二年级上册排列组合

二年级上册排列组合（精选17篇）

1.二年级上册排列组合 篇一

新人教版小学数学二年级上册第八单元 数学广角《排列组合》

精品教案

教学设计 情景导入

1、同学们去过公园吗？公园好玩吗？老师今天要带你们去一个比公园更好玩的地方，它就是数学广角。为了把数学广角的每一个地方都游玩一遍，还特意请来了我们的好朋友。瞧！它来了。

2、蓝猫提示数学广角的大门是由1和2这两个数字摆成的两位数，这道门的密码可能是那些数？ 生：

12、21 师：这两个数有什么不同？ 生:这两个数字交换了位置。

师：密码到底是那个两位数呢，我们一起看一下。

3、课件演示：密码跳动，跳动21时门慢慢打开，出现第二道门的密码，这道门的密码是由1、2、3三个数字中的两个组成，密码可能是哪些数呢？请同学们两人一组，分工合作，一人拿出数字卡片摆，另一个人就在纸上把摆的数几率下来，看看这道门的密码可能是那些数，比比那个组写的最全。

（1）学生两人一组，合作操作，边摆边记。（2）学生汇报。并说一下你是怎么想的。生：12、31、32、23、13 师：有没有不同的意见？ 生：还漏掉一个21。

师：观察的真仔细！要想使排列的数不重复也不遗漏，你有什么好的办法？

生1：把1放在十位上，组成12、13；把2放在十位上组成21、23；把3放在十位上组成31、32。

生2：把1放在个位上，组成31、21；把2放在个位上组成12、32；把3放在个位上组成13、23。

生3：我是先摆出的12，把他们的位置颠倒就成了21，有摆了13，颠倒位置成了31，最后摆了23，颠倒位置32。

4、同学们真棒，摆成了这么多的两位数，我们发现一旦按照你的一定的顺序来摆就既不用遗漏也不会重复。那么密码到底是哪个两位数呢？我们一起来看看，（课件演示，密码跳动，门被打开）

5、门开了，我们一起进去逛逛吧！小朋友，你们好，这里的玩具5角钱一样，任你挑选：（课件展示玩具店）你打算怎么付钱呢？ 生：我拿两张2角的和1个1角的。生：我拿5个1角的。生：我拿一张5角的。

生：我拿一个2角的和3个1角的。让学生上台展示出5种方法。

6、同学们真聪明，想出了这么多付钱的方法，接下来蓝猫想邀请我们班同学参加乒乓球比赛，同学们愿不愿意（愿意），但有个要求，必须从蓝猫给我们准备的衣服中选出一套穿上方可参加。（课件展示两件上衣）两条裤子，你有几种搭配方法。（1）学生分组讨论。（2）汇报交流。

7、同学们表现真不错，我们可以去参加乒乓球比赛了，如果每两个人进行一场比赛，3人一共要比几场？ 生：3场。

8、师：咦！排数时3个数字能摆成6个两位数，比赛时3人却只能比3场？

生：排数时两个不同的数字交换位置可以组成一个新的两位数，比赛时两人交换位置还是他们两个人。

9、比赛结束了，蓝猫还为我们准备了午餐，要求饭和菜只能选一种，你有几种选法？ 课件出示： 米饭 馒头

排骨 西红柿汤 鱼

生：米饭和排骨、米饭和西红柿汤、米饭和鱼、馒头和排骨、馒头和西红柿汤、馒头和鱼。

师：真聪明，这位同学按照一定的顺序和规律来排列，既不重复又不遗漏，又没有不同的排列法？

生：我是这样排列的，排骨和米饭、排骨和馒头、西红柿汤和米饭、西红柿汤和馒头、鱼和米饭、鱼和馒头。一天的游玩结束了，同学们今天的表现棒极了，蓝猫非常留恋咱们同学，想和我们合影留念，你们愿意吗？（愿意）三个人站成一排，有几种不同的方法？

10、今天同学们和蓝猫一起游玩数学广角，你们玩得开心吗？除了开心之外，还有什么收获？

11、同学们收获可真大！老师真为你们高兴！希望同学们在今后的学习中，再接再厉，争取学到更多的知识！

2.二年级上册排列组合 篇二

一、特殊元素“优先安排法”

对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素。

例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙两人不得排在两端,问有多少种排法?

分析:若有特殊要求元素,则根据情况考虑先排或后排,本题先将甲、乙排在中间5个位置中的两个位置,上再排其余5个人,共有A52·A55=240种。

二、分类法

例:(2004全国高考)同数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数一共有()个。

(A)56个;(B)57个;(C)58个;(D)60个。

分析:当首位排2,次位排3,有A33-1=5种,次位排4,5时有2A33=12种。

当首位排3时有A44=24种,当首位排4,次位排3时有A33-1=5种。

次位排1,2时有2A33=12种,故共有5+12+24+5+12=58个。

三、转化法

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题,直接入手不易解决,这时可以考虑间接将其转化为一个简单问题来处理。

例:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法?

解析:动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14,把动点运动1个单位看成是1步,则动点走了14步,于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”,这也是一个组合的问题,于是得到一共有C614=3 003种走法。

四、先选后排法

对于排列组合混合问题,可先选出元素,再排列。

例:4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?

分析:因有一空盒,故必有一盒子放两球。(1)选:从四个球中选2个有C42种,从4个盒中选3个盒有C43种;(2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有A33种,故所求方法有C42C43A33=144种。

五、捆绑法

对于某几个元素要求相邻的排列问题,可将相邻的元素看做一个整体。

例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙、丙三个人必须相邻,问有多少种排法?

分析:先将甲、乙、丙三个人捆绑在一起,看做一个人,与另外一男生及三名女生排列,然后再排列三名男生间的顺序,共有A55·A33=720种。

六、插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例:要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈不得相邻,问有多少种不同的排法?

分析:不相邻问题是要求某一些元素不得相邻,此类问题可以先将其他元素排好,再将所指定的不相邻元素,插入到它们的间隙及两端位置,本题是先将6个歌唱节目排好,其不同的排法有A66种。这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目有A74种,共有A74A66种。

七、整体优先法

对于局部排列问题,可先将局部看做一个元素与其余元素一同排列,然后再进行局部排列。

例:7人站成一排照相,要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?

