高一数学正弦定理教案

高一数学正弦定理教案（精选12篇）

1.高一数学正弦定理教案 篇一

一、教材分析

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验 “观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察——猜想——证明——应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用“问题教学法”，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的`学习方式参与到问题解决的过程中去，从中体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

(一)创设情景，揭示课题

问题1：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?

问题2：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗?还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢?要想解决这些问题， 其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原理。(板书课题《解三角形》)

[设计说明]引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴趣。

(二)特殊入手，发现规律

问题3：在初中，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章，老师想试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗?

引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理。

(三)类比归纳，严格证明

问题4：本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让你也当一回老师，如果有个学生把条件中的Rt⊿ABC不小心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成立吗?

[设计说明]此时放手让学生自己完成，如果感觉自己解决有困难，学生也可以前后桌或同桌结组研究，鼓励学生用不同的方法证明这个结论，在巡视的过程中让不同方法的学生上黑板展示，如果没有用向量的学生，教师引导提示学生能否用向量完成证明。

2.高一数学正弦定理教案 篇二

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学 (必修5) 》 (苏教版) 第一章“解三角形”第1节的内容, 它是对初中三角形的边角关系以及解直角三角形内容的延拓, 也是三角函数、平面向量等知识在三角形中的具体运用.作为单元的起始课, 应该在学生已有的三角形、平面几何、三角函数、向量等知识的基础上, 通过对三角形边角关系的量化探究, 发现并掌握正弦定理, 从而解决简单的三角形几何度量和测量问题, 并为后续内容的学习作知识与方法上的准备.

“正弦定理”的教学一直是一线教师研究探讨的课例, 但是大多都是通过情境问题, 引入测量问题, 进而由直角三角形归纳、探究定理的成立.笔者认为, 这样的引入有些牵强, 其实测量出三角形的两边及一边对角, 完全可以用平面几何知识, 作高, 构造直角三角形解决测量问题.数学发展过程中真实的探究过程不一定是通过测量中遇到了问题, 再想到探究此定理的存在, 而应该是通过直角三角形的性质推广到一般三角形的这种由特殊到一般的思想的体现, 基于以上思考, 笔者改变了一般的情境引入, 基于学生已有的知识, 通过问题解决, 引发学生对一般三角形中结论的探索, 这也是培养学生思维的创造性的重要方式.下面谈谈本节课的教学实践与反思, 以期同行指正.

1 教学实录

环节1:回顾旧知, 奠定基础

问题1 初中我们学习了三角形的一些知识, 在△ABC中, A, B, C的对边分别是a, b, c, 则三边和三角之间有何关系?

生1:两边之和大于第三边, 如:a+b>c, a+c>b, ……

生2:大边对大角, 大角对大边, 如:a>bA>B.

生3:三角形内角和为180°, sin (A+B) =sin C, ……

设计意图这些知识均为学生熟知, 通过回顾, 唤醒学生已有的知识, 为后面的定理猜想、证明做好基本知识的铺垫.

问题2 已知△ABC中, AB=4, ∠C=90°, ∠B=45°, 则AC=____.

由直角三角形性质, 学生易得

问题3 将∠C=90°改为∠C=60°, 结果如何?改为∠C=120°, 结果又如何?

引例已知 △ABC中, AB=4, ∠B=45°.若∠C=60°, 则AC=__;若∠C=120°, 则AC=__.

(学生通过平面几何知识, 作CD⊥AB, 在直角三角形中分别求出AD , 进而求出AC.)

追问:你是如何想到作高?作用是什么?

设计意图引例将角度稍作变式, 从学生熟悉的直角自然过渡到一般的锐角、钝角, 从而引起学生的认知冲突, 激发学生获取新知识的欲望.这样促使学生在问题解决的过程中不断回顾已有的知识结构, 将新问题与已有知识对比, 转化为直角三角形的知识求解, 体会证明定理的本质:构造直角, 也为后面定理的证明埋下伏笔.同时在解决问题的过程中渗透转化与化归这一重要数学思想.

问题4 由引例可知, 我们需要寻求一般三角形中边、角的定量关系.直角三角形是特殊的三角形, 其很多性质我们已经熟悉, 那么在直角三角形中, 如图1, △ABC中, ∠C=90°, 三边和三角有怎样的关系?

生4:A+B=90°, c2=a2+b2;sin A=a/c, sin B=b/c, 即边长c可以化为

师:数学上讲究的和谐美、统一美, 式 (1) 可以写成

设计意图直角三角形是初中阶段研究比较多的几何图形, 从特殊三角形入手, 很自然地引导学生思考能否将结论过渡到一般三角形, 另外, 也可以让学生体会一下数学的和谐美、统一美, 注重数学的文化教育.

