指数函数性质及应用

指数函数性质及应用（17篇）

1.指数函数性质及应用 篇一

指数函数及其性质的应用练习题

一、选择题

1.函数y=2x+1的图象是

[答案] A

2.(～重庆市南开中学期中试题)已知f(x)=a-x(a0，且a1)，且f(-2)f(-3)，则a的取值范围是()

A.a B.a1

C.a D.01

[答案] D

3.函数f(x)=ax+(1a)x(a0且a1)是()

A.奇函数 B.偶函数

C.奇函数也是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

[答案] B

4.函数y=(12)x2-3x+2在下列哪个区间上是增函数()

A.(-，32] B.[32，+)

C.[1,2] D.(-，-1][2，+)

[答案] A

5.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是()

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>b

[答案] D

[解析] 因为函数y=0.8x是R上的单调减函数，

所以a>b.

又因为a=0.80.7<0.80=1，c=1.20.8>1.20=1，

所以c>a.故c>a>b.

6.若函数f(x)=ax-1+1，x<-1，a-x，x-1(a>0，且a1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()

A.(0，13) B.(13，1)

C.(0，13] D.[13，1)

[答案] D

[解析] 当a>1时，f(x)在(-，-1)上是增函数，在[-1，+)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a>1不合题意;当0

二、填空题

7.函数y=19x-1的定义域是________.

[答案] (-，0]

[解析] 由题意得(19)x-10，即(19)x1，x0.

8.函数y=(23)|1-x|的单调递减区间是________.

[答案] [1，+)

[解析] y=(23)|1-x|=23x-1x1231-xx1

因此它的.减区间为[1，+).

9.对于函数f(x)的定义域中的任意的x1、x2(x1x2)，有如下的结论：

①f(x1+x2)=f(x1)f(x2); ②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);

③fx1-fx2x1-x2>0; ④fx1-fx2x1-x2<0

当f(x)=10x时，上述结论中正确的是________.

[答案] ①③

[解析] 因为f(x)=10x，且x1x2，所以f(x1+x2)=10x1+x2=10x110x2=f(x1)f(x2)，所以①正确;因为f(x1x2)=10x110x1+10x2=f(x1)+f(x2)，②不正确;因为f(x)=10x是增函数，所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号，所以及fx1-fx2x1-x2>0，所以③正确.④不正确.

三、解答题

10.比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.8-0.1,1.8-0.2;

(2)1.90.3,0.73.1;

(3)a1.3，a2.5(a>0，且a1).

[解析] (1)由于1.8>1，指数函数y=1.8x在R上为增函数.

1.8-0.1>1.8-0.2.

(2)∵1.90.3>1,0.73.1<1，1.90.3>0.73.1.

(3)当a>1时，函数y=ax是增函数，此时a1.3

当0

此时a1.3>a2.5，即当0a2.5;

当a>1时，a1.3

11.(2013～2014昆明高一检测)若ax+1>(1a)5-3x(a>0，且a1)，求x的取值范围.

[解析] ax+1>(1a)5-3xax+1>a3x-5，

当a>1时，可得x+1>3x-5，

x<3.

当0

x>3.

综上，当a>1时，x<3，当03.

12.设f(x)=-2x+12x+1+b(b为常数).

(1)当b=1时，证明：f(x)既不是奇函数也不是偶函数;

(2)若f(x)是奇函数，求b的值.

[解析] (1)举出反例即可.

f(x)=-2x+12x+1+1，

f(1)=-2+122+1=-15，

f(-1)=-12+12=14，

∵f(-1)-f(1)，

f(x)不是奇函数.

又∵f(-1)f(1)，

f(x)不是偶函数.

f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)∵f(x)是奇函数，

f(-x)=-f(x)对定义域内的任意实数x恒成立，

即-2-x+12-x+1+b=--2x+12x+1+b对定义域内的任意实数x恒成立.

即：(2-b)22x+(2b-4)2x+(2-b)=0对定义域内的任意实数x恒成立.b=2，

经检验其定义域关于原点对称，故符合题意.

2.指数函数性质及应用 篇二

本文在对核函数的定义及其具有的性质进行论述分析的基础上,重点讨论了核函数构造和常用核函数参数选择等问题,归纳、总结出核函数构造的基本方法,最后介绍了3种类重要核函数,为解决核函数的构造问题提供了一些思路,并对其未来研究作了展望。

1核函数定义

定义1.1 设H为一个内积空间(或Hilbert空间),X是一个非空集合,以及映射 Φ:X → H ,称二元函数k:X × X → R是核函数,如果对∀x,x'∈ X有

其中H为特征空间,Φ为特征映射。

对核函数的定义作如下说明:

1)核函数k本质上是一个内积。

2)对∀x,∈ X , Φ(x) 使得数据x的维数从原空间的低维转换到了像空间高维。 例如,考虑映射Φ:R2→ R4,对于x =(x1,x2) ,Φ(x) = (x1,x2,x12,x22) ,原空间的维数为2,像空间的维数为4。

3)特征空间H (也称核空间)可能是高维或无穷维的内积空间,所以一般情况下 Φ 不是线性的。

可以看到核函数是用原空间上的函数k来表达像空间H上的内积,这里选择映射 Φ 的目的就是为了通过非线性映射将原空间中线性不可分的样本映射到一个高维的特征空间,突出不同类别样本之间的特征差异,使得在核空间中样本变得线性可分(或近似线性可分)。

2核函数的基本性质

性质[3]1(封闭性)

若k1,k2,…kn是核函数,则下列函数都是核函数:

(4)存在,则k(x,x')是核函数。

结论(1)、(2)、(4)表明核函数的全体构成一个闭凸锥.

