高考数学分类算法

高考数学分类算法（10篇）

1.高考数学分类算法 篇一

高中数学

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

2.高考数学分类算法 篇二

遗传算法是根据自然界的“物竞天择, 适者生存”现象提出的一种随机搜索算法[10,11,12,13,14,15,16,17]。该算法具有良好的全局搜索能力, 以及处理的并行性、鲁棒性等优点。遗传算法主要被用于解决复杂而又难以处理的问题, 如多极值函数优化问题、组合优化问题、调度问题等。

在模式识别领域中, 遗传算法也得到了广泛的应用, 模式的特征提取是模式识别的主要研究领域之一, 目前, 模式特征提取的主要方法是Fisher方法、PCA方法、ICA方法等, 而遗传算法特别适合解决随机搜索优化问题, 它采用自然选择、变异等操作可以选择出最优的模式特征向量。吴建龙等[1]提出了一种基于改进遗传算法 (Optimization genetical gorithm, OGA) 的人脸特征提取算法, 该算法的特点是利用小波和张量PCA[2]提取人脸图像特征, 再采用遗传算法进行特征向量优化, 该算法还对标准遗传算法进行了改进。但是, 该算法还是存在易陷入局部最优、算法多次迭代收敛速度慢等问题。胡选子[3]等提出了条件概率与遗传算法相结合的分类方法, 该方法先用条件概率计算单个属性对分类的作用, 再用遗传算法判断各属性对分类的重要程度, 并将该方法应用于数据挖掘中, 取得了很好的效果, 但是必须指出, 对于图像数据的模式识别问题, 如人脸识别, 由于图像特征向量的各个属性数据不具有确切的物理含义, 因此, 限制了该方法在图像数据识别问题方面的应用。

分类器设计是模式识别的另一个主要研究领域, 其中, 刑宗文等[4]将遗传算法同模糊建模方法结合, 提出了一种基于多目标遗传算法的模糊建模方法, 该方法实现了最大分类精度于最少特征变量的最优选取, 但是该方法需要优化选取模糊隶属度函数和遗传算法中评价函数的多个参数, 且该方法没有被应用于解决人脸识别这类复杂的高维小样本数据的识别问题, 具有一定的局限性。而在如何解决高维小样本问题方面, 遗传算法也有许多研究成果, 如陈杰等[5]采用遗传算法来生成虚拟训练样本, 提高了人脸检测的正确率。

遗传算法的本质是通过遗传使子代具有父代的基因, 而变异可以使子代具有比父代更加优良的基因。对于模式识别问题, 可以将训练样本看作父代, 而测试样本就可以看作是对训练样本进行遗传及变异操作而得到的子代样本。这时模式识别过程就是在知道子代遗传基因的基础上, 如何判断该基因是从哪些父代基因中遗传过来的。因此, 模式识别问题的核心转变为判断子代与父代的基因相似性。而在遗传的主要过程中, 子代与父代差异性的主要是由变异过程产生的。因此, 如果可以降低甚至消除变异过程的影响, 则可以大大提高子代与父代的相似度, 即可提高模式分类的正确率。

基于上述考虑, 本文对遗传算法中变异过程的逆过程进行了分析, 在此基础上提出了基于逆变异的分类器算法。该算法选取出子代与父代差异性最大的基因, 并将该基因看作是由于基因变异所引起的, 因此, 在分类识别时将忽略变异基因的影响, 从而提高了模式分类的正确率。由于本文的逆变异分类器需要判断子代与父代各个基因的差异性, 因此, 算法的效率较低, 本文采用文献[6]的多种分类器组合方法来进行预分类, 对预分类结果不同的测试样本, 再采用本文的逆变异分类器进行分类识别, 从而极大地提高了算法的效率。

1 本文算法

1.1 本文算法的基本思想

1.1.1 遗传算法

遗传算法主要思想是:首先创建初始种群, 并用一串二进制数对每个个体进行编码, 然后开始进化。那些相对于目标来说更好的解会获得更多的机会进行繁殖。个体相互之间进行交叉, 同时部分个体会进行变异。个体的优劣程度用一个目标函数 (适应度函数) 来衡量。适应度高的将被保留下来, 反之将会被遗弃。一直到满足迭代的终止条件, 遗传算法的迭代过程将被终止, 从而得到最优解。

假设待优化函数为f (x) , x是一个向量, 利用f (x) 构造出适应度函数g (x) h (f (x) ) 。当f (x) 取得最优值时, g (x) 必须取得最大值。因此, 遗传算法就可描述为:在变量空间中搜索一个使得g (x) 取得最大值的x, 则这个x使得f (x) 取得最优值, 遗传算法的主要步骤[7]如下:

1) 确定遗传算法的参数:总个体数为N, 遗传代数T, 交叉概率为Pc, 变异概率为Pm, 代沟为G。

2) 编码:对样本进行归一化处理, 本文采用了浮点编码法。

3) 初始化种群:计算个体的适应度, 设第i个个体的适应度为Fi, 根据G计算代间重叠个体的个数。

4) 个体选择:从当前代中选择两个个体, 其中第i个个体被选中的概率为,

在公式 (1) 中采用的是“轮盘赌法”, 适应度大的样本具有更多被选中的机会, 然后再对选中的样本进行交叉和变异。

5) 交叉:对于浮点编码可采用算术交叉、离散交叉。算术交叉[8]是指由两个个体的线性组合而产生出新的个体, 假设两个个体XA, XB之间进行算术交叉, 则交叉运算后所产生的两个新个体为:

其中, α为参数取为常数, 若α为变量, 则此时的交叉运算可称为非均匀算术交叉。离散交叉是指在个体之间交换变量的值, 子个体的每个变量可按等概率随机地挑选父个体[8]。

6) 变异:变异是指改变个体编码串中的某些基因值, 从而形成新的个体。交叉运算和变异运算的相互配合, 共同完成对搜索空间的全局搜索和局部搜索。基本位变异算子是指对个体编码串随机指定的某一位或某几位基因作变异运算。

7) 评价函数:为了体现染色体的适应能力, 引入对问题中的每一个染色体都能进行度量的函数, 评价函数可以决定染色体的优劣程度, 它体现了自然进化中的优胜劣汰原则。

1.1.2 逆变异过程

逆变异过程的目的就是为了降低遗传算法变异过程造成的父代与子代之间的差异性。对于人脸识别问题, 将测试样本看作由训练样本经过遗传变异后得到的子代样本。其识别过程就可以看作是衡量子代和父代的基因相似性, 即在知道了子代 (测试样本) 的遗传基因时, 如何判断该基因是从哪些父代 (训练样本) 基因中通过遗传变异得来的;也就是说这种相似性的计算结果可以直接反应父代与子代之间的差异性的大小。因此, 如果可以减少因变异所引起的子代与父代的差异性, 就可以提高模式分类的正确率。

