高中数学知识点总结_不等式的性质与证明

高中数学知识点总结_不等式的性质与证明（共6篇）

1.高中数学知识点总结_不等式的性质与证明 篇一

一、教学内容：不等式性质及证明．

二、教学目标：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 2.理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法．

三、重点难点：

1.了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件．

2.利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．

四、教学过程：

（一）知识要点

1、不等式的基本性质

（1）对于任意两个实数a、b，都有

abab0； abab0； abab0．

（2）比较两实数a、b大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小．

2、不等式的性质定理

定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba． 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性． 定理2：若ab，且bc，则ac．

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性．

定理3：若ab，则acbc．

说明：① 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法； ③ 定理3的逆命题也成立；

④ 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边． 定理3推论：若ab，且cd，则acbd．

说明：① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

③ 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式．

定理4：如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc． 推论1：如果ab0且cd0，那么acbd．

说明：① 不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；

② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；

③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)．

定理5：如果ab0，那么nanb(nN且n1)． 例题1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．

（1）若ab，则acbc；

（2）若ab，则acbc；（3）若acbc，则ab；

（4）若ab0，则aabb；（5）若ab0，则22222211ba；

（6）若ab0，则． ababcc． ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式

例题2.1 已知ab0，c0，求证：

应用练习设a、b是非零实数；若ab，则下列不等式成立的是（）A.ab

B.abab

C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假

例题2.2 对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（）A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件

应用练习已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的（）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba

D.

ab2a2bab1122、、a、b的大小关系． ab11112222提示：首先利用a、b是正数，、是负数，再分别去比较a、b、、的大小．

abab例题2.3 若1ab0，试比较

应用练习已知a0，且a1，mn0，比较Aa

◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知

m11n和的大小． Bamnaa22，求

2的范围．

11应用练习若、满足，试求3的取值范围．

123提示：可将3用，2表示出来，问题可得解． 3．证明不等式的基本方法（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负．

以上介绍的是差值比较法，用比较法证不等式还可采取商值比较法，即左、右两边作商判断商值与1的大小．（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B．（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法．

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．

例题3.1已知a,bR，求证：abab．

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行．

〖练习〗若实数x1，求证：3(1xx)(1xx)．

例题3.2 已知a，b，m都是正数，并且ab．求证：

应用练习证明：(ab)(cd)(acbd)．

（1）

变式训练 证明函数f(x)

应用练习证明函数y2

x24x3abba2422ama（1）．

bmb222221在其定义域上是减函数．

xx在[2,)上是增函数． 五．课堂小结：

1．不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时要高度重视．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误．掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力．

2．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法．

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；

（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野．

3．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．

4．利用性质求数（式）的取值范围的方法

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法．

例如，已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是__________．（答案用区间表示）

方法一：设2x3ys(xy)t(xy)，通过对比系数求出s、t的值． 方法二：画出1xy4的可行域为ABCD，z(3,8)的最优解为A、C两点．

2xy3 4

2.高中数学知识点总结_不等式的性质与证明 篇二

1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);

|x|0).0)中的a>0改为a∈R还成立吗?

更多精彩内容请点击：高中 >高三 >高三数学 >高三数学教案

2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.

4.绝对值不等式的性质：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

思考讨论

1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|

2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?

●点击双基

1.设a、b是满足ab<0的实数，那么

A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<||a|-|b||

D.|a-b|<|a|+|b|

解析：用赋值法.令a=1，b=-1，代入检验.

答案：B

2.不等式|2x2-1|≤1的解集为

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}

解析：由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.

∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1.

答案：A

3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为

A.(0，1) B.(1，+∞)

C.(0，+∞) D.(-∞，+∞)

解析：∵x>0，x与log3x异号，

∴log3x<0.∴0

答案：A

4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.

解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，

令t=|x|>0，则a≤ .

而 ≥ =2 ，

∴a≤2 .

答案：a≤2

5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为(- ， )，则t=____________.

解析：|2x-t|<1-t，t-1<2x-t<1-t，

2t-1<2x<1，t-

∴t=0.

答案：0

●典例剖析

【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.

剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x-2=0，得两个零点x1=- ，x2=2.

解：当x≤- 时，原不等式可化为

-2x-1+2-x>4，

∴x<-1.

当-

2x+1+2-x>4，

∴x>1.又-

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2>4，∴x>.

又x>2，∴x>2.

