初中数学三角形的证明

初中数学三角形的证明（精选16篇）

1.初中数学三角形的证明 篇一

三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）

三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。

首先我们证明这个问题。

已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。求证：PD、NE、MF交于一点O。

思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。

证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。

∵MF⊥AB于F，AF=FB；

∴OA=OB；

∵NE⊥AC于E，AE=EC；

∴OA=OC；

∴OB=OC；

∵OD⊥BC于D；

∴ POD是BC边上的中垂线。

∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。

结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。

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相关练习题：

一、判断题

1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点

2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点

3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等

4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称

二、填空题

5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度

.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.三、作图题

11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC

（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：

当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；

反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想

12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.答案：

一、1.√2.√3.√4.×

二、1.==2.===505080100

3.=AC4.==72° 5.BEDCEDBADCAD等腰6.60°

三、1.略（2）内部斜边的中点外部

四、类比联想：略

2.初中数学三角形的证明 篇二

应用一:三角板与角

请看下列题例:

1. (北师大版七上第四章《平面图形及其位置关系》) 把两个三角尺按如图所示那样拼在一起, 试确定图中∠B、∠E、∠BAD、∠DCE的度数及其大小关系。

2. (北师大版七上第四章《平面图形及其位置关系》) 借助一副三角尺的拼摆, 你能画出75°的角吗?15°呢?你还能画出哪些角?这些角有什么共同特征?

3. (2005衢州) 用一副三角板可以直接得到30°, 45°, 60°, 90°四种角。利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角, 如75°, 120°等。请你拼一拼, 使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角, 这些角的度数分别是______________。

解析:通过用三角板拼图, 可以发现:用一副三角板还可以拼出15°, 105°, 1 35°, 1 50°, 1 65°的角。再细心观察不难发现规律:只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角板拼出。

4. (2009聊城) 一副三角板如图叠放在一起, 则图中α的度数______。

解析:由三角板的两个角45°和60°, 以及三角形的内角和定理可得, α的度数是105°。

5. (2011遵义) 把一块直尺与一块三角板如图放置, 若∠1=45°, 则∠2的度数为 () 。

A.115° B.120°

C.145° D.135°

解析:由三角形的内角和等于1 80°, 即可求得∠3的度数, 又补角定义, 求得∠4的度数, 然后由两直线平行, 同位角相等, 即可求得∠2的度数为135°。

教学价值分析:

以上题例是对三角板运用的初步拓展。这些题通过三角板各种不同的拼摆、组合, 能得到多种角度, 从而促进了学生对“角”这一重要基础知识的掌握, 进而获得在几何图形中对“角与角的关系”进行“猜想、推导 (验证) ”的能力, 这就在很大程度上为今后的几何学习奠实了基础。

笔者以为教学中我们应该充分认识上述题例的教学价值, 在课堂上放手让学生尝试进行三角板的各种组合, 保证学生充分获得动手的乐趣, 并进一步在思考中得出规律 (如题例3的解析所言:“只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角板拼出”) , 这正是“课标”精神的体现。

应用二:三角板拼图与勾股定理的验证

勾股定理是几何学中的明珠, 它充满魅力, 千百年来, 人们对它的证明趋之若骛, 其中有著名的数学家, 有业余数学爱好者, 有普通的老百姓, 有政要权贵, 甚至有国家总统。三角板拼图与验证勾股定理有何关系呢?看下面的题例:

6 (.北师大八上第一章《勾股定理》) 如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法, 你能利用它验证勾股定理吗?说一说这个方法和本节的探索方法的联系。

解析:面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形 (如直角三角形, 正方形, 梯形) 的面积之和等于另一些特殊图形的面积, 从而达到验证的目的。

此图可以这样理解, 有三个直角三角形其面积分别为和。还有一个直角梯形, 其面积为。

由图形可知,

整理得, a2+b2=c2

由此得到勾股定理。

7. (北师大八上第一章《勾股定理》习题1、2联系拓广) 在一张纸上复制四个全等的直角三角形, 通过拼图的方法验证勾股定理。你有哪些方法?并说说你的方法与课堂上方法之间有什么联系与差别。

解析:四个全等的直角三角形用四块完全相同的直角三角板来代替, 设两条直角边的长分别为a、b, 斜边的长为c。利用这四块直角三角板拼成如下图形可验证明勾股定理。此题条件开放让学生有更多的创造发挥余地。

教学价值分析:

用三角板验证勾股定理这个经典数学问题, 是对三角板运用的有趣拓展。教学中, 笔者发现学生对这个验证情趣盎然, 如能善加诱导, 能让学生在动手验证的过程中发现数学的无穷魅力, 甚至产生探索数学奥秘的欲望, 对数学教学意义深远。

应用三:三角板的运动

通过三角板的运用拓展来设计综合性的试题, 是近年中考的一个热点。

8. (2010通化) 如图, 把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上, 按顺时针方向在l上转动两次, 使它转到△A″B″C″的位置。设BC=1, , 则顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的面积是_____ (计算结果不取近似值) 。

解析:本题考查扇形面积的计算。解决本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状。

在△ABC中, BC=1, , 根据勾股定理得到AB的长为2。顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积与△ABC的面积之和。根据扇形的面积公式可以进行计算。

9. (2011龙岩) 一副直角三角板叠放如图所示, 现将含45°角的三角板ADE固定不动, 把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转α (α=∠BAD且0°<α<180°) , 使两块三角板至少有一组边平行。

(1) 如图①, α=__°时, BC∥DE;

(2) 请你分别在图②、图③的指定框内, 各画一种符合要求的图形, 标出α, 并完成各项填空:

图②中α=____°时, ____∥____;图③中α=____°时, ____∥____。

解析:本题考查了图形的旋转变化, 学生主要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转, 并判断旋转角为多少度, 难度不大, 但易错。

