长沙市数学中考题(共18篇)
1.长沙市数学中考题 篇一
【运用相似三角形特性解题,注意分清不同情况下的函数会发生变法,要懂得分情况讨论问题】
【分情况讨论,抓住特殊图形的面积,多运用勾股定理求高,构造梯形求解】
【出现边与边的比,构造相似求解】
【当图形比较复杂的时候,要学会提炼出基础图形进行分析,如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析,出现两个顶点,结合平行四边形性质和函数图像性质,找出不变的量,如此题中N点的纵坐标不变,为-3,为突破口从而求解】
已知△ABC是等边三角形.
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
①如图a,当θ=20°时,△ABD与△ACE是否全等?(填“是”或“否”),∠BOE=度;
②当△ABC旋转到如图b所在位置时,求∠BOE的度数;
【旋转,平移,轴对称的题目,要将动态转化为静态求解,运用全等和相似的方法】
【通过旋转把条件进行转移,利用与第一题相同的方法做辅助线,采用构造直角三角形的方法求解】
如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.
(1)表中第8行的最后一个数是_________,它是自然数_______的平方,第8行共有________个数;
(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是_______,最后一个数是_________,第n行共有个数__________;
(3)求第n行各数之和.
【利用三角函数求解】
如图所示,已知A点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,经过t秒后,以O、A为顶点作菱形OABC,使B、C点都在第一象限内,且∠AOC=60°,又以P(0,4)为圆心,PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切,则t=_____________.
【提取基础图形,此题将三角形提取出来,构造直角三角形,利用30°所对的边是斜边的一半,设未知数求解】
【要求是否能构造成直角三角形,构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形,利用勾股定理求出三条边,再运用勾股定理,分三种情况求解】
如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是___________.
当遇到求是否构成等腰三角形,等边三角形,等腰直角三角形,直角三角形时,在坐标轴中,设未知数求解;如设点A为(x,y)或设点A为(0,m),多寻找可用相似表示的边,运用相似的面积比,周长比,高之比,边之比求解
求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少,周长为多少的三角形四边形等时,注意坐标点可能在正半轴或负半轴,注意加绝对值符号,计算多边形面积可采用割补法
2.长沙市数学中考题 篇二
一、在数式中找规律
将数式通过横、纵多层次或多角度的比较, 可以发现事物的相同点和不同点, 更容易找到事物的变化规律.找规律的题目, 通常按照一定的顺序给出一系列量或符合某种形式的一些式子, 要求我们根据这些已知的量找出一般规律.揭示它的内在规律, 常常包含着事物的序列号或关系式.所以, 把变量和序列号放在一起或按相同形式的式子加以比较, 就比较容易发现其中的奥秘.
例1 (2010·广东省中山卷) 阅读下列材料:
由以上三个等式相加, 可得
读完以上材料, 请你计算下列各题:
解析:在所给的一系列等式中, 既要观察横向的变化规律, 也要观察纵向的变化规律:等式左边的第一列数比第二列数小1, 等式右边的第一列数为常量, 括号内的列数也依次递增1.
【点评】解这类问题的关键在于既要从整体上把握数列的横向的变化规律或趋势及不变量, 又要从整体上把握数列的纵向的变化规律或趋势及不变量, 根据数列的特征选用恰当的代数式或等式进行准确表示.
例2 (1) 观察下列运算并填空:
(2) 根据 (1) 猜想 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) +1= () 2, 并用你所学的知识说明你的猜想.
解析:第 (1) 题是具体数据的计算, 第 (2) 题在计算的基础上仔细观察.已知四个数乘积加上1的和与结果中完全平方数的数的关系是猜想的正确性的解释, 只要用完全平方数四个数的首尾两数乘积与1的和正好是完全平方数的底数, 由此探索其存在的规律, 解决猜想公式逆用就可解决.
例3 (九年级数学课本P45探究1) 有一人患了流感, 经过两轮传染后共有121人患了流感, 每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解析:设每轮传染中平均一个人传染了x人, 则1+x+x (1+x) =121,
解得, x1=10, x2=-12 (舍去) .
答:略.
问:第3, 4, 5, …, n轮传染后有多少人被传染了流感?
第一轮:1+x= (1+x) 1,
第二轮:1+x+x (1+x) = (1+x) 2,
第三轮:[1+x+x (1+x) ]+x[1+x+x (1+x) ]= (1+x) 3= (1+10) 3=1 331.
……
第n轮: (1+10) n人.
【点评】这样通过分析并分别把第一轮、第二轮、第三轮的数量表示出来, 写出数式的基本结构, 这样学生就较容易找出题中的规律, 从而把问题解决了.
(1) 观察上述方程的解, 猜想关于x的方程的解是;
(2) 根据上面的规律, 猜想关于x的方程的解是;
(3) 类似地, 关于x的方程的解是;
(4) 请利用上述规律求关于x的方程的解.
二、在平面图形中找规律
图形变化也是经常出现的, 做这种数学规律的题目, 都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律, 多数情况下, 是指变量的变化规律.所以, 抓住了变量, 就等于抓住了解决问题的关键.
例4 (2009广东省·广州卷) 如图1 (1) , 图1 (2) , 图1 (3) , 图1 (4) , …, 是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字, 按照这种规律, 第5个“广”字中的棋子个数是____, 第n个“广”字中的棋子个数是____.
解析:本题是考查学生如何找规律的问题.找规律题一般对相邻的两个式子竖直排列, 对照找出相同部分和不同部分, 不同部分的变化规律就决定整体的变化规律, 为了防止规律的局限性, 应尽量多地代入式子中进行检查.
第一个图:有7个棋子 (即7=7+0×2) ;
第二个图:有9个棋子 (即9=7+1×2) ;
第三个图:有11个棋子 (即11=7+2×2) ;
第四个图:有13个棋子 (即13=7+3×2) ;
第五个图应有:7+4×2=15个棋子;
第n个图形应有棋子的个数为7+ (n-1) ×2=2n+5.
例5 (2009·广东卷) 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖, 按图2的方式铺地板, 则第 (3) 个图形中有黑色瓷砖块, 第n个图形中需要黑色瓷砖_____块 (用含n的代数式表示) .
解析:本题前后两个图都相差了3块黑色瓷砖, 这就是本题最核心的特点.
第一个图:有4块黑色瓷砖 (即4=3×1+1) ;
第二个图:有7块黑色瓷砖 (即7=3×2+1) ;
第三个图:有10块黑色瓷砖 (即10=3×3+1) ;
第n个图:应有 (3n+1) 块黑色瓷砖.
三、在空间图形中找规律
在空间图形中找规律比在平面图形中找规律要难得多, 但万变不离其宗, 它们之间也有相类似的地方, 只要我们能抓住逐个图形在变化前后的数量增减, 发现其变化的相同规律, 就能较容易解答出题目了.
例6图3是棱长为a的小正方体, 图4、图5由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放, 由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层, 第n层的小正方体的个数为s.解答下列问题:
(1) 按照要求填表.
(2) 写出当n=10时, s=____.
解析: (1) 答案是10.
(2) 答案如图6.