环节2:借助特例, 印证猜想

问题5 式 (2) 在一般三角形中是否成立呢?

生 (众) :可以先举几个例子试试.

学生跃跃欲试, 纷纷举出特例:

若∠A, ∠B, ∠C分别为60°, 60°, 60°, 对应的边长a∶b∶c为1∶1∶1, 对应角的正弦值分别为

若∠A, ∠B, ∠C分别为30°, 30°, 120°, 对应的边长a∶b∶c为对应角的正弦值分别为

通过特例观察发现结论成立.

设计意图特殊到一般是一种重要的思想方法, 这里再一次引导学生在解决陌生问题时, 可以先用特例探路.另外, 学生的充分交流, 各种思想的碰撞, 更加有助于发现问题的本质, 为后续定理的形成和证明打下基础.

追问:任意角是否成立?

借助几何画板演示任意三角形中上述各边角关系比值的变化, 拖动三角形的任意顶点, 比值仍然为定值, 如图2.

设计意图通过几何画板演示, 验证此结论的正确性, 充分发挥现代教育技术在数学教学中的作用.

环节3:证明猜想, 形成定理

问题6 几何画板演示是正确的, 然而有图未必有真相, 数学上讲究的是严谨的证明, 在一般三角形中如何证明?

(学生思考, 交流, 由于有了前面引例的铺垫, 将一般三角形转化为直角三角形的思路不难得到)

生5:由于已知正弦定理在直角三角形里是成立的, 故想到将斜三角形转化为直角三角形解决, 化“斜”为“直”, 通过作高即可解决.

生5:不妨设 △ABC为锐角三角形, 则过点A作AD⊥BC于D, 如图3, 此时有

所以csin B=bsin C,

即

同理过点B作BE⊥AC于E, 可得

所以

追问:当△ABC是钝角三角形结论还成立吗?

生5:成立的, 设角C为钝角, 过点A作AD ⊥BC, 交BC的延长线于点D, 如图4, 则有

且

由此, 得

同理可得

故有

师:通过证明我们发现, 在一个三角形中, 有成立, 我们称之为正弦定理.你能用语言表述出来吗?

生 (众) :在三角形中, 各边与它所对角的正弦的比值相等, 即

设计意图定理形成伊始, 让学生用语言概括, 一方面是为了让学生能更深入的理解定理, 另一方面, 培养学生的抽象概括能力, 让学生真正深度参与到课堂中去.

问题7 证明定理的本质是构造直角, 除了作高, 还有哪些方法可以构造直角?

(生思考后交流)

生6:可以通过建系, 引入坐标.如图5, 以A为原点, 以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系, C点在y轴上的射影为C′, 则

OC′=BC·sin B=asin B,

即asin B=bsin A,

即

同理

即得

师:很好.利用坐标关系对OC′的长度采用“算两次”的思想, 建立等式.

设计意图让学生进一步对比这两种证明方法, 发现其中的相同之处, 更能抓住定理证明的本质, 体会引入坐标其实也是构造直角的一种方式, 进一步渗透转化与化归的思想方法.

问题8 上面证法中, 通过作高或建系构造直角证明了定理.我们知道, 三角与向量是密不可分的, 若引入向量, 还可以怎么证明? (学生陷入沉思无果)

追问:怎样将此向量关系转化为数量关系?

生 (众) :作数量积.

追问:很好, 那如何转化?

(学生小组思考、交流、讨论, 教师巡视)

启发:所证变形后得到什么?你会联想到向量的什么知识?

生7:即证asin B-bsin A=0, asinCcsin A=0等, 要使等式为0, 在向量关系中, 应该是数量积为0, 那应该要构造垂直向量.

师:在三角形中怎样出现垂直向量?

生 (众) :作高.

师:哪位学生上来证明一下?

生8:不妨设∠C为最大角, 过B作BD⊥AC于D, 如图6, 因为所以

即

所以

即

同理, 过C作CD′⊥AB, 可得

所以

师:刚才大家的证明是假设∠C为锐角或直角时定理是成立的, 那么当∠C为钝角时同理可得, 大家课后完成.

设计意图让学生体会垂直在向量中的运用以及三角与向量是密不可分的, 可以通过向量来解决三角中的很多问题, 为以后解决三角、向量一类综合问题打下坚实的基础.

师:大家刚才用了几种不同的方法证明这个定理, 其本质都是构造直角, 转化到直角三角形中去解决.

