勾股定理的证明1

勾股定理的证明1（共17篇）

1.勾股定理的证明1 篇一

第【高考会这样考】 2讲 圆周角定理与圆的切线

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D

是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大

小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与

圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝3，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圆

O的直径为4.tan ∠AOP答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

2.勾股定理的证明1 篇二

中心极限定理表明大量独立随机变量的和近似服从正态分布，它是正态分布应用的理论依据。设ζ1，ζ2，…ζk，…独立分布且E(ζi)=μ，D(ζi)=σ2，则当k很大时，ηk=Σζi近似服从N (kζ，kσ2)。

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，A.棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，P.S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

二、基本原理

1. 数学模型

独立同分布的中心极限定理

设随机变量X1, X2，…，Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E (Xk)=μ，D (Xk)=σ^2>0 (k=1, 2…)，则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn (x)对于任意x满足

独立同分布函数表达式

正态分布函数表达式

2. 设计过程

为了证明在k很大时，独立同分布近似服从正态分布，可以分别构造独立同分布函数和正态分布函数，将独立同分布的随机点数目取得足够大，然后绘图观察二者的分布拟合程度。

三、仿真结果

分析仿真结果：从单独的一张图来看，正态分布曲线和独立同分布直方图总的来说是较为吻合的，比较两张图形，可以看出下图中二者拟合程度更大，这两张图形所使用的源代码唯一的不同之处在于k的取值，第二张图形中k的取值更大，所以这些可以说明，当k的取值很大时，独立同分布可以近似等同于正态分布。

参考文献

[1]张志涌, 徐彦琴.MATLAB教程——基于6.x版本.北京:北京航空航天大学出版社, 2004.

[2]陈桂明等.MATLAB数理统计 (6.x) .北京:科学出版, 2002.

3.浅谈勾股定理的证明与推广应用 篇三

关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：

其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。

3勾股定理的推广应用研究

勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。

4结论

通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。

参考文献

4.奇特的勾股定理的证明 篇四

所以AC垂直于BD图中的每个三角形都是直角三角形 解:设AO为a,BO为b,AB为c

所以正方形的面积就是a*b/2*4=2a*b=2ab

正方形的面积也可以表示为c^2

所以2ab=c^2

ab+ab=c^2

因为此图是正方形所以ＡO=BO

所以a=b

所以把第一个ab中的b换成a．把第二个a换成b． 所以a*a+b*b=c^2

5.正弦定理与余弦定理的证明 篇五

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

6.推广的罗尔定理的证明及应用 篇六

若函数f满足如下条件: ( ⅰ) f在闭区间[a,b]上连续;( ⅱ) f在开区间 (a,b)内可导; ( ⅲ) f ( A) = f ( b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f' ( ξ) = 0.

2. 推广的罗尔定理

设(a,b)为有限区间或无限区间,f( x) 在(a,b)内可微,

则至少存在一点ξ∈(a,b),使f'( ξ) =0. 现在我们来证明推广的罗尔定理.

证明: ( 1) 设(a,b)为有限区间. 若A为有限值,

容易验证F( x) 在 [a,b]上满足罗尔定理的条件,故ξ∈(a,b),使得F' ( ξ) = f' ( ξ) = 0.

( 2) 若A = + ∞ ,(a,b)为有限区间,由f( x) 在(a,b)内的连续性知,当c > 0时,直线y = c与曲线y = f( x) 至少相交于两点x1,f(x )(1), x2,f(x )(2),即f(x )1= f (x )2= c. 且x1,x2∈(a,b). 不妨设x1< x2,对f( x) 在x1[,x ]2 (a,b)上应用罗尔定理,ξ∈x1(,x )2(a,b),使得f' ( ξ) = 0. 对A =- ∞的情形可类似证明.

( 3) 若A = + ∞ ,(a,b)为无限区间,( ⅰ) 若a = - ∞ ,b= + ∞ ,作变换x = tant. 令g( t) = f( tant) ,

则g( t) 在 -(,π2)满足( 1) 的全部条件.π2

f'( tanα') ·sec2α',sec2α' > 0,

于是取ξ = tanα'∈(- ∞ ,+ ∞),就有f'( ξ) = 0.( ⅱ) 若a为有限,b = + ∞ ,即(a,b) = (a,+ ∞).

则g ( t) 在 (a,m) 满足 ( 1 ) 的全部条 件. 故t0∈

( ⅲ) 若b为有限,a = - ∞ ,即(a,b) = (- ∞ ,b).

0,所以f' ( ξ) = 0.

对A = - ∞的情形可类似证明.

3. 例题

导. 证明: 存在ξ∈(- ∞ ,+ ∞),使得f'( ξ) = 0.

定理得ξ∈(- ∞ ,+ ∞),使f'( ξ) = 0.

例2设f( x) 在 [0,+ ∞)内可微,且满足不等式0≤

由推广的罗尔定理得ξ∈(0,+ ∞),

x

= 0.

1 + x2

由推广的罗尔定理得,存在一点ξ > 0,使得F' ( ξ) = 0.