模式分类器是通过计算模式在特征空间中的距离来获得相似度结果的。对于种群PX1, X2, ..., Xu中任意2个个体Xi (xi1, xi2, ..., xil) 与Xj (xj1, xj2, ..., xjl) , 定义它们之间的距离为:

对于实数编码, 设L为决策变量的个数, 则两个个体之间的欧氏距离为:

人脸识别就是要对子代与父代的基因链码进行相似度测量[18,19,20,21,22,23,24,25]。较通用的相似度测量方法是最近邻分类器和最小距离分类器。最近邻分类器是将未知样本判别为与它最近的训练样本同类, 该算法是采用各类中的全部样本作为代表点。从遗传算法的角度分析, 可以将最近邻分类器看作是判断子代同其单个父代的相似性, 如判断儿子与父亲或儿子与母亲的相似度。这种分类器的缺点是没有考虑遗传中的交叉和变异对子代基因的影响。

最小距离分类器取各类均值向量作为该类的代表, 将未知样本划分到离它最近的代表点所属的类别。如将公式 (2) 的参数α取为0.5, 则公式 (2) 转变为:

从公式 (5) 中可以看出, 当参数α取为0.5时, 由父代XA、XB经过交叉后, 得到的子代是相同的, 而就是样本XA和XB的均值。因此, 当采用各类均值向量作为该类的代表时, 可以在一定程度上克服因基因交叉对基因相似性的影响。

通过上述分析可以得出如下结论:

1) 当采用最近邻分类器进行人脸识别时, 可以识别出子代与单个父代最相似的个体, 即儿子与父亲或母亲最相似的个体;

2) 当采用最小距离分类器进行人脸识别时, 相当于判断子代基因与父代基因均值的距离, 因此, 可以识别出子代与所有父代基因均值最相似的个体, 即儿子既像父亲又像母亲的个体。由公式 (5) 可以看出, 采用最小距离分类器可以部分克服基因交叉对子代的影响。

3) 对于在遗传过程中发生变异的个体, 即儿子既不像父亲又不像母亲的个体, 采用上述两种分类器就很难做出正确的识别。

变异就是在染色体的基因链码中某个或某些基因发生了突变, 本文提出的逆变异分类器就是通过消除基因突变的影响, 来提高模式识别的正确率, 本文采用以下公式找出变异基因:

满足公式 (6) 的基因就是子代与父代差异最大的基因, 也就是造成模式错判的最大基因。因此, 本文采用下式计算两个个体的基因链码相似度:

采用公式 (7) 计算基因距离时, 可以去除差异最大的基因 (变异基因) 对基因相似度的影响, 采用公式 (8) 重写公式 (3) 如下所示:

公式 (8) 就是进行逆变异操作后, 计算两个个体di和dj基因相似度的公式。当di为父代个体, dj为子代个体时, 公式 (8) 就是进行逆变异后的最近邻分类器。当di为父代个体的均值, dj为子代个体时, 公式 (8) 就是进行逆变异后的最小距离分类器。

1.2 本文算法具体描述

逆变异分类器对每个测试样本都要计算其基因与全体训练样本基因的相似程度, 并找出变异基因, 因此, 这种分类器算法的效率是比较低的。而传统的分类器方法可以对大多数测试样本给出正确的分类, 这些传统的分类器方法包括最小距离分类器、最近邻分类器、Bayes分类器等。为了提高逆变异算法的效率, 本文采用文献[6]的多分类器组合方法对测试样本进行预分类, 对于预分类结果不同的测试样本再采用本文的逆变异分类器算法进行分类识别, 这样就大大提高了模式的识别效率。

预分类[6]的目的是将测试样本分成两部分, 一部分是预分类“可能正确”的, 另一部分是预分类“可能错误”的。具体方法是对测试样本同时采用两种不同的分类器进行预分类, 并对分类结果进行融合。当两分类器分类结果相同时, 就认为该分类结果是“可能正确”的, 并将该结果作为预分类结果。当两分类器的分类结果不同时, 则认为对该测试样本的分类可能是错误的。对这部分测试样本再采用逆变异算法进行分类识别, 并将识别结果与预分类样本集中的样本一起进行正确率测试并输出, 预分类算法如下图所示[6]。

从图1中可以看出, 经过预分类后, 再采用逆变异算法对测试样本集2中的测试样本再次进行分类识别。最后, 将分类结果与预分类结果一起进行正确率测试, 最后以识别率的形式输出。本文的算法步骤如下:

(1) 特征提取:在两个特征子空间中, 分别对特征向量进行特征提取, 两个特征子空间可以采用Fisher及PCA特征子空间。

(2) 预分类:分别采用最小距离和最近邻分类器, 对不同特征子空间的特征向量进行分类识别。

, 其中表示将第i个测试样本判别为第k及第j类。

(3) 生成新的测试样本集:对预分类的结果, 按照下述公式将其划分到不同的样本集中, 并得到新的测试样本集, 对于测试样本

若k=j, 将加入到XS中,

否则, 将加入到Xd中。

, 经过上述处理后, 将预分类结果相同的样本加入到样本集XS, 预分类结果不同的样本加入Xd中, 则Xd就是新的测试样本集。

(4) 逆变异分类器:采用本文的逆变异分类器, 对新的测试样本集Xd进行分类识别, 具体方法是采用公式 (7) 计算变异基因, 然后在采用公式 (8) 计算测试样本与训练样本的距离, 并将该测试样本判别到与其最近的类别中。

(5) 正确率测试:将步骤 (4) 的分类结果与预分类结果XS一起进行正确率测试, 并将测试结果作为最终结果输出。

从上述算法步骤中可以看出本文算法与文献[6]算法的不同之处在于, 在预分类后, 文献[6]采用最近邻分类器进行分类识别, 而本文采用的是逆变异分类器。

2 实验及分析

本文采用剑桥大学ORL人脸图像库进行对比实验, ORL人脸库是国际上人脸识别领域常用的人脸图像库, 该库由40人的准正面灰度脸像组成, 每人10幅92×112图像组成。其中有些图像是拍摄于不同时期, 人的脸部表情和脸部细节有着不同程度的变化。为了验证本文算法的有效性, 训练集人脸图像选择采用随机抽取方式得到, 图像的预处理采用两次小波变换, 将图像变换为23×28像素。

特征提取方法采用基于类间离散矩阵Sb的主成分分析方法, 将模式投影到39维的特征子空间中。本文的逆变异分类器算法, 其预分类过程是采用最小距离分类器与最近邻分类组合的方式。

2.1 逆变异分类器算法实验

实验随机选取每人的5幅图像作为训练样本, 另外5幅作为测试样本。则训练及测试样本集分别包含200个样本。将随机选择训练及测试样本集的实验过程重复10次, 下表给出了逆变异算法的模式识别率。

