论的思想方法,探究现实生活中的数学问题,体现了数学产生于生活而又用于生活的思想,并且注重学生动手、动口、动脑的能力培养,充分发挥学生的主观能动性,真正体现学生是学习的主体。

作者简介：