问题9 根据刚才的证明, 三个比值均为同一个常数, 那这个常数有没有几何意义呢?能否从特例三角形中猜想得到呢?

(学生从特殊的直角三角形和等边三角形中得出结论, 此常数恰好为外接圆的直径2R)

追问:能否利用这个比例常数均等于外接圆直径来证明正弦定理?

(学生尝试通过三角形的外接圆来构造直角三角形)

生9:如图7, 锐角三角形ABC中, ∠A=∠D, 所以

同理

在钝角三角形中同理可得, 此处略, 同学们课后完成.

设计意图通过研究探讨比值的几何意义来引导学生用构造外接圆的方法证明, 不仅使得证明过程自然合理, 而且加深了学生对定理的理解, 更加体现了定理的价值.

环节4:解读定理, 深化理解

问题10刚才用了几种方法证明了此定理, 并且知道了比值的意义, 因此, 此定理可以写成:你能否用自己的语言来归纳公式的一些特点.

学生思考, 教师点拨、引导, 共同总结.定理的结果是一个比值 (边与对角正弦的比值) ;三个比值相等;注意边角对应性;三角函数的名称是正弦 (即正弦定理名称的由来) .

追问你能给出此公式的几种变形吗?

(1) a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C;

(3) a∶b∶c∶=sin A∶sin B∶sin C;

由合分比的性质, 我们还可以得到:

设计意图正弦定理的作用是把边的关系转化为角的关系, 也可以把角的关系转化为边的关系, 即通过边角互换, 使许多问题得以解决.让学生给出定理变形, 进一步让学生加深对定理这种功能的理解.

环节5:定理运用, 熟练技能

学生根据定理很快可以解决问题3的引例.

设计意图定理的直接运用, 对其在题中的运用有了初步了解, 并与前面的问题遥相呼应, 体现了学以致用的原则.

问题11 在问题3的引例中, 已知了三角形的怎样的边角关系?利用正弦定理可以求出哪些边角?你能总结出利用正弦定理可以求出哪类三角形问题? (学生思考总结)

(1) 已知两角一边, 求其它两边一角.如

(2) 已知两边和其中一边的对角, 求其它的边和角.

师:从刚才解题的过程中, 我们已知两角和一角的对边, 解出了其余的边和角, 我们把这个过程称之为解三角形.

设计意图给学生介绍解三角形概念, 形成完整的知识结构.

例1已知:△ABC中, A=30°, a=20, C=45°, 求B, b, c.

(学生思考回答解题思路, 教师板书, 规范解题步骤)

解因为A=30°, c=45°, 所以

B=180°- (A+C) =105°,

又

所以

设计意图进一步熟悉定理的运用, 规范解题步骤.

例2在△ABC中, b=6, A=60°, 求B.

解因为sin B=1/2, B=30°或150°, 又因为a>b, 所以B=30°.

例3 在△ABC中, c=槡6, A=45°, a=2, 求b和B, c.

解因为所以

因为csin A<a<c, 所以C有两解, 则C=60°或120°.

所以当C=60°时, B=75°,

当C=120°时, B=15°,

设计意图在解三角形时, 涉及到已知正弦值求角的问题, 结果可能会出现一解、两解、无解的情况.如何利用好“大边对大角”, 利用好数形结合思想, 是例2和例3的目的, 也有助于学生掌握分类讨论的数学思想.

环节6:回顾反思, 提炼思想

教师、学生共同总结主要内容.主要是学生尝试小结, 教师及时补充提炼, 形成“三个一”:

一次经历:经历了正弦定理的内容的探索过程、证明方法及运用.

一次收获:收获了正弦定理的内容及其变形运用;sin Asin Bsin C正弦定理的应用范围;证明正弦定理的多种方法等等.

一次体会:体会了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想在解题中的运用.

设计意图通过师生共同总结, 理清所学内容、形成知识框架, 学生收获的不仅仅是正弦定理这一基础知识, 而且体验了知识的生成过程, 感受了数学思想方法的运用, 培养学生的归纳总结能力和语言表达能力, 促进学生数学思维能力的提升.

