用向量法证明海伦公式(精选5篇)
1.用向量法证明海伦公式 篇一
向量与点到直线的距离公式的证明
安金龙
(苏州工业园区
这样处理,既避开了分类讨论,又体现了平面向量的工具性。当然,解析几何作为一个内涵丰富的数学分支,它和其它数学知识也会有密切的联系,下面笔者列举另外几种推导方法: 2用习题结论巧推点到直线距离公式
老教材代数课本(人教版,下册.必修)第15页习题十五第6题:
已知:
ad,求证:(bc
(a)
2b2)c(d当cad,b即c,a)bd
ab
时,有(a2b2()c2d2)(acbd)2.cd
上式实为柯西不等式的最简形式,很容易证明.故略去。下面给出点到直线的距离公式的最简推导。
已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0,则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设M
x,y为直线l上任意一点,点P到直线l的距离为d,则:
(AxAx0)2(ByBy0)2
PMPM22
AB2
(ByBy0)222222(AxAx0)(AB)PM(AB)[] 22
AB
(AxAx0ByBy0)2=(Ax0By0
C)2
AB
dPMmin,当且仅当时等号成立。
xx0yy03用直线的参数方程推导点到直线距离公式
证明:当AB0时易验证公式成立,下证AB0时的情形:
(1)B>0时,过点P作直线L的垂线,垂足为H,则直线PH的标准参数方程为:
xxt0(t为参数)
yyt0
将直线PH的参数方程代入直线L的方程得:
A(x0t+B(y0tx,解之得点H
对应的参数t
C0
PHdPH
(2)当B时,直线PH的标准参数方程为:
xxt0(t为参数)
yyt0
可得PH
dPH
4构造引理推导点到直线距离公式
引理:如图1,直角三角形MPN中,MPN90,MPa,NPb,则点P到直线MN的距离d满足
a 图
1N
.222
dab
证明:由直角三角形的面积公式得:
MPNPMNd,22
11111即ab,所以222.d,即
dab2dab
下面就用引理证明点Px0,y0到直线l:AxByC0的距d
证明:当0时易证公式成立.当AB0时,如图2所示,过点
Px0,y0分别作平行于x轴,y轴的两条直线,分别交直线l:AxByC0
ByCAxC于点M(-,y0)、N(x0,-),则AB
B0yC
MP0,AAxC
NPy00.MPNP,在RTMPN中,B
点P到直线MN的距离d满足:
1111
1=22
222dMPNP(x00)(y
00)BA2B2,所以d =2(Ax0By0C)
参考文献:
[1] 全日制普通高级中学教科书(人教版)(试验修订本.必修)第二册(上)第55~56页.[2] 王国平.中学生数学.用习题结论巧推点线距离公式2001年1月上 [3] 张乃贵、段萍中学生数学.点到直线的距离公式的又一证明.2001年1月上
[4] 陈志新.点到直线距离公式的又一证法.中学生数学.2001年6月上
离为
:
2.用向量证明线面平行(共) 篇二
比如单位法向量是(0,1,0),难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。
面面平行:可以证明两个平面的法向量平行。
不过不一定是单位法向量,单位法向量是模等于1的法向量,其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。
当然你要证明分别平行于两平面的直线平行,或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z)而(m,n,p)是在原点与平面的垂线的交点, 我们得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1)这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行
但是书后的答案说两直线是平行的。。你确定题没有写错吗? 其实直线很简单
[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2],沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样,两直线不平行平行向量
平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:a∥b,规定零向量和任何向量平行。加法运算
AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0。
3.海伦公式与四边形面积公式 篇三
2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道,已知三角形的三条边长度a,b,c(2p=a+b+c),就可以由海伦公式得到三角形的面积:
所以:已知圆内接三角形的三边长,其面积公式为海伦公式。事实上,对于圆内接四边形,已知其四边形的四边长(不妨设其为a,b,c,d,2p=a+b+c+d),也可以求其面积,而且公式的形式与海伦公式相类似:
证明:
设圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,设∠BAD=θ,则∠BCD=180°-θ,设其对角线BD=x,由余弦定理有:
4.用向量法证明海伦公式 篇四
一元二次方程
3.用公式法求解一元二次方程
丹东市凤城市四门子九年一贯制学校
徐晓丹
一.教材
本节是北师大版九年级上册第二章一元二次方程中第3节《用公式法求解一元二次方程》。本章是一元一次方程和二元一次方程的深入和发展,也是以后学习方程及函数等数学知识的基础。“一元二次方程的解法”是初中数学“方程”中的一个重要内容,特别是对于系数不特殊的一元二次方程,学习用公式法解一元二次方程很有必要,也是不可缺少的重要内容。通过本节课的学习,使学生明确公式法是解一元二次方程的通法,应该根据题目选择合适的方法解决问题。
二.学情分析
本节课的学习至关重要,为了完成教学计划,让学生更好的掌握握知识,应了解学生和学生对知识掌握情况。这要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发,他们有强烈的好奇心和求知欲,而方程对学生来说是比较难的,配方法又是刚刚学完,并不熟练,应着手让学生练习配方法并掌握公式法解一元二次方程相关知识。
三.教学目标
为了更好的完成教学计划,我制定以下教学目标
1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的推导过程,熟练用
公式法解一元二次方程。
2.过程与方法:通过求根公式的推导进一步使学生熟练掌握配方法。培养学生数学推导的严密性和逻辑性。
3.情感态度与价值观:培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。培养学生快速准确的计算能力。
四.重难点
基于配方法的不熟练,本节课应该以配方法为基础,熟练运用公式法及判别式相关知识,重难点为:
重点:掌握用公式法解一元二次方程一般步骤,正确、熟练用公式法解一元二次方程。
难点:理解求根公式的推导和判别式与根的情况的关系。
五.教法、学法
