初中数学平行公理公式

初中数学平行公理公式（共5篇）（共5篇）

1.初中数学平行公理公式 篇一

一、揭示数学结论的形成过程

数学结论的发现实际上经历了曲折的猜想、试验、归纳等一系列探索过程, 这个过程是发现者的思维过程。教学时, 根据学生认知的特点和要求, 有选择地进行数学命题的再发现——引导学生重复或模拟结论的发现过程, 这不仅使学生了解原理结论的由来, 强化对命题具体内容的理解和记忆, 而且可以充分发挥学生学习的主观能动性, 培养学生科学发现的能力。

运用奥苏伯尔关于学科和认知结构的组织的假设及其“先行组织者”技术, 以理育情, 以趣激情, 使学生带着积极的情感去学习, 增强学习动机, 丰富思维、记忆等认知功能活动。接着是呈现“组织者”, 把教学过程变成渴望不断探索真理的带有感情色彩的意向活动。通过各种合适的方式创设情境, 从特例出发, 使学生从不同的侧面来观察、归纳和猜想特例的共性, 为运用公式、定理奠定基础。

1. 从实际生活的角度

例如, 为了使学生发现“两点之间线段最短”这一性质, 可以提出如下问题:人们平时走路, 当遇到四边形一类的地形时, 一般愿意走“对角线”, 而不愿沿着“边”走, 这是什么道理?

2. 实验的角度

例如, 以三角形中位线定理教学为例, 让学生口答四边形类别, 动手顺次连结各类四边形各边中点, 当发现所得图形都是平行四边形时, 他们惊奇了, 兴奋了, 不知所以然, 产生了认知冲突, 这时提出研究课题, 进而探究三角形的中位线在方向与数量上的特性。使用《几何画板》, 设置了动态显示△ABC的∠ADE、∠ABC、中位线DE与第三边BC的测算值, 让学生观察、想象, 归纳得出了三角形中位线的性质———三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半。

3. 反例式的角度

由于某些知识的负迁移作用, 学生常常会产生错误的猜想, 甚至想当然地把错误的猜想当做正确的公式或定理使用。为了避免学生的错误, 可用引入反例的方法, 提出新问题。例如, 从批判积的乘方公式的特例“ (ab) 2=a2b2”想当然地得出“ (a+b) 2=a2+b2”的错误, 提出完全平方公式。

4. 过渡性的角度

由于数学的系统性很强, 数学中有不少公式或定理可从旧知识到新知识的过渡中去猜想而提出。如, 梯形概念的引入, 可设计如下变式题组:

(1) 如图, 若四边形ABCD是平行四边形, 你能得到哪些结论?

(2) 如图, 在CD上取点E, 连结BE, 沿BE将△BCE切去, 得到四边形ABED, 则四边形ABED还是平行四边形吗?为什么?

(3) 说明四边形ABED中各边之间的关系。

(4) 用文字语言叙述四边形ABED的特征。

从而得到梯形的定义:一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

二、揭示数学命题证明的探索过程

许多数学原理 (公式、定理等) 的推导、证明方法, 具有典型性, 往往代表了典型的解题方法和思想, 或者有益于学生对已学知识的深化巩固, 在实际教学中, 应将证明思路的探索过程尽可能地暴露在学生面前, 有的放矢地引导学生多角度探索思路, 多渠道推导公式、定理, 使学生在联系新旧知识、掌握正确的解题思路的同时, 逐步掌握分析问题和解决问题的思想方法。

1. 归纳探索

例如, 同底数幂的的公式推导, 可采取从特殊到一般的方式进行推导:23×22=

2. 实验探索

通过具体的直观实验 (剪纸、折叠、拼图、实物等) 对公式、定理进行推导。

例如, 三角形勾股定理的证明, 从a2+b2=c2引导学生联想到完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2, 进而联想到完全平方公式的“面积”推导法, 再引导学生利用已准备好的几个全等的直角三角形拼图, 并利用拼图推导勾股定理。

在学生欢喜雀跃的小组合作后, 请学生代表展示拼图成果:

并请展示的同学解释图形的特点和如何推导。这里教师不失时机地指出:你们探索了5000多年前人类历史上的一个重大发现:勾股定理, 并用多媒体展示“勾股定理的发现和我国古代数学的伟大成就……”

在学生的探究过程中渗透了面积的割、补、拼等重要的数学思想方法, 在勾股定理的发现过程中, 学生用不同的拼图方法得出了不同的推导方法, 充分展示了学生自主建构新知识的过程。

3. 演绎探索

这是几何定理证明的最常用的方法, 证明时我们可变换观察角度, 进行一题多解的训练, 并对各种方法进行比较, 以增强学生的探索意识和创新能力。

例如等腰三角形的判定定理的证明可从以下途径进行:

已知:在△ABC中, ∠B=∠C, 试说明AB=AC的理由。

方法一:添顶角平分线AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法二:添底边BC上的高AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法三:添两底角的角平分线BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法四:添两腰上的高BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法五:不添辅助线, ∵∠A=∠A, BC=CB, ∠B=∠C, ∴△ABC≌△ACB, ∴AB=AC。

证法评价:方法五最简单, 但不易想到, 方法一、二简单且容易想到, 方法三、四较繁不宜提倡。

三、剖析命题特征, 进行语言变式

1. 对数学命题的语言互译

对几何定理的文字语言、图形语言、符号语言这三种数学语言进行互译, 符号语言译成文字语言后, 有助于弄清题意, 文字语言译成图形语言, 可以借助图形思考。对代数原理 (定理、公式等) 探求它们的几何意义, 从而培养学生“语言”转换能力和运用数形结合的思想, 提高分析问题、解决问题的能力。

例如:学了等腰三角形的判定定理后, 列成下表:

2. 分析数学命题的本质结构, 实现认知的具体化。

如认清公式、定理的条件与结论的制约关系, 它可以解决哪些方面的问题, 在某些复杂图形中识别和分解基本图形, 辨认变式图形等。

如运用直角三角形斜边上的中线定理可以证明线段的和、差、倍、分, 证明线段平行, 计算线段长度, 证明线段不等式等。具体应用时, 若题中有斜边的中点, 往往直接连结直角顶点与斜边中点应用直角三角形斜边上中线定理, 有时题中并无明确中点, 则应挖掘隐含条件, 寻找构造斜边的中点, 有时题中有中点, 却无完整的直角三角形, 则宜将直角三角形补充完整。

3. 命题的记忆

(1) 理解性记忆

例如, 30°、45°和60°的三角函数值的记忆, 可结合30°的直角三角形和等腰直角三角形的三边之间的关系来记忆, 有利于将机械记忆转化为理解记忆。

(2) 变通性记忆

例如将“完全平方公式”浓缩为口诀:“首平方, 尾平方, 两倍首尾中间放”等, 以形成深刻的印象, 帮助对公式的记忆。

(3) 系统性记忆

当要记忆的公式很多时, 可将这些公式进行逻辑整理抓住它们之间的内在联系, 将它们组织串联起来, 形成一个有序的知识网络, 便于记忆。

按逻辑关系进行整理记忆, 如垂径定理及推论的整理。

按功能进行整理记忆, 如有关圆的定理的整理。

需要指出, 数学原理的记忆离不开应用, 学而不用, 自然就记不住。

四、剖析命题结构, 进行变形变式

探求公式、定理的变形与推广形式, 充分体现公式、定理的转化和简化功能, 可以培养学生的应变能力和简捷思维、快速解题的能力。

例如, 完全平方公式的变式设计:

完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2; (a-b) 2=a2-2ab+b2。

其变式为:

变式练习:

1. 已知:a+b=3, ab=1, 求: (1) (a-b) 2; (2) a2+b2。

2.已知:a-b=3, ab=1, 求: (1) (a+b) 2; (2) a2+b2。

3. 已知:a+b=1, a2+b2=3, 求ab。

4. 已知:a-b=1, a2+b2=3, 求ab。

五、一式多变, 重视命题的运用内化过程

根据现代认知学习论, 程序知识或智慧技能学习一般要经历三个阶段, 其发展的最后阶段是通过变式训练来实现操作技能的自动化。学校心理学指出:通过知识的应用, 既能够加深理解知识和促进知识的保持, 还可以形成一定的技能。

仍以“三角形的中位线”为例, 在三角形中位线性质的剖析及简单的直接计算应用后, 出示:

问题1:已知四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。

利用《几何画板》对例题作如下变式:

问题2: (1) 当对角线AC、BD垂直, 四边形EFGH是什么四边形?为什么?

(2) 当对角线AC=BD时, 四边形E-FGH是什么四边形?为什么?

问题3: (1) 如果四边形ABCD是矩形, 四边形EFGH的形状如何?

(2) 如果四边形ABCD是菱形, 四边形EFGH的形状如何?

(3) 如果四边形ABCD是正方形, 四边形EFGH的形状如何?

从问题1到问题3, 把课本上的一道例题变成一系列开放性问题, 引导学生观察思考, 猜想论证, 探究创新, 从中训练学生的思维, 培养他们的能力。

在推理论证后, 安排了一道实际测量问题:

问题4:有一条不能跨越的河流, 现需测量对岸两建筑物之间的距离, 请同学们设计一个测量方案。

由于学生已有前面的探索, 对三角形的中位线的性质有了正确的理解, 因此对这个实际问题很多学生能较快地联想到了三角形的中位线, 从而先去构划三角形, 利用三角形的中位线定理去解决问题。

又如“平方差公式”这一原理的掌握可从以下题组着手:

(1) 模仿练习。 (略)

(2) 辨别练习。下列各题能否运用平方差公式进行化简:

(3) 灵活应用练习。化简:

(4) 实际运用练习。计算:

(5) 变式运用练习。计算:

(2) 9972;

注:以上各练习目标的完成, 可视学生认知水平用1到2节课达成。

在数学公式、定理的教学中, 通过过程性的变式, 引导学生大胆猜想、有效探索, 克服思维定势, 激励思维的创造性, 找到解决问题的最佳方案, 使学生不仅学到新知识, 而且更重要的是培养他们的探索精神, 并逐渐掌握学习新知识的方法。

参考文献

[1]张四保.候永新.初中数学课堂教学课型.吉林大学出版社.2008年3月第1版

[2]郑洁.数学教学中如何暴露学生的思维过程.中小学数学 (初中教师版) .2003年第1￣2期

2.初中数学基本公式 篇二

常用数学公式

1、乘法与因式分解完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2

平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

bb24ac22、一元二次方程的解求根公式： x=(b4ac0)2a

bc3、根与系数的关系：（韦达定理）△≥0时：x1+x2=x ×x 2=aa324、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n5、正三角形面积=aa表示边长416、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=47、弧长计算公式：L nr180……..8、扇形面积公式：S扇形nr2360 =lr2

常用基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理 三角形两边的和大于第三边

16、推论 三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18、推论1 直角三角形的两个锐角互余

19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等

24、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）

31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理 四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论 任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

3.初中数学公式总结参考 篇三

圆柱的表(侧)面积：圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh=2πrh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2

圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh圆锥的体积=1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：(2+4)×5=2×5+4×5

6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。

简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。

7、么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。

8、什么叫方程式?答：含有未知数的等式叫方程式。

9、什么叫一元一次方程式?答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。

13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。15、分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小不变。

20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。21、甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘以乙数的倒数。数量关系计算公式方面1、单价×数量=总价2、单产量×数量=总产量3、速度×时间=路程4、工效×时间=工作总量5、加数+加数=和一个加数=和+另一个加数

被减数-减数=差减数=被减数-差被减数=减数+差因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数有余数的除法：被除数=商×除数+余数一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6=90÷(5×6)

6、1公里=1千米1千米=1000米

1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米

1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米

1吨=1000千克1千克=1000克=1公斤=1市斤1公顷=10000平方米。1亩=666。666平方米。1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米

7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3：6或1/3比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外)，比值不变。8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3：6=9：189、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3：χ=9：18

11、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k(k一定)或kx=y

12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x×y=k(k一定)或k/x=y百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

13、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100%就行了。

把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

14、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100%就行了。把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。15、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。16、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。(或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。)17、互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。

18、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

19、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。(通分用最小公倍数)

20、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。(约分用最大公约数)

21、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。分数计算到最后，得数必须化成最简分数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行

约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。22、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。23、质数(素数)：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。24、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。

28、利息=本金×利率×时间(时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应)

29、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

30、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。

31、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3。14141432、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如3。141592654

33、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3。141592654……34、什么叫代数?代数就是用字母代替数。

35、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。如：3x=(a+b)*c

初中数学知识点归纳。

有理数的加法运算

同号两数来相加，绝对值加不变号。

异号相加大减小，大数决定和符号。

互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

有理数的减法运算

减正等于加负，减负等于加正。有理数的乘法运算符号法则

同号得正异号负，一项为零积是零。合并同类项

说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。去、添括号法则

去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。解方程

已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。平方差公式

两数和乘两数差，等于两数平方差。积化和差变两项，完全平方不是它。完全平方公式

二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。和的平方加联结，先减后加差平方。完全平方公式

首平方又末平方，二倍首末在中央。和的平方加再加，先减后加差平方。解一元一次方程

先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。解一元一次方程

先去分母再括号，移项合并同类项。系数化1还没好，准确无误不白忙。因式分解与乘法

和差化积是乘法，乘法本身是运算。积化和差是分解，因式分解非运算。因式分解

两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。两式平方符号同，底积2倍坐中央。因式分解能与否，符号上面有文章。

同和异差先平方，还要加上正负号。

同正则正负就负，异则需添幂符号。因式分解

一提二套三分组，十字相乘也上数。四种方法都不行，拆项添项去重组。重组无望试求根，换元或者算余数。多种方法灵活选，连乘结果是基础。同式相乘若出现，乘方表示要记住。【注】一提(提公因式)二套(套公式)

因式分解

一提二套三分组，叉乘求根也上数。五种方法都不行，拆项添项去重组。对症下药稳又准，连乘结果是基础。二次三项式的因式分解

先想完全平方式，十字相乘是其次。两种方法行不通，求根分解去尝试。比和比例

两数相除也叫比，两比相等叫比例。外项积等内项积，等积可化八比例。分别交换内外项，统统都要叫更比。同时交换内外项，便要称其为反比。前后项和比后项，比值不变叫合比。前后项差比后项，组成比例是分比。两项和比两项差，比值相等合分比。前项和比后项和，比值不变叫等比。解比例