2教学反思

2.1基于学生学情, 追求自然合理

要使课堂教学本真、有效, 那么就应该以钻研教材、理解学生、研究学情开始.课堂教学的主体是学生, 而学生的认知水平参差不齐, 所以课堂教学如果不深入钻研教材、研究学情、理解学生, 就无法做到因材施教、有的放矢.正弦定理从发现、证明到应用, 每一步都需要大量的思考、必要的运算、各种信息的整合、思维方向的调整, 直到抽象概括出定理.课堂上每一个问题的提出, 都是学生思维活动的开始, 教师只需在思维发展的十字路口, 当好引导者, 适时点拨、启发、指导, 探究活动就能取得实效.例如, 正弦定理的引入立足于学生已有的知识, 力求朴实自然;在正弦定理的证明探究中, 根据已有知识经验, 学生能想到构造直角三角形来证明定理, 但对向量法和坐标法证明定理学生基本想不到, 教师应通过精心预设引导提示语实现想法的自然性, 引导、追问、启发学生如何想到用向量法和坐标法证明定理, 怎样用向量法和坐标法证明定理.

2.2 基于“四基”达成, 注重问题引领

教育部2011年版义务教育数学课标中提出了“四基”, 即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在基础知识的积累过程中, 通过对基本技能的演练, 逐步形成思想方法, 并从中获得基本活动经验, 从而形成一个能力立体结构图.强调数学教学是问题引领的数学活动的教学, 学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程, 同时也是获得数学基础知识、基本技能与基本思想的过程.“四基”之间密切联系, 互相促进, 形成一个有机整体.本课例中, 课堂上通过教师问题引导, 让定理的证明过程逐步展开, 并能够引导学生积极思考, 能有效地表达自己的观点, 形成自己的理解力.例如, 引导学生用构造外接圆的方法证明定理时, 先让学生猜想比值的几何意义, 再构造外接圆去证明定理就显得自然、合理, 并且在讨论过程中教会学生如何发现问题、分析问题、解决问题, 学会如何进行比较、分析、综合, 从而学会思考问题的方法, 发展数学思维能力.我们在平时的教学中, 面对一些新出现的问题, 都能为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程, 想学生的困难、思路, 那么以后学生遇到类似问题时就会有自己的解决办法, 提升自学能力, 让学生学会学习和思考, 从而培养学生的认知力.

2.3 基于过程“建构”, 立足思维参与

波利亚说:“学习东西最好的途径是亲自去发现它, 最富有成效的学习是自己去探索、去发现”.新课程强调的是过程学习, 倡导学生在经历和体验中获得知识, 让学生自己去“发现数学”.为了有好的成绩, 为了学生能“熟能生巧”, 教学中往往会花费大量时间搞“题海战术”来强化, 导致课堂教学过于重结论, 轻过程.在数学概念公式定理的教学中, 往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法, 把学生强化成只会套用公式的解题机器, 这样的学生面对新问题就束手无策.

本节课立足点是想尽可能的展示问题的发生、发展、完善、应用等过程, 以问题为导向设计教学情境, 促使学生去思考问题, 去发现问题, 也尽可能让学生自主探究、加强学生间的思想碰撞.例如, 通过引例的展示, 引起学生对新问题与已有知识的认知冲突, 再通过对直角三角形性质的一般化的探究, 进而发现并逐步证明定理, 让学生经历了整个知识形成的过程, 感受到创新的快乐, 激发学生学习数学的兴趣, 体会数学的自然美.

参考文献

3.正弦定理教案 篇三

教学目标：

1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习引入

创设情境：

【师】：世界闻名的巴黎埃菲尔铁塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供测角仪和皮尺，你能测出埃菲尔铁塔的高度吗？

【生】：可以先在离铁塔一段距离的地方测出观看铁塔的仰角，再测出与铁塔的水平距离，就可以利用三角函数测出高度。

【创设情境总结】：解决上述问题的过程中我们将距离的问题转化为角，进而转化为三角函数的问题进行计算。这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，边和角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。

二、新课讲解

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinAab,sinB,sinC1 cc

abc,c,c，也就是说在Rt△ABCsinAsinBsinC【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？ 【生】：边c可以把他们联系起来，即c

中abc sinAsinBsinC

【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与

它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？让我们在几何画板中验证一下，对任意的三角形ABC是不是都有“各边与它所对角的正弦比相等”成立？

【师】：通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。

在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不

能对这个定理给出一个证明呢？

【生】：可以用三角形的面积公式对正弦定理进行证明：S1111absinCacsinBbcsinA，然后三个式子同时处以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【师】：这是一种很好的证明方法，能不能用之前学过的向量来证明呢？答案是肯定的。怎

