初中几何分类讨论

初中几何分类讨论（精选15篇）

1.初中几何分类讨论 篇一

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编---几何填空题

1.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BEBF的值为____4_____.（2007）

解延长CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N，则

易知AMDN.因为BCCD10，由割线定理，易证BFDG，所以BEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4.F M N D

C

2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD

所在直线上的两点，且AMMAN135，则四边形AMCN的面积为

5（2008）

解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO

BD，AOOB, MO又ABMNDA135，,∴MBMOOB.245NADMANDABMAB13590MAB

MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD，从而DNBA1MBBAMB2根据对称性可知，四边形AMCN的面积

115S2S△MAN2MNAO2.222

3． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.（2009）

【答】

设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC，所

以

AD



ABBD又因为△BDF∽△BAC，所以

AB两式相加

得

F

C

ADBD1，即ABAB1，解

得S2.所以四边形DECF的面积为2mn

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA

PC＝5，则PB＝______．（2009）【答】

EmP,F作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设P

△PCF中利用勾股定理，得

n，分别在△PAE、m2(5n)25①(5m)n25②

②－①，得10(nm)20，所以mn2，代入①中，得n7n120，解得n13，n24.F

C

当n3时，mn21，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB当n4时，mn22，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知B2A，BC2,AB22，则A．（2011）【答】 15。

延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则DBCD

ABCA，所以CA＝2

CD。

作CEAB于点E，则E为AD的中点，故

AEDEAD(ABBD)(22)2222，EB

D

BEABAE(2(2.在Rt△BCE

中，cosEBC

EB，所以EBC30，故 

BCA

ABC15． 2

6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE＝．（2011）

【答】 24.设CE4x,AEy，则DFDE3x,EF6x．

连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以

A

B

CE，AC8，D为EF的中点，则AB4

EAF90,ACDDAF．

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴ DADEDF，∴ DAFAFD，∴ ACDAFD，∴ AFAC8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

AE2AF2，即 36x2y2320．

设BEz，由相交弦定理得 CEDEAEBE，即yz4x3x12x，∴ y3203yz① 又∵ ADDE，∴ DAEAED．

又DAEBCE,AEDBEC，∴ BCEBEC，从而BCBEz．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 ABACBC，即(yz)320z，∴ y2yz320．② 联立①②，解得y8,z16．

所以ABAEBE24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．（2012）

【答】

设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

B

2.初中几何分类讨论 篇二

一、引起讨论的原因

初中数学中有许多问题需要讨论, 由于问题的不同引起讨论的原因各式各样。常见的有:

1、定义讨论:

即是由定义引发的讨论。数学中有许多定义都有范围或条件的限制, 当解题过程需要突破这些限制时, 必然引起讨论。

2、运算讨论:

即是由运算引发的讨论。有些运算实施时, 需要一定的条件。如实施除法运算, 除数不为零;实数开偶次方, 被开方数非负等。它们在实施运算时, 都需满足相应的条件, 故引起讨论。

3、位置讨论:

即由图形位置变化引发的讨论。平面几何中, 由于图形的位置不同而使结论差异时, 引起讨论。

4、实数性质的讨论:

即把实数分为正实数、零、负实数三类进行的讨论。

二、分类教学的模式

所谓分类教学, 就是教师在学生知识基础、智力因素和非智力因素存在明显差异的情况下, 有区别地设计教学环节和进行教学, 遵循因材施教原则, 有针对性地实施对不同类别学生的学习指导, 不仅根据学生的不同实际选择教法、布置作业, 还因材施。助”, 因材施“改”, 因材施“考”, 因材施“分”, 使每个学生都能在原有的基础上得以发展, 从而达到总体教学目标.简单地说就是根据不同类别学生进行“分槽喂养”、“因人施教”, 分类教学模式是多样化的, 在教学过程中我总结出了以下教学模式:

三、在初中数学教材中的分类思想方法

在义务教育初中数学教材中, 有许多教学内容蕴含着丰富的分类思想方法, 在代数中, 从数、式到方程都能看到分类思想方法, 以实数为例:

初中数学教材中除了显见的大量含有分类思想方法的教学内容, 还有许多潜在的含有分类思想方法的教学内容。由于这些内容, 教师应充分挖掘、并自觉地加以利用。例如, 《有理数的加法》的教学, 实际上运用了分类的思想方法, 教材通过6个运算的试验。得到如下结果:

由此归纳、概括出有理数的加法法则, 如果用分类的思想仔细观察以上6个等式, 便难看出:1和2, 实质上是同号两数相加;可分两种情况, 即正+正=正, 负+负=负;3、4、5是异号相加, 又可分为三种情况, 即按两个加数的绝时值大小分为三类:两加数绝对值相等时和为零, 正加数绝对值大于负加数绝对值时和为正, 正加数绝对值小于负加数绝对值时和为负, 6是有一加数为0的情况 (由于正数+零与零+零在小学已学过, 故未列出) 。这样, 把两个加数按符号进行了分类, 使学生在众多的数字中分辨清数的符种可能情况, 渗透了分类既小重复又遗漏的思想。

四、举例说明

含字母系数的方程, 因字母取值不同而导致方程种类和方程解的变化, 常会引发分类讨论。

例1解关于x的方程 (k一2) x2—2 (k一1) + (k+1) =0.

