数学思想在因式分解教学中的渗透与应用

数学思想在因式分解教学中的渗透与应用（共12篇）

1.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇一

结合自己的教学实践谈一谈数形结合思想在小学数学

教学中的渗透与应用

“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念 建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。在实际课堂教学中运用power point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？“学生一片哗然：哦~~！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。

此可以看出，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性。教师对教材的加工，把6条小船增加到20条，30条，甚至100条船，使学生产生更为强烈的认知冲突，感悟到乘法的简便。教师引领学生边观察边数，一个3，两个3„„一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果。其次，从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。

教学实践证明：在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。

二、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，我们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，我们应以清晰的理论指导学生 理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”

根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

（一）“分数乘分数”教学片段

课始创设情境：我们学校暑假期间粉刷了部分教室（出示粉刷墙壁的画面），提出问题：装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领后进生。后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，请一些画得好的同学去展示、交流。也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程，学生就会看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解分数乘分数的算理。如果教师的学流于形式，学生的脑中就不会真正地建立起“数和形”的联系。

三、渗透数形结合思想，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力 数学家华罗庚曾说：“人们对数学早就产生了干燥无味、神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”数形结合的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。数形结合思想是充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，能丰富学生的表象，引发联想。在分数乘除应用题教学时经常通过画线段图或面积图弄清题意，分析数量关系，拓宽解题思路，能引导学生迅速找到解决问题的方法。

如：应用题“水果批发公司有水果25000千克，卖出2/5，还剩下多少千克？”的教学，引导学根据题意先画出线段图：

卖出2/5还剩？千克25000千克

学生从图中很快找到了许多数量关系：

（1）可以先求出卖出多少千克，就是求25000的2/5是多少，再用总数减去卖出千克数求出剩下的重量。（2）从图上看出，先求出剩下的是总数的3/5，即（1-3/5），只要用总数乘（1-3/5）就可以了。（3）从图上也可以先用25000÷5求出一份是多少，再乘剩下的3份。显然，学生借助线段图分析抽象的分数应用题，解题思路清晰，解法巧妙。又如一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求。但是，如果我们画一个正方形，假设它的面积为单位“1”来表示一杯牛奶，然后图上表示每次喝去的牛奶，最后由图可知，还剩下1/32，那么（1－1／32）就为所求，这样在学生解题过程中让学生很好地体会了数形结合思想的妙处。

“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。

2.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇二

数学思想贯穿于整个小学数学教学的各个领域, 在“图形与几何”领域的教学, 该如何进行行之有效的渗透呢?下面笔者以“转化思想”、“分类思想”、“集合思想”、“函数思想”为例, 简要谈谈自己在教学实践中的一些做法, 以期与同行共同探讨。

一、渗透转化思想, 培养学生解决问题的能力

转化思想, 即不是直接寻找问题的答案, 而是寻找一些熟悉的结果, 设法将面临的问题转化为某一规范的问题, 以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。在“图形与几何”领域的教学中, 我们通常会把未知问题转化为已知问题, 把复杂问题转化为简单问题, 把曲线图形转化为直线图形。如在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后, 出示一个不规则的铁块, 让学生求出它的体积。铁块既不是长方体, 又不是正方体, 该怎样求它的体积呢?问题一抛出, 学生纷纷没了头绪。但由于刚刚解决过教材P23第2题求土豆体积的问题, 以及长方体、正方体的体积, 学生很快便有了好办法, 总体有这样几种:

方法 (1) :可以请铁匠师傅帮个忙, 让他把这个不规则的铁块熔铸成一个规则长方体后再计算。

方法 (2) :把这个铁块放入一个装满水的, 且有出水孔的容器, 完全浸没在水中, 用量杯盛好, 看溢出水的体积, 就是铁块的体积。

方法 (3) :把这个铁块放到一个装有水的长方体的容器内, 浸没在水中, 量一量长方体容器的长、宽, 以及看看水面上升了多少, 只要求出长方体容器内上升部分水的体积就得到了铁块的体积。

方法 (4) :把铁块放到一个装满水的量杯内, 使之淹没, 然后拿出来, 看看水少了多少毫升, 这个铁块的体积就是多少立方厘米。 (即同教材“土豆体积”的问题)

引导学生思考:大家的方法都很棒!想想都有什么共同之处?学生的方法要么把铁块的体积转化成了长方体的体积, 要么转化成了水的体积, 巧妙地利用了转化思想来计算出它的体积。在转化思想的影响下, 灵活地将一道生活中的数学问题地用学过的知识来顺利解决了。由此可以看出:学生一旦掌握了转化的数学思想方法, 便获得了自己独立解决数学问题的能力。

二、渗透分类思想, 提高学生概念建构的能力

分类思想是一种基本的数学思想方法。分类通常是指一种揭示概念外延的逻辑方法, 也就是以比较为基础, 按照事物间性质的异同, 将相同性质的对象归入一类, 不同性质的对象归入不同类别的过程, 分类也称为划分。小学阶段, 儿童以形象思维为主, 认知水平不高, 其最大的特点是思维离不开具体事物的支撑。分类必然存在分类对象, 满足了学生的认知需要形象支撑的特点。在图形教学中渗透分类的数学思想, 教师不能仅仅满足于让学生得到分类的结果, 而应引导学生理解为什么要这样分类, 交流是按怎样的标准进行分类的, 讨论怎样分类较为合理。教师要引导学生对分类的结果进行解读, 充分展现学生的思维过程。如在教学“认识平行”时, 我设计的第一个环节是从生活情境中选取五张图片, 从每张图片中抽象出两条直线:

让学生通过观察、分析、比较, 把5组直线的位置关系进行分类。学生通过交流, 出现以下几种分法:

A (2) (5) 两条直线交叉了 (连在一起) , (1) (3) (4) 两条直线是分开的。

B (2) (4) (5) 两条直线交叉了, (1) (3) 两条直线是分开的。

C (2) (5) 两条直线交叉了, (1) (3) 两条直线是分开的, (4) 另外分一类。

为什么这样分?你是按怎样的标准来分类的?请不同分法的学生说说想法。

直线可以无线延长, 我们把它延长! (课件演示延长)

问:相交吗? (再延长) 问:相交吗? (再延长) 问:相交吗?好, 让我们闭上眼睛, 想象一下, 这两条直线无限延长以后, 会相交吗? (课件演示延长相交)

告诉学生:像这样互相交叉 (或连在一起) 的两条直线, 它们的位置关系, 在数学上叫做“相交”。那么, 像 (2) (4) 这样的两组直线, 它们相交吗?揭示:像这样不相交的两条直线我们说“互相平行”。

类似这样的教学活动, 让学生经历从分类中产生矛盾, 在充分辨析中化解矛盾, “平行”的本质逐渐清晰, 概念的引入趋于无痕化。

三、渗透集合思想, 提升学生知识梳理的能力

集合间的包含关系在小学数学教学中的渗透主要表现在概念系统的构建之中。英国数学家维恩最早使用了可以用于表示任意的几个集合 (不论它们之间的关系如何, 都可以画成同一样式) 的“韦恩图”, 用韦恩图表示集合, 有助于探索某些数学概念的本质属性。如新教材第8册, 有关三角形的分类问题, 除用文字说明外, 还用集合形象地表示出来。我在教学“三角形的分类”一课中, 安排了这样一个环节:

在认识了三角形按角分, 可以分为:直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种三角形后, 给出一个椭圆形, 引导学生想:如果我们把所有的三角形看作一个整体, 用一个椭圆表示 (课件演示) , 按上述三角形的分类, 你能在这个椭圆里表示出这三种三角形吗?你能在练习纸上画一画, 写一写吗?让学生独立在练习纸上画一画。学生大致出现这三类结果:

我肯定了这几个学生的方法, 同时课件出示书上的韦恩图, 并告诉学生:通常, 为了更美观、更科学, 数学上用这样的图来表示三种三角形的关系。从这个图上可以看出, 这三种三角形都是这个整体的一部分。还让学生闭上眼睛, 把这幅图记在脑子里, 使学生看清三角形集合与锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各集合之间是整体与部分的关系。

四、渗透函数思想, 展现学生探究发现的能力

函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系, 通过类比、联想、转化合理地构造函数, 运用函数的图象和性质, 使问题获得解决。函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。

虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式, 但这不等于没有函数的雏形、没有函数思想的存在。在小学阶段渗透函数思想方法, 可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的, 从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义, 而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。如六年级长方体和正方体单元中, 有这样一道题:

丹丹用24个棱长1厘米的小正方体摆出了一个长方体。她摆成的这个长方体的长、宽、高各是多少厘米?在下表中列出各种不同的可能 (表略) 。

在各种不同的摆法中, 表面积最小的是哪一种?

学生不难得到结果:

在解决这一类问题时, 大多数学生都能准确找到答案, 但也有一部分学生会有重复和遗漏。于是, 我通常会引导学生这样有序地思考:当24个小正方体全部排成一层 (即高是1cm) 时, 会有哪几种摆法?学生想摆成一层, 全部排成1排 (即宽是1cm) 时, 每排几个?摆成一层, 全部排成2排 (即宽是2cm) 时, 每排几个?摆成一层, 全部排成3排 (即宽是3cm) 时, 每排几个?当摆成2层呢, 又有哪几种摆法?