表1中Ad样本数表示两分类器预分类结果不同的测试样本数。采用这些测试样本组成测试样本集2。AS错分数表示两分类器的预分类结果虽然相同, 但是该样本被错分的样本数。其中Ad样本数为4, 表示在10次重复实验中, 有平均4个测试样本的预分类结果不同。AS错分数为3.5, 表示在平均196个 (测试样本的总数是200个) 预分类结果相同的测试样本中, 有平均3.5个被错分。采用本文提出的逆遗传算法对测试样本集2中的4个测试样本再次进行分类识别, 最后有平均1.8个样本被错分。因此, 本文算法最终被错分的样本数是1.8+3.5个, 算法的识别率是97.35%, 这个识别率在ORL人脸库上是相当高的。说明本文的逆变异算法非常适用于人脸识别问题。

2.2 传统分类器方法的对比实验

实验分别随机选取每人的3、4、5幅图像作为训练样本, 对应的取每人其余的7、6、5幅作为测试样本。则测试样本集分别有280、240、200个测试样本。将随机选择训练及测试样本集的实验过程重复10次。将本文算法与传统的最小距离分类器、最近邻分类器、文献[9]的贝叶斯分类器及文献[6]的预分类方法进行对比实验, 实验结果如下。

从表2中可以看出, 采用不同的训练及测试样本集时, 本文算法的模式识别率明显高于传统分类器方法。其中文献[9]的贝叶斯分类器的识别率仍明显低于本文算法。从表中还可以看出, 本文的基于预分类的逆变异分类器算法, 其识别率的方差明显小于传统分类器算法, 说明本文算法比传统分类器算法稳定。由于在进行预分类后, 本文算法采用的是逆变异分类器再进行识别, 而文献[6]采用的是最近邻分类器, 因此, 本文算法的识别率明显高于文献[6]的识别率, 说明本文算法在进行逆变异操作后, 模式识别率明显提高。因此, 可以认为对于高维小样本问题, 本文提出的基于预分类的逆变异算法在整体性能上明显优于传统的分类器算法。

2.3 与其它遗传算法的对比试验

将本文算法与采用简单遗传算法 (Simple genetical gorithm, SGA) 、自适应遗传算法 (Adaptive genetical gorithm, AGA) 、BP神经网络优化和文献[1]的OGA算法进行对比实验。其中, 各遗传算法的参数取值是, 样本种群数n=100, 交叉概率Pc=0.6, 变异概率Pm=0.01, 终止代数为500代, 精度为0.001;在神经网络中, 网络学习速率为0.001, 隐层节点10个。结果如下表[1]所示。

从表3中可以看出, 其他的遗传算法都需要大量的迭代运算, 但是本文的逆变异算法则无迭代过程, 因此, 本文算法的效率明显高于其他遗传算法。从算法识别率可以看出, 本文算法明显高于SGA、AGA及BP神经网络, 与OGA算法相当, 但是本文算法没有需要优化选取的参数, 而OGA算法则需要设置遗传算法的四个基本参数:交叉概率、变异概率、终止代数和精度。因此, 可以看出本文算法具有明显的优势。

3 结束语

3.高考数学分类算法 篇三

关键词 分类讨论 思想方法 高考数学 综合题

中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0045-03

美籍数学家波利亚曾认为，“数学的解题能力是一种很好的培养人的数学思维的途径。”作为担负我国选拔人才平台中最主要方式的高考，自1978年开始恢复高考至今，她已经走过了36个春秋。研究高考的命题规律对探索国家人才培养策略以及改进高中数学教学都有着重大的现实意义。数学家克莱因先生曾说过：“数学它是一种精神，一种理性的精神，然而正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，它试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；它试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”数学精神主要有数学求真精神、数学理性精神、数学创新精神、数学独立思考精神等，数学思想正体现着数学精神，它包涵大胆而智巧的想象、丰富而奇特的直觉、奥妙而严谨的构思，缜密而严肃的推理，它结合具体的数学方法一起构成了数学的思维特质。作为数学基本思想方法之一的分类讨论思想方法，它不仅是数学思想的重要组成部分，而且还是一种逻辑性的解题方法。与此同时，高考数学试题中的综合题历年来都是高考命题中的最后堡垒，它也是每年高考时段广大师生谈论最多的焦点题目，故此，分类讨论思想方法在高考数学综合题中扮演一个重要的角色，又担负着培育新时代人才的职责与使命。

一、纵向比较分析

本研究通过纵向比较，分析了北京市2003年至2014年、上海市2010年至2014年、广东省2007年至2014年以及新课程标准卷2007年至2014年等共34套高考数学试卷的综合题情况。现将这34套高考数学卷中蕴含有分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识点情况分别列表如下：

【结果分析】 通过对这些试卷所涉及的考点进行调查研究分析，分类讨论思想方法在历年来的各省市的数学试卷中都有所体现，主要渗透于圆锥曲线、不等式证明、函数性质、综合数列、实际问题、新定义探索等板块知识应用过程中，尤其在综合研究函数的性质特征与圆锥曲线方面的应用最为明显。

二、横向比较分析

本研究通过横向比较，分析了2013年全国各省市高考数学16套试卷以及2014年全国各省市高考数学15套试卷所涉及分类讨论思想方法应用的综合题分布情况，这些综合题的解答过程基本上都需要应用分类讨论思想方法才能完成题目。按照分类讨论思想方法在高中数学各个知识点中的应用情况，现在将这些蕴含分类讨论思想方法的综合题目所考查的知识情况分别展示如下：

2013年全国各省市高考数学涉及分类讨论思想方法运用的综合题分布情况

【统计分析】 统计结果表明，在2013年与2014年全国10多种不同的高考数学卷的综合题中，每一套数学试卷中至少有一道题目考查了分类思想方法的运用，甚至某些省份高考数学试卷中有多达到三道综合题目都涉及分类讨论思想方法的应用。一方面，这些综合题目多集中于整套试卷的尾部，难度一般都处于中档以上，这类试题也通常作为整套数学试卷中区分度最高的试题，因此这类试题无疑成了历年高考数学试卷压轴部分的常备主力军。另一方面，这些数据表明了分类讨论思想方法渗透的知识点多集中于不等式证明、综合数列、圆锥曲线以及函数性质研究，尤其在考查函数综合性质特征等方面运算量之多、思维力度之深、讨论范围之宽都往往是其它题目无法比拟的，同时对于高考这样一个大型选拔性考试，它几乎是每年高考数学都要必考的一个项目。

三、结束语

分类讨论思想方法是中学数学基本思想方法的重要组成部分，在中学数学教学中占据着不同寻常的地位，在教材中也能够随处见到分类思想的各种运用。它不仅是数学教学中的重点、难点，也是多年来高考数学中常考、必考的内容。它不仅是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。近年来，在全国各省市高考数学试卷中渗透有分类讨论思想方法的试题也是逐渐增多，尤其体现在分类讨论思想方法在高考数学综合题中考查与应用。这些综合题一般都是命题者精心设计、构思巧妙的好题，其试题往往新颖独特，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生综合理解能力、自学能力等方面都提出了更高的要求。分类讨论思想方法为高考数学提供了思维的练兵场，成为考查学生处理复杂问题能力的试金石。最主要的是高考题要考查学生处理复杂多变问题、解决现实模型等综合能力，这就需要有一个比较公平同时又具有区分度的载体，与此同时分类讨论思想方法正是提高学生数学素养的一个重要法宝，也是考查学生对未来数学学习潜能的一个良好途径。