分析:对于含有字母系数的方程, 由于一元二次方程二次项系数不为0和求解过程中需实施开平方运算, 所以解题过程中, 需要对实数k进行讨论。

讨论步骤:

1、由分析知k为讨论对象, 而在初中教材中规定k属于实数集R, 因此k的范围是全体实数。

2、 (1) 为确定方程种类, 将k分为k:2和k≠2两类。符合分类条件:

(2) 当k≠2时, 为实施开平方运算, 再将被开方数4 (3一k) 分为4 (3一k) >/0和4 (3一k) <0

两类, 它们同样符合分类条件, 验证略。

3、步骤3及2中具体详情见下述解法.

解: (1) 当k一2=0, 即k=2时, 方程为一元一次方程:

一2 (2—1) X+ (2+1) =0即2X一3=0解得x={.

(2) 当k一2≠0, 即k≠2时, 方程为一元二次方程, (k一2) x2—2 (k一1) x+ (k+1) :0

此时△=[一2 (k一1) ]—4 (k一2) (k+1) =4 (3一k) ,

(1) 当4 (3一k) ≥0且k≠2时, 即k≤3且k≠2时,

(2) 当4 (3一k) <0且k:/:2时, 即k>3时, 方程无解。

3.浅析初中数学分类讨论思想 篇三

关键词：初中数学；分类讨论；培养

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-253-01

在初中数学的教材内容中，分类讨论的有关知识点分布十分广泛。分类讨论思想通过对实际问题进行分解，实现了分类的讨论，分解各种不同的问题，进而实现了对问题没有疏漏的解答，是一种较为实用和重要的数学思想。分类讨论思想的培养，可以让学生的综合学习能力得到良好的提高，并且让学生的创新精神和探索兴趣得到有效的保障。分类讨论思想的培养，也是数学教学中培养学生逻辑思维能力的重要方式。对于一些较为复杂的问题以及涉及范围较广的问题解答上，分类讨论思想用转化和分解的方法，实现了对复杂问题的解答。分类讨论是人们常用的重要思想方法，在初中阶段的数学学习过程中，其本质与其他生产、试验、生活中解决问题的方法有着异曲同工之妙。分类讨论思想的实质，是采用“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，对实际问题进行解答。

一、教师教学方面

开展教学的过程中，教师要对于初中阶段数学的有关概念进行系统、全面的掌握，并且对于一些涉及分类讨论思想的问题进行深入的研究，让学生正确的对其进行了解和认识。初中数学教学中，教师要对一些分类讨论思想有意识的进行渗透，让学生在学习的过程中得到思维方面的良好成长。作为一种有效的思考方式，分类讨论思想其本身具有严谨性和复杂性。在教学的过程中，教师要不断的强调分类讨论思想的重要性，并且培养学生的学习兴趣，让学生对这种数学思想产生良好的兴趣，通过不断的练习，提高学生的数学思维能力。在联系的过程中，教师要对于一些重点进行强调，并且针对学生解题过程中的不足和错误的习惯进行指正，提高学生的实际解题能力。例如，在江苏科学技术出版社初中数学九年级教材第八章 《统计的简单应用》一课教学的过程中，在讲解平均数这一概念上，教师要针对于日常生活中的实际问题和案例进行提出，在学生产生疑问时进行深入的讲解。通过对学生疑问的解答，让学生了解平均数这一知识概念的本质，认识到这种分类讨论思想应用于实际问题解决的真正意义。在我们日常生活的过程中，一组数据中不同数据其本身的重要性都有所不同，计算平均数的时候也要考虑到不同数据的重要性，进而引入“权”的概念。通过对不同数据的分类讲解和讨论，对于平均数求值中不同数据进行分类，进而让学生养成来良好的分类习惯。针对学习中一些难点的教学上，学生难免会产生厌烦和畏惧的心理，教师要避免学生这种情绪的扩散，并且积极的对学生的学习过程进行引导，让学生养成良好的观念，并且针对一些难题可以理性的对待，让学生的学习信心得到有效的培养。在对学生逻辑思维能力的培养让，也要注重对学生的假设能力的培养，让学生理清不同问题之间的关系，并且通过对不同关系的研究，得出结论。

二、学生学习方面

对于初中阶段的学生来说，收起学习能力和思维水平的限制，一些分类讨论的相关试题对于他们来说有一定的难度，并且在试卷中占有较高的比例。学生如果不能很好的完成相关试题的解答，就会直观的反映在数学成绩上，会影响学生的学习积极性。针对于这一问题，教师要对于学生的学习过程进行良好的知道。在遇到一些具有较高难度的问题时，教师要让学生耐心的进行对待，引导学生认清问题的本质和关键，清晰、有条理的对于问题进行分解和分类。通过对于已有知识点的良好运用，让学生理性的考虑眼前的问题，并且结合课堂学习的实际内容完成问题的解答。例如，在江苏科学技术出版社初中数学七年级教材第六章《平面图形的认识（一）》一课教学的过程中，学生对于线段、射线、直线的学习上，教师要对学生的学习过程进行深入的研究，并且对学生解题中错误的思路和不良的思维模式进行积极的改进。通过对不同平面图形的举例，将简单的平面图形和复杂的平面图形进行分类，让学生进行分组讨论，并且认识到不同图形之间的联系。进而通过对不同图形之间进行推导，让学生完成对这一章节知识点的学习。数学这一门学科与其他学科有很大的不同，其本身的理性思维特点较为明显。在进行分类讨论问题的解答上，学生要全面的对问题进行分析，并且以理性的数学思维对问题进行分类讨论，避免重复和遗漏。针对一些复杂的数学问题上，在进行解题时，要保证认真全面的渗透，并且保证思考过程具有足够的逻辑性和严谨性，进而更好的实现对同类问题的准确、快速的解答。

