从数学归纳法到多米诺骨牌

2024-12-03

从数学归纳法到多米诺骨牌（精选14篇）

1.从数学归纳法到多米诺骨牌篇一

读书心得

南新焕《从数学教育到教育数学》读后感

《从数学教育到教育数学》是张景中教授的教育数学丛书之一，这本书浅近地介绍张景中教授自1975年以来在数学教育领域进行的探索，为平面几何的数学作了教材与教法上的改进，这种再创已超越教学法加工的范围，形成了教育数学的研究领域。在这本书里，我见识到古老的面积解题技巧，为三角函数注入新血，此外于微积分中使很多学生感到头疼的“极限 ”语言被自然平易的定义所取代等，丰富的例题表明张景中教授所提的新观点，的确提供简明的逻辑结构且能便利的解题。

一、数学教育与教育数学的分别

两千多年前欧几里德对当时的几何学研究成果进行再造，写成了「几何原本」，一直成为历久不衰、影响深远的几何教程。近两百年前法国数学家柯西将牛顿、莱布尼兹的微积分研究成果进行再造，写成「分析教程」，深厚的影响现今的大学讲坛，当代的布尔巴基学派把现代数学纳入结构的框架，完成四十余卷的巨著“数学原理”，为数学家教育准备了高级教程。从欧几里德、柯西及布尔巴基学派，我们看到：为了数学教育的需要，对数学材料进行研究再加工整理，这是教育数学的任务。简而言之，数学教育仅需撷取学数材料，配上教学加工法即可开展活动；教育数学则须提学数材料及教法上的缺陷进行研究创新与整理。

作者张景中与曹培生教授于1974至1976年间，曾

在新疆巴州21团场子女校教中学数学，两人合作从事面积方法的几何教材教法研究，自成体系，为教育数学做了贡献。两千多年来，中西方累积了不少的数学知识，国内中学数学教育普遍呈现一种现象：要将所有的数学知识逐年灌输给莘莘学子，赶进度是司空见惯的事，数学教育可以不必这样填鸭，数学教育家只要学会撷取适当的数学材料，于数学教学法加工即可改善现状，但教育数学的重大课题则是前辈大师留下珍贵遗产并非完美无瑕，于中学到大学的数学课程中存在着公认难点，指出大师们工作上的缺陷，从数学内部于以再改造，是教育数学家主要的任务。

二、为什么改革？

如同大家一样，我也有些疑惑之处：

1、以平行四边形面积定义三角函数sin（α）的意图为何？

2、生活中何时应用到三角函数？

3、国中生对符号运算能力足够吗？

4、三角函数的性质用在何处？

5、三角函数值的数感何以淡化处理？

6、实施新路数学的成功结果如何断定？

三、勇于尝试

仅管上述疑惑的存在，欣赏完大师的三角函数面积新法，内心总涌现冲动，何不自己也借课余专题研究，实际来试炼一番？江翠国中陈彩凤老师早已将此新式三角函数新义在资优班实施，获得学生热烈回响，估且不论成败如何，陈老师对数学的热忱实令人感到敬佩，更激发我自身的改革初衷。我想这样的三角函数教材对于国中生应有投资的价值，期望尽速完成专题讲义，好好的研究比较一下。

四、结语

读书会着重讨论与分享，诚如赖逢老师所言，分享自己的教法比较有意义，更易使彼此成长，讨论会中看法与分析犀利的黄科铭老师总能从较高层次的结构上看问题，黄郁斐老师亦有针血之见，吾人何其有幸聆听众师智言。

2.从数学归纳法到多米诺骨牌篇二

一、让学生在生活原型中做数学

1. 捕捉“生活现象”。

生活中处处有数学,到处蕴含着数学思想。教师要善于结合教学内容,挖掘数学知识的生活内涵,善于捕捉生活中的数学现象,采撷生活中的数学实例,为课堂教学服务。如教学“圆的认识”,在引入新课时,我是这样教学的:请同学们做一回乘客,体验一下坐车的感觉,可以用你的身姿和动作来表示。第一辆车的轮子是正方形的,第二辆车的轮子是椭圆形的,第三辆车的轮子是圆形的。课件跟随学生的动作表演来演示各辆汽车行进的过程,再让学生说说坐车的感觉,他们说:“第三辆车坐起来最稳当、最舒服。”然后我抓住这个生活现象,提出了一个数学问题:为什么我们的车轮要设计成圆形呢?这样利用生活中存在的数学现象,引出“圆”,使学生感到自然、亲切。

2. 还原“生活画面”。

教师创造性地把教材还原为现实生活,将数学教学与生活相融合,从而找到数学的原型,让学生体验到数学的价值和意义,增强学生的求知欲望,有助于学生建立学习数学的信心。如教学“圆的认识”一课中,当学生感悟出圆的本质属性之后,设计了这样一个教学环节:你能用所学的知识解释“车轮为什么是圆的吗?”并且安排了一个操作活动:分别将用硬纸板做成的正方形、椭圆形和圆形沿着一条直线滚一滚,想办法描出滚动过程中中心点留下的痕迹。经过操作和交流,学生发现圆形车轮的车轴到地面的距离就是圆的半径,同一个圆的半径是相等的,所以圆形车轮的运动是平稳的;而正方形、椭圆边上的点到中心点的距离不相等,因此滚动起来不平稳。

二、让学生在参与探索中做数学

比如,教学“商不变性质”,首先设计悬念,把学生引导到商不变的情境中来。先出示两道商是2的口算题让学生口算,再让学生编几道商是2的口算题。每一个学生都编出几题,这就增强了他们对学习的自信心和继续探究的欲望。接着,请学生讨论:怎样编题,商总是2?有什么诀窍?学生思维一下子活跃起来,参与的积极性很高,纷纷探索其中的奥秘。有的用乘法口诀编题,有的先确定除数或被除数,再编题,更多的学生终于发现这些商是2的算式中被除数与除数是有规律地变化的,根据这一规律编题,很方便。最后总结规律。这个规律其实就是商不变性质。这一探索活动,学生积极主动、快乐参与,从数之间的变化得出商不变性质。

三、让学生在动手操作中做数学

比如,在教学“旋转”一节时,我设计了以下的教学环节———

1. 突破旋转三要素。

先突破旋转方向,出示了钟面,让学生观察时针运动的方向,分清顺时针和逆时针,并让学生用手势演示。再让学生操作简易转杆的打开和关闭,思考:在打开和关闭的过程中,有什么相同和不同的地方?学生说:相同点是围绕一个点旋转,都是旋转90°;不同点是旋转的方向不同,打开时逆时针方向旋转,关闭时顺时针方向旋转。学生用手势演示转杆的打开和关闭。这样就突破了旋转的三要素:中心点、方向、角度。

然后出示钟面,12点是A,3点是D,6点是C,9点是B,让学生围绕旋转的三要素来说,指针顺时针旋转90°,从()旋转到A;指针逆时针旋转90°,从B旋转到();时针逆时针旋转90°,从()到()。

2. 感知旋转。

让学生用直尺顺时针或逆时针旋转90°,用书、三角尺等顺时针或逆时针旋转90°,观察旋转前后的变化,让学生初步感知物体的位置变化,并用手势画出旋转后的物体的样子,培养学生的空间观念,大脑中有旋转前后物体的轮廓。

3. 学生操作后画图。

把直角三角形ABC绕A点旋转90°,可以顺时针,也可以逆时针;用三角形ABC纸片绕A点在格子图上顺时针旋转90°。学生通过动手操作,初步掌握在方格纸上三角形旋转90°的技能,然后不用图,用手指比划出旋转后的图形。有了动手实践和比划的基础,学生再画出旋转后的图形就容易些了。画后让学生交流,学生还发现,可以A点(直角点)为中心点画“十”字,A点不变,旋转的是“十”上的边,让学生说AB旋转到哪里,AC旋转到哪里,这样画图就容易多了。

四、让学生在合作交流中做数学

学习者可以通过相互沟通和交流,相互争辩和讨论,合作完成一定的任务,共同解决问题,从而形成更丰富、更灵活的理解。因此,学生在数学课堂上要学会各抒己见,敢想、敢说、敢问;要学会认真倾听对方的思路和想法;要学会交流与合作。学生在合作交流中,不断碰撞数学的思想火花,不断地做数学,使得课堂充满了精彩。让数学课堂成为学生充分表现和发挥个性才能的舞台。

3.从“做数学”到“说数学” 篇三

目前，我国的教育体制改革在逐步完善，并且也在趋向稳定，但是很多地区仍然在教学方式上没有大的转变，这主要是我们国家的应试教育所决定的。因此，提高教育工作者对“做”到“说”的认识就尤为重要。

一、“做数学”和“说数学”的意义

我们经常听到人们在说“做数学”和“说数学”两种教育方法，但是对其意义并不是很了解。明确什么是“做数学”以及他的特点，并且了解什么是“说数学”，以及其重要意义，只有明确了这两个概念，我们才能更好的去理解这种转变方式的重要性和具有的深远意义。同时也有利于我们摸索转变的方式方法。

（一）什么是“做数学”及其特点

“做数学”是一种传统的教育模式，是古代教育模式的一种沿袭。虽然在当今，我们并不提倡单纯的“做数学”，但是也要知道并且了解其意义，这样才能够有助于教育工作者在自己的工作中，继承和发扬我们国家传统教育的方法，并且争取在传统教育方法的基础上来吸取精华，去除糟粕，慢慢总结出符合当今世界形势和国情的教育方法。

1、“做数学”的意义

现在很多地区的数学教育，仍然在以“做数学”为主，这种教学方法是很多教师仍然在使用，并且也比较热衷的。“做数学”指的就是目前很多数学教育工作者仍然热衷的，继承传统的，通过埋头做题，来锻炼自己思维的一种教育方法。

2、“做数学”的特点

随着时代的发展，这种教育模式正在逐渐体现出来其弊端，其所表现出来的最突出的问题，就是学生在教学过程中缺乏参与和互动。这种教学模式从外表上看来是规范的，但是在具体的操作中缺乏互动，很难提起学生的兴趣，这样学生的创新能力和实践能力就得不到发展。

（二）什么是“说数学”及其特点

在当今，所有的教育机构都在提倡“说数学”，作为数学教育方面的教育工作者，我们更要努力实践，并且逐步将这种教育模式融入到我们的日常工作当中。

1、什么是“说数学”

“说数学”这种教育模式，是随着时代的发展和教育体制的改革，适应国情和满足与世界接轨的需要产生的，在教育过程中，融入和学生的互动，以调动学生积极性和培养学生实践能力为主，以知识的灌输为辅的一种教育模式。

2、“说数学”的特点

这种教学模式，主要的特点就是互动，能够提高学生的积极性，并且能够适应新课程的需要，让教师走进新的角色中，教师在教学的过程中也会得到观念的转变，同时在教育体制改革的过程中，适应新的历史要求。做到了从“做数学”到“说数学”的转变，教学的过程和形式就会和以前有明显的改变，课堂上会充满生命的活力。

二、从具体例子中体会“说数学”相较“做数学”的优势

上面从理论上论述了“做数学”和“说数学”的区别，既然我们看出了“说数学”的重要性，那么更加注意在实践中的两者的差别，“说数学”和“做数学”相比而言，到底有着怎样的优势呢？在理论方面我们很难形象的来指出两者的不同，以及两者谁更具有优势，必须结合教学实践，才能够很好的比较出两者的不同。下面让我们从实践当中去探索。

例如在课堂上，我们先看一道例题，这个例题是小学数学西师版三年级上的内容，出现在2010年徐州的考题中。

例题1：（2010·徐州）下面物品中（）的重量最接近一千克.

