线面平行的判定习题

线面平行的判定习题（共8篇）

1.线面平行的判定习题 篇一

2.2.1 直线与平面平行的判定

教学目标

1.知识与技能

(1)通过直观感知.操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用

(2)进一步培养学生观察.发现问题的能力和空间想像能力

2.过程与方法

(1)启发式。以实物（门、书等）为媒体，启发.诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

(2)指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识.发现问题.教师予以指导，帮助学生合情推理.澄清概念.加深认识.正确运用。

3.情感态度与价值观

(1)让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

(2)在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。

教学重点与难点

1.教学重点：通过直观感知.操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

2.教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

教学过程

一、复习引入

问题：回顾直线与平面的位置关系。

设计意图：通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩固旧知识，让学生在体验学习数学的成就感中来学习新知识，营造轻松愉快的学习氛围。

二、感知定理

思考1：根据定义，怎样判定直线与平面平行？图中直线l 和平面α平行吗？

思考2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？

思考3：有一块木料如图，P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？

由以上实例可以猜想：

猜想：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α

a与平面α平行？

设计意图：通过三个情景问题和猜想的设计，使学生通过观察、操作、交流、探索、归

纳，经历知识的形成和发展，由此并猜想出线面平行的判定定理。培养学生自主探索问题的能力。

三、定理探究

定理探究：由猜想探究定理，并引出定理

定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号语言： a,b,a//ba//

解读定理：①定理的三个条件缺一不可；“一线面外、一线面内、两线平行”

②判定定理揭示了证明一条直线与平面平行时往往把它转化成证直线与直

线平行.直线与平面平行关系

空间问题平面问题直线间平行关系

③定理简记为：线(面外)线(面内)平行

定理证明：（略）线面平行.设计意图：通过解读定理，加强对定理的认识和理解以及应用定理的能力。

四、定理应用

例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.

2.线面平行的判定习题 篇二

关键词：线面平行,证明方法,应用

题目:如图1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.

分析:线面平行的证明用几何法和向量法都可以去证,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要的证法.

证法1:(用线面平行的判定定理来证)连结B1C,根据正方体的性质知,B1C∥A1D,因为M、N分别是C1C、B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.又因为MN平面A1BD,A1D平面A1BD.所以MN∥平面A1BD.

证法2:(用面面平行的性质定理来证)取C1D1的中点G,连结NG、MG,则根据正方体的性质得,MN∥B1C,B1C∥A1D.所以MN∥A1D.同理可得,MG∥A1B.所以平面A1DB∥平面NMG.又因为MN平面NMG.所以MN∥平面A1BD.

3.“三法”证明线面平行 篇三

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

4.《平行四边形的判定》习题 篇四

一．选择题：

1．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）

A．AB∥CD，AD=BC

B．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BC

D．AB=AD，CB=CD

2．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）

A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

3．平行四边形的一边长为6cm，周长为28cm，则这条边的邻边长是（）

A．22cm

B．16cm

C．11cm

D．8cm

二.填空题:

4．在□ABCD中，已知AB+BC=20，且AD=8，则BC=，CD=

．

5．用20cm长的铁丝围成一个平行四边形，使长边比短边长2cm，则它的长边长为，短边长为

．

6．□ABCD中，∠A的2倍与∠B的补角互为余角，那么∠A=

．

7．在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则四边形EBFD是

．

8．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形

三．解答题:

9．如图，□ABCD中，AC是对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？为什么？

6.2

6.2平行四边形的判定(2)

一．选择题：

1.下列结论正确的是（）

A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形

B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是平行四边形

2.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A．AB=CD，AD=BC

B．AB∥CD，AB=CD

C．AB=CD，AD∥BC

D．AB∥CD，AD∥BC

3.如图，AC、BD是□ABCD的对角线，AC和BD相交于点O，AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长是（）

A．7.5

B．12

C．8.5

D．9

4.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）

A．两条对角线互相垂直

B．两条对角线互相垂直且相等

C．两条对角线相等且交角为60°

D．两条对角线互相平分

5.下列说法属于平行四边形判定方法的有（）

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②平行四边形的对角线互相平分

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④平行四边形的每组对边平行且相等

⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

二．填空题：

6.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OD上，且OE=OF，又因为OC=，所以四边形AECF是，理由是　　　　．

7.若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________

8.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加_____条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．(填一个符合要求的条件即可)

三．解答题：

9.如图，▱ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AD、BC于E、F两点，求证：AE=CF．

10.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．

5.5.2.2平行线的判定练习题 篇五

(检测时间50分钟满分100分)

班级_________________姓名____________得分________

一、选择题:(每小题3分,共15分)

