高中概率教案

高中概率教案（共11篇）

1.高中概率教案 篇一

3.1.3 概率的基本性质（第3课时）

一、教学目标：

1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；

（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1-P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。

三、学法与教学用具：

1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；

2、教学用具：投灯片

四、教学设想：

1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……

师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？

2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1-P(B)．

3、例题分析：

例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。

解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.1例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=2，1P(B)=2，求出“出现奇数点或偶数点”．

分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．

1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品；

12．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=2，1P（B）=6，求出现奇数点或2点的概率之和。

3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率。

4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子

121的概率是7，从中取出2粒都是白子的概率是35，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

6、评价标准：

1．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。

2．解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率

112之和为P（C）=P（A）+P（B）=2+6=3

3．解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

4．解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的11217和，即为7+35=35

7、作业：根据情况安排

2.高中概率教案 篇二

概率基本概念的教学区别于其他数学基本概念的教学,是在认识随机现象的基础上形成的。而基本概念的引入方式直接影响学生对概念的形成,也影响到教学活动的顺利开展。笔者以几何概型及计算公式概念引入为例,进一步阐述概念引入对概念形成的重要性。

几何概型是新增内容之一,对几何概型的引入,人教A版通过举例首先说明几何概型与古典概型概念的区别是试验的结果不是有限个。举例分别是有一个人到单位的时间可能是8:00-9:00之间的任何一个时刻;往一个方格中投入一个石子,石子可能落在任何一个点上。举例的目的是进一步说明几何概型的特点。

课本中事先设计了转盘游戏的模型、撒豆子模型,这就需要教师根据教学需要,以一些实物模型作为教具,通过实际操作引导学生,感知几何概型,为归纳几何概型计算公式打好基础。

例1如下图(1)(2),有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜。否则乙获胜。问题:在下列两种情况下分别求甲获胜的概率。

例2如图(3),在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值。

北师大版对几何概型的引入,首先阐述了大量重复试验人工处理费时费力,然后介绍了模拟方法应用的广泛性及价值。通过两个具体案例,运用在图形当中撒芝麻粒的模拟方法归纳总结出几何概型的概念及几何概型的特点。从两个版本对几何概型的引入看,其共同特征都是具体问题动手操作,在操作中感知几何概型的特点,提出问题建立模型;从处理方式上,两个版本不尽相同,北师大版更加注重模拟的方法。

二、概念教学注重概念定义关键词的辨析

理解概念是一切数学活动的基础。当前,概念教学走过场的现象十分普遍,对基本概念的教学常采用的是“一个定义,几项注意”的教学方式,学生对基本概念关键还辨析不清,直接影响了学生应用水平的提高。以互斥事件概念为例:

案例二互斥事件

互斥事件概念内容是:在一个随机试验中,我们把一次试验不能同时发生的两个事件称作互斥事件。

互斥事件有一个发生的概率,如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即事件A与B有一个发生)的概率等于事件A与B分别发生的概率的和,即

P(A+B)=P(A)+P(B)

理解互斥事件应抓住概念定义的关键词,注意讨论两点:1.如果事件A、B互斥,那么在事件讨论的全过程中,事件A与B同时发生的机会一次也没有,即A与B发生与否由三种可能:A发生,B不发生;A不发生,B发生;A与B都不发生。2.两个事件A与B互斥,从集合论观点看是指由A与B所含的结果所组成的集合的交集是空集。

抓住基本概念的关键词,进一步解释概念,不但能加深学生对概念本质的认识,当然,在解释概念的过程中,要注意学生最近发展区,对概念的解释要循序渐进的掌握,通过对概念的深化,不但加深学生思维深刻性和批判性,而且能提高学生概念把握的能力。

三、加强变式教学,巩固概念

变式教学,是指“在教学过程中,教师采用变式教学方法使学生辨别概念不同表达形式,从多角度理解掌握概念。”教师要精心挑选一些相关基本概念的训练题目,让学生在解决问题的过程中,促进学生对概念的认知内化,从而巩固概念。

案例三几何概型

人教A版几何概型的定义是:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称“几何概型”在几何概型中,事件A的计算公式是

北师大版几何概型的定义是:向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1奂G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状,位置无关,即

称这种模型为几何概型。几何概型的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或面积之比。我们可以对构成区域的长度、面积、体积、时间作变式,现只以对构成区域的长度为例进行变式:

例如右图,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?

分析:从每一个位置安装都是一个基本事件,基本事件有无限多个,但在每一处安装的可能性相等,故是几何概型.

3.关于高中数学概率论探究 篇三

纵观数学发展的历史，数学这门科学曾出现三次重大的飞跃.第一次是从算数到代数的过度，第二次是常量数学到变量数学的过度，第三次就是从确定数学到随机数学的过度。从哲学的角度讲，世界是变化的，世界唯一不变的本质就是无时无刻在变化。现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而随机数学就是研究事物变化的最主要的数学工具。概率论是随机数学中最基础的部分，使我们高中学生所必修的一门基础课.但我们已经习惯了用确定思维方式去学习数学，在学习概率论时时常会感觉到基本概念抽象难以理解，思维难以发散展开。这些都使得我们对这门课望而生畏，甚至有放弃的念头。我认为在概率论的学习过程中建立学习随机数学的思维方法就十分重要。作为高三生，在学习过程中有一些心得在这里想跟大家探讨。

一、了解数学的发展历史，概率论产生的时代背景

这不仅是了解一点点知识，而是从应用的角度，生活的角度宏观的了解这门学科的实用意义 ，也是思维中建立数学模型的一个基础。比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18 世纪，为解决天文观测误差而提出的.在17到18 世纪，由于观测仪器不完善以及经验缺乏等原因，天文观测误差很大，是天文学发展的重要问题，科学家投入了大量的研究。1733年，由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）首次提出正态分布概念，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，他指出正态分布可以很好地“ 拟合” 误差分布，故正态分布又叫高斯分布。时至今日，正态分布公认为最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布。我们知道概率论中，古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型我们不难理解。但是继而出现的概率公理化定义，我们总认为抽象、难以理解。尤其是概率公理化定义里出现的σ 代数这一概念：设Ω 为样本空间，若Ω 的一些子集所组成的集合？ 满足下列条件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，则A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，则∈∞=nnA ∪1？ ，则我们称 ？ 为Ω 的一个σ 代数。我们怎样才能更好的理解这一概念呢？很多同学相比之下更适合形象思维，于是我们引入几何概型的一点历史，帮助理解为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ 代数。几何概型计算方法是19 世纪末新发展起来的，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念，从有限向无限的延伸。1899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“ 贝特朗悖论” ，矛头直指几何概率概念本身.这个悖论是：给定一个半径为1 的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3 的概率为多大？对于这个问题，我们假定端点在圆周上均匀分布，结果概率等于1/3；假定弦的中点在直径上均匀分布，得出概率为1/2；假定弦的中点在圆内均匀分布，随之概率又等于1/4。同一个问题，竟有3 种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3 种答案针对的是3 种完全不同的随机试验，于各自的随机试验而言，都是正确的.因此在使用“ 随机” 、“ 等可能”、“ 均匀分布” 等条件概念时，应明确其含义，这又因试验而不同而不同.也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件。换言之，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件。

二、广泛运用案例学习法

案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为我们所理解。我们通过案例引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的途径和方法。我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以认知。条件概率一节时有一个有趣的案例——“ 玛丽莲问题” ：十多年前，美国的“ 玛利亚幸运抢答”

