概率论与数理统计复习大纲（共15篇）
1.概率论与数理统计复习大纲 篇一
概率论与数理统计A
Probability & Statistics A
课程编码：09A00210 学分：3.5 课程类别：专业基础课 计划学时：56
其中讲课：56 实验或实践：0 上机：0 适用专业：部分理工类、经济、管理类学院各专业，主要有信息学院、机械学院、电气自动化、土建学院、资环学院、商学院、物理学院等。
推荐教材：杨殿武 苗丽安主编，《概率论与数理统计》，科学出版社，2014年;参考书目：浙江大学盛骤主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2009年;吴赣昌主编，《概率论与数理统计》，中国人民大学出版社，2006年。
课程的教学目的与任务
本课程是大部分理工科、管理、经济类各专业的专业基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。课程的任务在于通过本课程的学习，要使学生获得：随机事件与概率、一元与多元随机变量及其分布、随机变量的数字特征；、数理统计的基本概念、参数估计与假设检验等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及运用数学知识分析问题和解决随机问题的能力，提高学生的数学素质和解决实际问题的能力。
课程的基本要求
（一）概率论基础
掌握古典概型、几何概型的计算；掌握全概率公式及贝叶斯公式的运用及独立性。
（二）随机变量及其分布
掌握一维离散型和连续型随机变量的概率分布的计算及一维随机变量的函数的分布。
（三）多维随机变量及其分布
1、掌握二维离散型随机变量的概率分布及二维连续型随机变量的概率密度的性质。
2、掌握二维离散和连续型随机变量的边缘分布和随机变量的独立性及二维随机变量的函数的分布。
（四）随机变量的数字特征
1、掌握数学期望、方差的性质及运算;掌握六种常见分布的数学期望和方差。
2、掌握协方差及相关系数的性质及相关性。
（五）大数定律与中心极限定理
了解切比雪夫不等式，了解独立同分布中心极限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理。
（六）参数估计
掌握三大分布χ2 分布、t分布及F分布及正态总体的常用的统计量分布；掌握矩估计法、最大似然估计法和区间估计的方法。
（七）假设检验
理解假设检验的基本思想，掌握单个正态总体的均值与方差的假设检验，了解两个正态总体均值与方差相等的假设检验。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议
第1章 概率论基础 建议学时：10学时
[教学目的与要求] 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算；理解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型和几何概型的概率；掌握概率的加法公式，乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式；理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法.[教学重点与难点] 重点：事件之间的关系与运算、概率的基本性质与计算；难点：全概率公式和贝叶斯公式的应用。
[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容] 1.1 概率论的基本概念 1.2 概率的定义 1.3 条件概率 1.4 事件的独立性
第2章 随机变量及其分布
建议学时：10学时
[教学目的与要求] 理解随机变量、分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率；理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其应用；理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握正态分布，均匀分布和指数分布及其应用；会求简单随机变量函数的概率分布。
[教学重点与难点] 重点：离散型、连续型随机变量的概率计算，六种常见随机变量的分布；难点：连续型随机变量的概率计算。[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容] 2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量及其概率分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率分布 2.5 随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布 建议学时：10学时
[教学目的与要求] 理解二维随机变量、联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率；理解随机变量的独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件；掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度；会求两个独立随机变量的简单函数的分布。
[教学重点与难点] 重点：二维离散型、连续型随机变量的概率计算，独立性的概念；难点：二维连续型随机变量的概率计算，随机变量函数的分布。
[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容] 3.1 多维随机变量及其分布函数 3.2 二维随机变量及其分布 3.3 随机变量的独立性与条件分布 3.4 多维随机变量函数的分布
第4章
随机变量的数字特征 建议学时：8学时
[教学目的与要求] 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差，相关系数）的概念；并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布的数字特征的概念意义和实际背景；会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望；掌握随机变量独立性与相关系数的相互关系。
[教学重点与难点] 重点：常用六种随机变量的数字特征的概念意义及计算，边缘分布的求法；难点：随机变量函数的数字特征，相关系数。[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容]
4.1 数学期望
4.2 方差
4.3 协方差与相关系数
第5章 大数定律与中心极限定理 建议学时：2学时
[教学目的与要求] 了解大数定律与中心极限定理的中心思想与意义。[教学重点与难点] 辛钦大数定律、棣莫佛--拉普拉斯定理。[授 课 方 法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。[授 课 内 容]
5.1 大数定律
5.2 中心极限定理
第6章 参数估计
建议学时：8学时
[教学目的与要求] 理解样本和统计量等基本概念;掌握样本均值、样本方差的计算;熟悉χ2 分布、t分布及F分布及正态总体的常用的统计量的分布。理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；掌握矩估计法和最大似然估计法；了解估计量的无偏性，有效性和一致性的概念，并会验证估计量的无偏性；了解区间估计的概念，会求单正态总体的均值与方差的置信区间。
[教学重点与难点] χ2 分布、t分布及F分布及正态总体的常用统计量的分布，矩估计法、最大似然估计法，正态总体的均值与方差的置信区间。
[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容]
6.1 数理统计的基本概念 6.2 点估计
6.3 区间估计
第7章 假设检验
建议学时：8学时
[教学目的与要求] 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误；了解单正态总体均值与方差的假设检验方法及双正态总体均值与方差的假设检验方法。
[教学重点与难点] 单正态总体均值与方差的假设检验；双正态总体均值与方差的假设检验。[授 课 方 法] 以课堂多媒体教学为主，结合课堂练习与讨论，课后练习及答疑为辅。[授 课 内 容] 7.1 假设检验概述 7.2 单个正态总体的假设检验 7.3 两个正态总体的假设检验
撰稿人：王金梅
审核人：杨殿武
2.概率论与数理统计复习大纲 篇二
一、考情分析
综观近几年全国各地的高考试题, 对概率统计与计数原理的考查, 基本呈现出以下特点.
1.题型全面, 知识点覆盖面广, 但有所侧重, 一般以一大和两小的格局出现, 约占22分.2012年也有少数省市减少了对概率统计与计数原理的考查, 如江苏卷、福建的文科卷, 只考查了两个小题, 且为中低档题.深入分析这些考题, 由于各地教材的版本不同, 各省市的考查要求也不同.
2.贴近教材, 贴近生活.有些试题由教材例习题的改编或从实际生活中概括而来, 情境新, 富有时代气息, 贴近社会生活, 并解决生产生活中的一些实际问题.如2012年, 天津卷理科第16题是掷骰子游戏问题, 全国新课标卷理科第18题是花店销售玫瑰花问题, 重庆卷理科第17题是投篮比赛问题, 四川卷理科第17题是小区安全防范系统问题, 辽宁卷理科第19题是体育节目收视率问题, 湖南卷理科第17题是超市购物量及结算时间问题, 陕西卷理科第20题是银行柜台办理业务所需的时间问题, 湖北卷理科第20题是工程施工期间降水量对工期的影响问题等.由此我们看到, 高考中出现的概率问题与其他题目有区别, 其应用性较强.
3.所有的试题注重对主干知识的考查, 新课程卷的多数试题淡化了求解过程中对计数原理的考查, 而强化了对必然与或然的数学思想和基础知识的考查.
4.注重与其他数学知识的整合.如2012年, 辽宁卷理科第5题与函数模型的应用、不等式解法、几何概型综合应用问题, 江苏卷第6题与等比数列的综合应用问题, 江西卷理科第18题以空间坐标为背景, 给出“立体”的新定义问题等.
5.统计内容进入解答题.原高考中文、理科概率一般都有一道解答题, 统计是以小题形式出现.新课标文科概率的内容删去了很多, 概率只占8课时, 而统计占到30课时;理科的统计和概率的课时数基本相等, 都是23课时.所以从课标要求、课时等方面来看, 统计这一内容显得更为重要, 以解答题的形式考查统计已成为可能, 特别是文科.事实上, 2012年高考单独出统计解答题的有:广东文、理卷第17题, 辽宁文、理卷第19题, 考查频率分布直方图的理解与应用;安徽文科卷第18题, 主要考查频率和频率分布表等统计学的基本知识, 用频率估计概率的基本思想.2012年以解答题的形式考查统计与概率的省份还有:新课程全国文、理卷第18题, 山东理科卷第19题, 浙江理科卷第19题, 福建理科卷第16题, 安徽理科卷第17题, 北京文、理卷第17题, 天津文科卷第15题、理科卷第16题.这些题目, 将统计概率应用融为一体, 综合考查数据处理能力.“会收集数据、整理数据, 能从大量数据中抽取对研究对象有用的信息, 并做出判断.数据处理能力主要依据统计进行整理、分析, 并解决给定的实际问题”.在复习时, 要重视统计中的数据整理、分析、预测等能力.
6.排列组合中对分类讨论思想的要求较高.如2012年, 四川卷理科第11题利用排列组合计算抛物线的条数问题, 北京卷理科第6题排数问题, 安徽卷理科第5题纪念品交换问题等.
二、命题走势
分析近几年的数学高考试题可以发现, 这一内容的高考命题有以下趋势.
对于统计的考查在逐渐升温, 由以往的以选择题、填空题的形式出现, 转为以解答题的面孔出现的可能性较大, 主要考查抽样方法、各种统计图表等内容, 多为中档题.由于统计中的抽样方法、总体分布的估计等内容与现实生活联系密切, 必将改变以往考试中较少涉及的现状, 逐渐成为高考的热点, 而线性回归、回归分析和独立性检验等知识目前仍为考试的冷点, 也有部分省市暂未列入考试要求.
对概率的考查文、理有别, 理科以解答题并设计多个小题的形式出现, 在考查古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容的同时, 将含离散型随机变量的分布列、期望、方差和各种概率的计算融合在一起进行考查, 经常通过对课本原题的改编, 或是对基础知识的重新组合、拓展, 并赋予时代气息, 常以熟悉的生活背景为载体, 以排列组合和概率知识为工具, 考查对概率事件的识别与概率计算.试题立意高、情境新、设问巧、贴近生活实际;由于文科不再学习排列组合知识和独立事件的概率, 因此有关古典概型问题的计算要求会有所降低, 主要考查不用排列组合知识的古典概型和几何概型的计算.
在题型上, 与往年类似, 选择题、填空题一般考查概率、统计的一些基础知识;在解答题中, 文科注重考查纯概率题, 理科应重点关注将概率与统计结合起来的问题.