性质2核函数能够反映数据之间某种度量的相似性

作为一种特征映射,核函数反映了样本在高维核空间中彼此的相似程度(例如k(x,x') 能表示x与x'某种度量的相似性)。可以通过定义一定的相似性度量标准(核空间中样本间的欧氏距离)和目标函数(最小平方误差)来考察样本的相似性,而样本之间的相似程度一旦确定下来,样本间的分类也就基本完成了。好的核函数能够使同类的样本相互靠近,而使异类的样本相互远离。

性质[3]3核函数对应的特征映射和核空间不唯一

设数据x,y ∈ R2, 则k(x,y)=< x,y >2是核函数。其对应的特征空间H和特征映射 Φ 有

可以直接验证,它们都满足k(x,y)=< Φ(x),Φ(y)> 。

3核函数的选取和构造

3.1 基于核函数性质的核构造

(1) 根据性质1,便可以构造出许多核函数。下面举一例。

例[3]3.1核函数的凸组合。设ki,1 ≤ i ≤ n是核函数,ai≥ 0且是核函数,称为 k,1 ≤ i ≤ n的凸组合。

上例给我们提供了一个构造核函数的思路,即把一些已知的核函数作为基本模块,在满足核函数第一条性质的基础上就可以构造出新的核函数,若基本模块中的核函数选取得当,则新的核函数能表现出更优秀的品质。如例3.1 中,选取适当的核函数ki,新的核函数就能表现出更强的泛化能力。

(2) 性质2告诉我们,所构造的核函数要能在某种程度上反映样本间的相似性,选择何种相似性度量标准将直接影响到核函数参数的选优,进而影响到核函数的性能。

(3) 核函数的第三条性质说明,对于维数相同的核空间,非线性映射的选择不是唯一的。映射与核函数是密切相关的,但绝不是一一对应的关系。事实上,由核函数的定义可知k(x,y)=< Φ(x),Φ(y)> ,因此特征映射 Φ 一旦构造出来,通过计算式< Φ(x),Φ(y)> ,便可得到k(x,y) 的表达式,也即构造出了新的核函数。

3.2 基于Mercer定理的核构造

目前常用的核函数及参数值都是根据经验来选取的,带有一定的随意性,因此有局限性.在不同的问题中,核函数应当具有不同的形式和参数。除了可以根据上述核函数的定义和性质来构造满足条件的核函数以外,对非线性SVM使用的核函数主要的要求是,必须存在一个相应的变换,使得计算对一对向量的核函数等价于在变换空间中计算这对向量的点积。这个要求可以用Mercer定理形式化的陈述。

Mercer定理核函数k可以表示为:

当且仅当对于任意满足∫f(x)2dx为有限值的函数f(x),则:

满足此定理的核函数称为正定核函数,它们可以通过原空间中向量间的运算来实现在核空间中的内积运算,从而避免了在高维的核空间中直接计算的难题.这里的核函数也称为核或再生核。这种思路给出了一种处理非线性问题的方法,即通过核函数的引入,在一个高维的空间中来实现相对于原空间为非线性的算法。下面给出一些这种函数的例子:

1)非齐次多项式核函数:

其中特征调节参数为p ,p值越大,映射的维数越高,此时的识别率就越高,计算量也越大。多项式函数具有良好的全局性质,局部性质较差[10]。

2) 高斯核函数:

这里 σ 为参数, 高斯核函数的局部性质较强,其外推能力随着参数 σ 的增大而减弱[10]。研究表明,当缺少过程的先验知识时,选择高斯核函数比选择其他核函数好.因此,多数应用研究都采用高斯核函数,然后再确定其他参数.对于高斯核函数,要选择的就是核的参数 σ 和正则化参数等,通过选择合适的参数,它可以适用于任意分布的样本[11,13]。

3) Sigmoid核函数:

它只对于某些参数k,δ > 0 才是正定的,对于某些参数k,δ > 0 不是正定的,但却是条件正定的,把Sigmoid核函数应用于支持向量机中,实现的就是一种多层感知器神经网络,能够在训练过程中自动确定神经网络的结构及隐含层节点对输入节点的权值。它的不俗表现还体现在最终求得的是全局最优值而不是局部最小值,也保证了它对于未知样本的良好泛化能力而不会出现过度学习现象。

还可以通过验证得知,满足Mercer定理的对称函数k(x,y)是核函数。除此以外的其他核,如傅里叶核等等,虽然它不是正定核,但在某些实际应用中却非常有效。

4 三类重要的核函数

4.1 平移不变核

平移不变核是指核函数具有形式k(x,x')= f (x - x'), 其中f:X → R是实函数. 在3.2 节中所介绍的高斯核函数k(x,y)= e- x - y2/(2σ2)就属于此类,其中f (x)= e- x2/(2σ2)。

4.2 旋转不变核

旋转不变核是指核函数具有形式k(x,x')= f (< x,x'>), 其中f:D → R是一元实函数(D ⊂ R) . 例如齐次多项式核函数k(x,x')=(x∙x')p,p∈N。

4.3 卷积核

卷积核是构造核函数,尤其是复杂结构上核函数的重要方法,按照这种方法,甚至能够构造集上的核函数、序列上的核函数、树上的核函数。

很多构造核函数的方法,均可纳入卷积核这个框架。例如[3],设

核函数的张量积:

核函数的直和:

核函数的投影:

灵活地定义关系R ,能得到很多重要核函数。

5 总结与展望

尽管对核函数应用研究的时间虽并不长, 但初步的研究表明了该类方法的良好特性,本文在对核函数的基本概念和性质做了分析和概括后,进一步总结了核函数构造的一般方法,并举例说明了由以上方法构造出的重要核函数,但此方法还有许多值得研究和完善的地方:1) 模型的选择很大程度上决定了核函数方法的性能.把核函数的选择与算法部分的参数选择结合进行,便能得到更优化的参数,此方面还需做进一步研究;2) 深入研究核函数对核空间特性的影响及核空间的性质对算法的影响有助于更透彻地理解核函数方法和更好地提高核函数方法的性能;3) 若能使针对数据特性的核函数构造方法系统化,则将极大推进核函数方法的理论和应用水平;4) 有效利用核函数技术对一些新的非线性数据处理方法做探索开发,有助于提高算法的非线性处理能力及解决当前研究中遇到的一些问题;5)对支持向量机方法的进一步发展和完善。由于从数据依赖的角度选择一个好的核函数还没有任何理论依据.Amari等[1]人提出了一种利用黎曼几何方法修改核函数,改善支持向量机性能的方法,这样能得到性能更好的分类器。还有人试图将领域知识引入支持向量机,达到改进核函数的目的。

摘要：核函数方法是一项将标准的线性方法推广为非线性方法的强有力的技术,对实际应用具有极大的意义,因此成为近年来的一个研究热点,使用支持向量机(Support Vector Machine)解决实际问题时,选择适当的核是一个关键因素.该文从核函数的一般概念出发,分析了核函数方法的基本性质和原理,重点讨论了核函数构造和常用核函数参数选择等问题,归纳、总结出了简单实用的核构造方法,并对未来的研究方向做了展望。