(1) 利用两直线平行同位角相等, 并求得α=∠CAD-∠CAB=45°-30°=15°;

(2) 利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角。

图②中, α=60°时, BC∥DA,

图③中, α=105°时, BC∥EA。

10. (2011包头) 在R t△ABC中, AB=BC=5, ∠ABC=90。一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处, 将三角板绕点O旋转, 三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F, 图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况。

(1) 三角板绕点O旋转, △COF能否成为等腰直角三角形?若能, 指出所有情况 (即给出△COF是等腰直角三角形时BF的长) ;若不能, 请说明理由。

(2) 三角板绕点O旋转, 线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或图②加以证明。

(3) 若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处 (如图③) , 当AP∶AC=1∶4时, PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论。

解析:本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质, 解题的关键在于作好辅助线, 构建相似三角形和全等的三角形。

(1) 由题意可知, △OFC能成为等腰直角三角形。①当F为BC的中点时, 由AB=BC=5, 可以推出CF和OF的长度, 即可推出BF的长度;②当点B与点F重合时, 根据直角三角形的相关性质, 即可推出OF的长度, 即可推出BF的长度;

(2) 如图①, 连接OB, 由已知条件推出△OEB≌△OFC, 即可推出OE=OF;

(3) 如图③, 过点P做PM⊥AB, PN⊥BC, 可得△APM和△PNC为等腰三角形, 结合图形推出△PNF∽△PME, △APM∽△PNC, 继而推出PM:PN=PE:PF, PM:PN=AP:PC, 根据已知条件即可推出PA:PC=PE:PF=1:3。

教学价值分析:

上述题例近年在不少地区的中考中出现的频率较高, 是对三角板运用的高级拓展。这类拓展运用以三角板为道具, 以学生常见、熟悉的几何图形为载体, 并辅之以运动变换等手段, 为学生提供动手实践操作的空间, 综合地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及隐含在运动变化中的分类讨论思想。

教学中, 我们应注意对这类拓展由浅入深地进行归类训练、分析, 以提高学生的数学综合运用能力以及应考能力。

“课标”指出:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。学生学习要从自身已有的生活经验出发, 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型, 并进行解释与应用的过程, 倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究。

以学生最熟悉的三角板为道具, 以学生常见、熟悉的几何图形为载体, 并辅之以运动变换等手段对三角板的运用进行拓展, 既切合初中学生的认知发展水平和已有的知识经验基础, 又能为学生提供动手实践操作的空间, 发展学生的合情推理能力, 提高数学的思维水平, 甚至还能激发学生探求数学魅力与奥秘的欲望, 学会研究问题的策略和方法。

总之, 三角板的运用拓展具有多方面的教学价值。

参考文献

[1]义务教育课程标准实验教科书.数学.北师大版

3.初中数学三角形的证明 篇三

关键词：中学数学；全等三角形；解题策略

全等三角形这类题目在考试中多以大题形式出现，要求证明两三角形全等或根据已知的三角形求另一三角形的某个边长，这样的大题若失分则成绩难以提高，因此，在初中教学中，数学教师应当将此问题重视起来。

一、全等三角形在实践解题中出现的问题

1.基础概念掌握不牢固

所谓全等三角形是指经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。有些初中生在学习全等三角形时，认为概念类的知识根本用不着记忆，只要在实践中多加练习自然就能明白，因此，忽略了概念的重要性。在证明两个三角形全等的过程中根本不清楚需要用到哪些条件，如此，怎能学好全等三角形知识。

2.思路不清，逻辑混乱

证明两个三角形全等的过程，是逻辑推理、分析、整合的过程，如果在大脑中不能形成一个严密的逻辑推理程序是无法解决三角形全等问题的。这一点具体体现在，有些学生不清楚要证明A问题需要先证明B还是先证明C，或者是将B和C证明出来后，又如何与A产生联系，这种思路不清、逻辑混乱的现象成了学习全等三角形知识的绊脚石。

3.思维固定，无法举一反三

在教学实践中，有很多学生出现过类似的现象，教师教给一种方法后，在学生的脑海中形成了固定的思维模式，当题目换了另外一个说法后，学生就无法理解其中的意思了，当然在解题时也就会显得很慌乱。

二、关于全等三角形的解题策略

在解决数学三角形全等的相关问题时，教师首先要教导学生将基础性的概念牢牢掌握，因为只有在充分理解概念的基础上才能实现证明、计算的过程，否则，无异于空谈。其次，是培养学生严密的逻辑推理能力，理清思路，不管要证明的图形样式有多么复杂，唯记住一点万变不离其宗，一定要找到自己所要求的三角形。最后是教导学生要做到活学活用，培养学生一题多解的能力，通过多种渠道达到求解的目的。以下笔者将举出几个经典解题方法，简要分析。

1.如图1，已知△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证：DC⊥AC。

解题思路：如图1，在AB线段上取一中点E，因为AD=BD，AE=BE，DE=DE，所以，△ADE≌△BDE，所以，∠BED=∠AED=90°，又因为，AB=2AC，所以，AC=AE，∠DAB=∠CAD，AD=AD，所以，△AED≌△ACD，所以，∠ACD=∠AED=90°，所以DC⊥AC。这道题中，是典型的中线法证明求解过程，通过连接中点和顶点的方法构造出两个全等的三角形，并以公共边为突破点实现证明求解的目的。对于学生来说，只要能想到做辅助线ED，基本就可以达到求解的目的了。所以，在实践教学中，教师应当教导学生学会做必要的辅助线来求解。