在研究过程中, 学生会渐渐地感悟到:要想得到最小的表面积, 就要把所有能摆成的长方体逐一例举出来再比较;而要想得到不同的长方体, 必须在保持体积 (即小正方体的个数24个) 不变的情况下改变长方体的长、宽、高。在高不变的情况下, 宽逐渐变大, 长就逐渐变小。同时, 也在这些数据的变与不变中发现:当长、宽、高三个数据最接近时 (即越接近正方体时) , 表面积最小。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究, 而这种由“静”到“动”的过程就是函数的本质, 也体现了极值思想。

3.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇三

【关键词】数形结合 初中数学 数学教学

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）05-0139-02

“数”与“形”是数学研究中的两个基本要素，两者是统一的，又是相互独立、相互渗透的，不可分割的，如果将“数”与“形”各种分离开来数学就会变得不完整，数而无形则少自觉，形而少数则难入微，总之数与形之间是紧密相连、不可分离的，而利用数形结合思想来解决数学问题就会显得更直观、更具体、更简单，学生比较容易理解和接受。

一、数形结合思想在有理数教学中的应用

有理数是基础性数学知识，是初中数学的重要教学内容，将数学结合思想运用于有理数教学可以将有理数概念直观化、具体化。例如在有理数的大小比较题目中，如果题中给出的有理数较多，有正数、负数，而且还涉及到绝对值的话直接进行比较就显得不仅复杂，比较起来困难大，所以教师可以引导学生利用数形结合思想画一条数轴，并将所有比较对象在数轴中标识处理，这样几个有理数的大小就在数轴上一目了然了。

例如题目“m<0，n>0，且|m|<|n|，请比较m，-m，n，-n几个有理数的大小”，解题时首先需要将m，n分别在数轴上表示出来，比较结果就可以呼之欲出了。通过这样的教学活动可以让学生从“形”上感受有理数数与形之间的转换。

二、数形结合思想在函数教学中的应用

函数是初中数学的一个重要内容，是初中数学的教学重点，同时也是难点。函数是一个纯代数意义的概念，函数表示的方法有很多，例如解析法、列表法等等，但仅仅使用简单的式子或者表格来表示函数很难让学生直观认识到函数的具体变化过程以及各个数值之间的关系，更无法对函数进行更深层次的认识和理解，这样只会进一步加大函数的难度。而如果利用数形结合思想将函数用图形表示出来形成函数图像，学生就可以通过函数图像对函数有一个形象、直观的认识和理解，包括函数的特点以及性质都可以逐一化解，不存在任何难度，课堂教学也可以起到事半功倍的效果。在直角坐标系中，函数的意义表示实数对（x，y）于某一点M的对应关系，可见函数与图像的结合应用是一种必然，两者是相辅相成的关系。

三、数形结合思想在几何教学中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用，可以充分发挥数形结合的直观性、形象具体等特点，使难以理解的数学题简化易解。“以形助数”能够用巧妙的图形更加形象具体的表达出抽象的数学知识，从而有效的帮助学生更加清晰的梳理出相应的数学知识，调动学生学习、探索的积极性。

例如，如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点。作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（ ）

对于初中生来说，勾股定理、圆周角定理、勾股定理的逆定理以及弧长的计算均为抽象的理论知识，但是将文字描述的信息转化为图形分析，得出：求弧AC的长，解决问题的关键在于：求弧所对的圆心角以及弧所在圆的半径，因此，需要将OC连接，分析连接后的图形，可知OA⊥OC，即∠AOC=90°，随后利用已经学习且掌握的勾股定理、弧长公式求出OA的长。“以形助数”，学生能够更加直观的探索出问题的解决出口，利用已经掌握的知识，更加快速高效的解决出问题。

受现实生活中各种量数图像的影响，初中阶段的学生已经形成一定的图形意识，例如生活中的量尺、温度计等量具的刻值和刻度对学生来讲都没有难度，所以教师应该把学生的这种图形意识应用到数学教学中，实现图像知识与数学的有效结合。数学结合思想不仅局限于初中数学有理数教学、不等式教学、应用题教学以及函数教学，同样适用于其他数学问题，学生对各种数学问题的分析都可以通过数形结合的方法将问题简单化、直观化，同时这也是培养学生分析能力、想象能力以及提高数学综合应用能力的有效途径。所以教师要引导学生掌握一种解题方法，让学生从繁琐的数学题海中解题出来，轻松学习、轻松解题。

综上所述，数形结合思想是适用于各个阶段数学教学的有效教学方法、解题方法，是对抽象、复杂数学问题进行直观化、简单化以及降低数学学习难度的有效手段，有助于提升学生的数学解题能力，值得广为提倡。

参考文献：

[1]尹君龙.化归思想在初中数学教学中的渗透与应用[J]. 新课程学习（上），2012，08：35-36.

4.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇四

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”

。随着课程改革的深入，"应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。整数、分数

正有理数

零

负有理数

教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：

有理数

有理数

为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

0

a

= =

a

a > 0

－a a < 0

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性 在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。例1，化简

解：

这是按绝对值的意义进行分类。

例

2、比较 与 易得 的错误，导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论，既可得到正确的解答： 〉0 时，= 0 时，< 0 时 ，2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程 , 根的判别式时，对于变形后的方程

用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。

例

3、解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a 分析通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0,a－2＝0,和a－2＜0三种情况分别解不等式。当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是x> 当，a－2＝0,即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1 因为0¹－1,所以不等式的解是一切实数。当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是x<

3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例如 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是

。（2002年河南中考题）

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是 或

从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类 在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

例

4、已知函救y＝（m-1）x2＋(m-2）x－1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1¹0 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。当 m¹1 时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1 当△＝（m－2）2+4(m－1)=0,得 m=0.抛物线 y=－x2－2x－1,的顶点（－1，0）在x轴上

例

5、函数 y = x6 – x5 + x4-x3 + x2 – x +1，求证：y 的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。证明：⑴ 当x ≤0时

∵ x5x ≥0，∴ y≥1恒成立；

⑵ 当0 < x <1时

y = x6 +(x4 – x5)+(x2 – x3)+(x – 1)

∵x4 > x5 , x2 > x3 , 1> x

∴ y > 0 成立；

⑶ 当x = 1 时, y = 1 > 0 成立； ⑷ 当x >1时

y =(x6 – x5)+(x4 – x3)+(x2 – x)+ 1

∵ x6 > x5 , x4 > x3 , x2 > x

∴ y > 1成立 综上可知，y > 0 成立。

例

6、已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

5.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇五

作者：吹麻滩中学韩文俊

【摘 要】：初中思想政治课在讲授理论的同时，以情感为最佳的导入手段，能激发学生的学习兴趣，陶冶感化学生的情感，改变传统思想政治课枯燥只重理论而忽视情感引导的现状，起到良好的教学效果。本文就情感渗透在初中思想品德教学过程的应用，提出教师在教学实践中，应充分考虑学生认知因素、发挥情感渗透在教学过程中的积极作用，以情激学、以情明理、以情导行，进一步完善教育目标、增强教学效果，以促进学生个性全面、和谐、健康发展。

【关键词】：情感渗透 以情激学 以情明理 以情导行

在新课改深入推进的大背景下，针对当前中学思想政治课教学中普遍存在学生学习兴趣不浓，学习积极性不高，教师信心不足以致教育教学效果不佳等各种问题不断出现，教师必须自身更新教育观念，采用新的行之有效、富有个性的教学方法。初中思想政治课在讲授理论的同时，以情感渗透为最佳的导入手段，能激发学生的学习兴趣，陶冶感化学生的情感，改变传统思想政治课枯燥只重理论而忽视情感引导的现状，起到良好的教学效果。情感渗透在初中思想品德教学过程的应用，是指教师在教学实践中，应充分考虑学生认知因素、发挥情感渗透在教学过程中的积极作用，以情激学、以情明理、以情导行，进一步完善教育目标、增强教学效果，以促进学生个性全面、和谐、健康发展。

一、激情教学，突出语言美

在政治课教学中，富有激情、形成有吸引力的教学语言风格，应当是每一位教师追求的目标，也是教师在教学中恰当运用情感渗透教学的一个重要表现。政治课教师若上课没有激情、不形成自己独特的语言风格，就不可能成为一名优秀的教师，也就不可能走出一条留下美的轨迹的教学之路。因此，要使教学具有强大的吸引力，教师必须富有激情、精心追求教学语言的风格美。教师富有激情、独特的语言风格所营造的引人入胜的课堂教学气氛，诱发着学生的情感共鸣，对上好每一堂思想品德课有着至关重要的作用。教师的语言美应从以下几个方面进行探索：

⑴豪放的美豪放就是气势浩瀚、激越高昂、豪壮刚舰英武奔放的语言格调，即人们常说的阳刚之美。形成豪放的语言风格的要素，主要表现在对词语声音色彩的大量选用上，“音节高则神气必高，音节下则神气必下”。博大高远、气势恢宏、色彩鲜明、胸襟开朗是豪放的主要特征。豪放的语言风格能对学生的情绪产生强烈的感染力，给学生一种豪壮英发的动感美。例如在讲到初三《思想政治》“我国社会主义建设的宏伟目标”这一问题时，我是这样说的：“我国的宏伟目标，可以用一句话来概括，就是建设富强、民主、文明的社会主义现代化国家。这一宏伟目标，集中代表了全国人民振兴中华、强国富民的愿望，反映了社会主义的历史进程。今天，我们终于找到了强国之路，正在向这个宏伟目标挺进。我们伟大的祖国必将以一个政治稳定、经济繁荣、国力强盛、人民康乐的崭新形象，巍然屹立在世界的东方。”

