初中教你如何做几何辅助线

初中教你如何做几何辅助线（共3篇）

1.初中教你如何做几何辅助线 篇一

巧添辅助线解初中平面几何问题

摘 要：在解几何问题时中，有时不能直接找到已知条件与未知之间的关系，因此需要添加辅助线使隐蔽的重要条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系．全等变换就是一种重要的作辅助线的方法，它可以用运动的观点，使图形通过对折、平移、旋转、位似得到与原图全等的图形，或根据需要构造必要的图形，而新的图形可以使题目的已知和未知联系起来，化难为易，从而找到添加辅助线的方法，达到解题的目的．

关键词：辅助线；对折；平移；旋转；位似；构造；变换

在解几何问题时，有时找不到已知条件与未知之间的关系，常常会感到无从入手，没有头绪，令人“百思不得其解”．如何把看起来十分复杂的几何问题通过简洁明了的解题方法加以解决？是几何问题面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法．添加辅助线的目的在于使隐蔽的条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系，完善欠缺图形，将复杂的问题化简为推证创造条件，促成问题的最终解决．提高学生作辅助线的水平，不仅可以提高他们解答几何问题的能力,而且可以提高他们的空间想象能力,逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力，从而提高他们的综合素质．然而作辅助线是有难度的，没有一成不变的方法，有时是几种方法联合并用，但一个最根本的方法是从分析问题入手，紧紧联系已学过的有关几何知识，比如定义、定理、推论、公式等．试添辅助线以后，能不能再进一步得出一些过渡性的结论，而从这些过渡性结论出发，能不能再进一步推导出下一个过渡性结论．如果添加辅助线后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得对，成功的把握性就大，如果添辅助线后，思路反而更塞了，那一定是错了．

用运动的观点来观察图形，在许多场合下是添加辅助线的一种行之有效的方法，它是设想把某一有关部分的图形进行对折，旋转，平移或缩放（位似），从而巧妙地添加辅助线，有效地解决问题．下面就我个人的一些经验，谈一下常用辅助线的做法．

一 对折法

“对折法”就是“轴对称变换法”．这是利用成轴对称的两个图形是全等形这一原理，把图中一部分或整个图形，以某一直线为折痕（即对称轴）翻折过来，就得到它的全等形．通过这种变换把较分散的线段、角集中起来，或者使原有的已知扩大，或者使各个几何量之间的关系明显化，所以这是一个常用的好方法．

许多已知的图形都有对称轴，有的较明显，如圆的直径，等边三角形的高，等腰三角形底边上的中线，图形中某角的角平分线或某边的垂直平分线，等腰梯形，矩形的平行对边的中垂线，菱形，正方形的对角线等．如果没有现成的对称轴，也可以设想以某直线或线段作为对称轴，向它的另一边翻折180°（即对称轴的另一边），想象一下翻折过去以后，各个对称点，对称线段或对称的角或其他有关的点、线的分布情况如何？想妥当了，再试添辅助线．而后考虑要证的几何元素与题设的元素之间的几何关系．这样，就会较合理地作出所需要的辅助线来帮助我们进行论证．

例1 如图（1），在△ABC中，AB=2，BC=3，在三角形内有一点D，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B为何值时，△ABC与△ADC面积之差有最大值，其最大值是多少？

分析：将△ADC沿AC翻折到△AD′C的位置，此时△ADC≌△ADC，∠ADC +∠B=∠ADC+∠B=180°，故四边形ABCD内接于圆，因AB=CD=C D′=2，故知四边形ABCD为等腰梯形，AD′∥BC．

作AE、D′F⊥BC于E、F，则AD′=EF，BE=CF，于是

AD′S=S2△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AD′C

22=1AEBC1AEAD/1AE(BCAD/)=1AE(BEFC)AEBE

2DBE图（1）FC=2cosB2sinB=2sin2B2．

故当B4时，S有最大值2．

例2 如图（2），在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N使∠MCN=45°，记AM=m，MN= x，BN=n,则以x、m、n 为边长的三角形的形状是（）

（A）锐角三角形；

（B）直角三角形；

（C）钝角三角形；

（D）随x、m、n变化而变化．

分析：（1）要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段

长集中到同一个三角形中．

（2）如何利用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°．

（3）为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM对折（如图）这样可将m、x两条线段集中，再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中．