了这样一道题在电台公布：三扇门的背后，我们分别定义为1号、2号、3号，分别藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，汽车就归你所有。如果你第一个选择了1 号门，然后主持人打开了剩余两扇门其中的一个，这扇门背后是只羊，你看到了，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

这个问题与类似于当前电视上一些娱乐竞猜节目，我们很容易积产生兴趣。讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西相关，这样就可以很自然的理解条件概率。在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得我们积极性高涨，另一方面让我们认识到所学的概率论知识与我们的日常生活息息相关。因此在学习概率论基础知识时，关注有关经典的案例，会帮助我们理解。例如看电影《赌神》时，我们分析扑克牌出现三A的概率或者同花顺的概率；再比如我们看世界杯时分析某支球队的夺冠概率等。

4.概率教案 篇四

一、教学目标

掌握通过逻辑分析用计算的方法预测概率，知道概率的预测，概率的频率含义，所有事件发生的概率和为1；经历各种疑问的解决，体验如何预测一类事件发生的概率，培养学生分析问题解决问题的能力；

二、重点：通过逻辑分析用计算的办法预测概率

三、难点：要能够看清所有机会均等的结果，并能指出其中你所关注的结果

四、教学方法：讲练结合法

五、教学器具：多媒体、扑克

六、教学过程

（一）关注我们身边的事：

1）如果天气预报说：“明日降水的概率是95%，那么你会带雨具吗？” 2）有两个工厂生产同一型号足球，甲厂产品的次品率为0.001，乙厂产品的次品率是0.01． 若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同，你愿意买哪个厂的产品？

上述事例告诉我们知道了一件事情发生的概率对我们工作和生活有很大的指导作用.（二）热身运动：

我们三（1）班有21位同学，其中女同学11名，老师今天早上正好看见我们班一位同学在操场锻炼身体，问：我遇到男同学的机会大，还是女同学的机会大？

遇见男生的概率大还是女生的概率大？我们需要做实验吗？我们能否去预测？

复习上节课概率的计算方法

（三）热点探讨：

问题 2006年10月6日，经过三年的建设,由世界建筑大师贝聿铭老先生设计的苏州市博物馆新馆在百万苏州市民的热切期盼中正式开馆.为了让大家能一睹这一被贝老喻为“最亲爱的小女儿”的方容，老师准备带一部分同学去参观苏博新馆，那么带哪些同学去呢？老师准备这么做： 在我们班里有女同学11人，男同学10人。先让每位同学都在一张小纸条上写上自己的名字，放入一个盒中搅匀。如果老师闭上眼睛从中随便的取出一张纸条，想请被抽到的同学等会上讲台和老师一起去参观，这个方法公平吗?那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学的概率大？

分析 全班21个学生名字被抽到的机会是均等的．

11解

P（抽到女同学名字）=，2110

P（抽到男同学名字）=，所以抽到女同学名字的概率大． 请思考以下几个问题：，表示什么意思？ 21如果抽一张纸条很多次的时候，平均21次就能抽到11次女同学的名字。

2、P(抽到女同学名字)+P(抽到男同学名字)=100%吗？

如果改变男、女生的人数，这个关系还成立吗？ 请学生回答

所有等可能事件发生的概率之和是1

1、抽到女同学名字的概率是

四、你能中奖吗：

1.一商场搞活动促销，规定购物满一百元可以抽一次奖，规则如下，在一只口袋中放着8只红球和16只黑球，抽到红球即获奖，这两种球除了颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别是多少？

162解 P（取出黑球）＝=, 2

431 P（取出红球）＝1－P（取出黑球）＝，321所以，取出黑球的概率是，取出红球的概率是． 想一想：

33如果商场换成以下的抽奖方案：甲袋中放着20只红球和8只黑球，乙袋中则放着20只红球、15只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球才能获奖，你选哪个口袋成功的机会大呢？

解题过程见课件

下面三位同学的说法，你觉得这些同学说的有道理吗？

1．A认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；

2．B认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大。3．C则认为都一样，因为只摸一次，谁也无法预测会取出什么颜色的球．

幸运抽奖：老师手上有两组扑克，一组有7张，其中两张A，另一组16 张，其中四张A，现在老师抽一名同学上来选择一组抽一张，抽到A获奖。

小试身手

在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片.试求以下事件的概率.（1）该卡片上的数字是5的倍数；（2）该卡片上的数字不是5的倍数；

（3）该卡片上的数字是素数；（4）该卡片上的数字不是素数.学生上黑板书写，纠正学生的不规范书写

注意关注所有机会均等的结果和所需要关注的事件个数 试一试

1、任意翻一下2005年日历，翻出1月6日的概率为________;翻出4月31日的概率为___________。翻出2号的概率为___________。

2、掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：（1）点数是3；（2）点数大于4；（3）点数小于5；（4）点数小于7；（5）点数大于6；（6）点数为5或3．

3、李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她：“注意，别被来往的车辆碰着”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300万人口，每天的交通事故只有几十件，事件发生的可能性太小，概率为0。”你认为她的想法对不对？

4、小强和小丽都想去看电影，但只有一张电影票，你能用手中的扑克牌为他们设计一个公平游戏决定谁去看电影吗？（方法多种多样，让学生自己分析）

以上两题组织学生讨论

幸运笑脸：有一个幸运翻板，参与同学回答老师一个问题，答对可以获得一次翻板机会，20个板块中有5个后面试笑脸，翻到笑脸可获得奖品。（是否公平，为下节课埋个伏笔）

五、小 结

1． 要清楚所有等可能结果； ．要清楚我们所关注的是发生哪个或哪些结果； 3 ． 概率的计算公式：

六、布置作业

教学反思：

用样本估计总体(1)知识技能目标

1.进一步体会随机抽样是了解总体情况的一种重要的数学方法,抽样是它的一个关键； 2.根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．

重点和难点

通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算样本平均数和标准差并与总体的频数分布直方图、平均数和标准差进行比较，得出结论．

教学过程

一、创设情境

有这么一个笑话：妈妈让一个傻儿子去买一盒火柴，走的时候特别嘱咐这个傻儿子：“宝贝，买火柴的时候要注意买好火柴，就是一划就着的火柴，别买那划不着的火柴啊．”傻儿子答应了妈妈，就去买火柴了．回来的时候，他兴高采烈地喊：“妈妈，妈妈，火柴买回来了，我已经把每一根火柴都划过了，根根都是一划就着的好火柴！” 这虽然是一个笑话，但告诉了我们抽样的必要性． 再请看下面的例子：

要估计一个湖里有多少条鱼，总不能把所有的鱼都捞上来，再去数一数，但是可以捕捞一部分作样本，把鱼作上标记，然后放回湖中，过一段时间后，等带有标记的鱼完全混入鱼群后，然后再捕捞一网作第二个样本，并计算出在这个样本中，带标记的鱼的数目，根据带标记的鱼所占的第二个样本的比例就可以估计出湖中有多少条鱼．

在刚才讲的笑话中，傻儿子其实只要抽取一盒火柴中的一部分来考察火柴是否一划就着就可以了．

二、探究归纳

像这样，抽取一部分作为样本进行考查，用样本的特性去估计总体的相应特性，就是用样本估计总体．为了更好地学习本节知识，我们来回顾一下：什么是平均数、总体平均数、样本平均数、方差、标准差？