A.1立方米的水 B.3个易拉罐可乐

C.3个鸡蛋

本题的考点是质量以及质量的常用单位的理解。在小学课本中，这道题归属的专题是质量、时间、人民币单位。

首先是如果按照常规来解决，我们在课堂上要按照以往的“做数学”的方法来讲解，首先分析。我们会给学生讲解，根据生活实际，1立方米的水是1吨；3个易拉罐可乐大约1千克；3个鸡蛋大约是200克。然后给学生讲的时候，只能说，根据生活实际，3个易拉罐可乐最接近1千克。所以选B，这样学生就会一头雾水，有些有生活经验的还好，有些没有生活经验的，对于这些根本没有概念。所以就会造成学生的不理解。

如果按照“说数学”就不一样了，我们可以先让学生来自己讨论，看哪一个更适合，然后找到一个一立方米容积的轻质容器，然后装满水，接着拿3个易拉罐可乐和3个鸡蛋，以及一个天平，自己动手来称量。这样就会一目了然，并且学生在心里也就形成了一个大概的重量的概念，也有助于以后对一些物品重量的估计。

三、如何在教育过程中做到“说数学”

（一）要培养学生动嘴“说”的能力

动嘴去说，就是让学生们能够主动的参与到课堂当中来，能够一起讨论，并且组成小组，共同研究，在这个过程中可以开发学生的独立思考能力，同时也能够激发他们的求知的兴趣。通过学生自己讨论得出的结论，他们的记忆也会更加深刻，有利于对知识的全面理解，例如在苏教版四年级下的平移知识点中，就有这样一道题。

（二）调动学生的积极性，让他们亲身参与

调动学生的积极性，也就是在课堂中，让学生不再是一个旁观者，老師不再只是醍醐灌顶的去传授，而是要鼓励学生参与研究。但是学生对这一串的讲解，理解是比较难的，并且如此繁琐，学生会在一些地方卡主，这样就耽误了讲课的进程，而且找对应点和格子数，稍有疏忽就会失误。老师的一步步变换，学生不一定能够及时跟上思路，所以这个时候就体现出了“说数学”中调动学生积极性的重要性，可以通过对学生进行引导，让他们通过自己的双手去实践。

四、总结

在现代教育的逐步发展中，我们认识到了传统教学方法的落后，并且充满了危机意识，在这个素质教育高速发展的今天，从“做”到“说”已经成为不可回避的实事，在当前，虽然提倡素质教育，但是考试成绩依然是选拔学生的主要依据，所以在这样的背景下，我们就要注意从应试教育到素质教育的转变方法，也就是从“做数学”到“说数学”的转变。

这个转变的过程，就要求我们教育工作者去认真思考，在不改变对学生进行基本知识技能教育的基础上，要转变我们的教学方式和方法，让自己的课堂更加灵活多变，以激发学生的参与热情和主动思考作为我们的主要引导内容，培养学生的探求意识和能力。让他们在探求的过程中将知识学会、记牢。我们作为现代教育工作者一定要努力提高自己的素质，争取走在改革发展的前列。

参考文献

[1]张奠宙：数学教育的“中国道路”.上海教育出版社.上海教育出版社：2013.5

[2]涂荣豹、宁连华、徐伯华、张英伯：中学数学教学案例研究.北京师范大学出版社：2011.9

[3]丘成桐、杨乐、季理真：数学与教育.高等教育出版社：2011.8

[4]黄荣金、李业平、顾泠沅：数学课堂教学研究.上海教育出版社：2010.12

4.考研数学从理论到实战复习方法篇四

理工科类的公共课考研科目中，数学是很重要的一门。考研数学更能体现数学学科的特征：高度的抽象性、严谨的推理性和广泛的应用性。考研数学大纲明确规定，考试卷种分为数学一、数学二、数学三和农学数学。四个卷中除了数学二考察高等数学和线性代数外，其余的还要考察概率论和数理统计。因此可见，数学可以说是这三门公共课中要求比较复杂的，所以在准备时也需要格外用心。

研究近两年的卷子，我们会发现数学的考查越来越注重基础，考研与其说考能力，倒不如说考方法。在这里，为大家提供一些针对考研数学科目特点的学习方法。

1.夯实基础，概念学习法

“概念学习法”是学习高等数学的基本方法之一。这一方法顾名思义，就是从基本概念入手。课本和复习资料是学习概念最需要的“武器”。高数里的概念一般都很抽象，必须理解其数学意义。基本概念是课程知识体系的支撑点，掌握了基本概念就等于抓住了纲。“万变不离其宗”，从概念入手，一旦了解了概念，把握住概念中的核心词汇，理解概念中蕴藏的精髓所在，就如同把握了解题的命脉。在做题的时候就有坚实的基础，容易对症下药。

数学的考题总是有严密的科学性，精确的答案，因而在打牢基础的前提下，万变不离其宗的灵活运用概念，一切难题都会迎刃而解。

2.追根溯源，记忆法

记忆是学习过程中一个非常重要的环节，是掌握知识的手段。俄国生理学家谢切诺夫说过：“人的一切智慧财富都是与记忆相联系着的，一切智慧的根源都在于记忆。”从某种意义上说，没有记忆就没有学习，人在认识过程中就无积累，就没有继承。当然也不能死记硬背，正如歌德所说：“你所不理解的东西，是你无法占有的”。

而很多考生认为数学会做题就可以了，不需要记忆，但是通过和考研数学得高分的同学交流可以知道，在准备数学的最终阶段，还是需要记忆。只有先把基本的概念、解释记住了，才能进行下一步的理解、运用。

3、攻克真题，实战法

不管是专业课还是公共课我们都一再强调真题。真题就是下面我们将要参加的实战考卷的翻版，因此真题的作用不容取代。但是对于真题部分，很多人都不在意，其实，研究一下的数学三和的数学一，可以看出来，2005数学三的`最后四个大题基本上都可以在历年真题中找到原形，2006数学一的最后一个概率题也一样。

利用真题不是把真题里面的题会做了就可以的，而是指通过研究真题发现考试的重点在哪里，又为什么会把这部分作为重点考察。除了现有的真题形式以外，还会以什么样的形式出现，并要根据可能出现的形式寻找相应的解题思路。

做大量的数学题是必然的途径。做题的过程反过来又加深了对基本概念、基本定理的理解，对基本方法的掌握，相辅相成。在真题之外，还要做大量的模拟题，锻炼对基本知识的灵活利用能力。

4、举一反三，串联法

数学科目不像有的文字科目一样，是分板块分部分的，一个部分没有学好在学另一个部分的时候，相关性不强就可以从头来学，对于这部分的分数不会有太大影响。而数学科目是循序渐进的，基础没打好，积下的问题在未来的学习中就会像滚雪球一样越滚越大，让人不堪重负。而一道高数题涉及的内容回到课本上可能是跨越好几个章节。

所以学习数学时必须要学会举一反三。通过做题发现哪几个知识点比较容易连着一起出题。哪几个知识点又比较孤立，假如出现在同一道题里，又是怎样，并且尝试自己给自己出题，或者同学之间相互出题。

以上所述，既有复习数学的原则，也有具体的方法，只有通过实践才能见成效。只有勤奋加科学的学习方法才能提高学习的质量，化被动为主动，从苦学到乐学，完成对考研数学的学习。

5.从数学归纳法到多米诺骨牌篇五

新课标中把数学教学中的“双基”发展为“四基”,过去的“双基”指的是基础知识与基本技能；现在新课标指的“四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。即通过数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。这表明“以传授系统的数学知识”为基本目标的:学科体系为本的数学课程结构,将让位于“以促进学生整体发展”为基本目标的数学课程结构。并进一步在基本理念中指出:“人人学有价值的数学;人人都获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。”过往的数学课程重视基础知识、基本技能,这亦是我国数学课程的一大优点,但以学科为中心的价值取向,使数学课程过于重视知识的系统、严谨,而忽视了学生观察、探索、猜想的意识与能力,忽视应用能力、创新意识与创新能力的培养,忽视数学作为文化的重要组成部分对人的素质的提高所发挥的巨大作用。“双基”变“四基”，更是对教师教学水平、教学能力的一大考验。重视知识的生成过程，重视学生的实践活动经验，重视学生在活动过程中的猜想、推理、验证，这是“四基”里面蕴涵的精神。如何在数学课堂中更好地实现“四基”的达成，也成为我们当下数学老师需要积极思考的问题。下面我就新人教版八年级下册《平行线的性质》这一课，来说说我在数学教学从“双基”到“四基”的转变过程中所作的尝试。

“学起于思，思源于疑”。探究源于问题，教学过程需要问题来活化，教学对象需要问题来触动，因此，新知的生长点往往来自于一些能突出认知矛盾，激发探究欲望的问题——探究点。通过探究点的引领，借助于情境的支持，引发认知冲突，在原有知识经验不能同化新知识下，迫使学生及时地调整，以适应新知的学习。

这节课我设计三个环节，其中第一个环节就是复习引入，打下铺垫。我首先复习全等三角形的性质，然后复习近平行线的性质。初步的打算是不但让学生复习上节课的内容，同时过渡到下面环节。但我忽略了情境的目的，情境设置不仅仅要起到“敲门砖”的作用，而且还应当随思维过程中自始自终地发挥重要的导向作用，即应当成为相关学习活动的“认识基础”。鉴于以上原因我在这节课的教学过程中，把问题情境修改为：让学生用两块相同的三角板拼平行四边形，引出平行四边形的定义。设计这样的环节的意图是：通过用两个全等的三角形拼成平行四边形，让学生初步感受平行四边形与全等三角形之间的内在联系，为探索证明平行四边形的性质打下基础。

第二个环节是探究平行四边形的性质。我首先电脑展示生活中的随处可见的平行四边形。然后过渡：平行四边形在我们生活中随处可见，时刻装饰着我们的生活，服务着我们的生活。平行四边形在实际生活中发挥着这么重要是作用，那么平行四边形具有怎样的性质呢?在完全放手给学生探索平行四边形性质前，先让学生认识平行四边形的对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念。然后给他们足够的时间去研究平行四边形的性质，由于同学们的生活经验不同，背景不同，从各自阅历出发，都能得到不同的方法，虽然方法有对有错，但通过动手做及互相交流，实现了他们对有必要探索平行四边形的性质的迫切性。这个探究点紧紧抓住学生的心理引导学生讨论，再通过点拨突出新知识的生长点，让全体学生都关注并理解与探索直线平行的要点，以此数形结合思想方法，体验了动手实践的优越性、感悟了性质的存在。最后运用学生的原有知识，看似平淡的一个动手实践环节却因学生积极的思维而变得韵味十足，这也正如教学名师徐斌说的“数学课堂应该是冰冷的美丽与火热的思考的结合体。”