3.指数函数性质及应用 篇三

1.求距离的最值问题，可利用二次函数求最值的性质去作，也可以利用直线与曲线相切时判别式等于零来求。以下用例题说明。

例1.已知点A（0，4），P是抛物线y=x2+1上任意一点，则PA的最小值为_______。

若设点P坐标为（x，y），由两点间距离公式及二次函数性质可得解法1：

PA=，

将y=x2+1代入得PA===

则由二次函数性质，得PA最小值为。

2.从另一方面思考，采用数形结合的思想方法，求PA最小值可看作以点A为圆心的圆，该圆与抛物线相切时的圆的半径，由此可得解法2：

设以A为圆心的圆方程为x2+（y-4）2=r2，与y=x2+1联立，消去x得：

y2-7y+15-r2=0

∵圆与抛物线相切，∴？驻=49-4（15-r2）=0（用到了判别式的性质）

得4r2=11，∴r=，即PA的最小值。

3.还有一些问题，表面上看是求函数的最值，但也可用同样的方法解决。

例2.点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值是________。

若用二次函数性质可得解法1：由x+y-4=0得y=4-x，代入x2+y2，得x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，則由二次函数性质可得x2+y2的最小值为8。

4.若采用数形结合的思想方法，求x2+y2的最小值可看作是以原点为圆心的圆，该圆与直线x+y-4=0相切时的半径，有解法2：

设以原点为圆心的圆的方程为x2+y2=r2，将y=4-x代入，消去y得：

2x2-8x+16-r2=0，∵直线与圆相切，

∴？驻=64-8（16-r2）=0

得r2=8，即x2+y2的最小值为8。

参考文献：

兰诗全.换元法的解题功能[J].中学数学研究，2013（7）.

4.二次函数的图象性质应用结题报告 篇四

学 科：数学课 题：班 级：高一（指导教师：魏立珍

三角函数的图象性质应用1,2）班

研究性学习活动结题报告

组长: 组员:

指导老师:魏立珍

摘要：三角函数是高考的重点内容，学习中学生能够熟练地对三角函数解析式配方、确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性等性质及其图像范围，培养学生分类讨论的思想。渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的思维能力。

正文：

三角函数的基本知识点的整理

小组成员心得体会

研究性学习是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这是研究性学习带给我们的乐趣所在。

研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加 研究性学习小组，给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。教师评价

研究性学习是一个崭新的课题，对于初初接触这个课题的新生来说，的确是件棘手的事情，一方面是因为以前没接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。但是我们小组的成员这点做得不错，协调好两者，学习和研究课题双双丰收。从开题到结题，作为指导老师的我，并没有一步一步教他们如何做，而是提些学生没注意到的问题，在他们困惑之时引导他们如何拨开迷雾，指出他们研究中出现的一些小问题，毕竟研究性学习是要学生独立完成的，指导老师太过入戏的话，研究性学习就没多大意义了。总体来说，我们小组完成得不错，继续加油！

5.指数函数性质及应用 篇五

长丰县夏店中学

李文刚

首先很高兴自己能参加这次国培教学技能学习。为了提高自己的专业水平和业务能力，我每天坚持上网学习，看了专家的视频讲堂，还能看到很多同行们的教学心得，与他们交流心得和体会，互相学习在教学中出现的问题和处理问题的方法。听取他们的在实际教学中的一些好的教学经验和方法，不仅能提高了自己的业务水平；同时更能感悟到教学策略的重要性和必要性。特别是感受到了了教学策略原来是指在教学过程中，为完成特定的目标，依据学生的实际接受能力，对所选用的教学内容、教学活动过程、教学组织形式、教学方法和教学媒体等的总体布局，从而更好的反映出教师在教学的过程中，各个环节中使用的指导思想和方法。这样更便于学生对某一数学知识的理解和掌握。通过这次培训，我感觉到自己更是一个学生，自己在学习过程中也有点感想，现在就以我在“一次函数的图象和性质”的教学过程中结合本次学习的心得，来谈谈我在教学中采取的教学策略。

一、重视数学的思维能力和过程的培养

大家知道，数学不仅是一门社会科学，更主要的是它要反应一种过程。学生在教学过程中要充分发挥自己的主体地位。这节课要求学生理解一次函数的的概念，掌握一次函数的图象和性质，能从一次函数的图象中获取需要的信息。在本课的教学中，我以探究一次函数的图象为线索，引用多个情景做为探究的起点和引发联想、发现规律。在活动中让学生自主探究过程；在一系列的探索性活动中，学生经历开展观察、操作、猜测、交流、反思等活动，并在活动中形成了数学的重要思想------数形结合思想。体会数学知识的产生、形成与发展过程，培养学生的知识迁移能力，加强空间观念，让学生真正体验到数字与图形不分开，成为学习的主人。

数学来源于实际生活，并要在学习过程中反应新课标的每个知识点，这一节课在课前就有好几个与本章内容有关的实例、导图。

于是，我们上这一节课时，就要求我们应该重过程、重参与、重思想方法的渗透已成为现代数学课堂的主流。要求学生通过分组合作，探索的方法。只有通过对大量“案例”的分析处理，经历形成的思想方法与解题策略统一，才能掌握一次函数的图象和性质。

二、突出“转化”思想在教学中的运用

“转化”思想的渗透是本课的主要内涵。教学时可以层层逼近、逐渐深入，让学生更容易接受一次函数的图象和性质。首先，要求学生在同一坐标系中画出正比例函数的图象，创设恰当情境，通过课件演示，在学生头脑中形成初步表象，知道正比例函数图象是一条直线。最后再通过学生之间的分组讨论，经历猜想和探索过程，得到一次函数的图象也是一条直线。并利用多媒体的直观形象的优势，多次动态的展现了正比例函数向一次函数转化的这一思维流程，学生能容易接受这一事实，使学生学会了学习。

三、体现“数学来源社会，并为社会服务”的理念

“动手操作、自主探究、合作交流，体会心得”是这一节课堂中最好的教学方式，加强问题解决的学习是改善学生数学学习能力、提升学生数学思维的关键点。

以生活实例引入数学。数学来源于生活，生活中处处都有数学。在教学中我对教材进行了重组，用学生熟悉的贴近他们实际的生活素材来取代原有例题。重视从学生的生活实

践和已有的知识中学习数学和理解数学，重视数学知识与学生生活实际的紧密联系，让学生体验到：身边有数学、数学无处不在。这样既培养了学生提出问题的能力，又向学生渗透了生活中处处有数学的思想。也充分体现出新的课程标准强调：“人人学习有用的数学”这一重要理念。

四、提供各种情境，以探索促发展。

在本课的教学中，可以组织多个探究性活动，让学生借助观察、猜测、类比、推断等学习方式，体验数学问题的规律性。学生经历自己动手、动脑，积极参与形成一次函数图象和性质形成的全过程。

这样的经历，学生先由正比例函数的图象和性质来类比一次函数的图象和性质，在今后的探索中，他们一定会有“图”可依的。

6.《指数函数及其性质》教学反思 篇六

高一年级

××

7.指数函数性质及应用 篇七

(2010年全国卷 (Ⅰ) 理科第10题) 已知函数f (x) =|lgx|, 若0

A. (2 21/2 , +∞) B.[2 21/2, +∞)

C. (3, +∞) D.[3, +∞)

错解 (一) :当0

当x>1, f (x) =|lgx|=lgx, 此时f (x) 单调递增.