平均数：一般地，如果有几个数X1、X2、、X3、„„、Xn，那么x1(x1x2x3xn)，n叫做这几个数的平均数．

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．

方差：对于一组数据，在某些情况下，我们不仅要了解它们的平均水平，还要了解它们波动的大小（即偏离平均数的大小），这就是方差．

s21(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n标准差：方差的算术平方根．

s1(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n

三、例题解析

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠．

假设总体是某年级300名学生的考试成绩，它们已经按照学号顺序排列如下（每行有20个数据）：

如图1所示，根据已知数据，我们容易得到总体的频数分布直方图、平均成绩和标准差．

总体的平均成绩为78.1分，标准差为10.8分

图1 用简单随机抽样方法，得到第一个样本，如5个随机数是111，254，167，94，276，这5个学号对应的成绩依次是80，86，66，91，67，图2是这个样本的频数分布直方图、平均成绩和标准差．重复上述步骤，再取第二和第三个样本．

第一个样本的平均成绩为78分，标准差为10.1分

图2 图3是根据小明取到的第二和第三个样本数据得到的频数分布直方图．

第二个样本的平均成绩为74.2分，标准差为3.8分

第三个样本的平均成绩为80.8分，标准差为6.5分

图3 思考 图2、3与图1相像吗？平均数以及标准差与总体的接近吗？

发现 不同样本的平均成绩和标准差往往差异较大．原因可能是因为样本太小．

用大一些的样本试一试，继续用简单随机抽样方法，选取两个含有10名学生的样本，图4是根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图．

第一个样本的平均成绩为79.7分，标准差为9.4分

第二个样本的平均成绩为83.3分，标准差为11.5分

图4 发现 此时不同样本的平均成绩和标准差似乎比较接近总体的平均成绩78.1分和标准差10.8分．

猜想 用大一些的样本来估计总体会比较可靠一点．

让我们用更大一些的样本试一试，这次每个样本含有40个个体．图5是根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图．

第一个样本的平均成绩为75.7分，标准差为10.2分

第二个样本的平均成绩为77.1分，标准差为10.7分

图4 发现 图4中样本的平均成绩和标准差与总体的平均成绩和标准差的差距更小了． 结论 样本大更容易认识总体的真面目． 下面请同学们也用自己的抽样数据分析一下．

四、交流反思

随着样本容量的增加，由样本得出的平均数、标准差会更接近总体的平均数、标准差． 样本大更容易认识总体的真面目．因此，可以通过选取恰当的样本来估计总体．

五、检测反馈

1．某校50名学生的体重记录如下（按学号顺序从小到大排列）（单位：kg）

试用简单的随机抽样的方法，分别抽取5个、15个、30个体重的样本各两个并计算样本平均数和标准差．把它们与总体平均数和标准差作比较，看哪个样本的平均数和方差较为接近．

2．某校九年级(1)班45名学生数学成绩如下（单位：分）

(1)请你用简单的随机抽样方法选取2个样本容量为10的样本，2个样本容量为20的样本，2个样本容量为30的样本，并将你选取的各样本的数据和相应的样本的平均数和标准差填入下表（精确到0.1）

(2)求出九年级(1)班45名学生数学的平均成绩和标准差．分别将表格中不同样本容量的平均数、标准差与总体的平均数、标准差进行比较，从比较中你发现些什么？

5.复习教案统计与概率 篇五

教材内容

1．本节课复习的是教材114页6题及相关习题。

2．6题以我国城市空气质量为素材，让学生根据扇形统计图所提供的信息解决实际问题，在这里，“273个城市空气质量达到二级标准”是一个多余信息，要求学生在解决问题时学会选择有效的信息。在此基础上，让学生通过调查、记录、查询等手段了解所在城市的空气质量状况，提出改善空气质量的建议。教材117页17题主要复习根据统计图中部分量与总量之间的关系，灵活选用乘法或除法解决问题。

3．教材通过复习，帮助学生进一步体会扇形统计图能清楚地反映各部分数量同总量之间关系的特点，并能根据给出的信息解决一些问题，提高分析信息、解决问题的能力。教学目标 知识与技能

1．进一步认识扇形统计图，能对统计图提供的信息进行分析解读。2．灵活运用统计知识进行相关的计算或解决问题，加深对所学知识的理解。过程与方法

1．经历整理和复习知识的过程，培养学生观察、思考、总结的能力，渗透比较思想。

2．通过复习，提高学生收集信息、处理信息、解决问题的能力。情感、态度与价值观

1．引导学生将数学知识与现实生活相结合，解决一些实际问题，感受数学的实用价值，激发学生的学习兴趣。

2．通过小组合作学习，鼓励学生乐于合作、善于交流、敢于表达。重点难点

重点：巩固所学的统计知识，提高解决问题的能力。难点：根据统计图准确分析数据。

课前准备

教师准备 PPT课件

教学过程

⊙谈话导入

1．我们一共学过哪几种统计图？

（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）这几种统计图分别具有什么特点？（1）小组内交流。（2）学生汇报。

生1：条形统计图的特点是很容易比较各种数量的多少。

生2：折线统计图的特点是不但可以表示数量的多少，还可以清楚地看出数量的增减变化情况。

生3：扇形统计图的特点是能清楚地表示各部分数量与总数之间的关系。2．什么是扇形统计图？

（扇形统计图用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比）

设计意图：在复习扇形统计图意义的基础上，复习学过的统计图的种类及特点，在对比中进一步加深对扇形统计图的了解。

⊙复习用扇形统计图知识解决问题 1．根据扇形统计图解决问题。（课件出示教材114页6题）

我国城市空气质量正逐步提高，在2010年监测的330个城市中，有273个城市空气质量达到二级标准。监测城市的空气质量情况如下图所示。

（1）空气质量达到三级标准的城市有多少个？

（2）了解你所在城市的空气质量，讨论一下如何提高空气质量。2．解决问题。（1）解决问题（1）。

①思考：题中的有效信息有哪些？无用信息有哪些？ ②汇报。

生1：题中“有273个城市空气质量达到二级标准”是无用信息。生2：对于问题（1）而言，题中“330个城市”和“16.1%”是有效信息。③根据统计图算出空气质量达到三级标准的城市有多少个。330×16.1%≈53（个）（2）解决问题（2）。

①组内交流：说一说你所在城市的空气质量问题。②全班交流：如何提高空气质量？ 生1：要改善取暖工程。生2：加强环保意识。

生3：严禁开私家车，统一乘坐公交车，这样避免二氧化碳大量排放。生4：减少工厂废气排放。

设计意图：根据从扇形统计图中获取的信息进行相关的计算，进一步培养学生获取信息、解决问题的能力。

⊙巩固练习

1．小红收集的各种邮票统计如上图。

（1）小红收集的风景邮票、人物邮票和建筑邮票数量的比是（）。（2）小红收集的（）邮票数量最多。

（3）小红共收集了200张邮票，其中风景邮票有（）张。2．完成教材117页17题。⊙课堂总结

通过这节课的复习，你有什么收获？ ⊙布置作业

6.初中九年级数学概率教案 篇六

(2)通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法.

1、情感态度与价值观

(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系;

(2)培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识.