3.应对中考数学压轴题的方法 篇三
一、压轴题难度有约定
历年中考,压轴题一般是由3个小题组成。第①题容易上手,得分率在0.8以上;第②题稍难,一般还是属于常规题型,得分率在0.6与0.7之间,第③题较难,能力要求较高,但得分率也大多在0.3与0.4之间。近十年来,最后小题的得分率在0.3以下的情况,只是偶尔发生,但一旦发生,就会引起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识,“起点低,坡度缓,尾巴略翘”已成为中考数学试卷压轴题设计的一大特色,根据各地压轴题得分率情况在0.5与0.6之间,即考生的平均得分在7分或8分。可见压轴题也并不可怕。
二、决不靠猜题和押题
压轴题一般都是代数与几何的综合题,很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式,用到三角形、四边形、相似形、圆和函数的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式,动态几何问题中有一种新题型,如重庆市2011年数学中考的压轴题,在点的运动过程中,探究图形中某些不变的因素,它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类动态几何问题中,锐角三角函数作为几何计算的一种工具,它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之,压轴题有多种综合的方式,不要老是盯着某种方式,应对压轴题,决不能靠猜题、押题。
三、分析结构理清关系
解压轴题,要注意各个小题之间的逻辑结构,搞清楚各个小题之间的关系是“平行”的,还是“递进”的,这一点非常重要。如果是“递进”关系,那么各小题之间一定存在联系,依次为突破口,更容易解决。
四、应对策略必须抓牢
学生害怕“压轴题”,恐怕与“题海战术”有关。中考前,盲目地多做难题是有害的。从外省市中考卷或前几年各区模拟考卷中选题时,特别要留意它是否超出今年中考的考查范围。为了应对中考压轴题,教师可以根据实际,为学生精选一二十道,但不必强求一律,对有的学生可以只要求他做其中的第①题或第②题。盲目追“新”求“难”,忽视基础,用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题,结果必然是得不偿失。
事实证明:有相当一部分学生压轴题失分,并不是没有解题思路,而是错在非常基本的概念和简单计算上,或是审题不清楚,因此在最后总复习阶段,还是应当夯实基础;总结归纳,老师要帮助学生打通思路,掌握方法,指导他们灵活运用知识。有经验的老师常常把压轴题分解为若干个“小综合题”,并进行剪裁与组合,或把外省市的某些較难的“填空题”升格为“简答题”,把“熟题”变式为“陌生题”,让学生练习,花的时间虽不多,但能取得较好的效果。我认为:综合题的解题能力不能靠一时一日的“拔苗助长”而要靠日积月累的培养和训练。在总复习阶段,对大部分学生而言,放弃一些难题和大题,多做一些中档的变式题和小题,反而能使他们得益。
4.如何应对中考数学压轴题 篇四
如何应对中考数学压轴题
作者:玉孔总
来源:《中学教学参考·理科版》2013年第07期
近几年的中考试题,一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴题涌现出来,其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角.以图形运动中的函数关系问题为例,这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中,探求两个变量之间的函数关系.现谈谈笔者十年来指导中考复习的一些感悟.一、解数学压轴题的策略
解数学压轴题可分为五个步骤:1.认真默读题目,全面审视题目的所有条件和答题要求,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,理解好题意;2.利用重要数学思想探究解题思路;3.选择好解题的方法正确解答;4.做好检验工作,完善解题过程;5.当思维受阻、思路难觅时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.二、解动态几何压轴题的策略
近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题,用到圆、三角形和四边形等有关知识,方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型,在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想,获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.简析:本题是一个双动点问题,是中考动态问题中出现频率最高的题型,这类题的解题策略是化动为静,注意运用分类思想.三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题
5.中考数学最后一题详解 篇五
(3)如图3,在(2)的条件下,点F是BC边的中点,连接DF,DF与AB交于G,△DKG和△DBG关于直线DG对称(点B的对称点是点K),延长DK交AB于点H.若BH=10,求CE的长.D
解:1)DE=2CE………………………1分(2)证明:过点B作BM⊥DC于M∵BD=BC,∴DM=CM, ………………………..2分 ∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=
∴∠MCB=30°BM=∵BC=2AC,∴BM=AC.∵∠ACB=120°,∴∠ACE=90°.∴∠BME=∠ACE∵∠MEB=∠AEC
B
图 2
D
A
D
K
A
E
E
GB
F图 3
A
B
图 1
C
B
图 2
C
C
∠DBC=60°
BC
D
M
E
C
A
∴△EMB≌△ECA
∴ME=CE=1
2CM ………………………3分
∴DE=3EC ………………………………4分
(3)过点B作BM⊥DC于M,过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N.∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°.∴FN=3BF,BN=1BF ……5分∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN=5
2BF
∴DF=7BF
∵AC=11
2BC,BF=2BC
∴AC=BF
∵∠DBC=∠ACB
∴△DBF≌BCA
∴∠BDF=∠CBA.∵∠BFG=∠DFB,∴△FBG∽△FDB
∴FGBF
BFDFBG
DB
∴BF2FGFD,∴FG7
7BF
∴DG=677
7BF,BG=2
7BF
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称,∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.∵∠BGF=∠DGA,∴△BGF∽△DGH.∴BG
DGGF
GH.∴GH=37
7BF.22DKEHABFCN图 3
∵BH=BG+GH=57
6.长沙市数学中考题 篇六
以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说,如果给定两个点A、B,需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形,这个时候同学们可以线段来分类讨论:AB为斜边时,AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性,并且效率较高。当然也可以按照角来讨论,但是注意不要两种分类方法穿插进行。有些时候有可能会进行二次讨论,这个时候对于同学们的条理性要求就更大了,例如探讨含有30°角的直角三角形时,要先讨论那个角是直角,在讨论哪个角是30°或60°。
第三,在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存在,是否有需要舍去的,最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复,需要进行合并。例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标,如果按照一定的原则分类讨论后,有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况,这种情况下就要进行合并。也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。
中考数学复习方法
总结梳理,提炼方法。
复习的最后阶段,对于知识点的总结梳理,应重视教材,立足基础,在准确理解基本概念,掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上,弄清概念之间的联系与区别。对于题型的总结梳理,应摆脱盲目的题海战术,对重点习题进行归类,找出解题规律,要关注解题的思路、方法、技巧。如方案设计题型中有一类试题,不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。总结发现,这类题有三种类型,一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。梳理了题型就可以进一步探索解题规律。同时也可以换角度进行思考,如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形,最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形,任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。做题时,要注重发现题与题之间的内在联系,通过比较,发现规律,做到触类旁通。