7.张角定理在证明线段相等中的应用 篇七

本文现将张角定理及其在线段相等证明中的应用介绍如下，供参考.

一、张角定理

如图1，设直线AB上有一点C，在直线AB外有一点P，且视点P对于线段AC，CB的张角分别为α，β，若α+β<180°，则=+.

证：△PAB＝△PAC+△PCB，

∴PA·PB·sin（α+β）

＝PA·PC·sinα+PC·PB·sinβ两边同除以

PA·PB·PC，即得所证.

二、应用举例

例1在线段AC上任取一点B，分别以AB，BC为边，在AC的同侧，作等边△ABD，△BCE；连AE，交DB于M；连DC，交EB于N.

求证：BM＝BN.

证：如图2，以B为视点，分别对A，M，E及D，N，C用张角定理，得=+，=+，而BA＝BD，BE＝BC，∴BM＝BN.

例2 已知四边形MCND两组对边延长所得交点的连线AB与四边形的一条对角线CD平行，又MN的延长线交AB于F.

求证：AF=FB.

证：如图3，设∠MAC=α，∠CAB=β，以A为视点，分别对B，N，D；B，C，M及F，N，M用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+，（3）

在△ACD中，= . （4）

∴（1）+（2）-（3）-（4），得=，

∴AB=2AF，故AF=FB，.

例3 如图4，以⊙O的直径AB为一边作等边△ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，CN交AB于D，E.

求证：AD=DE=EB.

证：连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得

=+，

∴AD=.

设⊙O的半径为R，则

AD==R.

由图形的对称性知：BE=R.

∴DE=2R-R-R==AD=EB.

例4 已知M是⊙O的弦AB的中点，过M任作两弦CD，EF，连结CF，DE分别交AB于G，H. 求证：MH=MG（蝴蝶定理）.

证：如图5，设∠GMF=α，∠HMD=β，

以M为视点，对E，H，D及F，G，C分别用张角定理，得

=+， （1）

=+.（2）

∴（1）－（2），得

sin（α+β）（-），

=（MF-ME）-（MD-MC）. （3）

设P，Q分别是CD，EF的中点，则

MD-MC=2MP=2MOsinβ，

MF-ME=2MQ=2MOsinα，（4）

∵ME·MF=MC·MD，

∴将（4）代入（3），得

sin（α+β）（-）=0，

∵α+β≠180°，∴sin（α+β）≠0，

∴MH=MG.

例5 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，过AC，BD的交点O任作两条直线，分别交AD于E，BC于F，AB于G，CD于H. GF，EH分别交BD于I，J.

求证： OI=OJ.

证：如图6，易知AC⊥BD，设∠EOD=α，∠DOH=β. 以O为视点，分别对G，I，F；E，J，H；A，G，B；A，E，D；C，H，D和B，F，C用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+， （3）

=+， （4）

=+， （5）

=+， （6）

将（3）和（6）中OG与OF的表达式同时代入（1），得

=（OA·OBsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OB·OCsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（7）

将（4）和（5）中OE与OH的表达式同时代入（2），得

=（OC·ODsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OA·ODsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（8）

因为OB=OD，所以由（7）和（8）即得OI=OJ.

综上所述可知，应用张角定理证明线段相等时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式，再结合三角知识，通过变形化简，消去无用的参变数即可.

8.勾股定理 课本证明法 篇八

课本的证明法

abbaacaacabbcbbbcabaabccba

图一中

正方形的面积可以用

S=(a+b)(a+b)=(a+b)²= a²+2ab+b²

a²+b²+ 4*1/2ab 两个正方形面积与4个三角形面积的面积之和

图二中

将4个三角形排列成图二

正方形的面积一样是(a+b)²

面积是不变的 固定的 求个面积的和 S= 4*1/2ab + c²

看到这个式子与上面对比一下 “面积是不变的” S= 4*1/2ab + 【 c²】

S= 4*1/2ab +【 a²+b² 】

9.欧几里得证明勾股定理简化版 篇九

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在定理的证明中需要如下四个辅助定理：

    如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等SAS。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

其证明如下：

10.勾股定理的证明1 篇十

直线l与三角形的三边相交，有两种情形：（1）其中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图1；（2）三个交点均在边的延长线上，如图2.图1图2

梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时，尤为快捷.值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法.下面给出梅涅劳斯定理的十种精彩证明，证明中仅以图1作为示例.

证法1平行线法

如图3，过点C作CG∥DF交AB于点G，则BDDC=BFFG，CEEA=GFFA，故

AFFB·BDDC·CEEA=AFFB·BFFG·GFFA=1.

图3图4

证法2共边定理法

如图4，由共边定理知AFFB·BDDC·CEEA=AEDBED·BEDCED·CEDAED=1.

证法3共角定理法

如图1，由共角定理知

△AEF△BFD=AF·EFFB·DF，BFDCDE=BD·DFDC·DE，CDEAEF=DE·CEEA·EF，

三式相乘得1=AF·EFFB·DF·BD·DFDC·DE·DE·CEEA·EF=AFFB·BDDC·CEEA，得证.