方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。因此，在教学中，既要重视知识形成过程，又要重视发掘蕴藏在知识背后的重要思想方法，不失时机地巧妙进行数学思想方法的渗透。这节课还有一个环节，在平行四边形的性质研究过程中，其实教师可以直接提出问题的，但是基于对学生的“四基”的培养，我这样做的“现在我手中的这个平行四边形，我只允许你把它放在我们教室的墙上来，你有什么方法来验证这个平行四边形的对边相等，对角相等？”我也是充分的放手给学生，让学生在自己亲自动手实践中得出方法。有些想到用尺子、三角板、量角器等测量的方法，有些想到做对角线。原以为学生不可能想到我想要的方法，但是出乎我的意料是学生不但说出了我想要的方法，而且还有他们的独特的方法，而且学生自己想到的方法也能利用理论来说明，这样自然而然，水到渠成的就形成了平行线的性质。本来是一个很枯燥，很理论的定理的发现与证明，通过教师的精心设计，实施，一切都让学生感受到学习的趣味性，原来也可以这样的去学习一节命题新授课。这些也许就是“过程的教育”，“方法的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。教师在讲课的时候不能太聪明，教师可以与学生一起探索尝试，这是归纳推理的手法，也是我们过去的数学教育忽视的地方。

这节课我觉得在经历了课前说课，课后修改，课堂实施三个阶段的体验过程中，最后，我始终是一个平行四边形的情境完成了几何命题新授课的学习方法的渗透，真正的让学生体验了“动手实践---发现结论-------验证结论--------应用实践”等几何命题的学习过程。我充分的体会到了，关注“四基”教学对学生的改变和深远的影响。我们现在在“双基”的道路上走得很平坦，但是我们在“四基”的道路上才刚刚起步，我觉得我们的数学老师真的任重道远。所以，我们现在的教师真的有必要去尝试，去实践，成为时代的领路人。

6.从数学归纳法到多米诺骨牌篇六

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节教材是七年级第四章第1节的内容，它是中小学应用题的衔接，让学生经历将实际问题转化为数学问题的过程，初步感受“数学建模”的方法，为下面用方程解决实际问题作铺垫，对本章知识的学习起到提纲挈领，承前起后的作用。

2、学情分析

七年级学生理性思维的发展很有限，他们的身体发育、知识经验、心理品质方面，依然保留着小学生的天真活泼，对新生事物很感兴趣，求知欲望强，具有强烈的好奇心和求知欲，所以在教学中应抓住这些特点。一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，要创造条件和机会，强调从学生已有的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，发挥学生学习的主动性。

3、教学重难点

根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析我将本课的重点确定为：了解一元一次方程的概念，难点确定为：根据已知条件，通过设未知数，列出简单的一元一次方程。

二、教学目标分析

教学目标包括知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观目标这三个方面，这三维目标又应是紧密联系在一起，因此我将三维目标进行整合确定本课的教学目标为：

(一)知识与技能目标

1、探索实际问题中的等量关系，并用方程来描述。

2、通过对多种实际问题数量关系的分析，使学生初步感受到方程是刻画现实世界的有效模型。

(二)过程与方法

1、体验与领会实际问题抽象成数学问题的过程。

2、经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程。

(三)情感态度与价值观

1、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

2、体验在生活中学数学，用数学的价值，感受学习数学的乐趣。

三、教学方法分析

通过由浅入深多角度地提出问题，引导学生通过思考探究，比较归纳，在学生的自主探究与合作交流中解决问题。多情境引入，始终带领学生分析题意，帮助学生寻找数量之间的相等关系，引导学生用方程来描述，让学生建立方程模型，发展方程思想，依次来分散难点。

四、教学过程分析

(一)情境导入

师：老师上小学时觉得应用题较难，有同感的同学生请举手。

生：举手。

师：上了中学后，老师发现应用题不太难了，这是为什么呢？

【设计意图】通过问题的设置，拉近教师与学生的距离同时为引出课题作铺垫。

师：在天平左右两边各放一个形状大小完全相同的小球天平平衡了，为什么？

生：天平的两边的小球质量相等。

【设计意图】为了突出本节课的重点，由天平实验直观地让学生感受等量关系引出课题，从问题到方程。（板书）

(二)合作探究

探究一：在天平问题中，你能用方程求出小球的质量吗？

如果设两个相同小球的质量都是xg，那么可得方程_______________。

【设计意图】让学生认识到实际问题中包含等量关系，方程是表达数量之间相等关系的“天平”，是解决实际问题的有效工具。

探究二：某排球队参加排球联赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队赛了12场，共得20分，该队胜了多少场？

布置小组合作学习的任务和要求：

（1）要求每四人为一小组进行讨论，派一位代表发言。

（2）要提醒学生注意自己组内每位同学的意见，学会倾听别人的意见。

教师巡视并关注：

（1）学生是否能够很积极的投入到活动中来。

（2）研讨时间。

【设计意图】增强学生的合作意识，在活动中，注意培养学生的求异思维，可能有学生用尝试法，有学生用枚举法，然后用列方程来解决，再加以比较，从而进一步突显用方程的好处，这也是本节课的重点所在。

(三)揭示新知

刚才得到的方程 2x＋1＝ 5，2x＋(12－x)＝ 20 中，它们只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。

练一练

1、下列各式中是一元一次方程的有（）填序号。

（1）2x＋1 （2）2＋5 ＝7 （3）x2＝2

（4）－2x＋3x＋2=0 （5）－3＋0.4y＝8 （6）x＋1 ＞3

2、设某数为 x，根据下列条件列方程。

（1）某数的65％与－2的差等于它的一半。

（2）某数的与5的差等于它的相反数。

3、据资料，海拔每升高100m，气温下降0.6℃，现测得某山脚下的气温为15.2℃，山顶的气温为12.4℃，若设这座山高xm，则可得方程____________

【设计意图】培养学生合作学习及语言表达能力。

(四)应用巩固

1、例题：

七年级（1）班共有40人，男生比女生多4人，你知道男生、女生各有多少人吗？

（1）如果设女生有x人，那么可得方程_______________

（2）如果设男生有x人，那么可得方程_______________

教师在黑板上写出规范的解题格式。

【设计意图】培养学生利用方程的思想解决问题的习惯，找出实际问题中的等量关系，这是解决这类问题的关键。通过两个不同的未知数的设立，明确未知数的实际意义，正确列出方程，并注意解题的步骤。

2、归纳：

通过上面的学习，你觉得我们怎样规范地列方程来解决实际问题呢？从问题到方程的关键步骤是什么？

（1）审题并找出等量关系；（2）设未知数；（3）列方程。

关键是找到数量之间的相等关系。

【设计意图】引导学生结合前面学习的感受，交流发言，培养学生总结反思的好习惯。帮助学生形成知识体系,全面深刻地掌握从问题到方程的解题步骤。

3、练习：

用方程描述下列问题中数量之间的相等关系：

（1）一头半岁的蓝鲸体重22吨，90天后体重为30.1吨，如果设蓝鲸体重平均每天增加x吨，那么可得方程__________________

（2）把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg，如果设每个袋子可装大米xkg,那么可得方程__________________

学生上黑板板演，教师在下面巡视其他学生的.解题情况，关注学生是否能够很顺利的寻找到问题中所存在的等量关系，并适当加以指导。

【设计意图】以上的练习，主要目的是考查学生是否会灵活运用。

4、知识留念，课后韵味

请你根据方程:2x+3(xC1)=27,自编一道应用题.并与同伴交流你的设计思路。

(五)小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？（先自我小结，再全班交流）

【设计意图】让学生养成学习―总结―学习的良好习惯。

(六)作业

习题4.1第1,3,4,5题。

备课设想

设想一：让学生多接触社会，多了解、观察社会，让数学学习回归生活实际。

首先，数学源于生活，生活中的数学是最具有鲜活力的，一切脱离生活实际的教和学都是显得苍白无力。如果学生时时处处都依赖教师的提示，学生的能力是培养不起来的。因此，教师应促进学生将数学知识融入到火热的生活中去，增强应用数学的能力。而这些在新的课程标准中已经有所体现，“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识”。

设想二：给数学问题具有真实的生活背景。

7.从数学归纳法到多米诺骨牌篇七

一、研究食材

好的厨师会把食物当作有灵心和有脾气的生命, 了解他们脾性才能知道哪个部分适合怎么做, 教师也一样, 只有把握好教材, 了解所教的内容在整个知识体系中处于什么地位, 才能更好地传授给孩子。小学阶段的几何知识包括“空间与图形”, 具体内容有: 简单几何形体的认识、变换 ( 包括平移、旋转和对称等) 、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面坐标的初步体验等。这些几何知识是独立的概念但是相互间又有着千丝万缕的联系。如果教师孤立着来教学或者硬生生的给孩子们一个定义, 那学生得到的概念将是僵化、机械的。会造成概念运用困难, 随着时间的推移, 原来清晰、准确的概念也会逐渐变得模糊、含混不清, 也会给今后的学习带来困难。

二、了解食客

俗话说众口难调, 不提西方国家和中国餐饮文化的天壤之别, 就算在国内也有川菜, 粤菜, 杭帮菜之分。那作为教师, 孩子学习的引导者, 在烹制这个美味佳肴之前又怎能不去了解下孩子们的口味如何呢。

小学生的思维特点, 是以具体形象思维为主, 并逐步向抽象逻辑思维过渡。他们的几何属于经验几何或实验几何, 包括简单的几何图形的认识、变换、位置与方向认识、周长、面积与体积的计算等。这些内容的学习都是建立在小学生的经验和活动基础上的。小学数学教学研究的对象, 概括起来就是效和形两个方面。但图形的具体性和直接性, 又极易造成学生在几何知识学习过程中的问题。

问题一: 学生容易误解几何概念一般图形表象所反映的本质属性, 即概念的意义。一方面, 在图形表象的建构过程中考虑到它的代表性, 人们习惯采用几何概念的一般图形表象来表征其意义。比如, 用长与宽不相等的长方形的图形表象即作为一般图形表象来表征长方形的意义, 就是一个例证。因此, 一般图形表象在反映概念本质属性的同时, 也反映了概念的许多非本质属性。一般图形表象的这个特点, 很容易造成学生误解几何概念的意义。

问题二: 儿童对直观的依赖较大。“闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易;对周长的理解可能会比面积更容易。

案例1: 我教学三年级下册“面积和面积单位”时, 我让孩子图一图下列图形的面积。

很遗憾的是不少孩子都图了周长, 究其原因我想一方面是孩子们对以前学习的周长概念牢不可移, 再则就是对面积这个概念理解但是表述不出来, 下课的时候我问了几个孩子, 他们大都是告诉说其实他们要表达的是自己画的周长里面的部分是面积, 殊不知传达给我的是周长。于是在第二个班级上课的时候我让学生通过自己的手的触摸来体验“面”的大小, 并与周长做出对比, 逐步获得对“面积”的理解。

案例2: 对“角”的教学中, 把角的两条边延长, 问孩子们你觉得角的大小变了么。几乎大部分孩子都会觉得角变大了, 究其原因是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度, 甚至我前几天在问学生如果拿一个放大镜看角时, 角的大小怎样时, 学生居然说角会变大。

但学生对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程。一年级时, 学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状; 二、三年级时, 学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形, 还能从这些图形的基本性质上分析, 并对圆柱和球也有了初步的认识; 到了四、五年级, 能深入地分析图形的性质及关系; 而到了六年级, 学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程。

三、蒸煮有度

总所周知, 吃牛排的时候我们一般不会叫全熟, 那时估计您有再锋利的牙齿也无能为力了。因此煲汤注意火候, 蒸鱼把握时间, 学习同样要讲究方法。怎样才能把学生带进积极思考的王国中去, 使他们养成敏捷、灵活、独特、多维的思维品质。在小学几何知识的教学应注意运用以下三点策略:

1. 注重学生的生活经验。利用操作体验来获得对象形状特征的认识。比如“三角形的分类”可以给定学生一些不同形状的三角形, 让学生按自己的理解去分类, 而不同的分类就显示着他们对象形体特征的表征。利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质。

2. 重视学生的触觉参与。有目的、有顺序、持久的视觉活动, 在几何空间想象中起重要作用。离开了视觉的触觉参与, 必须是在已有表象的支撑下展开的, 但是这种参与, 更能激起学生探究的兴趣。

案例3: “角的认识”一课中, 教师让学生在圆形纸片上。运用多种多样的手段, 创造一个角, 学生则通过多种方法得到了这个角。有的用剪刀剪, 有的用尺子量画, 有的拿胶水贴上两条纸条, 合成一个角, 当老师问: 你得到的这个角是什么样的? 有学生说“尖尖的”, 师拿起一个角, 说戳戳身上, 有什么感觉? 生玩了起来, 不一会儿, 马上有人说, 是“痒痒的”“尖尖小, 戳起来痛, 尖尖大, 就不疼。”这种尖尖的感觉给学生留下的印象是非常深刻的, 于是, 角的形状大小也随着感觉印入了他们的脑海。

3. 提倡学生的动手操作。思维是从动作开始的, 切断了动作与思维的联系, 思维就不能得到发展。由此可见, 操作是学生智力活动的源泉。在数学教学中, 加强学生的操作活动, 使他们的眼、手、脑、口并用, 不仅可以加深他们对数学要领的理解, 帮助他们掌握有关的算理, 而且可以激发他们学习的积极性和自觉性, 引导他们主动探究知识, 促进他们主动发展, 培养他们的创新意识和创造力。

四、锦上添花

食物讲究的是色香味俱全, 很常见的盘子周围会有一些雕花, 可见修饰在烹饪界是多么的重要。同样在学习一些基本的知识期间, 我们也要注重数学思想的渗透。

在几何教学中许多内容都体现重要的数学思想方法———把未知图形面积的计算转化为一直图形面积计算的问题———划归思想。例如: 学习长方形 ( 正方形) 的面积时, 把求长方形 ( 正方形) 面积转化为数小正方形的个数。在以后的面积教学中: 长方形面积, 平行四边形面积, 三角形面积和梯形面积。在求出三角梯形面积后, 教师可以深入思考解决问题过程中所用的思想方法———化归方法, 在学习求圆的面积时, 学生容易想出用割补划归的方法来计算圆的面积。

由于小学生的抽象思维还在发展阶段, 不够成熟, 因此教师要加强基本知识的教学, 基本公式的记忆外, 要联系学生的生活实际, 进行直观教学, 培养学生的动手操作、想象能力, 在适当训练中不断培养学生的空间能力。

参考文献

[1]孙少辅.小学数学概念教学[M].北京:光明日报出版社, 2008.

[2]邵丽萍.浅谈小学数学概念教学的基本策略与模式.内蒙古教育, 2010, (20) .

[3]蔡匡清.小学数学中空间与观念的教学策略.小学教学参考, 2011, (08) .

8.缩短从生活到数学的距离篇八

一、形式要简朴

1.情境创设要简朴。

在教学《用替换的策略解决问题》时，有的老师是用曹冲象的故事以视频形式导入的；有的老师是将倍数关系和相差关系的两组例题改编成曹冲倒酒犒赏将军、士兵的故事；有的老师通过天平物、物替换，再到物、量替换；还有的老师使用了◇+◇=◎、◎+◇=30、◇=（）◎=（）……这四种情境的创设可谓各有千秋，但无一例外地可以看出老师的用心——用尽量简朴的方式让孩子接近替换策略、感受策略魅力。比如视频形式的情境，更加形象地展现替换过程：将大象替换成等重量的石头；故事情境的创设，更加贴近两组习题，使教学线索明晰、紧凑；物物替换、物量替换的情境创设，在孩子们已有基础上教学，呈现了替换的由来及历史，同时，天平的呈现也体现了替换的本质——必须在相等的前提下才能进行替换；符号的情境创设，更加简朴。

由此看来，无论是哪种方式的情境，创设的目标都要简朴的，只有直达初衷的情境才能尽可能地缩短从生活到数学的距离。

2、问题设计要简朴。

形式的简朴除了需要通过情境来体现外，还需要通过习题本身，如果每一道习题都要创设一个情境，那么将会出现繁冗拖沓的场景，不如删繁就简，在原有情境上设计问题。在教学《用替换的策略解决问题》时，我首先出示了：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满。小杯和大杯的容量各是多少毫升？并让学生去解答，细心读题后，有些孩子发现不能解决，因为缺少了条件。我顺势而为：“你认为添上一个什么条件就能解决问题？”有的孩子添加了倍数关系的条件，也有的孩子添加了相差关系的条件。这其实就是一个很好的契机，抓住这个契机，可以产生我们需要的两种题型，无需再另辟蹊径了！

二、内容要简明

简约教学，除了形式上要简朴外，内容上更要简明。比如，我们在教学《用替换的策略解决问题》时，有些老师是在一定情境上开始教学的，也有些老师剔除了所有情境，而将题目抽象成符号，开门见山地教学。当然，我会采取折中的方式处理——以情境导学激发兴趣，以模型抽象巩固所有。

1.模型抽象要简明。

以六年级上册的解决问题策略为例，我们可以将三种题型抽象成模型：倍数关系的替换◇+◇=◎、◎+◎+◇+◇+◇=105、◇=（）◎=（）；相差关系的替换a-b=4、8a+6b=102、a=（） b=（）；假设甲数+乙数=73、甲数的4倍+乙数的6倍=388、甲数=（）乙数=（）。为了更突出模型的抽象特点，我选取了3种不同的符号——图形、字母、汉字。这里以模型方式的呈现，降低了对孩子提炼文字、审题能力的要求，促进孩子在短时间内巩固题型。

不过，我们采取模型抽象的过程中，也可以让孩子们经历这样一个过程，让孩子们提高审题能力、提炼文字，将题抽象成模型，从而帮助解题。

2、导学设计要简明。

有些老师在教学时，以填想法的形式呈现，目的是理清孩子的思路，然而大段的文字是乏味的，与其给予，不如放手让孩子自己开发。在教学《用替换的策略解决问题》相差关系时，我们可以这样设计导学提示：如果把1个大杯换成1个小杯，果汁的总量比原来（）（填“多”或“少”）（）毫升【在图上画出这一替换过程】。这里放手让学生主动探索，因为孩子之前从倍数关系中已经习得了方法与策略，将之迁移到相差关系，还是考虑到学生的基础及能力的，因此，此处果断放手合适！

三、思维要简洁

简约教学，除了形式要简朴、内容要简明外，更多的还是要让孩子们受益，而最大的益处即是教予孩子们简洁地思维。

1、画法要简洁。

教学《用替换的策略解决问题》时，让孩子们自己画一画替换的过程，有的孩子画出了形象的大杯、小杯图；有的孩子画出选取了课堂伊始的符号图；还有的孩子画出了长树棍儿和短树棍儿……在众多画法中择二、三种呈现，孩子们自然而然地比较出优劣，这也为他们今后的画法导明了方向。

2.方法要简洁。

我们在教学六年级上册的教学《解决问题的策略》单元时，还会遇到这样的题型：南方果店运进苹果和雪梨一共1626千克，每箱苹果有18千克，每箱雪梨有24千克，苹果比雪梨多11箱，运进的苹果和雪梨各是多少箱？很多孩子都喜欢用繁琐的方程来解答，而我则更倾向于方法简洁的算术方法。因为苹果比雪梨多11箱，我们可以从总量中，将多余的11箱苹果减去，这样，剩下的1箱苹果和1箱雪梨就可以搭配成1个组合（18+24=52千克），我们只要看剩下的总量里有几个52千克，就有几箱雪梨，而苹果的箱数再加上11箱即可。

综上所述，简约教学，可以缩短从生活到数学的距离，更好地服务于孩子们学数学！

9.从数学归纳法到多米诺骨牌篇九

从我会到我不会-基于小学生的数学经验与新问题情境产生的矛盾作为新知导入的探究

以新课导入为探究主题,探究基于学生的数学经验与新问题情境产生的矛盾作为导入的方法.探究的.重点是怎样最大化设置矛盾情境,分别从素材的收集原则和情境设计所需注意原则两方面进行探讨,最后通过与其他导入方法的比较、从实际操作的效果方面提出优点和不足.

作者：徐爱莉作者单位：浙江省富阳市新登镇湘主福光小学,311404 刊名：小学时代(教育研究) 英文刊名：PRIMARY SCHOOL TIMES 年，卷(期)：2009 ”"(11) 分类号：G62 关键词：数学经验问题情境矛盾法

10.数学觉醒：从微观学习到宏观了解篇十

关键词：数学觉醒；拆除壁垒；化解盲点；丰富过程

小学数学教学注重“通过数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。总体来说，这些“数学学习”是点状的、细节的、微观的，也固然是重要的、必要的，因为涉及“四基”的掌握、训练、感悟与积累。可美中不足的是缺乏引导学生从宏观上了解数学，导致学生在学习数学过程中形成一些误解、迷惑、模糊。如果教师不敏锐地捕捉并及时处理，对于数学来说，是草率和肤浅的；对于小学生来说，则是“很受伤的”，更可怕的是这种伤害是隐性的。

因此，数学教学需要“觉醒”。“觉醒”一词在《现代汉语词典》中有三层意思，即“在认识上，由迷惑而明白；由模糊而认清；由错误而正确”——这正好契合了学生的数学学习常态。在这些学习常态中，引导学生对数学的“科学性、整体性、过程性”有初步的、启蒙的、宏观的了解，并认识到自己所学的数学是个结构性很强的、不断发展的、特别丰富的、需要进行不懈探究的学科。数学觉醒如果在“新课标”中，应该是描述过程目标的行为动词。在数学觉醒中，让学生走进数学，热爱数学，提升学生的数学自觉和发展数学素养。

一、拆除知识壁垒：从狭隘到科学

受传统教育观念影响，教师在教学中会下意识地为学习设置壁垒，致使学生学习不是渐进的过程，而像是在不断地打破“清规戒律”。比如第一学段教学中，为了纠错，教师们总会告诫学生“在减法中，小的数不能减大的数”、“小的数不能除以大的数”；在第二学段教学中，若5÷x=，则告诫学生不能用等式性质解方程。这些狭隘意识，不利于学生对数学整体认识，使学生学习中只看到“枝叶”，看不到“树林”，更谈不上“森林”了。给学生套上了无形的枷锁，圈画了众多的禁区，看似为学生后续学习提供了“再生”“再创”机会，实际上给孩子造成很大的心理负担，也给他们一种不良的心理暗示——数学很难学。所以，必须拆除人为的知识壁垒，通过对未来学习的展望和憧憬，让学生意识到学习的渐进性、联系性。

【课堂回放一】

原题：在○里填上“=”“-”或“×”。

2○6=12，4○2=2，3○3=6。

改编后的练习：在○里填合适的运算符号。

2○6=□，4○2=□，3○3=□。

在练习后的交流中，当有个学生小声嘀咕“还可以填÷”，此时应教师因势利导，放大这个动态生成的教学资源，让学生突破自我，最终让学生意识到“小的数可以减大的数”“小的数可以除以大的数”，不是不能填“-”“÷”，而是我们现在学习水平没达到；还让学生意识到在以后的学习中，我们将陆续学习到这些知识。