外项积等内项积，列出方程并解之。求比值

由已知去求比值，多种途径可利用。活用比例七性质，变量替换也走红。消元也是好办法，殊途同归会变通。正比例与反比例

商定变量成正比，积定变量成反比。正比例与反比例

变化过程商一定，两个变量成正比。变化过程积一定，两个变量成反比。判断四数成比例

四数是否成比例，递增递减先排序。两端积等中间积，四数一定成比例。判断四式成比例

四式是否成比例，生或降幂先排序。两端积等中间积，四式便可成比例。比例中项

成比例的四项中，外项相同会遇到。有时内项会相同，比例中项少不了。比例中项很重要，多种场合会碰到。成比例的四项中，外项相同有不少。有时内项会相同，比例中项出现了。同数平方等异积，比例中项无处逃。根式与无理式

表示方根代数式，都可称其为根式。用平方差公式因式分解

异号两个平方项，因式分解有办法。两底和乘两底差，分解结果就是它。用完全平方公式因式分解

两平方项在两端，底积2倍在中部。同正两底和平方，全负和方相反数。分成两底差平方，方正倍积要为负。两边为负中间正，底差平方相反数。一平方又一平方，底积2倍在中路。根式异于无理式，被开方式无限制。被开方式有字母，才能称为无理式。无理式都是根式，区分它们有标志。被开方式有字母，又可称为无理式。求定义域

求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式

先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元一次不等式组

大于头来小于尾，大小不一中间找。大大小小没有解，四种情况全来了。同向取两边，异向取中间。中间无元素，无解便出现。

幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小)敬老院以老为荣，(同大就要取较大)军营里没老没少。(大小小大就是它)大大小小解集空。(小小大大哪有哇)解一元二次不等式

首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。a正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。三正两底和平方，全负和方相反数。分成两底差平方，两端为正倍积负。两边若负中间正，底差平方相反数。用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程

左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程

已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程

方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c相等都为零，等根是零不要忘。b、c同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量，有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质

正比函数图直线，经过和原点。K正一三负二四，变化趋势记心间。

K正左低右边高，同大同小向爬山。K负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数

一次函数图直线，经过点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。K负左高右边低，越来越低很明显。K称斜率b截距，截距为零变正函。反比例函数

反比函数双曲线，经过点。

直平之间是钝角，平周之间叫优角。

互余两角和直角，和是平角互补角。一点出发两射线，组成图形叫做角。平角反向且共线，平角之半叫直角。平角两倍成周角，小于直角叫锐角。钝角界于直平间，平周之间叫优角。和为直角叫互余，互为补角和平角。证等积或比例线段

等积或比例线段，多种途径可以证。K正一三负二四，两轴是它渐近线。K正左高右边低，一三象限滑下山。K负左低右边高，二四象限如爬山。二次函数

二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线直线、射线与线段

直线射线与线段，形状相似有关联。直线长短不确定，可向两方无限延。射线仅有一端点，反向延长成直线。线段定长两端点，双向延伸变直线。两点定线是共性，组成图形最常见。角

一点出发两射线，组成图形叫做角。共线反向是平角，平角之半叫直角。平角两倍成周角，小于直角叫锐角。证等积要改等比，对照图形看特征。共点共线线相交，平行截比把题证。三点定型十分像，想法来把相似证。图形明显不相似，等线段比替换证。换后结论能成立，原来命题即得证。实在不行用面积，射影角分线也成。只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。解无理方程

一无一有各一边，两无也要放两边。乘方根号无踪迹，方程可解无负担。两无一有相对难，两次乘方也好办。特殊情况去换元，得解验根是必然。解分式方程

先约后乘公分母，整式方程转化出。特殊情况可换元，去掉分母是出路。求得解后要验根，原留增舍别含糊。列方程解应用题

列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。添加辅助线

学习几何体会深，成败也许一线牵。分散条件要集中，常要添加辅助线。畏惧心理不要有，其次要把观念变。熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。图中已知有中线，倍长中线把线连。旋转构造全等形，等线段角可代换。多条中线连中点，便可得到中位线。倘若知角平分线，既可两边作垂线。也可沿线去翻折，全等图形立呈现。角分线若加垂线，等腰三角形可见。角分线加平行线，等线段角位置变。已知线段中垂线，连接两端等线段。辅助线必画虚线，便与原图联系看。

两点间距离公式

同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。矩形的判定

任意一个四边形，三个直角成矩形;对角线等互平分，四边形它是矩形。已知平行四边形，一个直角叫矩形;两对角线若相等，理所当然为矩形。菱形的判定

任意一个四边形，四边相等成菱形;四边形的对角线，垂直互分是菱形。已知平行四边形，邻边相等叫菱形;两对角线若垂直，顺理成章为菱形。

4.初中数学几何知识点：平行 篇四

1、两直线平行，同位角相等；

2、两直线平行，内错角相等；

3、两直线平行，同旁内角互补。

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5、平行线间的距离处处相等。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

初中数学几何知识点：平行的判定

1、同位角相等，两直线平行；

2、内错角相等，两直线平行；

3、同旁内角互补，两直线平行；

4、两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行。

5、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

5.初中数学平行公理公式 篇五

关键词：数学,实在,集合论,公理化,自由

数学从诞生之日起就显示出与众不同的魅力。一方面,数学的抽象性、普适性及其深刻性无不体现着人类理性智力的荣耀;另一方面,数学在描述、解释和预测自然界真理时又呈现出无比强大的效力。数学曾被作为确定性知识的典范,其所运用的公理化———演绎方法,明确地与经验自然科学所运用的以观察和实验为基础的归纳方法有所不同。正因如此,经验自然科学往往被认为面对的是不确定的世界,经验自然科学所揭示的真理是不确定的真理,科学的可错性在某种程度上恰好印证了科学进步的可能性。然而,数学作为人类理性智力对真理的追求,它为我们呈现的是一种具有确定性的必然世界。自康托尔(Cantor)创立集合论以来,集合论带给数学的哲学挑战颠覆了数学在人们心目中的地位,进而引发了一系列具有根本性的重要问题。这些问题至今仍未获得一致的解决:数学是对真理的探求,还是一种纯粹的人类智力活动?数学是自然界真理的探求者,还是客观柏拉图世界的发现者?存在着不依赖于人类思维的独立的、不同于经验世界的抽象数学世界吗?接受一些特定数学命题为公理的标准是什么?我们能够确保数学公理系统的相容性吗?存在着数学公理系统所不能认识的真理吗?现今的数学能为我们的哲学信念提供什么证据?数学的扩张和发展揭示了一种独特的数学之本性吗?究竟什么是数学?当代的数学该何去何从?数学哲学又该何去何从?通过从数学实在性的追问到当代集合论公理的确证,我们将对上述问题给出尝试性的回答。

一数学实在性的追问:三种哲学信念

从古希腊的柏拉图和亚里士多德开始,人类就形成了认识世界的两种方式:以数学推理为基础的理性认识模式和以感觉经验为基础的经验认识模式。前者推崇的是人类理性的演绎推理,理性主义者深信通过这种方式人类能把握宇宙的深层真理;后者则尊重人对世界的经验感觉,人类通过归纳推理的方式形成对世界的认知,经验主义者更看重经验对理论的验证。不过,随着数学日益抽象化的发展,早在19世纪一些数学概念就已经全然脱离了其物理意义或解释获得了自身的独立性。正如康托尔所言:“数学的本质就在于它的自由。”[1]132一直到今天,数学家、物理学家和哲学家对于数学的实在性本质仍然争论不休。数学究竟是一种发现还是创造,如果是发现,揭示的是物质宇宙世界的真理还是抽象世界的真理?基于这些追问,至今已形成对数学实在性的三种哲学信念。