注共边定理和共角定理源自于张景中院士的面积法[1]，下面是定理的具体内容.

共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图5，有4种情形），则有PABQAB=PMQM.

图5图6

共角定理如图6，若∠ABC和∠XYZ相等或互补，则有ABCXYZ=AB·BCXY·YZ.

证法4辅助平面法

如图7，过截线l作平面α，设顶点A、B、C到该平面的距离分别为dA、dB、dC，则有

AFFB=dAdB，BDDC=dBdC，CEEA=dCdA，

三式相乘即得证.

图7图8

该证明曾在网上被大量转载，被称为令人感动的证明.文[2]中也收录了该证明，并称“上面这种方法恐怕是最帅的一种了.它解决了其他证明方法缺乏对称性的问题，完美展示了几何命题中的对称之美”.其实，何必要在空间中作一个辅助平面呢，且看单墫先生在文[3]中给出的精彩证明.

证法5垂线法

如图8，分别自A、B、C向l作垂线，设垂线段的长度分别为p、q、r，则

AFFB=pq，BDDC=qr，CEEA=rp，

三式相乘即得证.

证法6正弦定理法

在△AEF、△BDF、△CDE中，由正弦定理得

AFFB·BDDC·CEEA=AFEA·BDFB·CEDC=sin∠AEFsin∠AFE·sin∠BFDsin∠FDB·sin∠EDCsin∠CED，

因∠AEF=∠CED，∠BFD+∠AFE=180°，∠EDC=∠FDB，故上式右端乘积为1，得证.

证法7向量法

设AF=λFB，BD=μCD，CE=γEA，即证λμγ=1.

DE=DC+CE=1μ-1CB+γγ+1CA=1μ-1AB-（1μ-1+γγ+1）AC；

EF=AF-AE=λλ+1AB-1γ+1AC.

由D、E、F三点共线，知DE与EF共线，故1μ-1·1γ+1=λλ+1（1μ-1+γγ+1），整理即λμγ=1.

证法8坐标法

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且AF=λFB，BD=μDC，CE=γEA，则

F（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ），D（x2+μx31+μ，y2+μy31+μ），E（x3+γx11+γ，y3+γy11+γ）.

设直线l的方程为ax+by+c=0，代入点F的坐标，即

ax1+λx21+λ+by1+λy21+λ+c=0，

解得λ=-ax1+by1+cax2+by2+c，同理有

μ=-ax2+by2+cax3+by3+c，γ=-ax3+by3+cax1+by1+c，于是λμγ=-1，即AFFB·BDDC·CEEA=1.

这样的坐标法并没有建立坐标系，而是直接设出点的坐标，运算过程对称、简洁！

证法9质点法[4]

设（1+r）F=A+rB，（1+s）E=A+sC，两式相减消去点A得

（1+r）F-（1+s）E=rB-sC，

此式表明FE与BC交于一点，即（r-s）D=rB-sC，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.

质点法直接让几何学里最基本的元素——点参与运算，稍微修改就可得向量证法：在△ABC所在平面内任取一点O，设AF=rFB，AE=sEC，则有

（1+r）OF=OA+rOB，（1+s）OE=OA+sOC，

两式相减得（1+r）OF-（1+s）OE=rOB-sOC，又FE与BC交于点D，故有

rOB-sOC=（r-s）OD，

则BD=srCD，于是AFFB·BDDC·CEEA=r·sr·1s=1.

以上过程中点O是任意的，并不起实质性作用，完全可以省略不写，用一个字母表示向量，这就是质点几何了.质点法的最新研究成果是建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM（Mass-Point-Method），并编写了Maple程序，验算了几百个非平凡命题，不仅效率高，程序自动生成的证明也有可读性，这一工作是广州大学邹宇博士在张景中院士的指导下完成的.最后给出梅涅劳斯定理的机器证明，算作第十种证法.

证法10机器证明Points（A，B，C）；Mratio（D，B，C，r1）；Mratio（E，C，A，r2）；Inter（F，D，E，A，B）；ratioproduct3（A，F，F，B，B，D，D，C，C，E，E，A）A，B，C（1+r1）D=B+r1 C（1+r2）E=C+r2 AF=（A B）∩（D E）D-r1（1+r2）E[]1+r1=-r1r2 A1+r1+B1+r1F=r1r2 A-1+r1 r2-B[]-1+r1 r2A-F=-F-B[]r1 r2B-D=r1（D-C）C-E=r2（E-A）[AF][BD][CE][][FB][DC][EA]=-1

参考文献

[1]彭翕成，张景中.仁者无敌面积法[M].上海：上海教育出版社，20116.

[2]顾森.思考的乐趣：Matrix67数学笔记[M].北京：人民邮电出版社，20127.

[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海：华东师范大学出版社，20113.

[4]彭翕成.向量、复数与质点[M].合肥：中国科学技术大学出版社，20145.

