浅谈转换与化归思想

2024-09-02

浅谈转换与化归思想（精选4篇）

1.浅谈转换与化归思想篇一

导数应用中的化归与转化思想

在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是数学知识和方法产生的根本源泉，对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效地应用数学知识，探寻解题方向.数学对象的内部或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，针对面临的数学问题，实施或转化问题的条件，或转化问题的结论或转化问题的内在结构，或转化问题的外部表现形式等行动策略去解决有关的数学问题，能促进问题的解决，可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.在应用导数解决问题的过程中，对于一时难以解决的问题，可运用转化与化归思想经过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题化归为一类已经能解决或者比较容易解决的问题.而导数综合问题的主要类型有：

（1）不等式的恒成立问题；（2）证明不等式问题；（3）方程的求解问题.通常，应用化归与转化思想解决导数的综合问题时有一个基本的解题思路，即：将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.为了完成上述转化，要把握两个关键：（1）针对问题的需要，合理地构造函数，找到问题转化的突破口；（2）通过“再构造、再求导”，实现问题的深度转化.下面通过具体例题，对上述两个关键进行一些探究.点评：一次函数、二次函数、指对数函数、幂函数、简单的分式根式函数、绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化、明确化.问题二：如何再次构造新函数，实现“二次求导”

在求导的过程中，常常会发现导函数大于0或小于0时对应的自变量取值无法确定，这时可考虑再次构造新函数，从而实现 “二次求导”.评注：本题通过转化，使求解a的取值范围问题转化为求函数的值域问题，再利用函数的连续性，进而转化为函数的最值问题.在对本题解法的探究中，转化是关键，构造函数是途径，“二次求导”是方法和策略.综上所述，通过构造函数再利用导数这一研究函数的有力工具，能够使解题思路自然流畅、过程清晰，正是应用化归与转化这一重要数学思想在解题中具有普遍指导意义的有力体现。其中构造函数的方式、方法是实现转化的重要途径，虽是“小构造”但体现了解题的“大智慧”.平时教学中，特别是高考总复习中，应加强化归与转化思想的渗透，强化训练，从而有效地提高学生解题的能力.？?S编辑谢尾合

2.浅谈转换与化归思想篇二

数学思想方法多种多样,既精彩纷呈又各显千秋.不过在这里我要说,转化与化归是数学思想方法中的“高大上”.

说它“高端”,是因为在数学学习过程中,我们总是将减法转化成加法来计算,除法转化成乘法来计算,负指数幂转化成正指数幂来运算,立体图形问题转化成平面图形问题来解决等等.而在科学研究和科学实验中,研究人员也都是将具体的实际问题转化成一个个有价值的“数学模型”来解决.因此,转化与化归不仅在数学学科中体现得尤为突出,也是其他科学领域研究的重要手段!

说它“大气”,是因为无论我们在生活中遇到什么样的难题,都能够通过转化与化归的方法予以解决.

说它“上档次”,我们可从以下的例子来体会.

假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴.现在的任务是烧水,你该怎样做?

此问题很简单.谁都知道,“先打开水龙头,在水壶中放入水,把放满水的水壶放在煤气灶上,再打开煤气开关烧水”.

如果我们变化该问题:假如所有的条件都和原来一样,只是水壶中已有了足够的水,这时,你又会怎样做?

这一问题,人们往往会回答:“把水壶放到煤气灶上,再点燃煤气灶烧水.”

但是,这不是数学家的答案.数学家则会倒去水壶中的水,并且声称我已把后一个问题转化成前一个问题了.

3.浅谈转换与化归思想篇三

1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，一般应遵循熟悉化、简单化、和谐化、直观化和正难则反等原则.

二、例题评析

例1已知M是△ABC内一点,且AB·AC=23,∠BAC=30°，若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别为12、x、y,则1x+4y的最小值是

分析:已知条件为向量的数量积与夹角,可以得到两边之积,再由两边与夹角求得△ABC的面积,另一方面,△ABC的面积又为△MBC、△MAB、△MAC的面积之和12+x+y,从而实现了由向量向代数式的转化.然后用均值不等式求得最值.

解:∵AB·AC=23,∠BAC=30°,∴|AB|·|AC|=4,∴S△ABC=12·|AB|·|AC|·sin30°=1,又因为△ABC的面积为△MBC、△MAB、△MAC的面积之和12+x+y,∴得x+y＝12，

∴1x+4y=(1x+4y)·2(x+y)=2(5+yx+4xy)≥10+2·2yx·4xy=18，当且仅当yx=4xy时取等号.

评注:本题完成了由向量向函数方程之间的转化,进而又转化为用均值不等式求最值.做题时要注意条件的联系性和化归的数学思想.

例2设函数f(x)=x2-2x,若f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0,则点P(x,y)所形成的区域的面积为.

分析:首先分析由f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y)≤0所确定的平面区域,再根据区域的形状求其面积.

解:由f(x)+f(y)≤0,得x2-2x+y2-2y≤0,即(x-1)2+(y-1)2≤2,所表示的区域为以C(1,1)为圆心,以2为半径的圆面.由

f(x+1)+f(y+1)≤f(x)+f(y),

得(x+1)2-2(x+1)+(y+1)2-2(y+1)≤x2-2x+y2-2y,即x+y-1≤0,所表示的区域为直线x+y-1=0的左下方.故点P(x,y)所形成的区域如图阴影部分所示. C(1,1)到直线x+y-1=0的距离为d=12=22,又AC=2,故∠ACB=2π3,

扇形ABC的面积为S扇形ABC=12×22π3×2=2π3;

又△ABC的面积为S△ABC=12×2×2sin120°=32,故阴影部分的面积为2π3-32.即点P(x,y)所形成的区域的面积为2π3-32.