综上，得原不等式的解集为{x|x<-1或1

深化拓展

若此题再多一个含绝对值式子.如：

|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4，你又如何去解?

分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，

得x1=- ，x2=1，x3=2.

解：当x≤- 时，原不等式化为

-2x-1+2-x+1-x>4，∴x<- .

当-

2x+1+2-x+1-x>4，4>4(矛盾).

当1

2x+1+2-x+x-1>4，∴x>1.

又1

∴1

当x>2时，原不等式可化为

2x+1+x-2+x-1>4，∴x>.

又x>2，∴x>2.

综上所述，原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.

【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.

解法一：原不等式 (1) 或(2)

不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

不等式(2) 2≤x<3.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

解法二：原不等式等价于

或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.

【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)解关于x的不等式：f(x)≥2a2.

解：(1)当a=0时，

f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，

∴f(x)是奇函数.

当a≠0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.

故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

∴f(x)是非奇非偶函数.

(2)由题设知x|x-a|≥2a2，

∴原不等式等价于 ①

或 ②

由①得 x∈ .

由②得

当a=0时，x≥0.

当a>0时，

∴x≥2a.

当a<0时，

即x≥-a.

综上

a≥0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥2a};

a<0时，f(x)≥2a2的解集为{x|x≥-a}.

(文)设函数f(x)=ax+2，不等式| f(x)|<6的解集为(-1，2)，试求不等式 ≤1的解集.解：|ax+2|<6，

∴(ax+2)2<36，

即a2x2+4ax-32<0.

由题设可得

解得a=-4.

∴f(x)=-4x+2.

由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.

解得x>或x≤ .

∴原不等式的解集为{x|x>或x≤ }.

●闯关训练

夯实基础

1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3

A.{a|3

C.{a|3

解析：由题意知 得3≤a≤4.

答案：B

2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.

解析：-3

∴-3

答案：-3

3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

解法一：|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

解法二： 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x≥-1.

解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离，∴x≥-1.

答案：{x|x≥-1}

评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.

4.当0

解：由0x-2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

或 ②

解不等式组①得解集为{x| ≤x<2}，

解不等式组②得解集为{x|2≤x<5}，

所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.

5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.

解：x1、x2为方程两实根，

∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

∴m≥ 或m≤ .

又∵x1•x2= >0，∴x1、x2同号.

∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.

于是有2|m-1|=2，∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

6.解不等式 ≤ .

解：(1)当x2-2<0且x≠0，即当-

(2)当x2-2>0时，原不等式与不等式组 等价.

x2-2≥|x|，即|x|2-|x|-2≥0.

∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2，

即x≤-2或x≥2.

∴原不等式的解集为(-∞，-2]∪(- ，0)∪(0， )∪[2，+∞).

7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解：由log2(x+3)+log x≤3得

x≥ ，

即f(x)的定义域为[ ，+∞).

∵f(x)在定义域[ ，+∞)内单调递减，

∴当x2>x1≥ 时，f(x1)-f(x2)>0恒成立，即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0

(x1-x2)(a+ )>0恒成立.

∵x10

a+ <0.

∵x1x2>- >- ，

要使a<- 恒成立，

则a的取值范围是a≤- .

8.有点难度哟!

已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0，1]上，x1、x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：

(1)f(0)=f(1);

(2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;

(3)| f(x1)-f(x2)|< ;

(4)| f(x1)-f(x2)|≤ .

证明：(1)f(0)=c，f(1)=c，

∴f(0)=f(1).

(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.

∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0

∴-1

∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.

(3)不妨设x2>x1，由(2)知

| f(x2)-f(x1)|

而由f(0)=f(1)，从而

| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-

f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②

①+②得2| f(x2)-f(x1)|<1，

即| f(x2)-f(x1)|< .

(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .

探究创新

9.(1)已知|a|<1，|b|<1，求证：| |>1;

(2)求实数λ的取值范围，使不等式| |>1对满足|a|<1，|b|<1的一切实数a、b恒成立;

(3)已知|a|<1，若| |<1，求b的取值范围.

(1)证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).

∵|a|<1，|b|<1，∴a2-1<0，b2-1<0.

∴|1-ab|2-|a-b|2>0.

∴|1-ab|>|a-b|，

= >1.

(2)解：∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.

∵b2<1，∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.

当a=0时，a2λ2-1<0成立;

当a≠0时，要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立，而 >1，

∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.