因此，一方面如何引导学生观察、发现引起分类讨论的原因，如何通过分析、学会化整为零、各个击破，恰如其分地正确运用分类思想，这将是每一个高中数学教师都需要面临的一个重要问题。数学教师需要通过多角度的案例教学进行培养学生这方面的能力与素质，这也是数学教育势在必行的一项任务。教师可以从理论与实践两方面加强对学生这方面能力的培养与提升。教师也可以从身边教学实践出发，结合教学经验或教学智慧，找到培养与渗透分类思想方法的一些办法。另一方面，分类讨论思想方法对培养学生思维的条理性与缜密性，在提高学生全面分析与解决问题能力等方面都起到了十分关键的作用。所以，在高考数学综合题中渗透的分类讨论思想方法是考试中培养学生的严谨精神，开辟出能够增长学生科学、合理解决问题本领的一条有效途径。然而，通过调查发现，许多学生对这一种思想方法的掌握情况并不乐观，甚至有些学生对分类讨论思想方法抱有一种恐惧的心理。正因如此，在新课程改革的背景下大力改进分类讨论思想方法的相关教学更有着密切的现实意义。

高考数学综合题是试卷的精华部分，这些题目命制的宗旨也是为了国家选拔优秀人才的需要。高考数学综合题在命制过程中往往蕴含着深刻的数学思维方法，而且试题本身也往往具有一定的深刻性与迷惑性。它是区分学生解题思维能力水平、保证高考试题区分度的一个重要体现。因此，高考数学综合题里面蕴含着许多分类讨论思想方法，其在解答试题的过程中常常是精深奥妙的，试题命制技巧也是匠心独具。无论是这些分类讨论思想方法的具体应用，还是试题本身的解题技巧都值得教师深入的研究。故此，本文建议教师认真领会分类讨论思想方法以及在综合题中命制思想与技巧，或者通过逆向工程法剖析高考专家组精心命制的试题，从中领悟那些试题背后隐藏的深意，以期改进自身的教学。

参考文献：

[1]（美）G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007，（05）：25-28.

[2]（美）莫里斯.克莱因，张祖贵等译.西方文化中的数学[M].上海：复旦大学出版社，2005：98-99.

[3]基础教育课程改革纲要[EB/OL].（2001_6—8） [2011—6—5].http：//baike.baidu.com/view/1265891.htm#1.

4.高考数学分类算法 篇四

一、选择题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1，9十个数字,可以

组成有重复数字的三位数的个数为

A．243 B．252

【答案】B（）C．261 D．279

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足a,b1,0,1,2,且

关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为

A．14

【答案】B（）B．13 C．12 D．10

错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lgalgb的不同值的个数是

A．9

二、填空题（）C．18 D．20 B．10 【答案】C错误！未指定书签。

错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某

社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】45

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将A,B,C,D,E,F六个字母

排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)

【答案】480

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名

内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)

【答案】590

错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人

至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两

5.高考数学分类算法 篇五

1.【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF

13。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）

3【答案】B

【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。

【解析】解：结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞8次即可。

2n...sin2.【2012高考上海文18】若SnsinsinnN），则在S1,S2,...,S100777

中，正数的个数是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.3.【2012高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】本题主要为数列的应用题，观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果.4.【2012高考陕西文12】观察下列不等式

1

1121

22321

532，5

311

22132142

……

照此规律，第五个不等式为.．．．

【答案】1











116

.【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2n11n1

n1，右边=5.【2012

k，所以第五个不等式为1





2







116

． 表示为

高考湖南文

k1

16】对于

nN，将n

nak2ak12a12a02,当ik时ai1，当0ik1时ai为0

或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.010【解析】（1）观察知1a02,a01,b11；21202,a11,a00,b21；

10210

一次类推31212,b30；4120202,b41；

5120212,b50；6121202，b60，b71,b81，210210

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考湖北文17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an，写出其若

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

b2k1a5k1

(5k1)(5k11)



5k(5k1)

（k为正整数），5k(5k1)，故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.7.【2102高考北京文20】（本小题共13分）设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值。

【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力。

（1）因为r1(A)=1.2，r2(A)1.2，c1(A)1.1，c2(A)0.7，c3(A)1.8，所以

k(A)0.7

（2）r1(A)12d，r2(A)12d，c1(A)c2(A)1d，c3(A)22d.因为1d0，所以|r1(A)|=|r2(A)|d0，|c3(A)|d0.所以k(A)1d1.当d0时，k(A)取得最大值1.（3

任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性

*

质P，并且k(A)k(A)，因此，不妨设r1(A)0,c1(A)0,c2(A)0，由k(A)的定义

知

3k，1(A

k(

A)(A

r()c

A)(A,k，(A)

c

从)

(A

c而)

a

(A

()kb)r1

(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为1。

8.【2102高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

考点：三角恒等变换。难度：中。

分析：本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。解答：

（I）选择（2）：sin15cos15sin15cos151

sin30

（II）三角恒等式为：sincos(30)sincos(30)

sincos(30)sincos(30)

sin234sin

234

cos

sin)sin2



6.高考数学分类算法 篇六

一、选择题

错误！未指定书签。．（2013年高考大纲卷（文））x2的展开式中x的系数是 68（）

A．28

【答案】C

二、填空题 B．56 C．112 D．224

2a7错误！未指定书签。．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数aR.若x的二项展开式中x项x的系数为-10,则a_______.【答案】2

错误！未指定书签。．（2013年高考大纲卷（文））从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,35

名三等奖,则可能的决赛结果共有____种.(用数字作答)

7.高考数学分类算法 篇七

两类教育的再定位

实行分类高考, 必然导致基础教育、职业教育和高等教育在教育功能及教育目标上产生新的变化, 乃至重新定位。

(一) 基础教育的再定位

当前, 基础教育的定位是以对受教育者施以普通文化知识教育, 培养公民基本素质为目标。从理论上讲, 这并没有错。但仔细审视其现实, 却有明显缺憾:一是功能性偏失。即通过不断的选拔与淘汰, 实际上强化了学生发展层次的划分, 而忽视了学生发展类型的区别。二是导向性偏失。即教育模式和教学内容过于注重学术型人才培养, 而在一定程度上忽视了技术型人才培养。

为了弥补上述缺憾, 必须对基础教育进行重新定位。其定位要点是:第一, 在通识教育的基础上, 介入职业教育内容。如通过整合劳技课和课外科技活动, 开展职业启蒙教育。第二, 在职业启蒙教育的基础上, 开设正规的职业科目。这既包括普及性的职业通识教育, 也包括以学生“成长档案”为依据的具有初步职业定向性质的培养。第三, 为学术型和技术型两类高等教育输送合适生源。即由单向输送向双向输送转化, 为两类人才的可持续发展提供同样牢固的基础。