么样利用向量只是来证明正弦定理呢？大家观察，这个式子涉及到的是边和角，即向量的模和夹角之间的关系。哪一种运算同时涉及到向量的夹角和模呢？

（板书：证法二，向量法）

【生】：向量的数量积ababcos

【师】：先在锐角三角形中讨论一下，如果把三角形的三边看做向量的话，则容易得到三角

形的三个边向量满足的关系：ABBCAC,那么，和哪个向量做数量积呢？还

有数量积公式中提到的是夹角的余弦，而我们要得是夹角的正弦，这个又怎么转化？（启发学生得出通过做点A的垂线根据诱导公式来得到）

【生】：做A点的垂线

【师】：那是那条线的垂线呢？

【生】：AC的垂线

【师】：如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式子的两边同时做数

cos(90A)cos(90C)cos90，化简000

即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

锐角三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：如果△ABC是钝角三角形呢？又怎么样得到正弦定理的证明呢？不妨假设∠A是钝

角，那么同样道理如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式

子ABBCAC的两边同时做数量积运算就可以得到

00jABcos(C90)jBCcos(90C)jACcos900，化简即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在钝角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对

于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，如果

我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一

边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

三、例题解析

【例1】优化P101例

1分析：直接代入正弦定理中运算即可

absinAsinB

csinA10sin45

asinCsin30

bcsinBsinC

B180(AC)180(4530)105

csinB10sin105b205sinCsin30总结：本道例题给出了解三角形的第一类问题（已知两角和一边，求另外两边和一

角，因为两个角都是确定的的，所以只有一种情况）

【课堂练习1】教材P144练习1（可以让学生上台板演）

【随堂检测】见幻灯片

四、课堂小结

【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是abc。并且一起研究了他的证明方法，利用它解决sinAsinBsinC

了一些解三角形问题。对于正弦定理的证明主，要有面积法和向量法，其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。

五、作业布置

世纪金榜P86自测自评、例

1、例

2板书设计：

4.正弦定理优秀教案设计 篇四

生：利用诱导公式。

师：式子变形为： 正弦定理教学设计 ,再

师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试!

学生讨论合作，就可以解决这个问题

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

(三)利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出

5.高一数学正弦定理教案 篇五

1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得

a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R

∴△ABC一定是等腰三角形．

方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．

答案：B

2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()

A．4B．2C．1D．不确定

accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝

∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A

abc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosC

A．等腰三角形B．等边三角形

C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确

解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B

sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC

8553A.B.C.D.5835

解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5

答案：D

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4

A．45°B．30°C．120°D．15°

11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42

b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc

答案：A

6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()

A．5B．6C．7D．8

11解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22

＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C

二、填空题

7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2

又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°

π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 32

13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22

2AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3

答案：33

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4

则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.424

π∴tanC＝1.∴C＝.4

π答案： 4

三、解答题

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B；

(2)若a3b，判断△ABC的形状．

解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB

所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC； →→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2

sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC

1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.8

1∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.8

5→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22

又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2

(1)求sinC的值；

(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．

C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1＝2sin2∴sin222

CCC由sin，得2cos1＝2sin 222

CC1∴sincos.222

13两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44

CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244

6.三面角的正弦定理及其应用 篇六

本文现将三面角的正弦定理及其应用简介如下, 供高中教师教学参考.

一、三面角的正弦定理

设α、β、γ是三面角的三个平面角, 而A、B、C是它们所对的二面角.则

$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

证明:如图1, 在三面角的棱c上, 截取线段SC, 使其长等于1, 从C点向角 (ab) 所在的平面作垂线, 设C′为这条垂线的垂足, 过C点作平面垂直于棱a或棱a的延长线, 并与棱a交于点A, 又过C点作平面垂直于棱b或棱b的延长线, 并与棱b交于点B.

现在让我们计算垂线CC′的长度.由直角三角形SCB (角B是直角) , 可以得出, CB=1·sinα.

现在用直角三角形CBC′ (角C′是直角) 来求垂线CC′的长度.

CC′=CBsinB=sinαsinB.

垂线CC′的长度还可用其他方法来求, 即利用直角三角形ACS和直角三角形CAC′, 来计算垂线CC′的长度, 引时可以得出:CC′=sinβsinA.

由上述垂线长CC′的两个表达式, 可以得到:sinαsinB=sinβsinA.

由此可以得到$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}.$

同理可得关系式$\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

所以$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\sin {\rm B}}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

二、三面角正弦定理的应用

例1 求证:三棱锥的体积与其底面的选择无关.

证明:如图2, 首先, 我们证明:三棱锥的体积与选择哪一个侧面作为底面无关.设D-ABC是一个三棱锥.以α、β、γ表示三棱锥顶点D的三个面角, 即以α表示∠BDC, 以β表示∠ADC, 以γ表示∠ADB, 以a、b、c表示D为顶点的三面角的各个二面角, 即用a表示棱DA的二面角, 用b表示棱DB的二面角, 用c表示棱DC的二面角.