(一)数学作为自然界真理的探求者

早在公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派就开启了“宇宙的数学化设计”的信念。他们深信:宇宙是以数学方式设计的,借助于数学知识,人类可以充分地认识它。[2]11那么,如何得到宇宙的真理呢?希腊人突破了其他古文明只出于实用的目的研究数学的传统,他们自己设计了数学自身独特的一套方法。欧几里得的《几何原本》成为希腊人利用数学知识探求宇宙真理的典范。它从一些不证自明、无人怀疑的公理出发,通过严格的逻辑推导,得出确定无疑的结论。“对于希腊人,几何学原理是宇宙的整体结构的体现,空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作,几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。”[2]26此外,希腊人的天文学、力学、光学和地理学等都呈现出数学化的特点。希腊人相信,“数学实质上存在于宇宙万物之中,它是关于自然界结构的真理,……宇宙存在规律和秩序,数学是达到这种有序的关键。”[2]33

然而,不幸的是,希腊文化由于战争遭到了摧毁。中世纪,文化由教会所控制,上帝成了宇宙的设计者。文艺复兴时期,一些先驱重新燃起了对自然界探索的兴趣,不过他们接受了“自然界由上帝所创造”的信念。于是,“希腊人的宗旨———自然是依数学设计的,与文艺复兴时的信念———上帝是这个设计的作者,融会在一起,统治了欧洲”。[2]39从哥白尼、开普勒、伽利略到牛顿,这些伟大的宇宙探究者都相信宇宙是上帝按照数学的方式设计的。哥白尼相信宇宙的设计遵循简单、和谐的美,他把托勒密描述宇宙所需要的77个圆缩减为34个;开普勒则创造性地发现了太阳和行星运动的椭圆轨道模型,提出行星运动三定律;伽利略提议要寻求宇宙的数学描述,而非物理解释,提出自由落体定律;牛顿则用数学前提取代物理学假设,用万有引力定律统一了开普勒的天体运动定律和伽利略的地面物体运动定律。数学史家克莱因(Klein)赞叹道:“牛顿终于放弃了物理的解释,他用数学概念及量化了的公式,还有能导致公式的数学推导重铸了整个17世纪的物理学。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个……仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。”[2]70直到18世纪,拉格朗日(Lagrange)、拉普拉斯(Laplace)、欧拉(Euler)、高斯(Gauss)、柯西(Cauchy)、傅立叶(Fourier)等许多伟大的数学家和物理学家都相信,数学研究的目的就在于揭示宇宙的真理。

然而,19世纪非欧几何、四元数、集合论、数论等的发展使得一些数学概念完全超越并突破了物理解释,应用数学变成了纯数学,数学不再被看作是物质世界的真理,而是有其自己的独立性。数学的确证不再依靠在解释自然界和自然科学方面的成功,而是需要依靠自身的逻辑结构,一些数学分支由此变成了数学家纯智力的追求,数学远远领先于物理学快速成长。

不过即使如此,极为抽象的数学在接下来的19、20世纪仍然使得许多伟大的数学家和物理学家相信:数学就是解开自然之谜的那把金钥匙。这些重要人物可以列出一分长长的清单:黎曼、闵可夫斯基、麦克斯韦、狄拉克、爱因斯坦、外尔、陈省身、杨振宁、丘成桐……。黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了基础,麦克斯韦方程组预言了电磁波、狄拉克用数学公式预言了正电子、黎曼猜想与物理现象的能级分布具有同样的分布规律、物理学的规范场恰好是微分几何纤维丛上的联络、弦论(万物理论的候选理论)则在数学中的卡拉比-丘流形中找到了依据……

总之,2000多年来,从古希腊毕达哥拉斯的“万物皆数”到20世纪80年代兴起的万物理论———弦论,数学在揭示自然这部大书之伟大奥秘的进程中一直扮演着无法替代的重要角色。

(二)数学作为人类理性的创造物

与把数学看作揭示自然界奥秘的钥匙这种观点不同,也有相当数学家、哲学家和物理学家把数学看作是人类理性的创造物。人们可以通过运用人类天生的理性直观而获得数学知识,这种观点后来演变成一个学派:数学直觉主义。

直觉主义最早可以追溯到笛卡尔。笛卡尔的怀疑论至今影响深远,它怀疑人们的常识、感觉和经验,得出“我思故我在”的断言。笛卡尔怀疑论的根基是理性,因此人类自身的理性成为知识的基础。他认为只有通过人类的直觉和推理方法才可以获得真知识。笛卡尔声称:“我所用的直觉,意思不是不稳定的感官证据,……而是纯粹、专注的心智的概念构造能力,……只来自于理性之光,甚至比推理更为确定,因为它更简单;……这样根据直觉,人人都明白他存在,他思想,三角形只由三条线段所围,……以及其他类似的事实。”[3]97在笛卡尔看来,不证自明的数学公理是人类最清楚的直觉,因而必然是真理。

笛卡尔之后,康德是数学直觉主义真正意义上的先驱。他把时间和空间看作人类理性先天的直观形式。在区分了先验/后验、分析/综合的基础上,他把数学看作先验综合判断。在康德看来,数学可以产生新知识,这种新知识是被人类先验地认识到的,是人类理性的创造物。康德认为,是人类的心智将散乱的经验组织并纳入其中,从而形成人类心智对世界的理解。这样,“既然空间的直觉来源于心智,那么心智自动地接受空间的某些属性,诸如直线是两点间的最短路径,三点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假设的真理,它们是心智构成的一部分”。[2]然而,19世纪非欧几何的发现最终敲响了康德先天直观的丧钟。即便如此,康德把数学看作人类理性的创造这种思想对今天的一些数学家和物理学家依然具有深远影响。

直觉主义成为一个学派,最终还应归功于克罗内克(Kronecker)、布劳威尔(Brouwer)和海丁(Heyting)等数学家的信念和实践。克罗内克的名言“上帝创造了整数,其他都是人的工作”,典型地表明了人的直观在数学中的作用。为此,克罗内克坚决不承认超越了人的直观所能理解的超穷数。在他看来,根本就不需要把整数奠定在超穷集合论的基础上。由于数学是人类心灵的创造物,不存在独立于人类心灵的数学对象,所以,克罗内克反对一切以非构造的方式形成的数学概念和证明。克罗内克之后,直觉主义由布劳威尔及其学生海丁所发展。布劳威尔主张,“数学是起源和产生于头脑的人类活动,它并不存在于头脑之外,因此,它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直觉,这些直觉不是感觉或经验上的,而是对某些数学概念直接的确定,其中包括整数。”[2]305即,“数学实践源自人的心灵的内省”。[4]180海丁总结道,“直觉主义数学家建议把数学研究作为人类理智的一种天然功能,是一种自由的、重要的思想活动。对他而言,数学是人类心灵的产物……我们不能把数学对象看成是一种独立于我们的思想的存在,即一种先验的存在……数学对象本质上依赖于人类的思想。”[5]

与这种思想相对应,数学被看作一种创造性的发明而不是发现的人类活动。维特根斯坦明确持有这种主张。在维特根斯坦的影响下,一些数学家、哲学家、数学史家和社会学家(比如布鲁尔(Bloor)、欧内斯特(Ernest)、赫什(Hersh)等)进一步发展出了更极端的观点:数学的社会建构论或者数学的人文主义。这种观点主张:数学是由数学家共同体在特定的社会历史条件下建构出来的知识体系,数学知识是可错的,不是绝对真理,数学的客观性不是由客观的实在世界所决定,而在于其共同体的约定,在于其社会性。这样,数学的社会建构论自然就滑向了相对主义。

时至今日,这种极端的直觉主义和社会建构论已被大多数人抛弃。直觉主义作为一种哲学信念,完全没有抵挡住数学前进的步伐。社会建构论则作为对数学的一种描述性说明,并没有真正解决一些有趣而重要的传统哲学难题:数学是对不同于物质世界的抽象世界的理性探究吗?从古希腊直到今天还一直让数学家、物理学家和哲学家惊叹的:数学那不可思议的有效性究竟如何可能?