显然, 基础教育再定位的核心目标, 是将仅注重培养学术型预备人才, 向既注重培养学术型人才、又注重培养技术型预备人才转型。

(二) 职业教育的再定位

当前, 职业教育基本定位于进行科学技术理论和职业技能教育与训练。但在实际执行中, 也有明显缺憾:一是教育体系不健全。即仅有中专、大专两个层次, 鲜有本科层次, 研究生层次基本空白, 故被指为“断头教育”。二是中职和高职衔接不畅。所谓“中职接高职”, 主要着眼于架设升学通道, 双方缺乏相互统一的教学计划和课程结构。三是职业教育“普教化”倾向值得关注。

实行分类高考之后, 为真正实现职业教育在国家教育体系中的定位, 有几件事是必须要做的:其一, 构建完整的职业教育体系。即建立与普通教育 (学术型教育) 相同的办学层次架构;设立从中专到研究生教育的统一教学计划、课程结构和教材体系。其二, 确立明晰的职业教育目标。近年来, 一些职业院校提出的“中专加中级技工”和“本科加技师”的培养目标值得推广。其三, 优化职业院校的教育模式, 着力扭转脱离产业、脱离实际的非职业性倾向。

概言之, 职业教育再定位的核心问题, 不是原有定位不确切, 而是要采取有力措施, 使之更加完善。

(三) 高等教育的再定位

当前, 普通高等教育的突出问题, 一是过于偏重规模扩张和层级升格, 忽视内涵发展和质量提高;二是过于偏重学术型人才培养, 忽视技术型人才培养。而高职教育的突出问题, 一是仍然存在偏重“学科本位”的办学思路, 在一定程度上与生产实际和产业结构相脱节;二是教育层次过低, 社会认可度不高, 在某种程度上陷入“既不叫好, 也不叫座”的困境。

实行分类高考, 为两类高等教育作了形式上的再定位。而如何将这种新定位落到实处, 还需下一番工夫。就普通高校而言, 主要是压缩规模、提高质量, 集中优势资源, 切实造就一批学术型杰出人才, 以提升国家的整体科技实力。对高职院校而言, 主要是在构建现代职业教育体系中发挥排头兵作用, 着力建设层次完备、衔接紧密、与产业结构相适应、能引领产业结构升级换代的职教体系, 造就一批技术型领军人物和数以亿计的创新型劳动者。

简言之, 高等教育再定位就是要充分发挥两类高校的各自优长, 为不同类型的人才提供相同的发展空间, 合力推进科学技术的跨越式发展。

基础教育、职业教育和高等教育的重新定位, 是国家转变发展方式、调整产业结构的必然要求, 也是实行分类高考所产生的一种必然的延伸效应。因此, 顺应形势、有所作为, 就成为各级各类教育的必然选择。

两类教育的再融通

实行分类高考的要旨, 表面上是促使普通教育和职业教育各司其职、各展所长, 而深层次的目的, 却应当是促进两类教育的进一步融通。

(一) 教育理念的再融通

尽管普通教育与职业教育是分属两类不同性质的教育, 但在教育理念上却有许多共通之处。

第一, 都要秉持理论与实践相结合的原则。因为无论哪类教育, 都不能流于空谈, 无论哪类人才, 都应当知能兼备。所以, 应像黄炎培先生所倡导的那样:“一面做, 一面学。从做里求学”。将教育目标界定为“是给人家一种实际上服务的知能, 得了以后, 要去实地应用”。

第二, 都要秉持为社会需要服务的宗旨。普通教育为各科学领域的发展服务, 职业教育为诸技术领域的发展服务, 其实是殊途同归的, 都是为社会需要服务。现今的理、工、农、医乃至艺术、军事院校, 无论称之为普通教育也好, 称之为职业教育也罢, 都不能脱离具体的产 (行) 业而存在和发展。

第三, 都要以造就创新型人才为目标。当今的国际竞争是综合国力的竞争, 但无数事实证明, 其本质却是教育水平的竞争, 是人的创新能力、创造能力的竞争。毋庸讳言, 在前一时期, 无论哪类教育, 在造就创新型人才方面都有较大欠缺。当前, 要以实行分类高考为契机, 切实补上这块短板, 并应努力取得新进展和新突破。

(二) 教育模式的再融通

简而言之, 普通教育模式具有“学科本位”的特征, 主要表现是学科划分严谨, 知识结构系统。而职业教育模式具有“能力本位”的特征, 主要表现是注重知识的应用性, 强调能力的实践性。

学科本位与能力本位并非是截然对立的, 只是适用于不同类型的教育而已。那么, 普教模式与职教模式的契合点在哪里?答案是素质教育。这主要体现在: (1) 发现人的价值。学术型人才和技术型人才有着同等的社会价值, 实行分类高考, 只是为他们铺设了适合于不同发展趋向的成才路径。这两类教育的共同目标, 都是充分发掘和展现他们的社会价值。 (2) 发挥人的潜能。任何教育的价值都在于把自然人的潜在能力激活, 使之成为生产力发展的动力。让每一个受教育者都能自主选择与其相适应的教育门类, 使自己的潜能得到最大限度的发挥, 显然是分类高考的要义之一。 (3) 发展人的个性。个性是创造性之源, 各类教育都要着力造就既遵循科学规律、又善于创新, 既尊重前人成果、又勇于超越, 既遵守普遍规律、又敢于标新立异的个性化人才。

(三) 教育资源的再融通

实行分类高考之后, 学术型院校与技术型院校的教育资源必须实行优势互补、合作共赢。这至少可以从以下三个方面展开。

一是师资融通。学术型院校汇聚了一大批各学科的领军式专家、学者, 可以为技术型大学的专业定向和专业建设提供指导。同样, 技术型院校中富有技术实践经验的教师, 也可以到学术型大学授课, 或兼任普通中小学职业科教师, 指导职业启蒙教育。

二是设施融通。通过校际合作, 学术型院校的实验设施、设备, 可以向技术型院校师生开放, 以提高其科研水平。技术型院校的实习场地、设备也应当向学术型院校师生开放, 以提高其实践能力。这对于两类教育的理念融合及造就“双师型”教师和“双能型”学生大有裨益。

三是联合研发。学术型和技术型大学都承担着国家或地方的科技开发项目, 如果开展联合研发则更能体现集成优势, 较好较快地取得成果。无数事实证明, 与国际先进水平相比, 我们的差距主要表现在技术领域, 因此, 加大技术开发在科技研发领域中的力度, 已成为当务之急。