1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

A

D

ADA

E

EC

(1)(2)(3)2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()

A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是()

A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列说法错误的是()

A.同位角不一定相等B.内错角都相等

C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行

5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交

二、填空题:(每小题3分,共9分)

1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.DC

(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.三、训练平台:(每小题15分,共30分)

1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.A

2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥

CD.E

AK

BCH

D

四、提高训练:(共20分)

如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?

de

a

bc

五、探索发现:(共22分)

如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.A24B

C

5D

六、中考题与竞赛题:(共4分)

(2000.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下c

列四个条件:•①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.说明a∥b的条件序号为()

1其中能

a

A.①②B.①③C.①④D.③④

6.线面垂直的判定定理 教案 篇六

数学科学学院 刘桂钦 2007220113

5一、教学目标

（一）知识与技能目标

理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。

（二）过程与方法目标

通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。

（三）情感与态度目标

通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化”的数学思想。

二、教学重、难点

教学重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。

教学难点：直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。

三、教学过程

（一）构建定义

1、直观感知

通过观察图片，如地面上树立的旗杆、水面上大桥的桥柱等，使学生直观感知直线和平面垂直的位置关系，并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考

首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直，然后带着问题观察在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC所在直线的位置关系，这可以通过多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，并引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。

3、抽象概括

问题：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 这可以让学生讨论后口头回答，老师再根据学生回答构建出线面垂直的定义与画法。（板书）

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一l 的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面P 的平行四边形的一边垂直，如右图所示。

4、加深理解

在给出了线面垂直的定义和画法之后，可以继续问学生：

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否就与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线是否就垂直于这个平面内的任一直线？

这样通过问题的辨析，加深学生对概念的理解，以掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。

（二）探索发现

1、观察猜想

思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

然后让学生观察跨栏、简易木架等实物的图片，并引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、操作确认

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕

AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥

CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ C 通过这个实验，可以引导学生独立发现直线与平面D垂直的条件，并培养学生的动手操作能力和几何直

观能力。

3、合情推理

在上面的试验后，可以引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：m,n,mnPl lm,ln

（三）例题分析

例

1、求证：与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直。

分析：这道题主要是让学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

例

2、如右图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。分析：这道题主要是让学生进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。首先引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可

用判定定理证，再提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。

（四）课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？

（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

P

（五）巩固练习

1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M内，P为M外一点，PA=PC．

求证：AC⊥平面PBD．

（六）布置作业

1．课本：课后练习1、2题．

2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1．

7.线面平行证法探讨 篇七

惠来一中方文湃

今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下： 题目：如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。

求证：DM∥面PBC

这是一道证明线面平行的经典题目，大家知道，线线平行、线面平行、B面面平行在一定条件下，是可以相

互转化的。其关系如下图：

线∥面面∥面

一、转化为线线平行

证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而 “DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PBC的交线l显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。

接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：

[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。

惠来一中数学科组方文湃

1过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四边形 ∴DM∥CN，N

B

∵CNÌ面PBC，DMË面PBC，∴DM∥面PBC

[法二] 运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC； 若PB¹MA，设PM∩BA=E，ED∩BC=F（如图所示）。∵MA∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF

B∴DM∥FP，∵FPÌ面PBC，DMË面PBC

∴DM∥面PBC

小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。

二、转化为面面平行

证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(线面平行)。所以 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是相互

惠来一中数学科组方文湃

密切、相互转化的关系。

[法三]：∵MA∥PB，AD∥BC PBÌ面PBC，MAË面PBC，BCÌ面PBC，ADË面PBC ∴MA∥面PBC，AD∥面PBC ∵MA∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMÌ面MAD∴DM∥面PBC

[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）

B

三、向量工具

自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。



[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；证明AB

⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC

[法六] ∵MA∥PB，∴存在lÎR，使AM=lPB，

∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP

CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、

练习题：如图，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别

1在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE

3惠来一中数学科组方文湃

B

C

求证：MN//平面CDE

具体解法，仿照上述。

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种方法的由来，以及其体现的数学思想。

8.线面平行证明 篇八

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面

内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，Ｅ为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

练习：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

D

例2：如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E为A1B1上任意一点，求证：AE//平面DC

1练习：

如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：

A1E//平面B1CF

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG

练习：如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：

AC1//平面AB1D

B

C

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

1.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.P

E

C

A

B

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

6.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.A

7．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，bB．过A至少有一个平面平行于a，b

C．过A有无数个平面平行于a，bD．过A且平行a，b的平面可能不存在8．设平面∥β，A，C∈，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.9.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()

A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条

10.如图所示：设P

上的点，AMDN且MBNP

11.求证：MN//平面PBC如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的长．