三、特别提醒
1.求出离散型随机变量的分布列后, 要注意用分布列的两条性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.二项分布、几何分布是常见离散型随机变量的分布, 它们都是在做独立重复试验时产生的, 但二项分布是指n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率分布, 而几何分布是指在第k次独立重复试验时, 事件第一次发生的概率分布, 一定要注意区分, 避免混淆.
2.离散型随机变量的期望应注意两点:
(1) 期望是算术平均值概念的推广, 是概率意义下的平均.
(2) Eξ是一个实数, 由ξ的分布列唯一确定, 随机变量ξ是可变的, 可取不同的值, 而Eξ是不变的, 它描述ξ取值的平均状态.
3.离散型随机变量的方差应注意三点:
(1) Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度.Dξ越大, 表明平均偏离程度越大, 说明ξ的取值越分散;反之, Dξ越小, 说明ξ的取值越集中, 在Dξ附近, 统计中常用来描述ξ的分散程度.
(2) Dξ与Eξ一样也是实数, 由ξ的分布列唯一确定.
(3) 教材中给出D (aξ+b) =a2 Dξ, 在应用此结论时, 要注意D (aξ+b) ≠aDξ+b, D (aξ+b) ≠aDξ.
4.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础, 是一种等概率抽样, 由其定义, 应抓住以下三点:
(1) 它要求被抽取样本的个体数有限.
(2) 它是从总体中逐个地进行抽取.
(3) 它是一种不放回式抽样.
5.频率分布条形图和频率分布直方图是不同的概念, 虽然它们的横轴表示的内容是相同的, 但是频率分布条形图的纵轴 (矩形的高) 表示频率;频率分布直方图的纵轴 (矩形的高) 表示频率与组距的比值, 其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积.
四、考点解析
近几年全国各地新课程高考数学试卷中, 考查概率统计与计数原理的题型全面, 知识点覆盖面广, 但有所侧重.
1.新增内容, 全面考查
新课程高考数学试卷对新增加的概率与统计的内容都有所涉及, 例如几何概型、茎叶图、运用统计图表估计总体等, 这些知识在近几年的高考试题中均有体现, 一般以直接应用的基础试题为主.
例1 (2012年北京卷) 设不等式组{0≤y≤20≤x≤2, 表示的平面区域为D, 在区域D内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 () .
评析:本题主要考查几何概型的概率.用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的, 同属于“比例解法”, 即随机事件的概率可以用事件包含的基本事件的“测度”与试验的基本事件所占的总“测度”之比.几何概型与古典概型虽然都是等可能问题, 但是几何概型面对的基本事件具有无限性, 因此, 在求它的概率时, 需转化为相应线段的长度、图形的面积或几何体的体积等几何测度之比来实现.
例2 (2012年陕西卷) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 得到样本的茎叶图 (如图2所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 () .
解:根据茎叶图知, 共有30个数据, 所以中位数是, 众数是45, 极差是68-12=56.故选A.
评析:本题从统计中的茎叶图开始, 要求从茎叶图中正确读出相关数据并进行分析.
2.文、理要求, 分层考查
概率统计与计数原理对文理科的考试要求, 在高考试题中有非常明显的区别.如对计数原理和二项式定理的考查, 只出现在理科试卷中, 对概率问题的考查, 文科一般只考古典概型, 对问题中计数能力的要求仅限于会通过枚举得到;理科会在文科的基础上, 要求会用排列组合的方法来加以计数.必须注意, 这里对排列组合计数的要求也不高, 一般会直接使用就可以了.
例3 (2012年全国新课标理科卷) 将2名教师, 4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成, 不同的安排方案共有 () .
(A) 12种 (B) 10种
(C) 9种 (D) 8种
解:将4名学生均分为2个小组共有种分法, 将2个小组的同学分给两名教师带有A22=2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22=2种分法.
故不同的安排方案共有3×2×2=12种分法.故选A.
评析:对于排列组合混合问题, 可运用先分组后排列的策略求解.无次序分组问题有“均匀分组 (比如本题) 、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型.计数时常有下面结论:对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题, 只需按“非均匀分组”列式后, 再除以均匀分组数的全排列数.
例4 (2012年浙江理科卷) 若将函数f (x) =x5表示为f (x) =a0+a1 (1+x) +a2 (1+x) 2+…+a5 (1+x) 5, 其中a0, a1, a2, …, a5为实数, 则a3=.
解:x5=[ (1+x) -1]5, 故a3为[ (1+x) -1]5的展开式中 (1+x) 3的系数, 由二项展开式的通项公式可得Tr+1=C5r (1+x) r (-1) 5-r.
令r=3, 得T4=C53 (1+x) 3 (-1) 2=10 (1+x) 3, 故a3=10.
评析:二项式定理这部分内容有独特的处理问题的方法和思考方法, 比如系数问题、特殊赋值等.本题在设计上注重考查思维方式, 又不回避通性通法的考查, 题目入口较宽, 又有一定的思维深度.
例5 (2012年山东卷) 袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张, 标号分别为1, 2, 3;蓝色卡片两张, 标号分别为1, 2.
(Ⅰ) 从以上五张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(Ⅱ) 现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
解: (Ⅰ) 从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:
红1红2, 红1红3, 红1蓝1, 红1蓝2, 红2红3, 红2蓝1, 红2蓝2, 红3蓝1, 红3蓝2, 蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况, 故所求的概率为
(Ⅱ) 加入一张标号为0的绿色卡片后, 从六张卡片中任取两张, 除上面的10种情况外, 多出5种情况:红1绿0, 红2绿0, 红3绿0, 蓝1绿0, 蓝2绿0, 即共有15种情况, 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,
所以概率为
评析:本题紧紧围绕教材, 依据教材改编而成, 着重考查高中数学的基本知识与基本内容, 既考查了计数原理, 同时又是概率论的经典问题.题目本身不难, 若不加分析就计算, 可能会失分.要是先进行分析和探索, 综合自己掌握的数学知识, 找到合适的切入点, 问题就迎刃而解.
3.重点知识, 重点考查
(1) 对统计知识的考查
分层抽样、频率分布直方图、样本估计总体、样本数据的数字特征 (平均数、方差等) 是考查重点.
例6 (2012年广东卷) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图3所示, 其中成绩分组区间是:[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100].
(Ⅰ) 求图中a的值;
(Ⅱ) 根据频率分布直方图, 估计这100名学生语文成绩的平均分;
(Ⅲ) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数.
解: (Ⅰ) 由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1, 得
即20a=0.1.解之, 得a=0.005.
(Ⅱ) 由频率分布直方图可知, 这100名学生在各分数段上的人数分别为:
[50, 60) , 5人;[60, 70) , 40人;[70, 80) , 30人;[80, 90) , 20人;[90, 100) , 5人.
所以这100名学生的平均分为
(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 及图表可知, 数学成绩在[50, 90) 内各分数段上的人数分别为
评析:本题以统计中的频率分布直方图为背景, 考查分析问题和解决问题的能力, 准确读取频率分布直方图中的数据是解决此类问题的关键.
(2) 对概率知识的考查
古典概型、离散型随机变量的分布列和期望、二项分布等是重点考查对象, 这类问题构成高考解答题的主体.
例7 (2012年天津卷) 现有4个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏, 掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(Ⅲ) 用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数, 记ξ=|X-Y|, 求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为C24p2 (1-p) 2=
(Ⅱ) 由题意知, X～B (4, p) , ∴P (X=k) =Ck4pk (1-p) 4-k (k=0, 1, 2, 3, 4) ,
因此, 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
(Ⅲ) ξ所有可能的取值为0, 2, 4.
随机变量ξ的分布列为:
评析:本题主要考查古典概型及其计算公式, 互斥事件、独立重复事件、离散型随机变量的分布列及数学期望等基本知识.这种类型的概率试题在近几年各地的高考试卷中出现的比例较高, 且常考常新.对于此类考题, 要注意认真审题, 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质, 将问题成功转化为古典概型, 独立事件、互斥事件等概率模型求解, 因此对概率型应用性问题, 理解是基础, 转化是关键.
声明:本刊选用了部分国内外图文, 为了更好地维护著作者权益, 敬请与本刊联系, 以便及时奉寄稿酬。
3.概率与统计专题复习策略 篇三
1． 复习时，要解决好两个问题：一是要理解体会离散型随机变量期望、方差的实际意义，这样才能把实际问题转化为期望、方差的计算问题；二是要准确理解把握问题中随机变量ξ、η的具体含义，这是解决分布列问题的关键．
2． 学习统计这部分内容时，应着重体会概念的实际意义，突出统计中处理问题的基本思想方法，亲自动手，结合使用计算器解决一些简单、典型的实际问题．尽管这部分内容在高考中分量轻，但对数学方法的理解有很大帮助．
3． 在复习中主要加强以下三种训练：(1)强化双基训练．主要是培养扎实的基础知识，快捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力；(2)强化方法选择．要掌握思维过程，发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系；(3)培养应用意识．要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”．再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.
（一）典题分析
1． 概率问题.
例1 A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是( )
A. ■ B. ■ C. ■ D. ■
答案：D.
解析 不妨假定最后赢得所有卡片的是A，则第5次抛掷硬币出现的是正面向上，且前4次的抛掷结果中必有3次正面向上、1次正面向下(这次正面向下不能出现在第4次)，因此恰好抛完5次硬币时赢得所有卡片是A的概率是■×■＝■，恰好抛完5次硬币时游戏结束的概率是■×2＝■.
点评 在排列组合以及概率的相关问题中，题目中常常出现“至多”“至少”“恰好”之类的词语，此时一定需要根据题意的叙述准确理解其含义，从而正确地解决问题．
2．“频率分布”与“累积频率分布”问题.
例2 有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：
［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8
［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.
分析本题主要要求考生能够准确地识图以及主要考查频率分布直方图的有关知识；注意频率分布与累积频率分布的区别，要掌握三种表格的区别与联系.
解析 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表：
(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：
点评 在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，而频数等于样本容量与频率的乘积，所有小矩形的面积之和等于1.
例3 考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：（1）作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.
分析 确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.
解析 ⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29.确定组距为3，组数为10，列表如下：
⑵频率分布直方图如下：
点评 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功．
3． 离散型随机变量的分布列、期望和方差.