反思错题,提升能力。
7.长沙市数学中考题 篇七
一、题目呈现
有一列按一定顺序和规律排列的数:
(1)经过探究,我们发现:
解析:此题可以从人教版八年级上册第148页第十五章《分式》“阅读与思考”栏目看到其影子,问题设置源于课本又高于课本,主要考查学生观察、归纳、猜想、计算、验证的数学思维和能力。
二、推广应用
例1.计算:
三、推广验证
证明:
8.谈初中数学中考中的陷阱填空题 篇八
初中数学中考测试题中,题型有选择题、填空题和解答题三种类型。作为客观题的填空题,它和选择题同属客观性试题,它们有许多共同特点:其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中,形式灵活,答案简短、明确、具体,评分客观、公正、准确等。填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题,是数学中考命题重要的组成部分。因此,我们在备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准备。合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求。填空题不设中间分,一步失误,全题无分,而作为中档题的陷阱填空题,成了中考填空题中失分较为严重的问题,所以应充分利用分类讨论的数学思想,仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏。此类问题的涉及,主要从以下几个方面总结:
一、有关线段问题的陷阱
由以上总结我们可以看到分类讨论的思想方法能够帮助我们从多角度思考问题,是快速准确地解数学陷阱填空题的关键。因此,我们首先要对初中数学知识和技能做到“透彻理解,牢固掌握,融会贯通”,进而领悟和掌握以数学知识为载体的分类讨论的数学思想方法,提高思维水平,达到“举一反三,熟练运用,提升素养”的目的。
9.长沙市数学中考题 篇九
一、选择题
1、平方根 立方根
2、中心对称图形
3、无理数,负指数幂,特殊三角函数值
4、三视图、直观图的转化
5、二次跟是、分式有意义的条件
6、平行四边形的性质,圆周角
7、解不等式组
8、相似三角形,相似比,二次函数图象
9、等腰三角形的性质
10、折线统计图,几何概率
11、反比例函数、一次函数图像焦点
12、在坐标中的对称、平移,周期性
二、填空题
13、因式分解(十字相乘)
14、幂的运算
15、相交圆的性质,菱形的性质
16、中位数,方差
17、相似三角形,相似比,平行线的性质
18、勾股定理,平面展开图
三、解答题
19、频数、频率分布直方图,根据样本算总体,条形统计图,极差
20、全等三角形,直角三角形,勾股定理,直线与圆的位置关系
21、俯角定义,解直角三角形,矩形性质,数形结合22、相似三角形的判定与性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角函数相关
23、二次函数的应用,待定系数法求函数解析式
10.长沙市数学中考题 篇十
【备考策略】
此题型为近六年来的热点题型,通常以三角形或四边形为背景进行考查,通过AAS,SSS,ASA,SAS,HL证明三角形全等,通过全等,求出所问问题.1.熟练掌握全等三角形的性质和判定; 2.熟练掌握特殊四边形的性质和判定.(一)以三角形为背景的证明
1.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.2.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,分别以△ABC的两边向三角形外作等边△BCE,等边△ACF,过点A作AM∥FC交BC于点M,连接EM.求证:AB=ME.3.已知如图,D是△ABC中AB边上的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连接DE、DF.2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明
求证:DE=DF.(二)以四边形为背景的证明
4.如图,已知:在平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.求证:(1)△AEH≌△CGF;(2)四边形EFGH是菱形.5.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处。(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若AB=3,AC=5,求四边形AECF的面积。
6..如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF;
2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
7.如图,点P是菱形ABCD对角线BD上一点,连接PA、PB.点为上一点,且∠1=∠2.求证:PC=PE
A1P2BCD【作业】
1.在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB,垂足为D,以CD为边作如图所示的正方形CDEF,交AC于点G.(1)求证:GF=BD;
(2)若FG=3,BC=5,求四边形GEBC的面积.
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在边AD、2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明
BC上,且DE=CF,连接OE、OF.求证:OE=OF.3.如图,在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG,连接AF、BF,延长BD交AF于H.求证:(1)BH⊥AF;
(2)若AC=4,CB=6,求DH的长.
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在BC边上,且∠GDF=∠ADF.(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.
附:2017年中考典型试题
11.长沙市数学中考题 篇十一
【关键词】数学;运动型问题;课堂教学
近年来全国各地中考试题中运动型问题频繁出现,运动型问题已经成为中考命题的热点。并且中考中的运动型问题一般放在试卷最后用来压轴,更凸显出运动型问题在数学教学中的重要地位。运动型问题往往涉及知识点广,信息量大,学生只有在全面掌握知识的基础上才能正确解答,此类题目对选拔优秀学生、拉开中考数学成绩起到很大的作用。下面以2013年南通市的一道运动型数学中考题为切入点对此类问题进行分析。
1.问题的提出
3.问题的思考
通过分析问题一和二不难发现,此两问其实非常简单,关键是能够找到解题的关键点,能通过转化的方法来寻求答案的最佳方法。这就要求学生能灵活使用数学方法,而这些数学方法离不开我们教师在平时课堂上的渗透,其实往往我们很多时候,特别是在初三复习课堂中只关注学生有没有会做这题,而忽视了培养学生思维习惯和良好解题规律的培养,不能够让学生做到举一反三,只能停留在原题水平的层面上,这样的教学目光比较短浅,不利于学生的后续发展。问题三打破了传统求面积问题,通过等边三角形边的变化,综合运用几何、代数等知识,全面考察了学生综合思考与分析能力、分类讨论等数学思想的运用能力,同时也考察了学生的空间想象能力、绘图及分析运算能力。
4.对课堂教学的反思
通过对上述中考试题的解答和分析,引出了几点笔者对于现代中学数学课堂教学的思考:
1.重学习环境,让学生参与教学。在现代课堂教学中,很多教师只注重“讲”,而忽视“授”,学生在学习时只知道死做题,但不知道如何分析解题,主要原因是因为教师在课堂上还不能放手让学生参与到教学中来,学生缺少思考的过程,缺少思维碰撞的过程。因此只有多让学生参与到数学课堂活动中去,才能更好的发展学生的数学思维能力,数学空间观念以及数学的解题能力。
2.重问题情景,让学生体验数学。在数学教学中,要注意教学内容和现实生活中的例子有机的结合,让数学不再成为枯燥乏味的数字、符号问题,能更多的让学生在实际问题中体验数学的乐趣,激发学生学习数学的兴趣。而对于运动型且比较抽象的数学问题的教学,教师可以多借助多媒体等手段把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,让学生易懂。
3.重动手实践,让学生实践数学。针对上述运动型问题,如果学生可以动手画出三角形运动中的三种状态,问题的解决将变得比较简单。所以教师在平时的教学中要注意学生动手实践能力的培养,激发学生的思维和空间想象能力,在课堂上多留时间,放手让学生自己动手操作,让学生在一系列的实践活动中发现新知识、新方法,并且在此基础上理解和掌握。
运动型问题日渐成为考察学生综合能力的一种方式,数学教师在日常教学过程中应该更加注重相关知识的渗透和指导。教会学生如何将知识有机的综合起来使用,在平时的课堂教学过程中就开始培养学生的综合性思维能力和数学思想的运用能力,指导好学生把握好运动性问题的两个注意点,第一:注意动静转换,第二:动中寻静。在动静转换的瞬间抓住关键点,使一般问题特殊化,特殊问题一般化,要善于在动中寻找变量和不变量,注意分类思想在运动变化中的呈现方式,能准确的找到相关的临界点,只有把这类问题不断的在平时课堂中进行渗透性教学才能让学生在数学综合解题的领域内灵活解题。
【参考文献】
[1]陈爱萍.数学教学中运动型问题探讨[J].中国科教创新导刊,2010,30:35-36.