又∵f (a) =f (b) 且0

∴01

∴-lga=lgb, 则1g1/a=lgb

∴b=1/a

∴, 故选择B选项.

错解 (二) :同错解 (一) 得

但是取“=”条件是a=2/a, 则a= 21/2, 与0

二、“双勾”函数的性质

我们把函数y (x) =x+a/x (a>1) 称之为“双勾”函数.

法 (一) :利用描点法 (或作y=x和y=a/x叠加) 作函数f (x) =x+a/x (a>1) 的图像, 判断其单调性、奇偶性以及读出顶点坐标. (略)

法 (二) :利用所掌握的函数知识, 探究函数f (x) =x+a/x (a>0) 的性质.

1.定义域: (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .

2.奇偶性:奇函数f (-x) =-f (x) .

3.“双勾”函数以直线y=x和y轴为渐近线.

4.确定函数f (x) =x+a/x (a>0) 的单调区间.

∴x∈ (-∞, - a) 和 ( a% 姨 , +∞) 时f' (x) > 0, f (x) 单调递增;

x∈ (- a% 姨 , 0) 和 (0, a% 姨时f' (x) <0, f (x) 单调递减.

5.函数f (x) =x+a/x (a>0) 的值域: (-∞, -2 a% 姨 ) ∪ (2 a% 姨 , +∞) .

6.函数f (x) =x+a/x (a>0) 的大致图像

7.补充定理:“双勾”函数f (x) =x+a/x (a>0) 曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值, 其值为2a.

证明: (略)

三、“双勾”函数性质的应用

1.解决“一”中的问题

由错解 (一) 知道

∴令f (a) =a+2/a, (0

∴根据“双勾”函数的性质知道:a∈ (0, 21/2 ) 上单调递减

∴a∈ (0, 1) 时f (a) 单调递减

∴f (a) >f (1) =3

即a+2b的取值范围为: (3, ∞) 应选答案C.

2.“双勾”函数的性质在高考题中的应用

例1. (2008年高考宁夏、海南数学文科卷压轴题改编)

设函数f (x) =x+3/x, 证明:曲线y=f (x) 上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

解:通过对“补充定理:“双勾”函数曲线f (x) =x+a /x (a> 0) 上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值, 其值为2a”.很容易得到曲线y=f (x) 上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为6.

例2. (2006年安徽卷20) 已知函数f (x) 在R上有定义, 对任何实数a>0和任何实数x, 都有f (ax) =af (x)

(Ⅰ) 证明f (0) =0;

(Ⅱ) 证明其中k和h均为常数;

(Ⅲ) 当 (Ⅱ) 中的k>0时, 设讨论g (x) 在 (0, +∞) 内的单调性并求极值.

证明 (Ⅰ) (略)

(Ⅱ) (略)

(Ⅲ) 当k>0, x>0时,

∴由已经证明的“双勾”函数的性质知道

在 (0, 1/k) 上单调递减, 在 (1/k, +∞) 上单调递增.∴当x=1/k时, gmin (x) =2

8.对数函数及其性质的应用探讨研究 篇八

摘 要：理解对数函数的概念和意义，掌握对数函数定义域、值域的求法，能画出具体对数函数图像，并能根据对数函数的图像说明对数函数的性质，掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较。通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用。

关键词：对数函数；性质；图像

探究一：对数函数有关的定义域、值域

例1.求下列函数的定义域

方法归纳：

1.求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则：分母不能为0，根指数为偶数时，被开方数非负，对数的真数大于0，底数大于0且不为1。

2.求函数定义域的步骤：列出使函数有意义的不等式组，化简并解出自变量的取值范围，确定函数的定义域。

（3）函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（C）

A.（2，+∞） B.（-∞，2） C.[2，+∞） D.[3，+∞）

方法点拨：可以直接利用对数函数的单调性求出函数的值域，也可以借助对数函数的图像求出函数的值域，更加直观、形象。

探究二：對数型函数单调性的应用（重点）

例2.比较下列各组对数值的大小

方法归纳：

对数值大小的比较方法有：

1.如果底数相同，真数不同，直接利用同一个对数函数的单调性来比较大小，如果底数为字母，则要分类讨论。

2.如果底数不同，真数相同，可以利用图像的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较。

3.若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，-1等进行比较。

例3.复合函数单调性的判断及应用

方法点拨：

求复合函数单调区间的步骤：

1.求出函数的定义域。

2.将复合函数分解为基本初等函数。

3.确定各基本初等函数的单调性及单调区间。

4.根据复合函数单调性的判断方法求原函数的单调区间。

例4.利用函数单调性求函数值域

函数y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值。

方法点拨：

通过对底数a的讨论来确定此对数函数的单调性，进而可以确定究竟在区间的哪个端点处分别取得最大值和最小值，列出关于a的对数方程，求出a值。

例5.利用函数单调性求解对数不等式

已知log0.7（2x）解题技巧：解对数不等式应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件，常见对数不等式类型如下：

对于函数图像的掌握要求两点：首先要求熟悉掌握各种基本初等函数的图像，复杂函数的图像都是由简单函数的图像通过平移、伸缩、对称等变换而得到的。其次把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如：过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

探究四：对数型函数性质的综合应用

例7.已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明。

解决对数函数综合问题的方法：对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算。解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路。

9.指数函数及其性质的说课 篇九

一． 说教材

1．课题：§2.1.2指数函数及其性质

2．教材分析：指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.3.教学目标：

(1)理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.(2)通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.(3)通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.4.教学重点: 在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质