总而言之，在初中阶段的数学教学过程中，其教材本身内部很多内容都蕴含着深刻的数学思想。分类讨论思想作为一项重要的数学思想，在教学的过程中教师要以再高度的重视。在开展课堂教学时，教师要潜移默化的渗透分类讨论思想，培养学生良好的思维习惯，培养学生的发散思维，激发学生学习热情，提高课堂授课效率和学生学习效果。通过分类讨论思想的教学，让学生的思维严谨性得到良好的提高，并且真正的提高学生的学习热情和探索精神，为学生的成长奠定良好的思维基础。

参考文献：

[1] 沈国平.分类讨论思想在数学教学中的应用[J].语数外学习（数学教育），2013（05）.

4.初中几何分类讨论 篇四

几何证明选讲

1、（东莞市2013届高三上学期期末）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，直线MN切O于D，MDA60，则BCD． 答案：150

2、（佛山市2013届高三上学期期末）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD,AC于点

E,F．若AD3AE，则AF:FC．

答案：1：

43、（广州市2013届高三上学期期末）

如图2，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交⊙O于C，若AP4，PB2，则PC的长是.答案：D l

C

图

24、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点F，AF3，FB1，EF线段CD的长为．

【解析】由相交弦定理，AFFBEFFC故FC2，又

3，则

2AFCF8

，故BD，由切割线定理，ABBD

34BD2CDADCD4CD4CD2，故CD。

35、（江门市2013届高三上学期期末）如图5，EF是梯形ABCD的中位线，CF//BD，故

记梯形ABFE的面积为S1，梯形CDEF的面积为S2，若

A

B

F

SAB1AB

，则，1． CD2EFS

225答案：（2分），（3分）．

E

16、（茂名市2013届高三上学期期末）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB

延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________ 答案：

7、（汕头市2013届高三上学期期末）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且AD=3DB，设COD，则tan

2

=________.答案：填

1.3313

r，从而 r,BDr，由CD2ADBD得CD22

解析：设半径为r，则AD



，故tan2



.238、（增城市2013届高三上学期期末）已知圆O割线PAB交圆O于A,B(PAPB)两点，割线PCD经过圆心O(PCPD)，已知PA6,AB7是． 答案：

2,PO10;则圆O的半径

3所对的弦长CD，弦AB9、（湛江市2013届高三上学期期末）如图圆上的劣弧CBD

是线段CD的垂直平分线，AB＝2，则线段AC的长度为＿＿＿＿

10、（肇庆市2013届高三上学期期末）如图3,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,BD4，则CD

.解析:4∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=BD4.=,∴∠DAC=∠DBC.11、（珠海市2013届高三上学期期末）（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于.答案：6

5.相似三角形的分类讨论(教学案) 篇五

一、教学目标：

1． 2． 3． 进一步理解三角形相似的判定方法 初步领悟分类讨论的数学思想 培养学生的合作意识、探究意识。

二、教学重难点：领悟分类讨论的数学思想

三、教学过程：

（一）复习

相似三角形的判定方法有哪些？ 你能画出几种常见的相似三角形吗？

（二）新授

A 由于对应边不确定，需要分类讨论。

例1 已知△ABC的三边长分别是4、6、8，△DEF的一条边为24，要使△DEF与△ABC相似，则另两边的长分别是

B 由于对应角不确定，需要分类讨论。

例2 均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？

均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？

C 三角形的形状不确定，需要分类讨论。

例3 在△ABC中∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD=BD×DC,则∠BCA=

2D 由于位置的不确定，需要分类讨论。

例4 在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为

时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。

y54321BA-5-4-3-2-1o-1-2-3-412345x

例5 已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。AD

P

B C

F 例6 已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=30cm，BC=40cm，点P、Q同时从A点出发，分别以2cm/s，4cm/ s的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，在点Q回到点A的整个运动过程中：① PQ能否与BD平行？② PQ能否与BD垂直？请分别作出判断。如果存在，请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。

E 计数中进行分类讨论。

ADPBQC例7 如图，在有边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在网格上画出与△ABC相似的三角形（全等的只需画一个，与△ABC全等的不再画），使它的3个顶点都落在小正方形的顶点上。这样的三角形能画几个，最短的边长分别是多少？

y87BC6543PBA-121o-1123456Ax

（三）课堂小结：

分类讨论、有序思考的回顾。

6.分类讨论思想在解数学题中的应用 篇六

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想分类的原则分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200（元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600（元）

假设 y＝(40x＋3200)－(36x＋3600)＝ 4x－400（元）

（1）当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2）当y＝0时,即x＝100,方案一和方案二同样省钱

（3）当y＞0时,即x＞100,方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1.同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2.互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3.完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1）先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2）正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3）逐类讨论解决

（4）归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1.分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论 解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋(x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况

而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2.分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解

③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？ 分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二

枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=

2k﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，x二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点，交点坐标是（－21，0）3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2）任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