2.见图2，在△ABC中，线段BD平分∠ABC，点E、F分别是AB、BC边上的一点，∠EDF+∠EBF=180°。求证：DF=DE。

这道题可以有三种方法来解，分别是：截长法、补短法和以“角平分线上的点到角的两边距离相等”这一法则来证明DF=

DE。限于篇幅原因，第二种和第三种本文只给出相应的图示，以下具体讲解第一种方法。

截长法解题思路：如图，在线段AB上取一点G，可得BG=BF，由此可知，△BDF≌△BDG，所以，DG=DF，又因为，∠EDF+∠EBF=180°，所以，在四边形BEDF中∠4+∠3′=180°，∠4′+∠3=180°，∠3′=∠3，所以，∠4=∠4′，所以，△DEG是等腰三角形，所以DG=DE，又因为DF=DG，所以，DF=DE。这道题是通过将原有的线段经过截断，达到与另一个三角形实现全等的解题过程，进而使问题得到解决，另外，此题还涉及了四边形的内角和与等腰三角形的知识点，对于中学生来说又是一次知识的提高。

3.在图3中，△ABC的∠ABC=20°，AB=BC，BI=AC，则求解

∠AIC的度数。

解题思路：如图3，以AC为边向△ABC内部做等边三角形AOC，可知∠BAO=∠BCO=∠ABC=20°，AC=AO=CO=BI，AB=BC，所以，△BIC≌△BOA≌△BOC，所以，∠BOA=∠BOC，所以，∠BOA+∠BOC+∠AOC=360°，所以∠BOA=∠BOC=∠BIC=150°，所以∠AIC=180°-150°=30°。这一种典型的从被求解的三角形内部再次构建特殊三角形以达到证明三角形全等的求解方式，在全等三角形解题实践中也是较为常用的一种，教师要教导学生在答题时灵活运用此方法。

4.已知△ABC的两条边AC=10，BC=4，那么，第三条边上的中线长m的取值范围是（ ）。

解题思路：如图4，只要将题意理解透彻，并快速在脑中能构建出相应的全等三角形，将要求解的问题转化到一个待定的三角形中就可以轻松解决了。在图4中原本是没有△ACE部分的，这是为了实现解题添加的必要性辅助线，教师在讲解此类题目时，必须教导学生在做题前将必要的辅助线段在图上画出来，便于理解题目，审清题意。如图4，延长CE至CC′使EC′=EC，进而很容易得到△CBE≌△C′AE，所以，AC′=CB，在△C′AC中，10-4

5.这一点，主要讲的是在解题中利用平行线来构造出两个全等三角形，进而实现解题的方法。如图5，在△ABC中，∠A=∠C，D是线段AB上的一点，AD=EC，求证：DF=FE

解题思路：如图5，做线段DG∥BC并与AC交于点G，所以∠FDG=∠FEC，∠DGF=∠FCE，∠BCA=∠DGA，又因为∠BCA=∠A，所以，∠A=∠DGA，所以DA=DG，又因为CE=DA，所以DG=CE，所以△DGF≌△ECF，所以DF=FE。在这道题中，通过做平行于BC的平行线DG，继而使相对较散的结论集中起来，使要求解的问题降低了难度，在实践中要好好把握这一解题策略。

总而言之，全等三角形的知识点在初中数学测试和考查中占据着重要的地位，教师应予以重视并开展重点教学，积极运用以上几点实践策略对数学教学质量的提高能起到很好的帮助作用。除此之外，数学教师还要肩负起培养全面社会型人才的重担，为国家实现“科教兴国”伟大目标贡献一份力量。

参考文献：

[1]聂亚晶.浅析初中三角形全等教学策略与技巧[J].新课程（中学），2016（1）.

[2]吴光华.初中数学教学中最近发展区的确定及利用策略：以“三角形全等”知识教学为例[J].数学教学通讯，2014（4）.

[3]吴玉龙.初中数学证明题常见的几种解题错误与纠错办法：以“全等三角形”的教学为例[J].语数外学习（初中版上旬），2014（7）.

4.八年级数学全等三角形证明题 篇四

第十三章全等三角形测试卷

（测试时间：90分钟总分：100分）

班级姓名得分

一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分）

1． 对于△ABC与△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，则下列条件①AB=DE；②AC=DF；

③BC=DF；④AB=EF中，能判定它们全等的有（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

2． 下列说法正确的是()

A．面积相等的两个三角形全等

B．周长相等的两个三角形全等

C．三个角对应相等的两个三角形全等

D．能够完全重合的两个三角形全等

3． 下列数据能确定形状和大小的是（）

A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°

C．AB=4，BC=5，CA=10D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°

4． 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB = DE，添加下列哪一个条件，依然不能证明△

ABC≌△DEF()

A．AC = DFB．BC = EFC．∠B=∠ED．∠C=∠F

5． OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（）

A．射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等

B．射线OP上的点与边OA，OB的距离相等

C．射线OP上的点与OA上各点的距离相等

D．射线OP上的点与OB上各点的距离相等 D 6． 如图，∠1=∠2，∠E=∠A，EC=DA，则△ABD≌△EBC

时，运用的判定定理是（）A．SSS

C B．ASA B C．AAS

（第6题）D．SAS

7． 如图，若线段AB，CD交于点O，且AB、CD互相平分，则下列结论错误的是（）D A．AD=BC

B．∠C=∠D

C．AD∥BC

D．OB=OC

8． 如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB = CD，AE = CF，则图中全等三角形共有()

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对 B（第7题）（第8题）D中考网

9． 如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：①△

ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的()

A．只有①

B．只有②

C．只有③

D．有①和②和③

B 10．如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，（第9题）则△ABD的周长为（）

A．

21B．18C．1

3C E D．9

（第10题）

二、填空题（本大题共6小题；每小题2分，共12分）

11．如图，除公共边AB外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件，使△ABC与△ABD全等：

（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连结BE，则有

△ACD≌△。

13．如图，△ABC≌△ADE，此时∠．

A CBC B ED A（第11题）

（第13题）（第12题）

14．如图，AB⊥AC，垂足为A，CD⊥AC，垂足为C，DE⊥BC，且AB=CE，若BC=5cm，则DE的长为cm． 15．如图，AD=BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC=6cm，DC=2cm，则AE=cm．B