评注:本题在形式上是函数和不等式问题,但剖析之后可以发现,其实质是圆与线性规划相结合的问题.高考中,知识的交汇试题是主流,很多题目都是以一个知识点为载体考查另一个知识点,解题时一定要善于分析,透过表面看透问题的实质,从而合理转化,寻求问题的解决途径.

例3在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．

(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

（1）解析：要证AD⊥CC1（线线垂直），可考虑先证AD⊥侧面BB1C1C（线面垂直）．

而要证AD⊥侧面BB1C1C（线面垂直），可通过底面ABC⊥平面BB1C1C（面面垂直）转化．

(2) 解析：要证截面MBC1⊥侧面BB1C1C，只要在平面MBC1内找到一条直线垂直于侧面BB1C1C，于是连结ME，则可证ME∥AD，而AD⊥侧面BB1C1C已证.

点评：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属于知识组合题类，解决问题的关键还是“善于转化”.

例4已知过点（0,3）的直线l与函数y=14x3+9的导函数的图象交于P,Q两点,且AP⊥AQ,其中点A坐标为(1,1)

（1）求直线l的方程,并求|PQ|的长.

（2）若g(x)=34lnx+m，问实数m取何值时，使得y=14x3+9的图象恒在y=g(x)的图象的上方？

分析:根据求导公式,将函数问题转化为抛物线与直线的位置关系问题,通过解方程组,由韦达定理和向量的数量积坐标运算,利用待定系数法求解.

4.浅谈转换与化归思想篇四

一、高考复习中应用转化与化归思想的指导原则

高考对转化与化归思想的考查范围较广, 涉及各方面数学问题和知识.首先, 数形转化问题, 例如函数单调性和解析几何中斜率问题等.其次, 常量和变量之间的转化问题, 例如求范围和分离变量等.最后, 关于数学各分支的转化问题, 例如向量和解析几何等的转化, 以及函数与立体几何的转化等.另外, 还包括将各种实际问题转化为数学模型的情况.其中在立体几何中转化与思想贯穿于解题的全过程, 是立体几何问题的基本思想和方法, 在高考复习立体几何中应用转化与化归思想时, 应遵循以下指导原则, 提高复习的实效性.

1.以学生为主体

在以往的高考数学复习过程中, 教师往往处于整个复习的主导地位, 统领一切.学生只能机械地跟随教师的安排展开复习, 处于被动状态.但是, 高考对数学教育的要求使得高考数学复习过程中要注意以人为本, 保证学生处于主体地位, 具有较高的自主性.因此, 在具体的复习过程中, 教师要注意转变自身角色, 扮演好引导者的角色, 帮助学生自主复习.并积极采取有效措施, 调动学生的复习积极性, 增强复习效果.

2.以大纲为指导

在复习过程中, 一定要注意紧密围绕考试大纲的具体要求, 以考试大纲为指导.教师要注意带领学生一起深入分析研究最新的考试大纲的具体内容和要求, 并回顾往年的考试大纲, 找出区别, 做到对考试内容和考点心中有数.同时, 教师还要注意做好归纳总结工作, 将考试大纲对不同数学知识的要求进行总结, 并带领学生一起围绕考纲展开复习.

3.注重能力培养

高考十分注重对学生能力的考查, 培养学生能力是高考教学复习的主要目的之一.因此, 在复习过程中, 要注意使学生获得各种利用转化与化归思想解决数学问题的能力, 帮助学生养成良好的学习习惯, 为进一步学习打好应用基础.

二、高考复习立体几何中转化与化归思想的应用

在解决各种高中立体几何问题时, 可以利用转化和化归思想, 将抽象的空间问题进行合理转化, 变为具体的实数运算.从而降低运算难度, 简化运算过程, 提高解题效率.在具体应用向量知识解决立体几何问题时, 首先要考虑需要用什么向量知识进行解题, 具体需要用的向量有哪些.然后根据题意分析所需要的向量是否已知, 则可利用已知条件转化成具体的向量.如果需要的向量不能直接转化 , 则要考虑选择用哪个未知向量进行表示, 难度如何.在所需向量表示出来之后, 便要分析怎样对其进行具体运算, 以得到需要的结果和结论.

1.利用向量知识论证立体几何中的线面关系问题

例1:已知m、n是两条不同直线, 是三个不同平面, 下列命题中正确的是 ( )

A.若m//α, n//α, 则m//n B.若α⊥γ, β⊥γ, 则α//β

C.若m//α, m//β, 则α//βD.若m⊥α, n⊥α, 则m//n

解析:根据向量中空间线与线, 线与面的平行、垂直的相关知识, 可以得出如果m⊥α, n⊥α, 则m//n, 即选项D为正确答案.

2.运用向量的坐标运算建立空间直角坐标系

例2:如图2, 直三棱柱ABC—A1B1C1, 底面△ABC中 , CA=CB=1, ∠BCA=90°, AA1=2, M、N分别是A1B1、A1A的中点.

(1) 求的长 ;

(2) 求的值 ;

(3) 证明:A1B⊥C1M.

分析:在解题时, 我们可以利用向量知识, 建立空间直角坐标系O-xyz, 找到点的具体坐标, 并得出向量的坐标.在建立坐标系之后, 要能够准确找到点的具体坐标.我们可以先在底面坐标面x Oy内找到点A、B、C的具体坐标, 并利用向量的模和具体的方向, 将其他点的具体坐标找出来.

(1) 解:如上图2所示, 我们以点C为原点 , 建立空间直角坐标系O-xyz.