2学情分析

7.高中概率教案 篇七

一、高中概率与统计教材特点分析

教材强调典型案例的作用因为我们的教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际, 这样才能更好地让学生学习和理解。还可以有效借助于现代信息技术。要对概率统计自身特点进行综合考虑, 统计中要对大量的数据进行分析和处理, 模拟试验结果会在概率中通过随机模拟方法大量地产生, 之后要对试验结果进行分析和综合, 因而很有必要借助于现代信息技术。

二、教学要求在新课标下的主要变化

第一, 更加强调运用统计思想解决实际问题的能力, 不再是过去对图表和数据相关计算方面的强调;更加重视学生主体性的充分发挥, 提高学生学习的自觉性和以一个更加积极主动的状态去学习;时代的发展也对教育提出了新要求, 那就是更加注重培养学生的实践能力和探索精神等体现自主精神的内容。

第二, 过去一味地重视教学目标中的知识技能性目标, 如今更加重视的是过程性目标和学生的个体体验。

第三, 过去只关注理论知识的掌握, 如今更加重视知识的实际应用, 要求学生在理解实际案例中统计知识的过程中, 掌握其基本概念和计算方法;学习活动要充分渗透“数学探究”和“数学文化”, 将学生的学习兴趣培养起来, 进而激发他们积极主动地探索知识和探究的学习方法。

三、现阶段中学概率与统计教学中存在的问题

如今的高中数学“概率”部分知识的教学还存在很多问题, 教学方式、方法过于单一, 反馈交流机制尚未完善等。因此, 要切实灵活地实施应用一些有效的教学策略, 来针对高中数学“概率”缓解的教学, 借助多媒体现代技术进行辅助练习, 适配讲解随机事件, 剖析概念内涵和排列组合的基本原理, 将多种讲解方式的练习方式融入具体的概率教学。这就使得数学课堂不仅仅用于传递知识, 更可以用来尝试各种试验, 来体验和了解生活。这样就不仅保证了高中数学概率教学效果得到快速有效地提升, 还有助于概率统计教学探究性教学模式的实现。

四、高中概率与统计的教学策略

1.创设情境。

教师对教学过程进行精心地设计, 同时借助现代教育技术手段, 创设虚拟的数学情境, 尽可能在数学虚拟实验室中创设较为真实的情境, 从而易于学生对问题的理解。

2.提出问题。

教师对教学环节进行精心地设计, 用课题、因果和联想等质疑方法来指导学生, 和学生一起采用多种方式提出问题, 这也是对学生提问能力和质疑能力的培养, 使得学生作为学习的主体不再被动地接受知识, 而是主动地去认识和探索知识。

3.自主探索。

由我们的数学教师先对学生进行启发和引导, 然后再让学生独立思索, 去分析和探索问题, 教师从旁协助, 可以适时给予一定的提示, 帮助学生一步步找出现实, 从而解决问题。这就令学生始终处在了认知主体的地位, 不断学会主动地去探索、思考和建构知识, 但这不能脱离教师事先预设的范围, 也不能脱离了教师精心的教学设计, 教师从旁协作和引导着学生的整个学习过程;教师不需要和以前一样不停地分析问题、讲解难题, 而是教会学生解决问题的方法和思路, 让他们自己主动去建构意义, 将教学的主导者和学习的主体二者实现结合。

4.同学之间的讨论协作。

教师还要让学生在自主探索的同时做到与小组成员协商和讨论, 这样的协作学习方式可以使主题的意义建构得到进一步地完善和深化, 小组成员间的互动交流和激烈的争论往往能有效调动学生的积极性, 同时加深他们对问题的理解。

8.高中概率教案 篇八

【摘 要】 生活中蕴含着各种概率统计原理.从实际生活出发，选取具体生活事例，阐述其蕴含的概率统计原理，并将其运用于实际高中教学中，力求使课堂充满浓厚的生活味.

【关键词】 概率统计；高中教学；生活味

概率论是研究随机现象的学问，统计学注重的是数据的收集、整理、分析，生活中处处都有概率统计学的影子.处处留心皆学问，本文将选取生活中的一些现象，阐述其蕴含的概率统计原理，并将其应用到教学中去，使课堂充满浓厚的生活味.

1 生活中的随机现象与概率的意义

“随机事件的概率”是人教A版《数学必修3》第三章第一节的内容，是本节课的第一课时，课程标准要求“教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中的一些错误认识.”

自然界和人类生活中存在着两种现象：确定性现象和随机性现象.有些俗语如“瓜熟蒂落”、“水到渠成”、“打草惊蛇”、“叶落归根”等这些说的都是自然界中一些事必然会发生的，它们的结果是确定的.但是有些事情，可能发生也可能不发生，也即由条件无法预知结果，称为随机现象.如“塞翁失马，焉知福祸”揭示了福祸的不确定性和随机性.

例如，从古至今，文件的保密性很重要.如果泄密，那么可能会导致战役的失败、经济上的重大损失，甚至会导致国家的灭亡.为了保证安全，保密文件的传送经常用“密文”的方式进行.后来有人使用26个字母分别对应1～26个自然数或其他代码等方法传送密文，只要传送一方和接受一方均知道这个对应表即可.用我们掌握的概率知识，就可以破解这个密码.经过研究，人们发现，英语书面语言中的字母以基本固定的频率出现.不同字母出现的频率不同，这是英语书面语言的一个重要特征.在通常的文章中，字母“e”平均出现的比例占所有字母的12%左右，“t”占97%左右，而“j”的出现远小于1%.如果掌握了这个规律，再用上面的方法加密，通过对用密码写的密文中的字母的频率的分析，就比较容易破译出密文.

我们发现每个字母出现的频率最终都趋于一个稳定的常数，这说明随机现象具有两面性：随机性和规律性.数学研究的随机现象的特点就在于概率的稳定性，其中所蕴含的随机思想正是概率与统计思想的基础.

2 生活中的小概率原理

近年来，中国彩票行业发展比较迅速，尤其中国的福利彩票巨奖频现，继2009年河南彩民独中36亿元之后，2010年一河南彩民博得358亿元，近日浙江彩民狂揽565亿.这接二连三的博得巨奖，无疑让中国福彩业沸腾了，但是并非人人都有这样的好运气.有人计算过，中双色球一等奖的概率为5.64×10^-8，二等奖的概率为8.464×10^-7，三等奖的概率为9.1417×10^-6

，可见，中一等奖的概率几乎接近于零.像彩票中奖、汽车抛锚、飞机失事、地震海啸等都是我们所说的典型的小概率事件，意指发生可能性很小的事件.

生活中有很多事情发生的概率很小，有谚语说“常在河边走，哪有不湿鞋”、“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“天网恢恢，疏而不漏”“瞎猫也能碰上死老鼠”，这些事情似乎不可能发生，但“不怕一万，就怕万一”，这些俗语都说明了概率再小的事件在长期的重复中都有可能或必然发生.

现在我们用概率的知识去证明这个原理，我们假设一个小概率事件的发生概率为p，设Ak（k=1，2，3，…）表示第k次A发生，则前n次试验中A至少发生一次的概率为：P（∪n[]i=1Ai）=1-P（∩n[]i=1Ai）≤0.05，所以试验次数达到无穷大时，事件A的概率越来越趋向于1，而成为必然事件.也就是说不管发生概率多么小的事件，在多次试验中必然会发生.

我们不会因为飞机会出现失事而拒绝坐飞机，也不会因为彩票中奖率低而停止购买彩票.小概率事件虽然发生的概率很小，有的概率几乎接近于0，人们坚信它不会发生.而彩票的中奖率虽然也很低，但是人们坚信它有朝一日总会发生.

我们既要防止危险的小概率事件的发生，即在祸患发生之前就要做好预防，不能因为其发生的概率小就以为它不会发生，俗话说“防微杜渐”讲的就是这个道理.像飞机失事，地质灾害等灾难发生的概率虽极其微小，但是我们只有做到防患于未然，才能将其所带来的伤害降到最低.同时也要认识到当事件大量的重复时，小概率事件必会发生.所以我们也不应该认为一件事情发生的概率及其微小，就认为它不可能发生，而拒绝去做它，这样也会错失很多机会.