C C A C E（第15题）（第14题）（第16题）

16．如图，在△ABD和△ACE中，有下列论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④

BD=CE．请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：。

三、解答题（本大题5小题；共68分）17．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB．∠MON＝50°，∠OPC＝30°．

求∠PCA的度数．

A

B

18．已知：如图，AB与CD相交于点O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分

线，请你先作△ODB的角平分线DF（保留痕迹）再证明CE=DF．

19．如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证BM＝CN．

MB

D

N

20．已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连结EG．（1）求证BG=CF；

（2）试猜想BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．

21．如图，图（1）中等腰△ABC与等腰△DEC共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE，AD，若BC＝AC，EC＝DC．求证BE＝AD；若将等腰△EDC绕点C旋转至图（2）（3）（4）情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么?

A

DB

A

A

E

E

B

（1）

D

DC

B

D

（2）（3）

（4）

八年级（上）《全等三角形》试卷讲评课教案

九华初级中学李海燕

教学目标：

1.通过讲评，进一步巩固全等三角形的相关知识点。

2.通过对典型错误的剖析、矫正、帮助学生掌握正确的思考方法和解题策略。教学重点：

第16，19，20题的错因剖析与矫正。教学过程：

一、考试情况分析：

班级均分：82.1 分最高分：100 分 100分的同学，全班公示，鼓掌祝贺。分发试卷。

二、学生小组总结试卷填空和选择两块解题中错误原因和解题感受，看看哪些小组总结得比较好。

学生用投影展示自己的所思所想。

三、重点评讲解答题的19、20题

1、学生小组交流

2、学生据黑板图形讲解

3、教师点评

四、学生自我完善考卷

五、总结课堂，教师质疑

六、学生课堂训练

教案说明：

本张试卷学生考试情况较好，典型错误不多，且书写态度端正，思维过程表达清晰，可以看出学生对全等三角形的性质、判定掌握到位，如17、19有的学生能灵活运用角平分线性质及垂直平分线性质进行解答，方法比较简便。针对考试情况，我在进行教学设计时让学生发现自己在解题中的失误或错误，重点评讲了试题中的3、19、20等题。本课主要采用由学生说题的方法进行评讲，心理学研究表明，人在学习活动过程中，听懂不一定做的出，语

言表述则是思维活动的最高境界，语言更能训练思维的逻辑性和严密性。学生对解题过程或者思维过程口头能表达清楚才是真的理解这道题。总之，“学生说题”能转变学生的学习方式，建设开放而有活力的课堂，符合有效课堂的特征，是高参与的课堂、高认知的课堂、高情意的课堂。课堂练习是针对学生在考卷中表现出的薄弱之处设计的，在学生对考卷进行评讲后进行练习，能有效帮助学生进一步掌握解题方法。

课堂针对性练习

班级姓名组别

1、如图，在△AEB和△AFC中，有下列论断：①∠EAC=∠FAB；②AB=AC；③BE=CF；④AE=AF.请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题.2、（1）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线AF交BC于F，BD⊥AF于

D，CE⊥AF于E.求证：DE=BD-EC

5.初中数学三角形的证明 篇五

一．选择题（共8小题，共40分）

1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）

A． 7cm B． 3cm C． 7cm或3cm D． 8cm

2．在等腰三角形ABC中∠A=40°，则∠B=（）

A． 70°B． 40° C． 40°或70°D． 40°或100°或70°

3．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）

A． 68° B． 32° C． 22° D． 16°

4.到三角形三边距离相等的点是（）

A.三条垂直平分线的交点B.三条高线的交点

C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点

5．下列说法中，正确的个数是（）

①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；

②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；

③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；

④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

6．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）

A． 已知斜边和一锐角 B． 已知一直角边和一锐角

C． 已知斜边和一直角边 D． 已知两个锐角

7．在下列命题中，逆命题错误的是（）

A． 相等的角是对顶角

B． 到线段两端距离线段的点在这条线段的垂直平分线上

C． 全等三角形对应角相等

D． 角平分线上的点到这个角两边的距离相等

8．（1997•贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，△BEC的周长是14cm，BC=5cm，则AB的长是（）

A． 14cmB． 9cmC． 19cmD． 12cm

二．填空题（共4小题，4×4’=16’）

9．用反证法证明三角形中至少有一个角不小于60°，第一步应假设____________________．

10．命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是_______________ ____________________________________________________________________________．

11．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=__________度．

12．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=60°，若AD=1，则△ABC的面积为__________．

三．解答题（共4小题，共44分）

13．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． 求证：（1）△ABD≌△ACD；

（2）BE=CE．

6.初中数学三角形的证明 篇六

本段译文

翠鸟先是把巢筑得高高的用来避免祸患。等到它生了小鸟，特别喜爱它，惟恐它从树上掉下来，就把巢做得稍稍低了一些。等小鸟长出了羽毛，翠鸟更加喜爱它了，又把巢做得更低了一些，于是人们就把它们捉住了。[阅读提示：护子移巢，情真意笃，的确为美轮美奂的动物天性。问题是，就下移动鸟巢，虽然可令幼崽免遭下坠毁身之灾，却无法使爱子逃脱人类伸手取之之祸]。