由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∴∠BCN = ∠PCN 可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n ． ∴∠MPC=∠A=45° ∠NPC=∠B=45°

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．

∴以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形．

图（2）AMNBCP

提示 ：当要证的结论需要集中某些线段，且图形中出现了等角或角的平分线等条件时，可考虑对折构造．

二平移法

“平移法”即平移变换法．顾名思义，其具体做法就是过某点作某线段或某直线的平行线，利用平行线性质——同位角相等、内错角相等，或利用平行四边形诸性质，把有关元素集中起来．

例3 如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与 BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°．求证：AC=MN．

分析：由已知条件知：MN=AC=1（AD+BC），2要证AC=MN，只需证所在的直线上，与BCE，则可得1（AD+BC）.因此，可将上底AD移至下底2交BC的延长线于相加，即过点D作DE∥AC ∠BDE=∠BOC=90°，这样就可以将问题转化为解一锐角是30°的直角三角形的问题．

例4 如图（4），已知三角形ABC的两边为BD、CE，若BD=CE．求证：AB=AC．

分析：已知的两条相等的中线在图中交叉摆一个三角形中就比较好考虑，于是设想把其中的动到DF位置，这样就成了一个等腰三角形DBF，从而得到GB=GC，GD=GE．要证BE=CD就简

着，我们试把它安排在一条中位线CE平行移立即得到∠1=∠F=∠2，AB、AC上的中线分别

单了．

三 旋转法

“在欧氏平面上把一点P绕一定点旋转一定角变到另一点P′，如此产生的变换叫做旋转变换，简称旋转．此定点叫做旋转中心，定角叫做旋转角．”旋转后的图形与原来的图形全等．用这种想象来启示我们去作辅助线．这种方法能够集中条件，扩大已知，图形之间易于联络，呼应，达到较顺利论证的目的．

旋转要利用角或边的相等，因此在正三角形、正方形、正多边形应用较常见．

例5 如图（5）,在正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分别在AD和DC上．求证：EF=AE+FC．

分析：因为要证明EF=AE+FC，可设想将AE、FCEF比较．而已知条件给了正方形，即各边相等，四个角把Rt△BCF（或Rt△BAE）以B为中心逆时针（或顺Rt△ABF′≌Rt△CBF，则BF′=BF，AF′=CF，∠1=∠2．

则：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45° 所以∠EBF′=∠EBF，而BE是公共边，故

图_

（5）EF=EF′=AE+AF′=AE+FC，即可得证．

例6 如图（6），在等边△ABC外取一点P，如果PA=PB+PC，那么P、A、B、C四点共圆．

放在同一直线上，再与是直角，于是，可尝试时针）旋转90°．可得：

△BEF′≌△BEF，则

分析：在四点共圆的判断中，其中有一条是”对角互补的四边形内接于圆” ．因此，可尝试∠BPC+∠BAC是否等于180°．而题目中给了条件△ABC是等边三角形，即三边相等，三

个角都是60°，可设想把△BPC以点C为中心按顺时针旋转60°，可得△AP′C≌△BPC，则

PB=P′A，PC=P′C，∠A P′C=∠BPC，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等边三角形，则∠1=60°，PP′=PC，∵PA= PB+PC

∴PA= P′A+ PP′

∵A、P′、P三点共线 ∴∠A P′C+∠1=180° 又∵∠BAC=60°=∠1 ∴∠BPC+∠BAC=180°

故P、A、B、C四点共圆．

图（6）

四 位似法（放缩法）

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．

位似变换的设想，是把其中的一个图形（它经常是某一线段）看成是由另一个图形按位似比放大或缩小而得的．把欲证的线段变为易证的线段，或者通过扩大或缩小，让有关线段组成一个新的图形．比较多的是遇到“中点”、“三等分点”、“内、外分线段成某比”等题设时，用位似扩大或缩小法集中条件，而后加以论证．

例7 如图（7），ABCD为任意四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，M、N分别为对角线BD、AC的中点．