11.费尔马大定理的巧妙证明 篇十一

关键词：费尔马大定理,多项式定理,爱森斯坦判别法

一、概念

费尔马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时, 曾在第11卷第8 命题旁写道: “将一个立方数分成两个立方数之和, 或一个四次幂分成两个四次幂之和, 或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和, 这是不可能的. 关于此, 我确信已发现了一种美妙的证法, 可惜这里空白的地方太小, 写不下. ”简约地说, X, Y, Z为整数, 当n大于2, Xn+Yn= Zn时, X, Y, Z没有非零整数解. 具体是什么美妙方法, 几百年来, 无人给出答案.

二、多项式定理

定理1 设f ( x) = anxn+ an - 1xn - 1+ … + a1x + a0是一个整系数多项式, 而sr是f ( x) 的一个有理根, 其中r, s互素, 那么必有s| an, r| a0. 特别地, 如果f ( x) 的首项系数an=1, 那么f ( x) 的有理根都是整根, 而且是a0的因子, 即: x| a0.

定理2 ( 艾森斯坦判别法) 设f ( x) = anxn+ an - 1xn - 1+… + a1x + a0是一个整系数多项式, 其中n > 1. 如果存在一个素数p, 使得pan, p| ai ( i = 0, 1, 2, …, n - 1) , 但p2a0, 在Z上不可约 ( 从而在Q上也不可约) .

定理3设是一个整系数多项式, 若有素数p和正整数m≥2使得:

( 1) ;

( 2) pm - 1| an, 但;

( 3) ( i) 当m≤n时, pm - k| an - k, k = 1, 2, …, m - 1. 且p | a1, a2, …, an - m; ( ii) 当sn≥m > ( s - 1) n + 1, s为正整数时, pm - k| an - k, k = 1, 2, …, n - 1 ( 注: 当s = 1 时, 此款与 ( i) 相同) , 那么, f ( x) 无有理根.

三、证明

在Xn+ Yn= Zn求解中, 人们已经研究, 将Xn+ Yn= Zn分解成:

P为素数, 只要证明 ( 1 ) 式、 ( 2 ) 式没有非零整数解即可.

第一步: 根据题意要求, X, Y, Z两两互质. ( 以下未注明的变量均为正整数) , 将 ( 2) 式转换成 ( b + x) p- bp= cp, ( b+ x) , b, c两两互质, 设在[1, b - 1]范围内找一个c, 满足, 故有b > c, 即:

( 1) x = c, 左边大于右边, 显然x < c.

( 2) x = c1i| c, i = 1, 2, …, p - 1, p, 由于 ( c, b) = 1, 所以无整数解.

( 3) 当x = 1, 怎么样?

第二步: 根据上述推理, 当x = 1 时,

( b + 1) p- bp= cp, 即在1 于b之间, 找到一个数c满足 ( b + 1) p- bp= cp, 这一点在勾股数中也是如此, 只是表现形式不同.

依据等式奇偶性逻辑要求. 不妨将上式变换成:

(x+1) p-xp= (x-k) p, 或 (x-k) p= (x+1) 0-xp, 设x为偶数, k为奇数, k=1, 3, …, x-1.

K为奇数, 不妨分别验算:

当k = 4k1- 1 时, , 22* k1| ai ( i = 1, 2, …, p) , 如果 ( 22, k1) = 1, 则:; 如果k1= 2r* m ( m为奇数) , 则. 当然也可以k1因子去判别.

当k = 4k1+ 1 时, , 2 | ai ( i = 1, 2, …, p) , 22| ( kp+1) ,

所以根据多项式定理, 当n = p时, 方程没有非零整数解.

同理可证: 当n = 4 时, 方程没有非零整数解.

参考文献

[1]张文忠.数园撷英[M].北京:科技普及出版社.1983.

[2]十万个为什么 (数学分册) .少年儿童出版社, 1991.