(3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.

∵|a|<1，∴a2<1.∴1-b2>0，即-1

●思悟小结

1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.

2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.

●教师下载中心

教学点睛

1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.

2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

拓展题例

【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

分析：要证原不等式成立，也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.

证明：(1)当x12+x22=1时，原不等式成立.

(2)当x12+x22<1时，联想根的判别式，可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)，其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).

由题意x12+x22<1，函数f(x)的图象开口向下.

又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0，

因此抛物线与x轴必有公共点.

∴Δ≥0.

∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0，

3.高中数学知识点总结_不等式的性质与证明 篇三

数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。

数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。

例1设an和bn分别是等差数列和等比数列，且a1b10，a2b20，若a1a2，试比较an和bn的大小。

分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数n把他们组合在一起。设an的公差为d，bn的公比为q。显然q0，因为a2b20，所以有，a1da1q，即a1q1d。anbna1n1da1qn1a1a1n1q1a1qn1。又因为a1a2，所以

1qn1a2q1。若q1时，anbna11qn1= a11q

=a11q1qq2qn2n1。因为1qq2qn1n1，1q0，所以有：anbn。若0q1时，1qq2qn1n1，1q0，所以也有： anbn。综上所述，当nN，且n2时，anbn。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。

例2已知递增的等比数列an前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，求证：123n1。a1a2a3an

分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，an是等比数列，2所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由a1a3a2可

得，a1a2a3a2512，所以a28。再设等比数列an的公比为q。则根据条件可

a14

得：818q9283，解得，q2或q1（舍去）。所以，因此，q2q2123n

an2n1。令Sn123n=234n1----------①，则

a1a2a3an222

21S123n--------------②，2n2324252n2由①-②得，1S1111n，即，2n2223242n12n2

1111n11n

1= Sn

222232n2n12n2n1

例3在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若另插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：a12b1c1

分析：不等式左边有字母a，右边有不同字母b、c，要比较两边的大小，必须寻找

xy，bx2y，cxy2。a、b、c三者之间的联系，利用数列的关系可得：a2为计算方便，我们再令mx0，n

33

mn则a，bm2n，cmn2，y0，m3n32

1m2n1mn21= 那么，a1b1c1

2m3n3

=m2n2mn0，得a12b1c1。

2

例4设an0，且ananan1，求证：对一切自然数n，都有an。





n

22分析：因为ananan1，所以an1ananan1an，由已知an0，所以有，an1an0，即0an1。又因为an1an1an，111，所以1111。则有，1

an1an1anan1anan1an1an

在上式中取n1,2,,n1，得n1个不等式，把它们相加得，11n1，于

ana1

是，1n11n11n，因此，an1。在此题的证明过程中，我们巧妙的nana1

利用了数列求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。

例5 设a2，给定数列xn，其中x1a，且满足xn1

xn1

1。xn

2xn

。

2xn1求证：xn2且

分析：这是1984年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列，求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。