⑵柔婉的美柔婉是与豪放相对应的语言风格。柔婉的特点是语句优美，情意缠绵，韵味深长。柔婉风格的语言，大多来自于使用语句的变幻多姿，短句急而促，长句舒而缓，偶句匀称凝重，奇句绮丽洒脱。这些句式错落而谐调地结合起来，造成一种情调婉转的艺术效果，使学生久久难忘。例如在讲 “怎样才能实现宏伟目标”时，我进一步阐述：“宏伟目标的实现，离不开今天的奋斗。强国路，要一步一步地走下去。虽然困难多，毕竟在克服；虽然路遥远，毕竟脚踏地；虽然是梦想，毕竟能实现。”这一语句，通过一波三折、一唱三叹的抒情格调，反复强调和逐层烘托出实现宏伟目标的希望、决心和感情，用语言声调描绘出奋斗之歌的多层次旋律，使学生在逶逶迤迤的情绪意蕴中，加深并巩固教材内容的深刻意义。⑶灵秀的美灵秀就是绮美绚丽的语言格调。它能给学生以错落有致、轻松谐趣、色彩斑斓的优美感受。灵秀风格的形成，主要取决于如何使用形容词和比喻、比拟等修辞手法。它的节奏既充满着强烈、深厚的情感，又回荡着起伏不停的音律，能增强对教学内容的形象描述和抒情感。例如在讲授 “选择希望人生”这一问题时，采用绮美绚丽的语言格调，引导学生正确对待理想与现实；理智面对学习压力；理性选择未来道路；拥抱美好生活；用形容词和比喻、比拟等修辞手法联系到一起。富有激情的阐述,青春的心灵，需要知识的营养去滋润，终身学习将为人生增光添彩；青春的辉煌，需要理想去激励、去创造，智慧的选择将为理想插上理性的翅膀；青春的成长，需要经受一点的考验，用积极的态度和行动去面对学习压力，我们从中收获的，将不仅仅是学习成绩，还有成长的快乐。

⑷回环的美回环就是用前一句的结尾做后一句的开头，又回过头来用前一句的开头做后一句的结尾的语言格调。教学中一句优美的话语就是一颗璀璨的珍珠，把这些彩色的珍珠两端串结成圆圆的项链，就是回环。这种修辞手法通过语序回环往复的巧妙配合，表现两种事物或现象相互排斥或相互依存的辩证关系，它结构严密、上递下接、语势连绵、音律流畅，用之则可加深学生对客观事物的认识和理解。例如在讲授初三“党在社会主义初级阶段的基本路线”这一问题时，我是这样复习提问的：“上一节课，我们学习了我国社会主义建设的宏伟目标，请同学们回忆一下，我国社会主义建设的宏伟目标是什么？”（学生答，略）接着，我在学生回答的基础上说：“要实现这个宏伟目标，就必须有正确的路线做指导，这条正确的路线就是党在社会主义初级阶段的基本路线。宏伟目标的提出依据的是我国的基本国情；基本国情决定我国还处于社会主义初级阶段；社会主义初级阶段是制定党的基本路线的依据；坚持党的基路线是实现社会主义宏伟目标的保证。”这段语句，每句内部意思衔接，揭示了“宏伟目标——基本路线”之间相互制约、相互依存的辩证关系，含义深刻，精辟警策。加之结构整齐匀称，具有一种回环往复的音乐美，传递出和谐统一的美的节奏，使学生听后情趣横生。

⑸含蓄的美语贵含蓄。含蓄就是含而不露、耐人寻味的语言风格。正如苏东坡所云：

“言有尽而意无穷者，天下之至言也。”其特点表现在把烈火般的感情蕴蓄在冰冷的语言里，必须在细细体会之后才感到炽热逼人；它不是直截了当地叙述，而是曲曲折折地倾诉，言在此而意在彼，或引而不发，或欲说还休，让人自去体味。在讲授初二《思想政治》 “青春悄悄来”时，涉及到青春期心理、生理变化等问题。我针对这个班学生中出现的“早恋”现象，讲起了这样一件事：“今年秋末冬初，我家阳台的花盆中，不知谁无意丢下一粒西瓜子。不几天，我惊奇地发现，花盆里竟然长出了嫩芽，而且一天一天地长高，变成了藤并开出了一簇簇小小的果花。过了不久，花谢了，居然也结出了苹果般大小的西瓜。可惜没过几天，霜冻就来了，叶落尽了，小西瓜也长不大了。我这才明白：不该开花的时候开花，不该结果的时候结果，是要受到自然生长规律的惩罚的。今天，发生在同学们中的一些事情又引起了我的思索，你们是否也从中得到了一些启迪呢？”同学们听后，颇有感触，早恋现象在这个班竟慢慢地消失了。上面这件事，既含蓄又不虚假。我只是在结尾时看似轻描淡写地点了一句，抓住了学生的心理特点。比喻生动形象，深入浅出，耐人咀嚼，发人深思。如果我正面直言说教，只会引起学生的对抗心理，结果会事与愿违。

在具体的教育教学工作中，教师要富有激情，在授课语言上狠下功夫，或豪迈奔放、或婉约低沉、或含蓄不露，在课堂教学中以教师自身的情感体验和优美的课堂语言感染学生，达到情感渗透在教学中成功运用的目的。

二、以情激学、提高学习积极性

与其它学科相比，思想政治课的教学有两难：其一，概念、观点较为抽象、枯燥，与初中生的年龄和心理有一定差距。其二，近年来，由于中考政治命题越来越活，学考脱节现象普遍存在，导致学生对思想政治课丧失信心。有些政治课教师也心灰意冷，抱着“你们不愿学，我也懒得教”的思想，照本宣科，支差应付，这就造成了政治课教学的恶性循环。作为一名政治教师，我也经历了一番思想斗争，但我坚信：事在人为，唯其难教，方能见真功夫。夸美纽斯说过：“孩子们求学的欲望是由教师激发起来的”。于是我开始尝试用一些方法，引导学生学习，首先我运用了“情感渗透”教学法。

⑴情感投资，以爱结情。苏霍姆林斯基说：“教师应当成为孩子的朋友，深入到他的兴趣中去，与他同欢乐，共忧伤，忘记自己是老师，这样孩子才会向老师敞开他的心灵。”我利用课余时间经常深入学生中，对孩子们嘘寒问暖，与学生们一起搞卫生、说故事。学生遇到困难时，积极帮助其解决，这些很快赢得了学生的敬意和信任，我的话，他们也爱听了。这大概就是“亲其师，信其道”吧。

⑵真情实话，以情诱学。我给初一学生上第一节课时，我问了几个他们关心和好奇的问题：一是大家是否觉得随着我们年纪的增长,我们在与异性同学交往时变得越来越别拗，不好意思？二是大家和原本没有隔阂的父母变得生疏了些，容易和父母发生争吵？学生听完之后，很多同学马上说就是这样的，你怎么知道的？一双双惊讶的眼睛望着我，着急的想要知道答案。我望着孩子们天真的眼神，告诉他们只要认真的学习政治课啊，就能从中找到答案。于

是，学生就有了好奇，想要试验老师的话。而在后来的教学过程中，我不断地让他们去实现自己想要的答案，学生学习的兴趣自然也变得越来越浓厚。

三、以情明理 彰显教学德育功能

列宁说：“没有人的感情，就从来没有也不可能有人对真理的追求。”不管是讲概念还是原理，我都注意寓理于情，使抽象的理论闪耀出情感的色彩，以增强学生对政治课的浓厚兴趣。

⑴语言含情，讲活知识。我以饱满的情绪，旺盛的精力讲授每节课，同时注意语言的抑扬顿挫，娓娓道来，使学生们的情绪随我的语调而变化。如讲妈妈对子女的关怀时，我富有感情的为学生朗读了《游子吟》，并逐句讲解，同学们听完后都想起每天妈妈在临行前唠叨出门时要多加点衣服，骑车要小心等场面。当我问他们听完这首小诗有什么感想或想起了什么场面时，学生纷纷有感而发，脸上挂着幸福的笑容。通过这个活动学生更能体会到父母唠叨中包含的关爱和提醒。

⑵故事渗情，吸引学生。书上的例子大多比较简单，有的例子时间较远，我就进行增补或系统形象化。如时传祥，我用口头和体态语言，生动地描述他如何背大粪桶，不怕脏臭和讥讽，感动得学生啧啧称赞。讲“为人民服务”的内容时，我适时地补充孔繁森的例子，描述他如何在大风雪天，把自己棉大衣脱下给九十多岁的藏族老奶奶穿上；他又是如何几次卖血抚养两个藏族孤儿。悲壮的语调，赞叹的表情，形象的手势象磁铁般地吸引住学生，他们深深地被英雄事迹所感动。

⑶教具育情，形情交融。为了增强政治课的德育功能，我在举例时结合学生身边的例子，让学生体会到故事就在触手可摸得身旁。譬如在讲哪些行为是尊重老师的行为，哪些行为是对老师的不尊重时，我列举了这样一个小故事：小明在快上课时看见李老师提着一块小黑板正走向教室,于是主动跑上去帮李老师提到教室。上课时，小明听了一会儿课就开始讲小话，不时，还去扯前面女生的头发。下课后，小明又和几个同学聊起数学老师，他说我们的数学老师一天到晚总绷着脸，又黑，不如就叫“黑板”！他的话引得周围的同学哄堂大笑。我让学生从中去分辨哪些行为是尊重老师，哪些是不尊重的？既能让学生明理，更能在故事中回归生活，知道在生活中如何与老师和睦相处。