7.初中几何分类讨论 篇七

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚, 每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验, 教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中, 如数的分类、三角形的分类等等, 力求做到目标明确、标准统一, 要充分挖掘教材, 抓住渗透的契机, 将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中, 教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论, 不遗漏、不重复地划分子类, 并对每一类加以解答, 能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围, 学生往往不满足于一种解法, 对一些题目提出两种、三种甚至多种解法, 能有效培养学生思维的灵活性, 从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应, 在原有的认知结构上进行拓展、延伸, 从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系, 能帮助学生完善认知结构, 培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来, 受“传道、授业、解惑”的传统影响, 部分教师教学思想陈旧, 沿袭传统的教学理念, 以传授知识作为主要教学目标, 他们只注重知识的传授, 而忽视思想方法的渗透, 他们从不主动考虑解题意图, 不能从多角度分析问题, 往往是一解了之, 缺乏深层次的探索, 掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际, 教师机械灌输, 大搞题海战术, 割裂了知识间的联系, 学生缺乏自我感悟和独立探究的机会, 感到数学知识索然无味, 缺乏探究热情, 无法顾及运用什么思想方法, 更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中, 一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”, 而没有联系“外心”进行分类讨论, 导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响, “以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固, 他们不理解素质教育的内涵, 依然“穿新鞋走老路”, 重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在, 导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时, 一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号, 但如果不确定绝对值里面数的符号, 就必须要分类讨论。

例1:使|a+1|=|a|+1成立的条件是 ( )

A. a为任何实数B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析:此题中等号左右两边都有绝对值符号, 而又未给出实数a的取值范围, 因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法, 令|a+1|=0, |a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解:令 |a+1|=0, 得 a=-1;令 |a|=0, 得 a=0。

(1) 当a<-1时, 左边 =- (a+1) =-a-1, 右边 =-a+1, 左边≠右边;

(2) 当 -1≤a<0时, 左边 =a+1, 右边 =-a+1, 左边≠右边;

(3) 当a≥0时, 左边 =a+1, 右边 =a+1, 左边 = 右边。

∴a≥0, 应选D。

2. 分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时, 要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2:已知方程a2x2+2 (a-1) x+1=0有实数根, 求a的取值范围。

分析:在解字母系数的取值范围问题中, 题目没有明确二次项系数a2的符号, 因此不仅要考虑二次方程的可能, 还要考虑一次方程的可能。

解: (1) 当a2=0, 即a=0, 方程为一元一次方程 -2x+1=0, 有实数根x=0.5;

(2) 当a2≠0, 即a≠0, 方程为一元二次方程, 当△≥0时有实根, 即

所以a≤1, 且a≠0。

综合 (1) 、 (2) , 得a≤1。

(3) 分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多, 有关于一次函数, 有关于反比例函数的, 还有综合性较强的二次函数, 它们大多是由一元二次方程的性质演变而来, 教者要引导学生分情况进行说明。

例3:求函数y= (k-1) x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析:本题条件是不唯一的, 问题中没有说明是什么函数, 要分两种情况:一次函数或二次函数进行讨论。1当k=1时, 此函数是一次函数y=-x+1, 与x轴的交点坐标为 (1, 0) ;2当此函数为二次函数时, k≠1, △= (-k) 2-4 (k-1) = (k-2) 2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关, 因此要分△>0、△=0两种情况分析:△>0, 即k≠2时, 有两个交点 (1, 0) 、 (1/ (k-1) , 0) ;△=0, 即k=2时, 有一个交点 (1, 0) 。

(4) 分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时, 要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置, 抓住相关对象性质, 分类各种符合条件的图形。

例4:已知△ABC的边, BC边上的高AD=3。 (1) 求BC的长; (2) 如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上, 另外两个顶点在AC、BC上, 求这个正方形的面积。

分析:过△ABC的顶点A向对边作垂线, 垂足可以在BC上, 也可能在BC的延长线上, 要分两种情况进行讨论。 (如图)

8.初中几何分类讨论 篇八

【关键词】初中数学 分类讨论

数学思想

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）12A-0031-01

分类讨论思想作为指导数学学习的重要思想方法之一，对学生的数学学习具有至关重要的作用。在初中数学教学中，教师要重视分类讨论思想的渗透，让学生深刻地理解分类讨论思想的内涵与价值，为学生提供应用分类讨论思想的机会，让学生在实践中得到锻炼，提高数学思维能力。

一、有的放矢地渗透分类讨论思想

分类讨论思想不但在数学解题中经常运用，而且在日常生活中也有着广阔的应用。借助初中数学教学活动渗透分类讨论思想对提高学生的综合素质具有不可估量的作用，因此教师要充分利用各个教学实践环节，有目的、有策略地进行分类讨论思想的渗透。

在学习“有理数”的知识时，为了训练学生数学思维的全面性，破除思维定势，教师结合有理数的知识内容，为学生设计了一道简单的数学题：（-x）一定是负数，对吗？一些思考不够深入的学生只是看到了x前面的负号，就简单地认为这句话是正确的；也有学生结合有理数的知识，想到了当x取不同的数值时，-x也会出现不同的情况，当x大于0时，则-x就是负数，当x小于0时，则-x就是正数。根据学生思考的结果，教师适时追问：“我们已经学习了有理数的知识，大家回想一下，有理数可以分成几类？”教师一边说，一边画出一条数轴，让学生边观察边思考。在老师的引导下，学生对有理数进行了分类，认为有理数可以分成“正数、零、负数”三类。在完成了有理数的分类之后，学生反过来思考刚才的题目，发现也要分成三种情况进行讨论。可见，利用数学知识点渗透分类讨论思想，可以让学生的数学思维更加严谨。