xnxn1xn1x1因为2，又因为2xn12xn4xn4xn2x2x11n1

xn

xnax1a，所以有，xn2a2

n1

2n，则xn

2a21a

2n1

。而a2，则有，a20a21，所以01

aa因此，xn2且

xn1

1。xn

2n1

a21，那么01a

2n1

a21a

2n

1，1例6求证：1352n1。

2462n3n1

分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列。我们来构造一个数列

a2n23n1=

an。令an1352n1n1，则n1

2462n2n123n4an

12n28n20n41。所以，aa，从而有，aaaa1。=n1nnn1n2112n328n219n4

因此原不等式得证。

lgSnlgSn2

lgSn1。

分析：这是在数列情景下的不等式证明，所以要交叉使用数列的性质和不等式的证

例7设an是正项的等比数列，Sn是其前n项的和.证明：

明技巧。要证不等式等价于SnSn2Sn1，因为an0，所以Sn1Sn0。

由等比数列的定义可得：

aaa2a3

n1n2。a1a2anan1

再用等比定理得：

SnSn2Sn1。

Sn2Sn1an2a2a3an1Sn1a1Sn1，因此有：

Sn1Snan1a1a2anSnSn

例8 数列an和bn都是正项数列，对任意的自然数都有an，bn，an1成等差数列，22，an1，bnbn1成等比数列。

(1)问：bn是不是等差数列？为什么？

222(2)求证：对任意的自然数p和q（pq），bpqbpq≥2bp。

分析：对于第(1)题，我们不难证明它一定是等差数列。问题(2)的证明方法很多，我们可以直接利用等差数列的通项公式，通过作差比较来完成。但是若我们仔细分

222

析题意，观察bp，bbqpqp的特点，我们不难发现它们三者之间有等量关系：

bpqbpq≥

bpqbpq2bp，所以bpqbpq

。此题充分体现了数列和2bp

不等式知识的交叉运用。

例9数列an中，前n项之和为Snan2bn，其中a和b为常数，且a0，ab1，nN。

(1)求数列an的通项公式an；并证明an1an1。(2)若cnloganan1，试判断数列cn中任意两项的大小。

分析：此题的已知条件，前n项之和为Snan2bn 告诉我们，数列an是一个等差数列，要证明an1an1成立，只要证明该数列是一个递增的数列，且a11即可。(1)由Snan2bn可知，a1S1ab1，anSnSn12anab，所以an1an2a0，即数列an是一个单调递增的数列，那么an1ana11。

cn1logan1an2

(2)由(1)可知，数列cn各项都为正。则=logan1an2logan1ancnloganan1

logan1an2logan1an≤2=1logan1an124

2aan

1logaan2an21logan1n2= n1424





1，所以cn1cn.例10 已知数列an中，对一切自然数n，都有an0,1且anan 12an1an0。

求证：(1)an11an；

(2)若Sn表示数列an的前n项之和，则Sn2a1。

分析：从题目的结构可以看出，条件anan12an1an0是解决问题的关键，必2须从中找出an1和an 的关系。(1)由已知anan可得an12an1an0，2an1

1an1，12

又因为an0,1，所以有，01an11,因此an2an1，即an1an。2

1a1aa(2)由结论(1)可知，an1an112an2n，即1n1，于是有，22212n1112112a1，即Sn2a1。Sna1a2ana1a1n1a1a1

12212

4.高中数学知识点总结_不等式的性质与证明 篇四

52(3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<＝lg215

2

n＋n＋

n＋<；

(4)利用常用结论：

1①＋1<；

＋1＋k211111111②2－2－程度大)； kkk－k－1kkkk＋kk＋1111111③2

2(程度小)． kk－1k－k＋2k－1k＋1

六、换元法

换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简．常用的换元有三角换元和代数换元．如：

已知x2＋y2＝a2，可设x＝acos θ，y＝asin θ；

已知x2＋y2≤1，可设x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)；

x2y

22＋21，可设x＝acos θ，y＝bsin θ.ab

七、构造法

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式．

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

八、判别式法

含有两个字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，可考虑判别式法．

九、数学归纳法

可用于证明与正整数n有关的不等式．(见下一节)

基础自测

1．lg 9×lg 11与1的大小关系是()A．lg 9×lg 11＝1B．lg 9×lg 11<1 C．lg 9×lg 11>1D．lg 9×lg 11≥1

lg 9＋lg 112＝lg 992<lg 1002＝1，故选B.解析：因为lg 9×lg 11<

222

答案：B

2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则()A．a>bB．a

解析：因为(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝(2m－n)≥0，所以a≥b.故选D.答案：D

x3x2

3．已知实数x，y满足1≤2≤3，则xy的取值范围是__________．

yy

x31y21

解析：由已知得1≤2≤

y3x2

两式相乘得≤xy≤2.31答案：2 3

2222

4．已知实数a，b，x，y满足a＋b＝1，x＋y＝3，则ax＋by的最大值为________．

解析：设a＝sin α，b＝

cos α，x＝3sin β，y＝3cos β，则ax＋by＝3sin αsin β＋3cos αcos β＝3(sin αsin β＋cos αcos β)3cos(α－β)≤3，故其最大值是3.答案：3

1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－a2b.33222222

证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b)

＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·重庆卷)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；

(2)若a2>－1，求证：Sn≤a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．

证明：(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a1a2＋a1，即a2＝a2a1.n

a2a1

又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1,两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1.an＋2