四、以情导行 拉近师生距离

思想政治课的任务，不仅是教给学生马列主义基本知识，增强其认识和分析问题的能力，更重要的是提高学生的思想政治觉悟。因此，我竭力以情感化，导之以行。

⑴教师身先士卒，作出表率。常言到：身教重于言教。如讲“关心他人”时，我视学生为自己的孩子一般，思想上鼓励他们进步，主动当他们入团介绍人；学习上耐心辅导；有困难时及时伸出援手；在他们烦恼时，耐心听他们的诉说。讲“热爱劳动”，在学校大扫除中，我不怕脏累干在前。发现教室有垃圾马上拾起放在垃圾桶里，讲桌脏了，立马擦干净。从我的行动中，同学们懂得了如何理论联系实际。

⑵以情启思，明理践行。如讲“孝敬父母”的内容时，我列举大量事例，表明父母对子女的慈爱之情，并引导学生们讨论父母是怎样关心自己的？同学们争先恐后地述说父母在饮食、起居、学习等各方面对自己的关心。我又问：“你们都知道自己父母的生日吗？”教室立即静下来。一会儿，有个别同学说出了父母生日，但语气还不大肯定。我叹息道：“谁言寸草心，报得三春晖啊！”我启发大家：“想一想，怎样报答父母生养之恩？不要口头，而是要行动，一星期后向我汇报。”结果没过三天，就有不少同学对我讲了他们如何帮助妈妈刷锅碗、洗衣服，给妈妈做生日卡，还有的述说怎样跟爸爸到煤厂买煤，累得满头大汗把煤拉回家的事。

⑶严中有情，端正学风。动之以情，不是对学生错误的一味迁让，而是包含着有理有节的批评。正象苏霍姆林斯基说的：“批评的艺术在于严厉与善良的圆满结合，学生应该在教师的批评中感受到的不仅是合乎情理的严厉，而且是对他充满人情味的关切。”一次，有两个出名的捣蛋学生，在课堂上扮猴相、出怪调，课后被叫到办公室。我对他俩进行了严厉的批评，帮助他们挖根源，分析危害，使他们明白“严是爱、纵是害、不管不问能变坏”的道理。他们终于认真地检查了错误。从此，二人改掉了坏毛病，还争着为班集体做好事。实践证明，要做一个好教师，不仅要有丰富的知识，还要有一颗对学生的爱心。“情”从“爱”来，有了浓厚的爱，才配当学生的良师益友；也只有情感教学为先，把情感渗透体现在思想品德教学的每一个环节，才能促使学生爱学、会学，将枯燥的理论和鲜活的生活实践相结合，不断提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

参考文献：

徐勇，龚孝华.新课程的评价改革.北京：首都师范大学出版社，2001，12

罗树华.李洪珍.教师能力学.济南: 山东教育出版社, 2004

严育洪.新课程评价操作与案例.北京：首都师范大学出版社，2004，5

赵昌木.论教师成长.高等师范教育研究.2002（3）

陈琴等.论教师专业化.高等师范教育研究.2002（6）

6.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇六

从教十多年以来，深刻领悟到“授之以渔”的重要性。教师在教学过程中要采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。现结合自己的教学实践谈谈对小学生形成数学建模思想的思考。

一、积累表象，感知数学模型

感性材料是学生建立数学模型的基础，因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供平台。如“表内乘法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“2-6的乘法口诀”的算法，初步了解乘法的意义，学会能用找规律的方法算出几个相同加数的和，感知乘法口诀的来源及编制的方法；接着采取半扶半放的方式学习“

7、8的乘法口诀”，进一步引导学生感知归纳法、演绎法更广的适用范围；最后学习“9的乘法口诀”，运用以前已有的思想和方法灵活解决相关的计算问题。在此过程中，学生经历了观察、操作、实践等活动，充分体验了“表内乘法”的内涵，为形成“表内乘法”的模型奠定了坚实的基础。

二、参与研究，构建数学模型

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习，有时是独立探索和合作学习相结合，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程。

三、联系实际，应用数学模型

7.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇七

一、数学思想方法教学的作用

所谓数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论 (概念、公式、定理、法则等)的本质认识。数学思想是对数学知识和方法本质的认识,数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是形成学生的良好的认识结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。《高中数学教学大纲》提出, 中学数学中的基础知识包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等,以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想和方法作为基础知识在大纲中明确、肯定地提出来,尚属首次,足见数学思想方法及其如何教学的问题已引起教育职能部门的重视。此外,心理学理论中,把婴儿、 青少年的思维发展分为四个阶段:动作思维(0-3岁)、形象思维(3-7岁)、 形式思维(7-13岁)、辩证思维(1319岁)。高中学生的思维是辩证思维的形成阶段。例如,通过观察、比较、 归纳等手段,运用符号化、结构、系统等数学思想审视余弦定理,就看到了它展现的数学美,以及其引的新知识。无疑,进行数学思想方法教学, 不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡,而且有助于形成和发展学生的辩证思维。

二、常用典型的数学思想方法

1.符号化思想。符号化思想的实质是在数学活动中熟练地运用符号语言进行数学思维的结晶。从17世纪开始,数学家们着重研究使用怎样的符号才能更科学、合理、准确地反映数学概念的本质。不仅要简洁、便于印刷,而且要通过反映事物“最隐秘的本质”,使数学家们能以“惊人的方式缩短思维”(莱布尼茨)。因此,在数学学习中要很好地熟悉这种语言系统的结构和功能,理解每个数学符号的含义和实质,认真、规范地进行书写和运用。

2.算法化思想。数学的重要特点之一是将实际应用问题的计算抽象为一种算法,并指出相应的计算程序, 然后运用这种算法去解决同一类型的各种问题,因此对解决实际问题具有重要的指导意义。算法化思想的实质是对从实际中抽象出的数学问题进行算法编程。

3.对应思想。由于对应是人的思维对两个集合间联系的把握,因此, 无论两个集合间用怎样的纽带联系在一起,都要靠人的思维去把握。反过来,很好地掌握对应的思想,运用对应的思想去分析问题和解决问题,对人的数学思维的训练和发展也一定会起到事半功倍的作用。

4.极限思想。极限思想是有限和无限的辩证统一,是过程和目标的巧妙结合。极限思想是数学从有限进入无限的钥匙,是实现某些无穷步骤的有力工具。它使我们有可能在探索无限的领域中开辟出一条清晰的思路, 从而结束了十九世纪以前数学界关于 “无限”的混战,并推动了函数论的发展。

5. 统计思想。统计作为一种社会实践活动,已有四五千年的历史。据 《尚书》记载,公元前2000年之前的贡赋制度和劳役制度中,数量和分组的概念已初步形成。但统计学作为一种科学,成为一种社会实践活动的经验总结和理论概括,形成一种利用统计原理和方法来研究各种社会实践活动规律的科学,大约只有300多年的历史。

统计学以掌握事物总体的数量特征和规律为目标,它所关心的乃是某些规定的总体或集合,而不是构成总体的各别元素或个体。可见,学习统计学有助于提高研究工作的科学水平,有助于学习国内外的先进经验并进行信息交流,有助于培养我们的科学思维能力和科学的工作态度。统计思想作为人类的一种文化成果,更有助于我们在探索自然和社会发展规律的过程中,过一种负责任的勇于创新的生活。

三、数学思想方法教学的要求

数学思想方法要很好地渗透到高中数学教学中,这就要求我们教师要更新观念,提高对数学思想方法教学的认识,在教学过程中,要重视数学思想方法的训练,注意数学思想方法的归纳。此外,要把握数学思想方法教学要求的层次,如对分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想、函数方程的思想等,不但要求理解,还要求在理解的基础上掌握及运用或灵活运用。总之,要把数学思想方法的渗透,贯穿于整个教学过程。 才能通过逐步积累,让学生对数学思想方法的认识由浅入深,由表及里, 渐进地达到一定的认识高度,从而自觉地运用之。

总之,作为一名高中数学老师, 搞好数学思想方法的教学是时代赋予我们的使命,也是我们教学中应该积极探讨的问题。

摘要：如何处理数学思想方法教学的问题,是我们老师一直在探讨的问题。作为一个合格的数学教师,不仅要有一定的传授知识和解题能力,而且要站在数学整个系统的高度,研究数学的内涵和外延,使中学生具备初步的数学逻辑思维能力,学到真正有用的数学,为以后的学习和工作奠定良好的基础。本文结合自己亲身体会和多年实践,对数学思想在高中数学教学中的渗透谈谈自己的看法。

8.数学思想在高中数学教学中的渗透 篇八

关键词：函数与方程；分类思想；归纳思想；转化思想

随着素质教育的深入实施，数学教学应如何适应当前教育，如何有效地将数学思想渗透到教学中就成为摆在数学教师面前的又一项重要任务。所以，在新课程改革的大背景下，教师要根据教材内容的需要，摒弃传统的教学模式，让学生在掌握基本的数学知识的同时，也能掌握基本的数学思想，进而为大幅度提高数学课堂效率打下坚实的基础。

一、函数与方程思想的渗透

所谓函数与方程的思想是指用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，主要目的是要将难度较大的问题简单化，进而逐渐提高学生的解题效率。所以，在数学解题过程中，教师要有意识地将函数与方程思想渗透到课堂当中，逐渐提高学生的解题能力。

从第二问的整体结构来看，应该是一道不等式求解的题目，之所以增加了难度主要还是因为和数列结合在了一起，致使部分学生对该题产生了畏惧心理。从整个解题过程来看，如果学生只是死板地通过求出数列{an}的通项或者是根据不等式的求解方法来解题就会比较困难，难度也较大，而如果将本题与函数知识相结合，并借助导函数的性质即可轻松地求出证明结论。所以，在解题过程中，教师要有意识地将函数思想渗透到其中，让学生养成良好的学习习惯，进而逐渐提高学生的解题效率。