求证：EG、HF同过MN的中点．

分析：欲证的三条线段在图中的关系不甚 “密安排得较易联系一些，由于题中很多中点，随便选位似中心，按位似比K=EN//切”，我们试图把它们择一个顶点比如A作然就要连EN，得到的平行四边形了． AE1=把边BC缩小，自AB21BC，用相同的办法就组成了一个易于思考2例8 三个等圆O1、O2、O3相交于点S，位于已知三角形ABC内，每个圆与△ABC两边相切．证明：△ABC的内心I、外心O与点S共线．

分析：这个问题直接论证是比较困难的，因住O、S、I之间的联系，但从图形的直观上看△△ABC位似．事实上，易知，为不容易一下子抓

O1O2O3有可能与

O1O2∥AB，O2O3∥BC，O3O1∥CA，所以IO1IO2IO3==

（I为内心，即O1A、O2B、O3C之交点）． IAIBIC于是由SO1SO2SO3知S为△O1O2O3之外心，即S与O为位似变换下的对应点，故I、O、S共线．

五 其他构造法

当我们按照某种既定的思路解题时，有时必须用到某种图形，而这种图形并未在原图中出现，这时就要构造这种图形来使证题顺利进行．构造、补全基本图形也是作出辅助线的基本方法，它是出于对几何图形整体的把握作出辅助线的．许多常见的辅助线（如等边三角形、直角三角形、正方形，两圆相交时的公共弦、连心线、圆的切线问题中过切点的半径等）都体现了这种想法．

例9 如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线AE的中点．求证：BF⊥FD．

分析一：如图（9-1），由题意知 CE=CA，F为即联想到三线合一的基本图形．于是连CF，有这样，这了证明DF⊥BF，只要证明∠1=∠3． 另一方面，注意到Rt△ABE中构成的”斜边上中AF=BF，∠4=∠5．

GAD上一点，CE=CA，F是

AE的中点重要条件，立CF⊥AE．

线”的基本图形，立即有因此，只要证明出△AFD≌△BFC就可推出了∠1=∠

3F了．（证明略）

BF⊥FD的结论，还可以构分析二：如图（9-2），注意到F是AE的中点的条件和要证的造如下的三线合一的基本图形．

延长BF交DA的延长线于G，连BG．容易看出EB图（9-2）C△BFE≌△GFA，于是F是BG的中点．这样，要证明BF⊥FD，只要证明DB=DG就可以了．

∵ABCD是矩形，∴BD=AC 又由已知：CE=CA ∴只需证出DG=CE 而这是很容易证的（证明略）．

例10 如图（10），在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．求证：BD2AB2BC2． 分析：（1）所求证的关系为平方形式，联想到构造求证即可，因为∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2BC2转化为Rt△ABE证明AE=BD即可．

（2）由∠ADC=60°，AD=CD，连AC，则△ADC

为等边三角形，易证直三角形运用勾股定理形△BCE，则可以得到中AB2BE2．这样只需

△DCB≌△ACE，于是AE=BD．（证明略）

几何辅助线的用途很广，虽然几何题目千差万别，证明方法多种多样，辅助线也因题而异．但“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”.“运用之妙，存乎一心”，不管问题有多么复杂，只要我们多去总结和归纳，亦可水到渠成，迎刃而解． 参考文献：

[1]刘善贵.怎样添置辅助线新编[M].北京:冶金工业出版社,1999,8,1.[2]张乃达.初中几何解题新思路[M].长春出版社,2001,6 [3]欧阳维诚.初等数学解题方法研究[M].湖南教育出版社,1998，11.读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根

2.解立体几何问题时如何添加辅助线 篇二

图1

例1 如图1，正三棱柱ABCA1B1C1中，E为AC的中点.求证:AB1∥平面BEC1.

分析 1. 本题要证明直线与平面平行,如果利用线面平行的判定定理来证明,就必须在已知平面内找到一条直线与已知直线平行,这条直线一般可以由过已知直线作一个与已知平面相交的平面而得到,而这个平面可以是经过已知直线和与已知直线、已知平面都相交的另一条直线的平面(如图2),也可以是经过与已知直线相交且与已知平面相交的两条平行直线的平面(如图3).

图2

图3

一般地说，在图1中添加出图2或图3的过程,就是利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的过程.

（1） 先利用图2所示的方法，在平面BEC1内给出与直线AB1平行的直线.

图1中与直线AB1，平面BEC1都相交的直线有AB，AC，BB1，B1C1.