由a2≠0，知an＋1＝a2.an＋1

an＋1

＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列.an

n

(2)当n＝1或2时，显然Sn＝a1＋an)，等号成立.因a2≠0，故a1＝1＝a2.n－1

设n≥3，a2>－1且a2≠0.由(1)知，a1＝1，an＝a2，所以要证的不等式化为：1＋a2＋

nn－1－1

a2≤(1＋an)(n≥3)，2＋„＋a22

n

即证1＋a2＋a22＋„＋a2≤

n＋1

当a2＝1时，上面不等式的等号成立.＋an2)(n≥2)．

n－r

当－1

－r

当a2>1时，ar2－1与an－1(r＝1,2，3，„，n－1)同为正． 2

n－r

因此当a2>－1且a2≠1时，总有(ar－1)>0，2－1)·(a2

rn－rn

即a2＋a2<1＋a2(r＝1,2,3，„，n－1).n－r

上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a2)<(n－1)(1＋an2)，2＋„＋a2

2nn＋1n

由此得1＋a2＋a2＋„＋a2<＋a2)．

综上所述，当a2>－1且a2≠0时，有Sn≤a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号

成立.112

1．设0

2m1－2m

解析：由题可知k＋.m1－2m

12221－2m2m又＋[2m＋(1－2m)]＝4＋2≥8，m1－2m2m1－2m2m1－2m

当且仅当2m＝1－2m，即m＝.故k的最大值为8.答案：8

2．(2013·广州调研)若函数f(x)对任意的实数x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2

－x1|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”．

(1)判断g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2)若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn＋1－xnyn＝sin xn，求证：

n＋2

|yn＋1－y1|<4

(1)解析：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x2－x不是区间R的“平缓函数”；设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，不妨设x1

又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x1＋sin x1x1－x2，②

由①，②得－(x2－x1)x2时，同理有|sin x2－sin x1|<|x2－x1|成立，又当x1＝x2时，不等式|sin x2－sin x1|＝|x2－x1|＝0，故对任意的实数x1，x2∈R，均有|sin x2－sin x1|≤|x2－x1|.因此g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”． 由于|h(x1)－h(x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|

取x1＝3，x2＝2，则|h(x1)－h(x2)|＝4>|x1－x2|，n

因此，h(x)＝x2－x不是区间R上的“平缓函数”．

(2)证明：由(1)得：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，则|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，所以|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.而|xn＋1－xn|≤，n＋2

11111

所以|yn＋1－yn|≤－.2<2

n＋4n＋4n4nn＋1

5.高中数学知识点总结_不等式的性质与证明 篇五

课标要求

1.了解原子核外电子的能级分布，能用电子排布式表示常见元素的（1~36号）原子核外电子的排布。了解原子核外电子的运动状态。

2.了解元素电离能的含义，并能用以说明元素的某种性质

3.了解原子核外电子在一定条件下会发生跃迁，了解其简单应用。4.了解电负性的概念，知道元素的性质与电负性的关系。要点精讲 一.原子结构 1.能级与能层

2.原子轨道

教学课件 3.原子核外电子排布规律

⑴构造原理：随着核电荷数递增，大多数元素的电中性基态原子的电子按右图顺序填入核外电子运动轨道（能级），叫做构造原理。

能级交错：由构造原理可知，电子先进入4s轨道，后进入3d轨道，这种现象叫能级交错。说明：构造原理并不是说4s能级比3d能级能量低（实际上4s能级比3d能级能量高），而是指这样顺序填充电子可以使整个原子的能量最低。也就是说，整个原子的能量不能机械地看做是各电子所处轨道的能量之和。（2）能量最低原理

现代物质结构理论证实，原子的电子排布遵循构造原理能使整个原子的能量处于最低状态，简称能量最低原理。

构造原理和能量最低原理是从整体角度考虑原子的能量高低，而不局限于某个能级。

（3）泡利（不相容）原理：基态多电子原子中，不可能同时存在4个量子数完全相同的电子。换言之，一个轨道里最多只能容纳两个电子，且电旋方向相反（用“↑↓”表示），这个原理称为泡利（Pauli）原理。

（4）洪特规则：当电子排布在同一能级的不同轨道（能量相同）时，总是优先单独占据一个轨道，而且自旋方向相同，这个规则叫洪特（Hund）规则。比如，p3的轨道式为或，而不是。

洪特规则特例：当p、d、f轨道填充的电子数为全空、半充满或全充满时，原子处于较稳定的状态。即p0、d0、f0、p3、d5、f7、p6、d10、f14时，是较稳定状态。

