3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案

3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案（精选4篇）

1.3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案 篇一

函数模型及其应用习题及答案

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗?

基础巩固

1.某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场

A.不赚不亏 B.赚了80元

C.亏了80元 D.赚了160元

解析：960+960-9601+20%-9601-20%=-80.

答案：C

2.用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________.

解析：设矩形长为x m，则宽为12(12-2x) m，用面积公式可得S的最大值.

答案：9 m2

3.在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为__________.

解析：溶液的浓度=溶质的质量溶液的质量=xa%+yb%x+y=

c%，解得y=a-cc-bx=c-ab-cx.

答案：y=c-ab-cx

4.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售.这样仍可获得25%的.纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为________

解析：由题意得20%y-0.75x=0.7x25%y=7516x.

答案：y=7516x

5.如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是________.

解析：1期后y=a+ar=a(1+r);

2期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;…归纳可得x期后y=a(1+r)x.

答案：y=a(1+r)x

6.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元.

解析：1年后价值为：a-ab%=a(1-b%)，2年后价值为：a(1-b%)-a(1-b%)b%=a(1-b%)2，

n年后价值为：a(1-b%)n.

答案：a(1-b%)n

7.某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示.

(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元;

(2)当x100时，y与x之间的函数关系式为__________;

(3)月用电量为260度时，应交电费__________元.

解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式.

答案：(1)60 (2)y=12x+10 (3)140

8.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：

每户每月用水量 水价

不超过12 m3的部分 3元/m3

超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3

超过18 m3的部分 9元/m3

若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3.

解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则

y=3x，012，36+x-126，1218，36+36+x-189，x>18，

即y=3x，012，6x-36，1218，9x-90，x18.

48=6x-36，x=14.

答案：14

9.国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;

(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围.

解析：(1)y=120m[1+(2x)%](8%-x%)=

-0.024m(x2+42x-400)(08).

(2)-0.024m(x2+42x-400)120m8%78%，

即x2+42x-880，(x+44)(x-2)0，

解得-442.

又∵08，02.

10.

有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB=10 m，BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?

解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为

y=a(x-5)2+2.5，①

把(10,0)代入①得0=a(10-5)2+2.5，

解得a=-110，y=-110(x-5)2+2.5.

当y=4-2.4=1.6时，1.6=-110(x-5)2+2.5，

即(x-5)2=9，解得x1=8，x2=2.

显然，x2=2不符合题意，舍去，所以x=8.

OC-x=10-8=2.

故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部.

2.3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案 篇二

由邓聚龙教授建立的灰色预测模型GM (1, 1) (Grey Model, 简称GM) , 它是对实测得到的原始随机变化量进行累加处理 (AGO, Accumulating Generation Operator) 或累减处理 (IAGO, Inverse Accumulating Generation Operator) , 而不是采用原始的离散数据序列直接建立递推的离散模型。根据新的背景值取法, 将GM (1, 1) 模型扩展为基于最佳的权分配的权函数灰色模型p GM (1, 1) (parameter Grey Model, 简称pGM) 。本文结合实际工程需要, 探讨利用灰色理论对隧道施工中的洞口边坡变形进行分析预测的方法, 并将其结果与实际的量测结果进行对比, 以其为灰色理论进一步工程应用积累经验。

一、灰色理论及权函数灰色预测模型

(一) 灰色理论

灰色系统理论认为, 任何随机过程都是在一定幅值范围内和一定时区范围内逐渐变化的灰色量, 并把随机过程看作灰色过程。它是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律, 这种数据寻找实现的规律称为灰色序列的生成。各类系统由于经常受到外界不确定因素的干扰和影响, 因此, 在不同时刻对系统的观察、测量所得到的数据是不一样的, 即呈现出离乱的现象。离乱的数据列被灰色理论称之为灰色数列, 或者灰色过程。

在建立系统各因素的关联模型时, 灰色理论是五步建立的, 即第一步语言模型, 第二步网络模型, 第三步量化模型, 第四步动态量化模型, 第五步优化模型。其建模过程如图1所示:

对于隧道洞顶变形, 是将实测得到的离散的、随机的原始位移时间序列经过累加处理 (AGO) , 得到规律性较强的累加生成序列。再根据该序列, 建立灰色微分方程, 然后通过对数据序列的拟合, 求得灰色微分方程的系数, 从而获得灰色预测微分方程, 最后将灰色预测微分方程的计算结果进行累减 (IAGO) 还原后即可得到洞顶沉降预测值。

(二) 权函数灰色预测模型

1、令x (0) (t) 为GM (1, 1) 建模序列, 表示灰导数, 是给定的原始序列值。

2、令x (1) 为x (0) 的AGO序列, 为其累加生成的序列值,

x (0) (t) , x (1) (t) 为微分方程GM (1, 1) 点源的拟合值, 为微分方程GM (1, 1) 模型的拟合值, 为还原值。

3、原始的模型中令z (1) 为x (1) 的均值 (MEAN) 序列, 表示白化背景值:

则得到GM (1, 1) 的灰微分方程模型为:

也可按邓聚龙提出GM (1, 1) 模型微分方程为

为了提高模型的预测精度, 将z (1) 进行拓展, 可采用以x (t+1) 与x (t) 的加权平均值作为背景值, 公式为:

最佳权p根据原始值与模型预测值之间的模拟相对误差:

使其平均达到最小来确定。依据新背景值的取值方法所建的GM (1, 1) 模型称为基于最佳的权分配的权函数灰色模型p GM (1, 1) (parameter Grey Model, 简称pGM) 。

(2) 式中, 灰参数的白化值为β=[a, u]T。取定最佳权分配的权值p, 生成背景序列为:

用最小二乘法求得灰参数的白化值为:

求得灰参数后, 代入 (1) 式, 得出微分方程的解:

设为模型计算值, 对做累减生成 (IAGO) , 可以得到模型模拟值或预测值

二、实例分析

(一) 工程背景

某山体隧道全长6827m, 隧道区属构造剥蚀、侵蚀、溶蚀深切割中低山区, 基本地形配置为台原山地和深切峡谷。地形条件对区内岩溶发育起明显的控制作用。其中进口DK40+550-DK41+255为四线双连拱车站隧道;DK41+255-+437为大跨三线隧道;DK41+437-+803为燕尾式连拱隧道;其余为单线隧道。隧道所在地区的地质条件十分复杂, 施工时控制隧道的变形是十分有必要的, 尤其对隧道洞口洞顶位移的观测是指导隧道安全施工的一个重要依据。

(二) 灰色系统预测程序及实例

为了便于应用灰色预测模型, 根据上述GM (1, 1) 和pGM (1, 1) 模型, 利用高级编程语言编写了的灰色系统预测程序与基于权函数的灰色预测程序。这两个程序的主要功能是可根据输入的原始数据列, 通过数据处理得到模型计算值和预测值, 并对模型进行精度等级判定。

该隧道施工的检测部门对隧道进口的DK40+550左线洞顶和DK41+255左线洞顶进行长期检测, 其2005年1月-2007年6月的洞顶沉降资料序列如表1所示。

(mm)

通过计算, 求得原始观测值与拟合值之间的灰色相对误差分别为0.0075与0.0125, 均满足预测模型。DK40+550与DK41+255两位置的pGM模型相对应的权值分别为0.23、0.36, 对应的相对误差分别为0.0065、0.012。两模型的精度满足工程所需的误差要求, 相比之下pGM模型的精度更高。如果用此模型, 对今后几个月的水平位移值进行预测, 应该与实际相符较好。实测值、计算拟合值如表2所示。

(mm)

三、结论

第一, 目前预测隧道变形的方法有很多, 由于灰色系统理论则在评价预测时, 不必知道影响变形的因素以及各因素的权值, 仅依据实测数据就可以建立模型进行预测, 因而具有一定的实用性。灰色系统理论可以较准确地预测隧道在今后一段时期内的位移变形量, 为工程建设部门和环境灾害治理部门提供重要的信息, 从而及时做出相应的决策。但推导预测数据不宜过多, 一般以不超过3个数值为宜。