现在自顶点A向棱DC作垂线AE, 并自顶点A向侧面BDC作垂线AO.我们取侧面BDC为三棱锥的底面, 则

底面积$S=\frac{1}{2}DB\cdot DC\cdot \sin \alpha .$

三棱锥的高为H=AO=AE·sinc=

DA·sinβsinC.因而, 三棱锥的体积为:

$V=\frac{1}{6}DA\cdot DB\cdot DC\cdot \sin \alpha \sin \beta \sin c.$

如果取侧面ADB为三棱锥的底面, 同理可求出三棱锥体积的另一表达式为:

$V=\frac{1}{6}DA\cdot DB\cdot DC\cdot \sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \sin b.$

在上面所得出的关于三棱锥体积的两个表达式中, 只有因子sinβsinc和sinγsinb不同, 但这两个因子是相等的.事实上, 根据正弦定理, 对以D为顶点的三面角, 可有

$\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}b}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}c}.$

由此得出:sinβsinc=sinγsinb.

因而, 可得出如下结论:

三棱锥的体积与其底面的选择无关.

例2 证明:若对于任意三面角V-ABC和过顶点V的任一直线VO.设平面AVO与BVC、BVO与CVA、CVO与BVA的交线分别为VX、VY、VZ, 则

$\begin{array}{l}\frac{\sin \angle BVX}{\sin \angle XVC}\cdot \\ \frac{\sin \angle CVY}{\sin \angle YVA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm Z}VB}=1.\end{array}$

证明:如图3, 考虑三面角V-ABX和截面VCO在三面角V-ABX中, 简记二面角X-VC-O为C, C-VO-X为O, A-VZ-O为Z, 则二面角B-VZ-O为π-Z.在三面角V-BZC中, 将由正弦定理得到:

$\frac{\sin \angle BVC}{\sin \angle {\rm Z}VB}=\frac{\sin (\text{π}-{\rm Z})}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=\frac{\sin {\rm Z}}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.①$

同理, 在三面角V-XOC中,

$\frac{\sin \angle XV{\rm O}}{\sin \angle CVX}=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}C}{\sin {\rm O}}.②$

在三面角V-ZOZ中,

$\frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm O}VA}=\frac{\sin {\rm O}}{\sin {\rm Z}}.③$

将①②③相乘, 并约简后得到:

$\frac{\sin \angle BVC}{\sin \angle CVX}\cdot \frac{\sin \angle XV{\rm O}}{\sin \angle {\rm O}VA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm Z}VB}=1.$

同理, 对于三面角V-AXC和截面VBO, 可得到$\frac{\sin \angle CVY}{\sin \angle YVA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm O}}{\sin \angle {\rm O}VX}\cdot \frac{\sin \angle XVB}{\sin \angle BVC}=1$.将上面两式相乘并约简, 即可得到所要证明的等式.

例3 设在三面角V-ABC中, 二面角B-VA-C的分角面 (平分此二面角的平面) 与面BVC交于VD, 则$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle DVC}=\frac{\sin \angle BVA}{\sin \angle CVA}.$

证明:如图4, 二面角B-VA-D和D-VA-C都等于$\frac{A}{2}$, 记二面角B-DV-A为D, 则二面角C-DV-A等于π-D, 在三面角V-ABD中, 由正弦定理, 得

$\begin{array}{l}\frac{\sin \angle BVD}{\sin \frac{A}{2}}=\\ \frac{\sin \angle AVB}{\text{s}\text{i}\text{n}D}‚\end{array}$

即$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle AVB}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

而在三面角V-ADC中, 有

$\frac{\sin \angle DVC}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{\sin \angle AVC}{\sin (\text{π}-D)}=\frac{\sin \angle AVC}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

从而$\frac{\sin \angle DVC}{\sin \angle AVC}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

故$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle AVB}=\frac{\sin \angle DVC}{\sin \angle AVC}$,

即, $\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle DVC}=\frac{\sin \angle AVB}{\sin \angle AVC}.$

说明:此结论, 类似于平面几何中的三角形内角平分线的性质定理.

综上所述可见:应用三面角的正弦定理解题, 不仅简洁明快, 解题过程简化, 而且避免了繁杂的计算, 易于思考, 易于求解, 若用“常规”方法求解, 则繁琐困难, 且构图复杂, 因而熟悉该定理的应用, 很有必要.

7.高一数学正弦定理教案 篇七

上海教师考试网（）上海中公教育（）联合制作

为了帮助广大考生系统的复习教师资格面试考试，全面的了解教师资格考试的相关重点，中公教师考试网为广大考生准备了与面试相关的辅导资料，希望对您参加本次考试有所帮助!