在计算分布列时，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率. 在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，尽量避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确性.
例4 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
则比较两名工人的技术水平的高低为 .
分析 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.
解析 工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：
Eε=0×■+1×■+2×■=0.7，
Dε=(0-0.7)2×■+(1-0.7)2×■+(2-0.7)2×■=0.891；
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：
Eη=0×■+1×■+2×■=0.7， Dη=(0-0.7)2×■+(1-0.7)2×■+(2-0.7)2×■=0.664.
由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.
点评 期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
例5 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为■，且各次射击的结果互不影响．
(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；
(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．
分析 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力．
解析 (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率：
P1＝P(A·A·■)＋P(■·A·A)＋P(A·A·A)＝■×■×■＋■×■×■＋■×■×■＝■.
(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P2＝C23×(■)2×■×■＝■.
(3)由题设，“ξ＝k”的概率为：
P(ξ＝k)＝C2k-1×(■)2×(■)k－3×■＝C2k-1×(■)k－3×(■)3
(k∈N*且k≥3)．
所以，ξ的分布列为：
点评 (1)二项分布与几何分布是两类重要的分布，要熟练掌握．在写分布列时，首先要判断随机变量是否满足其中一种．
(2)在进行概率计算时，要注意排列、组合等知识在等可能事件中的应用，要注意互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率公式的应用．
例6 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.1、0.5，今两人各投2次．
(1)求甲比乙投中次数多的概率；
(2)设ξ为甲投中次数与乙投中次数的差，求ξ的分布列．
分析 本小题主要考查概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识，体现数学的科学价值.
解析 (1)设甲投中的次数是1且乙投中的次数是0的概率为P1，
则P1＝C12×0.1×(1－0.1)×C02×(1－0.5)2＝0.18×0.25＝0.045；
设甲投中的次数是2且乙投中的次数是0的概率为P2，
则P2＝C22×0.12×C02×(1－0.5)2＝0.01×0.25＝0.0025；
设甲投中的次数是2且乙投中的次数是1的概率为P3，
则P3＝C22×0.12×C12×0.5×(1－0.5)＝0.01×0.5＝0.005，
所以甲比乙投中次数多的概率为：
P＝P1＋P2＋P3＝0.045＋0.0025＋0.005＝0.0525.
(2)由题设知，随机变量ξ的取值为－2，－1,0,1,2.
P(ξ＝－2)＝C22×0.52×C02×(1－0.1)2＝0.2025，
P(ξ＝－1)＝C22×0.52×C12×0.1×(1－0.1)＋C12×0.5×(1－0.5)×C02×(1－0.1)2＝0.450，
P(ξ＝0)＝C22×0.52×C22×0.12＋C12×0.5×(1－0.5)×C12×0.1×(1－0.1)＋C02×(1－0.5)2×C02×(1－0.1)2＝0.295，
P(ξ＝1)＝C12×0.5×(1－0.5)×C22×0.12＋C02×(1－0.5)2×C12×0.1×(1－0.1)＝0.050，
P(ξ＝2)＝C02×(1－0.5)2×C22×0.12＝0.0025.
所以ξ的分布列为：
点评 (1)第(1)小题既是概率的综合题，又是分类讨论问题，其中只要明确了分类的依据就是“不确定性”，问题就比较容易解决；(2)解决这个问题的关键是根据对实际问题背景的理解，首先确定随机变量，其次根据题意，对每个确定的随机变量用分类的方法求对应的概率，求概率时关键是理解事件的局部是独立重复试验的概率问题．
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量ξ符合二项分布，即ξ～B(n，P)．分布列能完整地刻画随机变量ξ与相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示ξ的所有可能取值，第二行对应的各个值(概率值)必须都是非负实数且满足其和为1.
4．统计问题.
例7 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分到90分之间的有多少人？(Φ(1)＝0.8413)
分析 要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．
解析 设x表示这个班的数学成绩，则x服从
N(80,102)，设z=■，则z服从标准正态分布N(0,1)，查标准正态分布表，得Φ(1)＝0.8413，Φ(0)＝0.5000，所以
P(80 点评 这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．数学中应特别注意和重视利用正态分布的知识来解决现实生活中的一些实际问题． 5． 正态分布的概念及主要性质. 例8 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d至少是 ?（其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）. 分析 （1）要求P（ξ<89）=F（89）， ∵ξ～N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（－2.327），故需转化为标准正态分布的数值. （2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解d. 解析 （1）P（ξ<89）=F（89）=Φ（■）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228. （2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80）， 即1－P（ξ<80）≥1－0.01，∴P（ξ<80）≤0.01. ∴Φ（■）≤0.01=Φ（－2.327）. ∴■≤－2.327. ∴d≤81.1635. 故d至少为81.1635. 点评 （1）若ξ～N（0，1），则η=■～N（0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f（x）是偶函数，x<0时，f（x）为增函数，x>0时，f（x）为减函数. 例9 设X~N(μ，σ2)，且总体密度曲线的函数表达式为：f（x）=■e■，x∈R.（1）则μ，σ是 ；（2）则P(x-1<■)及P(1-■ 分析 根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体N(μ，σ2)与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决. 解析 ⑴由于f(x)=■e■=■ e■，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，σ=■，故X～N（1，2）. (2)P(x-1<■)=p(1-■ =Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-1=0.6826. 又P(1-■ =Φ(■)-Φ(■)=Φ(2)-Φ(-1) =Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185. 点评 通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联. （二）2012年高考预测与复习建议： 预测： 1． 有关概率的实际应用问题.这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目. 2． 有关统计的实际应用问题.这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题. 复习建议： 1． 掌握离散型随机变量的分布列，须注意： (1)分布列的结构分为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率． (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． （3）在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式． （4）对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差． （5）不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散型随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度，连续随机变量在某一点上是没有频率的. 2． 基本方法： (1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解． （4）分析总体特征，选择合理的抽样方法． （5）若标准正态分布N(0,1)总体取值小于x0的概率用Φ(x0)表示，即Φ(x0)＝P(x＜x0)，则Φ(x0)＋Φ(－x0)＝1，对一般正态总体N(μ，?啄2)来说，取值小于x的概率F(x)＝ Φ(■)． （作者单位：贵州省龙里中学） 2013考研已剩不到40天了，很多同学在做真题和预测题《考研数学绝对考场最后八套题》时发现对概率论与数理统计这部分知识掌握得还不够好，对此专家给出几点建议，助同学们实现完美冲刺。 首先基本概念、基本理论和基本方法是考研数学的重点，概率论与数理统计也不例外，建议同学们随身带本《考研数学必备手册》，方便记忆掌握概念和理论，同时由于概率论与数理统计学科的.特点，同学们尽量能结合实际例子和模型来掌握。 其次概率论中的一维与二维随机变量的分布与数字特征是考研考查的重点内容，但这部分内容比较多，如有联合分布、边缘分布和条件分布，随机变量有离散型随机变量、连续型随机变量，还有介于两者之间的随机变量，有期望、方差还有协方差等。建议同学们在复习这部分时抓住分布函数这一主干，其余的可以说是它的分支。数理统计这部分难度不大，同学们先掌握好其基本概念和性质，然后如矩估计、最大似然估计、验证估计量的无偏性等考查重点，同学们多做些这方面的习题，掌握好其计算方法。 最后概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，但是很多同学答卷时，常把概率论与数理统计考题放在最后做，因时间紧迫、考虑不周及心慌等造成考试失误，所以同学们在答卷时要合理安排自己的时间。(来源：考研教育网) 个人建议把课本多看几遍，把课后题动笔做一下，不会的再答案。初试我看的华东师范大学的教材，课本看了三四遍，课后题连做带看过了三遍。