然而即使如此,“数学是一种创造还是发现”至今依然是人们争论不休的话题。

(三)数学对柏拉图世界真理的追求

数学自古希腊起就被赋予了极高的地位,柏拉图学园入口处的“不懂几何者不得入内”广为流传。数学在柏拉图那里,被抬到了与哲学同样高的地位。毕达哥拉斯学派信奉:宇宙是按数学的方式设计的。柏拉图则认为,数学研究的是不同于物质世界的另一个客观真实的抽象(共相)世界,物质世界是这个抽象世界的映像。物质世界是不完美、有瑕疵,变动的;抽象的共相世界是完美、永恒的。人们可以通过对这个完美的抽象共相世界的认识,来理解我们生活于其中的物质世界。

柏拉图是第一个开启数学实在论的哲学家和数学家,而且他既是数学本体论的实在论者,又是数学真值实在论者。他断言:“几何学命题客观地为真或为假,独立于数学家的心灵、语言等等。……几何学命题涉及没有维度的点、没有宽度的完美直线和完美的圆。物质世界不包含任何这类事物,我们看不到欧几里得点、线和圆。因此,几何学不是关于物质世界,即那个变化生成的世界中的任何事物的,我们也并不是通过感觉来理解几何学对象。”[4]同样他认为:“算术和代数命题的真假独立于数学家、物质世界,甚至心灵,……算术命题是关于一个被称为‘数’的抽象对象组成的领域。”[4]57

自柏拉图以后,数学一直作为理解自然之奥秘的角色得以探究和扩展。直到19世纪后期德国数学家康托尔集合论的创立,数学才又被带回到了柏拉图的世界。康托尔是一个典型的柏拉图主义者,他那带有神学色彩的哲学信念是他坚持探索抽象的无穷世界坚实的后盾。正如康托尔的传记作者,著名的数学史家道本(Dauben)所言:“康托尔坚持认为,自然数的真实性和绝对合理性比任何在真实世界中存在并通过人的感官而感知的事物更重要。……超穷数和有穷数同样是可能的和存在的……所有的超穷数都作为永恒的理念而存在。这是一种很强的柏拉图主义。”[1]

与康托尔同时代的数理逻辑的创始人弗雷格(Frege),是当代数学本体实在论和真值实在论真正的先驱,是柏拉图主义思想复活的领路人。弗雷格通过数学上伟大的逻辑主义规划、分析哲学中的语义分析以及逻辑分析技巧,精致地阐述了他的柏拉图主义。数学是在研究一个客观的由逻辑对象构成的抽象世界,数学真理本质上是逻辑真理。可以看出,弗雷格的数学世界偏离了柏拉图意义上的抽象共相世界,弗雷格抽象世界的本质其实是逻辑。但即使如此,他的思想依然影响了后续许多的数学家和哲学家的信念,其中就包括著名的柏拉图主义者哥德尔。

哥德尔在哲学上以其概念实在论著称。哥德尔相信存在着一个类似于物质世界真实性的数学世界,数学真理即是对该世界的真实描述。哥德尔声称:“数学概念构成其自身的客观实在,这种客观实在性不是我们能创建或更改的,我们只可以感知和描述它。……柏拉图主义者的观点是唯一站得住脚的……数学描述了非感性实在,其存在既独立于人类心灵的行为,也独立于心灵的倾向,它只能被人类的心灵知觉到。”[6]哥德尔之所以有这么强的柏拉图主义信念,是因为他所研究的集合论使他不得不承认数学的实在性。他说:“尽管它们远离感官经验,但我们对集合论的对象却是有某种类似知觉的经验,这可以从那些公理强迫我们接受其为真的事实中看出。我看不出有什么理由我们为什么对这类知觉的信心,即对数学直觉的信心,要比对感性知觉的信心弱。”[7]484因此,他断言:“存在———除非我错了———一个由全部数学真理构成的完整世界,我们只能通过我们的智慧来接近它,它的存在就像物理实在世界的存在,二者都独立于我们,二者都由上帝创建。”[6]323

英国数学家哈代(Hardy)典型地代表了持有柏拉图主义的数学家的心声:“我相信,数学实在在我们之外,我们的作用是去发现它或观察它。我们所证明的,以及我们大言不惭地描述为我们所‘创造’的定理,仅仅是我们观察的记录。这种观点一直被自柏拉图以来许多具有崇高声望的数学家以这样或那样的形式坚持着。”[8]最近一些数学家、物理学家和哲学家聚集在一起,以研讨会的形式讨论了数学的创造和发现、数学和物理学的实在性等,由英国数学物理学家波尔金霍恩(Polkinghorne)主编的《数学的意义》一书于2011年出版。从其论述来看,波尔金霍恩、数学家索托伊(Sautoy)和数学物理学家彭罗斯(Penrose)等人都持有或强或弱的柏拉图主义。

时至今日,依然有许多数学家持有柏拉图主义的信念而从事数学研究。不过,也有一部分人声称并没有确定的理由使我们相信确实存在这样一种非时空的数学世界,从事数学研究并不需要提前预设数学实在。那么,究竟什么是数学?这依然是一个谜题。如果从数学所运用的独特方法来看,它又能为我们揭示出什么?

二数学公理化方法的诘难:确定性的丧失

从古希腊起至今,数学以其自身独特的方法享有具有最高确定性知识的典范。正如克莱因所言:“数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果,即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是,若公理为真,则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出显然是毋庸置疑、不可辩驳的结论。”[2]2然而,随着19世纪非欧几何和20世纪集合论公理化的发展,数学公理系统自身的可靠性、相容性和完备性等问题浮现出来,使人们不得不重新思考数学公理化方法在获得真理方面的效力。

(一)数学公理的可靠性

从公元前3世纪欧几里得《几何原本》确立数学的公理化方法以来,数学公理的可靠性源自公理的自明性。然而,随着19世纪数学的发展,一些公理远比欧几里得的公理更抽象,远远超出了人们的直观。数学家使用公理是为了在数学严格的意义上确立数学概念的定义。比如,希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(1899)。因此,如果公理在直观上并不自明,那么公理的可靠性如何得到保证?