确定了重难点,本节课借助多媒体辅助教学,采用引导发现式自主探究和交流讨论相结合的方法,发挥教师的主导作用,体现学生主体地位。利用学生已有的知识,启发诱导学生深入思考问题,多交流,主动参与到活动中。
学生对配方法还不是很熟练,让学生用配方法解练习题,回顾配方法再解一般形式。学生用分析讨论和分类归纳的方法提出问题并尝试解决问题,使思维能力得到提升。
六.教学过程
本节课设计以下六个环节:
复习引入—讲授新课—例题讲解—巩固练习—课堂小结—布置
作业
第一环节:复习引入
活动内容:
①用配方法解下列方程:(1)2x237x(2)3x22x10 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题:2x237x
解:将方程化成一般形式: 2x27x30
两边都除以一次项系数:2
x2732x20
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
x272x(74934)21620 即:(x7254)2160
(x7254)216
两边开平方取“±” 得:
x7544
x7454
写出方程的根 ∴ x1=3 , x2
第二题:3x22x10
解:两边都除以一次项系数:3
1=2
21x2x033
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
2113x2x()20
3392即: 125(x)20
3181225(x)318 25018∵
∴原方程无解 活动目的:
(1)进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方,这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
(2)选择了一个没有解的方程,让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。
(3)教师还可以根据上节课作业情况,选学生出错多的题目纠错、练习.第二环节:讲授新课
(1)活动1:自主推导求根公式。
提出问题:解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.解:两边都除以一次项系数:a
bc2xx0
aa 问:为什么可以两边都除以一次项系数:a 答:因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方
bb2b2cxx()20 a2a4aa2即:(xb)a2b24ac0 4a2b2b24ac(x)2a4a 问:现在可以两边开平方吗?
答:不可以,因为不能保证 b 问:什么情况下 b224ac 024a4ac 024a 学生讨论后回答:
答: ∵ a≠0 ∴ 4a2>0
要使b24ac 024a只要 b2-4ac≥0即可
∴当b2-4ac≥0时,两边开平方取“±” 得:
2bb4ac
xa4a2bb24ac xa2abb24ac xa2abb24ac x2a问:如果b2-4ac<0时,会出现什么问题? 答:方程无解
如果b2-4ac=0呢?答;方程有两个相等的实数根。活动目的:
学生能否自主推导出来并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识.在集体交流的时候,才能有感而发。(2)活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节:例题讲解 活动内容:
1、判断下列方程是否有解:(学生口答)
(1)2x2+3=7x(2)x2-7x=18(3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0
学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。问第(3)题的判断,与第一环节中的第(2)题对比,哪种方法更简捷?
2、上述方程如果有解,求出方程的解 学生口述,教师板书第(1)题,第(4)题 例:解方程 2x2+3=7x 解:先将方程化成一般形式 2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根
∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴ xbb24ac2a
72522754写出方程的根,即
x1=3,x2=-1
2问:与第一环节中的第(1)题对比,哪种解法更简捷?例:解方程 9x2+6x+1=0 确定a,b,c的值 解:a=9, b=6, c=1 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 7
bb24acx2a60 ∴29601813
(剩下的题目教师根据时间情况选择使用,个别学生上黑板做题,其他同学在座位上练习)
3、课本随堂练习1、2.活动目的:通过让学生或口述交流或上黑板解方程,公示学生的思维过程,查缺补漏,了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。第四环节:巩固练习
活动内容:x2x60,8y(2y5)25
活动目的:在这个环节我遵循巩固与发展相结合的原则,引导学生做练习题,在学生做练习时进行巡看,及时掌握学生做题情况,以便进行有针对的评价。让学生以小组为单位进行比赛,看哪组又快又准。在提高做题速度的同时,学生之间相互交流查缺补漏。
第五环节:课堂小结 活动内容: 提出问题:
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2、如何判断一元二次方程根的情况?
3、用公式法解方程应注意的问题是什么?
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧?
让学生在四人小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言。活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获,解题技能方面有哪些提高,通过回顾进一步巩固知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。第六环节:布置作业
用公式法解下列方程(教师可根据实际情况选用)
1、课本47页1,2题。
2、程解应用题
(1)已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?(2)一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
七、教学反思
1、要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况,调整了配方时的个别过程,使之与后续知识学习相一致,添加了例题和练习题。
2、要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初
5.用向量法证明海伦公式 篇五
阿基米德对海伦公式的纯几何首证
作者:丁位卿
来源:《中学数学杂志(初中版)》2013年第04期
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