[2]蕫勤发.由一道中考题引出的思考[J].学园,2012,10:114-116.
(作者单位:江苏省通州区金北学校)
【摘 要】运动型问题是中学数学教学中的重点,近年来在各地的中考试题中屡次出现。运动型问题的解决需要寻找关键点和突破口,要“动中求静,以静制动”,将运动中的关键点转化成静止的解题点。本文将以三角形中运动型问题为出发点,研究数学中的热点运动型问题,并由此引出关于中学数学课堂教学的一些思考。
【关键词】数学;运动型问题;课堂教学
近年来全国各地中考试题中运动型问题频繁出现,运动型问题已经成为中考命题的热点。并且中考中的运动型问题一般放在试卷最后用来压轴,更凸显出运动型问题在数学教学中的重要地位。运动型问题往往涉及知识点广,信息量大,学生只有在全面掌握知识的基础上才能正确解答,此类题目对选拔优秀学生、拉开中考数学成绩起到很大的作用。下面以2013年南通市的一道运动型数学中考题为切入点对此类问题进行分析。
1.问题的提出
3.问题的思考
通过分析问题一和二不难发现,此两问其实非常简单,关键是能够找到解题的关键点,能通过转化的方法来寻求答案的最佳方法。这就要求学生能灵活使用数学方法,而这些数学方法离不开我们教师在平时课堂上的渗透,其实往往我们很多时候,特别是在初三复习课堂中只关注学生有没有会做这题,而忽视了培养学生思维习惯和良好解题规律的培养,不能够让学生做到举一反三,只能停留在原题水平的层面上,这样的教学目光比较短浅,不利于学生的后续发展。问题三打破了传统求面积问题,通过等边三角形边的变化,综合运用几何、代数等知识,全面考察了学生综合思考与分析能力、分类讨论等数学思想的运用能力,同时也考察了学生的空间想象能力、绘图及分析运算能力。
4.对课堂教学的反思
通过对上述中考试题的解答和分析,引出了几点笔者对于现代中学数学课堂教学的思考:
1.重学习环境,让学生参与教学。在现代课堂教学中,很多教师只注重“讲”,而忽视“授”,学生在学习时只知道死做题,但不知道如何分析解题,主要原因是因为教师在课堂上还不能放手让学生参与到教学中来,学生缺少思考的过程,缺少思维碰撞的过程。因此只有多让学生参与到数学课堂活动中去,才能更好的发展学生的数学思维能力,数学空间观念以及数学的解题能力。
2.重问题情景,让学生体验数学。在数学教学中,要注意教学内容和现实生活中的例子有机的结合,让数学不再成为枯燥乏味的数字、符号问题,能更多的让学生在实际问题中体验数学的乐趣,激发学生学习数学的兴趣。而对于运动型且比较抽象的数学问题的教学,教师可以多借助多媒体等手段把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,让学生易懂。
3.重动手实践,让学生实践数学。针对上述运动型问题,如果学生可以动手画出三角形运动中的三种状态,问题的解决将变得比较简单。所以教师在平时的教学中要注意学生动手实践能力的培养,激发学生的思维和空间想象能力,在课堂上多留时间,放手让学生自己动手操作,让学生在一系列的实践活动中发现新知识、新方法,并且在此基础上理解和掌握。
运动型问题日渐成为考察学生综合能力的一种方式,数学教师在日常教学过程中应该更加注重相关知识的渗透和指导。教会学生如何将知识有机的综合起来使用,在平时的课堂教学过程中就开始培养学生的综合性思维能力和数学思想的运用能力,指导好学生把握好运动性问题的两个注意点,第一:注意动静转换,第二:动中寻静。在动静转换的瞬间抓住关键点,使一般问题特殊化,特殊问题一般化,要善于在动中寻找变量和不变量,注意分类思想在运动变化中的呈现方式,能准确的找到相关的临界点,只有把这类问题不断的在平时课堂中进行渗透性教学才能让学生在数学综合解题的领域内灵活解题。
【参考文献】
[1]陈爱萍.数学教学中运动型问题探讨[J].中国科教创新导刊,2010,30:35-36.
[2]蕫勤发.由一道中考题引出的思考[J].学园,2012,10:114-116.
(作者单位:江苏省通州区金北学校)
【摘 要】运动型问题是中学数学教学中的重点,近年来在各地的中考试题中屡次出现。运动型问题的解决需要寻找关键点和突破口,要“动中求静,以静制动”,将运动中的关键点转化成静止的解题点。本文将以三角形中运动型问题为出发点,研究数学中的热点运动型问题,并由此引出关于中学数学课堂教学的一些思考。
【关键词】数学;运动型问题;课堂教学
近年来全国各地中考试题中运动型问题频繁出现,运动型问题已经成为中考命题的热点。并且中考中的运动型问题一般放在试卷最后用来压轴,更凸显出运动型问题在数学教学中的重要地位。运动型问题往往涉及知识点广,信息量大,学生只有在全面掌握知识的基础上才能正确解答,此类题目对选拔优秀学生、拉开中考数学成绩起到很大的作用。下面以2013年南通市的一道运动型数学中考题为切入点对此类问题进行分析。
1.问题的提出
3.问题的思考
通过分析问题一和二不难发现,此两问其实非常简单,关键是能够找到解题的关键点,能通过转化的方法来寻求答案的最佳方法。这就要求学生能灵活使用数学方法,而这些数学方法离不开我们教师在平时课堂上的渗透,其实往往我们很多时候,特别是在初三复习课堂中只关注学生有没有会做这题,而忽视了培养学生思维习惯和良好解题规律的培养,不能够让学生做到举一反三,只能停留在原题水平的层面上,这样的教学目光比较短浅,不利于学生的后续发展。问题三打破了传统求面积问题,通过等边三角形边的变化,综合运用几何、代数等知识,全面考察了学生综合思考与分析能力、分类讨论等数学思想的运用能力,同时也考察了学生的空间想象能力、绘图及分析运算能力。
4.对课堂教学的反思
通过对上述中考试题的解答和分析,引出了几点笔者对于现代中学数学课堂教学的思考:
1.重学习环境,让学生参与教学。在现代课堂教学中,很多教师只注重“讲”,而忽视“授”,学生在学习时只知道死做题,但不知道如何分析解题,主要原因是因为教师在课堂上还不能放手让学生参与到教学中来,学生缺少思考的过程,缺少思维碰撞的过程。因此只有多让学生参与到数学课堂活动中去,才能更好的发展学生的数学思维能力,数学空间观念以及数学的解题能力。
2.重问题情景,让学生体验数学。在数学教学中,要注意教学内容和现实生活中的例子有机的结合,让数学不再成为枯燥乏味的数字、符号问题,能更多的让学生在实际问题中体验数学的乐趣,激发学生学习数学的兴趣。而对于运动型且比较抽象的数学问题的教学,教师可以多借助多媒体等手段把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,让学生易懂。
3.重动手实践,让学生实践数学。针对上述运动型问题,如果学生可以动手画出三角形运动中的三种状态,问题的解决将变得比较简单。所以教师在平时的教学中要注意学生动手实践能力的培养,激发学生的思维和空间想象能力,在课堂上多留时间,放手让学生自己动手操作,让学生在一系列的实践活动中发现新知识、新方法,并且在此基础上理解和掌握。
运动型问题日渐成为考察学生综合能力的一种方式,数学教师在日常教学过程中应该更加注重相关知识的渗透和指导。教会学生如何将知识有机的综合起来使用,在平时的课堂教学过程中就开始培养学生的综合性思维能力和数学思想的运用能力,指导好学生把握好运动性问题的两个注意点,第一:注意动静转换,第二:动中寻静。在动静转换的瞬间抓住关键点,使一般问题特殊化,特殊问题一般化,要善于在动中寻找变量和不变量,注意分类思想在运动变化中的呈现方式,能准确的找到相关的临界点,只有把这类问题不断的在平时课堂中进行渗透性教学才能让学生在数学综合解题的领域内灵活解题。
【参考文献】
[1]陈爱萍.数学教学中运动型问题探讨[J].中国科教创新导刊,2010,30:35-36.