本段注释

1、出自冯梦龙《古今谭概》。翠鸟：即翡翠鸟，雄的叫翡，雌的叫翠，经常栖息在水边的树洞内，捕食昆虫、小鱼。

2、患：灾祸

3、避患：避免灾祸

4、及：到了„的时候

5、及生子：等到生了小鸟

6、坠：落，掉下

7、稍下：稍微

低一点

8、复：又，再

9、益：更加

10、又更下巢：又把窝做到更低的地方

11、遂：于是，就

12、之：代词，代小鸟

13、下巢：把窝做低

14、恐：担心

15、人遂得而取之矣：人们就得到（翠鸟）并取得它16.以：用17.先：起先18.矣：语气词，了

本段问题回答

下列理解不正确的一项是（C）A.“翠鸟先高作巢”是为了躲避祸患

B.“稍下作巢”是怕幼子掉下来摔伤C.等幼子长出来羽毛“又更下巢”是为了幼子学习飞翔D.这则故事的寓意说明如果父母对子女过分溺爱、娇惯，到头来是害了他们

本段寓意

7.初中数学几何推理与图形证明 篇七

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

8.初中数学三角形的证明 篇八

关键词：数学证明题；教学思路；解题步骤

一、初中数学证明题教学的重要性

数学证明是以一些基本概念和公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。数学证明的教育价值应该体现在三方面：一是知识方面，数学证明能加深学生对基础概念和定理的理解；二是思维方面，数学证明能训练学生逻辑思维能力；三是文化方面，数学证明能够让学生体会数学的理性精神，学会理性思考问题。最新的北师大版初中数学教材中，《证明》占了三章，这样的安排是想让学生通过对主要图形的性质及相互关系进行大量的探索，同时，使学生在推理的过程，进行逻辑推理的训练，从而具备一定的推理能力，为今后的推理证明打下坚实基础。

二、初中数学证明题的教学步骤

初中数学证明不仅是学习重点，更是学习难点，很多同学对证明题的解答无从着手，还有一部分学生虽然了解解题思路，但证明过程的叙述表达混乱，因此，教学中如何教导学生掌握正确的解题思路和解题技巧就显得非常重要。下面谈谈笔者的教学步骤：

（1）读题

笔者认为，应将读题分为三个层次：第一层是粗读，快速浏览题目，了解题目要求；第二层是细读，在了解题目要求后，进行有针对性地读题，目的是弄清题设和结论，明白已知什么、需要证明什么。[1]如果题中给出的条件不是一目了然即有隐含条件的——这类题是证明题中的难点，教师一定要指导学生如何去挖掘它们；第三层是记忆复述。在粗读和细读的基础上，要做到能够用自己的话语把原题的意思复述出来。能够做到第三层，才算读题完成。对于读题这环，必须严格按照前面三环执行，因为在实际证题的时候，学生之所以找不到证明的思路或方法，就是学生漏掉题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错，如果能够将已知条件记在心里并能复述出来就可以避免这种情况的发生。

（2）分析

教师要通过启发性的语言或提问指导学生对题目进行分析，学生在教师指导下，经过一系列的判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等，发现解决问题的思路和方法，最后通过总结，掌握证明的思路和方法

（3）演示

教师在解题过程中，一定要给学生作证题的书写演示，并且必须严格要求自己，使学生今后能够模仿这种合理、规范、科学地书写证明过程。

（4）变式练习

在获得某种基本的证明方法后，教师可以通过改变问题中的条件、变换求证的结论、改变图形的形状等多种途径，让学生去自行求证，通过这种方式，指导学生从不同的角度、不同的层次去思考问题。[2]通过变式训练，能够展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到变式教学的妙处，它非常符合学生的认知规律，学生可以把学到的方法灵活应用于各种题目中去，这既培养了学生灵活多变的思维方法，又提高了学生数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

三、初中数学证明题的解题步骤

教师在具体教学实践中，要把上述的教学步骤作为自己的教学思路，同时，老师必须让学生通过具体的解题过程来指导学生掌握正确的解题步骤和技巧。下面通过一个例题来说明如何教导学生解答数学证明题。

[例题]证明：等腰三角形两底角的平分线相等

1. 弄清题意——复杂语言简单化

此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据上面所讲述的“三读法”，找到命题的条件与结论至关重要，特别是隐形条件，这是解题成败的关键。[3]然后用自己的语言表述成：如果在等腰三角形中分别作两底角的平分线，那么这两条平分线长度相等。这样题目要求我们做什么就非常清晰了。

2. 根据题意，画出图形——已知条件图形化。

所谓已知条件图形化，就是利用各种不同的符号将已知条件在图形中直观地表示出来。图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。

3. 用数学的语言与符号写出已知和求证——文字语言符号化。

已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。

已知：在△ABC中，AB=AC， BD、CE分别是△ABC的角平分线。

求证：BD=CE

4. 综合分析已知、求证与图形，找到思路——分析过程综合化。

对于证明题，通常有两种思维方式：

（1）正向思维。对于一般的题目，通过正向思考可以轻易解答，这里就不赘述了。

（2）逆向思维，即从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中数学证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。[4]同学们在读完一道题的题干后，感觉无从下手的话，可以先从结论出发，慢慢推导出已知条件，从这个过程中就得出了解题的思路，最后把过程反着写出来就行了。

5. 用数学的语言与符号写出证明的过程——文字语言符号化

证明过程的书写，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”，在书写是都要符合公理、定理、推论或以已知条件相吻合，不能无中生有，必须要有根有据。

证明：

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）

∵BD、CE分别是△ABC的角平分线（已知）

∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB（角平分线的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

在△BEC与△CDB中，

∵∠ACB=∠ABC， BC=CB， ∠1=∠2

∴△BEC≌△CDB（ASA）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

6. 检查证明的过程，看看是否合理、正确

任何正确的步骤，都有相应的合理性和与之相应证的公理、定理、推论，证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键。最后，同学们在平时练习中要敢于尝试，多分析，多总结。