第二, 由于灰色系统理论仅依据实测数据就可以建立模型进行预测, 而一定时期的实测数据是一定条件下的结果;隧道变形的影响因素较多, 一旦某个因素发生变化, 预测参考价值的真实可靠性就将大打折扣, 故尔应及时根据实测数据, 不断调整或更新GM (1, 1) 模型, 以便提高预测精度。由于在变形监测的过程中, 人为的因素和其他因素对原始数据的影响很大, 导致预测的结果存在一定的误差, 但可以根据实际情况选用使用的模型进行预测, 在本工程实例中推荐采用pGM (1, 1) 模型。

摘要：文章详细讨论了GM (1, 1) 灰色模型与基于权的一元一阶灰色预测模型 (简称pGM (1, 1) ) 的基本内容及建模过程, 找出最佳的权分配, 并成功地将两模型应用于某山体隧道洞口变形监测的预测预报, 相应地用计算机高级编程语言编写了灰色系统预测程序, 便于实际应用。实践证明灰色预测模型在隧道变形预测预报中具有较高的应用价值。

关键词：隧道洞顶变形,灰色模型,预测程序,最佳权分配

参考文献

[1]、程毛林.动态数据拟合的叠加模型及其应用[J].运筹与管理, 2005 (1) .

[2]、吴祈宗, 宋颖.一种模糊组合预测方法[J].北京理工大学学报, 2004 (4) .

[3]、洪林天.软岩工程设计理论与施工实践[M].中国建筑工业出版社, 2001.

[4]、李世辉.隧道支护设计新论[M].科学出版社, 1999.

[5]、王建秀.连拱隧道建设中的几个关键问题研究[D].同济大学, 2004 (6) .

[6]、蒋刚, 林鲁生, 刘祖德等.边坡变形的灰色预测模型[J].岩土力学, 2000 (3) .

[7]、邓聚龙.灰预测与灰决策[M].华中科技大学出版社, 2002.

[8]、刘思峰, 郭天榜, 党耀国.灰色系统理论及其应用[M].科学出版社, 1999.

3.3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案 篇三

本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.

命题特点

结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.

1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.

例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 （1）法一：∵函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，

故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，

又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）·f（1）<0

故f（x）在（0，1）上有惟一零点.

法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.

在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.

（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.

答案 （1）B （2） B

点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.

2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.

例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；

（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.

解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.

∵α，β是方程f（x）=0的两个根，且α<2<β，

∴f（2）<0，即22+2（2m-1）+4-2m<0，得m<-3.

（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.

由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2<-1，]∴[22≤a<3].

点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.

3. 利用函数零点求解参数的取值范围.

例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0

（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=

f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .

解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0

（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].

答案 （1）[0，12] （2）[0，14]

点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.

4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.

nlc202309032007

例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

[y（千米）][x（千米）][O]

解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].

由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].

∴[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵[a>0]，∴炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.

即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.

由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].

此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.

∴当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.

备考指南

1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.

2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.

限时训练

1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）

A. （1，2） B. （[32]，2）

C. （2，[52]） D. （[52]，3）

2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）

[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]

3. 若a

A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上

C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上

4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）

A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点

6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）

A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]

[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]

（第6题） （第7题）

7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）

[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]

A B C D

9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）

nlc202309032007

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.

[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]

12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .

13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

14. 将一个边长分别为a，b（0

15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；

（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.

16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.

（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；

（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；

（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.

17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]

4.3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案 篇四

1.教学目标

1、知识与技能：

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依

赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

2、过程与方法：

（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；

3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.2.教学重点/难点

重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

3.教学用具

多媒体

4.标签

函数及其表示

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

（二）研探新知

1、函数的有关概念（1）函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

（2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域（3）区间的概念

①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示．

（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b

(a≠0)

y=ax2+bx+c

(a≠0)

y=

(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。

1、如何求函数的定义域 例1：已知函数f(x)=（1）求函数的定义域；（2）求f（－3），f（）的值；

+

（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 例

2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：由题意知，另一边长为x，且边长x为正数，所以0＜x＜40.所以s= =（40－x）x

（0＜x＜40）

引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.巩固练习：课本P19第1

2、如何判断两个函数是否为同一函数 例

3、下列函数中哪个与函数y=x相等？

分析： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。解： 课本P18例2

（四）归纳小结

①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念.（五）设置问题，留下悬念

1、课本P24习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题

2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系.课堂小结

课后习题