众所周知,数学公理化方法的发展经历了从实质公理学到形式公理学的演变。“所谓实质公理化,就是先于公理而假定一个唯一的论域来建立公理系统。数学欧氏几何是实质公理化的典范,它在给出概念、公理之前,就预设了特定的对象域或者论域———即现实的三维空间。而其中的公理则是符合人们直观的不证自明的事实,这种基于经验和直观的数学明显带着经验的成分。”[9]对感性直观的依赖,缺乏数学的严格性是实质公理化的最主要缺陷,公理的自明性恰恰成了公理可靠性的质疑点。

为此,希尔伯特开创了形式公理化的方法。“与实质公理学不同,形式公理学不预先给定任何对象域,不和任何实际的知识相结合;初始概念在引入公理之前是不加定义的,公理可以看成是初始概念的定义(称为‘隐定义’);它不涉及任何意义而展开形式的推演;对初始概念经过不同的解释,一个形式公理系统可以有许多对象域(模型)。”[10]希尔伯特有一个形象的解释:在几何学的形式公理系统中,“人们必定总是能用‘桌子、椅子和啤酒杯’来代替‘点、线和面’”。[4]151这就是形式公理化方法的本质。

数学公理可靠性的问题真正产生于20世纪初集合论的公理化。众所皆知,康托尔创立的集合论中所用的集合概念是直观的,集合被定义为:“我们的直观或思想中明确的、可分辨的物体的总体”。[2]332这种朴素集合论导致了许多悖论,为避免悖论的出现,策梅洛(Zermelo)试图用公理的方法来约束集合,后经弗兰克尔(Fraenkel)补充,形成策梅洛-弗兰克尔集合论,简称ZFC。然而,选择公理的使用激起了许多数学家的反对。第一,选择公理涉及无穷,而无穷不是自明的。第二,它会引起违反人们直觉的“巴拿赫-塔斯基分球怪论”。第三,选择公理独立于其他ZF公理。虽然如此,选择公理的应用如此广泛,如果不接受选择公理,分析、拓扑学、抽象代数等数学分支中的许多定理便不再成立。数学公理可靠性的基础问题引起了数学家的重视,由此产生了有关数学公理的内部确证和外部确证的争议。一般而言,把自明性和直观性看作公理的内部确证;把公理的有效性和丰富性看作公理的外部确证。

费弗曼(Feferman)赞成公理最初的自明性标准,反对以外部的原因为公理的合法性进行辩护。他根据《牛津英语词典》的定义,认为“数学公理就是不需要形式论证来证明其真实性的自明命题。一旦提及这样的命题,这个命题就是真命题,并且我们都赞同其真实性。……实际上,数学家与逻辑学家对公理所赋予的含义与这个词的典型含义已经远离得让人吃惊。有些人甚至把任意的假设作为公理的含义。”[11]然而,斯蒂尔(Steel)却声称:“古老的公理自明性的要求太主观了,更重要的是太局限了。……自明性的要求会阻碍更强基础的进展。”[11]

尽管有对选择公理的质疑声,更多的人却依然倾向于基于外部确证支持选择公理。就像策梅洛所说:“只要这里提到的这些相对简单的问题[如果没有选择公理]仍然是难以解决的,并且另一方面,只要选择公理这条原则不能够被明确地反驳,那么就没有人有权力阻止富有成效的科学的代表们继续使用这个‘假说’———也许有人会这么称呼它,与我无关———在最大程度上发展它的推论。”[12]哥德尔也赞成这种外部确证。他认为,“即使不理会某个新公理的内在必然性,也许甚至它根本就没有内在必然性,有关该公理的真的一种可能的判定用另一种方式也是可能的,即通过研究它的‘成功’进行归纳地判定。这里的成功意味着可以得出丰富的结论。”[7]477总之,选择公理之所以被接受是因为它可以实现特定的数学目标。

由上述分析可知,无论是公理的自明性还是其成功的应用,其可靠性都无法得到严格的证明。因此,通过诉诸自明性有可能会限制数学的发展,但若靠其外部确证,这些公理似乎又将返回到19世纪数学严格化运动之前的混乱状态。数学将何去何从,这似乎依然是数学和哲学共同面临的难题。

(二)数学公理系统的相容性

数学公理化方法的另一个棘手的问题就是:数学公理系统的相容性。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提出了著名的23个数学问题,其中就包括算术公理的无矛盾性,公理系统的相容性正式得到数学家的重视。19世纪的公理化运动将数学带上了追求严格性的道路。然而,此时数学家们却发现,公理化方法有一个根本的缺陷。如果无法证明诸公理之间的相容性,那么整个公理系统将会受到威胁,从而陷入一种自相矛盾的危险境地。为了使数学建立在一个安全可靠的基础上,各种公理化方法受到不同数学家的青睐,包括逻辑主义、元数学纲领和公理集合论。

第一种方案“逻辑主义”,企图把数学奠定在严格的逻辑基础之上,以此避免数学中出现悖论,将人们不可靠的经验和直观剔除出数学。如果逻辑主义规划成功,那么数学将真正成为一门严格的确定性最高的知识,数学将成为人类获知真理的最可靠途径,且是毋庸置疑的绝对真理。况且,逻辑真理的相容性足可以保证数学公理的相容性。然而,逻辑主义自身遇到了根本性的困境。首先,如果数学公理是逻辑公理,那么选择公理和无穷公理无疑就是逻辑公理。但是,关于无穷公理和选择公理是否是逻辑,人们提出了质疑。最后,就连罗素(Russell)本人也承认这两个公理不是逻辑公理。同时,数学归纳法也无法被看作逻辑。数学远远比逻辑丰富得多。其次,既然逻辑主义规划中无法囊括无穷公理和选择公理,其相容性自然也就未被解决。第三,更重要的是,如果逻辑主义正确,数学就是一门逻辑演绎的科学,无法解释数学在广泛的自然现象、空间几何、声学、电磁学、力学等中的应用。

第二种方案“元数学纲领”,希尔伯特试图通过把数学彻底形式化来解决数学的相容性问题,已达到数学最大的普适性和最高的确定性。这种元数学的核心是把数学当作形式系统,包括公理和推理规则,数学遵循严格的推导,完全建立在严格的证明之上。数学就是从公理证明定理的形式推演过程。如果形式系统是相容的,系统内的所有定理均为真理。这种方案也被称为“证明论”。希尔伯特坚信,通过这种方法,每一个确定的数学问题都可以解决。然而,哥德尔1931年发表的论文宣告了形式主义的破产:一个包含算术的形式系统如果是相容的,其相容性不能在该形式系统内得到证明。这就意味着,形式系统无法确立自身的相容性。更令人担心的是,“由于相容性的不可证明,数学家们正冒着传播谬误的危险,因为不定什么时候就会冒出一个矛盾。如果真的发生了这种情况,而且矛盾又不能消除,那么全部数学都会变得毫无意义”。[2]346

第三种方案“集合论的公理化”,公理集合论最直接的目的就是限制集合大小,通过公理的方式确定集合的严格定义,消除经验直观,从而避免康托尔朴素集合论中产生的悖论。然而,就在策梅罗建立公理集合论之初,选择公理受到了抨击。公理集合论的目的是避免出现悖论,但选择公理自身却直接推出了违反直觉的分球怪论。鉴于选择公理自身的可靠性受到了怀疑,集合论公理ZFC系统又如何保证其自身的相容性呢?即使考虑到选择公理的重要性从而接受了它,但从未有人去认真对待公理集合论自身的相容性证明。彭加勒(Poincaré)调侃道:“为了防备狼,羊群已用篱笆圈起来了,但却不知道在圈里有没有狼。”[2]335这足以看出相容性问题的重要性。