分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”,这3人可从其余5人中选,有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法,它的内部甲、乙两人有A22种站法,中间选的3人也有A33种排法,故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种

八、插挡板法

例:由七个学校的学生组成一个10人的球队,每个学校至少有一人,其分配方案共有()种。

分析:10人排成一列,用6块挡板将10人分成7段,每段至少一人,所以两挡板不能相邻,且不在边上,即放在9个空当里,有C96种。

九、直排法

把几个元素排成前后若干排的排列问题,若没有其他的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理。

例:27个人排队照相,第一排8个人,第二排9人,第三排10人,则所有不同的排法有多少种?

分析:27个人可以在前3排随意就坐,再无其他条件,故3排可看做一排来处理,不同的排法共有A2727种。

十、住店法

例:(1)4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、每人限报一个运动队,不同报名方法种数是34还是43?

(2)4名同学争夺三项冠军,不允许并列,则其共有多少种不同的冠军获得方法。

分析:要解决重复排列问题要注意分两类:一类元素可重复;另一类不可重复,不能重复的元素看做“客”,作为幂指数,能重复的元素看做“店”,作为幂的底数,再利用分步计数定理可求。故(1)34(2)43。

十一、集合法

例:从6名运动员中选出4名参加4×100 m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?

分析:设全集U={6个人中任选4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第三棒的排列},根据集合元素个数的公式可得方法有:card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=A64-A53-A53+A42=252种。

十二、逆向法

例:某餐厅供应快餐,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种,现在餐厅准备了5种不同选择的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还要准备多少种不同的素菜?

分析:直接求较难,可以逆向考虑,设n种,转化为方程计算。

解:至少还要准备不同的素菜n种,其中n≥2,n∈N。

∵C52Cn2>200,∴Cn2>20即,∴n≥7。

故至少还要准备7种不同的素菜。

十三、染色问题特殊法

例:在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物,如图1,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。现有四种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。

分析:以A,C,E(相间)栽种植物情况作为分类标准:

(1)A,C,E栽种同一种植物,有4种栽法;B,D,F各有3种栽法,∴共有4×3×3×3=108种栽法。

(2)A,C,E栽种两种植物,有C42C32A22种栽法(C42是4种植物中选出2种,C32是A,C,E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物,A22是选出的2种植物排列),B,D,F共有3×2×2种栽法(注:若A,C栽种同一种植物,则B有3种栽法,D,F各有2种栽法),∴共有C42C32A22×3×2×2=432种栽法。

(3)A,C,E栽种3种植物,有A43种栽法;B,D,F各有2种栽法,∴共有A43×2×2×2=192种栽法。

综合(1),(2),(3),共有108+432+192=732种栽法。

3.排列、组合问题分类 篇三

排列、组合问题大体分以下几个类型

类型一：排队问题

1.7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：

（1）甲不站排头，乙不站排尾.

（2）甲、乙两人不站两端.

（3）甲、乙两人相邻.

（4）甲、乙两人不相邻.

（5）甲、乙之间隔着2人.

（6）甲在乙的左边.

（7）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变.

（8）若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列.

（9）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站法.

（10）甲站中间.

（11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法.

（12）若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法.

（13）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法.

（14）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.

类型二：分组与分配问题

2将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：

（1）平均分成3堆，每堆2本.

（2）分给甲、乙、丙3人，每人2本.

（3）分成3堆，每堆本数分别是1，2，3，.

（4）分给甲1本，乙2本，丙3本.

（5）分给3人，1人1本，1人2本，1人3本.

（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少1本.

（7）若将6本不同书放到5个不同盒子里，有种不同放法.

（8）若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有种不同放法

（9）若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法.

（10）若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本.

（11）若将6本编号为1，2，3，4，5，6的不同的书放到编号为1，2，3，4，5，6的6个不同盒子中，要求有3本书的编号与盒子不一致的放法.

（12）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少1名，则分法种数.

从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2本书平均分成2份，仅有一种分法，而7本书按2，2，3来分有C37·C24·C22[]A22种分法

类型三：数字问题

3现有0，1，2，3，4，5共6个数字

（1）可组成数字可重复的5位数有个.

（2）可组成无重复数字的5位数个.

（3）可组成无重复数字的5位偶数的个数.

（4）可组成能被5整除的无重复数字的五位数个.

（5）在（3）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是.

（6）用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是，所有这些四位数的和是.

（7）由0，1，2，3，4，5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有个.

（8）在由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数有个

（9）若从1到100这100个自然数中，任取20个数，要求这20个数两两不相邻的选法种

（10）1800的正约数的个数为个.

4.二年级上册《简单的排列》说课稿 篇四

今天我所执教的是人教版实验教材小学数学二年级上册“数学广角”例1及相关练习。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础。传统教材中没有单独编排这部分内容，有关这方面的知识是新编实验教材新增设的内容之一。我觉得教材是把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题。重在向学生渗透这些数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

二、学情分析：

在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如衣服的搭配、体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机超过多少电话号码就要升位等等。由于学生年龄较小，逻辑思维能力及抽象想象能力较差，所以教学时我设定了以活动为主线，加上学生独立思考和合作探究的方式教学。

三、教学目标：

l、知识与技能：使学生通过猜测、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。

2、数学思考：培养学生初步的观察、分析和推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意识。

3、解决问题：使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。

4、情感与态度：使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

四、教学重点：

使学生通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。教学难点：培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

五、教学过程：

(一)、情境创设，激发兴趣。

由于“数学广角”是一册书的最后一章，它是本册知识的归纳与整理。本节课开始，提出到“数学广角乐园”游玩，突出一个“乐”字，以活动为主线，边唱边跳引入新课。

(二)、自主合作，探究新知。

数字1、2、3摆成不同的两位数是本节课的教学重点。在此，我设计了两层。第一层，用任意两张数字卡片摆成两个不同的两位数，激发了学生的学习热情，找到自信。第二层添上一张卡片，用三张不同的数字来摆。要找到所有的两位数容易出现重复或漏掉的现象。在此，我设定了小组合作探究的方法，让学生找到最多的方法。有的小组可能会运用规律找到，有的则不会都找到。所以，我引导同学们最大限度地找规律，并将主动权交给同学，让学生选择自己喜欢的方法把数字补充完整。让学生自主探索、合作学习，培养了学生解决排列组合问题的能力。

(三)、拓展应用，深入探究。

让学生进行乒乓球比赛的安排、握手等生活问题，提高学生的应用能力。将乒乓球比赛场次的安排放在数字排列的后面，是为了将“有序”和“无序”在学生思维中建立无形的对比。因为，学生年龄小，我们需要加以引导，明确两张不同的卡片可以用调换位置的方法得到两个不同的两位数，而两人之间打乒乓球只需要一场比赛与顺序无关，也为后面的“握手”教学作下铺垫。