其它的资料我没看，不过建议如果有时间的话看下钱吉林的《数学分析题解精粹》和裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》。建议把课本上定理知识点弄熟，不然会本末倒置。真题的价值我就不用说了，特别是数分的真题，大家一定要特别重视，我用的是XX南师大的《南京师范大学数学分析考研复习精编》这本书，通过真题可以看出它重点考察的知识点。我是剩下一个月才开始做真题，比较后悔，感觉至少花了一般的时间去搞比较难的知识点和习题。 二、高等代数 高代用的北京大学的那版，感觉这本教材很是不错，特别是课后习题很经典。书看了五六遍，课后题认认真真做了3、4遍， 备考资料 自我感觉高代还是有点学通了，虽然没考好。其实下了考场感觉能考将近140的。高代辅导教材推荐《南京师范大学高等代数考研复习精编》，我当时是动笔做的，最后由于数分进度太慢，后期高代分的时间就比较少，剩下大概两章没做，抽了一些题翻看了一下。真题掐着时间做一下，时间应该是比较充足的，有助于掌握南师大出题的难易度。 关于英语和政治的帖子比较多，你们可以参阅一下，在此我就不多讲了。感觉政治是事半功倍的，花的功夫并不多，因为平时看的新闻多，当代经济与政治那些我本来都比较熟。后期联系模拟题正确率还是令同桌眼红的，最终考了74，算是我最满意的一个科目了。 三、关于复试 重点在笔试，面试自信从容面对。整个面试过程气氛蛮融洽的，老师都面带微笑，今年我们进去是直接抽题，没让自我介绍，五个题目，在一个纸条上面。我抽到的那张第一题是用英语介绍专业和志向，比较简单。第二题题是数学专有名词，尽量多记，常见的一定要记。后面三个题，一个是数分、一个概率、一个实变，比较简单，所以答得比较轻松。南师大的复试是很公平的，我是没感觉到丝毫的水分。复试完与其它同学聊天，感觉自己答得相对算好的，结果也仅仅略高了几分，今年大家面试成绩基本都差不多，拉不开差距。再就是英语，概率论与数理统计的很简单，一张试卷，难度不到，就是有15个选择题，是与数学有关的，要懂一些数学英语才会做，所以大家都不要担心哦。 最后，祝即将考研的学弟学妹们能够顺利考上吧 红安县典明中学 陶汉桥 尊敬的各位领导，老师们： 大家好！ 我说课的内容是九年级数学专题复习课――统计与概率。下面就本节课教学内容，教学设计意图和教学方法做一说明。 一、说教材 (一)地位与作用 统计与概率是初中数学教学的一个难点，也是中考时数学测试的一个重点。(二)学情分析 对九年级学生而言，他们已经具备了归纳的能力但是他们全面深入探究问题能力较弱，通过本节课的学习使学生在自主探索和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力。(三)教学重难点: 1．指导学生掌握解决有关《统计与概率》题目的方法。2．引导学生分析解决有关《统计与概率》题目的思路。(四)三维目标 知识与技能: 1、让学生认识常见《统计与概率》题型。 2、让学生掌握解决有关《统计与概率》题目的方法。 过程与方法：通过引用实例培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。情感态度与价值观：使学生发现数学来源于生活而又应用于生活，激发学生的学习兴趣。 二、说教法 依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用直观演示，实际练习等教学方法，引导学生认真分析、自主探究、具体练习，让全体学生全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、解决实际问题的能力。 【设计意图】提高学生学习数学的兴趣，体现知识的层次与深度，有力的突出重点，突破难点。 三、说学法 学生可采用“启发探究--观察发现--课堂讨论”的学习方法 【设计意图】让学生经历规律的形成过程，加深对知 识的理解 四、说教学过程 （一）知识要点复习 (知识点陈列略)【设计意图】让学生再次重温教材，回归课本.加深对知识点的记忆理解。 （二）中考题型再现 例1.(2012年武汉市)为了了解某区九年级7000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（） A.7000名学生是总体 B.每个学生是个体 C.500名学生是所抽取的一个样本 D.样本容量为500 【设计意图】 这个问题主要考查学生对总体、个体、样本、样本容量概念的理解。此题学生容易把研究对象的载体（学生）当作研究对象（体重）。例2(2012年南昌市)下面两幅统计图（如图 1、图2），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况。请你通过图中信息回答下面的问题。 甲、乙两校参加课外活动的学生人数统计图（2001～2007年）人数（个）2000 1500 1000 500 600 625 1105 2000 2001年 2004年 2007年 时间/年 甲校 乙校（图1） ⑴通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论； ⑵通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论； ⑶2007年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？ 【设计意图】 此题就是考查学生的读图、识图的能力。从统计图中处理数据的情况一般有以下几种： 一、分析数据的大小情况； 二、分析数据所占的比例； 三、分析数据的增加、减少等趋势或波动情况。 例3.(2012年连云港市).连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下： 次数 人数 6 12 10 1 7 18 2 2 ⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数； ⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由； 试的合格率是多少？ 【设计意图】本题不仅有很强的现实性和很好的问题背景，而且联系学生的生活实际，易引起学生的解题兴趣，既可以有效地考查学生对统计量的计算，又将关注的重点转变为结合学生实际问题进行定量和定性分析，进而整理数据、分析数据、做出判断、预测、估计和决策，突出了题目的教育价值。 (2011年宜昌市)例13.小明的爸爸买天天彩的时候，特地查询了 ⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测前8期的中奖号码，分别是：296、972、627、379、176、461、078、208，认为下一期的中奖号码中含9的可能性非常大，你同意吗？说说你的理由。你有何感想？ 【设计意图】增强学生学习数学的兴趣;正确看待彩票问题，不能沉迷其中。(三)经典题目练习 1.下列事件必然发生的是（）A.一个普通正方体骰子掷三次和为19 B.一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。C.今天下雨。 D.一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。 2.一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么袋子中共有球的个数为（） A.15 B.18 C.20 D.25 3.口袋中有15个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球。甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜。求当x为何值时，游戏对甲乙双方公平。 4.从写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的9张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率； ⑴抽得偶数； ⑵抽得3的倍数； ⑶抽得不是合数。 【设计意图 】 熟悉经典题型的解法,学会举一反三(四)课堂小结 通过对本节课的学习,你学会了什么? 五.评价分析 1 启发式教学 概率论与数理统计课程中有较多的公式推导, 如果单纯采用板书或ppt推导的方式进行授课, 学生很容易会感到枯燥乏味, 教学效果不好。 因此比较好的方式是逐步启发学生思考问题, 让学生跟随老师的思路一步一步进行思考, 由此体验在老师的帮助下自己解决问题的成就感。 以几何概型部分的布丰投针问题为例。公元1777 年的一天, 法国科学家布丰邀请很多朋友一起做了一个实验:纸上预先画好了一条条等距离的平行线。 接着他又抓出一大把原先准备好的小针, 这些小针的长度都是平行线间距离的一半。 把这些小针一根一根往纸上扔, 记录了所有人的投针结果, 共投针2212 次, 其中与平行线相交的有704次。 总数2212 与相交数704 的比值为3.142, 即 π 的近似值。 这是古典概型的经典应用。在课堂上, 在古典概型部分的最后讲解这个例子, 让学生把所学知识应用到实际当中, 体验数百年前科学家的思想。 首先让学生考虑将这个实验抽象成数学问题, 大致可以总结成为:设平面上画着一些有相等距离2a ( a>0) 的平行线, 向此平面上投一枚质地匀称的长为2l ( l<a) 的针, 求针与直线相交的概率。 而这是一个典型的几何概型问题。 根据在此之前所说解决几何概型问题的关键方法, 要找到几个自变量, 使得它能够用来刻画整个实验过程。 引导学生通过画图看清楚针与线相交与否在几何关系上的差别, 此时学生一般能够逐渐想到除距离外, 针与线的夹角也是重要的参数, 因此, 需要用距离和夹角两个自变量来刻画整个试验。 完成这一过程后, 再让学生利用这两个自变量, 分别给出试验的几何度量和事件 ( 针与线相交) 的几何度量。 这样通过较简单地积分计算即可得到本问题要求的概率, 即 π值。 通过这一过程, 让学生逐步体会古典概型中较难解决的几何概型问题的求解过程, 避免教师一言堂, 单纯语言叙述和公式推导的枯燥乏味。 2 在教学中增加互动 除了采用启发式教学, 让学生在老师的提示下独立思考外, 在课堂中设置一些互动, 让学生亲身参与其中也有利于让学生更深刻体会教学内容。 例如, 曾在美国多次引起大范围讨论的“ 三门问题”[3]。该问题亦称为蒙提霍尔问题, 出自美国一个电视节目。有三个门, 其中两个门后面是羊, 一个门后面是汽车, 参赛者选中其中一个门后, 主持人开启剩余两扇门中一个后面是羊的门, 此时参赛者可以选择换另一个门。 主持人是知道每个门后面的情况的, 那么参赛者选择换门是否可以增加得到汽车的概率?答案是肯定的, 如果参赛者不换门, 得到汽车的概率是1/3, 而换门后得到汽车的概率是2/3。 大多数人直观的感受是换门与不换门的结果不应该有区别的, 即各有一半的概率。 因此本问题是数学上直观感受与理论分析明显不相符的一个有代表性的问题。而且本问题可以从概率论的多个角度去分析, 如可以采用穷举法、古典概型的基本算法或条件概率等不同的角度验证。因此有利于学生展开大范围讨论并结合概率论中的多种知识去思考, 让学生熟练运用以前学过的知识。 而且, 在讨论结束后, 本问题可以很容易地通过实验来验证。可以找学生进行模拟实验, 比如选择两黑一红三张扑克牌, 抽到红色牌算是中奖, 模仿三门问题的抽奖过程, 如此反复进行实验30-50 次并统计结果, 即可明显看出换牌与不换牌中奖概率的差别。 在这方面类似的问题如“ 三张卡牌的骗局”等等不再赘述。如此让学生从多方面参与到教学当中, 有利于学生集中注意力, 并可以调动学生学习的主观能动性。 3 采用案例教学方法 概率论和数理统计的知识在生活的各个角落都可以找到应用, 让学生了解这一点对引发学生的学习兴趣有很大帮助, 而且有利于帮助学生将课堂学习的知识真正应用于实际的生产生活中。因此采用案例教学方法, 在教学中采用与实际生产生活紧密联系的例子有助于提高教学效果。 例如, 著名的美国橄榄球运动员辛普森杀妻案的庭审中, 就在很多处与概率论和数理统计的知识有重要关联[4]。 例如, 在庭审最初阶段, 控方反复强调辛普森曾有家暴现象, 因此有杀妻的动机。而辩方的律师引用数据显示, 有家暴的男性中, 最终杀妻的比例不足1/2500。但是, 如果仔细思考这个问题就会发现, 辩方的论据与实际问题是不相符的。 辩方所说的是丈夫有家暴前提下杀妻的概率, 而实际的问题应该是:在丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下, 妻子是被丈夫所杀的概率。 