显然，初中数学证明的教学效果的提升，需要教师和同学的一致努力，教师们需要寻找更好的教学方式，同学们需要把教师的讲解好好吸收，最终，才能达到最理想的效果。

参考文献：

[1] 潘小明.现代教育技术条件下优化初中数学证明教学[J]. 中小学信息技术教育. 2006（Z1）

[2] 王芳霞. 例谈藏族学生在数学证明表述上常犯的错误[J]. 西藏教育. 2010（11）

[3] 胡炳生. 略谈数学证明的文化意义[J]. 中学数学杂志. 2003（07）

9.初中数学三角形的证明 篇九

目的要求：

1.认识三角形的有关概念.2.认识并能够画出三角形的中线、角平分线、高.3.理解三角形的三边的关系.4.认识三角形的内外角和，并进行有关应用.重点：

1.三角形的有关概念.2.三角形的内外角和.准备：

作图工具、小黑板、幻灯 过程：

一、复习.（幻灯）1.什么是轴对称图形.2.李村与王村同在一小河的一侧，如图，村上计划在小河边修建一个水站，同时供水给李村与王村.你能帮村上设计一条线路，使修建费用最少？

3.有一块三角形的废木料，如图，请你在这块木料中截取一个最大的圆.二、三角形的有关概念.1.请同学回顾小学所学的三角形是怎样下定义的？用你自己的话说说什么是三角形.（让学生自由发挥）

2.小结三角形的定义：

三条线段首尾顺次连接围成的图形叫三角形.用线段连结不在同一直线上的三点所成的图形三角形.„

3.如图，三角形ABC简写记作△ABC.点A、B、C叫作三角形的顶点，由两条线段 组成的角∠ABC、∠BCA、∠BAC叫作 三角形的内角，简称三角形的角.一边把△ABC的一边AB延长，得到∠ACD，像这样三角形

与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角.一个三角形有几个外角？（说明：如果没有特别说明，书本与题目中三角形的内角一般都说成角，外角仍说成外角.）

4、三角形中的三线.指名学生上台作过三角形顶点A的高.高：顶点和垂足间的线段叫作三角形的高.角平分线：三角形中的一个角的平分线与这个角的对边相交的线段叫作三角形的角平分线.（教师引导学生作画.）

如图：即，在△ABC 中，如果∠1＝∠2，则AD为三角形的角平分线.要求学生过顶点B、C分别作角平分线.中线：连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫作三角形的中线.要求学生根据中线的定义自己试作三角形的中线.三、三角形的三边的关系.1.动手操作.给你三条长为：2cm、3cm、6cm的线段，请动用所有的作图工具，并与同学进行探讨，画出一个三角形，且三角形的三边的长正好为2cm、3cm、6cm（要求画实际大小）让学生发现它的不可能性.给你2cm、3cm、5cm的线段行不行？ 给你2cm、3cm、4cm的线段行不行？ 2.小结得到：

三角形任意两边的和大于第三边.三角形任意两边的的差小于第三边.3.用图形说明.如图：AB＋BC＞AC AB＋AC＞BC AC＋BC＞AB AC－BC＜AB AC－AB＜BC AB－BC＜AC

4.快速判断下列给出的三边能否组成三角形？为什么？

⑴ 6cm、8cm、11cm（幻灯）

⑵ 5.5m、3.2m、2m ⑶、3cm、4cm、5cm ⑷、54cm、68cm、13dm

5、拓展.（小黑板）

⑴、现如果有4cm、8cm两根木棍，想再找一根木棍与已有的木棍拼成三角形.找的这根木棍多长符合要求？

⑵、现有4cm、5cm两根木棍，想再找一根木棍与已有的木棍拼成等腰三角形.找的这根木棍多长符合要求？ 四、三角形的内外角和.1.动手操作.作任意△ABC，用量角器测量这个三角形的每一个内角，再计算三个内角的和是多少？与同学交流.（三个内角之和为180°）2.你能设法证明你的结论吗？

（让学生参考书本P131有关知识进行探讨，鼓励学生用不同的方式进行证明.）如：

过外角顶点D作平行线

向内作三角形两边的平分线 交第三边于D

把三角形三个内角向一边上 的中点D折叠

3.利用三角形的内角和，求多边形的内角和.（小黑板）

四边形

五边形

六边形

由此得到：多边形内角和＝180°（n－2）4.如图：从上面我们可以知：

∠ACD＝∠A＋∠B

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.置疑：哪么一个三角形的三个外角的和是多少？你能证明吗？（提示：利用三角形的一个外角等于

和它不相邻的两个内角的和.）要求学生自己进行证明.教师小结：三角形外角和为360°.课后思考：一个n边形的外角和是多少？ 五、三角形的种类划分.1.小学我们学过哪些三角形？它们都是怎样下定义的？ 2.在初中我们把锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形.3.在初中直角三角形我们用“Rt△”来简写表示.直角所对边叫作斜边.夹直角的两边叫作直角边.如图：

10.初中数学 三角形知识点填空 篇十

2、推论 三角形两边的差

3、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于___________

4、推论1 直角三角形的两个锐角___________

5、推论2 三角形的一个外角_________和它不相邻的两个内角的和

6、推论3 三角形的一个外角_________任何一个和它不相邻的内角

7、全等三角形的对应边、对应角__________

8、边角边公理(SAS)有___________和它们的___________对应相等的两个三角形全等

9、角边角公理(ASA)有___________和它们的___________对应相等的两个三角形全等

10、推论(AAS)有_________和其中___________对应相等的两个三角形全等

11、边边边公理(SSS)有___________对应相等的两个三角形全等

12、斜边、直角边公理(HL)有__________和一条__________对应相等的两个直角三角形全等

13、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的_________相等

14、定理2 到一个角的两边的__________相同的点，在这个角的平分线上

15、角的平分线是到角的两边_________相等的所有点的集合16、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角___________(即等边对等角）

17、推论1 等腰三角形顶角的平分线_________底边并且_________底边

18、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高___________

19、推论3 等边三角形的各角都__________，并且每一个角都等于___________

20、等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角_______，那么这两个角所对的边也_________（等角对等边）