5.教学难点：对底数a在a1和0a1时,函数值变化情况的区分.二．说教法

为了充分调动学生学习的积极性，增强学生对数学美的体验，本节课采用多媒体课件的演示形式进行教学, 借助信息技术探究指数函数的性质.三．说学法

通过观察利用《几何画板》画出的指数函数图象，形成对指数函数函数图象的直观认识，从几何图形语言到数学语言，理解指数函数的有关概念和性质.四．说教学程序

1．2．

3．4．

5． 复习提问； 从具体问题出发引入新课； 直观认识指数函数； 给出指数函数的定义； 利用《几何画板》画出的指数函数图象, 利用函数图象变化的动态演示，归纳，概括指数函数的性质；

10.指数函数的图象及其性质评课稿 篇十

姚

延

明

听了高翔老师的课，现在作个点评：指数函数是高中阶段学习的第一个新函数，可以说在高中函数学习中起着举足轻重的作用。

本节课标规定为三个课时，本节课是第一课时指数函数及其性质概念课，高老师在教学设计中，让人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。高老师通过纸的折叠与珠峰测量问题有机地结合在一起，抓住了学生的好奇心，提高了学生学习本节知识的兴趣。在观察纸的折叠后，巧妙而不失时机地引导学生从具体问题中抽象出数学模型，发现指数在变化，这与以前所学函数（一次函数、二次函数、反比例函数）都不一样，把变化的量x用 表示，不变的量用a表示；通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得到可谓“润物细无声”。接着高老师在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生通过切身感受，给出指数函数的定义及底数 的取值范围。

在研究指数函数的性质时，高老师能够紧扣第一章的函数知识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。老师借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。

11.指数函数性质及应用 篇十一

一、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意义

当函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T=叫作振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==叫作振动的频率；ωx+φ叫作相位，当x=0时的相位φ叫作初相。

例1 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图像如右图所示，则函数f（x）的解析式为 。

解析 由图像知f（x）的最小正周期为

T=2-=π，故ω=2；

又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。

因为x=时，2sin（2x+φ）=2，

即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。

所以f（x）=2sin2x+。

点评 由函数图像确定函数解析式的关键是要善于从图像中观察得到一些有用的数据，如图像经过的点、最值等。一般来说，对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由图像的最高点的纵坐标或最低点纵坐标的绝对值来确定；ω可通过函数的周期T=来确定；φ可以用代入法来确定，即把一个点（最好选取图像的最高点或最低点）的坐标代入函数解析式求解而得。

二、三角函数的图像变换

例2 将函数y=sin2x-图像上的点P，t向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图像上，则（ ）。

A.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 B.t=，s的最小值为

C.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 D.t=，s的最小值为

解析 因为点P，t在函数y=sin2x-的图像上，

所以t=sin=；

因为P′-s，位于函数y=sin2x的图像上，

所以=sin2-s=cos2s，

所以s的最小值为。故选A。

点评 一般来说，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0）的图像，可以将正弦曲线y=sinx上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度（得y=sin（x+φ）的图像），再把所得各点的横坐标变为原来的得到；也可以将正弦曲线y=sinx上所有的点的横坐标变为原来的（得y=sinωx的图像），再把所得各点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度得到。特别注意：必须分清是先相位变换后周期变换，还是先周期变换后相位变换。

三、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调性

例3 函数f（x）=sin-x，则函数f（x）的单调递增区间为 。

解析 变形得f（x）=-sinx-。

函数f（x）=sin-x单调递增，则函数g（x）=sinx-单调递减，

所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。

所以函数f（x）=sin-x的单调递增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）。

点评 此类问题属易错题。正确解法是借助诱导公式转化后求解，或利用复合函数的单调性规律求解。

四、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的对称性

例4 我们把函数f（x）的图像与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N）。

（1）f（x）=sin3x在0，上的面积为 。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积为 。

解析 （1）因为函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N），

所以f（x）=sin3x在0，上的面积为。

又f（x）=sin3x关于点，0对称，

所以f（x）=sin3x在，上的面积等于它在0，上的面积。

故f（x）=sin3x在0，上的面积为。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的图像如右图所示。

根据对称性可知每一个阴影区域的面积都相等，都等于y=sin3x在0，上的面积为，

所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积等于1个阴影区域与矩形ABCD的面积之和，即+π（区域④补形到区域③中）。

点评 本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型创新题。我们要知道：函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的对称轴为x=，对称中心为，b。

五、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5 求函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）的奇偶性。

解析 令f（-x）=f（x），则sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此时-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），

所以当θ=kπ+（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；

同理，当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数。

综上，当θ=kπ-（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；

当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数；

当θ≠kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是非奇非偶函数。

点评 f（x）是偶函数？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函数？圳f（-x）=-f（x）。探讨含有参数的函数的奇偶性可以利用该性质。

六、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

例6 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）。若f（x）在区间，上具有单调性，且f=f=-f，则f（x）的最小正周期为 。

解析 结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像特征可知，

因为f=f，所以x=，

即x=为f（x）图像的对称轴。

因为f=-f，所以，0，

即，0为f（x）图像的对称中心。

又f（x）在区间，上具有单调性，

所以，0是与对称轴x=相邻的对称中心，

所以最小正周期为4-=π。

点评 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T=，正确地读图、识图、析图、用图是研究函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质的基础。

七、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7 已知函数f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）满足0≤x

解析 因为对任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2，

欲使m取最小值，应尽可能多地让x（i=1，2，…，m）取最值点。

因为0≤x

|f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12，

所以按照下图所示取值即可满足条件。

所以m的最小值为8。

点评 一般来说，函数f（x）=asinx+b的值域为[-|a|+b，|a|+b]，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值为-A+b，最大值为A+b。

12.指数函数性质及应用 篇十二

在高中数学学习中,同学们对函数f(x)=|ax-b|±|ax-c|的最值及图像的对称轴、对称点有些生疏,因此,笔者介绍此函数的最值和图像的对称轴、对称点及其应用,旨在能对同学们有所启示和帮助,同时希望师生关注该函数.

函数图像如图1所示.

当a<b时,可用分段函数表示为

函数图像如图2所示.

当a>b时,可用分段函数表示为

函数图像如图3所示.