看似偶然的生成，实则是意料之中。因为改编后的练习题由原来的封闭变成开放，给学生发散性思维提供了施展的舞台。在轻松愉悦的对话中，学生情感、心理发生了很大的起伏变化，特别对数学学习的认识已经迈出被长期束敷的框框并在孩子们潜意识里种下数学很大、数学学习路很长的种子。

二、化解认知盲点：从懵懂到顿悟

“学习是再创造的过程”，让学生经历知识形成和发展的过程，从而达到对知识的自我建构。然而有些概念，在数学教材编排体系中是个拐点，比如“倍数”概念，受身心发展和学习水平限制，学生在认识上是个盲点，在学习上更是个难点。也许正是出于这方面原因，苏教版教材中把倍数内容由二下调整到三上。在教学预设中，即使创设特别贴近儿童生活现实的情境，也只是让学生明白倍数与已有知识（份数）之间的联系，也不会让学生真正理解为什么要出现倍数概念，最终经历的过程实质是伪创造，模型的建构也是一种被动接受。

“教参”中对倍数的说明，并没有明确定位，导致教师在研读教材时，不能准确认识到倍数在数学发展中的真正原因，误把知识前后联系（已经学习过份数）和显性的作用（拓宽用乘除法解决实际问题的范围）当作其起源。所以，多数教师在导入时，都没有让学生主动想到用“倍数”来表现两种量之间的关系，最终还是老师把学生硬拽到“倍数”的轨道上。教师只是在“份数”上做足文章，而没有在倍数本质——“比较”上进行阐释，这显然没有真正理解“倍数”的现实意义。可见，学生在学习倍数伊始就稀里糊涂。

“数学是一种会不断进化的文化。”（魏德尔语）倍数，正好反映出数学自身发展进化的必然，以此为载体让学生对数学发展所认识，意识到数学是一门不断发展、完善、创新的学科。如果我们从数学发展的角度来看待倍数在数学知识体系中的位置，让学生萌生倍数的内驱，进而会主动接受倍数的概念，又会对数学发展性有一定的启蒙了解。

【课堂回放二】

四组杯子，每组两杯黄豆，出示两个杯中黄豆，让学生说说感觉。

学生达成共识：

第一组黄豆悬殊太大。

第二组黄豆悬殊明显。

第三组黄豆相差不多。

第四组几乎看不出有悬殊。

（出示每杯黄豆粒数：1粒和101粒；100粒和200粒；900粒和1000粒；9900粒和10000粒。）

11.从数学归纳法到多米诺骨牌篇十一

《九章算术》是中国古代第一部数学专著,《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展,两部书主要涉及算法、几何、统计等方面内容,在2015-2016年全国及部分省的高考数学卷中均有所体现,成为近两年高考新载体.因此,我们应引导学生了解中国数学史,以便更好地把握高考.下面我对近两年相关高考数学题进行分析和点评,并对高考趋势进行合理预测.

一、算法方面

例1(2016年全国新课标II,理8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右(下)图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=?

(A)7(B)12(C)17(D)34

解析:第一次运算:s=0×2+2=2;

第二次运算:s=2×2+2=6;

第三次运算:s=6×2+5=17.

故选C.

点评与预测:本题考查了必修3中算法案例的秦九韶算法,在著作《数书九章》中提出了这种多项式简化算法.

一般地,一元n次多项式的求值需要经过次乘法和n次加法,而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工计算时,大大简化了运算过程.

求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即

然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

这样,求n次多项式f(x)的值就转化为了求n个一次多项式的值.

结论:对于一个n次多项式,至多做n次乘法和n次加法.

学生应注意秦九韶算法的步骤及其程序框图,在未来的高考中,它仍将是一个热点.

例2(2016年四川卷,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如(下)图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2.则输出v的值为( )

A.9 B.18

C.20 D.35

解析:初始值,程序运行过程如下

选B.

例3(2015年全国卷II,理8,文8)程序框图(下)的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=?

(A)0(B)2(C)4(D)14

[解析]逐次运行程序,直至程序结束,得出a的值.

a=14,b=18.

第一次循环:14≠18且14<18,b=18-14=4;

第二次循环:14≠4且14>4,a=14-4=10;

第三次循环:10≠4且10>4,a=10-4=6;

第四次循环:6≠4且6>4,a=6-4=2;

第五次循环:2≠4且2<4,b=4-2=2;

第六次循环:a=b=2,跳出循环,输出a=2,故选B.

点评与预测:本题考查了必修3中算法案例的更相减损术,它包含在《九章算术》的“方田章”中,由过去的高考冷门,成为2015年高考热点.更相减损术与程序框图相结合,加大了该问题的难度.学生只有理解更相减损术,才能更好地完成此题.

因此,在必修3的“第1.3算法案例”的学习及高考复习中,学生应更加重视:

案例1辗转相除法(欧几里得算法)、更相减损术(《九章算术》)及其程序框图;

案例2秦九韶算法(《数书九章》)及其程序框图;

案例3进位制及其程序框图.

二、几何方面

例4(2015年全国卷I,理6,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有().

(A)14斛(B)22斛

解析:由米堆底部的弧长可求出圆锥底面半径,进而求得米堆的体积.

点评与预测:《九章算术》与高中内容交汇点如下表:

三、统计方面

例5(2015年湖北卷,理2,文2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为().

(A)134石(B)169石(C)338石(D)1365石

解析:254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的,可据此估计这批米内夹谷的数量.

设1 534石米内夹谷x石,则由题意知,解得x≈169,故这批米内夹谷约为169石.

点评与预测:南宋时期的秦九韶的著作《数书九章》中的“米谷粒分”问题,体现了统计思想,用样本估计总体.

从此题中可以看出,未来的高考中,可以《数书九章》为载体,考查统计与概率等知识点.

《九章算术》和《数书九章》是中国几代人共同智慧的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.在新时期下,在实现中华民族伟大复兴的中国梦的大形势下,中国数学史之经典,必然会成为未来高考的新热点.

12.从数学归纳法到多米诺骨牌篇十二

关键词：数学,实在,集合论,公理化,自由

数学从诞生之日起就显示出与众不同的魅力。一方面,数学的抽象性、普适性及其深刻性无不体现着人类理性智力的荣耀;另一方面,数学在描述、解释和预测自然界真理时又呈现出无比强大的效力。数学曾被作为确定性知识的典范,其所运用的公理化———演绎方法,明确地与经验自然科学所运用的以观察和实验为基础的归纳方法有所不同。正因如此,经验自然科学往往被认为面对的是不确定的世界,经验自然科学所揭示的真理是不确定的真理,科学的可错性在某种程度上恰好印证了科学进步的可能性。然而,数学作为人类理性智力对真理的追求,它为我们呈现的是一种具有确定性的必然世界。自康托尔(Cantor)创立集合论以来,集合论带给数学的哲学挑战颠覆了数学在人们心目中的地位,进而引发了一系列具有根本性的重要问题。这些问题至今仍未获得一致的解决:数学是对真理的探求,还是一种纯粹的人类智力活动?数学是自然界真理的探求者,还是客观柏拉图世界的发现者?存在着不依赖于人类思维的独立的、不同于经验世界的抽象数学世界吗?接受一些特定数学命题为公理的标准是什么?我们能够确保数学公理系统的相容性吗?存在着数学公理系统所不能认识的真理吗?现今的数学能为我们的哲学信念提供什么证据?数学的扩张和发展揭示了一种独特的数学之本性吗?究竟什么是数学?当代的数学该何去何从?数学哲学又该何去何从?通过从数学实在性的追问到当代集合论公理的确证,我们将对上述问题给出尝试性的回答。

一数学实在性的追问:三种哲学信念

从古希腊的柏拉图和亚里士多德开始,人类就形成了认识世界的两种方式:以数学推理为基础的理性认识模式和以感觉经验为基础的经验认识模式。前者推崇的是人类理性的演绎推理,理性主义者深信通过这种方式人类能把握宇宙的深层真理;后者则尊重人对世界的经验感觉,人类通过归纳推理的方式形成对世界的认知,经验主义者更看重经验对理论的验证。不过,随着数学日益抽象化的发展,早在19世纪一些数学概念就已经全然脱离了其物理意义或解释获得了自身的独立性。正如康托尔所言:“数学的本质就在于它的自由。”[1]132一直到今天,数学家、物理学家和哲学家对于数学的实在性本质仍然争论不休。数学究竟是一种发现还是创造,如果是发现,揭示的是物质宇宙世界的真理还是抽象世界的真理?基于这些追问,至今已形成对数学实在性的三种哲学信念。

(一)数学作为自然界真理的探求者

早在公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派就开启了“宇宙的数学化设计”的信念。他们深信:宇宙是以数学方式设计的,借助于数学知识,人类可以充分地认识它。[2]11那么,如何得到宇宙的真理呢?希腊人突破了其他古文明只出于实用的目的研究数学的传统,他们自己设计了数学自身独特的一套方法。欧几里得的《几何原本》成为希腊人利用数学知识探求宇宙真理的典范。它从一些不证自明、无人怀疑的公理出发,通过严格的逻辑推导,得出确定无疑的结论。“对于希腊人,几何学原理是宇宙的整体结构的体现,空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作,几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。”[2]26此外,希腊人的天文学、力学、光学和地理学等都呈现出数学化的特点。希腊人相信,“数学实质上存在于宇宙万物之中,它是关于自然界结构的真理,……宇宙存在规律和秩序,数学是达到这种有序的关键。”[2]33

然而,不幸的是,希腊文化由于战争遭到了摧毁。中世纪,文化由教会所控制,上帝成了宇宙的设计者。文艺复兴时期,一些先驱重新燃起了对自然界探索的兴趣,不过他们接受了“自然界由上帝所创造”的信念。于是,“希腊人的宗旨———自然是依数学设计的,与文艺复兴时的信念———上帝是这个设计的作者,融会在一起,统治了欧洲”。[2]39从哥白尼、开普勒、伽利略到牛顿,这些伟大的宇宙探究者都相信宇宙是上帝按照数学的方式设计的。哥白尼相信宇宙的设计遵循简单、和谐的美,他把托勒密描述宇宙所需要的77个圆缩减为34个;开普勒则创造性地发现了太阳和行星运动的椭圆轨道模型,提出行星运动三定律;伽利略提议要寻求宇宙的数学描述,而非物理解释,提出自由落体定律;牛顿则用数学前提取代物理学假设,用万有引力定律统一了开普勒的天体运动定律和伽利略的地面物体运动定律。数学史家克莱因(Klein)赞叹道:“牛顿终于放弃了物理的解释,他用数学概念及量化了的公式,还有能导致公式的数学推导重铸了整个17世纪的物理学。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个……仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。”[2]70直到18世纪,拉格朗日(Lagrange)、拉普拉斯(Laplace)、欧拉(Euler)、高斯(Gauss)、柯西(Cauchy)、傅立叶(Fourier)等许多伟大的数学家和物理学家都相信,数学研究的目的就在于揭示宇宙的真理。

然而,19世纪非欧几何、四元数、集合论、数论等的发展使得一些数学概念完全超越并突破了物理解释,应用数学变成了纯数学,数学不再被看作是物质世界的真理,而是有其自己的独立性。数学的确证不再依靠在解释自然界和自然科学方面的成功,而是需要依靠自身的逻辑结构,一些数学分支由此变成了数学家纯智力的追求,数学远远领先于物理学快速成长。