二、通俗易懂地阐述分类讨论思想

一些学生对于分类讨论思想的本质，以及应用这一数学思想的原则还缺乏深入的理解，在一定程度上影响了解题的正确性。为了让学生更好地应用分类讨论思想，教师应运用通俗易懂的语言，准确生动地阐释这一科学思想，引导学生在真正理解的基础上加以实践应用。

在学习了“绝对值”的内容之后，教师给学生出示了一道题：如果|a|=4，|b|=2，求|a+b|的值。学生看到题目时，就想到要分不同的情况进行讨论，得到不一样的结果。当a=4，b=2时，|a+b|=6；当a=-4，b=2时，|a+b|=2；a=4，b=-2时，|a+b|=2；a=-4，b=-2时，|a+b|=6。学生通过对a、b两个数的取值情况进行分类，经过计算得到了两种结果。此时教师评价分析学生的解题过程：“同学们都能自然地想到了要分成不同的情况进行讨论。为什么呢？”“因为在解这个题目时，a、b取值不同会影响计算结果，不能用统一的算法进行解答。”有学生回答说。在解题时，根据题目的特点分成几个小类，把一个大问题分解为几个小问题，分别进行解答，这就是分类讨论的方法，在数学解题中经常会用到。教师通过运用这种通俗易懂的话语开展评价，加深了学生对分类讨论思想的认知。

三、设计情境应用分类讨论思想

在初中数学学习中，很多题目的解答都需要针对数学对象的具体情况进行分类，化整为零，把毫无头绪的问题逐个分解，然后各个击破。因此，教师可借助一些典型的题目，结合具体情况创设情境，为学生搭建应用分类讨论思想的平台，总结分类讨论解题的规律。

在学习整式的相关知识后，教师联系生活实际出示了一道典型的“利润计算”题：某商店每月初对某一商品进货一次，如果月初可以卖出，则能够获得1000元的利润，再把该商品的成本与利润一起进行投資，在月底还能够得到0.5%的收益回报，如果月底售出该商品则可以获得1100元的利润，同时支付50元的保管费，这种商品什么时候卖出最好？这类题目只有应用分类讨论方法才能正确地解答。首先，学生根据题意列出关系式，设成本是x元，月初售出时利润就是1000+（1000+x）×0.5%，化简得到1005+0.5%x；而月末售出时利润是1050元。通过分析讨论发现，当x=9000元时，月初和月末售出得到的利润是一样的；当x<9000元时，月初售出得到的利润小于1050元，所以月末售出最好；当x>9000元时，月初售出得到的利润大于1050元，所以月初售出最好。这种来自于生活中的问题的解答为学生应用分类讨论思想提供了平台，训练了学生思维的灵活性。

总之，在学生学习数学知识、解答数学题目的过程中，注重分类讨论思想的教学，总结应用这种数学思想所需要遵循的原则，通过典型题目加强训练，让学生把握分类讨论的技巧，学会解题的方法，促进知识技能、思想方法提升。

9.初中几何证明题 篇九

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子 其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

10.初中数学几何教案 篇十

1.打开电视，播放一个城市的现代化建筑，学生认真观看.

2.提出问题：

在同学们所观看的电视片中，有哪些是我们熟悉的几何图形?

二、新授

1.学生在回顾刚才所看的电视片后，充分发表自己的意见，并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验.

2.指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称.

学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等.

教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征.

3.立体图形的概念.

(1)长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形.

(2)学生活动：看课本图4.1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象?(棱柱和棱锥)

(3)用幻灯机放映课本4.1-4的幻灯片(或用教学挂图).

(4)提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形?

(5)探索解决问题的方法.

①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案.

②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等.

4.平面图形的概念.

长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形.

注：对立体图形和平面图形的概念，不要求给出完整的定义，只要求学生能够正确区分立体图形和平面图形.

5.立体图形和平面图形的转化.

(1)从不同方向看：出示课本图4.1-7(1)中所示工件模型，让学生从不同方向看.

(2)提出问题.

从正面看，从左面看，从上面看，你们会得出什么样的平面图形?能把看到的平面图形画出来吗?

(3)探索解决问题的方法.

①学生活动：让学生从不同方向看工件模型，独立画出得到的各种平面图形.

②进行小组交流，评价各自获得的结论，得出正确结论.

③指定三名学生，板书画出的图形.

6.思考并动手操作.

(1)学生活动：在小组中独立完成课本第119页的探究课题，然后进行小组交流，评价.

(2)教师活动：教师对学生完成的探究课题给出适当、正确的评价，并对学生给予鼓励，激发学生的探索热情.

7.操作试验.

(1)学生活动：让学生把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，并在小组中进行交流，得出一个长方体它的平面展开图具有的一个特征：多样性.许多立体图形都能展开成平面图形.

(2)学生活动：观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形组成?再把展开的纸板复原为包装，体会立体图形与平面图形的关系.

三、课堂小结

1.本节课认识了一些常见的立体图形和平面图形.

2.一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形;可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换.