(四)、课堂延伸。

5.二年级上册排列组合 篇五

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用 原文来源：小学奥数辅导网 www.aoshufudao.com 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码?又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法?回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.(前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有6种不同选法.) 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能，再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法? 分析 首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解： 符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15+10+ 6=31种. 注 运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的`区别，千万不能混. 不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法(全程分成几个阶段(步)，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析 要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式解： 由此可知，排列共有如下八种： 正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反. 例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数. 分析 此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法. 解法1：分析 某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置. 解： 分两步完成： 第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法. 第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法. 由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个. 答：可组成4536个无重复数字的四位数. 解法2：分析 对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一. 解： 组成的四位数分为两类： 第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个. 第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个. ∴由加法原理，共有满足条件的四位数 3024+1512=4536个. 解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法).此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列. 解： 从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个(0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个) ∴共有满足条件的四位数 10×9×8×7-9×8×7 =9×8×7×(10-1) =4536个. 注 用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏. 更多《……

6.小学二年级数学排列问题试题 篇六

排列问题

1、三个小朋友，每一个人都要和其他的小朋友握一次手。他们一共要握多少次手?

提示：假设有甲、乙、丙三个小朋友，每一个人都要和其他的小朋友握一次手，也就是说：甲和乙、甲和丙、乙和丙都要握一次手。

参考答案：3

2、红红、丽丽、乐乐三个小朋友进行跳绳比赛，假如乐乐得第一，可能得第二，()得第三;还可能()得第二，()得第三。最后的比赛结果一共有()种可能。

参考答案：红红、丽丽;丽丽、红红。6

3、用6、4、0两个数字可以组成()个不同的两位数，他们分别是。

提示：十位上的`数字不能是0。

参考答案：4、64、60、46、40.

4、晶晶、丽丽、玲玲三个小朋友在一起照相，站成一排，如果丽丽站在中间，有()种站法。

提示：可能是晶晶+丽丽+玲玲，也可能是玲玲+丽丽+晶晶。

参考答案：2.

5、有四支足球队进行比赛，每两队踢一场，一共要踢()场。

提示：假设有甲乙丙丁四支球队，每两队踢一场，可以是甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁6场比赛。

参考答案：6.

6、8、3、5、三个数字，可以组成多少个两位数?分别是多少?

提示：如果把3作为十位，可以有35和38两种结果;同样如果把5和8作为百位，也分别有两种结果。所以一共有6种结果。

参考答案：可以组成6个三位数，分别是35、38、53、58、83、85。

7、○●○○●●○○○●●●●●●●○○○○○●●●●●

长方形挡住了()个白球。

提示：白球和黑球的排列顺序是一个白球一个黑球、两个白球两个黑球……

参考答案：4。

8、把☆、○、△、□分别填在方格中，设计出有规律的图形。

提示：可以按顺时针的方向旋转，也可以按逆时针的方向旋转。

参考答案：

☆○

△□

○□

☆△

□△

○☆

△☆

□○

9、④

小明家书店学校

⑤

小明从家经过书店到学校。一共有几条路?

提示：有-④、-④、-④、-⑤、-⑤、-⑤6条路。

参考答案：6。

10、按规律画出适当的图形。

○☆△□

□○☆

△○☆

☆△□○

提示：此题的规律是后面一列都是前面一列往下错一格。

参考答案：第二列行画△，第三行画□。

11、按规律填数：

1、2、3、5、8、13、、。

提示：从第三个数开始，数都是前两个数的和。

7.谈谈排列组合的解题策略 篇七

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合, 主要还是因为排列组合的抽象性, 那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化, 我们不妨将原题进行一下转换, 让学生走进题目当中, 成为“演员”, 成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣, 活跃了课堂气氛, 还充分发挥学生的主体意识和主观能动性, 能让学生从具体问题的分析过程中得到启发, 逐步适应排列组合题的解题规律, 从而做到以不变应万变。当然, 在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性, 可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例做进一步的说明:

一、占位子问题

例1.将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中, 要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同, 问有多少种不同的方法?

1. 仔细审题:

在转换题目之前先让学生仔细审题, 从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手, 清楚这是一个“排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

2. 转换题目:

在审题的基础上, 为了激发学生兴趣进入角色, 我将题目转换为:

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上 (已准备好放在讲台前) , 要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同, 问有多少种不同的坐法?

3. 解决问题:

这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子 (学生争着上台, 积极性已经得到了极大的提高) , 班上其他同学也都积极思考 (充分发挥了学生的主体地位和主观能动性) , 努力地“出谋划策”, 不到两分钟的时间, 同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学, 有C52种方法, 让他们坐到与自己编号相同的凳子上, 然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法, 最后根据乘法原理得到结果为2×C52=20 (种) 。这样原题也就得到了解决。

4. 学生小结:

接着我让学生之间互相讨论, 根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。 (课堂气氛又一次活跃起来)

5.老师总结:

对于这一类占位子问题, 关键是抓住题目中的特殊条件, 先从特殊对象或者特殊位子入手, 再考虑一般对象, 从而最终解决问题。

二、分组问题

例2.从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数, 问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算, 有很多同学得出的结论是P53×P42)

1. 仔细审题:

先由学生审题, 明确组成五位数是一个排列问题, 但是由于这五个数来自两个不同的组, 因此是一个“分组排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

2. 转换题目:

在学生充分审题后, 我让学生自己对题目进行等价转换, 有一位同学A将题目转换如下:

从班级的第一组 (12人) 和第二组 (10人) 中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛, 问有多少种不同的选法?

3.解决问题:

:接着我就让同学A来提出选人的方案。

同学A说:先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛, 有P312×P35种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P102×P25种选法;最后由乘法原理得出结论为 (P123×P35) × (P102×P25) (种) 。 (这时同学B表示反对)

同学B说:如果第一组的3个人先选了3门科目, 那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P102×P22。 (同学们都表示同意, 但是同学C说太繁)

同学C说:可以先分别从两组中把5个人选出来, 然后将这5个人在5门学科中排列, 他列出的计算式是C312×C210×P55 (种) 。 (再次通过互相讨论, 都表示赞赏) 这样原题的解答结果就“浮现”出来C35×C24×P55 (种) 。

4. 老师总结:

针对这样的“分组排列”题, 我们多采用“先选后排”的方法:先将需要排列的对象选定, 再对它们进行排列。

8.巧解排列、组合问题 篇八

总的原则——合理分类与准确分步.即按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.