通过当时的数据统计显示, 有43 位被家暴且被谋杀的女性, 其中40 人是被丈夫所杀, 即丈夫有家暴且妻子死于谋杀的前提下, 妻子是被丈夫所杀的概率高达93%! 这就是一个标准的条件概率问题, 尽管算法并不复杂, 但是认清条件和事件是问题的关键。 另外, 尽管众多证据显示辛普森是凶手的可能性很大, 但是由于本案仍有一些疑点显示辛普森也存在被人陷害的可能, 根据美国法律疑罪从无的思想, 辛普森最终被判无罪释放。 这是本案最终受到大量争议的关键之一。 而这种疑罪从无的思想, 与数理统计中假设检验中降低受伪错误的思想是类似的。 既然在已有条件固定情况下, 受伪错误 ( 将无罪的人判为有罪) 和去真错误 ( 将有罪的人无罪释放) 不可以同时降低, 那么如果为了保护人权想尽可能降低受伪错误, 那么有较高的去真错误也就无法避免了, 美国法律即是如此。 假设检验的理论是比较难以理解的, 因此在理论讲解中引入类似的实际案例进行类比, 有助于学生较快的理解。 4 结语 综上所述, 概率论与数理统计课程在工程和生活中的实用性较强, 对工科学生普遍开展本课程有重要意义。但是本门课在很多部分较难理解, 有必要采取多种方法激发学生的学习热情, 并让学生学习将这门实用性较强的课程真正与实际生活联系起来, 从而提高学习效果。 摘要：概率论与数理统计是一门实际生活和工程应用中都有重要意义的课程。在概率论与数理统计的课堂教学中, 如何引起学生的学习兴趣, 让学生深入了解本门课程的实际意义是决定学生学习效果的关键因素。本文结合实际课堂教学中的经验, 以几个实际案例为例子, 提出了几点建议。 关键词：概率论与数理统计,启发式教学,案例教学 参考文献 [1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2014. [2]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2009. [3]谢腾.三门问题的理论纵观[J].福建论坛 (人文社会科学版) , 2010 (S1) :222-223. 关键词：概率数理统计课程教学 我是一名在读硕士研究生，在数学学院老师的推荐下，到学校职业与成人教育学院担任机电班《概率论与数理统计》课程的教学任务，作为一名教学新兵，为了能圆满完成教学任务，我从以下几方面入手。 一、明确教学性质，把握授课方向 我所教授的这门课程虽说是学校授课，但是考核却是参加全国的统一自学考试。首先，我把近几年的考试卷进行分析、归纳，找出考核形式框架以及关键的知识点，并且分门别类地进行梳理。其次，拜访有这门课授课经验的老教师，虚心听取他们的指点。通过精心设计，为上课做好的准备。 二、夯实学生学习这门课的基础 学好《概率论与数理统计》课程的基础就是高中阶段所学的加法原理和乘法原理，可由于中学与大学考核点不同，因此不能满足学生对这两个原理的良好认知上，要让他们正确分辨原理，并会精炼的记忆与熟练的应用。为此要注重两点，一是原理的口语化。把书本的原理变成自己的话语，这样容易理解与记忆。二是用备注的方式分辨两个原理的不同点。例如，加法原理：要完成一件事情有k类方式（注意：每一类方式都可独立完成这件事情），第一类方式有m1种方法，第二类方式有m2种方法，以此类推，第类方式有mk种方法，则完成这件事情共有N=m1+m2+……+mk种方法；乘法原理：要完成一件事情有k个步骤（注意：每一步骤不可独立完成这件事情），第一步骤有m1种方法，第二步骤有m2种方法，以此类推，第k步骤有mk种方法，则完成这件事情共有N=m1×m2×……×mk种方法。经过这样处理之后，学生们对原理的掌握与认知情况更深入了一步，因而对课程的学习有了必备的基础，也有了学习的兴趣。 三、加强对概念知识的掌握 这门课的概念很多，记忆起来比较繁琐，要说很好的理解就更不容易了。我在上课时，根据同学的具体情况，分别施以不同的方式教学。比如“事件的关系与运算”这一内容中有六个知识点，我是这样来进行教学的：第一，尽量用高中所学的文氏图来使学生有一个感性认识，进而让他们能较好的理解概念。事件的包含与相等、事件的和（或并）、事件的交（或积）、差事件这四个知识点通过文氏图的讲解，学生掌握的都很好；第二，用对比的方式让他们更好地分辨不同的概念。互斥事件、互逆事件的讲解当然也可以用文氏图的方式让他们掌握好概念，但是实际应用时经常混淆，这样的概念找他们之间的相异点才是最重要的。 四、突出习题课的重要作用 学生充分掌握知识内容的重要标志就是应用，对于这门课来说就是正确解决好习题的问题。为了让学生考出更好的成绩，完成我的第一次独立授课任务，我是这样做的： 第一，认真备课，精选例题和课堂练习题。以课本为依托，以历年的全国统一考试题为准线，去选择具有一定概念性、综合性和代表性的典型题。对于偏题、怪题、计算繁琐的题则一律舍弃。对于每年都要出题的知识点要重点分析，根据已有的题目向外扩展，并尽量用类型化的方式，让学生加强记忆和理解。比如全概率公式和事件的独立性这一知识点每年都要考，但是每年的具体考试题目都略有变化，我用分析、量化的对比方式让学生重点记牢解题格式，辅以变化时的应对方式，收到良好效果。 第二，充分发挥老师的主导作用和学生的主体作用。调动学生学习的积极性，主动性是上好课的保证。老师要尽可能地创造条件，让学生在课堂上积极思维，用最短的时间把问题解决好，千万不能形成“学生听讲时很明白，做题时无从下手”的局面。 第三，准确、严格、客观的要求学生。我的学生与我的年龄相近，部分学生对老师倒是很亲切，但存在老师的话语他们不是很重视的现象。比如：老师要求他们把某知识点的习题在上课之前预习好，他们也按照老师的要求去做了，可效果欠佳，以至于上课时，老师用过多的时间再去对问题进行分析，影响了教学的进度。为此，在每次课结束时，准确地要求学生做好课后习题的预习方式，严格对他们习题掌握程度的检查，客观对待不同学生的理解能力，毕竟这门课对他们来说是有些难度的。 五、以具体知识点的掌握为契机，提升学生的自信心 比起其它课程来说，《概率论与数理统计》课程参加考试时的通过率要稍低一些，因此部分同学学习这门课的自信心不足。每每讲到容易混淆的知识点时，这些学生不是去积极配合老师想尽办法去理解，而是绕着走或仅仅停留在知识点表面。比如：方差与协方差、正态分布的不同概率计算等知识点在老师讲解时，他们努力去理解知识点的心态不强，感觉理解好难，计算怎么这样不好掌握。为此，对于概念的知识老师多用对比的方式让学生分清，对于计算的知识则用类型化的方式把计算的步骤、过程分解，然后让学生用自己的语言总结。通过训练他们的自信心有了很大提高。 六、结束语 通过老师与学生们大半年的共同努力，学生参加《概率论与数理统计》科目自考考试，成绩全部合格。我为学生付出的辛苦，自己知道；学生为科目的付出，成绩表明。我坚信只要我们年轻人不停的付出努力，会有一方天地属于他。 例1 下列命题： (1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5； (2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5； (3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率； (4)频率分布表中各小组的频数之和等于1 以上各题中正确命题的个数是 [ ]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假． 解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题． (2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题． (3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题． (4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题． 所以正确命题的个数是2个，应选B． 例2 选择题： (1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ] A．甲的波动比乙的波动大； B．乙的波动比甲的波动大； C．甲、乙的波动大小一样； D．甲、乙的波动大小关系不能确定． (2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ] A．组距 B．组数 C．每小组的频数 D．每小组的频率 分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大． 用心 爱心 专心 122号编辑 解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A． 例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁) 44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28． 列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图． 解：按五个步骤进行： (1)求数据最大值和最小值： 已知数据的最大值是67，最小值是28 ∴最大值与最小值之差为67-28=39 (2)求组距与组数： 组距为5(岁)，分为8组． (3)决定分点 (4)列频分布表 用心 爱心 专心 122号编辑 (5)绘频率分布直方图： 例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)． 列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图． 分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行． 解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克) (2)决定组距与组数 样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适． (3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表． (4)列频率分布表． 用心 爱心 专心 122号编辑 (5)画频率分布直方图(见图3-1) 说明： 长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h． 例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： (1)填出表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图． 分析： 用心 爱心 专心 122号编辑 各组频数之和为60 各组频率之和为1 解： 因为各小组频率之和=1 所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35 所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18 (2) 例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答： (1)全班有多少学生？ 用心 爱心 专心 122号编辑 (2)此次考试平均成绩大概是多少？ (3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？ (4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？ 分析：根据直方图的表示意义认真分析求解． 解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人． 共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人) (2)取中间值计算 (3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%． (4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%． 即优良率为45.5%． 说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形． 例7 回答下列问题： 用心 爱心 专心 122号编辑 总是成立吗？ (2)一组数据据的方差一定是正数吗？ 总是成立吗？ (4)为什么全部频率的累积等于1？ 