21、推论1 三个角都_________的三角形是等边三角形

22、推论 2 有一个角等于_________的等腰三角形是等边三角形

23、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的________

24、直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________

25、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离_________

26、逆定理 和一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平分线上

27、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离_________的所有点的集合28、定理1 关于某条直线_________的两个图形是全等形

29、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的___________

30、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在_________上

31、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线_______

32、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的_______、等于斜边c的________，即________

11.初中数学三角形的证明 篇十一

曾老师设计的教案中，第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论：“三角形的内角和是180°”，第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论（教学过程如下）。

“（二）运用演绎方法证明结论

师：三角形的内角和确实是180°，如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢？

生：对于直角三角形，可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（图略）。长方形四个角是直角，其内角和为90°×4=360°，这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形，我还没想出来。

生：对于非直角三角形，可以在内部作一条高，将其分成两个直角三角形（图略）。这样两个直角三角形的内角和为360°，减去高与底边所成的两个直角的度数，就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师：嗯，非常好！这样，我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上，这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”，其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、 “长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论，这个结论是怎么得到的？

一般地，“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形，再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形，所以内角和是360°（当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导）。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习：“根据三角形内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？”由此可知，小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是180°”为依据。这样一来，证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形，教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据，而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”及平行线的某些性质（例如同旁内角互补）推导出长方形四个角都是直角，从而得到了“长方形内角和是360°”的结论，但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容，并不是四年级小学生所掌握的知识，论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点，因此提出了另一种说法，认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明，相当于平面几何中的公理”。为了证明需要，就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明，并且把它当作演绎推理的依据，这样处理不是很妥当。其实，即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”，仅用小学数学中的一些知识，要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、 两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而，正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时，怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢？

为了方便，笔者借助图形来说明问题。

假设△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是两个完全一样的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把这两个三角形如图所示拼起来，如果能拼成一个长方形，那么必须满足条件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时，已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来，证明过程就形成了这样一个怪圈：先默认直角三角形的内角和是180°，否则它的两个锐角就不能拼成一个直角）→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然，用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼，而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角，这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见，例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的，在公开发表的这些文章影响下，估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现，对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的，在初中数学教材中，应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论（证明略）。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》（数学版）2011年第3期中指出：“要证明三角形内角和的定理，平行公理无论如何是绕不过去的。”显然，学生在未掌握平行线性质的情况下，要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的，而事实上也是没有必要的。《数学课程标准（实验稿）》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”，与四年级下册数学教材（人教版）配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，例如对于“三角形内角和”这一教学内容，不仅要学生“知道三角形内角和是180°”，而且还要求他们用演绎推理的方法来证明，这样做有时真的会“弄巧成拙”。

文中不妥之处敬请各位老师批评指正。

（浙江省杭州师范大学初等教育学院 310036）

12.初中数学三角形的证明 篇十二

教学目标:1.掌握“三角形的内角和定理”的证明及其简单的应用;2.掌握三角形的内角和定理, 并初步学会利用辅助线解决几何问题;3.感悟一题多解的数学思维, 并给予学生充分的肯定和表扬.

教学重点:理解三角形的内角和定理的证明.

教学难点:三角形的内角和定理的证明.

教学流程:

1. 课题导入

师生沟通, 猜谜语引入课题.

师:形状似座山, 稳定性能坚, 三竿首尾连, 学问不简单 (打一几何图形) .

生 (思考后回答) :三角形.

师:三角形的内角和是多少度?

生:180°.

师:有什么办法可以验证呢?这个结论对任意的三角形都成立吗?

师 (操作课件, 板书) :三角形内角和定理的证明.

2. 证明定理

活动一:剪剪拼拼

生:如图1, 用剪刀任意剪下一个三角形, 再把三角形中的任意两个角剪下拼在第三角处, 观察后得出结论;换一个形状不同的三角形再试一试, 观察后再和同学交流.

师:参与学生活动, 并适时进行操作指导.

活动二:小组讨论

师: (操作课件, 提出问题) :1.从刚才拼角的过程同学们能想出证明的办法吗?2.根据前面给出的公理和定理, 你能用自己的语言简要地说一说这一结论的证明思路吗?3.你能用比较规范的几何语言写出这一证明过程吗?

师:组织学生小组交流讨论, 并交代要求 (互相交流然后推举一个代表书写, 一个代表解释) , 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论交流, 并推举一个代表在纸上书写, 并作解释.

师 (操作课件) :如图2, 为了证明的需要, 在原来图形上添画的线叫做辅助线;在平面几何里, 辅助线通常画成虚线.在写证明过程时重要的推理步骤要注明所依据的定理或公理.

师 (板书) :三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

生:认真听讲, 记笔记.

活动三:总结归纳

师 (操作课件) :议一议:如图3, 在证明三角形的内角和定理时, 小明的想法是把三个内角“拼”到A点, 他过A点作直线EF∥BC, 他的想法是否可行?你还有其他的证明方法吗?

师:组织讨论交流, 参与思考, 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论, 并总结归纳书写结论.

活动四:课堂练习

(1) 在△ABC中, ∠A=80°, ∠B=∠C, 求∠C的度数?

(2) 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5, 求这三个内角的度数?

3. 课堂小结

组织学生进行课堂小结:本节学习了三角形内角和定理的证明, 其证明的本质就是在三角形某部位组成一个平角, 进而证明三角形的三个内角恰好是这个平角的组成部分即可.证明的方法是多种多样的, 在证明的过程中需要添加辅助线.

在证明开始前应写明辅助线的作法。在平面几何中辅助线应画成虚线, 重要的推理步骤要注明所依据的公理和定理.