两种思路——直接法，间接法.

三种途径——以元素为主，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素；以位置为主，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.

一、人或数的问题

对排列组合问题的考查，多以人或数的问题出现，内容基础，题型常规，注重考查通性、通法.

例1 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（ ）个.

解法1（元素优先法） 根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，共有[C12A34]=48（个）；②含5不含0，共有[C13A34]=72（个）；③含0也含5，共有[C12C12A24]=48（个）；④不合0也不含5，共有[A44]=24（个）.所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192（个）.

解法2（位置优先法） 根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排个位，有[C14]种方法；第二步；排首位，有[C14]种方法；第三步：排中间两位，有[A24]种方法.所以符合条件的四位数共有[C14][C14][A24]=192（个）.

解法3（排除法） 数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数有[C15A35=300]（个），能被5整除的数有两类：个位数为0的有[A35=60]（个）；个位数为5的有[C14A24]=48（个）；故符合条件的四位数共有300-60-48=192（个）.

例2 6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有（ ）种.

解析 本题为元素多于位置的情形，可按“含”或 “不含”某个元素进行分类：①甲、乙都不参加的安排方法有[A44]=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选3人有[C34]种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有[C13]种选法，余下三棒有[A33]种安排方法，共有[C34]·[C13]·[A33]=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有[C13]种方法，余下三棒有[A33]种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲、乙都参加时，由题意有[C24]（[A33]+[A33]-[A22]）=60种方法（排除法）. 故共有24+72+72+60=228种安排方法.

解析（角色转换法） 将数字作为元素，则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”问题.若将九个位置作为元素，则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题”，即共有[C29C37C44=1260]种不同的排法.

二、图形问题

此类问题主要有涂色、种植、共线、共面等.

例5 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点[A、B、C、A1、B1、C1]上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种.

解析 此例解法较多，在此用“分组”的方法求解.由于同一条棱的两端的灯泡不同色，故可将将六个顶点划分为四个“组”，然后再安装灯泡.由题意可分为九组：

例6 有3种不同种子种在如图所示的5块田中，每块种一种种子，为有利于作物生长，相邻两块田中种不同的种子，则有（ ）种不同的种法；如有6种不同种子，则又有（ ）种不同的种法.

解析 （1）按田块分类，可分为：1，24，35；13，24，5；13，25，4；14，25，3；14，35，2；15，24，3；135，2，4共七类，共有[7A33=42]种不同的涂法.

（2）按种子分类：种2种，可分为135、24两“块”，有[A26]种方法；种3种，由⑴知有[7A33]种方法；种4种，可分13，2，4，5；14，2，3，5；15，2，3，4；24，1，3，5；25，1，3，4；35，1，2，4六类，有[6A46]种方法；种5种，有[A56]种方法. 故有2952种不同种法.

三、工程问题

如分配、分组等问题.

例7 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种.

解析 分三种情形：甲、丙同去且乙不去，有[C25?A44]=240种选法；甲、丙同不去且乙去，有[C35?A44]=240种选法；甲、乙、丙都不去，有[A45=120]种选法.共有600种不同的选派方案.

例8 6本不同的书，按以下要求各有多少种分法.（1）平均分成三组；（2）分成1本、2本、3本三组；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）分给甲、乙、丙三人，一人拿1本、一人拿2本、一人拿3本；（5）甲得一本，乙得二本，丙得三本.

解析 （1）此为平均分组问题，共有[C26?C24?C223！][=15]种分法；（2）此为非平均分组问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法；（3）此为均匀不定向分配问题，先分组，再排序，共有[C26?C24?C223！·3！=90]种分法；（4）此为非均匀不定向分配问题，先分组，再排序，[C16?C25?C33?A33=360]种分法；（5）此为非均匀定向分配问题，共有[C16?C25?C33=60]种分法.

四、其它问题

例9 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中，使得有一个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法有（ ）种.

解析 此例解法较多，此处用“隔板法”求解.先从4个盒子中选三个放置小球有[C34]种方法.注意到小球都是相同的，为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空挡中分别插入两个隔板，各有[C23]，[C24]，[C25]种方法.故共有[C34?C23?C24?C25]=720种不同的放球方法.

例10 设[ABCDEF]为正六边形，一只青蛙开始在顶点[A]处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到[D]点，则停止跳动，若在5次之内不能到达[D]点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）

A. 6 B. 8 C. 16 D. 26

解析 青蛙从[A]点开始，往相邻两个顶点[B]和[F]跳到[D]点的次数是相同的. 又青蛙第一次往[B]方向跳的跳法可用“树型图”表示如图. 由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）.

答案 D

9.二年级上册排列组合 篇九

闫里学区段村学校闫为敏

教学目标

通过观察、猜测、推理等活动发现图形的排列问题。

培养学生初步的观察、

提高学生合作交流的意识。

教学重难点

推理排列规律。

教学过程

一、情景导入

师：同学们，你们跟爸爸妈妈照过全家福吗?

生：照过。(兴奋)

师：好，大家想一想，我们照相的时候，都做什么准备?只照一张照片吗?

生：不是。(学生回忆交流)

师：我们是不时经常摆个动作或者和爸爸妈妈换个位置呢?

生：是。

师：今天哪，亮亮也和爸爸妈妈一起来到了照相馆，大家瞧。

二、师生互动，探求新知

1.教学“三人照相”。

(1)老师演示课件排列问题1，到第1张照片停止

师：好，

现在聪聪和爸爸妈妈一起照了第一张照片，

摄影师叔叔还给他们照

出了不同的照片。大家想一想，怎么做才能办到呢?

生1：可以变化动作。

生2：可以变换他们的位置。

老师对于学生的各种反映给与适当的反馈。

(2)提问思考。

师：

同学们想的办法都很好，

现在我们思考一个问题：

如果变换他们的位置，

可以照出几张不同的照片?

学生小组间讨论，交流各自的意见。

(3)课堂表达。

学生说出自己的想法。

老师在黑板上做出记录，并对于学生出现的漏洞给与补充。

(4)继续演示课件排列问题1。

2.教学“乒乓球赛”。

师：小朋友们，喜欢玩乒乓球吗?