一、教材分析

本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

二、教法

根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点。

三、学法：

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

四、教学过程

第一：创设情景，大概用2分钟

第二：实践探究，形成概念，大约用25分钟

第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟

(一)创设情境，布疑激趣

“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°，∠B=53°，AB长为1m，想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

(二)探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。

2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

(三)逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

(四)归纳总结，简单应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。

(五)讲解例题，巩固定理

1.例1.在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。

例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2.在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

(六)课堂练习，提高巩固

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形。

(1)A=45°，C=30°，c=10cm

(2)A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形。

(1)a=20cm，b=11cm，B=30°

(2)c=54cm，b=39cm，C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

(七)小结反思，提高认识

通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?

1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

五、板书设计

正弦定理

1.正弦定理

2.证明方法

3.利用正弦定理能够解决两类问题：

(1)平面几何法(1)已知两角和一边

(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角

例题

8.正弦定理和余弦定理2 篇八

第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

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A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

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2大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

21大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°

9.正弦定理和余弦定理练习题 篇九

一.选择题：

1.在ABC中，a23，b22，B45，则A为（）

A.60或120B.60C.30或150D.30

sinAcosB

2.在C中，若，则B（）

abB.45C.60D.90

A.30

3.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）B.45C.120D.30

A.60|AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523，4.在ABC中，则边|AC|等于（）

A.5B.523C.523D.523

5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角或钝角三角形

6.在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

7.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（）

A.52 B.21

3C.16 D.4

二.填空题：

9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________

10.在ABC中，化简bcosCccosB___________

11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC654::，则cosA___________

12.在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________

三.解答题：

13.已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。

14.在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。

15.已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。

（1）求角C。

（2）求ABC面积的最大值。

四大题

证明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圆半径 sinAsinBsinC

证略

见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例 二 在任一

△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证=

：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

asinB3sin453解一：由正弦定理得：sinA b22∵B=45<90 即b

∴A=60或120

bsinC2sin7562当A=60时C=75 c sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15 c sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 解之：x62 2222622)3bca13622 当c时cosA2bc2622(31)22222（从而A=60

C=75

当c62时同理可求得：A=120

C=15 2例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=ab232由题设：

ab2∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120 22∴C=120 222a2b2ab(ab)2ab(23)2210

即AB=10

111333S△ABC=absinCabsin1202 22222例六 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA 即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

A

B D

C 解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD

1515(x24x)442．如图ABBC CD=33 ACB=30 BCD=75 BDC=45 求AB的长(112)

A

B

C 3 【试题答案】

一.选择题：

1.A

提示：aba3，sinAsinB sinAsinBb

22.B

提示：由题意及正弦定理可得tanB3.C

1提示：由余弦定理及已知可得cosA

24.D 2

提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)

2AC52

32|AC|AC523

5.A

提示：长为6的边所对角最大，设它为

1625361

则cos0

2458

090

6.C

提示：由余弦定理可将原等式化为

b2c2a2a2c2b2a

b

2bc2ac

即2b22a2，ab

7.C

提示：原不等式可变形为cos(AB)0

0AB，B(0，)

从而C(AB)（8.B

2，)

3提示：由题意得cos或2（舍去）三角形的另一边长5232253cos52213 二.填空题：

9.36126，1262提示：absinAsin606，abbb sinAsinBsinBsin452

又ab12，a36126，b12624

10.a

a2b2c2a2c2b2ca

提示：利用余弦定理，得原式b2ab2ac1

11.8提示：由正弦定理得a:b:c654::

设1份为k，则a6k，b5k，c4k

b2c2a21

再由余弦定理得cosA2bc8

12.钝角三角形

提示：由cosAsinB得sin（A、B均为锐角，2A)sinB

A(0，)，B(0，)222

而ysinx在(0，)上是增函数 2AB

即AB2

C(AB)(，)

2三.解答题：

13.解：由正弦定理得：

sinCc623sinAa222

C60或120

当C60时，B180(AC)75 a262sinB31 sinA422

当C120时，B180(AC)15

b

ba2sinBsinA226231 b31，C60，B75

或b31，C120，B15

14.解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x

则有3x7x4x10x360

解得x15

A45，B105，C60，D150

连BD，在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2

BD3a

此时，DC2BD2BC2

BCD是以DC为斜边的直角三角形

CDB30

BDA15030120

在BD中，由正弦定理有：

ABBDsinBDAsinA3a3232a

2225 32a 2

15.解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinB

AB的长为2

(22)2(si2nAsinC)(ab)22sinB

即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB

由正弦定理知a2c2(ab)b

即a2b2c2ab

a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC2ab2ab2

C60

（2）SabsinC

2RsinA2RsinBsin60

232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]