13.初中数学全等三角形说课课件 篇十三

1、使学生能构造三角形的全等解决实际生活中测量距离问题。

2、培养学生有条理地思考及书写。

3、激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值。

4、提高学生解决实际问题的应用能力，激发他们勇于探索、热爱科学的精神。

教学重点：1.读题能力； 2.辨别运用全等三角形测量距离。

教学难点：如何根据“已知”构造全等三角形解决实际问题。

教学过程：

活动一：课前热身

找出下列图案中有哪些全等形？有几种全等三角形？分组活动，找出相应图形并说明道理。

注：1、老师提问全等形的类别，学生讨论回答。

2、进一步提问有哪几种全等三角形，每种各有几个。

活动二、情境创设

某地质勘测队要测量河两岸相对两点A、B的`距离（如图所示），可先在AB的垂线AF上取两点C、D，使AC=CD，再过D作AD的垂线DE，使B、C、E三点在一条直线上，这时DE的长就是AB的长。请你说明其中的道理吗？

解析：由题意知，AB⊥AD，DE⊥AD，所以∠BAC=

∠EDC=90?.

在△BAC和△EDC中，

所以△BAC≌△EDC（ASA）。

所以AB=DE.

注：1、一学生读题，其他学生思考。

2、分组讨论，学生把答案书写在学案上。

3、教师点评订正答案。

活动三、变式探索

如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地。在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案。要求：

（1）列出你测量所使用的测量工具；

（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；

（3）用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离。

解析：方法一：用活动二的方法。

方法二：（1）测角器、尺子；

（2）测量示意图见图；

测量步骤：

①在公路上取一点A,用测角器测得∠A=90?；

②在公路上取一点C，用尺子测出AC的长，记为m米；

③用测角器测得∠ACB= ；

④在公路的下方过点C作射线CM，使∠ACM=∠ACB = ,交BA的延长线于点D；

⑤用尺子测出AD的长，记为n米。

（3）由测量步骤知，

在△BAC和△DAC中，

所以△BAC≌△DAC（ASA）。

所以AB=AC.

因此B点到公路的距离为n米。

注：1、学生齐读题目。

2、学生讨论并把讨论的结果写下，教师深入小组指导。

3、教师引导一题多解，老师点评方法一、方法二，提高学生发散思维能力。

活动四、课堂演练

1、在墙上有一个很大的圆形设计图，O是圆心，A，B在圆周上，现要想测量AB的距离，但墙很高，又没有梯子，不能直接测量。如果给你一根超过直径的竹竿和一把卷尺，你能测量AB间的距离吗？ 画出设计图并写出步骤，解释其中的道理。

注：1、教师引导学生读题，分析题目的条件，并如何转化构造全等三角形，教师板书示意图。

2、学生完成方案设计。

活动五、课堂小结

1、本节课你有什么收获或感受？

注：个别学生回答，鼓励赞美学生说出真实的体会。

2、构造全等三角形测量距离的一般步骤：

（1）审题：理解题意，根据测量条件与测量目标，选择最佳的测量方案。

（2）建模：确定关键的点、线和角，画出示意图。 建立三角形全等的数学模型。 利用三角形全等可以把实际问题里的未知线段转化为已知线段。

（3）测量：测量已知线段的长（求数学模型的解） 。

（4）结论：根据全等三角形的性质从而得出实际问题中两点间的距离 （求实际问题的解） 。

注：教师引导学生总结。

活动六、作业布置

现有测量工具（皮尺、测角仪或量角器、标杆）可供选用，如何构造三角形全等，来测量学校操场上旗杆的高度。就实践情况，写一份测量报告。

14.初中数学证明 篇十四

初中数学证明

2

证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。

则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。

由于NF∥BC，所以得:

S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)

同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)

由于有

S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)

所以只需证明:

S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)

延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的`距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以

S(ENHG)=S(ABD)/2.

同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。

故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.

所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论.

3

证明：

分别取AE，CE的中点P和Q，连接FP,PH,HQ,QG，

下面证明三角形FPH 全等于 三角形 HQG

易知 FP = 1/2 AD = 1/2 AE = HQ

HP = 1/2 CE = 1/2 CB = GQ

易知 角DEA = 角BEC = 角ADE = 角CBE

易证 角DAE = 角BCE

角FPH = 角FPE +角EPH = 角DAE + 角BEC

角HQG = 角HQE +角EQG = 角DEA + 角CBE

于是 角FPH = 角HQG

由SAS定理，三角形FPH全等于三角形HQG

于是 FH = HG

4

15.初中数学三角形的证明 篇十五

情形一 简单组合“SAS”条件进行判定

例1 已知：如图1，E是BC的中点，∠1=∠2，AE=DE.

求证：AB=DC.

【分析】就本题图形与已知条件来看，要证得AB=DC，只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看，已知中直接给定了一组角与一组边对应相等，好像少一组边对应相等，实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了，这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的，具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识，给出证明时注意几何语句的书写规范.

情形二 探寻“夹角”相等实现“SAS”判定

例2 已知：如图2，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.

求证：AB=CD.

【分析】由题意，我们只要证得△AOB≌△COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等，是不是能找到它们的夹角呢？显然，题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”，能给我们以帮助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD，从而获得三角形全等的必要条件.

证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题，只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决，解题时注意题目中一些间接信息的转译，一些间接信息是发现有效条件的来源.

情形三 探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定

例3 如图，点C，E，B，F在同一直线上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求证：△ABC≌△DEF.

【分析】由题意，题中直接给出一组对应角、一组对应边相等，还差一组对应边（BC=EF）就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF，我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF，于是问题获得解决.

证明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC与△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的，这种给出一组非对应边的线段相等，从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路（或意识）是非常重要的，同学们要注意积累.

最后链接一道新考题，帮助同学们巩固本文所讲内容.

小试牛刀

（2015·重庆卷）如图4，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求证：BC=FD.

16.初中数学圆证明题 篇十六

1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD

．

2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．

（1）求证：OP∥CB；

（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE•的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5