高二数学3.2立体几何中的向量方法,第2课时,利用空间向量证明平行、垂直关系
1.高二数学3.2立体几何中的向量方法,第2课时,利用空间向量证明平行、垂直关系 篇一
第45课时立体几何中的向量方法(Ⅰ)
——证明平行与垂直
编者:刘智娟审核:陈彩余 班级_________
学号_________
姓名_________第一部分 预习案
一、学习目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量;能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用
二、知识回顾
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.
(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.
2.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v
2(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使=xv1+yv2
(3)设直线l的方向向量为,平面α的法向量为,则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1 ∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系
v2=0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·
(2)设直线l的方向向量为,平面α的法向量为,则l⊥α⇔∥
u2=0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·
三、基础训练
1.两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是__________
→→→→→2.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为______________.
b=(2,0,4),c=(-4,3.已知=(-2,-3,1),-6,2),则下列结论正确的序号是________. ①∥c,b∥c;②∥b,⊥c; ③∥,⊥;④以上都不对.
→→4.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量为____________.
5.若平面α、β的法向量分别为v1=(2,-3,5),v2=(-3,1,-4),则α、β的位置关系为____________.
第二部分探究案
探究一 利用空间向量证明平行问题
问题
1、如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
求证:PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题
问题
2、如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空间向量解决探索性问题
问题
3、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
问题
4、如图所示,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
我的收获
第三部分训练案见附页
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