从生活中常见的一些事件中学习小概率原理，最重要的是我们既要认识到小概率事件在一次试验中不可能发生，又要认识到在多次重复试验下，小概率事件必然会发生.在教学中通过生活中的常见现象，学生能够更好地学习小概率事件及其原理，同时在学习之后还能将这些原理运用于生活，达到学以致用.

3 生活中的抽样调查

生活中我们在做菜时，尝一口菜就知道整锅菜的咸淡，这就是统计学中的抽样调查，我们在学习抽样调查时，在教学中可以先设置这样一个案例.

案例1：一个小孩，他的爸爸让他到商店买一盒火柴，并嘱咐他，试一试火柴是否擦得着.小孩买了一盒火柴一边往家里走，一边一根接着一根的擦.回到家里他高兴地告诉他的爸爸：试过了，每一根都擦着了！你认为这个故事中的小孩试火柴擦得着的方法蕴含了什么统计知识？这样做合适吗？为什么，如果是你，你会怎么做？

这也是生活中常见的一个问题，设计这个案例的意图是：有时候全面调查不能很好地解决问题，这时候我们需要抽样调查，就是由部分推断总体.

通过这个案例我们知晓了什么是抽样调查，生活中我们常说的“一叶知秋”、“管中窥豹”、

“见微知著”反映的也是这个原理，比喻小中见大，用数学语言就是我们可以通过总体中的一个部分来推断这个整体所具有的特征，在案例中，爸爸让小孩试一试火柴能否擦得着，我们可以选取其中的一根或两根甚至更多来检验整包火柴的质量.但是究竟抽一根还是两根或者更多呢？这就引出了后续我们所要学习的内容即如何进行抽样调查，怎样选取样本等一系列问题.所以这个案例的设置既从生活中的一个小现象道出了抽样调查的含义，又引起了学生对后面所要学习内容的思考.

4 数学期望与生活

数学期望是随机变量最常用的数字特征，在概率论与数理统计中占有重要地位.一般教师在讲授这一概念时，先由一个简单例子直接给出离散型随机变量数学期望的定义.这种授课方式存在很大的问题，一是学生对其概念只停留在公式的表面形式，对其意义理解不够.从简单的生活现象出发，从生活现象中发掘数学期望的概念及其意义，然后自然地导出数学期望的计算公式.

我们知道概率最早起源于赌博问题.在教学一开始，我们不妨引出一个赌博的例子：有这样两个赌徒，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就可以获得全部赌金.赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，无奈天色已晚，他们不想再赌下去了，那么这个钱应该如何分？

数学期望的加权平均和普通的平均值有什么区别呢？它是建立在随机事件发生的基础之上而得到的平均值，他刻画了随机变量的某些性质.例如对某一射手进行技术评定时，经常考察的就是射击环数的平均值；检查一批棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度；考察某种大批量生产的元件的寿命时我们往往只需要知道元件的平均寿命，等等.

由历史上的赌博问题引出数学期望这个概念，再将数学期望知识应用于生活实例当中去，体现了数学期望引出的意义，就是现实生活中“平均值”的推广，更重要的是将这种平均、公正的思想运用于社会生产实践当中，真正体现数学期望为生活服务的价值.

5 生活中的独立性与互斥

概率论中事件的独立性是指两个事件没有关系，我们的生活中处处蕴含着这种独立思想.

一般教师在教授这个知识点时会让学生直接记住它的等式P（AB）=P（A）P（B），学生很难理解独立性的真实意义，更有甚者，直接将概率中的独立性与事件互不相容直接画等号.而两事件互斥是指事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，它与事件的独立性有着本质区别.

5.1 生活中的独立性

教师在讲解概率中的独立性时，可以结合一些日常生活中常见的现象来阐释独立性原理.如“风马牛不相及”，便是独立的，“各行其是”，也是独立的.也可通过生活中常见的事例进行教学.

例1：生男孩还是生女孩？

一对夫妻已经生了三个女孩，他们想第四个孩子一定是男孩，他们的想法对吗？这是生活中常见的现象，一般人以为既然前面三个孩子都是女孩，那么第四个是男孩的几率大一些.由于每次生男孩与生女孩都是独立的，所以每次生女孩和男孩的概率都是固定的即1/2.这是一个简单的例子，很多人都有错误的观念，认为每次生孩子是有关联的，其实不然.

通过生活中的现象我们理解了独立性，然后再运用独立性去解决生活中的问题.

5.2 生活中的互斥

生活中我们经常听到这样一句话“鱼与熊掌不可兼得”，它表示我们不能同一次得到两种东西，必须学会舍弃.人生的十字路口也是一样，我们必须学会选择，你选择了走一条大道，就得舍弃羊肠小路.这些生活中的现象蕴含着互斥的原理.

教学时可以撷取生活中比较有趣的事情，既能提高学生的兴趣，又能体现丰富的数学思想，下面我们可以看一则幽默：一吝啬鬼在自家草坪上剪草，其邻居过来问他：“周末上午你打羽毛球吗？”吝啬鬼生怕邻居借羽毛球打，忙说：“打、打，一整个上午都打.”这时邻居又说：“那你肯定不用剪草机了.”看完后大家肯定要想吝啬鬼偷鸡不成蚀把米.这个故事就可用概率中的互斥事件来解释了.

从生活实例去解释数学原理，使原本难以理解的概念变得通俗易懂.单单从概念和公式去把握独立性和互斥，许多学生可能会混淆两者，不能深入理解其内在含义.

在生活中还有很多现象都蕴含着独立性、互斥的思想，教师将这些现象作一归纳，将其中所蕴含的独立性、互斥原理提出来，体现了生活中处处蕴含着概率论的知识.

6 结束语

9.概率统计第五章教案 篇九

1、引言：在刚开始我们提到事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，在实践中，人们还认识到测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景；中心极限定理则从理论上证明了在客观世界上所遇到的许多随机变量的和是服从正态分布或近似服从正态分布的.§5.1大 数 定 律

5.1.1切比雪夫不等式

2、切比雪夫不等式：对于任何具有有限方差的随机变量X，都有PXEXDX2，其中为任一正数.不等式

DX也可写成：PXEX12.证明：设随机变量X为离散型随机变量，其概率分布律为PXxp，k1,2,，则

kkPXEXxkEX122按概率的定义XEXPXxk

第一次放大XEXxkEXpk22 求和范围放大按概率的定义xkEXpk XEX21212xk1kEXpk2

按方差的定义DX2.若随机变量X为连续型随机变量，且概率密度函数为fx，则：

PXEXxEX122按概率的定义xEX2fxdx

第一次放大积分范围放大xEXxEXfxdx2

xEXfxdx 按方差的定义DX2122

3、结论：切比雪夫不等式具体地用随机变量X的数学期望EX和方差DX来估算随机变量X的概率分布，具体地用方差估算了随机变量X取值时以

的数学期望EX为中心的分散程度.4、例如：若X~N，，则 XPXEX1

DX22，即PX12.28PX310.8889； 当3时有239215当4时有PX4142160.9375； 224PX510.9600.当5时有2525而实际计算得：PX30.9974，这与用切比雪夫不等式估算的结果不矛盾.5、例1：已知正常男性成人的血液中，每一毫升的白细胞数平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设随机变量X表示正常男性成人的血液中每一毫升 的白细胞数，则EX7300，DX700

2P5200X9400PX73002100

PXEX2100

1DX27002810.8889.221009

6、例

12：在每次试验中事件A以概率2发生，是否可以用大于等于0.975的概率确信，在1000 次试验中，事件A出现的次数在400与600范围内？ 解：设在1000 次试验中，事件A出现的次数为X，则