12.勾股定理的证明1 篇十二

（要求会文字叙述，会改写成“如果...那么...”并用数学语言写出已知,求证，并给出证明过程，自己画图形）。线，角公理：

①.两直线平行，同位角相等②.同位角相等，两直线平行

1.两直线平行，内错角相等

2.两直线平行，同旁内角互补

3.内错角相等，两直线平行

4.同旁内角互补，两直线平行

5.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行

6.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

7.对顶角相等

8.三角形内角和为180°

9.三角形外角和为360°

10.多边形内角和为（n-2）*180°

11.多边形外角和为360°

三角形全等 公理：

③SSS④SAS⑤ASA⑥全等三角形对应边相等，对应角相等。

********* 正确，无须再推导证明;除上述6个公理之外，还有等量代换，等式的性质，不等式的性质 都可看做公理。推论: AAS

定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高 互相重合（三线合一）

定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

附：1.等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°

2.有个角为60°的等腰三角形是等边三角形

3.三个角都相等的三角形是等边三角形

4.等腰三角形两底角的平分线相等

5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

7.如果一个三角形一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

8.直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理-面积法）

9.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则它是直角三角形（作图，全等）

10.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

11.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

12.到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

13.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

14.角平分线上的点到角的两边的距离相等

15.在一个角的内部且到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

16.三角形的三条角平分线相交于一点，且这个点到三条边的距离相等

平行四边形：两组对边平行

1.平行四边形的对边相等

2.平行四边形的对角相等

3.平行四边形的对角线互相平分

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

4.夹杂两平行线间的两平行线段相等

5.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

矩形：有一个角是直角的平行四边形

1.矩形的四个角都是直角

2.矩形的对角线相等

A.有三个角是直角的四边形是矩形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

棱形：一组邻边相等的平行四边形

1.棱形的四条边都相等

2.棱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角

3.棱形的面积为对角线乘积的一半

A.四条边都相等的四边形是棱形

B.对角线互相垂直的平行四边形是棱形

正方形：一组邻边相等，且有一个角为直角的平行四边形

1.正方形的四个角都是直角，且四条边都相等

2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

A.有一个角是直角的棱形是正方形

B.对角线相等的棱形是正方形

C.对角线相等的矩形是正方形

梯形：

1.等腰梯形在同一底上的两个角相等

2.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

3.等腰梯形的两条对角线相等

反正法:1.若a+b+c+d+e=5,则abcde中至少有一个至少有个≥1

2.三角形中至少有一个角大于或等于60°

圆：

1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（垂径定理）

2.平分弦（非直径）的直径，垂直这条弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理逆定理）

3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

4.直径所对的圆周角是直角

5.90°圆周角所对的弦是直径

6.圆的内径四边形对角互补

13.弦切角定理的证明 篇十三

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

那么

.

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么

2

连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3

14.谈线性代数中的定理证明 篇十四

线性代数是一门重要的基础理论课程, 内容比较抽象, 它不像概率论课程那样有很多实际具体的例子, 线性代数现行教材中的例题、习题除了理论应用之外, 很少能看到它的实际应用. 由于理论定理较多, 学生学习时深感枯燥, 尤其是n维向量和向量组部分, 抽象的定义和定理往往让很多本来就害怕证明的学生望而却步, 笔者在教学的过程中深深的感受到了这一点, 于是一直在思考如何让学生对这一部分产生兴趣, 如何让学生更好的掌握这一部分内容.

笔者发现, 上课时教师如果只按照课本上的证明思路教授书上的定理和结论, 学生很容易处于一种被动的接收学习状态, 不会积极主动的去思考, 对定理的理解只能停留在表面, 不会灵活的运用. 教师上课时如果想让学生更好更活的掌握定理, 就必须引导学生自主的思考, 激起他们的兴趣, 学生如果在教师的启发下自己解决了问题, 他们往往会感觉很有成就感, 兴趣自然而然就会被提起来了, 抽象枯燥的知识马上就变得生动起来, 教学效果当然也大大改善.

下面谈谈笔者在线性代数教学中的一些体会.

二、换种思路, 脱离课本的束缚

在线性代数课程的n维向量和向量组部分, 有这样一类题型: 如何判定一个向量组 α1, α2, …αs是线性相关还是线性无关?

研究这类问题一般有两个方法:

方法一: (从定义出发)

若存在不全为零的常数k1, k2, …ks, 使得k1α1+ k2α2+… + ksαs= 0 成立, 则向量组 α1, α2, …, αs线性相关; 否则线性无关.

方法二: (利用线性相关性的判定定理)

记A=α1α2 (…α) s,

课本上一般相应的给出了两种例题, 一种是有具体数据的向量组, 另一种是抽象的向量组, 例如:

例1 判定下列向量组是否线性相关:

例2已知向量组 α1, α2, α3线性无关, β1= α1+ α2, β2= α2+ α3, β3= α3+ α1, 试证 β1, β2, β3线性无关.

对于例1 这种具有具体数据的向量组, 课本上分别用方法一和方法二进行了求解, 但对于例2 这种抽象的向量组, 课本上往往只采用了方法一, 教师在讲授例2 的时候就可以启发学生们思考: 我们能否用方法二来求解例2 呢?这样可以促使学生主动去思考, 而不是一味的接受.

分析 ( 用方法二求解例2)

记A = (α1α2α3) , B = (β1β2β3) ,

即矩阵B经过一系列初等列变换变成矩阵A, 所以r ( B) = r ( A) ,

所以r ( B) = 3, 所以 β1, β2, β3线性无关, 得证.

分析到这里, 学生的思维开始活跃起来, 教师可以进一步提问: 如果将例2 中的已知条件改为 α1, α2, α3线性相关, 那么 β1, β2, β3还是线性无关吗?

分析所以r ( B) < 3, 所以 β1, β2, β3线性相关.

很多同学在刚开始学习线性相关和线性无关这两个概念的时候, 往往记不住方法二里面的线性相关性的判定定理, 更谈不上灵活运用, 教师如果在讲解例题的时候经常利用这个判定定理, 一方面可以加深学生对定理的记忆, 另一方面可以培养学生灵活运用定理解题的能力.