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

当且仅当a=b=2时等号成立.又

当且仅当a=b=2时等号成立.故

13.指数函数性质及应用 篇十三

指数函数及其性质(2)导入新课

思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例

思路1 例1已知指数函数f(x)=a（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）, 11x所以f(3)=a3=π,即a=π3,f(x)=(π3)x.再把0,1,3分别代入,得 f(0)=π=1, f(1)=π=π, f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则

xxxxy2－y1=a2－a1=a1（a2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为a1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1

y2y1x101=

aax2x1=a

x2x1.因为a＞1,x2－x1＞0,所以a即y2y1x2x1＞1, >1,y1

若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？ 答案：12x＜a＜1.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？

活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题： 1999年底

人口约为13亿;经过1年

人口约为13（1+1%）亿;经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)亿;经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年

人口约为13(1+1%)x亿;经过20年

人口约为13(1+1%)20亿.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x, 当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)等形如y=ka(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2 例1求下列函数的定义域、值域：

12xx(1)y=0.4x1;(2)y=35x1;(3)y=2+1;(4)y=

x

2221xx.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1, 即函数值域为{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥15,所以所求函数定义域为{x|x≥

15}.由5x-1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=y2y1.又x∈R,所以2x>0,y2y1>0.解之,得-2

x3≠（12)0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2

（1）求函数y=(122)x2x的单调区间,并证明.221x（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.12活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=（）x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.1x222x2()22y11解法一：设x10.当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0, 即y2y1>1,所以y2>y1,函数单调递增;当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 即y2y1<1,所以y2u2,又因为y=(所以y1

22x2122x11=

2(2(2x1x12xx2)1)(221).由于指数函数y=2在R上是增函数,且x10得21+1>0,22+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

1.函数y=a（a＞1）的图象是（）|x|xxxx

图2-1-2-8 分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.答案：B 2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）A.y=(13x)2-x

B.y=1-C.y=0.5-

1D.y=2x+1

2x分析：因为（2－x）∈R,所以y=（［0,+∞);y=2答案：A x213x）2－x∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5-1∈

x+1∈［2,+∞).3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（）A.（0,1）

B.（x

12,1）

C.（－∞,0）

D.（0,+∞）

x

0分析：由题意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C 4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）

A.AB

B.AB

C.A=B

D.A∩B= 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.答案：A 5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)f(x2)x1x2>0;④f(x1x22)<

f(x1)f(x2)x1x2.当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x

x1x2=10x110x2=f(x1)·f(x2),所以①正确;因为f(x1·x2)=10xx≠10x10x=f(x1)+f(x2),②不正确;1212因为f(x)=10是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以xx

f(x1)f(x2)x1x2>0,所以③正确.因为函数f(x)=10图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④

10∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴x1x2x1x2x1102x2>10x110x210∴

x1102x2>10x1x2, 即10102>102∴f(x1)f(x2)x1x2>f(x1x22).拓展提升

在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=(12x),②y=(12),③y=(x-

112)

x+1

.活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11 观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系: y=3的图象由y=3的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1x+1x的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.12观察图2-1-2-11可以看出,y=(y=(12),y=（x

12),y=（x-1

12)

x+1的图象间有如下关系:)x+1的图象由y=(12)的图象左移1个单位得到;

xy=(y=(1212)x-1的图象由y=(1212)的图象右移1个单位得到;)x+1的图象向右移动2个单位得到.x)x-1的图象由y=(你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结 思考

我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业

课本P59习题2.1 B组1、3、4.设计感想

14.§2函数极限的性质 篇十四

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质

性质1（唯一性）如果xa

limf(x)xalimf(x)存在，则必定唯一.证法一设A，xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时，|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时，|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有，则当0xa时（1）和（2）同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性，（3）式只有当

AB0

时，即AB时才成立.AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A，xa

limf(x)B

且AB，取

0，则0，使当

时，f(x)A0,f(x)B0,即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即

f(x)Af(x)AA

1，A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界，就是一个界.limf(x)b

xa

性质3（保序性）设，xa

limg(x)c

.0xa00

1）若bc，则0，当时有f(x)g(x)；

0xa0

2）若

00，当

时有f(x)g(x)，则bc.（保不等式性）

证明1）取

0

bc2

即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.推论（局部保号性）如果xa

号.limf(x)b

0xa00

且b0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性）设limf(x)limh(x)A，且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x)，xx0

xx0

则limh(x)A.xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A，10，使得当0xx01时，有f(x)A，即 Af(x)A.又由

xx0，20，使得当0xx02时，有h(x)A，即Ah(x)A.令min(1,2)，则当0xx0时，有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A，故 xx.性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在，且 1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0，则

xx0

fg

当xx0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.3）的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2



1B，令

0

B2

0，由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01，10使得当时，B2

g(x)B，即

g(x)Bg(x)BB

.g(x)B

B2

0,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时，有



.0xx0

取min(1,2)，则当时，有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B



2B

g(x)B

2B



B2



即

xx0

lim

1g(x)



1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x



.（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).x

例3 求lim（1x1

x1



3x3

1).例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].例6lim

x2x21x1

x2

x2

.例7lim

2x

3x1

x

3x5

.例8lim

xsin(2xx10)

32x

.x

例9lim

x1.x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x



(a1)x2

ax2

1x

b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

，xx

2x 由x且原式极限存在，

2x2xx

ab

x0，即 alim2x2b

15.对指数函数性质教学设计的探索 篇十五

一、再现教材内容, 增强教材内容的科学性

(1) 定义域:R. (2) 值域 (0, +∞) . (3) 过点 (0, 1) . (4) a>1时在R上是增函数;00, 且a≠1) 的图像与性质 (《数学》必修1 P62) : (1) 、 (2) 、 (3) 条性质是指数函数和y=2x所共有的, (4) 是a的不同取值范围时在单调性方面的区别.

很明显:这4条性质的给出用的是不完全归纳法.不完全归纳法不能作为一种论证方法, 所得到的结论并不能保证它成立, 还可能有的学生对此结论产生疑问.对此问题可用《几何画板》来动态演示出a的不同取值时指数函数图像:在射线AA1上绘制动点C, AA1=1, 以AC的长度为底数a建立指数函数y= (AC) x.可动画点C也可手动点C在射线AA1滑动, 同时追踪y= (AC) x的图像.容易看出:指数函数的共性 (1) 、 (2) 、 (3) 和差异性 (4) 即:当点C在AA1间滑动即01时, 指数函数的图像是上升的, 为增函数 (如图2) .这样指数函数01时的图像和性质在《几何画板》的动态演示中就一目了然了.这必然会加深学生的印象, 又能增强教材内容的说服力.