不过即使如此,极为抽象的数学在接下来的19、20世纪仍然使得许多伟大的数学家和物理学家相信:数学就是解开自然之谜的那把金钥匙。这些重要人物可以列出一分长长的清单:黎曼、闵可夫斯基、麦克斯韦、狄拉克、爱因斯坦、外尔、陈省身、杨振宁、丘成桐……。黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了基础,麦克斯韦方程组预言了电磁波、狄拉克用数学公式预言了正电子、黎曼猜想与物理现象的能级分布具有同样的分布规律、物理学的规范场恰好是微分几何纤维丛上的联络、弦论(万物理论的候选理论)则在数学中的卡拉比-丘流形中找到了依据……

总之,2000多年来,从古希腊毕达哥拉斯的“万物皆数”到20世纪80年代兴起的万物理论———弦论,数学在揭示自然这部大书之伟大奥秘的进程中一直扮演着无法替代的重要角色。

(二)数学作为人类理性的创造物

与把数学看作揭示自然界奥秘的钥匙这种观点不同,也有相当数学家、哲学家和物理学家把数学看作是人类理性的创造物。人们可以通过运用人类天生的理性直观而获得数学知识,这种观点后来演变成一个学派:数学直觉主义。

直觉主义最早可以追溯到笛卡尔。笛卡尔的怀疑论至今影响深远,它怀疑人们的常识、感觉和经验,得出“我思故我在”的断言。笛卡尔怀疑论的根基是理性,因此人类自身的理性成为知识的基础。他认为只有通过人类的直觉和推理方法才可以获得真知识。笛卡尔声称:“我所用的直觉,意思不是不稳定的感官证据,……而是纯粹、专注的心智的概念构造能力,……只来自于理性之光,甚至比推理更为确定,因为它更简单;……这样根据直觉,人人都明白他存在,他思想,三角形只由三条线段所围,……以及其他类似的事实。”[3]97在笛卡尔看来,不证自明的数学公理是人类最清楚的直觉,因而必然是真理。

笛卡尔之后,康德是数学直觉主义真正意义上的先驱。他把时间和空间看作人类理性先天的直观形式。在区分了先验/后验、分析/综合的基础上,他把数学看作先验综合判断。在康德看来,数学可以产生新知识,这种新知识是被人类先验地认识到的,是人类理性的创造物。康德认为,是人类的心智将散乱的经验组织并纳入其中,从而形成人类心智对世界的理解。这样,“既然空间的直觉来源于心智,那么心智自动地接受空间的某些属性,诸如直线是两点间的最短路径,三点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假设的真理,它们是心智构成的一部分”。[2]然而,19世纪非欧几何的发现最终敲响了康德先天直观的丧钟。即便如此,康德把数学看作人类理性的创造这种思想对今天的一些数学家和物理学家依然具有深远影响。

直觉主义成为一个学派,最终还应归功于克罗内克(Kronecker)、布劳威尔(Brouwer)和海丁(Heyting)等数学家的信念和实践。克罗内克的名言“上帝创造了整数,其他都是人的工作”,典型地表明了人的直观在数学中的作用。为此,克罗内克坚决不承认超越了人的直观所能理解的超穷数。在他看来,根本就不需要把整数奠定在超穷集合论的基础上。由于数学是人类心灵的创造物,不存在独立于人类心灵的数学对象,所以,克罗内克反对一切以非构造的方式形成的数学概念和证明。克罗内克之后,直觉主义由布劳威尔及其学生海丁所发展。布劳威尔主张,“数学是起源和产生于头脑的人类活动,它并不存在于头脑之外,因此,它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直觉,这些直觉不是感觉或经验上的,而是对某些数学概念直接的确定,其中包括整数。”[2]305即,“数学实践源自人的心灵的内省”。[4]180海丁总结道,“直觉主义数学家建议把数学研究作为人类理智的一种天然功能,是一种自由的、重要的思想活动。对他而言,数学是人类心灵的产物……我们不能把数学对象看成是一种独立于我们的思想的存在,即一种先验的存在……数学对象本质上依赖于人类的思想。”[5]

与这种思想相对应,数学被看作一种创造性的发明而不是发现的人类活动。维特根斯坦明确持有这种主张。在维特根斯坦的影响下,一些数学家、哲学家、数学史家和社会学家(比如布鲁尔(Bloor)、欧内斯特(Ernest)、赫什(Hersh)等)进一步发展出了更极端的观点:数学的社会建构论或者数学的人文主义。这种观点主张:数学是由数学家共同体在特定的社会历史条件下建构出来的知识体系,数学知识是可错的,不是绝对真理,数学的客观性不是由客观的实在世界所决定,而在于其共同体的约定,在于其社会性。这样,数学的社会建构论自然就滑向了相对主义。

时至今日,这种极端的直觉主义和社会建构论已被大多数人抛弃。直觉主义作为一种哲学信念,完全没有抵挡住数学前进的步伐。社会建构论则作为对数学的一种描述性说明,并没有真正解决一些有趣而重要的传统哲学难题:数学是对不同于物质世界的抽象世界的理性探究吗?从古希腊直到今天还一直让数学家、物理学家和哲学家惊叹的:数学那不可思议的有效性究竟如何可能?

然而即使如此,“数学是一种创造还是发现”至今依然是人们争论不休的话题。

(三)数学对柏拉图世界真理的追求

数学自古希腊起就被赋予了极高的地位,柏拉图学园入口处的“不懂几何者不得入内”广为流传。数学在柏拉图那里,被抬到了与哲学同样高的地位。毕达哥拉斯学派信奉:宇宙是按数学的方式设计的。柏拉图则认为,数学研究的是不同于物质世界的另一个客观真实的抽象(共相)世界,物质世界是这个抽象世界的映像。物质世界是不完美、有瑕疵,变动的;抽象的共相世界是完美、永恒的。人们可以通过对这个完美的抽象共相世界的认识,来理解我们生活于其中的物质世界。

柏拉图是第一个开启数学实在论的哲学家和数学家,而且他既是数学本体论的实在论者,又是数学真值实在论者。他断言:“几何学命题客观地为真或为假,独立于数学家的心灵、语言等等。……几何学命题涉及没有维度的点、没有宽度的完美直线和完美的圆。物质世界不包含任何这类事物,我们看不到欧几里得点、线和圆。因此,几何学不是关于物质世界,即那个变化生成的世界中的任何事物的,我们也并不是通过感觉来理解几何学对象。”[4]同样他认为:“算术和代数命题的真假独立于数学家、物质世界,甚至心灵,……算术命题是关于一个被称为‘数’的抽象对象组成的领域。”[4]57

自柏拉图以后,数学一直作为理解自然之奥秘的角色得以探究和扩展。直到19世纪后期德国数学家康托尔集合论的创立,数学才又被带回到了柏拉图的世界。康托尔是一个典型的柏拉图主义者,他那带有神学色彩的哲学信念是他坚持探索抽象的无穷世界坚实的后盾。正如康托尔的传记作者,著名的数学史家道本(Dauben)所言:“康托尔坚持认为,自然数的真实性和绝对合理性比任何在真实世界中存在并通过人的感官而感知的事物更重要。……超穷数和有穷数同样是可能的和存在的……所有的超穷数都作为永恒的理念而存在。这是一种很强的柏拉图主义。”[1]

与康托尔同时代的数理逻辑的创始人弗雷格(Frege),是当代数学本体实在论和真值实在论真正的先驱,是柏拉图主义思想复活的领路人。弗雷格通过数学上伟大的逻辑主义规划、分析哲学中的语义分析以及逻辑分析技巧,精致地阐述了他的柏拉图主义。数学是在研究一个客观的由逻辑对象构成的抽象世界,数学真理本质上是逻辑真理。可以看出,弗雷格的数学世界偏离了柏拉图意义上的抽象共相世界,弗雷格抽象世界的本质其实是逻辑。但即使如此,他的思想依然影响了后续许多的数学家和哲学家的信念,其中就包括著名的柏拉图主义者哥德尔。

哥德尔在哲学上以其概念实在论著称。哥德尔相信存在着一个类似于物质世界真实性的数学世界,数学真理即是对该世界的真实描述。哥德尔声称:“数学概念构成其自身的客观实在,这种客观实在性不是我们能创建或更改的,我们只可以感知和描述它。……柏拉图主义者的观点是唯一站得住脚的……数学描述了非感性实在,其存在既独立于人类心灵的行为,也独立于心灵的倾向,它只能被人类的心灵知觉到。”[6]哥德尔之所以有这么强的柏拉图主义信念,是因为他所研究的集合论使他不得不承认数学的实在性。他说:“尽管它们远离感官经验,但我们对集合论的对象却是有某种类似知觉的经验,这可以从那些公理强迫我们接受其为真的事实中看出。我看不出有什么理由我们为什么对这类知觉的信心,即对数学直觉的信心,要比对感性知觉的信心弱。”[7]484因此,他断言:“存在———除非我错了———一个由全部数学真理构成的完整世界,我们只能通过我们的智慧来接近它,它的存在就像物理实在世界的存在,二者都独立于我们,二者都由上帝创建。”[6]323

英国数学家哈代(Hardy)典型地代表了持有柏拉图主义的数学家的心声:“我相信,数学实在在我们之外,我们的作用是去发现它或观察它。我们所证明的,以及我们大言不惭地描述为我们所‘创造’的定理,仅仅是我们观察的记录。这种观点一直被自柏拉图以来许多具有崇高声望的数学家以这样或那样的形式坚持着。”[8]最近一些数学家、物理学家和哲学家聚集在一起,以研讨会的形式讨论了数学的创造和发现、数学和物理学的实在性等,由英国数学物理学家波尔金霍恩(Polkinghorne)主编的《数学的意义》一书于2011年出版。从其论述来看,波尔金霍恩、数学家索托伊(Sautoy)和数学物理学家彭罗斯(Penrose)等人都持有或强或弱的柏拉图主义。

时至今日,依然有许多数学家持有柏拉图主义的信念而从事数学研究。不过,也有一部分人声称并没有确定的理由使我们相信确实存在这样一种非时空的数学世界,从事数学研究并不需要提前预设数学实在。那么,究竟什么是数学?这依然是一个谜题。如果从数学所运用的独特方法来看,它又能为我们揭示出什么?

二数学公理化方法的诘难:确定性的丧失

从古希腊起至今,数学以其自身独特的方法享有具有最高确定性知识的典范。正如克莱因所言:“数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果,即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是,若公理为真,则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出显然是毋庸置疑、不可辩驳的结论。”[2]2然而,随着19世纪非欧几何和20世纪集合论公理化的发展,数学公理系统自身的可靠性、相容性和完备性等问题浮现出来,使人们不得不重新思考数学公理化方法在获得真理方面的效力。

(一)数学公理的可靠性

从公元前3世纪欧几里得《几何原本》确立数学的公理化方法以来,数学公理的可靠性源自公理的自明性。然而,随着19世纪数学的发展,一些公理远比欧几里得的公理更抽象,远远超出了人们的直观。数学家使用公理是为了在数学严格的意义上确立数学概念的定义。比如,希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(1899)。因此,如果公理在直观上并不自明,那么公理的可靠性如何得到保证?