(1)出示题目：有3个小朋友进行乒乓球赛，他们是聪聪、小强、亮亮，

现在比赛还没有结束，大家能猜一下比赛结果吗?

(2)小组讨论。

学生自由发挥，一人担当小小记录员，把大家的想法记录下来。

(3)小组整理，报告。

①小组一报告：

假如聪聪得第一。

生1：可能是小强得第二，亮亮得第三。

生2：也可能是亮亮得第二，小强得第三。

②小组二报告：

假如小强得第一。

生3：可能是聪聪得第二，亮亮得第三。

生4：也可能是亮亮得第二，聪聪得第三。

③小组三报告：

假如亮亮得第一：

生5：可能是聪聪得第二，小强得第三。

生6：也可能是小强得第二，聪聪得第三。

(学生反馈时，可让他们用自己的话进行表述。)

(4)师：你能发现什么?

生：不管谁得第一，都各自有两种情况。

师：所以有3个小朋友，一共有几种情况呢?

生：6种。

师：我们比比看，哪一组的小朋友把结果找得全面。

三、巩固练习。

师：同学们都做得很好。通过上面的学习，老师发现大家动脑筋解决问题的

能力大大地加强了。接着老师就请小朋友们继续思考，解决“练一练”的题目，

好吗?

1.“练一练”第1题。学生独立完成。

2.“练一练”第2题。(用实物投影仪出示)

(1)先让学生读题，弄清题意。

师：同学们，你们看这些小动物玩具，多可爱呀!大家想一想，如果改变它

们的位置，有几种摆法呢?

四、全课小结

10.排列组合专项练习 篇十

1.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.3343（A）A4（B）4（C）3（D）C4

2.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

（A）480（B）240种（C）120种（D）

3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

4.某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种.（A）5040（B）1260（C）210（D）630

5.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）

（A）36个（B）48个（C）66个（D）72

6．用0,1，9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A．243 B．252 C．261 D．279

7．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()

A．6个B．9个C．18个D．36个

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()

A．72B．96C．108D．144

9.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种

10.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（A）16种（B）18种（C）37种（D）48种

11.从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是

___________(用数字作答)

12.在送医下乡活动中,某医院安排3名男医生和2名女医生到3所医院工作,每所医院至少安排1名医生,且女医生不安排在同一所医院工作,则不同的分配方法总数为_______________

13.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用

数字作答).14.满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对

(a,b)的个数为（）

A．14 B．13 C．12 D．10

15.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lgalgb的不同值的个数是（）

A．9 B．10 C．18 D．20

16.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共

有________种(用数字作答)

17．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分

给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.18.有8人排成一排照相,要求A、B两人不相邻，C、D、E三人互不相邻，共有

___________种不同的排法。

19.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取

3张，要求3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为______________

20.若从1,2,3，······，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则

11.重要和紧急的排列组合 篇十一

王烁本以为自己很快就会脱颖而出，结果是她感到迷茫。“因为事儿太多了，时间被分割成了无数份，不仅自己累，而且事情都做不到最好。”那段时间，是王烁最迷茫的，每天纠结：时间该怎么样分配？什么是最重要的事情？怎么取舍？后来，与王烁相熟的一位老师告诉她，把手上的事情分成3份，按重要和紧急的程度排名。重要而紧急的事情排第一，紧急而不重要的排第二，重要而不紧急的排第三，不要乱，一件一件做好。“我一直记着这句话，四年来有很多时候忙得自乱阵脚，但按照这句话去做，就能井井有条了。”很快，王烁退出了几个学生组织和社团，根据自己最大的兴趣，选择了一份学生工作，并专心做好。

另一位老师鼓励王烁不断尝试新的领域，让她获得了锻炼，变得勇敢。大一时，学院要录制宣传片，片子剪辑后缺少配音。王烁曾参加过诗歌朗诵活动，老师推荐她来配音。王烁回忆，自己练习的时候一切OK，但只要一对着机器，她就特别紧张，口齿不清，不停地出错。越是害怕出错，越小心翼翼，结果一句也录不下来。最后，王烁哭着去找老师。老师郑重地告诉她：“我可以再换一个人，但是这个心理障碍你如果不去克服，你会越来越害怕。”随后，老师陪着王烁从上午一直录到晚上9点多，完成了配音。“后来，我再也没有害怕过录像机，哪怕再大的舞台、再高级的设备，我都不再恐惧。”王烁说，“我很感谢老师的帮助，让我明白，永远不要对自己说不行。”

12.解决排列组合混合问题的策略 篇十二

一、特殊元素优先安排的策略

对于带有特殊元素的排列事问题, 一般应先考虑特殊元素, 再考虑其他元素。

用0, 2, 3, 4, 5这五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有 ()

A、24个B、30个

C、40个D、60个

解析:因组成的三位数为偶数, 末尾的数字必须是偶数, 又0不能排在首位, 故○是其中的“特殊”元素, 应优先安排, 按0排在末尾和0不排在末尾分为两类: (1) 当0排在末尾时, 有个; (2) 当0不在排在末尾时, 三位偶数有个, 据加法原理, 其中偶数共有个, 选B

二、合理分类与准确分步的策略

解含有约束条件的排列组合问题, 应按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到分类标准明确、分步层次清楚, 不重不漏。

平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直, 则它们构成的矩形共有_____个。

解析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步, 先在4条平行线中任取两条, 有种取法;第二步再在5条平行线中任取两条, 有种取法, 这样取出的四条直线构成一个矩形, 据乘法原理, 构成的矩形共有个。

三、排列组合混合问题先选后排的策略

对于排列与组合的混合问题, 可采取先选出元素, 后进行排列的策略。

4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子, 则恰有一个空盒的放法有_____种。

解析:这是一个排列与组合的混合问题, 因恰有一个空盒, 所以必有一个盒子要放2个球, 故可分两步进行:第一步先选, 从4个球中任选2个球, 有种选法, 从4个盒子中选出3个, 有种选法, 第二步排列, 把选出的2个球视为一个元素, 与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作出排列, 有种排法, 所以满足条件的放法共有种。

四、正难则反、等价转化的策略

对某些排列组合问题, 当从正面入手情况复杂, 不易解决时, 可考虑从反面入手, 将其等价转化为一个较简单的问题来处理。

马路上有编号为1、2、3、……9的9只路灯, 为节约用电, 现要求把其中的三只灯关掉, 但不能同时关掉相邻的两只或三只, 也不能关掉两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有__种。