二、创设问题情境, 通过做数学来培养学生的数学探究能力

做数学 (doing mathemtics) 是数学教育的一个重要观点, 它强调学生学习数学是一个现实的经验、理解反思的过程, 它认为学生的思考、实践与探索数学是学生理解数学的重要条件.学生学习数学应是一个做数学的过程, 不应该是单纯地记数学、背数学、练数学、考数学的过程.所以, 我们必须重视学生的主体活动来创设问题情境, 使学生通过猜测、观察和操作等方式来做数学, 给学生提供自主探索、合作交流、积极思考和操作实验的机会, 使学生成为数学学习的主人.

在图1、2的演示中我们加设问题:

(1) 当a即AC取0, 1时指数函数图像什么?

(2) f (x) =2x和的图像有什么关系?由此可得什么结论?

对于问题 (1) 学生可以作出y=0 (x>0, x取零及负数没有意义) 及y=1x的图像, 它们分别是y=0及y=1的两条直线.问题 (2) 提出后要求学生观察图1进行猜测, 并自己动手做实验.在此过程中教师可启发学生分析f (x) 与g (x) 中底数2与的关系.可在图2的基础上再作出的图像来与y=ax得图像进行比较, 动化点C就会得出y=ax与的图像关于y轴对称的结论. (如图3)

另外还可以再设置一些探索性的问题, 如底数不同时幂值的大小比较:

(1) 0

(2) 1

(3) 0

这些问题会成为学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动的主要素材.这样他们在探索的过程中就会真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法, 同时获得广泛的数学活动经验.

三、展示数学美感, 陶冶审美情操的同时促进学生的智力发展

古代哲学家、数学家普罗克拉斯说:“哪里有数, 哪里就有美。”近代数学家哈代则认为数学家是用概念造型的艺术家。数学是美丽的, 数学的美感给其自身以无穷的魅力, 同时也给人以难得的启迪。

如要学生来观察在图3上的指数函数的图像, 引导他们进行丰富的想象, 看看它们像什么?美感好的学生就会想象到一朵花的形象。再用《几何画板》作出几个关于y轴对称的指数函数图像, 将函数的图像设成红颜色, 把坐标轴设成绿颜色, 这时一朵花的形象就更加明显了。

还可以将图3中的图像再关于y=x这条直线对称过去, 得到另一组图像 (对称函数的图像) 。这也是一朵花的形象, 而且这还可以引入下一节的教学内容《对数函数》。教学中能充分挖掘出数学内容中美的因素, 给学生以美的感受而使其产生愉悦的情感体验。由情感体验而产生对对象丰富意蕴的深刻领悟, 造成情景交融师生共鸣的课堂气氛, 让学生置身于美的创造和美的欣赏之中, 使学生的智力因素和非智力因素充分协调交互作用, 这无疑有利于发展智力和培养能力。

16.从抽象函数形式看函数性质 篇十六

关键词：抽象函数；周期性；对称性；奇偶性

一、周期性

定义：任意x∈I，I是定义域，都有f（x）=f（x+T），T是非零常数。则f（x）是周期函数，其周期是T。

推广：①?坌x∈I，都有f（x+■）=f（x-■）则f（x）是以T为周期的周期函数。

②?坌x∈I，都有f（x+A）=f（x+B），A，B是常数，则f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。

下面给出证明：

令x+A=X，∴x=X-A ∴x+B=X-A+B。

∴f（X）=（X+B-A）∴f（x）是以|B-A|为周期的周期函数。

另可发现规律：括号内两项之差为定值T，周期T=定值。

③若存在非零常数T，使f（x+T）-f（x）=0，则f（x）是周期的周期函数。联想：f（x+T）+f（x）=0是不是周期函数呢？事实上，若f（x+T）=-f（x）成立，则f（x+T）=-f（x）=-［-f（x-T）］=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。

④若f（x+T）=■，则f（x）是以2T为周期的周期函数。

证明：f（x+T）=■=■=f（x-T），∴f（x）是以为2T周期的周期函数。

⑤若f（x+T）=-■，∴f（x）是以2T为周期的周期函数。f（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。

证明：（x+T）=-■=-■=f（x-T），∴f（x）是以2T为周期的周期函数。

二、对称性

①偶函数f（x）关于y轴x=0对称，f（-x）=f（x）

②结论1：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（a+x）=f（a-x）

证明：?坩对?坌x0不妨令x0＞0，在（a，0）右x0处，取x=a+x0对应纵坐标y1=f（a+x0）。在（a，0）左x0处，x=a-x0对应纵坐标y2=f（a-x0），∵f（a+x0）=f（a-x0），y1=y2，∴f（x）关于x=a对称。?圯x=a右侧任取一点（a+x，f（a+x）），此点关于x=a的对称点（a-x，f（a-x）），则f（a+x）=f（a-x）。

结论2：f（x）的图像关于x=a对称?圳f（x）=f（2a-x），由结论1知，f（x）的图像关于x=a对称，则f（a+x）=f（a-x）成立。令a+x=X，∴x=X-a，∴-x=a-X∴a-x=2a-X

∴f（X）=f（2a-X）∴f（x）=f（2a-x）反之也成立。

注：可发现规律，括号内两项之和为定值。对称轴■

三、奇偶性

奇函数f（x）关于原点（0，0）对称，则f（-x）=-f（x）

推广Ⅰ：f（x）关于（a，0）对称，则f（a+x）=-f（a-x）

推广Ⅱ：f（x）关于（a，0）对称，则f（x）=-f（2a-x）

证明：令a+x=X，∴x=X-a，由f（a+x）=-f（a-x），∴a-x=2a-X，∴f（X）=-f（2a-X），即f（x）=-f（2a-x）。

推广Ⅲ：关于（0，b）对称，则■=b，∴f（x）=2b-f（-），或f（-x）=2b-f（x）。

推广Ⅳ：f（x）关于（a，b）对称，则■=b。∴f（a+x）+f（a-x）=2b

另：f（x-a）=f（a-x）对x∈R恒成立，那么y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。

证明：令x-a=t，则a-x=-t∴f（t）=f（-t）∴f（x）是偶函数，则y=f（x）图像关于直线y轴x=0成轴对称。

四、探究

抽象函数在对称性和周期性上的体现

①定义在R上的函数f（x）若有两条对称轴x=a，x=b，则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。

证明：f（x）关于x=a对称，则有f（-x）=f（2a+x）.f（x）关于x=b对称，则有f（-x）=f（2b+x）∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期为2|a-b|的周期函数。

②定义在R上的函数f（x）若有两个对称中心（a，0），（b，0）则f（x）是周期函数，且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。