7、例

X~B1000,12，EXnp100012500，DXnpq100011212250；

P400X600PX500100PXEX100

1250100212501000010.0250.975.所以可以用大于等于0.975的概率确信，在1000 次试验中，事件A出现的次数在400与600范围内

3：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假设灯的开、关是相互独立的，估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率（见课本P124的例1）.7 解：设随机变量X表示夜晚同时开着的灯的数量，由于每盏灯只有两个可能结果，而且灯的开、关是相互独立的，X~B10000,0.7，若用贝努里公式计算应为

P6800X72007199k6801kC100000.7k10.710000k，计算量很大，不易计算.下面用切比雪夫不等式来估算：

EXnp100000.77000，DXnpq100000.710.72100；

P6800X7200PX7000200

PXEX2002100210011220040000

10.05250.9475.此题说明：虽然10000盏灯，但是只要供应7200盏灯的电力就能以不低于94.75%的概率保证够用.5.1.2伯努利大数定律：

8、定理1（伯努利大数定律）：设是n重伯努利试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的nnlimPp1 概率，则对于任意0，都有证明：设随机变量

nnX1,第i次试验中事件A出现i0,第i次试验中事件A不出现，i1,2,,n

Xi服从参数为p的两点01分布，EXip，DXipq，其中q1p，i1,2,,n，nX1,X2,,Xn相互独立，且nXii1，n从而EnXiEi11nnnEX1niEXini1ni1 1nnp1i1nnpp，nXiDnDi11nnnX1n2Di2DXnii1ni1 1npqnpq122npqi1nn，PDnnnEnnn12 pqPnnp1n21pqn2 则 由切比雪夫不等式得：即： 9

npqlimPplim11 n两边取极限得：nn2n

9、注意：

1伯努利大数定律的实际意义：

nn表示n次试验中事件A

出现的频率，当次数n很大时，事件A出现的频率与事件A出现的概率p的偏差小于任意正数的可能性很大，概率几乎达到1100%.2从伯努利大数定律可知：若事件A的概率很小，事件A出现的频率也很小，或者说事件A很少发生.从而得出小概率事件的实际不可能性原理“概率很小的随机事件在个别（或一次）试验中是不可能发生的”.3确定事件概率的方法：频率

nn与概率p的偏差任意小的概率接近1100%，那么我们就可以通过做试验来确定事件的频率，并把它作为随机事件发生的概率的估计，这种方法称为参数估计，它是数理统计主要的研究课题之一.10、序列Y,Y,,Y,依概率收敛于a（定义）：设Y,Y,,Y,是一个相互独立的随机变量序列，a是一个常数，若对12n12n于任意正数，有limPYnna1，则称随机变量序列Y1,Y2,,Yn,依概率收敛于a.11、重新叙述伯努利大数定律：设是n次伯努利试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现

n的概率，则频率

nn依概率收敛于概率p.5.1.3切比雪夫大数定律：

11、引言：人们在实践中还发现，除了频率具有稳定性以外，大量观察值的平均值也具有稳定性，这就是切比雪夫大数定律.12、定理2（切比雪夫大数定律）： 设随机变量X,X,,X,相互独立，每一随机变量分别有数学期望EX,EX,,EX,和有限方差DX,DX,,DX,，且有公共上界c，即DXc,DXc,,DXc,则对于任意0，有12n12n12n12n1n1nlimPXiEXi1 nni1ni1 1n1n1nXiEXiEXi； 证明：Eni1ni1ni11n1nX1,X2,,Xn1DXi2DXi2ni1ni1相互独立n12nnccc2； nni1nDX

ii1n由切比雪夫不等式得：

1nDXninn111PXiEXi1i 2nni1i1 11

1n1nXiEXi即：Pnni1i11ncDXini1cn112122n

作为事件的概率都应有0p1，1nc1n12PXiEXi1 nnni1i1取极限得：

1nc1nlim12limPXiEXilim1nni1nnni1n

1n1n1limPXEX1ii即：n nni1i11n1nPXiEXi1.所以：limnni1ni1

13、切比雪夫大数定律的实际意义：相互独立的随机变量的算术平均值

1nXXini1与数学期望的算术平均值1nEXi的差在n充分大时是一个无穷小量，这也意ni1味着在n充分大时，经算术平均后得到的随机变量1nXXi的值将比较紧密地聚集在EXni1的附近.14、推论（由切比雪夫大数定律可得）：设随机变量X,X,,X,服从同一分布，并且有（相同的）数学期望a及方差，则对于任意正数0，有12n21nliPmXinni1a.112

15、推论（切比雪夫大数定律的）的实际意义：假如我们要测量某一物理量a，在不变的条件下重复进行n次，得n个测量值X,X,,X，显然它们可以看成是n个相互独立的随机变量，具有相同的分布，并且有数学期望a，由推论可知，当n充分大时，n次测量结果

12nX1X2Xn的平均值可作为a的近似值：an，由此发生的误差可以任意小；这就是关于算术平均值的法则的理论依据.13 §5.2中 心 极 限 定 理

1、引言：正态分布在随机变量的一切可能的分布中占有特别重要的地位，实践中我们遇到的大量的随机变量都是服从正态分布的；在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，也是趋于正态分布的.假如所研究的随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，在概率论中有关论证随机变量的和的极限的分布是正态分布的一类定理称为中心极限定理.5.2.1独立同分布的中心极限定理

2、定理1（独立同分布中心极限定理）：设随机变量X,X,,X,相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差EX，DX0i1,2,，则随机变量12ni2inXEXiii1Yni1nDXii1nXi1ninn（这是随机变量X经标

ii1n准化后得到的随机变量）的分布函数Fx对任意的x,，都有

n

nXini1limFnxlimPxnnn

nXix1t2i1limPxe2dtn.n2证明略

3、说明：

1假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量总和实际上是服从正态分布的；实际上只要n足够大，便可认为随机变量总和是服从正态分布的.nXiEXii1i1Ynn2DXii1nXi1ninnn，当n很大时，近似服从标准正态分布N0,1，从而有

2X~Nn,nii1

5.2.2棣音同弟莫弗-拉普拉斯DeMoiverLaplace中心极限定理：

4、定理2：设随机变量n1,2,服从参数为n,p0p1的二项分布，则对于任意区间a,b，恒有

nlimPant2bnnp12bedt.a2np1p证明：由于服从二项分布的随机变量可视为n个相互独立、服从同一参数p0p1的01分布的随机变量X,X,,X之和，n12n即nXi，其中EXip，Di1nXipq，i1,2,,n，q1p，故由独立同分布中心极限定理可得：

nXint2x12i1nnplimPxlimPxedtnn，n2npq即n~Nn,npq，于是对于任意a,b有

limPant2bnnp12bedta.2np1p

5、说明：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理表明：正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算.nanpnnpbnpbnpanpPanbP

npqnpqnpqnpqnpq

6、例1：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假设灯的开、关是相互独立的，估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率（此题在本章讲稿的第三页已用切比雪夫不等式估算过）.解：n~Bn,pB10000,0.7，Ennp100000.77000，Dnnpq100000.70.32100，Dn210045.8258，P6800n7200Pn7000200

7000nPDn Dn200n7000200P4.364445.825845.8258

4.36444.3644

4.364414.3644

24.3644120.99999510.99999.即亮灯数介于6800~7200之间的概率为0.99999.7、例２：某计算器进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在0.5,0.5上服从均匀分布.求：（1）1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率.（2）多少个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概率大于0.9？ ii解：设X表示第i个数相加时的误差，则X服从区间0.5,0.5上的均匀分布，即X~U0.5,0.5，i其密度函数为：