增强两类教育在教育理念、教育模式和科技研发中的深度融合, 一定会在提升我国教育水平, 进而提升科技创新能力方面产生巨大推动力。

教育体系的再构建

实行分类高考必然会催生教育体系的再构建。因此, 建议中央政府在适当的时候, 以政令方式颁布一部新学制, 以利地方执行。至于学制系统的基本架构, 笔者不揣浅陋, 试提出如下构想 (如图1所示) 和建议。

(一) 基础教育

主要指小学、初中和普通高中教育。小学和初中学段, 以教授普通文化知识为主, 酌增职业启蒙教育和职业科。普通高中学段除设置职业科目外, 应完成学术型和技术型人才可培养方向的测试和甄选, 在此基础上实行分类施教。至于普通高中的办学规模, 似以占高中阶段教育的40%为宜, 其升学方向为学术型和技术型高校。

(二) 职业教育

系指初等、中等、高等 (含研究生) 学校职业教育和初、中、高三级职业培训教育。中等职业教育的规模可占高中阶段教育的60%, 其毕业生应达到中级工水平, 出路为直接就业或升入高等职业院校。高等职业教育的规模可占高等教育的70%, 招收职业高中和普通高中毕业生入学, 以本科层次为主, 修业4年。其毕业生应达到技师水平, 出路为直接就业或接受研究生教育。

职业培训是职业教育的重要组成部分, 包括职前和职后培训。其指向为单一工种 (如电气安装工) 或工种群 (如金属切削加工类) 培训, 期限数月至数年不等。初等培训主要招收初中学段愿接受职业教育者 (主要是欠发达地区) , 学制4年, 培养初、中级工。中、高等培训分别招收初、高中后未升学和同等学力的在职者, 学制2~3年, 培养中、高级工。此外, 还可举办紧缺工种培训 (如电焊工) 、晋级培训 (如高级工晋升技师) 等短训班, 学制依需确定。职业培训主要由各级人社部门举办, 可依托全日制职业院校办学, 亦可直接设在中、高等职业院校之中。此外, 还要制定相关法令, 规定企业的职业培训义务, 强化企业内职工教育。

(三) 高等教育

主要包括普通 (学术型) 高等教育和职业 (技术型) 高等教育, 以及相应的两类研究生教育。仅就学术型高等教育而言, 其宗旨是培养学术型高端人才, 造就当今世界前沿科技的领军式人物, 其学术水平应瞄准世界尖端水准。因此, 学术型高等教育当前的第一要务是压缩规模、强化内涵。换言之, 是将规模掌控在高等教育的30%左右, 集中优势教育资源, 精心培育一批学术精英人才。这是适应人才合理结构之举, 也是抢占世界学术高地, 增强国际学术竞争力, 彰显大国综合实力的必然抉择。

学术型大学和技术型大学都要设立研究生教育, 前者要侧重基础科学研究, 后者则应侧重应用科学研究。同时, 应注重两类研究的融合, 以打造复合型高端人才。

(四) 师范教育

不争的事实是, 学术教育和技术教育所需要的师资是不同的。纵观我国师范教育现状, 是普通师范教育与职业师范教育的比例严重失调。据笔者所知, 独立设置并有一定规模的职业师范院校仅在天津、吉林等省市有几所, 这是长期迟滞技术教育发展的主因之一, 也与分类高考之后的教育结构转型极不适应。

因此, 重新构建教育体系的关键在于大力强化职业师范教育, 建议把普通师范和职技师范的规模调整为1∶1的比例。同时, 职技师范类研究生教育的占比要适度高于学术型大学和技术型大学。普通师范院校以招收普通高中毕业生为主, 职技师范以招收职业高中毕业生为主、以招收普通高中毕业生为辅。据悉, 天津职业技术师范大学早在35年前就开展了同时从普通高中和职业高中招收学生的尝试, 并一直延续至今。建议有关部门就此展开专项调研, 推广他们的成功经验。

另外, 还要保留一定规模的中等师范教育, 以培养小学和幼儿园教师及职业启蒙指导教师。

总之, 实行分类高考, 释放出我国教育体系将要进行战略性大调整的明确信号, 预示着各级各类教育必将重新定位、再度融通, 最终构建起一种全新的教育体系。这就是分类高考的倍增效应。

分类高考的倍增效应, 在某种程度上有水到渠成的必然性, 而更多的则应按照国家战略部署有意而为, 主动拓展。唯有如此, 才能充分彰显分类高考的重要价值和深远影响。

摘要：分类高考模式的倍增效应, 主要体现在各级各类教育的重新定位、再度融通上, 最终将构建起一种全新的教育体系。这样的倍增效应, 在某种意义上有其水到渠成的必然性, 而更多的则应按照国家战略部署有意而为、主动拓展。

关键词：拓展,分类高考,倍增效应

参考文献

[1]纪秩尚, 等.中华人民共和国职业教育法实务全书[M].北京:北京广播学院出版社, 1996.

[2]中共中央, 国务院.国家中长期教育改革和发展规划纲要 (2010—2020年) [M].北京:人民出版社, 2010.

8.高考数学分类算法 篇八

M单元 推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

16．201 [解析](i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．

(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．

则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A [解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．

x14．[2014·陕西卷] 已知f(x)＝x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则1＋x

f2014(x)的表达式为________．

xx14.[解析] 由题意，得f1(x)＝f(x)＝ 1＋2014x1＋x

x

1＋xxxf2(x)＝f3(x)＝，…，x1＋2x1＋3x11＋x

由此归纳推理可得f2014(x)＝x.1＋2014x

M2 直接证明与间接证明

21．、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．

(1)求f(x)的单调区间；

111(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有x1x2xn

321．解：(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．

当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f′(x)<0;

当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时f′(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．

ππ(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.2

2当n∈N*时，因为

＋f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故

nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.142因此，当n＝1时，＜； x1π3

1112当n＝2时，＋(4＋1)＜ x1x2π3

当n≥3时，1111114＋1＋ 2（n－1）x1x2xnπ

11151＜＜（n－2）（n－1）1×2ππ5＋1－1＋11＋…＋11 223n－2n－1

1162＝6－n－1＜＜π3π

1112综上所述，对一切n∈N*，.x1x2xn3

M3数学归纳法

sin x23．、[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.x

πππ(1)求2f1＋f2的值； 222

πππ2(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋n＝ 4442

sin xcos xsin x23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，xxx

cos xxsin ′＝ 于是f2(x)＝f1′(x)＝′－xx－sin x2cos x2sin x＋，xxx

ππ4216所以f1＝－f2＝－22πππ

πππ故2f12＝－1.222(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，π即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sinx＋.2

类似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，3π3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sinx＋，2

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

nπ下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

(i)当n＝1时，由上可知等式成立．

kπ(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sinx.2

因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，sinx＋kπ′＝cosx＋kπ·x＋kπ′＝sinx＋（k＋1）π，2222

（k＋1）π所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sinx＋2，因此当n＝k＋1时，等式也成立．

nπ综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

πππππnπ令x＝nfn－1＋fn＝sin＋(n∈N*)，424444

πππ所以nfn－1＋fn＝444

9.高考数学分类算法 篇九

13.3 直接证明与间接证明

一、选择题

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()