[2]蕫勤发.由一道中考题引出的思考[J].学园,2012,10:114-116.
12.长沙市数学中考题 篇十二
一、原题展现
如图, 在平行四边形ABCD中, ∠C=60°, M、N分别是AD、BC的中点, BC=2CD.
(1) 求证:四边形MNCD是平行四边形;
二、解法分析
2.具体解法呈现
第一问解答:
(1) 证明:在平行四边形ABCD中,
AD∥BC且AD=BC.
∵M、N分别为AD、BC的中点,
∴NC∥MD且NC=MD.
∴四边形MNCD是平行四边形.
第二问解法荟萃:
解法一:从垂直定义出发 (这是考场上学生用得最多的一种方法) ;
(2) 连接ND,
∵N为BC的中点, BC=2CD,
又∵∠C=60°,
∴△CDN是等边三角形.
∴∠NBD=∠NDB且∠NBD+∠NDB=∠DNC=60°.
∴∠NBD=∠NDB=30°.
∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=30°+60°=90°
由勾股定理得
解法二:利用斜边上的中线判定直角三角形;
(2) 连接ND,
∵N为BC的中点, BC=2CD,
∴△CDN是等边三角形.
∴∠BDC=90°, 由勾股定理得
解法三:利用圆中的垂直关系 (直径所对的圆周角是直角) ;
(2) 连接ND.
∵N为BC的中点, BC=2CD,
∴△CDN是等边三角形.
∴D在以BC为直径的圆上,
∴∠BDC=90°.由勾股定理得
解法四:利用勾股定理;
解法五:利用三角函数;
三、亮点评析
1.有效考查“四基”
《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》总目标要求“通过义务教育阶段的数学学习, 学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”本题几乎包括了初中阶段所有的几何核心和主干知识及研究问题、解决问题的通法.
知识技能方面:由于解题方法各异, 本题涉及相交线和平行线, 垂直, 三角形的相关知识, 如三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和, 三角形的相似、特殊三角形的性质和判定 (等腰三角形和直角三角形) , 勾股定理, 平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定, 锐角三角函数, 圆的相关知识 (直径所对的圆周角是直角) 等等.这些都是初中几何的核心主干知识.以这些知识为背景主要考查直观观察能力和推理能力、计算能力.
基本思想和活动经验方面:本题以平行四边形为基本图形, 综合考查平行四边形的性质和判定 (菱形的性质和判定) , 平行线的性质, 垂线的判定、等腰三角形 (等边三角形) 的判定和性质, 勾股定理, 推理思想、转化思想等初中数学的核心内容, 渗透数形结合思想, 将推理论证与计算紧密结合起来, 凸显了几何基本图形教学的重要性.平行四边形、菱形、直角三角形、等腰三角形都是实际生活中常见的图形, 它们的性质与判定方法在实际生活、生产中有着广泛的应用, 也是每年中考必考的重要知识点之一, 要突破该重点, 必须深刻理解.这类源于课本, 高于课本的变式拓展题值得学生细细品味.
2.突出考查“四能”
本题由浅入深, 由简到繁, 让学生经历数学内容的发展过程, 考查学生的观察、推理和计算能力, 使不同水平的考生在情境设置的提示下, 思维和能力得到充分释放, 也使其解题过程成为学习知识、培养能力的发展过程.
本题难度适中, 梯度分明, 两问层层推进.不同层次的学生可以回答出不同的问题, 方法多, 学生的思维可以发散, 从不同角度思考解题方法, 学生都能下笔, 但是想要得到满分也不容易, 真正做到了课程标准所提出的“数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性, 使数学教育面向全体学生”, 实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.突出考查学生发现和提出问题的能力以及分析、解决问题的能力.能力不同的学生将得不同的分数.
3.解题方法多样
四、学生解答过程中存在的主要问题
本题满分7分, 文山州34000多考生平均得分只有2.67分, 得分率还不到40%, 说明此题属于难题.而第 (1) 问多数同学能得到三分, 可见, 第 (2) 问考生得分率相当低.考生解答过程中主要存在以下几个问题:
1.书写不规范, 不能正确用字母表示角.如有考生写道:∠D=90°.
2.部分考生条理性差, 证明过程烦琐.有的表述不严密, 甚至有些学生逻辑混乱, 证明过程不知所云.
4.有些考生直接把题目中的条件抄一遍, 就得到∠BDC=90°, 说明不会证明、推理.证明需要步步有理有据, 不能跳跃太大.
五、对教学的启示
1.正确的解题思路源于对基础知识、基本技能和数学思想方法的熟练掌握.
正如数学大师华罗庚对数学的学习曾有过经典的描述:学习数学有两个过程:其一是由薄到厚, 其二是由厚变薄.通过对运用知识解决问题过程的分析和比较, 掌握基本的数学方法:通过对各种数学方法的概括和提炼, 感悟基本的数学思想.这应当是数学课教学努力追求的目标!
2.对课堂提出要求———着力培养学生的创新意识和发展思维能力
此题对学生的创新意识提出了要求, 让学生在模仿中创新.此题解法多, 选择其中较为简便的方法与考生的创新意识密切相关.这就启发教师在平时的教学中, 要注重培养学生的求异思维、发散思维和逆向思维等能力.
比如第 (2) 问学生若能正确添加辅助线, 则思路很清晰, 一切解答都水到渠成.如第一种证法.根据垂直的定义, 三角形的性质判定就可以解决问题, 但是教会学生透视命题者的思路, 懂得在哪里添加辅助线, 是值得每个教师深思的问题.