注：小结可采取师生互动的方式进行，由学生归纳，教师进行评价、补充.

四、作业布置

1.课本第123页至第124页习题4.1第1～6题.

2.选用课时作业设计.

课时作业设计

一、填空题.

1.如下图所示，这些物体所对应的立体图形分别是：___________.

二、选择题.

2.如下图所示，每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是( ).

A B C D

3.如下图所示，经过折叠能围成一个棱柱的是( ).

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

三、解答题.

4.桌上放着一个圆柱和一个长方体[如下图(1)]，请说出下列三幅图[如下图(2)]分别是从哪个方向看到的.

5.如下图，用4个小正方体搭成一个几何体，分别画出从正面、左面和上面看该几何体所得的平面图形.

6.如下图，动手制作：用纸板按图画线(长度单位是mm)，沿虚线剪开，做成一个像装墨水瓶纸盒那样的长方体模型.

答案:

一、1.正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱

11.初中几何分类讨论 篇十一

关键词：分类讨论思想 初中数学 应用方法

一、分类讨论思想的意蕴解读

分类讨论思想是初中数学中利用逻辑划分思想解决数学问题的一类思维方式，它主要是应用“化整为零”的思想，对数学问题逐一击破，再通过积零为整的思想，结合归类整理的有关方法，实现数学问题的有效解决。分类讨论思想的应用能够帮助学生理清解题的思路，提高解题的效率，促进学生创新意识的形成，增强学生的实践能力。初中数学中分类讨论思想的应用通常要遵循两个基本原则，一是分类的同一与相称原则，分类的同一与相称是指讨论对象的明确性与讨论标准的一致性；二是实际教学中分类讨论思想的互斥与多层次原则，分类讨论中的各个子项之间的关系应该是互斥的，不同子项之间应该没有交集，要有层次的解决多次分类的问题，采用二分法逐层化解概念的相互矛盾问题。

二、分类讨论思想在初中数学中运用的分析

（一）初中数学函数中分类讨论思想的运用

函数是初中数学学习中的重点与难点，也是应用分类讨论思想最多的一部分内容，通常应用于解决一次函数、反比例函数及二次函数等题型，如例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标。

从这道题的已知的条件来看，条件并不是唯一的，题目中没有明确该函数是一次函数还是二次函数，这就需要应用分类讨论思想，对函数进行相关内容的分类讨论。首先，要根据k的值，讨论该函数为一次函数或二次函数时，函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标，即当k=1时，该函数为一次函数，这时函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标为（1，0）；当k不等于1时，函数y=（k-1）x2-kx+1为二次函数，就需要继续运用分类讨论思想，讨论△>0与△=0两种情况下二次函数与x轴的交点坐标，即当△>0时，k不等于2，二次函数与x轴会有两个交点（1/K-1，0）、（1，0）；当△=0时，k=2，二次函数与x轴会有一个交点（1，0）。

（二）初中数学几何中分类讨论思想的运用

分类讨论思想在几何中的应用最为直观，在学习圆与直线的位置关系这部分内容时，通常需要依据直线与圆有两个公共点、唯一公共点及没有公共点，将圆与直线的关系划分为相交、相切与相离，如例题：两个圆的半径分别为6与4，如果这两个圆相切，求这两个圆之间的圆心距是多少？

从这道题中的已知条件可知，该题讨论的是有关两圆相切的内容，这时学生必须能够利用分类讨论思想厘清两圆之间的关系，确定两圆相切的计算过程及内容；确定好相切关系以后，教师还需引导学生继续利用分类讨论的思想对相切的情况进行分类讨论，两圆相切一般为两种情况，一种是两圆外切，两圆如果是外切，那么可以得出两个圆之间的圆心距为10；一种是两圆内切，内切时两圆之间的圆心距为2，综上所述，可知两个圆之间的圆心距分别为10或2。

（三）初中数学方程中分类讨论思想的运用

方程的学习对于初中生来说具有一定的难度，如何在不同情况下方程利用不同的方法来讨论方程的具体情况一直是初中数学学习的难点，教师必须引导学生掌握多角度思考的方式，全面的把握每一种可能出现的情况，有效的应用分类讨论思想，合理的解决方程中的具体问题。如例题：解关于x，y方程组。

这道题的解答需要应用消元的方法，方程组的两边可以同时乘以m与n，由此将方程组中的y消去，这时方程组中就只有m与n两个字母，由于m、n是字母而不是具体的数字，因此需要考虑m与n的取值范围，这就需要运用分类讨论思想，讨论m与n的三种取值范围。一是m≠0且n≠0的情况下，原方程的解为x=1，y=0；二是m=0但n≠0的情况下，原方程的解为x=1，y=0；三是m≠0且n=0的情况下，原方程的解为x=1，y=0.由此可知，原方程的解为x=1，y=0.

综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用做好两个方面的内容，一是要引导学生在解题的过程中掌握分类讨论的思想与方法，学会运用分类讨论思想解决实际的数学问题；二是要帮助学生养成发散性思维，逐渐引导学生从形象思维转变为抽象思维，加强学生的问题解决能力，灵活运用分类讨论思想解决初中数学的问题。

初中数学中运用分类讨论思想是初中数学思想的具体表征，教师要利用分类讨论思想培养学生的抽象思维能力，提高学生的解题效率与质量，促进学生认知与思维的不断发展与进步。

参考文献：

[1]袁少建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].数学学习与研究，2015，（03）.