3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2

133

10.正弦定理必修5 篇十

授课类型：新授课

一、教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

三、教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，abcsinA，sinB，又sinC1,A ccc

abc则csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB sinsinsin有

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则

同理可得

从而asinAbsinB，csinCbsinB，a

sinAbsinBcsinCAcB

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC，C

由向量的加法可得ABACCB

则jABj(AC

CB)∴jABjACjCBj

jABcos900A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

同理，过点C作jBC，可得

从而ac bc a

sinAb

sinBc

sinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinAb

sinBc

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）a

sinAb

sinBc

sinC等价于a

sinAb

sinB，c

sinCb

sinB，a

sinAc

sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，ab

C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，asinB42.9sin81.80

b80.1(cm)； sin32.0根据正弦定理，asinC42.9sin66.20

c74.1(cm).sin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，bsinA28sin400

sinB0.8999.因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160.⑴ 当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760

c30(cm).sin40

⑵ 当B1160时，C1800(AB)1800(4001160)240，asinC20sin240

c13(cm).sin40评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。Ⅲ.课堂练习

第5页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。

11.正弦定理试讲反思 篇十一

对于这次的试讲，我还是比较看重的，在上课前我也准备了比较久的时间，总的来说，我对于课堂上总体进度的把握以及上课的梯度有了一定的掌握，并且预想了诸多的问题以应付课堂上的突发状况。但俗话说“实践出真知”，真正的课堂远不是备课时所设想的这般简单。

这次我试讲的内容是必修5第一章第一节第一课时的正弦定理，本节课是新授课，我根据带队老师的建议总结了一下，发现了其中存在的一些问题。

一、首先，对于教材的熟悉度还不够

在课堂上进行语言表达的时候，还是有些不连贯，在脑中也不能很好的呈现出知识框架，另外，在内容的衔接上也还有一些生硬，我还是需要多多的研读教材，将教材进行前后联系，才能逐渐的驾驭教材。

二、在写新课名称的时候没有写章节目录

在试讲写新课名称的时候我没有写本节课的章节名称，而PPT上面是有写的，所以带队老师建议我把板书跟PPT上的内容统一起来，以便于使PPT更清晰更完美，学生也可以更好的观看。

三、PPT中的字太多，不够简洁

在课前我精心准备了一份课件，将书中大部分的内容都收入其中，包括引入 部分的练习、例题讲解的步骤和一些定义，但是在试讲时带队老师提出建议，对于PPT上的定义这部分内容可以省略，学生可以通过对书本的观察得知，同时也可以让PPT显得更简练清爽。

四、课堂上问题的设置不够，与学生之间的互动比较少

在试讲时大部分的时间都是由我在讲，很少有提问学生的时候，这样就容易让学生跟不上老师的教学进程，并且老师也不能知道学生对于知识的了解程度，这样做会对老师的教学会产生极大发阻碍，所以带队老师要求我多提一些问题，在一些重要的知识点上更是要放慢教学节奏，认真细心的帮助同学理解并掌握了之后再继续授课，也可以引导学生跟着自己的思路走，这样上课学生就会更投入。

五、上课时的语速要注意抑扬顿挫

上面我已经说到过，对于教材的熟悉度不够，从而会在语言的连贯上产生一些影响，现在带队老师也提出，在熟悉了教材之后我们要更进一步，要求自己逐渐养成抑扬顿挫的习惯，这样可以让课堂更生动活泼，有更好的氛围，让学生的学习效率更高。

12.高一数学正弦定理教案 篇十二

1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()

A．75°B．60°C．45°D．30°

2．在△ABC中，若2sinAsinB

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

3．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC一定成立的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．[2012·广东六校联考] 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，且B是A与C的等差中项，则sinA＝________.能力提升

5．在△ABC中，a＝3＋1，b＝3－1，c10，则C＝()A．150°B．120°

C．60°D．30°

π6．在△ABC中，B＝，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是()3

2B.356

7．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()

ππππC.12643

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝()

31B.22

31D.33

9．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则C＝________.10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a2－b2＝3bc，sinC＝2B，则A＝________.11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．

12．(13分)[2011·湖北卷] 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a

1＝1，b＝2，cosC4

(1)求△ABC的周长；

(2)求cos(A－C)的值．

难点突破

13．(12分)[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；