三、简洁的证明有助于定理的记忆

线性代数课本上有如下定理:

定理:若向量β可由向量组α1, α2, …, αm线性表出,

对于这个定理, 教科书上通常是从定义出发分别证明必要性和充分性, 证明过程不难看懂, 但是占用了很大篇幅, 不利于学生从整体上把握, 学生们看完证明过程后很容易前后联系不上, 不利于学生记住定理内容. 于是笔者在讲授的时候又用另一种方式给出了证明, 过程如下:

证明: 记A = (α1α2… αm) ,

已知条件: 若向量 β 可由向量组 α1, α2, …, αm线性表出r ( A) = r ( B)

则表示法唯一r ( A) = r ( B) = mα1, α2, …, αm线性无关;

表示法不唯一r ( A) = r ( B) < mα1, α2, …, αm线性相关. 证毕.

上面的证明利用由向量组构造的矩阵A, B的秩的大小关系及相关判定定理一气呵成, 一方面便于学生记忆定理内容, 另一方面可以开阔思路, 培养了学生灵活运用相关定理解题的能力. 又如:

例3 设向量组 α1, α2, …, αm线性无关, 而向量组 α1, α2, …, αm, β 线性相关,

试证明向量 β 必可由向量组 α1, α2, …, αm线性表出, 且表示式是唯一的.

证明记A = (α1α2… αm) ,

①α1, α2, …αm线性无关r ( A) = m ②α1, α2, …, αm, β 线性相关r ( B) < m + 1.

所以r ( B) = m = r ( A) , 即方程组x1α1+ x2α2+ … +xmαm= β 有唯一解,

所以β可由α1, α2, …, αm唯一线性表出.证毕.

最后, 我们看看下面这个结论:

结论1: m个n维向量组成的向量组, 当维数n小于向量个数m时一定线性相关.

课本上介绍这个结论时, 是从定义出发给出的证明, 学生初次学习时, 一般都能根据证明过程理解该结论, 但是过后很快就分不清m和n到底哪个比较大, 其实我们可以把这个结论改写如下:

结论2: 任意n + 1 个n维向量一定线性相关.

结论2 把结论1 中的m具体化为n + 1, 学生一看就知道n + 1 > n, 即向量个数大于向量维数, 由于部分相关, 则整体相关, 所以n + 2 个或者更多个n维向量当然也是线性相关的, 这样记忆起来就容易多了. 另外, 教师也可以让学生用判定定理证明结论2, 过程如下:

证明 ( 结论2) : 设有n + 1 个n维向量 α1, α2, …, αn + 1∈Rn,

记A = (α1α2… αn+ 1) , 则r ( A) ≤min{ n, n + 1} =n < n + 1,

所以 α1, α2, …, αn + 1线性相关. 证毕.

四、比较着学习, 定理才能理解透

另外, 在这一部分的教学中, 有两个结论学生容易混淆, 教师在讲解的时候要引起注意.

结论3: ( 部分相关, 则整体相关)

向量组中, 如果存在部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关.

即向量 αj添上m个分量后得到向量 βj, 称 β1, β2, …βs为 α1, α2, …, αs的加长向量组.

若向量组 α1, α2, …, αs线性无关, 则向量组 β1, β2, …, βs也线性无关.

课本上从定义出发证明了结论4, 教师可以鼓励学生思考能否用判定定理证明, 答案是肯定的, 过程如下:

α1, α2, …, αs线性无关r (A) =s.

∵r (A) ≤min{n, s},

∴ s≤n < n + m,

∴ r ( B) ≤min{ n + m, s} = s.

又∵A的任一个s阶非零子式也是B的s阶非零子式,

∴r (B) =s, ∴β1, β2, …, βs线性无关.证毕.

接下来教师可以提问: 若 α1, α2, …, αs线性相关, 则β1, β2, …, βs呢?

有些学生受到结论3 ( 部分相关, 则整体相关) 的影响, 认为 α1, α2, …, αs是 β1, β2, …, βs的一部分, 所以 β1, β2, …, βs也线性相关, 这就是混淆了结论3 和结论4, 教师一定要解释清楚: 结论3 中的“部分”指的是向量组中的一部分向量, 向量维数是不变的, 而结论4 中的向量组 α1, α2, …, αs与 β1, β2, …, βs是不同维数的向量组, 千万不可混淆. 正确的答案应该是: 若 α1, α2, …, αs线性相关, 则 β1, β2, …, βs可能线性相关, 也可能线性无关.

五、结束语

15.勾股定理的证明1 篇十五

[关键词]微课；教学设计；正弦定理

正弦定理是高中数学一个重要的定理。对定理的由来和把握应是我们教学的一个重点。前一段时间看了一个教师的微课教学设计。在此提出来与大家共享。

教学背景

本节课是苏教版必修4第一章“解三角形”的第一节课的内容。“正弦定理”是初中“解直角三角形”内容的直接延伸。进一步揭示了任意三角形的边与角之间的客观规律。是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用。也是解决实际生活中三角形问题的重要工具。具有广泛的应用价值