12.分类解析几何直观 篇十二

一、几何直观概述

几何直观是数形结合思想的重要体现.它用直观的图形表示抽象的数学语言, 使抽象思维和形象思维相互结合, 能充分展现数学问题的本质, 突破数学理解上的难点, 从而帮助学生直观地理解数学.几何直观通过图形的直观性质来阐明数量之间的关系, 将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化, 从而实现代数问题与图形之间的互相转化和相互渗透, 为研究和探求数学问题开辟了一条新的重要途径.

美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形, 那么, 思维就能整体地把握问题, 并能创造性地思索问题的解法.”将问题转化为一个图形, 把问题中的条件和结论直观地、整体地展现出来, 是一种十分重要的解题方法.一旦我们把抽象和繁杂的问题图形化, 直观化, 这些问题就会变得较为简单, 就会使本来需要经过复杂的思维过程或列出复杂方程才能解决的问题, 只需区区几个小算式就可得以解决.下面, 笔者从常见的几类问题中各选一例, 和读者一起体会运用几何直观进行解题的奥妙.

二、分类解析几何直观

1.借助几何直观, 探索运算规律

分析:算式本质上就是用一些运算符号把数连接起来.它考查的是个体对数量的感悟和理解, 在计算方法上常常是按照运算法则逐步进行.法则给人的感觉是“铁面无私”, 而如果我们能把算式与几何图形联系起来, 会使算式变得“和蔼可亲”, 便能很好地体现数量和图形不分家的新课程理念.

2.借助条形图理念, 巧解平均数问题

例2甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱合伙订购某种商品.商品买来以后, 甲、乙两人分别比丙多拿了7件和11件.最后结算时, 三人要求按所得的商品的实际数量付钱, 进行多退少补, 已知甲应付给丙14元, 那么乙应付给丙多少元?

分析:本题虽然数量较小, 但是由于问题中只是给出了甲、乙分别比丙多拿的部分, 至于到底每个人拿多少却不清楚, 致使问题变得较为抽象.怎么才能变抽象为直观呢?我们可以用条形图的理念借助长方形的高低来表示数量的大小, 把这些数量变成一组条形图, 然后再从整体上把握全部题意和整个问题的解决过程, 便可以把抽象思维和形象思维联系起来, 化抽象的数量关系为直观可操作的图形, 通过切分这些图形, 便能使问题得以解决.

此题属于平均数问题中的平均分配问题.由于三人拿了一样多的钱, 买的都是同一种商品, 因此也应该分得相同数量的这种商品.但实际上甲、乙、丙三人并没有平均分配, 多拿了商品的人应把自己多拿的商品的钱退给那些少拿相应数量商品的人.如下图, 三个长方形的高低分别代表每个人所拿商品的数量.我们可先以得到商品最少的丙的商品数为基准 (虚线以下) , 基准数三人都一样, 要想做到公平分配, 只需要把甲和乙多拿的商品重新在三人之间平均分配, 就可以达到在整体上平均分配的目的.这些商品平均分配后, 每个人根据自己应拿的件数, 最后把多拿的商品的钱退给那些比应该拿的数量少的人即可.

解:除基准量外, 平均每人应得: (7+11) ÷3=6 (件) ,

每件商品单价:14÷ (7-6) =14 (元) ,

乙应付给丙:14× (11-6) =70 (元) .

答:乙应付给丙70元.

3.画线段图, 直观解决分数应用题

分析:本题属于分数类应用题中多次转换单位“1”的量的应用题.画线段图是解决分数类应用题的一种常用方法, 是把复杂问题中的数量关系和几何图形联系起来的重要方式, 能够更好地体现几何直观的理念.题中三个分率的单位“1”不一致, 只有把分率转化为统一的单位“1”, 它们才能相加减.但是, 由于本题中的分率和具体量交替出现, 把各个分率的单位“1”转化成一致较为困难.于是, 我们可以通过画线段图, 把本题题意运用几何图形直观化, 然后再采取逆向思维, 逐步转换单位“1”的量, 依次运用“单位“1”的量=分率对应的量÷分率”进行解题, 列出几个小算式, 便可把此题顺利解决.

答:孙悟空从山上采回了16桃子.

4.把工作过程图形化, 直观解决工程应用题

分析:心理学家研究表明, 人的工作记忆就像电脑的缓存空间一样, 其容量是有限的, 只能暂时存储5±2个记忆单位.此题工作过程较为复杂, 若是解题者单纯地依靠记忆进行分析理解, 势必会使他们顾此失彼, 不能清楚地理解题意.如果我们能借助几何直观, 把本题的题意用图形直观化, 就会使本题的工作过程清楚易懂, 从而方便地解决本题 (如图4) .

答:余下的由丙工程队单独施工, 还要12天才能全部完成.

5.适当简化, 借助线段图解决行程应用题

例5客、货两车从相距120千米的A、B两地同时同向出发 (客车在前) , 货车每小时行75千米, 客车每小时行60千米.途中客车发生故障, 修理了1个小时后继续前进, 问客车和货车相遇时各行了多少千米?