解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这 可见，总是成立． 顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意 那么有 (2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差 这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的 从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数． 用心 爱心 专心 122号编辑 (4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有 a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有 说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数． 弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的． 例8 回答下列问题： (1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？ (2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？ (3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？ (4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？ 解：这是一组概念题，我们简略回答： (1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量． 应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合． 抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性． (2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数． 有时写成代换形式； 用心 爱心 专心 122号编辑 有时写成加权平均的形式： 其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确． (ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、„„有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看„„)． (iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关． 此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平． (3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个： (ii)标准差：一组数据方差的平方根： 标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算： (4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是： (i)计算极差=最大数-最小数； 用心 爱心 专心 122号编辑 (iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)； (v)画频率分布直方图． 其中，分布表比较确切，直方图比较直观． 说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现． 用心 爱心 专心 学生们在学习《概率论与数理统计》时通常的反映之一是“课文看得懂，习题做不出”。概率论习题的难做是有名的。要做出题目，至少要弄清概念，有些还要掌握一定的技巧。这句话说起来简单，但是真正的做起来就需要花费大量的力气。不少学生在学习时，只注重公式、概念的记忆和套用，自己不对公式等进行推导。这就造成一个现象：虽然在平时的做题过程中，自我感觉还可以；尤其是做题时，看一眼题目看一眼答案，感觉自己已经掌握的不错了，但一上了考场，就考砸。这就是平时的学习过程中只知其一，不知其二，不注重对公式的理解和推导造成的。比方说，在我们教材的第一章，有这样一个公式：A-B=bar（AB）=A-AB，这个公式让很多人迷糊，因为这个公式本身是错误的，在教材后面的例题1-15中证明利用了这个公式，很多人就用教材上这个错误的公式套用，结果看不懂。其实这个公式正确的应该是A-B=AbarB=A-AB.这是一个应用非常多的公式，而且考试的时候一般都会考的公式。在开始接触这个公式的时候就应该自己进行推导，发现这个错误，而不是看到这个公式之后，记住，然后运用到题目中去。大家在看书的时候注意对公式的推导，这样才能深层次的理解公式，真正的灵活运用。做到知其一，也知其二。 现在概率统计的考试试题难度，学员呼声不一，有的人感觉非常难，而且最让他们难以应对的是基础知识，主要涉及排列组合、导数、积分、极限这四部分。现在就这部分内容给大家分析一下。说这部分是基础，本身就说明这些知识不是概率统计研究的内容，他们只是在研究概率统计的时候不可缺少的一些工具。即然这样，在考试中就不会对这部分内容作过多的考察，也会尽量避免大家在这些方面丢分。分析到这里，就要指出一些人在学习这门课的“战术失误”。有些人花大量的力气学习微积分，甚至学习概率统计之前，将微积分重新学一遍，这是不可取的。对这部分内容，将教材上涉及到的知识选出来进行复习，理解就可以。万不能让基础知识成为概率统计的拦路虎。学习中要知道哪是重点，哪是难点。 如何掌握做题技巧？俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢？我想历年的真题是我们最好的选择。 平时该如何练习？提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。 考试有技巧，学习无捷径。平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这才是方法中的方法。“梅花香自苦寒来”，“书山有路勤为径”。 这学期的数学学习情况比以往都好。可能是因为老师讲得好，注意把握整本书的体系，在每节课上都会不断提醒我们以往学过的知识，或者根本就是整本书的知识都是脉状的，各个知识点都有相互交错碰撞的节点，而不是线性的，仅有一条主线牵引，旁支彼此互不相干。一个知识点的学习需要用到以往学过的知识，所以每个知识都显得很饱满，有新的因子又有旧的根基，它们彼此交融补充，向我展示了概率论与数理统计的丰富多彩的面貌。也是在这本书的学习中，我强烈地感受到了数学的丰富多彩，逻辑的严密和体系的完整。我不禁老泪纵横，在数学的殿堂门口晃悠了10多年，终于看到了那辉煌庄严富丽堂皇的大门。 偶然在图书馆自然科学书库发现的一本小书，由商务印书馆出版的科学之旅系列的《概率论与数理统计》，让我看到了这个体系的发展过程，从随机的赌博事件到布朗运动、马尔可夫链再到核弹航空航天，从事件的简单分析再总结规律推广到不同领域。由不知名的数学教师再到世界顶级数学家，在前人研究结果上不断修正补充发展，将这一体系不断完善，我看到那是一棵枝繁叶茂的数学之树，坚定稳固的根基不断为后续生长提供源源不断的养分。 下面对课本所学知识做一个简要总结。本书从简单随机事件出发，将随机事件分为有限或无限可数的古典概论事件和不可测的几何概率事件。再用数学语言——随机变量（是函数）描述出这两类事件的概率发生情况，划分为离散型随机变量和连续性随机变量。离散型随机变量函数的自变量是每个可能取值，因变量是每个可能取值的概率。而连续性随机变量函数则用面积来表示，随机变量的概率等于其概率密度在区间上的积分。再将这些用分布函数表达，分别形成离散型和连续性随机变量函数的分布。 【关键词】经济管理类专业；概率论与数理统计课程；教学改革 “概率论与数理统计”是大学数学一个重要组成部分，对于经济管理类专业的学生来讲更是尤为重要，一方面经济管理的许多领域都要用到概率和统计的一些知识和方法去建立数学模型或对数据进行更深入的分析，另一方面，它也是一些后续课程如“运筹学”、“管理统计学”的基础。 一般来讲，经济管理类专业的学生思维比较活跃，个性比较鲜明，但数学基础参差不齐，尤其是在高中学文科的学生，数学基础尤为薄弱。因此，在讲授这门课程时，怎样提高他们对这门数学课程的学习兴趣，使他们克服畏难心理，能较好掌握一些基本概念和重要方法并能灵活运用所学知识去解决生活的一些实际问题呢?以下就是笔者从几年的教学实践中得出的一些认识。 一、强调应用性，激发学习的浓厚兴趣 提高学生学习《概率论与数理统计》的兴趣，不只是为了本门课程的考试而学习，而是要当做实用的工具去学。笔者从经管类学生实际需求的角度，审视了经管类《概率论与数理统计》课程的教学内容，将经济背景、应用实例和现代化的统计软件融入了《概率论与数理统计》课程的教学。对学生而言：增加了经管类学生必备的统计知识，运用统计软件，结合经济应用的实质，既对后续课程做了更实质的铺垫，也为学生以后的实际需要提供了良好的数学基础。对教师而言：数学教师只要了解简单的专业背景，知道经管类一些基本定义，就能将《概率统计》讲出专业特色，提高上课效率，同时也能达到教学相长的目的。借以突破原有教学内容的局限性，将基础数学课和经管类实际相结合，使学生熟练掌握课堂知识的同时，解决实际问题，提高学生的数学素养、应用能力。 在教学中，笔者都会寻找一些和生活联系非常紧密的知识点，启发大家一起思考与讨论，使课本上的知识生动起来。例如，在讲到指数分布时，指出动物的寿命服从指数分布，然后结合它的概率密度函数图像，将概率密度函数的数学意义和大家从生物学或其他途径获得的关于生物寿命的知识进行比較，发现结论一致，大家觉得非常有成就感，对指数分布和概率密度函数的意义有了更深刻的理解。在讲到连续性随机变量中最重要的正态分布时，首先分析了正态分布的特点，然后列举了许多服从正态分布的例子，如人的身高、体重，考试成绩等等，然后让学生进行讨论和比较。接下来，引导他们运用所学正态分布的知识来解决一些实际问题，如上班路径的选择，根据某地区居民的身高来确定公交车车门的高度等等，大家都觉得非常有趣和实用，对正态分布的重要性和相关的计算方法了解得更加透彻。 二、突出教学重点，有的放矢的完善教学内容 目前，该门课程教学内容以概率部分为主，统计部分只介绍参数估计、假设检验，以及方差分析和回归分析中的单因素试验方差和一元线性回归分析，并且在实际应用方面几乎没有涉及经济领域的内容。而现实是，经管类学生在以后的经济方面要解决的实际问题更多的是依赖统计部分的知识。例如上课没有讲到的双因素试验方差分析和多元线性回归问题。由此可见，我们的教学内容没有体现出《概率论与数理统计》在教学计划中的基础课地位，更谈不到统计这门学科在经济生活领域中收集、整理、分析数据的重要作用。因此，该课程教学内容已不符合大学数学课程改革的要求，与学生的需求现状严重脱节。加之，在笔者学校，该门课程学时比较紧张，所占学时75学时，学时紧，内容多。因此将学生真正需要的统计知识增加到教学内容中，成了迫在眉睫的事情。 针对我校经管类学生的实际需要，根据多年来《概率论与数理统计》的教学经验，结合经济方面对统计的应用，笔者大胆对现有教学内容加以必要的删减、补充和完善。 1.由于课时所限，根据经济类的特点，概率论部分的内容适当减少。例如：定理的证明可以删去，结论会用即可。对于学生在高中就已经学过的内容上课时可以加快速度或者让学生自己复习。例如随机事件部分。 2.对概率部分节省下来的时间重点放在统计部分，除原有的知识点，增加了双因素实验的方差分析和多元线性回归的内容。 3.增加统计软件spss的入门知识，特别是结合方差分析和线性回归部分的应用。 4.搜集相关的经济方面的实际案例，使用spss软件利用统计方法解决。 三、丰富教学方法，多种方式有机结合 一方面现在大学校园里绝大部分教室都配备了各种教学设备，要有机的将现代多媒体工具和传统黑板教学有机的结合以达到较好的教学效果。另一方面增加实例教学。针对经管类专业的学生，教学中可选择一些与该专业接近的案例来讲解，这样学生也会比较感兴趣，自然会取得良好的教学效果。在教学过程中也要时刻注意学生对所学内容的掌握情况，根据具体情况对教学内容和教学手段进行适当的调整，因材施教，由一纲多本向立体化教学方向发展，做到松弛有度，游刃有余。 