A 小前提错B 结论错

C 正确D 大前提错

解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案 C

2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()

A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于

1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于

1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于

1D．以上都不对

解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案 B

3．下列命题中的假命题是()．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

解析 a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误． 答案 D

4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．

A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定 解析 ∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．

又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．

答案 B

1115．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋b＋c＋)． bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，11111a＋b＋c＋a＋b＋＋＋＝＋＋ ∴bcaab

1c＋≥6，c

当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D

6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜bD．a≤b

解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案 A

7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．

A．nB．n＋1C．n－1D．n2

解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝„＝n.答案 A

二、填空题

8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案 a、b都不能被3整除

9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．

①反证法，②分析法，③综合法．

答案 ②

10．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)

12解析 若a＝b＝a＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案 ③

11．如果aa＋bb＞b＋a，则a、b应满足的条件是________． 解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aa＋bb＞b＋a，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案 a≥0，b≥0且a≠b

12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b与a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的是_______．

解析①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.答案 ①②

三、解答题

13．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，113a＋bb＋ca＋b＋c试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解析 A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵

∴

∴113＋＝，a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＋＝3.a＋bb＋cc

a＋bb＋c＋a＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝ 2ac2ac

2∵0°

|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：2.|a＋b|证明 a⊥b⇔a·b＝0，|a|＋|b|要证2.|a＋b|只需证|a|＋|b2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．

15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：

lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2ab＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．

∴a＋bb＋cc＋a2·2·2＞abc成立．

上式两边同时取常用对数，a＋bb＋cc＋a＞lg(abc)，得lg222

∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：是f(x)＝0的一个根； a

a1(2)试比较与c的大小；

(3)证明：－2＜b＜－1.解析(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c11又x1x2＝x2＝≠c，aaa

1∴是f(x)＝0的一个根． a

11(2)假设＜c，又＞0，aa

由0＜x＜c时，f(x)＞0，111知f＞0与f＝0矛盾，∴c，aaa

11又∵≠c，∴＞c.aa

(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

bx1＋x2x2＋x21x＝－＝＜＝x2＝ 2a22a

b1即－＜.又a＞0，2aa

10.高考数学分类算法 篇十

1 实验背景

早期手工分类,从粗到细,完全由分类员完成。主要工具是查阅专利分类表。随着计算机应用的发展,分类表由书籍变成电子版,又经历了网络版、网页版变迁。2010年以后才真正标志性地实现了自动分类技术的应用,将研究变为实用。一种基于历史文献的分类方法至今占据着主导位置。

1.1 基于历史文献的分类方法

以历史文献作训练空间,构建语料库,通过数学模型运算获得相似度评分,提供备选方案。其中数学模型可以多种。如SVM、KNN、Naive Bayes等等[1]。其优点是对已分类文献分类效果良好。其缺点是需配备海量装备,代价大。

这种方法后来也受到两点质疑。

1)发明专利的创新性

由于专利文献由两类构成:一类是开创性发明,另一类是改进性发明。对于开创性发明,其新技术方案所依据的基本原理与已有技术有质的不同。这类专利之间相似度很低。因此基于历史的方法,问题会出在参照物信息不充分上。

2)IPC分类的渐变性

在专利审查流程中有一种预警机制。当某个时期某个领域专利案件量增长超出预期就会报警。同时引起两个部门的注意。A)宏观战略研究部门,主要观测是否将有引领潮流的革命性技术到来,例如:纳米。预测5到10年将进入市场,对宏观经济产生影响。B)审查业务管理部门,检测到案件量当超过某个数量级的阀值时,就要考虑审查增员问题,或者考虑该分类是否需要再细分。一种变化是增加小组细目,另一种变化停止原小组细目,重新分配一个新的大组,然后再分到各个小组细目。因此,专利分类表会根据需要随时调整。因此基于历史的方法问题会出在参照物信息不确定上。

1.2 基于分类表的分类方法

分类表作为指导性工具,曾经是手工时代的产物,早已被自动化工具所取代,目前只剩备忘录作用。笔者以为分类表不仅有良好层级结构,还有规则指向,交叉参考等。如能充分利用,可以开发出分类导航(XML- Xslt版已初具导航作用)产品;将括弧中规则指向和交叉参考与人工智能相结合,自动分类可以达到极高准确率,当然引入规则会变得相当复杂。分类表简单使用,已经具备可计算性。这恰恰是轻量级分类方法须采用的重要手段之一,不可或缺。这种方法也有许多困难需要面对。例如:

1)专利文献语言文化差异

专利文献格式严格,结构特征明显。作者撰写文档,须通过形式审查才能进入审批流程。由于对撰写具体内容不作限定,说明书的撰写水平受作者的语言文化背景、地域差异、学识和规范习惯等因素影响,因人而异。发明标题中的词素非常重要,需要抓住主题重点;权利要求书的描述是树形结构,可以程式化固定。例如:“一种”(独立权利要求),“根据”(从属权利要求),可以构成林、树、杈关系。这对主分类和相关分类分析有参考价值。笔者曾抽样分析,结果令人失望。严格按统一规范来撰写的并不多,失去利用价值。要求文字术语统一规范,更是难事。

2)专利分类表术语不统一规范

电子版分类表中符号混乱,文字缺乏统一规范。通过取样几个近义词,便可略见一斑。参见表1。

某些词语意思相近,复杂而繁多,分布在不同分类中,给解析带来困难。

3)抽象专利分类表与具象专利文献之间术语差异

该差异是两者不在一个层面自然形成的,需要一个沟通机制。由此,引出基于同义词的术语分类方法。

1.3 基于同义词的分类方法

专利文献加工中人工标引主要的工作就是标注文献的关键词和同义词。该方法主要作为提高专利检索查准率、查全率的必要手段之一。而对于文档自动分类来说,利用分词技术来获取文档中有限高频词。两者目标一致,方法有别,一个人工,一个计算技术。由于计算技术缺乏模糊识别、灵活和准确的理解力。因此,最终还是需要适当植入人工标引关键词来弥补计算技术的缺陷,提高准确性。

其哲学思想也与数学方法论不相矛盾。如果把专利文献和专利分类看作向量空间模型,文档空间被看成是被简化了的一组能够代表文档的高频正交词条有限特征向量空间,词条频度权重,看作特征轴上的投影。IPC分类也是有限特征向量空间子集,由不同的特征排列组合而成。某些特征被不同的分类空间所共用。像星座群一样,每个星座对不同的分类群起的作用不同,有些分类群整体很耀眼,有些分类群整体有些黯淡,甚至没有光芒。如果文档空间向量与ipc空间向量存在交集,在ipc某些特征轴上能够直接找到投影;否则,就相离。如果,某些特征通过变换折射也可以找到投影,那么认为,两者之间间接存在交集。这里折射变换的原理也就是同义词和上位词植入的基本原理。