新课程下的数学课堂教学更加强调实效性、应用性、发展性和后继性, 因此, 课堂有效生成不在于一堂课学生掌握多少知识, 更不在于记住几个公式, 会做几个题, 而在于课堂教学渗透数学本质的体现和过程教学的恰当切入、问题情境的巧妙设置、思维方法的灵活生成、课堂艺术的再提高、个性化参与意识的培养, 能否从实质上达成有效, 关键还在于教师观念的改变, 学科专业素养以及教育专业素养的提升, 在于教师能否深挖教材, 对教材进行“二次开发”.一方面要重视思想方法的教学, 数学思想方法是数学的灵魂, 它蕴含于数学知识之中, 是知识转化为能力的桥梁, 学生只有深刻领悟了数学思想, 才能从本质上对数学知识融会贯通, 真正将书本知识内化为自身能力, 从而在解决问题时迸发出智慧的火花, 发散创新思维.初中比较常见的数学思想包括方程与函数思想, 转化化归思想, 分类讨论思想等, 教师在课堂教学中, 应潜移默化地渗透这些思想, 以培养学生的创新能力;另一方面, 积极实行过程教学, 这是学生形成数学思想, 掌握知识的有效途径, 在教学中, 教师要充分展示公理、定理、公式等的形式和发展过程, 让学生在客观事实和原有基础上, 亲自经历探索规律, 寻找解决问题的方法这样一个完整的知识形成过程, 从而为创新能力的培养奠定基础。
13.长沙市数学中考题 篇十三
(一)函数型综合题
是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线;③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。
(二)几何型综合题
是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前,不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究。
探索研究的一般类型有:①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形;②四边形是菱形、梯形等;③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间的位置关系等;⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等;⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。
14.长沙市数学中考题 篇十四
ABCD的中心O顺时针旋转的过程中.
(1)四边形OECF的面积如何变化.
(2)若正方形ABCD的面积是4,求四边形OECF的面积.
解:在梯形ABCD中由题设易得到:
△ABD是等腰三角形,且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°.
过点D作DE⊥BC,则DE=1BE=6.
2过点A作AF⊥BD于F,则AB=AD=4.
故S梯形ABCD
2.如图,ABCD中,O是对角线AC的中点,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由.
解:四边形AFCE是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC,CE∥AF.
∴∠ECO=∠FAO,∠AFO=∠CEO.
∴△EOC≌△FOA,∴CE=AF.
而CE∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF是垂直平分线,∴AE=CE.
∴四边形AFCE是菱形.
3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,•垂足分别为E、F.求证:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形时,四边形AEDF是正方形.
19.证明:(1)DEAB,DFACBEDCFD90
BC
△BDE≌△CDF.
(2)由∠A=90°,DE⊥AB,DF⊥AC知:
D是BC的中点BDCD
四边形AEDF是矩形
矩形AEDF是正方形.
BEDCFEDEDF
4.如图,ABCD中,E、F为对角线AC上两点,且AE=CF,问:四边形EBFD是平行四边形吗?为什么?
解:四边形EBFD是平行四边形.在ABCD中,连结BD交AC于点O,则OB=OD,OA=OC.又∵AE=CF,∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.现将A,C重合,使纸片
折叠压平,设折痕为EF,试求AF的长和重叠部分△AEF的面积.
【提示】把AF取作△AEF的底,AF边上的高等于AB=3.
由折叠过程知,EF经过矩形的对称中心,FD=BE,AE=CE=AF.由此可以在 △ABE中使用勾股定理求AE,即求得AF的长.
【答案】如图,连结AC,交EF于点O,由折叠过程可知,OA=OC,∴O点为矩形的对称中心.E、F关于O点对称,B、D也关于O点对称. ∴BE=FD,EC=AF,由EC折叠后与EA重合,∴EC=EA.
设AF=x,则BE=FD=AD-AF=4-x,AE=AF=x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得
AB2+BE2=AE2,即32+(4-x)2=x2.
25. 81257
52∴S△AEF=×3×=(cm)
281625752
故AF的长为cm,△AEF的面积为cm.
816
解得x=
6.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G.求证:PF+PG=AB.
【提示】延长GP交BC于H,只要证PH=PF即可,所以只要证∠PBF=∠PBH. 【答案】∵BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠EBD=∠CBD. 延长GP交BC于H点. ∵PG⊥AD,∴PH⊥BC.
∵PF⊥BE,P是∠EBC的平分线上.
∴PF=PH.
∵四边形ABHG中,∠A=∠ABH=∠BHG=∠HGA=90°. ∴四边形ABHG为矩形,∴AB=GH=GP+PH=GP+PF 故PF+PG=AB.
7.已知:如图,以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC,B在FE的延长线上.
求证:AE、AF把∠BAC三等分.
【提示】证出∠CAE=30°即可.
【答案】连结BD,交AC于点O,作EG⊥AC,垂足为G点.
∵四边形AEFC为菱形,∴EF∥AC. ∴GE=OB.
∵四边形ABCD为正方形,∴OB⊥AC,∴OB
GE,∵AE=AC,OB=
1BD=AC,2
2∴EG=AE,∴∠EAG=30°. ∴∠BAE=15°.
在菱形AEFC中,AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC=
∠EAC=15° 2
∴∠EAB=∠FAE=∠FAC. 即AE、AF将∠BAC三等分.
8.如图,已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动,∠MCN为定角,连结AM、AN,并延长分别交BC、CD于E、F两点,则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程,它们的和是否有变化?证明你的结论.
【提示】BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC. 【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠EMC=180°-∠1-∠3=180°-2∠1. 同理∠FNC=180°-2∠2.
∴∠EMC+∠FNC=360°-2(∠1+∠2). ∵∠MCN=180°-(∠1+∠2),∴∠EMC+∠FNC总与2∠MCN相等.
因此∠EMC+∠FNC始终为定角,这定角为∠MCN的2倍.
9.如图(1),AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC和S△DBC分别
表示△DMC、△DAC、△DBC的面积.当AB∥CD时,有
S△DMC=
SDACSDBC
①
(1)如图(2),若图(1)中AB
时,①式是否成立?请说明理由.
(2)如图(3),若图(1)中AB与CD相交于点O时,S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系?证明你的结论.
图(1)图(2)图(3)
【提示】△DAC,△DMC 和△DBC 同底CD,通过它们在CD 边上的高的关系,来确定它们面积的关系. 【答案】(1)当AB时,①式仍成立.
分别过A、M、B作CD的垂线,AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F. ∵M为AB的中点,(AE+BF).
211
1∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF=DC·(AE+BF)=2 S△DMC.
222SSDAC
∴S△DMC=DBC
∴MN=
(2)对于图(3)有S△DMC=
SDBCSDAC
.
证法一:∵M是AB的中点,S△ADM=S△BDM,S△ACM=S△BCM,S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,① S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC②
①-②得:S△DBC-S△DAC=2 S△DMC
∴S△DMC=
SDBCSDAC
.
证法二:如右图,过A作CD的平行线l,MN⊥l,垂足为N,BE⊥l,垂足为E.设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2.则MN=h1+h0,BE=h2+h1.
∵AM=BM,∴BE=2 MN.
∴h2+h1=2(h1+h0),h2h
1. 2SSDAC
∴S△DMC=DBC.
∴h0=
10.已知:如图,△ABC中,点O是AC上边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证EO=FO.
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论.
【提示】(1)证明OE=OC=OF;
(2)O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形,然后证明它此时也是矩形. 【答案】(1)∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠ECO. 又MN∥BC,∴∠BCE=∠CEO. ∴∠ECO=∠CEO. ∴OE=OC. 同理OC=OF. ∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC边的中点时,四边形AECF是矩形,证明如下: ∵OE=OF,又O是AC的中点,即OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,且∠BCA+∠ACD=180°,∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=∴□AECF是矩形.