令数学家感到受挫的是,上述所有方案都没能真正解决公理系统的相容性问题,直到今天也依然如此。数学公理化方法仍然处在一种不确定的飘摇状态中。

(三)数学公理系统的完备性

自数学的公理化方法诞生以来,数学一直被看作确定性、必然性知识的典范。只要给定初始概念、定义、公理和推理规则,数学家就可以推出不容置疑的定理。在一定程度上,数学被看作证明定理的事业。只要是明确的数学问题,不论花多长时间,理论上一定可以解决。数学家凭着这样的信念,把他们的生命献给了他们所热爱的数学,只为寻求真理。然而,这一信念的根据需要数学是完备的,即只要是真理,就可证。20世纪30年代以前,从事数学基础的逻辑主义、直觉主义、元数学纲领和公理集合论的数学家几乎都相信:数学真理就是其可证性。然而,哥德尔的出场震惊了所有人:存在着不可证的数学真理!这对数学公理化方法提出了严重的挑战,还直接打击了像希尔伯特这样大批数学家的信心。希尔伯特宣称:“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。……吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是:在我们中间,常常听到这样的呼声,这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知!”[2]340哥德尔的结果表明数学公理化方法的局限性,存在着数学公理系统不可判定的命题。

随之而来,引发的一个更为严峻的问题是:对于一个特定的数学命题而言,它是否可判定?也就是说,对于一个特定的数学猜想或假说,数学家能否在有穷时间内判定这些断言的真假?结果令人失望:丘奇(Church)1936年证明了这样的判定程序并不存在。“丘奇定理表明,不可能预先确定一个命题是否能证明或证伪,或许两者都不能,即该命题不可判定,但这可不像已知的不可判定命题那么明显。”[2]350这就意味着,数学家们面对的完全是一个未知的不确定的世界,他们穷其一生追随的数学问题本质上也许就是一个根据现行公理系统无法解决的问题。这些结论对数学家来说,就像晴天霹雳,简直令人震惊!号称世界上头号数学难题的“黎曼猜想”,至今数学家验证的结果已达到10万亿个零点,但是对于无穷而言就相当于0,即使验证的个数再多,严格来讲,对数学家信心的增强也没有丝毫助益。因为黎曼猜想本质上究竟是真是假,或者不可判定,我们依然一无所知!最近,英国《每日邮报》2015年11月17日报道,黎曼猜想据称被尼日利亚教授伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决。然而,将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一,并承诺悬赏100万美元的美国克雷数学研究所对此既不证实也不否认,其官网也未作表态。[13]这一问题仍然悬而未决。但是,像黎曼猜想这样的问题吸引着许多数学家为此贡献一生。数学,究竟该何去何从呢?

同样,就集合论中的连续统假设(CH)而言,数学家现在依然面对着不确定性。哥德尔和科恩(Cohen)的结果表明,连续统假设和选择公理都独立于ZF公理,同时,连续统假设独立于ZFC公理。也就是说,现有的ZFC公理不足以判定连续统假设的真值,是不完全的。基于这些结果,有的数学家(比如科恩)主张CH已经得到解决,即不可判定。但也有的数学家(比如哥德尔)主张需要加强ZFC公理,进一步解决CH。还有的数学家(比如费弗曼)认为CH既不是一个确定的数学问题,也不是一个确定的逻辑问题。[14]时至今日,各派数学家仍然坚持自己的信念。就集合论而言,都存在着不同的前进方向,连续统问题依然是一个悬而未决的问题。数学公理系统的不完备性揭示出,公理化方法不足以成为数学的全部,除此之外,数学直觉、经验、哲学信念、假设仍然是数学研究中无法剔除的因素。

由上述分析可见,数学公理的可靠性、公理系统的相容性和完备性告诉人们,试图用公理化的方法为数学奠定一个严格的逻辑基础,把数学看作追求确定世界的真理是人类的一种奢望。数学确定性的壮丽图景逐渐破碎,就像经验自然科学一样,数学同样充满了不确定。那么,数学究竟是什么呢?

三数学的本质在于自由:历史的启迪

纵观数学历程及当前数学的发展,人们一直不断地追问及探究“数学的本质是什么”。今天的数学远比古希腊数学丰富和深刻得多,人们对数学的本质有了更深刻的认识。然而,“数学究竟是什么”依然是一个谜题,人们依然在追索。牛顿曾说:我之所以看得更远,是因为我站在巨人的肩上。从数学2000多年的历史画卷中可知,数学深刻性的扩张、数学丰富性的效力及数学客观性的追求是数学发展的动力,任何束缚数学发展的企图最终都被证实是不明智的,数学的本质就在于它的自由。

(一)数学深刻性的扩张

数学发展的历程告诉我们,今天数学之所以长成一棵参天大树,渗透进所有其他科学、自然及社会现象的解释中,就在于数学自身发展成为一门自成体系、独立的学科,而不仅仅是为了实用以成为其他学科的奴仆。为了更深地理解数学概念的本质、数学的逻辑结构、推进数学的扩张、建立数学严密的逻辑基础,数学才得以如此深刻和自主。如果仅仅建立于实用性的基础之上,非欧几何、四元数、集合论、数学基础主义各纲领等就不会产生,可想而知,数学会贫乏到何种程度。

首先,就非欧几何的产生而言,其内在动机是,数学家们发现欧氏几何中的平行公理并不自明,为了建立欧氏几何的相容性,需要从逻辑上进行严格推导。结果发现,平行公理独立于其他公理,换成其否命题便可以得到非欧几何,并且它是相容的。非欧几何同样可以运用于物理空间,黎曼几何正是爱因斯坦相对论的数学基础。其次,在数的扩张中,负数、无理数、实数、复数、四元数无一不是为了对数学进行推广,形成新的数学概念。如果一开始这些数学概念就以物理解释为基础,它们就根本不会诞生,它们被接受的标准是看其在逻辑上是否相容。第三,最典型的例子非康托尔创立的集合论莫属。康托尔创立了一长串崭新的概念:导集、序数、序型、基数、势、超穷序数、超穷基数等等,这些概念将人们引入一个充满神奇魅力的无穷世界。

上述概念和理论形成的过程中,数学家中充满了质疑、兴奋到接受的状态变化。欧氏几何曾被看作是现实世界物理空间的唯一几何学真理,这一观念盛行2000多年,致使人们怀疑与欧氏几何相对立的任何思想。就连高斯、鲍耶(Bolyai)这些非欧几何的创始人自己都感到惊奇。鲍耶曾说:“我已得到如此奇异的发现,使我自己也为之惊讶不已。”[2]104一直到1868年,黎曼的工作才使许多数学家相信,非欧几何同样是物理空间的几何。负数和复数建立的过程同样如此,数学家弗兰德(Frend)坦言:“用一个数减去比自身大的数是不可理解的,然而许多代数学家都这样做,他们称小于零的数为负数,认为两个负数相乘,其结果为正数。……他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解,得到单位元素1,所有这些都是荒诞不经的。”[2]200集合论的故事则更广为人知,康托尔的才能在现实中得不到施展,其精神状况曾一度崩溃,转而求助于神学。然而,最后的结果大家都知道,所有这一切都没能阻止数学前进的步伐。此外,逻辑主义、元数学纲领以及集合论的公理化,都是为了更深刻地探清数学的本质,虽然其方法各有优势及局限,但这些尝试都是通往数学真理的途径。如果最初就限制其发展乃是对数学自由探索的束缚,也背离了数学自由精神的本质。