解析:关掉第一只灯的方法有7种, 关第二只、第三只灯时要分类讨论, 情况较为复杂, 换一个角度, 从反面入手考虑, 因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列, 于是问题转化为在6只亮灯中插入, 3只暗灯, 且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端, 即就是在6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯, 其方法有种, 故满足条件的关灯的方法共有10种。

五、相邻问题“捆绑”处理的策略

对于某几个元素要求相邻的排列问题, 可先将相邻的元素:“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列然后再对相邻元素之间进行排列。

5名学生和3名老师站在一排照像, 3名老师必须站在一起的不同排法共有_____种。

解析:将3名老师捆绑起来看作一个元素, 与5名学生排列, 有种排法, 而3名老师之间又有种排法, 故满足条件的排法共有种。

六、不相邻问题的插位处理策略

对于某几个元素不相邻的排列问题, 可先将其他元素排好, 然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

7人站在一行, 如果甲、乙两人不相邻, 则不同的排法种数是 ()

A、1440种B、3600种

C、4320种D、4800种

解析, 先让甲、乙之外的5人排成一行, 有种排法, 再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入, 有种方法, 故共有种排法, 选B。

七、定序问题除法处理的策略

对于某几个元素排序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一同进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

由数字0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的六位, 其中个位数小于十位数字的共有 ()

A、210个B、300个

C、464个D、600个

解析:若不考虑附加条件, 组成的六位数共有个, 而其中个位数字与十位数字的种排法中只有一种符合条件, 故符合条件的六位数共有个, ∴选B

八、分排问题直排处理的策略

13.排列组合解题技巧 篇十三

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。

一是仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上(凳子已准备好放在讲台前)，要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。

三是解决问题。这时我再选另一名学生来安排这5位学生坐位子(学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高)，班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性)，努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20(种)。这样原题也就得到了解决。

四是学生小结。接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案(课堂气氛又一次活跃起来)。

五是老师总结。对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

二、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P)

一是仔细审题。先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，同学A将题目转换如下：从班级的第一组(12人)和第二组(10人)中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法。

三是解决问题。我让同学A来提出选人的方案，同学A说：“先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法;最后由乘法原理得出结论为(P×P)×(P×P)(种)。”(这时同学B表示反对)

同学B说：“如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。”(同学们都表示同意，但是同学C说太麻烦)

同学C说：“可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P(种)。”(再次通过互相讨论，都表示赞赏)

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P(种)。

四是老师总结。针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

三、多排问题

把元素排成几排的问题，可看成一排考虑，再分段处理。

例3：7个人排成前后两排，前排3人，后排4人。

分析：分两步来完成，先选三人排在前排有，余下的4人放在后排有A44种，所以共有种A33×A44=5040;分析：A77=5040，所以对于分排列等价全排列。

14.排列与组合教学反思 篇十四

做的好的地方：

1、创设情境，激发学生探究的兴趣。

创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“老师到北京旅游这一情境”，激发了学生帮助老师解决问题的探究欲望。又如通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题的兴趣。

2、注意让小组合作学习从形式走向实质。

“自主、探究、合作学习”是新课程改革特别提倡的学习方式，如何使合作学习具有实效性？本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。

3、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。

通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。

4、在教学中充分让学生体会到数学与生活的密切联系，联系生活学习数学。

不足之处：

1、对于课堂中的生成性资源不能灵活处理。

2、给学生的探究时间还不太充裕。

15.排列与组合的教学研究 篇十五

一、两个计数原理的教学

两个计数原理分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 它们看起来很简单,却是排列与组合的基础和核心,牢固掌握加法原理和乘法原理是学好排列与组合的基础和关键.

教学中可通过日常生活中具体生动的事例逐步引入这两个计数原理,然后着重补充讲解它们的区别及应用条件: 做一件事,如果有几类互相排斥的完成方法,那么就应用分类加法计数原理,把每一类的做法种数相加; 如果需要分几个互相独立的步骤,只有把每一步骤都完成,才能完成这件事,就应用分步乘法计数原理把每一步骤的做法种数相乘. 抓住这一特点,可更简单地归结为:

分步———相乘 分类———相加

如何区分分步与分类呢? 简单地说,如果每次得到的是中间结果,则为分步; 如果每次得到的都是最后结果,则为分类. 这样教学对学生来说更容易理解及掌握. 当然,问题并非都这么简单,如果在某个步骤中又分好几类,或在某一类中又要分好几个步骤,就需要综合运用这两个计数原理.

二、排列与组合概念的教学

排列与组合的概念是比较抽象的,教学中首先应结合教材上的例题,列出各种不同的排列( 组合) 结果,然后总结出各例子共有的特点,最后概括、抽象出问题的本质属性, 从而给出排列( 组合) 的一般定义.

排列与组合的概念,从二者的一般定义上看好像很相似,都是从n个不同的元素中取出m( m≤n) 个元素,这是它们的共同点; 而对取出的m个元素是否进行排序,是判断属于排列问题还是属于组合问题的关键. 抓住这个特点,可以简单地归结为:

既取又排———排列只取不排———组合

排列与组合的概念教学的关键就是让学生了解二者之间本质的区别.

三、排列数与组合数的教学

引入排列、组合的概念之后,应训练学生会具体写出某些个数不太多的所有排列( 或组合) ,这对巩固概念和推导排列数( 或组合数) 公式,起到承前启后的作用,也是培养学生逻辑思维能力的好机会,因此它是教学过程中不可缺少的一环,应引起足够的重视. 在推导出排列数Am n、组合数Cm n 的公式后,应引导学生观察公式的特点,掌握公式的各种变形,并通过做一定数量的习题强化,以达到理解概念熟悉公式,能灵活运用的目的.

四、关于应用题的教学

这部分是教学中的难点. 排列与组合问题由于条件不同,要求不同,因而解题的方法变化多端; 思维的方式不同, 就会有不同的解题方法. 教材例题一般都是典型的例子,应讲深讲透. 在讲解例题过程中,要穿插介绍分类及分步的原则. 分类原则: 分类必须用统一标准,无遗漏,每类之间互相排斥; 分步原则: 分步必须每一步互相衔接,不重复,每步完成一个内容,所有步骤衔接起来就是完成事件的全过程. 这两个原则对解决复杂问题非常有帮助.

总结各类排列、组合问题,可以发现,应用题大致分为三种类型:

1. 没有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“基 本题”;

2. 有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“变 化题”;

3. 排列与组合结合起来的综合性题———称之为“综 合题”.