10.50.5,0.5x0.51,0.5x0.5fx其它0,0,其它2，0.50.50.50.51EX0DX从而有i，i； 21212120012001200EXiEXi00

i1i1i112001112001200DXiDXi1200100；

12i112i1i1（1）由于大量随机变量的和的分布是近似服从正态

分布的，1200Xi01200标准化10i1PXi10P1100100i1 查标准正态分布表11111211

20.841310.6826.（2）设需n个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概

率大于0.9.则

nXin0n标准化10203i1PXi10Pnn i1nDXi12203203203210.9nn n20310.90.95n，2

查标准正态分布表得：1.6450.9

5203203从而有n1.645n1.645443.4289.n443

2（即不要多于443个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概率大于0.9）.8、例3：每发炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹至少命中5发的概率.解：用随机变量X表示500发炮弹命中目标的炮弹数，则X~B500,0.01，EXnp5000.015，DXnpq5000.010.994.95

DX4.952.223；

方法一：用二项分布来计算

kPX5C5000.01k10.01k54500500k

k1C5000.01k0.99500kk0012C5000.99500C5000.010.99499C5000.0120.9949813C0.0130.99497C40.0140.994965005000.56039.方法二：当n很大，p很小时的二项分布，可近似用泊松分布来计算X~Pnp.4kePX51PX41 k!k01k045000.01k!ke5000.01

5ke510.5595.k!k04方法三：用中心极限定理计算.23 1，第i发炮弹击中目标设Xi0，第i发炮弹未击中目标

Xi近似服从正态分布 则Xi1500XEX5EXPX5P

DXDX标准化55000.01XEXP

10.高中概率教案 篇十

教材分析

本课是青岛版九年级下册第六单元第6课，是探讨课。

本节课是在对随机事件估计可能性大小的认识与6.5节的基础上，探索对简单随机事件即实验结果有限个且等可能的情况下导出简单随机事件的概率的计算公式．这一公式实际上是概率的古典定义，通过掷币实验和摸球实验，得出的概率与利用计算指定事件发生的结果数与实验所有可能出现的结果数的比值相吻合，从而统一了对概论的认识，本课属于中等难度水平。

《数学课程标准》中提出：学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题的能力，经历收集、整理、描述和分析数据的过程，观察、实验、归纳的方法，能作出合理的推断和预测的观念。

据此，本课教学目标可以包含：了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性等方面。本课教学可以采取收集整理法、合作探究法、练习巩固法等方法开展教学。

学生分析

本课的教学对象是15岁左右的学生，这个年龄阶段的学生已经具备对事物的认识和判断以及处理问题、自我管理的能力，具有自尊、好胜、求知和参与的愿望，有明显的成人感，开始对社会理解关心，有压力感、紧迫感，竞争意识增强，往往过高估计自己的特点。

九年级的学生通过之前的学习和生活实践，已经掌握频率的计算等方法，能够正确理解概率含义的特点。

通过学习本课，学生可以获得在合作交流中获取知识的方法、观察、发现、归纳、概括的能力、理解特殊到一般再到特殊的认知规律观念的提升。

学生采用观察、分析、合作探究法等方法学习本课。

教学目标

知识与技能

1．在实验的结果为有限个且结果是等可能的情况下，计算指定事件发生的概率； 2．正确理解概率的含义； 过程与方法

1．通过活动，帮助学生感受到数学与现实生活的联系； 2．提高用数学知识来解决实际问题的能力； 情感态度和价值观

1．在动手做和动脑想的过程中培养同学们的分析问题和解决问题的能力，形成数形结合的意识；

重点难点

教学重点

理解概率的含义。教学难点

列举出重复试验的结果。

教学方法

教法

引导发现法、合作探究法、练习巩固法 学法

观察分析法，探究归纳法

课时安排

3课时

第1课时

课前准备

教师准备

1．课件、多媒体；

2．收集、整理概率的计算方法；

3．搜索、编辑本课中利于的素材（图片、视频、音频等）；

4．批阅学生预习内容，总结共性问题，确定准确结论，重点查阅小组负责人的预习成果； 5．制作多媒体课件，有效衔接各教学环节； 学生准备

1．练习本；

2．阅读教材，找出关键内容，提出不解问题，完成导学；

教学过程

一、新课导入（时间2分钟）

教师:在同样条件下，某一随机事件可能发生，也可能不发生，那么它发生的可能性有多大呢?

能否用数值进行刻画呢？这是我们下面要讨论的问题。

学生:小组讨论

教师板书课题：简单的概率事件 设计意图

通过呈现随机事件的问题引起学生的注意，使学生注意和思维进入课程。指定事件发生的概率的计算，对课程的内容具体，呈现作用明显，便于引导学生进入相关问题的思考。

课堂记录

二、衔接起步（时间3分钟)1．概率

教师:利用大量重复试验，可以估计抛掷一枚硬币出现“正面朝上”的概率，那么是否能通过直接计算，求出这一事件发生的概率呢？

学生:观察分析、小组讨论。课堂记录

设计意图

通过概率问题的求法激发学生的兴趣，使学生的注意由无意注意向有意注意转化。同时通过实验的方法求概论，为后续的探讨作好铺垫。

三、活动探究（时间20分钟)

1．利用大量重复试验，可以估计抛掷一枚硬币出现“正面朝上”的概率，那么是否能通过直接计算，求出这一事件发生的概率呢？

出现“正面朝上”的结果数/掷币所有结果的总数，得到1/2,而1/2恰为在一次掷币实验中，事件“正面朝上”所发生的概率。

如果袋子里有6个大小一样的乒乓球，其中2个是红球，能直接计算出摸出一个球是红球的概率吗？

教师:引导学生分析实验、观察： 学生:分析交流 课堂记录

成果示范

利用比值：摸出红球的结果数/摸球所有结果的总数，得到2/6=1/3，而1/3恰为一次摸球实验中，事件“摸出红球”发生的概率。

可以发现以上试验有两个共同点：

1.每一次试验中,可能出现的结果是有限个； 2.每一次试验中,出现的结果可能性相等。

一般地，一次试验中,如果共有有限个可能发生的结果,并且每种结果发生的可能性都相等。用m表示一个事件E包含的结果数，n表示实验可能出现的所有结果的总数，那么事件E发生的概率可利用下面的公式计算P(E)=

m n

例1：把英文单词“PROBABILITY”中的字母依次写在大小相同的11张卡片上，每张卡片上只能写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取1张卡片，恰为写有字母I的卡片的概率是多少？

例2：如图，抛掷一枚骰子（6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点的均匀的小正方体）落点后。

（1）骰子朝上一面的“点数不大于6”是什么事件?它的概率是多少？“点数大于6”是什么事件?它的概率是多少？

（2）骰子朝上一面的“点数是质数”是什么事件?它的概率是多少？ 设计意图

让学生经历实验过程，培养学生合作交流的态度，让学生独立完得出答案。

四、归纳概括（时间4分钟)1．概率的计算

教师:必然事件的概率和不可能事件的概率分别是多少呢？ 学生:分组讨论，达到共识后回答。课堂记录

成果示范

事件发生的概率越大,它的概率越接近于1,反之,事件发生的概率越小,它的概率越接近于0 当为必然事件时P(E)=1，当为不可能事件时，P(E)=0.因此:0≤P(A)≤1 随着试验次数的增加，频率会在概率的附近摆动，并趋于稳定。在实际问题中，若事件的概 率未知，常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的 频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关。