二、分类思想的渗透

分类思想是最基本的逻辑方法，一般是从题目入手，选择适当的分类标准，然后对其进行分类研究。该思想的渗透不仅可以提高学生的解题效率，而且对学生思维得到严谨性和周密性的锻炼和提高也起着非常重要的作用。可是，在以往分类思想的应用过程中，最容易出现的问题就是分类标准不清楚、分类重复等等，这些问题都在某种程度上影响了学生的解题效率。所以，作为教师的我们要认真将分类思想渗透到教学过程中，以促使学生获得更好的发展。

例题二：设k为实常数，问方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示的曲线是何种曲线？

从整个题目可以看出，该题属于概念考查类试题，只要学生能够找准分类依据，明确每种曲线的特点就可以了。比如，在该题的解答过程中有学生会忽视k=4和k=8这两种情况；还有学生会忽略焦点在y轴上的情况等等，导致学生在解答该题的过程中常常会因为这样那样的原因，不能准确地将该题中的3大类、5小类准确无误地解答出来。所以，在讲评该题的过程中，我一般会让学生以小组的形式进行自主讨论，目的是让学生在相互交流中能够更好、更完善地进行解题，从而不断养成严谨的解题思路，同时，也对学生逻辑能力的提高起着非常重要的作用。

三、归纳思想的渗透

数学归纳思想既是一种数学思想，也是一种有效的数学解题方法，所以，教师在数学教学的过程中，要有意识地将归纳思想渗透其中，不断培养学生的数学素养。

例如，在教学《等差数列的前n项和》时，为了能够提高学生的解题效率，也为了能够符合学生的认知特点，在授课的过程中，我采用从特殊到一般的归纳教学方法，首先，在导入课程时，我首先引导学生思考“1+2+3+4+…+100=？”该问题一出，学生脱口而答，事实上，该问题对于高中阶段的学生来说是非常简单的，即便是不会计算但答案也早已经记住了；接着，我继续引导学生思考：“1+2+3+4…+n=？”这次，学生开始思考，最后得出：，接着，我将问题由特殊向一般过渡，让学生思考“a1+a2+a3+a4+…an=？{an}为等差数列”……

从整个授课过程来看，随着问题的一步步深入，学生也在不知不觉中跟随着教师走进了本节课的重点部分，这样的过程不仅符合学生的认知规律，而且对高效课堂的实现也起着非常重要的作用。

四、转化思想的渗透

转化思想是指将复杂的问题转化成简单的问题，该思想主要考验的还是学生对知识运用的灵活度，进而使学生能够找出有利于学生解决问题的思路。在高考中，通常采用的方法是：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等等。其实，在前面的“例题一”中除了运用了函数思想之外，在某种程度上来说也进行了繁与简的转化，从而降低了学生的解题难度。所以，本文就不再进行详细的说明。但是，需要注意的是，转化思想的最主要目的是将试题简单化，切忌出现随意转化的情况，造成不必要的麻烦。

掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。作为新时期数学教师的我们，只有不断转变教育教学观念，从不同方面将数学思想渗透到课堂当中，才能使学生的数学能力得到大幅度的提升。

参考文献：

[1]李佳凤.浅谈数学思想方法在高中数学课堂教学中的渗透[J].学习方法报：语数教研周刊，2012（45）.

[2]林静.如何在高中数学课堂教学中渗透数学思想方法[J].时代教育，2013（02）.

The Infiltration of Mathematical Thought in Mathematics Teaching in High School

Huang Hongjian

Abstract：The new high school mathematics curriculum standardmade the following requirements on curriculum goal：“mathematics elementary knowledge and the basic skillsnecessary，essential understanding of mathematical concepts，basic mathematical conclusion，understand the concepts，conclusions and background，applicationexperience，which contain the mathematical thinking andmethods，and their role in the follow-up study the.”Visible，the penetration of mathematical thinking plays a very important role in the development of students thinking.Therefore，in the quality education，teachers should combine learning characteristics of teaching materials and students effectively mathematical thinking to the classroom，to ensure that the value of mathematics are fully demonstrated，at the same time，but also lay a solidfoundation for the realization of efficient classroom.

Key words：Function and equation；Classification thought；Inductive thought；Transformation of thought

编辑 马燕萍

摘 要：《普通高中数学课程标准》对课程目标作了如下要求：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用。”可见，数学思想的渗透对学生健全思维的发展起着非常重要的作用。因此，在素质教育下，教师要结合教材内容以及学生的学习特点有效地将数学思想渗透到课堂中，以确保数学价值得到充分的展现，同时，也为高效课堂的实现打下坚实的基础。

关键词：函数与方程；分类思想；归纳思想；转化思想

随着素质教育的深入实施，数学教学应如何适应当前教育，如何有效地将数学思想渗透到教学中就成为摆在数学教师面前的又一项重要任务。所以，在新课程改革的大背景下，教师要根据教材内容的需要，摒弃传统的教学模式，让学生在掌握基本的数学知识的同时，也能掌握基本的数学思想，进而为大幅度提高数学课堂效率打下坚实的基础。

一、函数与方程思想的渗透

所谓函数与方程的思想是指用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，主要目的是要将难度较大的问题简单化，进而逐渐提高学生的解题效率。所以，在数学解题过程中，教师要有意识地将函数与方程思想渗透到课堂当中，逐渐提高学生的解题能力。

从第二问的整体结构来看，应该是一道不等式求解的题目，之所以增加了难度主要还是因为和数列结合在了一起，致使部分学生对该题产生了畏惧心理。从整个解题过程来看，如果学生只是死板地通过求出数列{an}的通项或者是根据不等式的求解方法来解题就会比较困难，难度也较大，而如果将本题与函数知识相结合，并借助导函数的性质即可轻松地求出证明结论。所以，在解题过程中，教师要有意识地将函数思想渗透到其中，让学生养成良好的学习习惯，进而逐渐提高学生的解题效率。

二、分类思想的渗透

分类思想是最基本的逻辑方法，一般是从题目入手，选择适当的分类标准，然后对其进行分类研究。该思想的渗透不仅可以提高学生的解题效率，而且对学生思维得到严谨性和周密性的锻炼和提高也起着非常重要的作用。可是，在以往分类思想的应用过程中，最容易出现的问题就是分类标准不清楚、分类重复等等，这些问题都在某种程度上影响了学生的解题效率。所以，作为教师的我们要认真将分类思想渗透到教学过程中，以促使学生获得更好的发展。

例题二：设k为实常数，问方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示的曲线是何种曲线？

从整个题目可以看出，该题属于概念考查类试题，只要学生能够找准分类依据，明确每种曲线的特点就可以了。比如，在该题的解答过程中有学生会忽视k=4和k=8这两种情况；还有学生会忽略焦点在y轴上的情况等等，导致学生在解答该题的过程中常常会因为这样那样的原因，不能准确地将该题中的3大类、5小类准确无误地解答出来。所以，在讲评该题的过程中，我一般会让学生以小组的形式进行自主讨论，目的是让学生在相互交流中能够更好、更完善地进行解题，从而不断养成严谨的解题思路，同时，也对学生逻辑能力的提高起着非常重要的作用。

三、归纳思想的渗透

数学归纳思想既是一种数学思想，也是一种有效的数学解题方法，所以，教师在数学教学的过程中，要有意识地将归纳思想渗透其中，不断培养学生的数学素养。

例如，在教学《等差数列的前n项和》时，为了能够提高学生的解题效率，也为了能够符合学生的认知特点，在授课的过程中，我采用从特殊到一般的归纳教学方法，首先，在导入课程时，我首先引导学生思考“1+2+3+4+…+100=？”该问题一出，学生脱口而答，事实上，该问题对于高中阶段的学生来说是非常简单的，即便是不会计算但答案也早已经记住了；接着，我继续引导学生思考：“1+2+3+4…+n=？”这次，学生开始思考，最后得出：，接着，我将问题由特殊向一般过渡，让学生思考“a1+a2+a3+a4+…an=？{an}为等差数列”……

从整个授课过程来看，随着问题的一步步深入，学生也在不知不觉中跟随着教师走进了本节课的重点部分，这样的过程不仅符合学生的认知规律，而且对高效课堂的实现也起着非常重要的作用。

四、转化思想的渗透

转化思想是指将复杂的问题转化成简单的问题，该思想主要考验的还是学生对知识运用的灵活度，进而使学生能够找出有利于学生解决问题的思路。在高考中，通常采用的方法是：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等等。其实，在前面的“例题一”中除了运用了函数思想之外，在某种程度上来说也进行了繁与简的转化，从而降低了学生的解题难度。所以，本文就不再进行详细的说明。但是，需要注意的是，转化思想的最主要目的是将试题简单化，切忌出现随意转化的情况，造成不必要的麻烦。

掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。作为新时期数学教师的我们，只有不断转变教育教学观念，从不同方面将数学思想渗透到课堂当中，才能使学生的数学能力得到大幅度的提升。

参考文献：

[1]李佳凤.浅谈数学思想方法在高中数学课堂教学中的渗透[J].学习方法报：语数教研周刊，2012（45）.

[2]林静.如何在高中数学课堂教学中渗透数学思想方法[J].时代教育，2013（02）.