15.长沙市数学中考题 篇十五
一、中考题在八年级《分式》教学中的给力表现
(一)开放型
例题2:(湖北恩施)请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式:x2-4xy+4y2;x2-4y2;x-2y.
这类问题原本是化简或化简求值题,但一改往常的形式给了学生自主探究的空间.解题时,一是按常规化简,二是在取值时既注意使用运算简单,又考虑到隐含条件分式意义的约束,例题3可以构成六个分式.这类题的答案往往不唯一,主要考查了分式的四则运算、分解因式,对字母的取值也体现了当前素质教育对考生的人文关怀,又考查了学生思维的缜密性,还有利于培养学生的创新思维能力.
(二)实际情景型
例题3:课堂上,李老师提出了这样一个问题:
这是一道以学生实际的课堂教学为情景的中考题,使严肃的考场变成了轻松的课堂,让学生透过现象探究本质,培养学生良好的学习习惯,有助于学生养成“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”.
(三)阅读理解型
这类题为阅读理解题,通过学生对题目中所隐含的解决问题的方法解决类似问题,既考查了学生的阅读理解力和知识的迁移、转化能力,又使教学不显得很单调.
二、七年级轴对称的最小值问题在中考题中的给力表现
中考题中,很多经典题在不同背景下运用到求最小值的方法,现列举一些各年级教学中都能运用的例子.
(一)背景为直角坐标系
例题1:(深圳2008年)要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图4所示的平面直角坐标系,测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是________.
新课标指出对基础知识和基本技能的考查,要注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解,考查学生能否在具体情境中合理应用.本题在直角坐标系中的教学中运用起来有综合性,在提高学生能力方面起到很大作用.
(二)以四边形为背景
在四边形的教学中,学生如果能真正理解这类题型的实际背景,在七年级利用对称法解最小值问题的基础上,就能很顺利地将前后不同阶段的数学知识进行综合运用.此类题还可以进行数学中的变式练习,如可让学生求出△DPC周长的最小值.在平时课堂教学中,经常性地对中考题进行变式练习,对学生数学思维能力的训练会有很大帮助.通过这类题的讲解,既让学生感知中考题出自教材又高于教材,又培养学生对教材中题进行加工和拓展的能力,培养学生提出问题和解决问题的能力.
(三)综合背景题型
例题3:(深圳05)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)
(1)(2分)求点A、E的坐标;
(3)(5分)连结PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
在中考综合题中利用对称法解最小值问题.类似的运用还有在九年级的圆的教学中,利用对称法求最小值是中考题中比较热门的题型.如果在平时教学中合理穿插一些这类题型,对学生的数学运用能力就可以起到较好的提高作用.
学生在对适当难度的中考综合题的解答过程中,灵活运用数学知识解决数学问题,学生在长期过程的从较长、较复杂的情景中学会运用数学的基本概念、定理进行分析、推理,从而使头脑变活.
平时教学不能仅仅靠大量的数学中考习题的训练代替正常和数学教学,新课标强调学生在数学方面的发展,更强调学生在数学方面发展所依靠的数学基础,即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在研究“中考题给力数学课堂教学”,即创新思维的中考题与当前数学课堂教育有效结合的过程中,要凸显课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、学会数学思维思考等,而且要在教学中进一步培养学生发现和提出问题的能力.
在平时课堂教学中除了要在认真研读教材上下工夫外,基础年级的老师也要深入挖掘一些好的中考题与教材的本质内涵与联系,利用这类中考题,在课堂教学中进一步改善学生的学习方式,通过中考题中的一些好思想方法提升学生的学习体验,增强学习的信心和提高学习效率,真正做到人才的培养与升学深造的和谐统一.
摘要:关注中考题,研究教材与中考题的本质联系,把一些经典的好中考题穿插到平时的讲学稿设计中,在研究给力的中考题与课堂教学有效结合的过程中,凸显课程改革倡导的使学生在运用中经历数学学习过程、学会数学思维思考等,强调学生在数学方面发展所依靠的数学基础,即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在教学中进一步培养学生发现和提出问题的能力.
关键词:创新思维,中考题,数学课堂,教育教学
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育《教学课程标准》(修改稿).
[2]张正平.分式连连看.中学数学杂志.
16.长沙市数学中考题 篇十六
我想化作 (补全题目再写)
要求:1.文体不限,不少于600字;2.文中不得出现真实的人名、校名、地名;卷面整洁,字迹清楚。
【满分作文】
我想化作诗人
一考生
我想化作诗人 在我的心里,诗歌像一幅幅充满诗意的画,像一首婉转动听的歌,像一片片飘逸自由的云,总能将我带入快乐而幸福的境界。
小的时候,躺在院子里,细细地数着天上的星星,不由想起爷爷教我的诗句。吟诵着“迢迢牵牛星,皎皎河汉女”,眼前仿佛出现了牛郎织女男耕女织的形象;吟诵着“床前明月光,疑是地上霜”,又好像看到了李白思念家乡的身影。
面对着无垠的苍穹,冥冥中,从遥远的天空传来一声问语:“想做诗人吧,做一名怎样的诗人呢?”是啊!我应该做一名怎样的诗人呢?