证明：f（x）关于（a，0）对称，则f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于 （b，0）对称，则f（-x）=-f（2b+x），∴f（2a+x）=f（2b+x），∴f（x）是周期函数。且2|a-b|是函数f（x）的一个周期。

③定义在R上的函数f（x）若有一个对称中心（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数，且4|a-b|是函数f（x）的一个周期。

证明：f（x）关于（a，0）对称f（-x）=-f（2a+x），f（x）关于x=b对称，则f（-x）=f（2b+x），∴f（2b+x）=-f（2a+x），由前面结论可知，周期为2|2a-2b|=4|a-b|

17.《对数函数的性质》教学反思 篇十七

二、学生分析。

从学生的知识上看，学生已经学习了函数的定义、图像、性质，对函数的性质和图像的关系已经有了一定的认识。学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会用此来研究对数函数。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导，学生能自主探究完成本节课的学习，会进行多媒体的基本操作。

三、教学目标。

1、知识与技能目标：

①通过具体实例了解对数函数模型的实际背景。

②初步理解对数函数的概念、图像和性质。

2、过程与方法目标：

①借助课件绘制对数函数图像，加深对定义的认识，增强对对数函数图像的直观感知。

②学生观察对数函数图像，通过代表发言等活动，探究对数函数性质。

③通过对对数函数的研究，体会数形结合、由具体到一般及类比思想。

3、情感态度与价值观目标：通过小组讨论、代表发言活动，培养合作交流意识。

四、教学环境与准备。

多媒体网络教室、课件。

五、教学过程。

1、探究新知。

（1）归纳定义。

设计意图：通过对函数解析式的分析，突出对底数取值的认识，引导学生把解析式概括为的形式，为形成对数函数定义作铺垫。

对数函数的定义：一般地，形如（且）的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为。

师生共同分析定义要点：

①定义域为。

②对数函数是形式化的定义。

③且。教师引导学生将指数函数定义与对数函数定义作对比。

（2）作图探究。

问题2：我们研究函数的一般过程是什么？

①教师启发学生思考：归纳定义，画出图像，观察图像，总结性质，继而进行性质应用。

（设计意图：对数函数作为基本初等函数，是继指数函数后对高中函数概念及性质的再次应用，学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会用此来研究对数函数。）

②作图1：画出函数的图像。

学生独立在坐标纸上作图，教师巡视个别辅导，正投对比展示学生作图结果，总结作图要点，规范列表、描点、连线的每一步。

（设计意图：描点法作图是画函数图像的基本方法，用正投呈现学生作图结果，培养学生画图基本功。）

③作图2：自主选择底数绘制对数函数的图像。

④设组确定的对数函数图像。

（设计意图：学生通过在同一坐标系中，绘制多个对数函数图像，在绘制过程中，可以更加直观地感知底数对对数函数图像的影响，能更好地观察图像特征，总结图像性质。）

⑤学生自主选择底数，绘制对数函数图像，”，各小组根据所绘制的对数函数图像，观察图像特征，总结性质，每组自荐一名代表发言。教师适时发问、点拨，引导学生总结，师生、生生互动交流。

观察图像，你认为如何对对数函数进行分类研究？

各小组学生共提出两类标准：

a、按图像上升和下降分两类。

b、按底数分两类。经教师引导，学生发现这两类标准可以统一：与图像上升统一；与图像下降统一。

⑥你能结合屏幕上所呈现的对数函数图像，观察它们的图像特征，并总结其性质吗？

各组学生从图像位置、特殊点、图像变化趋势等方面总结图像特征。（设计意图：学生通过观察具体对数函数图像，应用数形结合思想，归纳概括性质。）

（设计意图：通过几何画板课件的动态演示，学生更直观地观察到对数函数图像随底数的变化情况，以及为什么要把底数分为和两类，有利于学生由图像归纳性质，从而突破本节课的难点。）

（3）归纳性质。

学生观察图像，讨论总结性质。

（设计意图：学生总结性质，培养学生归纳概括能力。）

师生共同对学习内容进行总结：

①研究函数的一般过程是：定义→图像→性质→应用。

②借助图像研究性质，应用了数形结合思想；由具体对数函数入手，到一般对数函数总结性质，应用由特殊到一般思想方法；对数函数对底数分类进行研究性质，应用了分类讨论思想，类比指数函数研究对数函数，应用了类比思想。

3、例题讲解。

师：刚才我们共同探究得出性质，下边看性质应用。

例1：比较下列各组中两个值的大小：① ；② ；③。

（设计意图：通过例题使学生体会对数函数单调性应用，设计三题，使学生体会分类讨论思想。）

第一题教师引导讲解，示范解答过程，第二题、第三题学生正投讲解。

设计意图：通过学生正投讲解题目做法，培养学生学习数学的信心和勇气，同时，对于出现的错误及时纠错，起到示范作用。

4、归纳总结。

（1）这节课你学到哪些知识？

（2）这节课你体会到哪些数学思想方法？

5、分层作业。

（1）必做题：P73，2、3；

（2）选作题：函数和的图像间有何关系？

六、教学反思。

1、设计问题系列，驱动教学。

问题是数学的心脏，本节课以6个问题为主线贯穿始终，以问题解决为教学线索，在教师的主导与计算机的辅助下，学生思维由问题开始，由问题深化。

2、借助信息技术突出重点、突破难点。

本节课的学习重点是对数函数的概念、图像和性质；学习难点是用数形结合方法从具体到一般地探索概括对数函数性质，为突出重点、突破难点，使用了以下信息技术：

（1）探究对数函数概念：课上播放PPT课件，学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征，概括到的形式，从而形成概念，突出学习重点。

（2）绘制对数函数图像：作图1，学生动手画图，初步感知对数函数图像，教师个别辅导，正投展示，对比分析作图结果，纠正作图错误，总结作图要点，培养学生作图基本功；作图2，设计课件，全体学生参与，自选底数绘制对数函数图像，从而加深了学生对定义的认识，增强了对图像的直观感知，突出学习重点。

（3）探究对数函数性质：对数函数性质的获得，需要借助对数函数图像。设计“动手实践2”，教师运用课件的动态演示功能，验证底数取定义范围内所有值时，对数函数的性质，学生操作课件“动手实践2”，通过拖动点“”，改变底数的值，观察对数函数图像随底数的变化情况，学生的亲身体验，提高了对研究过程的参与程度，有效突破学习难点。