分析:对于比较复杂的行程问题, 最好的方法是根据题意画出线段图.在行程问题中, 我们经常用一条线段表示整个路程或运动过程, 然后把线段分成若干部分, 并在每一部分上标出各个时段的路程、速度和时间及其关系, 从而使整个运动过程中的数量关系直观化、具体化, 使复杂的问题得以清晰解决.

此题属于行程问题中的追及问题.在画线段图时, 由于客车是在途中发生故障, 不知道具体是什么时候, 这给我们画线段图带来了很大麻烦.为了使问题简化和便于理解, 我们不妨让客车一开始就发生故障, 则在客车维修的一个小时内, 货车单行了1小时, 从而使追及路程 (开始追及时的路程差) 减小.结合题意, 我们可画出如图5所示的线段图, 然后结合追及问题的公式s追 (差) =v差×t追即可求出追及时间, 再结合线段图即可求出客车和货车在相遇时各行了多少千米.

解:t追= (120-75×1) ÷ (75-60) =3 (小时) .

s客=3×60=180 (千米) .

s货=180+120=300 (千米) .

答:客车和货车相遇时, 客车行了180千米, 货车行了300千米.

6.画出简易流程图, 清晰解决浓度应用题

例6桶中有40%的某种盐水, 当加入5千克水时, 浓度降低为30%, 再加入多少千克盐, 可使盐水浓度提高到50%?

分析:浓度问题主要是围绕着浓度、溶质质量和溶液质量这三个量进行计算的一类问题.由于本题涉及两个变化过程, 且题中的未知量较多, 数量关系不太明显, 使题意变得较难理解.如果我们能根据题意把此题的变化过程用简易的流程图表示出来, 并把各个阶段的已知量和未知量标示在图中, 便能使本题的题意明确, 数量关系清晰, 从而轻松解决问题.

解:设原来浓度40%的盐水有x千克.

根据题意得:40%x=30% (x+5) ,

解得:x=15.

设再加入y千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

根据题意得:15×40%+y=50% (15+5+y) ,

解得:y=8.

答:再加入8千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

7.构造几何图形, 证明代数问题

分析:在证明某些代数问题时, 如果我们能将题中数量关系与某些图形的几何性质联系起来进行综合分析, 然后再根据题中所给的已知条件构造图形, 将代数问题转化为“看得见、摸得着”的几何图形, 便可使问题变得直观明了, 浅显易懂, 不但可以使复杂问题简单化, 而且还可以拓宽解题思路, 培养学生的发散思维能力.

8.完整转化题意, 正确解决几何文字叙述题

例8等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 腰长为a, 则其底边上的高是______.

分析:我们在把文字语言转化为几何图形的过程中, 必须是完整题意的转化, 如果只是片面的转化, 就会使我们在解题的过程中出错.本题是一个文字型几何填空题, 我们应首先把文字叙述的题意准确、全面地转化为几何图形 (有几种情况一般会转化成几个图形) , 然后再根据转化后的几何图形, 运用相关知识解题即可.由于本题没有说该等腰三角形是锐角三角形、直角三角形, 还是钝角三角形, 所以应分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论, 以免发生漏解现象.

当三角形的顶角A为直角时, 显然无法满足本题条件.

13.初中几何折叠问题初探 篇十三

折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.

折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.

根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.

1、利用点的对称

例1. (南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.

(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①)，AF= ，求DE的长;

(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.

图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的.长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO= DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON= AE，根据勾股定理可求出DE= ，OE= . 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO= ，从而求出EF的长.

对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.

二、利用线段的对称性质

例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150的角

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系?(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NG⊥BC，则直角三角形中NG= BN，从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.)

若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.

利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.

三、利用面对称的性质

例3. (20临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形?

这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，若不与O、B重合，则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.

在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.

14.初中平面几何证明题 篇十四

１.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG

求证：S△ABCS△

AEG

２.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点 求证:EG=2AO

３.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H

求证：AH⊥

BC

４.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O

求证：O为EG的中点

５.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG 求证：

（1）BE=CG

（2）BE⊥CG

６.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG 作FM⊥BC，交CB的延长线于点M，作DN⊥BC，交BC的延长线于点N

求证：FM+DN=BC

７.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接BE，CG、FD O是FD中点，OP⊥BC于点P

求证：BC=2OP

８.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点

15.初中几何分类讨论 篇十五

【关键词】分类思想应用

有概念的分类；有解题方法上的分类；还有几何中图形位置关系不确定的分类等等。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。教学过程中我们要利用学生已有的认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在数学教学中进行分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

下面我从分类讨论思想的概念和特点，引起分类讨论的原因等内容展开，比较系统全面地介绍了分类讨论思想。

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁為简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之。

二、引起分类讨论的原因

引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面：

1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。

2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。

3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。

三、解答分类讨论型问题的步骤

1.对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准，进行合理分类。需理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复，不遗漏。

2.逐类进行讨论。有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

3.对各类讨论结果进行归纳，并加以整合，归纳出结论。

分类讨论思想在初中数学练习的运用中占有很重要的地位。这就要求我们在学习数学的同时要不断积累数学知识，形成知识网络，领悟其中蕴含在数学教学内容中的数学思想方法，以提高学生自身的数学解题能力。所以在教学中要对分类讨论思想，有意识地加以渗透；对于蕴含在数学知识中的思想适时予以揭示，反复强化以优化学生的思维品质。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

【参考文献】

[1]《如何运用分类讨论思想解题》刁卫东《中学数学》 1997.5