The Infiltration of Mathematical Thought in Mathematics Teaching in High School

Huang Hongjian

Abstract：The new high school mathematics curriculum standardmade the following requirements on curriculum goal：“mathematics elementary knowledge and the basic skillsnecessary，essential understanding of mathematical concepts，basic mathematical conclusion，understand the concepts，conclusions and background，applicationexperience，which contain the mathematical thinking andmethods，and their role in the follow-up study the.”Visible，the penetration of mathematical thinking plays a very important role in the development of students thinking.Therefore，in the quality education，teachers should combine learning characteristics of teaching materials and students effectively mathematical thinking to the classroom，to ensure that the value of mathematics are fully demonstrated，at the same time，but also lay a solidfoundation for the realization of efficient classroom.

Key words：Function and equation；Classification thought；Inductive thought；Transformation of thought

编辑 马燕萍

摘 要：《普通高中数学课程标准》对课程目标作了如下要求：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用。”可见，数学思想的渗透对学生健全思维的发展起着非常重要的作用。因此，在素质教育下，教师要结合教材内容以及学生的学习特点有效地将数学思想渗透到课堂中，以确保数学价值得到充分的展现，同时，也为高效课堂的实现打下坚实的基础。

关键词：函数与方程；分类思想；归纳思想；转化思想

随着素质教育的深入实施，数学教学应如何适应当前教育，如何有效地将数学思想渗透到教学中就成为摆在数学教师面前的又一项重要任务。所以，在新课程改革的大背景下，教师要根据教材内容的需要，摒弃传统的教学模式，让学生在掌握基本的数学知识的同时，也能掌握基本的数学思想，进而为大幅度提高数学课堂效率打下坚实的基础。

一、函数与方程思想的渗透

所谓函数与方程的思想是指用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，主要目的是要将难度较大的问题简单化，进而逐渐提高学生的解题效率。所以，在数学解题过程中，教师要有意识地将函数与方程思想渗透到课堂当中，逐渐提高学生的解题能力。

从第二问的整体结构来看，应该是一道不等式求解的题目，之所以增加了难度主要还是因为和数列结合在了一起，致使部分学生对该题产生了畏惧心理。从整个解题过程来看，如果学生只是死板地通过求出数列{an}的通项或者是根据不等式的求解方法来解题就会比较困难，难度也较大，而如果将本题与函数知识相结合，并借助导函数的性质即可轻松地求出证明结论。所以，在解题过程中，教师要有意识地将函数思想渗透到其中，让学生养成良好的学习习惯，进而逐渐提高学生的解题效率。

二、分类思想的渗透

分类思想是最基本的逻辑方法，一般是从题目入手，选择适当的分类标准，然后对其进行分类研究。该思想的渗透不仅可以提高学生的解题效率，而且对学生思维得到严谨性和周密性的锻炼和提高也起着非常重要的作用。可是，在以往分类思想的应用过程中，最容易出现的问题就是分类标准不清楚、分类重复等等，这些问题都在某种程度上影响了学生的解题效率。所以，作为教师的我们要认真将分类思想渗透到教学过程中，以促使学生获得更好的发展。

例题二：设k为实常数，问方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示的曲线是何种曲线？

从整个题目可以看出，该题属于概念考查类试题，只要学生能够找准分类依据，明确每种曲线的特点就可以了。比如，在该题的解答过程中有学生会忽视k=4和k=8这两种情况；还有学生会忽略焦点在y轴上的情况等等，导致学生在解答该题的过程中常常会因为这样那样的原因，不能准确地将该题中的3大类、5小类准确无误地解答出来。所以，在讲评该题的过程中，我一般会让学生以小组的形式进行自主讨论，目的是让学生在相互交流中能够更好、更完善地进行解题，从而不断养成严谨的解题思路，同时，也对学生逻辑能力的提高起着非常重要的作用。

三、归纳思想的渗透

数学归纳思想既是一种数学思想，也是一种有效的数学解题方法，所以，教师在数学教学的过程中，要有意识地将归纳思想渗透其中，不断培养学生的数学素养。

例如，在教学《等差数列的前n项和》时，为了能够提高学生的解题效率，也为了能够符合学生的认知特点，在授课的过程中，我采用从特殊到一般的归纳教学方法，首先，在导入课程时，我首先引导学生思考“1+2+3+4+…+100=？”该问题一出，学生脱口而答，事实上，该问题对于高中阶段的学生来说是非常简单的，即便是不会计算但答案也早已经记住了；接着，我继续引导学生思考：“1+2+3+4…+n=？”这次，学生开始思考，最后得出：，接着，我将问题由特殊向一般过渡，让学生思考“a1+a2+a3+a4+…an=？{an}为等差数列”……

从整个授课过程来看，随着问题的一步步深入，学生也在不知不觉中跟随着教师走进了本节课的重点部分，这样的过程不仅符合学生的认知规律，而且对高效课堂的实现也起着非常重要的作用。

四、转化思想的渗透

转化思想是指将复杂的问题转化成简单的问题，该思想主要考验的还是学生对知识运用的灵活度，进而使学生能够找出有利于学生解决问题的思路。在高考中，通常采用的方法是：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等等。其实，在前面的“例题一”中除了运用了函数思想之外，在某种程度上来说也进行了繁与简的转化，从而降低了学生的解题难度。所以，本文就不再进行详细的说明。但是，需要注意的是，转化思想的最主要目的是将试题简单化，切忌出现随意转化的情况，造成不必要的麻烦。

掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。作为新时期数学教师的我们，只有不断转变教育教学观念，从不同方面将数学思想渗透到课堂当中，才能使学生的数学能力得到大幅度的提升。

参考文献：

[1]李佳凤.浅谈数学思想方法在高中数学课堂教学中的渗透[J].学习方法报：语数教研周刊，2012（45）.

[2]林静.如何在高中数学课堂教学中渗透数学思想方法[J].时代教育，2013（02）.

The Infiltration of Mathematical Thought in Mathematics Teaching in High School

Huang Hongjian

Abstract：The new high school mathematics curriculum standardmade the following requirements on curriculum goal：“mathematics elementary knowledge and the basic skillsnecessary，essential understanding of mathematical concepts，basic mathematical conclusion，understand the concepts，conclusions and background，applicationexperience，which contain the mathematical thinking andmethods，and their role in the follow-up study the.”Visible，the penetration of mathematical thinking plays a very important role in the development of students thinking.Therefore，in the quality education，teachers should combine learning characteristics of teaching materials and students effectively mathematical thinking to the classroom，to ensure that the value of mathematics are fully demonstrated，at the same time，but also lay a solidfoundation for the realization of efficient classroom.

Key words：Function and equation；Classification thought；Inductive thought；Transformation of thought

9.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇九

本文列举几例分类剖析：

一、方程思想

1.知三求二

等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.

解(1)由a10=a1+9d=30，

a20=a1+19d=50，

解得a1=12，

因为n∈N*，所以n=11.

2.转化为基本量

在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.

解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

将a1q3=―8代入(1)，

得q2=―2(舍去);

将a1q3=8代入(1)，得q=±2.

当q=2时，a1=1，S8=255;

当q=―2时，a1=―1，S8=85.

3.加减消元法利用Sn求an

利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.

例3(佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.

解将等式左边看成Sn，令

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

两式相减可得

Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

又因为数列{bn}的通项公式为

bn=2n―1，

所以an=n (n≥2).

当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.

从而对一切n∈N*，都有an=n.

所以数列{an}的通项公式是an=n.

4.等差、等比的综合问题

这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.

例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.

解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.

由已知得a1+a2+a3=7，

(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

解得a2=2.设数列{an}的公比为q，

由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

又S3=7，可知2q+2+2q=7，

即2q2―5q+2=0，

解得q1=2，q2=12.

由题意得q>1，所以q=2.

可得a1=1，

从而数列{an}的通项为an=2n―1.

二、函数思想

数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式

an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

前n项和的公式

Sn=na1+n(n―1)2d

=d2n2+(a1―d2)n，

当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.

1.运用函数解析式解数列问题

在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.

例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.

分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.

解设Sn=an2+bn(a≠0)，则

a×102+b×10=100，

a×1002+b×100=10.

解得a=―11100，

b=11110.

所以Sn=―11100n2+11110n.

从而S110=―11100×1102+11110×110

=―110.

函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为

n=111102×11100=55211=50211.

因为n∈N*，

所以n=50时Sn有最大值.

2.利用函数单调性解数列问题

通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.

例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.

解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，

所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

所以f ′(x)<0.

即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.

故当n≥2时，an>an+1.

例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.

(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;

(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.

(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.

解由题设易得an=n―72，

所以bn=2n―52n―7.

由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.

当x<72时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>72时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.

(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.

由于bn=1+1n―1+a1，

故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.

解由题，得an=n―1+a1，

所以bn=1+1n―1+a1.

考察函数f(x)=1+1x―1+a1，

当x<1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，

所以a1的取值范围是―7

3.利用函数周期性解数列问题

例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.

分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.

解由已知

两式相减得

通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.

高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

数学思想方法是对数学及规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是数学认识过程中提炼上升的数学观点方法。学生大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自主性，往往就成为离不开教师这个拐棍的被动学习者，学的数学知识不能用数学思想方法有效连接，支离破碎。所以，学生在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思考，才有利于对数学本质的认识，才能知道如何去思考和解决问题。

高中数学基本数学思想

1.转化与化归思想：

是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证

2.逻辑划分思想(即分类与整合思想)：

是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是： 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证

3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)：

就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.

4. 数形结合思想：

将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.

5. 整体思想：

处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.

在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标， 步步正确推理就够了.