(二)数学丰富性的效力

数学自由的第二个特点表现为数学极大的丰富性:如果不接受未经数学上严格证明的一些数学概念、公理、假设等,数学和科学的好多定理和现象就得不到证明和解释,甚至好多数学分支就建立不起来,这种情况被称为数学的丰富性。任何限制数学丰富性的努力都终将不会成功。我们所熟知的直觉主义对经典数学的否定就是例证。直觉主义提出“存在即被构造”的原则,以此否认二值逻辑和排中律,从而否认经典数学。这种以人的直觉理解为基础的直觉主义逻辑排除了大量丰富的数学。显然,给数学如此多限制的直觉主义信念最终被数学家抛弃了。

同样,集合论中数学家接受选择公理的标准是它所带给数学的丰富性。“如果不采用选择公理,将会严格地限制能够被证明的定理,并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直被认为是基础的东西。……需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超穷数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理,因此,不接受选择公理会使数学家们举步维艰。”[2]353因此,许多数学家最后决定使用选择公理。对于选择公理而言,数学家勒贝格(Lebesgue)声称“既要大胆,也要谨慎”。他坚持认为未来的发展会帮助我们做出决断。[2]275数学的丰富性成了接受选择公理的判别标准。

第三,数学在经验自然科学或解释自然现象应用中所体现的丰富性同样是激发数学自由的源泉。从古希腊数学被看作探索宇宙奥秘的钥匙一直到今天,虽然数学呈现出高度的独立性和自主性,然而,数学在自然科学中不可思议的有效性依然未得到合理解释。至今,仍有许多数学家、物理学家和哲学家相信数理同源,即数学和物理学揭示的是同一个宇宙。冯·诺伊曼(Von Neumann)声称:“无可否认,数学上某些最了不起的灵感,那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中的最好的灵感,全部来源于自然科学。……在我看来,最能从根本上表明数学特点的事实是它和自然科学非常特殊的关系,或者更一般地说,是它和任何一种科学的非常特殊的关系。”[2]392在外尔看来,“一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支,并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展,就如同对待物理学的一样”。[2]433库朗(Courant)则明确宣称:“我们不能接受数学的终极标准是‘人类理性的光荣’这一陈词滥调,不允许把数学分割为‘纯的’和‘应用的’两派。它们都只能而且必须是科学的洪流中不可缺少的一股,不允许分出一条细流,让它消失在沙滩里。”[2]390就连基础主义各学派的发起者也没有否认经验证实在数学发展中所起的重要作用。从负数、复数、微积分等的创立和发展,可以清楚地看出,它们依靠的并非逻辑上严格的公理化演绎方法,相反,它们依靠的是应用,依靠的是归纳。如果按照严格的逻辑证明,这些数学概念和分支或许根本建立不起来。所以,数学的自由允许适当冒险,在这个意义上,数学和自然科学一样是尝试性的。

如前所述,数学的进程并非按照严格遵守公理化的演绎模式前进,其间充满了直觉、猜测、经验证实、富有成效的应用等等,甚至充满了各种矛盾。然而,许多数学概念、公理也正是或者依然按照这样的模式行进。虽然数学追求最严格的逻辑推理和确定性,然而自由的数学探索中无法把这些非逻辑因素全部排除,数学丰富性的效力是保持数学自由活力的重要源泉。

(三)数学客观性的追求

从数学的演进以及人们对数学持有的形而上学态度来看,无论是把数学看作揭示人类理性智力的创造性活动,还是看作一项揭示客观真理的发现事业,无论把数学看作逻辑的公理化演绎证明,还是看作归纳的经验性证实的应用,数学家们几乎都承认数学背后隐含着某种客观性,虽然他们对客观性的理解有所不同。但总体而言,数学的客观性是指,数学陈述的真假、数学证明、数学定理独立于人类的心灵、语言和约定等。换言之,即使人们对数学的实在性持有不同的看法,无论是数学实在论者(或强或弱的柏拉图主义者)、反实在论者还是一些相信数学揭示物理宇宙实在性的数学家和物理学家,他们都坚持数学具有客观性,数学的动力之一就是追求数学的客观性。

数学实在论者哈代典型地支持数学的客观性,他说:“317是一个素数,不是因为我们这么认为,也不是因为我们的心灵是以某种方式这样塑造的,而是因为它就是如此,是因为数学实在就是按照那种方式建造起来的。”[15]20数学家索托伊在承认数学是一种创造性活动的同时,坚持认为数学具有一种客观实在性:“我能写下无尽新的、原创性的定理。我能构造无穷多新的对称群。……它们都具有客观的真实性。所有这些在数学上都是真实的陈述。……我在内心里当然是一个柏拉图主义者。有一些事物确实就在那儿存在着,独立于我们的存在或我们对其想象的行为。素数、单群、椭圆曲线,就是这样的事物。并不是数学家们制造了这些事物。”[15]

数学物理学家波尔金霍恩和彭罗斯则主张数学和物理学极有可能揭示的是同一种具有客观性的实在。虽然他们都没有明确指出存在着一个独立的抽象数学世界,但他们确实承认数学揭示了某种实在,而不是人类的任意创造。波尔金霍恩断言:“如果数学实体是实在的一部分,那么人们也许可以期望数学实体存在的本体论王国并不是一个孤立的领域,与所有其他领域没有联系,而是与实在的其他方面存在微妙的关联。……很少有人怀疑物质世界的实在性;他们应该准备好考虑承认与之纠缠在一起的一种类似的数学世界的实在性。”[15]彭罗斯明显地表达了数学与物理学实在性之间的契合,他宣称:“这强烈地表明数学真理具有客观性,不仅仅是基于起源于人类文化的任意规则的某种‘游戏’。……这表明自然界在其最基本层次(这里指空间和时间的结构)的运行机制和复杂的数学理论之间令人惊奇的一致性。……自然界和复杂而优美的数学之间的一致性一直就在‘那儿’,时间上远远早于人类的出现。”[15]

一些数学反实在论者同样也为数学的客观性进行辩护。玛丽·伦(Mary Leng)主张没有理由认为存在着一个独立的数学柏拉图王国,但数学依然不是主观的,相反,它独立于数学家的约定。她论证道,“数学发现必须告诉我们有关数学实在的事情吗?我认为我们的数学定理并不对独立的数学对象的王国负责。……但是我们必须承认,我们的数学发现是靠有关逻辑推论的客观事实加固其基础的。”[15]同样,“甚至一些基础研究中的领袖人物———希尔伯特、丘奇和布尔巴基学派的成员———也坚持数学概念和性质在客观的意义上存在,并可由人类心智把握。这样,数学真理是发现的而不是发明的;进化的不是数学而是人类关于数学的知识”。[3]

通过上述分析可以看出,数学的本质在于自由。从方法论上来看,数学的创造和发展并没有统一严格的标准。直觉、猜测、构造、公理化的逻辑推导、经验性归纳、对客观真理的追求等都是激发数学创造的活力。从形而上学态度来看,数学究竟是对柏拉图数学王国的探求,还是人类理性智力的创造物,抑或是对宇宙世界的认识?截至目前,这些问题依然没有统一的答案。不可否认,数学确实是人类理性的一种智力活动。虽然这种活动进一步的目的现在依然是一个未解之谜,但数学背后显然蕴含着客观性。因此,最明智的做法是允许数学拥有最大程度的自由,因为只有这样,才不会使我们偏离通向真理、解答深刻的形而上学追问、探清数学方法论的正确航向。

结语数学和自然科学的统一:对不确定性世界的探索