对于定理的学习。在以往的教学中发现大部分学生只关注定理的内容本身和其解决相关问题的应用。而根本没注意定理是如何被发现及证明的。本节课分为两课时。本次微课是正弦定理的前奏。其目的和主要任务是发现和引入并证明正弦定理。而正弦定理的应用放到第二课时。这样学生才能真正地把握正弦定理。对帮助他们发现几何现象。并且自主探究、处理问题有一定的积极意义。

学情分析

学生学习本节课之前。已经掌握了如何解直角三角形，并学习了平面几何、三角函数、三角恒等变换、向量等知识，也具备了一定的观察分析、解决问题的能力。但学生对前后知识间的联系、理解以及综合应用所学知识上还有所欠缺，思维也不够缜密。尤其向量、三角函数知识学过的时间较长，学生不容易把三角函数和向量自然地连接在一起。所以设置了本节微课的教学目标：

（1）知识与技能：通过对三角形的边长和角度关系的探索。发现并证明正弦定理。

（2）过程与方法：经历完整的发现和证明正弦定理的过程。让学生体会分类讨论、化归、类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法。提高他们解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：通过利用向量证明正弦定理。了解向量的工具性。体会知识的内在联系，体会事物之间的相互联系与辩证统一。

（4）教学重点：正弦定理的形成和获得过程。

（5）教学难点：正弦定理的证明方法。

教学方法

采用探究式教学模式。在教师的启发引导下。以“正弦定理的发现过程”为基本探究内容。让学生的思维由问题开始，到得出猜想，探究猜想，推导定理，并逐步得到深化。借助多媒体和几何画板。激发学生学习的兴趣。设计符合学生知识水平和学习心理的教学。鼓励学生大胆猜想。积极探索。

学法分析

指导学生掌握“观察-猜想-证明-应用”这一思维方法。将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。增强学生由特殊到一般的数学思维能力。形成实事求是的科学态度。

教学过程

1。展示图片。引出课题

展示生活中的三角形图片。回忆初中所学三角形中经常用到的结论。如“大边对大角。小边对小角”。是定性地研究三角形中的边角关系。我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系呢？从而引出课题。

[设计意图]从联系的观点，从新的角度看过去的问题。使学生对于过去的知识有了新的认识。同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上。形成良好的知识结构。

2。观察特例。发现猜想

（1）探讨直角三角形中角与边的关系。得出直角三角形中各个边与它所对的角之间存在着某一确定的数量关系。提出猜想：对于任意一个三角形，关系式成立吗？

[设计意图]以直角三角形这个特例作为切入点。符合从特殊到一般思维的过程。

（2）对于猜想用几何画板进行验证。任意画出一个三角形。度量出三边的长度和三个角的度数。计算显示出一组的值，然后不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形的形状。观察各组比值的变化。

[设计意图]通过几何画板的演示。学生能直观且主动地投入到数学发现的过程中来。另外。注意引导学生数学实验只能作为对数学猜想的检验。不能作为猜想的证明。

3。证明猜想。得出定理

用平面几何“作高法”对猜想进行证明，分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三大类分别证明。得出正弦定理的文字叙述和符号表达。

[设计意图]通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形。把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题。引导学生体会利用已有知识解决新的知识的数学思想。让学生感受“观察-猜想-证明”的科学研究问题的思路。

4。探求其他证明方法

（1）向量法：向量融长度和角度于一体。借向量为载体证明正弦定理

（2）外接圆法：利用外接圆法不仅可以证明正弦定理。而且可以得出各个比值等于三角形外接圆的直径2R。

[设计意图]了解向量的工具性，体会知识间的内在联系。

5。课堂小结

（1）正弦定理的发现过程：由特殊到一般。观察-猜想-检验-证明。

（2）正弦定理的证明过程：①作高法：②向量法：③外接圆法。

[设计意图]明确本节课所学的知识和数学思想方法。

6。课后思考题

（1）你还能用其他方法证明正弦定理吗？

[设计意图]除了本节课介绍的三种证法。启发学生还可以考虑用其他方法。比如面积法等证明正弦定理。

（2）正弦定理可以解决哪类实际问题呢？请举例说明。

[设计意图]此问题既为正弦定理的应用。也为下节课做铺垫。

7。教学总结

本节课的设计使学生经历了“观察-猜想-检验-证明-应用”的思维历程。让学生学会研究数学问题的基本思想方法。从初中学习过的三角形的边角定性关系出发。对三角形的边角关系进行定量探索。从特殊的直角三角形人手。结合学生的已有知识经验。进行发散式猜想与探究。提出猜想。并通过几何画板进行检验其次。在证明猜想的教学环节。通过建立新旧知识的有机联系。力求引导学生寻求合理的证明思路与策略。在证明过程中，让学生体会分类讨论、数形结合等数学思想方法。并提高运用所学知识解决实际问题的能力。

教学特色

运用PPT的动态效果和几何画板的直观显示，激发学生学习的兴趣：设计符合学生知识水平和学习心理的教学。使学生掌握“观察-猜想-检验-证明-应用”的研究数学问题的基本思想方法：通过让学生经历正弦定理的发现过程。让学生体会类比、猜想以及由特殊到一般等数学思想方法：运用多种方法证明正弦定理。让学生掌握知识之间的内在联系，体会分类讨论、化归、数形结合等思想。提高解决问题的能力。