“基本题”可以帮助学生巩固排列与组合的概念,建立“有序与无序”的思维; “变化题”与“综合题”可以培养、提高学生灵活运用知识的能力.

正确解题的前提是准确理解题意,尤其是对“变化题”和“综合题”. 教学中应特别注意引导学生考虑以下三点:

一是区分问题的性质,是排列问题还是组合问题.

二是明确共有多少元素,每次取几个.

三是考虑有什么限制条件,特别是有无隐含的限制条件.

尤其对第三点,应给予特别的重视,分析清楚所有限制条件,是解决复杂问题的关键. 解题的基本思路是: 特殊元素和特殊位置给予特殊安排( 称之为“三特思路”) . 下面举例说明:

例1从数字0,1,2,3,4,5中任取五个数字,问:

( 1) 可以组成多少个没有重复数字的五位数?

( 2) 没有重复数字的五位数中,1在首位、5在末位的数有多少个?

( 3) 没有重复数字的五位数中,有多少个是偶数?

分析与解答这是一个与“顺序”有关的问题,属于排列问题,并且每个问题都含有隐含条件或附加条件.

( 1) 这个问题有一个隐含条件,即0不能排在首位( 数字0为特殊元素,首位为特殊位置) . 需分两步完成: 第一步确定首位,从1,2,3,4,5中任选一个数字来排,有A1 5种排法; 第二步确定其余四位,从除首位数字以外的五个数字中任选四个数字来排,有A4 5种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A1 5A4 5= 600.

( 2) 这个问题有两个明确的附加条件: 1在首位,5在末位,数字1,5为特殊元素,首位、末位为特殊位置. 特殊元素及特殊位置优先确定之后,中间的三个位置从剩下的0,2, 3,4这四个数字中任取三个数字进行排列,有A3 4种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A3 4= 24.

( 3) 这个问题显然要复杂些,既含有隐含条件“0不能排在首位”,又含有附加条件“偶数”. 所以,首位数字不能是0,而末位数字必须从0,2,4( 特殊元素) 中任选一个,而0与2,4又有区别. 可把符合题意的五位数分为两类:

一类: 末位数字为0,这样其余位置上的数字可从除0以外剩下的五个数字中任选四个进行排列,共有A4 5种排法. 即末位数字为0的五位数的个数是A4 5.

另一类: 末位数字为2或4. 确定这样的五位数可分三步进行: 第一步,确定末位数字,可从2,4中任选一个,有A1 2 种排法; 第二步,确定首位数字,由于首位不能为0( 隐含条件) ,首位数字只能从除去0和末位数字后剩下的四个数字中任选1个,共A1 4种排法; 第三步,确定中间的三位数字, 从除去首位数字和末位数字后剩下的四个数字中( 包括0) 任取三个排在中间的三个位置上,共A3 4种排法. 根据分步乘法计数原理知,末位数字为2或4的五位数的个数是A1 2A1 4A3 4.

根据分类计数原理得,符合题意的五位数的个数是

例2四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,问: 恰有一个空盒的放法共有多少种?

分析与解答首先,由“四个不同的小球放入编号为1, 2,3,4的四个盒子中”知道“元素”不同,且“位置”不同,故有排列因素.

其次,由条件“恰有一个空盒”得到这样的信息: ( 1) 有且仅有一个空盒; ( 2) 另三个盒子中有且仅有一个盒子装两个小球. 确定一个空盒,需选; 两个小球放在一个盒子中,无序,故有组合因素.

由以上分析知: 这是一道排列组合的“综合题”. 解题思路是“先选后排”,分步解决.

第一步,选取空盒,从四个盒子中任选一个,有C1 4种选法;

第二步,将四个小球分成三堆,有一堆必是两个小球, 从四个小球中任选两个放在一堆,有C2 4种方法; 当分好两个小球的一堆后,余下的两个小球自然分成两堆. 故分堆法有C2 4种.

第三步,把不同的三堆分别放入除空盒以外的另三个不同的盒子中,有A3 3种放法.

由分步计数原理知,不同的放法种数是C1 4C2 4A3 3= 144.

总之,在排列与组合的教学中,两个计数原理是基础, 排列与组合的概念是重点,灵活综合运用是难点. 教学中应紧密围绕这三个方面,通过深入细致的分析讲解,并配合一定数量的例题与练习,达到提高学生思维能力,培养学生良好的思维品质,拓展学生分析和解决问题能力的目的.

摘要：排列与组合是数学中两个重要概念,也是教与学的难点,作者结合多年教学实践,从分步与分类、有序与无序入手,对这两个概念的本质区别和各类应用进行了深入的研究,对如何开展教学给出了具体的方法和步骤,可以为学生学习和教师教学提供一定的理论指导.

16.二年级上册排列组合 篇十六

1. 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（ ）

A. 42 B. 48

C. 54 D. 60

2. 若[（3x+1x）n]的展开式中各项系数之和为256，则展开式中含[x]的整数次幂的项共有（ ）

A. 1项 B. 2项

C. 3项 D. 4项

3. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校， 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等， 则不同的分配方法种数为（ ）

A. 96 B. 114

C. 128 D. 136

4. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ）

A. 12 B. 24

C. 36 D. 48

5. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）

A. 60种 B. 120种

C. 144种 D. 300种

6. [（2x-1x）4]的展开式中的常数项为（ ）

A. -24 B. -6

C. 6 D. 24

7. 将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为

A. 28 B. 24

C. 30 D. 36

8. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数为（ ）

A. 144 B. 192

C. 360 D. 720

9. 某校开设A类选修课4门，B类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A类中的甲门课和B类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有（ ）

A. 60种 B. 63种

C. 70种 D. 76种

10. 在一项竞赛活动中，高中三个年级分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同年级任意两名学生不能相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A. 72种 B. 96种

C. 120种 D. 144种

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[（2x-1x）7]的二项展开式中的第5项的系数是 （用数字表示）.

12. 已知二项式[（x+1a）8]展开式的前三项的系数成等差数列，则[a=] .

13. 二项式[（ax2+1x）5]展开式中的常数项为[5]，则实数[a]= .

14. 从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种.