中学数学中还有一些数学思想，如：

集合的思想;

补集思想;

归纳与递推思想;

对称思想;

逆反思想;

类比思想;

参变数思想

有限与无限的思想;

特殊与一般的思想.

10.数学思想在化学教学中的应用论文 篇十

摘要：在教学中笔者观察发现，如果把知识直接告知学生，他们容易忘记知识本身的意义。根据认知心理学的思想，如果教给学生利用数学中的一些方法对化学知识点进行推理论证，那么学生就会将所学知识融会贯通，形成自己归纳问题、解决问题的方法，养成自学的习惯，并使所学的知识得到进一步的理解和领会。

关键词：认知心理 数学思想 归纳法 等差数列 化学教学

认知心理学主要采用信息加工的观点去研究人的认知过程，其主要的研究目标是揭示人如何提取头脑中的知识来解决所面临的问题，并且力图建立人的`学习和思维的心理加工过程的模型。这有助于我们深入理解学生学习和思维的心理过程及其规律，并用其指导学生学会有效地学习和思维。俗话说得好：“授之于鱼不如授之于渔。”教师要了解认知心理学这门科学，有意识地根据学科特点教给学生一些学习策略和思维策略，使其更好地掌握知识与思维方法。

一、归纳法在化学教学中的应用

在化学教学中，我们经常用到数学归纳法，却把整个推理过程略去，只告诉学生结论，对于大部分学生，只是囫囵吞枣的理解，其实没有建构知识体系，没有真正理解问题本质。我们不妨进行简单分析，不但能清楚明白所归纳的结论，同时体会了“过程与方法”三维目标，真正做到学生自主学习，也渗透了学科知识，充分体现知识的综合运用，培养了学生综合分析问题、综合应用所学学科知识，培养了学生综合分析问题的能力，使其全面发展。无形中教会了学生如何把各学科知识融会贯通，何乐而不为呢？

一是有关Na2O2与CO2（H2O）反应的计算。由于参加反应的气体的量很难确定，通常用气体体积减少的量等于生成氧气的量来计算。对于这一结论，学生知道，但记忆不深，在做题中往往忘记。究其原因，这个结论是老师告知的，不是学生自己推论的，所以我们可以让学生参与推理，并总结得出结论，在学生认知的基础上，加上简单的推理，使得结论理解起来顺理成章。学生也能体会到推理过程的乐趣，印象深刻。

2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2↓△V

211

31.51.5

442

2nnn

二是合成NH3反应前后气体体积的变化量。由于是平衡，参加反应的气体不可能完全反应，要计算达到平衡后氨气的体积分数或者速率等问题时，我们可以转化思想考虑，借助问题转化的过程让学生经历知识的形成过程，从而有利于促进学生对知识的理解和学习能力的发展，有利于促进问题的解决，培养学生解决问题的能力。这样在计算题中或者化学平衡问题中使得问题简单化，学生也非常愿意推理，在推理时体会参与的快乐，还能体会到一种成就感。

N2+3H2=2NH3↓△V

1322

2644

3966

n3n2n2n

二、等差数列在化学教学中的应用

数学是“思维的体操”。化学解题很强调思维的灵活性与独创性，因而运用数学方法来解决某些化学问题可简化思维过程，锻炼思维能力，加快解题速度。等差数列法是一种重要的数学思想和分析方法，下面就简单分析几种化学中等差数列的应用：

一是炔烃通式推导：乙炔CH≡CH，丙炔CH≡C―CH3，丁炔CH≡C―CH2―CH3，戊炔CH≡C―CH2―CH2―CH3……首项a1=C2H2，公差d=CH2，求和通式am=a1+(m-1)d=C2H2+(m-1)CH2=Cm+1H2m。令m+1=n，则炔烃的通式为CnH2n-2（n≥2）。同理可推出烷烃的通式为CnH2n+2（n≥1）和烯烃的通式为CnH2n（n≥2）。

二是苯的同系物通式推导：苯C6H6，甲苯C6H5-CH3，乙苯C6H5-CH2-CH3，丙苯C6H5-CH2-CH2-CH3……首项a1=C6H6，公差d=CH2，求和通式am=a1+(m-1)d=C6H6+(m-1)CH2=Cm+5H2m+4。令m+5=n，则m=n-5，所以2m+4=2（n-5）+4=2n-6。苯的同系物的通式为CnH2n-6（n≥6）。

三是稠环芳香烃通式的推导：萘C10H8，蒽C14H10，稠二萘C18H12，并五苯C22H14……首项a1=C10H8，公差d=C4H2，求和通式am=a1+(m-1)d=C10H8+(m-1)C4H2=C4m+6H2m+6=C4m+4+2H2m+2+4=C4（m+1）+2H2（m+1）+4。令m+1=n，即m=n-1代入上式，即得知稠环芳香烃的通式为C4n+2H2n+4（n≥2）。

四是烃的含氧衍生物通式的推导：饱和一元醇的通式推导：甲醇CH3OH，乙醇CH3CH2OH，丙醇CH3CH2CH2OH，丁醇CH3CH2CH2OH……首项a1=CH3OH，公差d=CH2，求和公式am=a1+(m-1)d=CH3OH+(m-1)CH2=CmH2m+2O（n≥1）；同理推出饱和一元醛通式为CmH2mO（n≥1）和饱和一元羧酸的通式为CmH2mO2（n≥1）。

关于数学思想方法的重要性，学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神、思想和方法。

参考文献

[1]邵光华作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009。

11.数学思想方法在教学中的渗透 篇十一

用无限的思想帮助概念形成

问题1：直线、射线、线段都能度量吗？

问题2：过一点O可以画几条直线？几条射线？过两个点可以画几条直线？

分析：本节课从线段、射线、直线概念的形成入手，教师应该抓住“不可度量”这一关键特质，从而用无限思想区分线段、射线、直线的区别。在理解线段、射线、直线的特性时，经过一点可以画无数条直线，过一点出发可以画无数条射线等，便蕴含了无限的思想。

解答：直线和射线不能度量，线段可以度量。过一点可以画无数条直线与射线，过两点只能画一条直线，如图1。

用分类加强概念区分

问题3：下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？把序号标在相应的横线里。 是直线， 是射线， 是线段。

分析：由于线段、射线、直线概念不同，在授课中，为了区分概念，教师可以利用分类集合思想帮助学生进一步的了解三者之间的区别与联系。

解答：①②是直线，③是射线，④⑤是线段。

问题4：已知A、B、C村在同一条直线上，A村到B村的距离是8千米，C村到B村的距离是3千米，求线段A村到C村的距离。

分析：由于点C可能在线段AB上，也可能在线段AB外，因此需要分类讨论。

解答：当点C在线段AB上时，如图3所示，AC=AB-BC=5千米;当点C在线段AB外时，如图4所示， AC=AB+BC=11千米。因此线段A村到C村的距离为5千米或11千米。

用数形结合解决实际问题

问题5：小明、小华、小刚、小林四个同学见面后相互握手，若每人相互握手一次，一共需要握手几次？

问题6：小明周末到图书馆看书，从小明家到图书馆中途有两个客车停靠点。试问这辆客车有多少种不同的票价？售票员要准备多少种车票？

分析：为了降低难度帮助学生弄清题意，教师可以引导学生自己画图，借助图形的形象思维解答问题。利用数形结合的思想帮助学生建立数学模型。用线段上的点表示四个同学和四个车辆停靠点。学生每握手一次可以看成一条线段，两站之间的票价了可以看成一条线段，用线段的条数辅助学生确定握手次数问题和票价问题。但这两题的不同点，教师都要注意帮助学生区分，握手一次相当于两个相互之间都握手了，所以线段条数只算一次。票价是有方向的线段，条数要算两次。

解答：根据题意画出图5中的线段。可以有AC、AD、AB、CD、CB、DB共六条。因此问题5中四人相互握手次共需要6次。问题6中有6种不同的票价。但因为在这条路上往返时起点和终点正好相反，所以要准备12种车票。

用类比解决角个数问题

问题7：下面图形中有几个角？

分析：这类题目虽说有很直观的图形素材，但是在教学中发现学生对此类有关角的个数的题目建模没有用线段建模深刻，所以教师可以引导学生利用知识的类比迁移，把角的问题转化成熟悉的线段问题。

解答：此题可以先用学生熟悉的找线段条数来做个铺垫。找找上面线段的条数，通过类比帮助学生建模。线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD。角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD。

用方程解决线段比问题

问题8：点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5厘米，则AB的长为 ？

分析：此题中只知道线段DE的长度。教师要引导学生利用线段的比来建立方程。

解答：由题意，得如图8所示，设AB=x，则，由，得，解得x=31.5，即AB=31.5厘米。

用归纳建模找规律

问题9：如图9，当直线上有5个点时有几条线段？6个点呢？N个点时有几条呢？

问题10：如图10所示，a、b、c与是同一平面内的两条相交直线，它们有3个交点，如果在这个平面内，再画第4条直线d ，那么这4条直线最多可有几个交点？如果在这个平面内再画第5条直线，那么这5条直线最多可有几个交点？由此我们可以猜想：在同一平面内n（n为大于1的整数）条直线最多可有几个交点？（用含n的代数式表示）。

分析：上面两个题目规律一样，只是知识呈现的背景不一样。对于这种找规律的题目，我们可以引导学生用列表建模的方法，通过数据变化的特点比较归纳出它们的规律。

解答：a2=1，a3=a2+2=1+2，a4=a3+3=1+2+3，a5=a4+4=1+2+3+4……于是，可猜想n个点/n条直线最多可有线段条数/交点个数为：an=an-1+（n-1）=1+2+3+4+…+（n-1）=n（n-1）。