从上面的微课设计可以看出。一节好的微课应体现在：①微课的选题。这位教师选择的这个课题能够紧扣课本和教材，与教学实际相关，值得肯定。②微课的理解。筆者认为微课应该是指利用较短时间。讲解一个非常单一化的知识点、考点或概念或是处理某一具体问题的一种微型教学方式。它可以用于课堂的新知识教学的前奏和后延。是一种不受时间、空间限制的一种课堂组织形式。本节课就是本着正弦定理的前奏展开的。③微课的目的在于培养学生自主学习、自主探索的优良学习习惯，实现学生个性化学习。从而唤起学生内心的自信和自主学习的需求。从设计方案和事实的流程看。本节课的目的也达到了。正如德国教育家斯普朗格所说：“教育的最终目的不是传授已有的东西。而是要把人的创造力量诱导出来，将生命感、价值感唤醒。唤醒。是一种教育手段。父母和教师不要总是叮咛、检查、监督、审查他们。孩子们一旦得到更多的信任和期待，内在动力就会被激发出来，会更能干、聪明、有悟性。”比如有些数学概念的教学。完全可以设置成一个微课。数学概念是学生学习数学、接受新知识的基础。准确而又彻底地理解和掌握数学课堂学习中的概念是学生学好数学的必备条件。如何能让学生在彻底理解的基础上把概念记牢。重要的是要把概念翻译得通俗易懂，能够举一反三、融会贯通。从而理解概念的内涵和外延。这一点可以利用微课做到。把概念用通俗易懂的语言录制好视频。让学生可以随时随地地回顾概念。对学生掌握数学概念很有帮助。再比如。某些重要的定理。课本上也许是简单地处理一下。但是学生对这个定理的掌握可能就不清晰了。这种不清晰会影响到其他内容的学习。如果我们能通过微课的形式加以处理。效果就会不一样了。

综上所述。我们平常的教学，应针对学生掌握知识过程中的薄弱的地方。开展一些微课的尝试。使得微课教学和课堂教学相互补充。真正有益于学生的学习。

16.勾股定理证明方法 篇十六

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

17.勾股定理的证明1 篇十七

教学目标:1.掌握“三角形的内角和定理”的证明及其简单的应用;2.掌握三角形的内角和定理, 并初步学会利用辅助线解决几何问题;3.感悟一题多解的数学思维, 并给予学生充分的肯定和表扬.

教学重点:理解三角形的内角和定理的证明.

教学难点:三角形的内角和定理的证明.

教学流程:

1. 课题导入

师生沟通, 猜谜语引入课题.

师:形状似座山, 稳定性能坚, 三竿首尾连, 学问不简单 (打一几何图形) .

生 (思考后回答) :三角形.

师:三角形的内角和是多少度?

生:180°.

师:有什么办法可以验证呢?这个结论对任意的三角形都成立吗?

师 (操作课件, 板书) :三角形内角和定理的证明.

2. 证明定理

活动一:剪剪拼拼

生:如图1, 用剪刀任意剪下一个三角形, 再把三角形中的任意两个角剪下拼在第三角处, 观察后得出结论;换一个形状不同的三角形再试一试, 观察后再和同学交流.

师:参与学生活动, 并适时进行操作指导.

活动二:小组讨论

师: (操作课件, 提出问题) :1.从刚才拼角的过程同学们能想出证明的办法吗?2.根据前面给出的公理和定理, 你能用自己的语言简要地说一说这一结论的证明思路吗?3.你能用比较规范的几何语言写出这一证明过程吗?

师:组织学生小组交流讨论, 并交代要求 (互相交流然后推举一个代表书写, 一个代表解释) , 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论交流, 并推举一个代表在纸上书写, 并作解释.

师 (操作课件) :如图2, 为了证明的需要, 在原来图形上添画的线叫做辅助线;在平面几何里, 辅助线通常画成虚线.在写证明过程时重要的推理步骤要注明所依据的定理或公理.

师 (板书) :三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

生:认真听讲, 记笔记.

活动三:总结归纳

师 (操作课件) :议一议:如图3, 在证明三角形的内角和定理时, 小明的想法是把三个内角“拼”到A点, 他过A点作直线EF∥BC, 他的想法是否可行?你还有其他的证明方法吗?

师:组织讨论交流, 参与思考, 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论, 并总结归纳书写结论.

活动四:课堂练习

(1) 在△ABC中, ∠A=80°, ∠B=∠C, 求∠C的度数?

(2) 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5, 求这三个内角的度数?

3. 课堂小结

组织学生进行课堂小结:本节学习了三角形内角和定理的证明, 其证明的本质就是在三角形某部位组成一个平角, 进而证明三角形的三个内角恰好是这个平角的组成部分即可.证明的方法是多种多样的, 在证明的过程中需要添加辅助线.

在证明开始前应写明辅助线的作法。在平面几何中辅助线应画成虚线, 重要的推理步骤要注明所依据的公理和定理.