众所周知,数学公理化方法的发展经历了从实质公理学到形式公理学的演变。“所谓实质公理化,就是先于公理而假定一个唯一的论域来建立公理系统。数学欧氏几何是实质公理化的典范,它在给出概念、公理之前,就预设了特定的对象域或者论域———即现实的三维空间。而其中的公理则是符合人们直观的不证自明的事实,这种基于经验和直观的数学明显带着经验的成分。”[9]对感性直观的依赖,缺乏数学的严格性是实质公理化的最主要缺陷,公理的自明性恰恰成了公理可靠性的质疑点。

为此,希尔伯特开创了形式公理化的方法。“与实质公理学不同,形式公理学不预先给定任何对象域,不和任何实际的知识相结合;初始概念在引入公理之前是不加定义的,公理可以看成是初始概念的定义(称为‘隐定义’);它不涉及任何意义而展开形式的推演;对初始概念经过不同的解释,一个形式公理系统可以有许多对象域(模型)。”[10]希尔伯特有一个形象的解释:在几何学的形式公理系统中,“人们必定总是能用‘桌子、椅子和啤酒杯’来代替‘点、线和面’”。[4]151这就是形式公理化方法的本质。

数学公理可靠性的问题真正产生于20世纪初集合论的公理化。众所皆知,康托尔创立的集合论中所用的集合概念是直观的,集合被定义为:“我们的直观或思想中明确的、可分辨的物体的总体”。[2]332这种朴素集合论导致了许多悖论,为避免悖论的出现,策梅洛(Zermelo)试图用公理的方法来约束集合,后经弗兰克尔(Fraenkel)补充,形成策梅洛-弗兰克尔集合论,简称ZFC。然而,选择公理的使用激起了许多数学家的反对。第一,选择公理涉及无穷,而无穷不是自明的。第二,它会引起违反人们直觉的“巴拿赫-塔斯基分球怪论”。第三,选择公理独立于其他ZF公理。虽然如此,选择公理的应用如此广泛,如果不接受选择公理,分析、拓扑学、抽象代数等数学分支中的许多定理便不再成立。数学公理可靠性的基础问题引起了数学家的重视,由此产生了有关数学公理的内部确证和外部确证的争议。一般而言,把自明性和直观性看作公理的内部确证;把公理的有效性和丰富性看作公理的外部确证。

费弗曼(Feferman)赞成公理最初的自明性标准,反对以外部的原因为公理的合法性进行辩护。他根据《牛津英语词典》的定义,认为“数学公理就是不需要形式论证来证明其真实性的自明命题。一旦提及这样的命题,这个命题就是真命题,并且我们都赞同其真实性。……实际上,数学家与逻辑学家对公理所赋予的含义与这个词的典型含义已经远离得让人吃惊。有些人甚至把任意的假设作为公理的含义。”[11]然而,斯蒂尔(Steel)却声称:“古老的公理自明性的要求太主观了,更重要的是太局限了。……自明性的要求会阻碍更强基础的进展。”[11]

尽管有对选择公理的质疑声,更多的人却依然倾向于基于外部确证支持选择公理。就像策梅洛所说:“只要这里提到的这些相对简单的问题[如果没有选择公理]仍然是难以解决的,并且另一方面,只要选择公理这条原则不能够被明确地反驳,那么就没有人有权力阻止富有成效的科学的代表们继续使用这个‘假说’———也许有人会这么称呼它,与我无关———在最大程度上发展它的推论。”[12]哥德尔也赞成这种外部确证。他认为,“即使不理会某个新公理的内在必然性,也许甚至它根本就没有内在必然性,有关该公理的真的一种可能的判定用另一种方式也是可能的,即通过研究它的‘成功’进行归纳地判定。这里的成功意味着可以得出丰富的结论。”[7]477总之,选择公理之所以被接受是因为它可以实现特定的数学目标。

由上述分析可知,无论是公理的自明性还是其成功的应用,其可靠性都无法得到严格的证明。因此,通过诉诸自明性有可能会限制数学的发展,但若靠其外部确证,这些公理似乎又将返回到19世纪数学严格化运动之前的混乱状态。数学将何去何从,这似乎依然是数学和哲学共同面临的难题。

(二)数学公理系统的相容性

数学公理化方法的另一个棘手的问题就是:数学公理系统的相容性。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提出了著名的23个数学问题,其中就包括算术公理的无矛盾性,公理系统的相容性正式得到数学家的重视。19世纪的公理化运动将数学带上了追求严格性的道路。然而,此时数学家们却发现,公理化方法有一个根本的缺陷。如果无法证明诸公理之间的相容性,那么整个公理系统将会受到威胁,从而陷入一种自相矛盾的危险境地。为了使数学建立在一个安全可靠的基础上,各种公理化方法受到不同数学家的青睐,包括逻辑主义、元数学纲领和公理集合论。

第一种方案“逻辑主义”,企图把数学奠定在严格的逻辑基础之上,以此避免数学中出现悖论,将人们不可靠的经验和直观剔除出数学。如果逻辑主义规划成功,那么数学将真正成为一门严格的确定性最高的知识,数学将成为人类获知真理的最可靠途径,且是毋庸置疑的绝对真理。况且,逻辑真理的相容性足可以保证数学公理的相容性。然而,逻辑主义自身遇到了根本性的困境。首先,如果数学公理是逻辑公理,那么选择公理和无穷公理无疑就是逻辑公理。但是,关于无穷公理和选择公理是否是逻辑,人们提出了质疑。最后,就连罗素(Russell)本人也承认这两个公理不是逻辑公理。同时,数学归纳法也无法被看作逻辑。数学远远比逻辑丰富得多。其次,既然逻辑主义规划中无法囊括无穷公理和选择公理,其相容性自然也就未被解决。第三,更重要的是,如果逻辑主义正确,数学就是一门逻辑演绎的科学,无法解释数学在广泛的自然现象、空间几何、声学、电磁学、力学等中的应用。

第二种方案“元数学纲领”,希尔伯特试图通过把数学彻底形式化来解决数学的相容性问题,已达到数学最大的普适性和最高的确定性。这种元数学的核心是把数学当作形式系统,包括公理和推理规则,数学遵循严格的推导,完全建立在严格的证明之上。数学就是从公理证明定理的形式推演过程。如果形式系统是相容的,系统内的所有定理均为真理。这种方案也被称为“证明论”。希尔伯特坚信,通过这种方法,每一个确定的数学问题都可以解决。然而,哥德尔1931年发表的论文宣告了形式主义的破产:一个包含算术的形式系统如果是相容的,其相容性不能在该形式系统内得到证明。这就意味着,形式系统无法确立自身的相容性。更令人担心的是,“由于相容性的不可证明,数学家们正冒着传播谬误的危险,因为不定什么时候就会冒出一个矛盾。如果真的发生了这种情况,而且矛盾又不能消除,那么全部数学都会变得毫无意义”。[2]346

第三种方案“集合论的公理化”,公理集合论最直接的目的就是限制集合大小,通过公理的方式确定集合的严格定义,消除经验直观,从而避免康托尔朴素集合论中产生的悖论。然而,就在策梅罗建立公理集合论之初,选择公理受到了抨击。公理集合论的目的是避免出现悖论,但选择公理自身却直接推出了违反直觉的分球怪论。鉴于选择公理自身的可靠性受到了怀疑,集合论公理ZFC系统又如何保证其自身的相容性呢?即使考虑到选择公理的重要性从而接受了它,但从未有人去认真对待公理集合论自身的相容性证明。彭加勒(Poincaré)调侃道:“为了防备狼,羊群已用篱笆圈起来了,但却不知道在圈里有没有狼。”[2]335这足以看出相容性问题的重要性。

令数学家感到受挫的是,上述所有方案都没能真正解决公理系统的相容性问题,直到今天也依然如此。数学公理化方法仍然处在一种不确定的飘摇状态中。

(三)数学公理系统的完备性

自数学的公理化方法诞生以来,数学一直被看作确定性、必然性知识的典范。只要给定初始概念、定义、公理和推理规则,数学家就可以推出不容置疑的定理。在一定程度上,数学被看作证明定理的事业。只要是明确的数学问题,不论花多长时间,理论上一定可以解决。数学家凭着这样的信念,把他们的生命献给了他们所热爱的数学,只为寻求真理。然而,这一信念的根据需要数学是完备的,即只要是真理,就可证。20世纪30年代以前,从事数学基础的逻辑主义、直觉主义、元数学纲领和公理集合论的数学家几乎都相信:数学真理就是其可证性。然而,哥德尔的出场震惊了所有人:存在着不可证的数学真理!这对数学公理化方法提出了严重的挑战,还直接打击了像希尔伯特这样大批数学家的信心。希尔伯特宣称:“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。……吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是:在我们中间,常常听到这样的呼声,这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知!”[2]340哥德尔的结果表明数学公理化方法的局限性,存在着数学公理系统不可判定的命题。

随之而来,引发的一个更为严峻的问题是:对于一个特定的数学命题而言,它是否可判定?也就是说,对于一个特定的数学猜想或假说,数学家能否在有穷时间内判定这些断言的真假?结果令人失望:丘奇(Church)1936年证明了这样的判定程序并不存在。“丘奇定理表明,不可能预先确定一个命题是否能证明或证伪,或许两者都不能,即该命题不可判定,但这可不像已知的不可判定命题那么明显。”[2]350这就意味着,数学家们面对的完全是一个未知的不确定的世界,他们穷其一生追随的数学问题本质上也许就是一个根据现行公理系统无法解决的问题。这些结论对数学家来说,就像晴天霹雳,简直令人震惊!号称世界上头号数学难题的“黎曼猜想”,至今数学家验证的结果已达到10万亿个零点,但是对于无穷而言就相当于0,即使验证的个数再多,严格来讲,对数学家信心的增强也没有丝毫助益。因为黎曼猜想本质上究竟是真是假,或者不可判定,我们依然一无所知!最近,英国《每日邮报》2015年11月17日报道,黎曼猜想据称被尼日利亚教授伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决。然而,将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一,并承诺悬赏100万美元的美国克雷数学研究所对此既不证实也不否认,其官网也未作表态。[13]这一问题仍然悬而未决。但是,像黎曼猜想这样的问题吸引着许多数学家为此贡献一生。数学,究竟该何去何从呢?

同样,就集合论中的连续统假设(CH)而言,数学家现在依然面对着不确定性。哥德尔和科恩(Cohen)的结果表明,连续统假设和选择公理都独立于ZF公理,同时,连续统假设独立于ZFC公理。也就是说,现有的ZFC公理不足以判定连续统假设的真值,是不完全的。基于这些结果,有的数学家(比如科恩)主张CH已经得到解决,即不可判定。但也有的数学家(比如哥德尔)主张需要加强ZFC公理,进一步解决CH。还有的数学家(比如费弗曼)认为CH既不是一个确定的数学问题,也不是一个确定的逻辑问题。[14]时至今日,各派数学家仍然坚持自己的信念。就集合论而言,都存在着不同的前进方向,连续统问题依然是一个悬而未决的问题。数学公理系统的不完备性揭示出,公理化方法不足以成为数学的全部,除此之外,数学直觉、经验、哲学信念、假设仍然是数学研究中无法剔除的因素。

由上述分析可见,数学公理的可靠性、公理系统的相容性和完备性告诉人们,试图用公理化的方法为数学奠定一个严格的逻辑基础,把数学看作追求确定世界的真理是人类的一种奢望。数学确定性的壮丽图景逐渐破碎,就像经验自然科学一样,数学同样充满了不确定。那么,数学究竟是什么呢?