有句话说得好，数学是锻炼思维的体操。学生学习数学的目的在于应用，而学生从学数学到用数学，其质的飞跃应该是由知识的累积过程转变为数学思想方法的运用。因此，教师课堂教学中要着眼长远，在教学设计上，要注意启发学生思维。在数学教学的过程中，教师要关注的不仅是学生知识掌握的多寡，更应关注的是在学习过程中学生数学思想方法的领悟和智慧的生成。

12.数学思想在因式分解教学中的渗透与应用 篇十二

一、何谓数学思想方法

所谓数学思想是对数学理论知识的本质认识,是从某些数学内容和对数学的认识过程中提炼出来的数学观点,对提高学生的数学能力起着非常重要的作用。

二、如何渗透数学思想方法

1. 类比思想方法的应用

类比思想是指将两个或两个以上具有共同属性的数学理论知识进行比较学习,这样不仅能提高学生的学习效率,加深学生的印象,而且,对学生自主学习能力的培养也起着非常重要的作用。所以,在小学数学教学过程中,我们要有意识地引导学生去比较,这样才能真正让学生掌握学习的方法,才能真正为高效数学课堂的顺利实现做好铺垫工作。

例如:教学“克和千克”时,按照教材中的顺序,我们应该先讲授“克”,然后,再讲“千克”,这样也是符合学生的认知的。但是,如果将两个分开进行学习的话,学生在应用能力上就会降低。所以,为了提高学生的应用能力,也为了有效地将类比思想渗透到数学课堂之中,在授课的时候,我选择了“比较”教学法,首先,我借助多媒体向学生展示了一些事物,其中包括:一盒口香糖、一盒饼干、一个苹果、一箱苹果、一桶洗衣液、一袋盐、一小袋洗衣粉、一大袋洗衣粉等。然后,引导学生结合教材中对克与千克的定义来给这些事物进行单位标注,并引导学生思考:为什么要为一个苹果标注克,要为一箱苹果标注千克?这样的对比教学不但能够培养学生的独立思维能力,而且对学生对比能力的提高以及数学应用能力的提高也起着非常重要的作用,进而也有助于类比思想的有效渗透。

2. 统计思想方法的应用

统计思想与我们的实际生活之间有着密切的联系,我们生活中有很多活动都需要应用统计思想,比如,某旅游胜地的每天参观人数、参加活动的人数、男女比例等。所以,在数学教学过程中,我们要有意识地将统计思想渗透到教学活动之中,以确保高效课堂的顺利实现。

例如:教学“数据收集整理”时,为了有效地将统计思想渗透到数学教学之中,也为了让学生学会用调查法来收集数据,培养学生一定的统计意识,体会统计的价值,在授课的时候,我从学生身边事物入手,引导学生进行自主统计。首先,我引导学生统计班级里有多少名学生?4月份生日的有多少个?有几个女同学是留长头发的?……让学生自主对这些问题进行统计,目的就是让学生在熟悉的事物中产生统计的概念,对统计有一个初步的了解,接着,我引导学生对“喜欢看的书”进行统计,比如,《格林童话》《神话故事》《一千个为什么》《小兔汤姆系列》等,这样的自主统计过程不仅能够锻炼学生的自主学习能力,而且,对活跃课堂气氛,调动学生的学习积极性也起着非常重要的作用。所以,在授课的时候,教师要有效地渗透统计思想,以培养学生对数的敏感度,进而提高学生的应用能力。

3. 分类思想方法的应用

分类思想方法是数学教学中常用的一种方法,也是整个数学学习阶段最常用的一种思想方法。所谓的分类思想是指将相关的知识按照一定的属性进行分类思考讨论,这样不仅能够考查学生思维的全面性,而且,对高效数学课堂的顺利实现以及综合素养的全面提升也起着非常重要的作用。所以,在数学教学过程中,教师要结合教材内容,有效地将分类思想渗透到数学课堂之中,以提高学生的学习效率。

例如:教学“三角形的分类”时,为了提高学生的学习效率,也为了加深学生的印象,更为了有效地将分类思想渗透到课堂之中,提高学生解决问题的条理性,所以,在本节课的授课时,我首先借助多媒体向学生展示了不同的三角形,其中包括:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形等,并对其进行编号,然后,引导学生结合教材自主将其进行分类,并说明原因。比如,按角分类可分为:锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这样的过程不仅能够提高学生的学习效率,而且,对学生分类意识的形成也起着非常重要的作用。但是,在分类思想的渗透过程中,我们要强调切记不能重复分类,也不能遗漏,这样才能真正提高学生的学习效率。

4. 转化思想方法的应用

在小学数学教学中,转化思想方法基本上运用到下面几种情况之中,比如:异分母分数转化为同分母分数;分数除法转化为分数乘法;除数是小数的除法转化为除数是整数的除法,等等。所以,在数学相关知识的教学时,我们要有意识地将转化思想渗透到课堂之中,这样不仅能够提高学生的学习效率,而且,对学生数学思维的培养也有着密切的关系。本文以异分母分数相加减和小数的除法为例进行概述。

例如:教学“异分母分数相加减法”时,为了提高学生的学习效率,也为了发挥学生的主动性,在授课的时候,我选择了“问题情境探究的方法”,首先,我引导学生思考了下面几个问题:(2)回忆:上述两道题的解答理论依据是什么?(同分母分数相加,分母不变,只把分子相加减的算理);(3)如果运用上述理论依据解答:?能否成立?如果不成立,该如何进行计算呢?④一次喜爱的书籍调查中,喜欢故事书的人数占总人数的,喜欢漫画的人数占总人数的,思考:这两类人数的和占总人数的几分之几?(不考虑存在既喜欢故事书,又喜欢漫画的人数)……上述的试题层层递进,引导学生自主将异分母分数的加减与同分母分数的加减相结合,有效地实现转变,而且,这样的问题设计不仅符合学生的认识规律,而且,还能有效地将转化思想渗透其中,对高效数学课堂的实现也起着非常重要的作用。

又如:教学“小数除以整数”时,为了有效地渗透转化思想,也为了提高学生的解题能力,帮助学生更好地掌握本节课的知识,在授课的时候,我选择了情境创设法,首先,我引导学生思考了下面的一个问题情境:某市出租车2千米起步,起步价为3元,超过2千米,每千米收费1.2元,小明从家乘出租车去博物馆,下车时付了10.2元,思考:小明家距离博物馆多远?引导学生进行讨论,列出式子。同时,引导学生思考:如果我们将收费元全部扩大十倍,是不是更容易计算呢?这样直接就将有关小数的知识转化成了整数的知识,这样不仅有助于高效数学课堂的实现,而且,还有助于转化思想的渗透,同时,也有助于学生数学学习能力的提高。

5. 化归思想方法的应用

化归思想是指将未知的知识点转化为已知的,将难点转化为简单的问题以达到解决问题的目的。该方法的应用不仅能够提高学生的学习效率,而且对保护学生的学习积极性,提高学生对知识的灵活应用能力也起着非常重要的作用。所以,在数学教学过程中,我们要有意识地将化归思想应用到数学课堂之中,以逐步培养学生的数学解题能力。

例如:教学“梯形的面积”时,由于本节课的教学目的是让学生理解并掌握梯形的面积公式的推导过程,正确进行梯形面积的计算。所以,在数学教学过程中,为了发挥学生的主动性,也为了有效地将化归思想渗透到课堂之中,我选择了自主推导的方法,首先,我引导学生单独制作一个梯形,然后,对梯形进行分割和拼接成已学过的图形,(如图)有分割成三角形和平行四边形的,有分割成两个三角形和一个长方形的,还有分割成三个三角形的,更有拼接成一个大的长方形的等等。然后,引导学生用自己已学过的知识来推导梯形的面积公式,这样不仅能够锻炼学生的操作能力,而且对加深学生的印象,提高学生的知识运用能力也起着非常重要的作用,同时,也有效地将化归思想渗透到其中,这样能提高学生解决疑难问题和未知的问题的能力,进而,也为高质量数学课堂的构建做好保障工作。

当然,除了上述的两种思想方法之外,我们还可以将数形结合思想、极限思想、函数思想方法等渗透到课堂之中,以大幅度提高数学课堂效率,也为学生数学学习能力的提高奠定了坚实的基础。

三、渗透数学思想方法的意义

1. 提高学生的学习能力

数学思想方法是人们对知识的本质认识,有效地将数学知识与实际教学相结合,不仅能够提高学生的学习效率,而且,还能把复杂问题转化为简单问题来解决,提高学生灵活运用所学知识的能力,进而,为高效数学课堂的顺利实现作出相应的贡献。

2. 提高学生的自学能力

数学思想是数学的精髓,当学生掌握了一定的数学思想之后,数学思维也会得到培养,解题能力也会得到提高,这样学生就能体会到成功解题之后带来的乐趣,就会端正自己的学习态度,进而,积极主动地走进数学课堂,真正成为数学课堂的主体。

正所谓:掌握数学思想,就是掌握数学的精髓。在素质教育思想的影响下,作为数学教师的我们要更新教育教学观念,要借助恰当的教学方法来有效地将数学思想渗透到课堂活动之中,这样不仅能够提高学生的自主学习能力和独立思考问题的能力,而且,对学生数学能力的提高以及数学思维的培养也有着密切的关系,同时,也能确保数学课程目标得以最大化实现。

参考文献

[1]徐中春.浅谈小学数学课堂教学中渗透数学思想方法的途径[J].教育教学论坛,2009(08).