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）有红、黄、蓝三种颜色的小球各5个，都分别标有字母[A，B，C，D，E]， 现取出5个，要求字母各不相同且三种颜色齐备，则有多少种不同的取法？

16. （10分）在空间直角坐标系[Oxyz]中有8个点：[P1（1，1，1），][P2（-1，1，1）]，…，[P7（-1，-1，-1）]，[P8（1，-1，-1）]（每个点的横、纵、竖坐标都是[1]或[-1]），以其中4个点为顶点的三棱锥一共有多少个？

17. （12分）设[（1-2x）2011=a0+a1x+a2x2+…+][a2011x2011，]求[a12+a222+…+a201122011]的值.

18. （12分）将[（1-1x2）n]的展开式中[x-4]的系数记为[an]，求[1a2+1a3+…+1a2010]的值.

17.排列组合常见问题答案 篇十七

教学设计方案

排列组合问题常见解法

排列组合问题是高考考察的重点，每年必考内容，常是一个选择题或一个填空题，分值为5分，难度为中等难度，在分布列计算中也常用到排列组合的计算，先将排列组合问题解法介绍如下，供同学们参考。

一、元素分析法

在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

例1（06全国）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有

种（用数字作答）

解：因甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，所以先安排甲、乙，在5月3日至5月7日5天中选2天安排甲、乙有A52种方法，再安排其余5人，有A55种方法，故共有A55A52=2400种

二、位置分析法

在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。例2 题同例1 解：因5月1日和2日不能安排甲、乙，所以先安排5月1日、2日，在除甲、乙外5人中选2人安排到5月1日、2日，有A52种方法，再安排其余5天，有A55种方法，故共有A52A55=2400种

三、间接法 又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。例3 题同例1

725解：安排7人在5月1日至5月7日值班，有A7种方法，其中甲、乙二人都安排在5月1日和2日有A2A511257251125种，甲、乙仅一人安排在5月1日和2日有C2C5A2A5种。不同的安排方法共有A7-A2A5-C2C5A2A5=2400种

四、树图法

又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。

例4 已知集合M={a，b，c}，N={1，0,-1},在从集合M到集合N的所有映射f中，满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有多少个？

解：满足条件的映

所以满足条件的映射有7个。

五、逐一插入法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

例5（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解：（逐一插入法）先将工程甲、乙、丙、丁按指定的顺序排成一排，有1种方法，将丙丁看成一项工程，再在甲、乙、丙（丁）之间和两端的4个空档安排其余2项工程1项工程，有A4种方法，再在这4项工程之间和两端

第1页

学大教育科技（北京）有限公司

1学大教育科技（北京）有限公司

教学设计方案

111的5个空档安排其余1项工程，有A5种方法，所以共有A4A5=20种方法。

六、消序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

例6（06江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）

解：先将9个球排成一排有A99种不同的方法，其中，2个红球有A22排法，3个黄球有A33排法，4个白球有A4排法，因同色球不加以区分，所以2个红球、3个黄球、4个白球都各有1中排法，消去它们的顺序得将这94个球排成一列有A922944AAA33=1260种

七、优序法

若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

例7（06湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）

解：先将丙丁看作1项工程，再在5个位置中选3个位置，按指定顺序安排甲、乙、丙（丁）3项工程，有C53种方法，再在其余2个安排其余2项工程，有A22种方法，所以共有A22C5=20种方法。

3八、捆绑法

若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

例8（05辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有

个。（用数字作答）

解：先将1与2、3与4、5与6各看成一个元素，将这3个元素排成一排，有A3种方法，再在这3个元素之间和两端的4个空档中选3个安排7与8，有

A4种方法，再排1与2、3与4、5与6的顺序，各有2种方法，所以共有A3A423=257种方法，因每一种排法对应一个八位数，所以这样的八位数共有257个。332

2九、插空法

若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

例9 有一排8个相同的座位，选3个座位坐人，要求每人两边都有空位，这3人有多少不同的安排方法？ 解：因3个坐人的座位不相邻，用插空法，先将5个空位排成一排有1种方法，然后在5个空位的4空档选3个空档安排坐人的3个座位，有A4=24种不同的方法，这3人有24不同的安排方法。

十、查字典法

对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。

例10 在由1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的五位数中，大于23145且小于43521的数共有（）

A.56

B.57

C.58

D.60

第2页

学大教育科技（北京）有限公司 3学大教育科技（北京）有限公司

教学设计方案

12解：首位为2第二位为3第三位为1比23145大的数只有1个；首位为2第二位为3第三位比1大的数有A2A2

13134=4个；首位为2第二大于3的数A2A3=12个；首位为3的数有A424个；首位为4第二位比3小的数有A2A3=12

12个；首位为4第二位为3第三位比5小的数有A2A2=4个；首位为4第二位为3第三位为5比43521小的数有1个。所以大于23145且小于43521的数共有1+4+12+24+12+4+1=58个。

十一、分组问题

（1）若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。

（2）若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。

例11（06江西）将7个人分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，则a为（）

A.105

B.105

C.210

D.210

解：先在7人选3人作为1组，有C73种方法，再从其余4人中选2人作为1组，有C42种方法，再把余下2人作为1组有C22种方法，因后2组人数相同，故应认为这2组无序，应除以A22。

∴不同的分组有C7C4C2A22322=105种

十二、隔板法

又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。

若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有Cn1种分法。

若允许有人分不到物品，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有Cnm1种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有Cnm种分法。

例12 9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法？

解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有C8=56种方法。

（法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有C8=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法，5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有C8=56种方法。

十三、排列组合综合问题

排列组合综合问题，应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。

例14（06陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种。

解：由题知，若选甲，则必不选乙，必选丙，须从除甲乙丙外5人中选2人，有C5种方法；若不选甲，则必不

第3页

学大教育科技（北京）有限公司

3555m1m1m1学大教育科技（北京）有限公司

教学设计方案

选丙，须从除甲丙外6人中选4人，有C64种方法，再将选出的4人分到4个地区，有A44方法，所以不同的选派方案共有(C53+C64)A44=600种。

例14 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：（法1）我们可以分成3类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C42C32；

1②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C43C3；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C43C32；

1∴由分类计数原理，总的方法一共有C42C32+C43C3+C43C32=42 十四、一一映射转化法

例15 一个楼梯共有11级台阶，每步走1阶或2阶，7步走完，一共有多少种走法？

解：11级台阶，要求7步走完，每步走1阶或2阶，显然，必须有4步走2阶，3步走1阶。设每步走1阶为A每步走2阶为B，则原问题相当于在8个格子选个格子填A，其余填B，这是一个组合问题，所以一共有C7=35种不同的走法。

3第4页