三数学的本质在于自由:历史的启迪

纵观数学历程及当前数学的发展,人们一直不断地追问及探究“数学的本质是什么”。今天的数学远比古希腊数学丰富和深刻得多,人们对数学的本质有了更深刻的认识。然而,“数学究竟是什么”依然是一个谜题,人们依然在追索。牛顿曾说:我之所以看得更远,是因为我站在巨人的肩上。从数学2000多年的历史画卷中可知,数学深刻性的扩张、数学丰富性的效力及数学客观性的追求是数学发展的动力,任何束缚数学发展的企图最终都被证实是不明智的,数学的本质就在于它的自由。

(一)数学深刻性的扩张

数学发展的历程告诉我们,今天数学之所以长成一棵参天大树,渗透进所有其他科学、自然及社会现象的解释中,就在于数学自身发展成为一门自成体系、独立的学科,而不仅仅是为了实用以成为其他学科的奴仆。为了更深地理解数学概念的本质、数学的逻辑结构、推进数学的扩张、建立数学严密的逻辑基础,数学才得以如此深刻和自主。如果仅仅建立于实用性的基础之上,非欧几何、四元数、集合论、数学基础主义各纲领等就不会产生,可想而知,数学会贫乏到何种程度。

首先,就非欧几何的产生而言,其内在动机是,数学家们发现欧氏几何中的平行公理并不自明,为了建立欧氏几何的相容性,需要从逻辑上进行严格推导。结果发现,平行公理独立于其他公理,换成其否命题便可以得到非欧几何,并且它是相容的。非欧几何同样可以运用于物理空间,黎曼几何正是爱因斯坦相对论的数学基础。其次,在数的扩张中,负数、无理数、实数、复数、四元数无一不是为了对数学进行推广,形成新的数学概念。如果一开始这些数学概念就以物理解释为基础,它们就根本不会诞生,它们被接受的标准是看其在逻辑上是否相容。第三,最典型的例子非康托尔创立的集合论莫属。康托尔创立了一长串崭新的概念:导集、序数、序型、基数、势、超穷序数、超穷基数等等,这些概念将人们引入一个充满神奇魅力的无穷世界。

上述概念和理论形成的过程中,数学家中充满了质疑、兴奋到接受的状态变化。欧氏几何曾被看作是现实世界物理空间的唯一几何学真理,这一观念盛行2000多年,致使人们怀疑与欧氏几何相对立的任何思想。就连高斯、鲍耶(Bolyai)这些非欧几何的创始人自己都感到惊奇。鲍耶曾说:“我已得到如此奇异的发现,使我自己也为之惊讶不已。”[2]104一直到1868年,黎曼的工作才使许多数学家相信,非欧几何同样是物理空间的几何。负数和复数建立的过程同样如此,数学家弗兰德(Frend)坦言:“用一个数减去比自身大的数是不可理解的,然而许多代数学家都这样做,他们称小于零的数为负数,认为两个负数相乘,其结果为正数。……他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解,得到单位元素1,所有这些都是荒诞不经的。”[2]200集合论的故事则更广为人知,康托尔的才能在现实中得不到施展,其精神状况曾一度崩溃,转而求助于神学。然而,最后的结果大家都知道,所有这一切都没能阻止数学前进的步伐。此外,逻辑主义、元数学纲领以及集合论的公理化,都是为了更深刻地探清数学的本质,虽然其方法各有优势及局限,但这些尝试都是通往数学真理的途径。如果最初就限制其发展乃是对数学自由探索的束缚,也背离了数学自由精神的本质。

(二)数学丰富性的效力

数学自由的第二个特点表现为数学极大的丰富性:如果不接受未经数学上严格证明的一些数学概念、公理、假设等,数学和科学的好多定理和现象就得不到证明和解释,甚至好多数学分支就建立不起来,这种情况被称为数学的丰富性。任何限制数学丰富性的努力都终将不会成功。我们所熟知的直觉主义对经典数学的否定就是例证。直觉主义提出“存在即被构造”的原则,以此否认二值逻辑和排中律,从而否认经典数学。这种以人的直觉理解为基础的直觉主义逻辑排除了大量丰富的数学。显然,给数学如此多限制的直觉主义信念最终被数学家抛弃了。

同样,集合论中数学家接受选择公理的标准是它所带给数学的丰富性。“如果不采用选择公理,将会严格地限制能够被证明的定理,并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直被认为是基础的东西。……需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超穷数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理,因此,不接受选择公理会使数学家们举步维艰。”[2]353因此,许多数学家最后决定使用选择公理。对于选择公理而言,数学家勒贝格(Lebesgue)声称“既要大胆,也要谨慎”。他坚持认为未来的发展会帮助我们做出决断。[2]275数学的丰富性成了接受选择公理的判别标准。

第三,数学在经验自然科学或解释自然现象应用中所体现的丰富性同样是激发数学自由的源泉。从古希腊数学被看作探索宇宙奥秘的钥匙一直到今天,虽然数学呈现出高度的独立性和自主性,然而,数学在自然科学中不可思议的有效性依然未得到合理解释。至今,仍有许多数学家、物理学家和哲学家相信数理同源,即数学和物理学揭示的是同一个宇宙。冯·诺伊曼(Von Neumann)声称:“无可否认,数学上某些最了不起的灵感,那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中的最好的灵感,全部来源于自然科学。……在我看来,最能从根本上表明数学特点的事实是它和自然科学非常特殊的关系,或者更一般地说,是它和任何一种科学的非常特殊的关系。”[2]392在外尔看来,“一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支,并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展,就如同对待物理学的一样”。[2]433库朗(Courant)则明确宣称:“我们不能接受数学的终极标准是‘人类理性的光荣’这一陈词滥调,不允许把数学分割为‘纯的’和‘应用的’两派。它们都只能而且必须是科学的洪流中不可缺少的一股,不允许分出一条细流,让它消失在沙滩里。”[2]390就连基础主义各学派的发起者也没有否认经验证实在数学发展中所起的重要作用。从负数、复数、微积分等的创立和发展,可以清楚地看出,它们依靠的并非逻辑上严格的公理化演绎方法,相反,它们依靠的是应用,依靠的是归纳。如果按照严格的逻辑证明,这些数学概念和分支或许根本建立不起来。所以,数学的自由允许适当冒险,在这个意义上,数学和自然科学一样是尝试性的。

如前所述,数学的进程并非按照严格遵守公理化的演绎模式前进,其间充满了直觉、猜测、经验证实、富有成效的应用等等,甚至充满了各种矛盾。然而,许多数学概念、公理也正是或者依然按照这样的模式行进。虽然数学追求最严格的逻辑推理和确定性,然而自由的数学探索中无法把这些非逻辑因素全部排除,数学丰富性的效力是保持数学自由活力的重要源泉。

(三)数学客观性的追求

从数学的演进以及人们对数学持有的形而上学态度来看,无论是把数学看作揭示人类理性智力的创造性活动,还是看作一项揭示客观真理的发现事业,无论把数学看作逻辑的公理化演绎证明,还是看作归纳的经验性证实的应用,数学家们几乎都承认数学背后隐含着某种客观性,虽然他们对客观性的理解有所不同。但总体而言,数学的客观性是指,数学陈述的真假、数学证明、数学定理独立于人类的心灵、语言和约定等。换言之,即使人们对数学的实在性持有不同的看法,无论是数学实在论者(或强或弱的柏拉图主义者)、反实在论者还是一些相信数学揭示物理宇宙实在性的数学家和物理学家,他们都坚持数学具有客观性,数学的动力之一就是追求数学的客观性。

数学实在论者哈代典型地支持数学的客观性,他说:“317是一个素数,不是因为我们这么认为,也不是因为我们的心灵是以某种方式这样塑造的,而是因为它就是如此,是因为数学实在就是按照那种方式建造起来的。”[15]20数学家索托伊在承认数学是一种创造性活动的同时,坚持认为数学具有一种客观实在性:“我能写下无尽新的、原创性的定理。我能构造无穷多新的对称群。……它们都具有客观的真实性。所有这些在数学上都是真实的陈述。……我在内心里当然是一个柏拉图主义者。有一些事物确实就在那儿存在着,独立于我们的存在或我们对其想象的行为。素数、单群、椭圆曲线,就是这样的事物。并不是数学家们制造了这些事物。”[15]

数学物理学家波尔金霍恩和彭罗斯则主张数学和物理学极有可能揭示的是同一种具有客观性的实在。虽然他们都没有明确指出存在着一个独立的抽象数学世界,但他们确实承认数学揭示了某种实在,而不是人类的任意创造。波尔金霍恩断言:“如果数学实体是实在的一部分,那么人们也许可以期望数学实体存在的本体论王国并不是一个孤立的领域,与所有其他领域没有联系,而是与实在的其他方面存在微妙的关联。……很少有人怀疑物质世界的实在性;他们应该准备好考虑承认与之纠缠在一起的一种类似的数学世界的实在性。”[15]彭罗斯明显地表达了数学与物理学实在性之间的契合,他宣称:“这强烈地表明数学真理具有客观性,不仅仅是基于起源于人类文化的任意规则的某种‘游戏’。……这表明自然界在其最基本层次(这里指空间和时间的结构)的运行机制和复杂的数学理论之间令人惊奇的一致性。……自然界和复杂而优美的数学之间的一致性一直就在‘那儿’,时间上远远早于人类的出现。”[15]

一些数学反实在论者同样也为数学的客观性进行辩护。玛丽·伦(Mary Leng)主张没有理由认为存在着一个独立的数学柏拉图王国,但数学依然不是主观的,相反,它独立于数学家的约定。她论证道,“数学发现必须告诉我们有关数学实在的事情吗?我认为我们的数学定理并不对独立的数学对象的王国负责。……但是我们必须承认,我们的数学发现是靠有关逻辑推论的客观事实加固其基础的。”[15]同样,“甚至一些基础研究中的领袖人物———希尔伯特、丘奇和布尔巴基学派的成员———也坚持数学概念和性质在客观的意义上存在,并可由人类心智把握。这样,数学真理是发现的而不是发明的;进化的不是数学而是人类关于数学的知识”。[3]

通过上述分析可以看出,数学的本质在于自由。从方法论上来看,数学的创造和发展并没有统一严格的标准。直觉、猜测、构造、公理化的逻辑推导、经验性归纳、对客观真理的追求等都是激发数学创造的活力。从形而上学态度来看,数学究竟是对柏拉图数学王国的探求,还是人类理性智力的创造物,抑或是对宇宙世界的认识?截至目前,这些问题依然没有统一的答案。不可否认,数学确实是人类理性的一种智力活动。虽然这种活动进一步的目的现在依然是一个未解之谜,但数学背后显然蕴含着客观性。因此,最明智的做法是允许数学拥有最大程度的自由,因为只有这样,才不会使我们偏离通向真理、解答深刻的形而上学追问、探清数学方法论的正确航向。

结语数学和自然科学的统一:对不确定性世界的探索

13.从数学归纳法到多米诺骨牌篇十三

【关键词】数学实验；实验教学过程；教学价值

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”[1]所谓的数学实验是指为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动.数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征.数学实验教学是指恰当运用数学实验，通过实践操作，自主探索，合作交流，从而发现问题，提出猜想，验证猜想的数学活动.

2016年5月苏州市初中数学实验教学研讨活动在苏州市工业园区星海实验中学开展，笔者观摩了研究课《数格点算面积》，这是苏科版八年级下册安排的实验15，本节课主要探究格点多边形的面积S与多边形边上的格点数L及它内部的格点数N之间的数量关系，通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现皮克定理.结合《数格点算面积》的课堂教学，对如何帮助学生理解数学，体现数学的实验味有以下的一些感悟.1通过实验操作，获得感性经验