关键词：概率论与数理统计,绪论课,教学效果 概率论与数理统计是所有理工科院校的一门数学必修课, 且在考研中占着较高的内容比例, 因此, 在第一次上课时, 怎样去讲、讲什么内容, 如何才能激发学生的学习兴趣, 提高学生的学习积极性, 笔者从以下几个方面进行探讨。 一序言 通过简短的介绍, 充分调动了学生的学习兴趣, 使课堂气氛一下子活跃起来, 给这门课开一个好头。 二概率论与数理统计发展简史 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支, 起源于17世纪中叶, 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题, 却是来自不光彩的赌博。法国数学家费马向法国数学家帕斯卡提出下列的问题:“现有两个赌徒相约赌若干局, 谁先赢s局就算赢了, 当赌徒A赢a局 (a 一般认为, 概率论作为一门独立的数学分支, 其真正的奠基人是瑞士数学家雅各布·伯努利。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理——伯努利大数定理, 即“在多次重复试验中, 频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后的1713年, 发表在他的遗著《猜度术》中。 到了1730年, 法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”, 这就是概率论中第二个基本极限定理的原始雏形。而接着法国数学家拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中, 首先明确地对概率作了古典的定义。另外, 他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论, 使概率论的发展进入了一个新的时期——分析概论时期。另一个在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松, 他推广了伯努利形式下的大数定律, 研究得出了一种新的分布, 就是泊松分布。概率论继他们之后, 其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理上。 概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格地证明了, 随后数学家利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献, 到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 将概率论应用到不同范畴, 从而开展了不同学科。因此, 现代概率论已成为一个非常庞大的数学分支。 与概率论的发展密切相关的是数理统计学。简单的统计古来就有, 但没有形成知识体系。以概率论为基础, 以统计推断为主要内容的现代数理统计学到20世纪才逐渐成熟。 近代, 最早使用统计的是英国经济学家格劳特, 他在1662年对伦敦市的死亡人数进行了统计推断。1763年, 英国数学家贝叶斯发表《论机会学说问题的求解》, 其中的“贝叶斯定理”可以看成是最早的统计推断程序。英国生物学家和统计学家皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要的作用, 被公认为现代统计学之父。现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数学家费希尔, 他提出了许多重要的统计方法。我国数学家许宝騄在多元统计分析方面也做出了卓越贡献。 1946年, 瑞典数学家克拉默发表了《统计学的数学方法》, 他系统地总结了数理统计的发展, 这标志着现代数理统计学的成熟。 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。概率论——从数学模型进行理论推导, 从同类现象中找出规律性, 是数理统计学的基础。数理统计——着重于数据处理, 在概率论理论的基础上对实践中采集到的信息与数据进行概率特征的推断, 数理统计学是概率论的一种应用。 通过以上概率论与数理统计发展简史的介绍, 可以增强讲课的趣味性, 避免给学生造成这又是一门枯燥的数学课的感觉;可使学生了解概率论与数理统计的产生和发展过程;还可对学生进行意志、品德教育。 三经典例子和日常生活例子的分析 为了阐明概率统计的基本思想和方法, 可以用“生日问题”、“美国种族歧视问题”和“足球骗局”这三个经典问题为例。 1. 生日问题 生日, 只论某月某日, 不论某年, 假定一年有365天, 问366个人中至少有两个人在同一天过生日的可能性有多大?那64个人中至少有两个人在同一天过生日的可能性又有多大?最后, 一个30人的班级中至少有两个人在同一天过生日的可能性又有多大? 366个人的生日排列到一年中的365天, 那必然至少有两个人是同一天过生日的, 因此这种可能性是1。 这个问题还可以应用到中国人特有的属相中。通过计算可得, 任意四个人当中, 有两个人的属相是一样的可能约为50%;而在一个六口之家中, 几乎可以断定有两个人的属相是一样的! 如果上述的数据仍让你有所怀疑的话, 不妨留意一下以下例子:在美国前36任总统中, 有两个人的生日是一样的 (第11任总统波尔克和第29任总统哈定生于11月2日) , 有三个人死在同一天 (第2任总统亚当斯、第3任总统杰斐逊和第5任总统门罗均死于7月4日) , 当然年份是不同的。 2. 美国种族歧视问题 有人说美国没有种族歧视, 因为据某年的数据统计分析, 白人杀人后被判死刑的概率为19/160, 黑人杀人后被判死刑的概率是17/160, 由此说明美国没有种族歧视。后来有人仔细研究了这组数据, 发现如果再看被害人是什么人, 则情况是:白人杀白人被判死刑的概率是12.6%, 白人杀黑人被判死刑的概率是0, 黑人杀白人判死刑的概率是17.5%, 黑人杀黑人判死刑的概率是5.8%, 由此看到了明显的种族歧视。 所以, 在对同一组数据进行统计时, 不同的用法可能使结果大相径庭。统计研究数据时能不能把真实的东西挖掘出来, 这点很重要。 3. 足球比赛的骗局 在“英超”足球比赛的进程中, 有人收到一封电子邮件, 预测明天有一场比赛是甲胜。收到电子邮件的人当然不会轻易相信他。但若发邮件的人连续5次都猜对, 就不能不相信他确有这个能力。经过询问, 他说他请著名统计学家编了一个预测软件, 是有科学依据的, 所以才能每次猜对。他还说, 如果给他汇200元钱, 就告知明天比赛的输赢。但是, 等汇过200块钱以后, 就陷入骗局了。 不要以为学了统计就不会被骗。事实的真相是他第一次给2000人发信, 其中一半人猜甲胜, 另一半猜乙胜, 终归有1000人的结论是正确的, 于是再跟说对的1000人中的500人说下场比赛丙胜, 对另500人说丁胜, 如此下去。 所以, 在利用统计结论时, 一定要想想数据是怎么来的, 又是如何利用数据进行统计的。 通过这些例子, 可以告诉同学们概率论与数理统计是和日常生活联系紧密的一门课程, 并且也是怎样去用所学的数学去解决实际问题的一门课程。 四与以前所学数学的联系 通过前面的例子我们看到, 概率论与数理统计这门课中要用到大家在中学所学到的排列组合, 但古典概型仅仅是概率论中最简单的情形, 为了研究更复杂的概率情形, 我们还要用到大学一年级学习的高等数学, 特别是函数的微分与积分部分。 五概率论与数理统计课程的重要性 概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门。如: (1) 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关; (2) 产品的抽样验收, 新研制的药品能否在临床中应用, 均需要用到假设检验; (3) 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理; (4) 电子系统的设计离不开可靠性估计; (5) 探讨太阳黑子的规律时, 时间序列分析方法非常有用; (6) 研究化学反应的时变率, 要以马尔可夫过程来描述; (7) 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型, 传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程; (8) 许多服务系统, 如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等, 都可用一类概率模型来描述, 其涉及的知识就是排队论。 目前, 概率统计理论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。在社会科学领域, 尤其是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题, 都大量采用概率统计方法, 如风险理论中的最优投资和再保险策略……这正如法国数学家拉普拉斯所说的“生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”因此, 我们没有理由不学好这门课。 一次好的绪论课的教学, 可使学生充分认识到学习概率论与数理统计的重要性和必要性, 促使学生运用所学知识去分析、解决现实问题, 使原本枯燥的教学理论变得生动有趣, 从而使学生对这门课产生浓厚的学习兴趣, 提高教学效果。为了全面提高学生的学习水平, 教师除了要钻研概率论与数理统计、研究数学教学规律、改进数学教学方法外, 还要上好概率论与数理统计的绪论课。 参考文献 [1]王正萍.浅谈《高等数学》绪论课的教学[J].滁州职业技术学院学报, 2003 (1) :73～75 [2]盛骤等.概率论述数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2010 户口所在： 江西 国 籍： 中国 婚姻状况： 未婚 民 族： 汉族 培训认证： 未参加 身 高： 168 cm 诚信徽章： 未申请 体 重： 人才测评： 未测评 我的特长： 求职意向 人才类型： 在校学生 应聘职位： 家教：，兼职教师： 工作年限： 1 职 称： 求职类型： 兼职 可到职日期： 随时 月薪要求： 1000以下 希望工作地区： 广州,广州, 工作经历 家教 起止年月：-03 ～ -08 公司性质： 所属行业： 担任职位： 工作描述： 离职原因： 志愿者经历 教育背景 毕业院校： 广州大学 马克.吐温曾讽刺道：有三种避免讲真相的方式：谎言，该死的谎言和统计数据。这个笑话很中肯，因为统计信息频繁地看似一个黑匣子——了解统计定理怎样让通过数据取得结论变成可能，这是有难度的。但因为不论是喷气发动机可靠性还是安排我们平日看的电视节目的流程，数据分析，类似的任何事情中都扮演着重要角色，所以至少获取对统计基本理解是重要的。 大数定律和中心极限定理很长，但是要表达的意思很简单。数学就这样，数学家要表达一个很简单的意思，但是为了严谨，他们写出来的公式就很长，很烦人。 先看大数定律：不管是什么样的随机变量，对于他们的样本均值，你所取得的样本容量n越大，你的样本均值就越接近总体均值。大数定律跟随的几个定律，贝努里大数定律和辛钦定理其实说的是一个意思，可以看做大数定律的具体描述。区别在于，贝努里告诉我们，独立重复试验的随机变量符合大数定律。辛钦告诉我们，不要求独立重复试验，只要是独立同分布的随机变量，就能满足大数定律。所以贝努里大数定律是辛钦定律的特殊情况。辛钦看到了更一般的情况。 中心极限定理：对于一批随机变量，符合某种条件时，不管这些随机变量如何分布，他们的样本均值的分布就一定是正态分布！ 在公理化体系提出之前，人们对概率的研究局限在等可能事件。比如抛一枚硬币，我可以认为抛出正面的概率就是1/2。若实际抛掷，抛10次，也许会有七次是正面，但如果抛很多很多次，那得到的正面占比将十分接近50%，这就是“频率接近于概率”的观念。贝努里感兴趣的是，如果抛100次，出现的正面数占比在48%到52%之间的概率是多少？如果抛100万次，这个概率又会变为多少？能否抛足够多次，来让正面数的占比在49.9999%到50.0001%之间的概率达到99.9999%？ 在这个问题上面工作了整整20年后，1705年左右，贝努里证明了第一个大数定理，它指出，我们总可以抛掷足够多次，使我们能几乎确定得到的正面占比很接近于50%。而且，在给定“几乎确定”和“接近”的具体定义后，定理还给出用来计算这个“足够”的抛掷次数的公式。 