前36号元素中，全空状态的有4Be 2s22p0、12Mg 3s23p0、20Ca 4s23d0；半充满状态的有：7N 2s22p3、15P 3s23p3、24Cr 3d54s1、25Mn 3d54s2、33As 4s24p3；全充满状态的有10Ne 2s22p6、18Ar 3s23p6、29Cu 3d104s1、30Zn 3d104s2、36Kr 4s24p6。4.基态原子核外电子排布的表示方法(1)电子排布式

①用数字在能级符号的右上角表明该能级上排布的电子数，这就是电子排布式，例如K：1s22s22p63s23p64s1。

②为了避免电子排布式书写过于繁琐，把内层电子达到稀有气体元素原子结构的部分以相应稀有气体的元素符号外加方括号表示，例如K：[Ar]4s1。(2)电子排布图(轨道表示式)每个方框或圆圈代表一个原子轨道，每个箭头代表一个电子。如基态硫原子的轨道表示式为

教学课件

二.原子结构与元素周期表

1.原子的电子构型与周期的关系

(1)每周期第一种元素的最外层电子的排布式为ns1。每周期结尾元素的最外层电子排布式除He为1s2外，其余为ns2np6。He核外只有2个电子，只有1个s轨道，还未出现p轨道，所以第一周期结尾元素的电子排布跟其他周期不同。

(2)一个能级组最多所容纳的电子数等于一个周期所包含的元素种类。但一个能级组不一定全部是能量相同的能级，而是能量相近的能级。2.元素周期表的分区(1)根据核外电子排布 ①分区

②各区元素化学性质及原子最外层电子排布特点

教学课件

③若已知元素的外围电子排布，可直接判断该元素在周期表中的位置。如：某元素的外围电子排布为4s24p4，由此可知，该元素位于p区，为第四周期ⅥA族元素。即最大能层为其周期数，最外层电子数为其族序数，但应注意过渡元素(副族与第Ⅷ族)的最大能层为其周期数，外围电子数应为其纵列数而不是其族序数(镧系、锕系除外)。三.元素周期律 1.电离能、电负性

（1）电离能是指气态原子或离子失去1个电子时所需要的最低能量，第一电离能是指电中性基态原子失去1个电子转化为气态基态正离子所需要的最低能量。第一电离能数值越小，原子越容易失去1个电子。在同一周期的元素中，碱金属(或第ⅠA族)第一电离能最小，稀有气体(或0族)第一电离能最大，从左到右总体呈现增大趋势。同主族元素，从上到下，第一电离能逐渐减小。同一原子的第二电离能比第一电离能要大（2）元素的电负性用来描述不同元素的原子对键合电子吸引力的大小。以氟的电负性为4.0，锂的电负性为1.0作为相对标准,得出了各元素的电负性。电负性的大小也可以作为判断金属性和非金属性强弱的尺度，金属的电负性一般小于1.8，非金属的电负性一般大于1.8，而位于非金属三角区边界的“类金属”的电负性在1.8左右。它们既有金属性，又有非金属性。（3）电负性的应用

①判断元素的金属性和非金属性及其强弱 ②金属的电负性一般小于1.8，非金属的电负性一般大于1.8，而位于非金属三角区边界的“类金属”(如锗、锑等)的电负性则在1.8左右，它们既有金属性，又有非金属性。③金属元素的电负性越小，金属元素越活泼；非金属元素的电负性越大，非金属元素越活泼。④同周期自左到右，电负性逐渐增大，同主族自上而下，电负性逐渐减小。2.原子结构与元素性质的递变规律

教学课件

3.对角线规则

在元素周期表中，某些主族元素与右下方的主族元素的有些性质是相似的，如

6.高中不等式知识点总结 篇六

一、 知识点

1.不等式性质

比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法

不等式的基本性质

①对称性：a > bb > a

②传递性: a > b, b > ca > c

③可加性: a > b a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

a > b, c < 0ac < bc;

⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0,

2.算术平均数与几何平均数定理：

(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则

重要结论

1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

4.不等式的解法

(1) 不等式的有关概念

同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

(2) 不等式ax > b的解法

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

②当a<0时不等式的解集是{x|x

③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

(4)绝对值不等式

|x|0)的解集是{x|-a

o o

-a 0 a

|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：

o o

-a 0 a

小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

(5)分式不等式的解法

(6)一元高次不等式的解法

数轴标根法

把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

(7)含有绝对值的不等式

定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

? |a| - |b|≤|a+b|

中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

? |a+b|≤|a| + |b|

中当且仅当ab≥0等号成立

推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|