我想做一名像李白一样自由洒脱的诗人。我向往他那种“天生我材必有用,千金散尽还复来”的浪漫与豪情。当然,我更欣赏他在宫廷之中,敢于让杨贵妃磨墨、让高力士脱靴的那种豪放不羁。
我想做一名像杜甫一样情系苍生的诗人。我希望自己能够像文天祥那样,充满雄心壮志,铿锵有力地吟诵“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”。
我想做一名像郭沫若一样敢于想像的诗人。我会像他那样,“不断地毁坏,不断地创新,不断地努力”,对祖国充满无限的热爱,对新生活充满无限的向往。
我想做一名像汪国真那样热爱生活的诗人。“何必想你柔情似水,何必想我伟岸如松,只要情也洁白,只要诗也透明”,那种流动着的青春激情,跳动着的青春的脉搏,能够让我的生活变得纯真与清新。
像一名诗人,固然要学习前人,更重要的做好自己。在诗的世界里,我一定能够寻找到属于自己的灿烂的一页。
【点评】
17.长沙市数学中考题 篇十七
对来自题目的众多信息进行加工处理,是完成几何论证的主要工作,也是几何论证中的关键所在。本文主要对学生论证时思维受阻的原因作些浅析,并着重提出相应的教学对策。
一、由于不能完整剖析图形、正确判断各种信息而引起的思维受阻及其对策观察能力、作图能力、直觉能力相对较弱的学生,他们不能完整地剖析图形,不能从中找出全部对证题有用的信息,甚至造成信息错觉,致使思维受阻,表现为: 1.不能作出正确的图形,这容易曲解题中的正确信息。
对策:要求学生(1)作图时须按照题设和题断所提供的信息,注意“平行”、“直”、“等角”、“中点”等位置关系和数量关系。
(2)注意线段之间、图形之间的大小比例关系。2.抓不住图形中显示出来的对证题有用的信息, 如:相等线段和相等两角、平行线、全等三角形、特殊四边形、相似形、对称形等。
对策:在不影响图形清晰度的前提下,可将这些有用信息用一定记号标在图形上,以增强直观性,减轻记忆量,也可将这些信息按主次顺序或在图形中的位置顺序暂存入头脑中的信息库。3.不能及时摈弃图形中显示出来的否定的、多余的信息;如这两角不可能相等,那两个三角形不可能全等。
对策:通过全面剖视,仔细观察图形中的量和关系,正确判断哪些信息是有用的,否定的或多余的。
例
1、如图,已知:AB=AC,A、C、D在一直线上,CD=BE。求证:EF=FD。
对证题有用的信息是:∠B=∠ACB,BE=CD,多余的信息是∠ACB+∠BCD=180°,否定的信息是△BEF不全等于△CDF,能力低的学生容易陷入企图证明△BEF≌△CDF的“死胡同”。几何中,“形”是先导,正确的图形常使对证题有用的信息昭然若揭,反之,不正确的图形非但不能正确反映有用的信息,还会干扰正确信息的摄取,以致证题误入歧途。因此,证题者必须绘制一个足够清晰的正确图形,以便认清图形结构,完整剖析其中的位置关系、数量关系和相互制约关系。
二、由于证题策略不当而引起的思维受阻及其对策整体观念较差的学生,对于来自题目的众多信息感到纷乱无序,不善于梳理信息,因而制订不出正确的证题策略、方案,导致思维受阻。主要表现为:制订证题策略、“筛选”证题方案的能力较弱,往往无一定方案或择错方案。
对策:把来自题目的各种有用信息进行有目的的组合交错,从而萌发出多种证题方案,而这些初步方案中有真有伪、有优有劣,然后再进行“筛选”。
例2 已知:△ABC中,∠A=90°,AD为BC上的高。求证:AD+BC>AB+AC。
这里,把各种有用信息:∠BAC =∠ADB =∠ADC=90°,△ABC∽△ABD∽△ACD,BC·AD=AB·AC,……以及三角形中AB
方案二:如图(1)所示,由“BC>AB,AC>AD”取BE= AB, AF= AD,连结EF、AE,以下只要证得 ∠EFG=90°即可。
方案三:如图(2)所示,由“BC>AB”,取BE=AB,作EF⊥AC,证得AD=AF便不难得到结论。此外,还可用“等积法”、“求差法”、“逆证法”、“三角比”等等来设计此题的各种论证方案。
三、由于处理信息欠妥而引起的思维受阻及其对策对接收到的信息进行处理,是几何论证的主要过程,这是一个反复使用观察、比较、分析、综合、判断、推理等一系列思维活动的过程。在这过程中逐步地简缩题设与结论之间的差距,寻找题设与结论的连接点,形成证题思路。在此过程中引起这种思维受阻的 原因主要有: 1.由于证题经验不足、模式不多,因此,对待新的题目感到不知所措对策:(1)由于新题目往往是旧题目的变形或变异,或是旧题目的延伸与发展,这就用得着“凭经验办事”(但并不单纯依赖于经验),通过检索,把贮存在头脑中的证题经验和模式输出,对照新、旧题目,找出它们的共同点、相似之处和相异之处,看看已有的经验和模式能否移植到新题目上。
(2)把新题目化为一个与旧题目有着基本联系的题目或化为一个与它等价的但较简单的题目。也可先分别化简题目的题设与结论再找它与旧题目的联系。如:有时可转向证原题的逆否命题。
例3 已知:⊙O的两切线l1∥l2。另一切线CD切⊙O于E并交l1、l2于C、D。求证:CE·ED等于定值。
证题经验告诉学生,先移动CD,使CD⊥l1,则求得定值是⊙O的半径r的平方。根据CE·ED=r2这一形式、特征,检索证题模式,证题者类比地联想到直角三角形中的射影定理,但此题涉及的是圆,哪有直角三角形的影踪?看能否从图形中分割出具有射影性质的直角三角形(模式)?应连结OE。则OE⊥CD,与旧模式吻合。再连结OC、OD,需要证明 ∠COD=90°,这由题设“切线l1∥l2”及圆外一点引圆切线的有关性质易得。
2.解题能力低的学生由于直观能力、辨异能力较弱,常被错综复杂的几何图形所迷惑,思维难以逼近题目的内核,造成思路中断对策:因为复杂图形通常是由几个基本图形复合而成的,所以可从复杂图形中辨认、分离出若干个基本图形,或对残缺不全的基本图形补全(这往往是添 辅助线的启示)。
例
4、已知:AD是△ABC的角平分线,BD⊥AO且交AO延长线于D,E是BC中点。求证:ED=12(AB-AC)。
此题初看似乎较难入手,但观察到“AD平分∠且AD⊥BD”,隐现出残缺的基本图形: 等腰△ABF,应把它补全(见图3),再观察到基本图形(见图4)并联想它的特性,就找到了证题途径。
四、由于已有的经验的干扰,产生负迁移时思维受阻的原因及其对策
1.几何题题态各异,每道题都有它区别于其它题目的特殊性,故常有旧的经验和模式与解新题目不相适应的情况。这时的对策是:克服证法定势、探索证题新路。
当学生用某种方法成功地证明了若干问题后,他往往倾向于用同样方法证新题目,这种证法上的心理定势必须打破。针对“新”的题目,证法上要“出新”,不能把“经验绝对化”、“模式固定化”,使知识和技能产生负迁移,而要进行创造性思维,促进正迁移。
18.长沙市数学中考题 篇十八
1.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
1(3)若tan∠BPD=,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
3B C P B C P B C
图
1图2(备用)图3(备用)
3.已知:如图①,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P,Q分别从A,O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图②,现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M,N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
P
5.如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c=a1,求证:a=kc;
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1,使得k=2?请说明理由.
A
c
1C B1C11
6.如图1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,在△ABC上画一条直线,若这条直线既平..分△ABC的面积,又平分△ABC的周长,我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.
(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;
(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;
(3)如图2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.
C图2 图1
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若点P以3cm/s的速度运动
4①当PQ∥AB时,求t的值;
②在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.
(2)若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB
相切?若能,请求出运动时间t;若不能,请说明理由.
A
备用B
8.如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4.
求证:AE +BF =EF ;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请
说明理由;
D A B A D
图2 图3 图
1A D B A F
图4 图
5(3)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由. D ;
F
C
9.(河南省)222222B B
(1)操作发现·
如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.
(2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求
(3)类比探究
保持(1)中的条件不变,若DC=n·DF,求
【长沙市数学中考题】推荐阅读:
长沙市生物中考模拟12-04
长沙市2013年的中考语文试题一12-02
长沙中考政策解析10-02
长沙中考英语模拟作文01-28
长沙07中考失误作文:留点感激在心中01-10
长沙中考满分作文四:我想化作一朵流浪的云07-30
长沙市市场报告12-03
长沙市预售资金监管06-12
长沙市六年级期末试卷06-22
长沙市科技计划项目07-18