如果直接用分类表来解析文献,寻求的分类目标可能会发散。因为文档空间与IPC分类空间不直接在一个层面上,坐标没有对应关系,投影回到原点。有人会提出按照文档结构分类方法,认为标题或文摘部分很重要,通过增加整个标题或文摘的权重来施加影响力。这对于空间的形状会有所改善,但并未发生质的改变。也只是改变了投影形状量的大小。只有,真正将文档空间中不在同一个层面的那些高频特征词,通过上位词或同义词的折射变换,才可以改善其在分类空间中的投影,以突显或还原其真实形态。

利用这一方法,通过逐一折射扫描,捕捉分类空间的投影。不仅可以原型再现,还可以通过局部放大,来达到逐一捕获主IPC和或其他相关IPC的目的。分类会因同义词强化效果大大改善,达到很好的收敛性。

因此,建立一个完善的同义词库意义重大。提供捡拾同义关系词的入口,是基于同义词分类方案进入一个良性循环的必要手段。这是需要全员参与的工作,需要群体的智慧。同样,提供一个可植入关键词的入口,对于不依赖于现有或历史,也是设计者需要考虑的。

建立同义词或上位词关系词方法其实简单。例如:蛋白质是由肽构成的,肽是由氨基酸构成的。那么建立“肽→蛋白质”关系,肽是上位词,蛋白质是下位词。文献中使用了“…蛋白质”,就植入上位的“蛋白质”和“肽”;又例如:文献用“英文/英语”,那么就植入其上位词“外语”,建立“外语→英语”关系。新建立的关系词被积累保存到同义词库,一劳永逸。

与基于历史文献语料库相比,同义词库无疑是轻量级的。同义词库可以弥补专利分类表中词语抽象的不足,用来化解专利文献中词语具象的复杂性。在专利分类表和专利文献之间搭建起沟通的桥梁。

2 IPC自动分类的技术实现

IPC自动分类的实现,其专利文献自动分类实验流程图,如图1所示。

专利分类流程图分为两个部分,可以分开实现,IPC分类表语料库加工层最终得到的是分类表语料库。由{ipc,wj,cc,idf}构成,内容参见定义1。

定义1:ipci,用以表示IPC分类表中的某个专利分类号;wij,用以表示ipci分类描述文字切分出的某个特征词;cc(wij)表示,特征词wij在IPC分类表中有多少分类与之有关;N,用以表示IPC分类表中总共有多少分类条目;idf(wij) ,用以表示IPC分类条目中的词条相对于总体分类的反文档数,是wij的重新评估的权重,idf(wij)=log(N/ cc(wij))。

原始文档加工层,最终得到文档目标语料。由{wi,dn,tf}构成,内容参见定义2。

定义2:D,用以表示原始文献;wk,用以表示D中切分出的词条;dn(wk),用以表示wk的重复数;n,用以表示D中的总词条数,n=∑dn(wk);tf(wk),用以表示wk的词频,tf(wk)= dnk/ n;

计算相似度层,用三种算法分别计算相似度排名。参见自动分类算法。

2.1 IPC自动分类的算法

本文给出自定义的两种算法和一种已有算法进行对比。即:

WHZ算法——一个自定义算法

Tf-Idf算法——一个已有算法

Hit-Rate算法——一个自定义算法

2.1.1 WHZ算法

whz算法属于自定义算法,用来抑制版权争端,与Tf-Idf和BM25算法相当。

定义3:

文档D与分类条目ipci相似度,用whz(D,ipci)表示。

whz(D,ipci)=∑(dn(wj)/cc(wij))dn(w)w

其中,dn(wj)代表文档词条wj重复度权重,cc(wij)代表ipci条目中wj词条被多少个其他ipc分类条目所共用或分享。

2.1.2 Tf-Idf算法

Tf-Idf算法属于已有算法,其标准形式的定义有BM25算法[略]。

定义4:

文档D与分类条目ipci相似度,用Tf-Idf (D, ipci)表示,或sim(D, ipci)表示。

其中,dn(wj)代表词条wj重复数,cc(wij)代表词条wj逆文档数,亦即词条与其他ipc分类也相关的ipc条目数。

2.1.3 Hit-Rate算法

由于whz自定义算法,与tf-idf算法总体趋势接近。为防止前两种算法接近重叠,我们又从另外角度给出了一种自定义的算法。其主旨是,将ipc条目其所涉及分词,与专利文献中高重复度的词相匹配,匹配占比越大,得分越高,与ipc条目越相似。

定义5:

函数has(wij)如果wij出现在文献D中,则取值1,如果没有出现在文献D中,则取值0;Hit-r(D,ipci),用于表示命中率或占比。

其中j=1..m,则∑j(1)=m。

文档D与分类条目ipci相似度,用Hit-Rate(D, ipci)表示。

3 实验效果(The experiment effect)

抽样考察4个发明公开专利文献。取试验样本4个发明公开专利的“标题+文摘”,参见表2。

专利文献切分分词,参见表3。

观测实验结果,植入关键词对自动分类的三种算法排名的影响,参见表5。

直接通过分类表计算自动分类相似度排名,收敛性较差。参见表4 左部结果。植入同义词调整后,分类效果明显改善,基本收敛。参见表4右部结果。

笔者通过植入同义词和上位词来改善分类表解析不收敛的问题。如果调整得不到希望的分类,亦即,分类不收敛,就要重新调整其他同义词方向,来改变策略,直至得到与文献内容相符合且最接近的分类为止。

从实验效果看,本文所用的分类表与同义词修正相结合的分类方法,收敛效果明显。与实际采用何种算法无关,要发散都发散,要收敛都收敛。无疑TF-IDF优于自定义。

4 结论

IPC自动分类技术作为计算机辅助工具来使用,可为人们提供一种具有参考价值的分类信息,供使用者选择。本文所述分类方法是一种基于分类表和同义词相结合的方法,不依赖于历史信息也不受限于历史信息的不足,不需要大量训练数据的方法。其优点是:能将专利文献中的不同权重的高频词,通过同义词库的扩充,与分类表直接比对,不需要花费大量资源收集专利文献语料库,只需借助有限同义词植入来调整分类运算,来解决分类不收敛的问题。该方法在存储量和运算量方面属于轻量级的,且运算速度快,加工一篇文献不到1秒,需要的资源不多。通过植入同义词或上位词调整权重,可以改变某些分类的发散或收敛方向,来达到逐一捕获主ipc和每一个相关ipc的目的。可作为半自动的简单灵活的分类捕捉工具。其缺点是算法受限于同义词库的建立,取决于植入同义词的经验,调整植入词,改变某些分类的发散或收敛方向,需要使用者自己凭经验来掌握和控制。初期需花费一些时间将分类表作一个初步同义词整理,然后通过工作进行中不断来扩充同义词库,使之趋于完善。该方法对CPC自动分类的实现有借鉴意义。

参考文献