① AB与AB1确定平面ABB1A1.

显然点B是平面ABB1A1与平面BEC1的一个公共点;

如图4，延长A1A,C1E相交于点F,连结BF，则直线BF就是(经过直线AB1的)平面ABB1A1与平面BEC1的交线.

只要证明直线AB1∥直线BF,就可得AB1∥平面BEC1.

图4

② AC与AB1确定平面AB1C.

图5

显然点E是平面AB1C与平面BEC1的一个公共点;

如图5，连结B1C,设直线B1C与直线BC1的交点为G,连结EG,则直线EG就是(经过直线AB1的)平面AB1C与平面BEC1的交线.

只要证明直线AB1∥直线EG,就可得AB1∥平面BEC1.

③ BB1与AB1确定平面ABB1A.因此,这种情况下的证明方法与①相同.

④ B1C1与AB1确定平面AB1C1.

图6

显然点C1是平面AB1C1与平面BEC1的一个公共点；如图6，延长BE到H,使EH=BE,连结AH，CH，C1H,则C1H就是（经过直线AB1的）平面AB1C1与平面BEC1的交线.

只要证明直线AB1∥直线C1H,就可得AB1∥

  

平面BEC1.

(2) 下面再利用图3所示的方法，在平面BEC1内给出与直线AB1平行的直线.

① 直线AC是过点A且与平面BEC1相交于点E的一条直线,我们再给出一条过点B1且与AC平行（必与平面BEC1相交）的直线.

图7

如图7，在平面A1B1C1内，过点B1作直线l1∥A1C1,过点C1作直线l2⊥A1C1,设l1∩l2=R,连结ER.只要证明ER就是经过直线AB1的平面与平面BEC1的交线，且直线AB1∥ER,就可得AB1∥平面BEC1.

② 直线AB是过点A且与平面BEC1相交于点B的一条直线,我们再给出一条过点B1且与AB平行(必与平面BEC1相交）的直线.

图8

如图8，在平面A1B1C1内，延长A1B1到T,使B1T=A1B1,连结C1T，BT.只要证明BT就是经过直线AB1的平面与平面BEC1的交线，且直线AB1∥BT,就可得AB1∥平面BEC1.

图9

2. 本题也可以利用面面平行的性质定理来证明.如图9，取A1C1的中点E1,连结AE1，B1E1，证明平面AB1E1∥平面BEC1，就可得AB1∥平面BEC1.

3. 本题还可以用基底向量法给出证明.同学们不妨自己试一试.

小结 解立体几何问题时,如何在题设图形中添加辅助线是有规律可循的：添加辅助线的过程就是在题设图形中使相应的基本图形完整的过程,从而也是揭示问题的本质的过程.

3.做数学怎么懂得做辅助线方法 篇三

1. 与角平分线有关的

(1) 可向两边作垂线。

(2)可作平行线，构造等腰三角形

(3)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2. 与线段长度相关的

(1) 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

(2) 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

(3)倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

(4)遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的

(1)考虑三线合一

(2)旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

二.四边形中常见辅助线的添加

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形

(2)利用两组对边平行构造平行四边形

(3)利用对角线互相平分构造平行四边形

2. 与矩形有辅助线作法

(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题

(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

3. 和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

(1)作菱形的高

(2)连结菱形的对角线

4. 与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线

三.圆中常见辅助线的添加

1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

作用：

① 利用垂径定理

② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量

2. 遇到有直径时，常常添加(画)直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圆周角时 ，常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：利用圆周角的性质，可得到直径

4. 遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

作用： ①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角

5. 遇到有切线时，常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时

(1) 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线

(2) 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心(即作半径)

作用：只需证OA⊥l，则l为切线

(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7. 遇到两相交切线时(切线长)

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

作用：据切线长及其它性质，可得到

① 角、线段的等量关系

② 垂直关系

③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

② 内心到三角形三条边的距离相等

9. 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等

10. 遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

作用： ①利用切线的性质; ②利用解直角三角形的有关知识

11. 遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

作用： ① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

② 利用圆内接四边形的性质

③ 利用两圆公共的圆周的性质

④ 垂径定理

12.遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线

作用： ① 利用连心线性质

② 切线性质等

13. 遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线

作用：可利用连心线性质

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时