后来，有了公理化体系，就有了现在教科书上标准的说法：对独立同分布的随机变量序列{xn, n=1,2,3,...}，设均值为Exn，方差存在。则 [(x1+...+xn)-E(x1+...+xn)]/n依概率收敛到0。可见贝努里大数定理就是xn为二元随机变量时的一个特例。至于其他那些带着其他人名的大数定理，无非就是把条件放宽而已。如辛钦大数定律是把条件放宽为随机变量序列独立同分布且存在一阶矩。 定义中心极限定理：某典型课本对中心极限定理的定义如下：当样本容量增加时，样本均值X的分布接近均值等于μ，标准差σ/√n换句话说，如果我们多次采用大小为n的独立随机抽样，那么当n足够大的时，样本平均值的分布就接近正态分布。 那么多大才是足够大呢？一般来说，样本容量大于或者等于30认为是足够大，此时中心极限定理起作用。如果总体分布越要接近正态分布，那么需要更多的样本来使用该定理。对于严重不对称的或者有几个模板的总体来说，也许要求更大的样本。从一个总体中收集所有的数据是很难操作或者不可行的，统计学就是基于这个情况产生的。换种方式来做，我们可以从总体中获取数据的子集，然 后对这个样本进行统计分析，以得到总体的结论。 举例来说，我们可以从工业生产流程中收集多个随机样本，然后使用各个样本的平均值来推断整个过程的稳定性。两个常用于解释总体的特征值分别是平均值和标准差。当数据遵循正态分布，均值表示分布的中心位置，标准差揭示分布情况。想象我们在获取我们做过的考试结果，除了接收我们自己的成绩以外，我们也要知道其他人的平均分，然而，如果考试成绩不符合正态分布，平均分就容易让人造成误解了。中心极限定理是卓越的，因为它暗示，无论总体分布如何，样本均值的分布将接近正态分布。该定理也允许我们对样本均值或许采取的价值的可能变化范围做可能性声明。 例子1：掷骰子 为了说明中心极限定理，骰子是理想的，如果你掷有6面的骰子，掷到1的概率是1/6，2的概率是1/6，3的概率是1/6，以此类推„„骰子落在任何一面的概率与任意其他5面的概率相等。 在教室的情况下，我们用真实的骰子进行这样的实验。为了获得一个总体的准确表示，让我们掷500次。当我们用图形来注标数据时，我们看到和预期一样，分布看起来相当平坦，这肯定不是正态分布。当我们连续掷2次骰子，重复这样的操作500次，之后，我们计算每对的平均值，创建直方图。观察直方图，我们会发现：随着样本大小，或者掷的次数增加，平均值的分布越来越接近正态分布。除此以外，样本平均值的方差随样本大小的增加而减少。 中心极限定理阐明，对于足够的大n，X接近正态分布的均值μ和标准差σ/√n。 一个6面骰子的总体均值是(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5，并且总体标准差是1.708。因此，如果定理适用，三十次的平均值的均值应该约为3.5，以及标准差1.708/√30 = 0.31。我们可以观察前人的掷骰子实验，30次平均值的均值，为3.49，标准差为0.30。这两个数值跟计算的近似值很接近。 大数定理为数理统计应用于统计学搭起了连接的纽带。大量观察法是现代统计学的基本方法之一，而大数定理又是大量观察法的基础，统计学若没有大量观察法的支撑，则统计分析中的基本指标——平均数与相对数，则失去其应有的作用和意义，可见数理统计在统计方法中的基础地位不容置疑。 中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够的大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。 中心极限定理除了其对现代统计学的重要意义外，还在光学、保险行业、能量供应问题、系统可靠性问题等诸多领域有着广泛的应用，中心极限定理帮助我们解决了许许多多的实际问题。可见，中心极限定理也为我们的生活提供了方便。 我觉得吧，如果不搞理论的话，没必要去深究这些不同名称大数定理、中心极限定理到底在说什么，只要我们能够把握好它们之间的联系，尽量的去弄懂它们的来龙去脉，有效地将所学内容联系起来，以及在做题的过程中能够灵活的应用，把题做对就行了。 南京邮电大学人文与社会科学学院行政管理 为了满足数学教育改革的要求, 我们在教学方法、考核方式以及教师业务水平等方面作了一些改进和探索, 并取得了一定的效果。 1 改进传统的教学模式, 丰富教学方法 教学模式是一定的教学理论或教学思想的反映, 是一定理论指导下的教学行为规范。教学方法是教师和学生们为了实现共同的教学目标, 完成教学任务, 在教学过程中所使用的方式和手段。传统的教学方法和教学模式对于大部分学生而言, 基本上可以达到提高学生的抽象思维能力、简单的逻辑推理能力、基本的计算能力、解题能力是比较有效的。在这种教学模式下, 教师为了让学生考出一个好成绩而进行教学, 学生为了应付考试而学习, 不少的学生仍处于中学时代的那种思维方式和学习方法, 经常死记硬背公式, 定理性质, 照书上例题模式套题。但它忽视了学生应用概率论与数理统计的思想和方法解决实际问题的能力, 不能引起学生足够的学习兴趣, 学生不能自主的进行学习、忽视了学生的创新精神和创新能力的培养。考虑到上面的种种问题, 在教学过程中, 我们可以针对不同的教学内容和内容本身所具有的特点, 借助多媒体, 尝试了一些新的教学方法, 并取得一定的效果。 1.1 采用讨论式的教学方法, 培养学生的竞争意识和创新思维能力 讨论式教学法是我国教育中相对薄弱的环节。如何使课堂活跃起来, 使之成为真正以学生为主体的学习场所?这是近年来教育的一个热点问题。该教学方法是在教师的精心准备和指导下进行的, 它摒弃了传统的灌输式、填鸭式的模式。通过预先的设计和安排, 启发学生根据特定的问题发表自己的见解, 提出疑问, 自由辩论。师生们可以互相讨论, 也可给学生提供机会让学生当小老师, 走上讲台自己讲述, 全班学生积极参与, 积极思考, 从而实现教与学的双向互动。采用这种教学方法, 不但可以激发学生的学习热情和科研兴趣, 培养学生积极向上的竞争意识, 还可以锻炼学生的胆量, 培养学生口头表达能力和综合分析问题的能力, 培养学生独立思考问题的能力和创新思维能力。通过对问题的挖掘, 可促使教师不断地进行“充电”, 更新专业知识, 提高讲课水平和业务水平, 同时也调动了学生自主学习的积极性, 真正使课堂“焕发出生机和活力”。 1.2 运用案例教学法, 增强学生解决实际问题的能力 案例教学法是教师在教学过程中, 把案例作为一种教学工具的教学法, 教师在教学中扮演着设计者和激励者的角色, 鼓励学生积极参与讨论, 各抒己见, 充分阐述自己的观点。通过选择与实际生活相关联的案例这种教学方式, 不仅有助于培养和发展学生主动参与课堂讨论, 获得知识, 而且可以提高学生表达讨论内容、阐述观点的技能, 增强学生面对困难的自信心, 并充分调动学生学习的自主性, 使学生有展现自己、表现自己的机会, 培养学生的创新思维能力以及解决实际问题的能力和决策能力。我们在上这门课时, 结合该课程应用性极强的特点, 选择了一些适当的案例服务于教学, 因与实际生活联系非常紧密, 学生非常感兴趣, 积极地进行思考, 课堂气氛很活跃, 从而也会提高教学效果。 1.3 运用提问式教学法, 培养学生丰富的想象力和探索精神 提问式教学模式是继承了洛扎诺夫的暗示教学模式和罗杰斯的非指导式教学模式等多种教学模式的优点, 并经过多年的实践发展而成的。它通过提问的方式和策略来激发学生的学习潜能, 让学生感觉到学习是一种乐趣而不是一种无奈, 是一种享受而不是一种受罪, 从而使学习变得既愉快又轻松, 让学生主动的学习, 切实提高学生的综合素质, 全面落实素质教学的各项要求, 把学生培养成一个独立的、能全面考虑问题的德智体全面发展的新一代人才。根据教学的需要, 设计不同层次的问题, 把握提问的时机和提问方式, 给予启发、引导分析和评价。如通过提出“分赌注问题, 怎么分比较公平”引入数学期望的概念。通过这种以学生为主体的提问式的方式, 加强学生对基本知识、基本技能的掌握, 培养学生的独立性、积极性和主动性, 也培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力, 特别是对学生的创造性思维能力, 得到较好的培养。 1.4 利用多媒体辅助教学, 提高课堂教学质量 多媒体是一种新兴的、先进的教学手段, 它具有丰富的表现力, 可以使内容更生动、更形象、更具有吸引力, 从而增强教学内容的趣味性, 激发学生的学习兴趣, 调动学生学习的积极性。概率论与数理统计中有些概念较抽象, 学生学起来有一定的难度, 且每个学生的思维能力、思维方式、接受知识的能力各不相同, 而利用计算机的交互功能, 可以使问题简单化、趣味化。因此, 在教学中我们对于个别班级, 部分内容借助多媒体辅助教学, 通过演示、动画模拟、声音、外加文字说明等, 形成了一个崭新的教学情景, 这样既可以节约板书时间, 又可以增加课堂的信息量, 教师有更多的时间扩充知识, 讲解习题, 并且能有效地调动学生学习的积极性, 提高学习效率。但由于教学学时的限制, 我们要有目的性的选择适合所带班级的教学方法, 不能一概而论。 2 改革考试方式和内容, 合理评定学生成绩 为了引导学生树立正确的学习态度, 建立良好的学习习惯, 在概率论与数理统计课程考核中, 我们采用了多种考核方式, 并结合平时成绩, 综合考核学生掌握所学知识的程度, 合理评定学生成绩。在考试中, 我们对一些班级作了一些尝试, 主要包括两大块:一是平时考核, 主要针对学生的德、勤、技、能方面做全面的考查。“德”主要指学习态度;“勤”主要指到勤率和课堂纪律;“技”主要指完成作业情况, 作业形式有小论文、问答题、心得体会等;“能”主要指参与教学活动的程度、课堂回答问题、讨论和小测验等。平时成绩有了依据, 从而减少或避免了平时成绩给学生送分现象的产生。二是期末考试, 考试的内容要覆盖该课程的几乎所有内容, 要求学生掌握基本知识、简单运算以及推理能力, 还要注重对学生各种能力的考查。考试方式也依专业而定, 必修课一般采用闭卷考试, 由教研室该年不带这门课的教师自主命题, 课程小组统一流水阅卷。平时考核和期末考试成绩以2比8或3比7的比例进行分配。这种考核方式注重过程型学习能力的培养, 克服了学生临时抱佛脚应对期末考试带来的弊端, 较为真实地、客观地反映出学生的学习效果, 使考核方法具有科学性、合理性。 3 提高教师的业务水平 未来教育面临的最大挑战不是技术, 不是资源, 而是教师的素质。教育可持续发展的根本战略是教师整体素质的提高。要想成为真正的名师, 学习的速度务必大于教育变革的速度。教师要将“学习”作为最重要的职业需要, 形成“人人是学习之人, 时时是学习之时, 处处是学习之处, 事事是学习之事”的理念。作为高校教师, 应在各方面严格要求, 要不断地超越过去的自己, 以朴素的感情, 调整自已的心态;以奉献的精神, 从事崇高的事业;以高超的技艺, 展示个人的才华;以不断的追求, 提升自身的价值。为提高教师的业务水平, 我们院鼓励青年教师攻读博士或外出进修, 参加研讨会, 并多次组织了示范课和讨论课, 积极参与科教研项目, 教师业务素质得到了很大的提高。 摘要：针对概率论与数理统计理论性强、应用广泛、内容抽象的特点, 并结合教授这门课过程中存在的问题和教学中学生的反馈意见, 我们在教学方法、考核方式以及教师业务水平等方面进行了探讨和实践, 旨在改善教学质量, 提高学生学习兴趣和奠定扎实的基础, 取得了一些效果。 关键词：教学方法,考核方式,业务水平 参考文献 [1]赵姝淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报, 2001, 24 (1) . [2]徐荣聪, 游华.概率论与数理统计课程案例教学法[J].宁德师专学报, 2008, 20 (2) . 【概率论与数理统计复习大纲】推荐阅读： 考研数学概率论与数理统计基础复习07-17 复习教案统计与概率06-13 概率论与数理统计教材07-18 概率论与数理统计试题12-04 概率论与数理统计说课08-01 新课标《小学数学统计与概率》学习体会10-02 第十二章 小学数学统计与概率教学练习题12-08 概率统计教学01-26 学习概率统计心得09-084.概率论与数理统计复习大纲 篇四
5.概率论与数理统计复习大纲 篇五
6.概率论与数理统计复习大纲 篇六
7.概率论与数理统计教学浅谈 篇七
8.概率论与数理统计复习大纲 篇八
9.高考数学复习概率统计典型例题 篇九
10.概率论与数理统计 学习心得 篇十
11.概率论与数理统计复习大纲 篇十一
12.如何上好概率论与数理统计绪论课 篇十二
13.概率论与数理统计求职简历 篇十三
14.《概率论与数理统计》读后感 篇十四
15.概率论与数理统计复习大纲 篇十五