设计意图

学生独立思考，然后小组讨论，说出结果，教师指导、点评，让学生充分理解概率计算方法。

五、运用巩固（时间6分钟)1．明天下雨的概率为95％,那么下列说法错误的是()A．明天下雨的可能性较大； B．明天不下雨的可能性较小； C．明天有可能是晴天； D．明天不可能是晴天； 2．任意掷一枚均匀的骰子，（1）P(掷出的点数小于4）=（2）P(掷出的点数是奇数）=（3）P(掷出的点数是7）=（4）P(掷出的点数小于7）= 3．文具盒中有4支铅笔,3支圆珠笔,1支钢笔,下列说法表述正确的是（）33B．P(取到圆珠笔)=

43C．P(取到圆珠笔)=

8A．P(取到铅笔)=D．P(取到钢笔)=1 教师:进一步理解概率。学生:对概率的计算公式。课堂记录

成果示范 1．解：D 2．解：11，0,1 22

3．解：C 设计意图

使学生对本节课所学知识进行自我检查。

六、感悟延伸（时间3分钟)1．小明和小颖做摸牌游戏，他们先后从这副去掉大、小王的扑克牌中任意抽取一张牌（不放回），谁摸到的牌面大，谁就获胜．现小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，P(小明获胜）=

教师:思考运用概率解决实际问题。学生:进一步讨论概率的应用。课堂记录

成果示范 1．解：3 13设计意图

先让学生独立思考，然后小组讨论，说出结果，教师指导、点评，这样可以让学生亲历思维过程，得出正确结论的印象更深刻。

七、总结启迪（时间2分钟）

教师:通过本节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些困惑呢？与同学们交流一下。

板书设计

简单的概率计算

导入新课： 合作探究 概率的公式 例1 例2 设计意图

在教师的引导下，学生自主归纳，使学生对所学知识及时纳入学生的认知结构。

教学反思

11.高中概率教案 篇十一

【关键词】高中数学 概率与统计 教学

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.05.121

“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分，也是最能反映数学应用性的课程。统计学注重的是数据的收集、整理、分析，概率论是研究随机现象的科学，它们都与我们的日常生活紧密相连。

一、突出统计学的思维

统计学涵盖范围很广，其中最直接的表现是可以通过对整体中部分数据的分析，发现整体数据的性质。由于数据的统计结果具有很强的随机性，因此，在进行实际操作过程中，会不可避免地出现失误，这也是它不同于定性思维的主要表现。但统计思维与定性思维作为人类重要且不可缺少的思维方式，对人类进行数据分析与整理起着非常重要的作用。因此，这两种思维方式在人类应对大自然事物中具有很大的普遍性与存在性。

统计学作为概率统计中随机变化的重要描述，对人类进行数据分析及结果统计中规避失误风险具有很强的指导作用。，使学生明确及了解统计知识的特点及作用是现代统计教学的重要目标。因此，教师在进行教学的过程中，可以通过对重要统计数据的合理分析，使学生了解统计学知识的作用，帮助学生明确统计学思维与定性思维的不同。如教师在进行“运用样本数据对整体进行估计”的教学时，可通过引入具体数据，使学生在分析数据的过程中明确样本数据的随机性与关联性。从另一个角度来讲，在对样本数据进行分析的过程中，抽样方法的合理性对总体概率具有一定影响，也就是说，选用的抽样方法较合理，那么，样本数据的信息就能够充分反映总体变化趋势与性质，对人们解决概率性事件具有很大帮助。

二、通过案例教学注重数据的收集

数学知识与生活实际紧密相连对概率与统计的教学应该结合具体的事例进行。在对实际问题的分析中，让学生经历具体的数据处理过程。在这样的过程中学习一些常用的数据处理方法运用所学知识去解决简单的实际问题体会运用概率与统计方法解决实际问题的基本思想，认识这种数学方法在决策中的作用以及它在实际应用的广泛性。同时具体的事例也能帮助学生更好的理解问题的实质。例如在教学“最小二乘法”时，如果教师直接介绍一般的最小二乘的方法字生往往体会不到这种方法的实质。我们不妨通过学生感兴趣的实例加入人的身高与体重的关系用收集到的数据作出散点图，利用散点图直观认识到变量之间存在着线形关系。再鼓励学生能想出办法确定一条“比较合适”的直线来描述这两个变量之间的关系。在此基础上再引入最小二乘法的概念，并确定线形回归方程。所以，我们平时应该细心的收集生活中的素材广泛的猎取各学科的知识，引导学生发现问题感受数学知识的广泛性与应用性。

三、引导学生研究实际问题，增强学生应用意识和能力

学以致用是新课程的一大特征。虽然教材中未提及研究性课题，但由于概率与现实生活存在着非常密切的联系，教师应积极引导学生开展与概率相关的课题研究，如学校周围交通堵塞情况的调查，对自己所喜欢的体育比赛的研究，从概率角度看赌博与摸彩的异同点等，为学生创设独立思考与合作交流相结合的探究情景作为学生学习活动的引导者和帮助者，让学生主动地发现问题、解决问题，深化用概率解决实际问题的意识，并以此来培养他们的创新精神。

四、恰当运用现代信息技术，提高教学质量

随着社会实践的发展，概率越来越多地应用于自然科学、技术科学、国民经济及军事技术等各个部门。为了使我们的课堂教学更加直观、准确、生动、全面，在教学中我们可以充分利用现代信息技术为我们的教学提供服务，计算机可以大大提高数据整理和处理的效果，在建立记录和研究信息方面，为学生提供了一个良好的工具，可以使学生有充足的时间来研究现实世界中的问题，理解统计的思想方法，当学生对一个随机现象进行实验时，计算机可以产生足够的模拟结果，使学生理解随机现象的特点。在教学中，应重视利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容，教师应恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题。

五、注重对随机概率现象的解释

概率学是一门研究随机现象的科学技术，其研究的随机现象主要表现为：针对同一组数据，在条件相同的情况下进行一致性的试验，其试验结果具有不确定性。因此，在对数据进行分析时，会出现对结果无法预料的现象，但是，当试验的重复次数达到一定的标准时，就会发现每次实验结果出现的频率具有一定的稳定性。因此，在对学生进行概率学知识的传授时，首先要使学生明白概率学意义与结果出现的随机性。由于在实际的教学过程中，学生不具备丰富的随机概率事件的生活体验，对于概率学理论知识体系的建立较为困难；再加上教师对学生的要求仅仅停留在对概率数据的收集与整理，将不利于学生概率与统计思想的培养。因此，在实际的教学过程中，教师应注重对随机概率现象的解释，强化学生概率学观念。教师可根据学生感兴趣的内容进行教学问题的设置，使学生通过实际活动的参与，总结出概率学的规律与经验，并体会其中概率现象的特点。教师还可通过强化学生的实际动手能力，鼓励学生进行实际的实验探索，以便其对随机事件的发生概率进行理解与掌握。

概率与统计是与日常生活紧密相连的课程，因此，教师在讲授这两门课的过程中应使学生体会概率与统计的基本思想，注重提供现实的问题情境，重视问题的背景及统计与概率在日常生活和科学领域的应用；充分利用计算机多媒体技术提供更为直观、科学、准确的数据和资料，让学生真实地参与，使他们面对要解决的问题，主动设计方案、收集数据、处理数据、制定决策，与他人进行讨论与交流，让学生得到锻炼，从而提高学生学习数学的兴趣，真正体现高中课程改革的思想和要求。

参考文献

[1]海波.浅谈高中数学“概率与统计”的教学方法与策略[J].中国科教创新导刊，2010，33（11）：84.