指数函数的性质与图像

指数函数的性质与图像（19篇）

1.指数函数的性质与图像 篇一

高中数学

正切函数的图像与性质

昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案

试 讲 科 目： 高 中 数 学 学 校： 云 南 师 范 大 学

姓 名： 何 会 芳

2013年5月3日制 高中数学

正切函数的图像与性质

一.教材分析

1、教材的地位和作用

本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。

2、教学目标

（一）知识和技能目标：

1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”

2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．

（二）过程与方法目标：

1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；

2、培养学生类比、归纳的数学思想；

3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。3.重点、难点与疑点

（一）、教学重点：正切函数的图象和性质。

1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质；

2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，kZ在确定图象形状时所起的关键作用。

（二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用，（三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数；

二．教学策略

在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如：

1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；

2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.三．学情分析

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障．

四．教学程序

1、复习引入

（一）、复习

问题:

1、什么是正切？正切有关的诱导公式？ 练习：画出下列各角的正切线 高中数学

正切函数的图像与性质

（二）、引入

引出正切函数、正切曲线的概念，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质.2、学习新课：

提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。

（一）复习：如何作出正弦函数的图像？

（二）、探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？

设f(x)=tanx f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x)y=tanx是周期函数，是它的一个周期。高中数学

正切函数的图像与性质

我们先来作 一个周期内的图像

根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像

（三）、研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想）

（四）、疑点解析 高中数学

正切函数的图像与性质

在每一个开区间

（五）、例题讲解及课内巩固练习例

1、比较下列每组数的大小

（1）tan167与tan17

3（2）tan（y=tanx在（，）上是增函数，又y=tanx在（0，）上是增函数

内都是增函数）与tan

说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。

例

2、求函数y=tan(x+)的定义域和单调区间及其对称中心。

解：令t= x+，那么函数y=tan(x+)的定义域是

t ，因此，函数的定义域是 高中数学

正切函数的图像与性质

练习：求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间，对称中心

例3 求函数y=tan3x的周期

说明自变量x,至少要增加是。，函数的值才能重复取得，所以函数y=tan3x的周期

例4 解不等式：

例5 观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围

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正切函数的图像与性质

（六）、课堂小结

通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。

3、课后作业

（1）课本课本课本课本80页第页第页第页第1，3题

（2）列表比较正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及性质

2.指数函数的性质与图像 篇二

1. 二次项系数a及其意义。

二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向, (当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 其开口向下) , 它还决定开口的大小。也就是说, 当二次函数a的绝对值相同时, 这些抛物线的形状完全相同, 反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 可以由抛物线y=ax2 (a≠0) 平行移动得到。

2. 常数项c的意义。

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 来说, 当x=0时, y=c, 即抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 总是经过 (0, c) 。当c>0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;当c=0时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与y轴的交点坐标已知时, 其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。

3. 一次项系数b的意义。

当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的二次项系数a及一次项系数b一旦确定, 这个函数的对称轴:x=-b2a直线 (顶点的横坐标) 就唯一确定了。反之亦然。

例1已知二次函数y=-x2+3x, 则其图像大致位置是 ()

二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 其图像顶点坐标是, 这是二次函数的一个重要性质, 也是同学们必须要知道的, 它不但决定了二次函数的顶点位置, 同时也确定了函数的最大值或最小值。

例2已知:抛物线y=x2-8x+c顶点在x轴上, 则c的值是 ()

简析:由于抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则其顶点的纵坐标为0, 即, 故选D。

三、抛物线与轴交点与字母系数

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 与x轴的交点, 即求函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中当y=0时的自变量x的值, 得到横坐标x的值, 其纵坐标为0。当方程ax2+bx+c=0中的b2-4ac>0时, 说明抛物线与x轴有两个不同的交点;当b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有唯一的交点;当b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点。

例3求当m取什么值时, 抛物线y= (m-1) x2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点。

简析:要使抛物线y= (m-1) 2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点, 方程 (m-1) 2-2mx+m-2=0应有两个不相等的实数, 故b2-4ac>0且m-1≠0解得且m≠1.

注意这里容易忽视m≠1≠0的条件。

例4抛物线y=x2-2 (m+1) x+m2+4m-3与x轴的两个交点A、B分别在原点的左、右两侧, 且m为不小于0的整数, 求这个函数的解析式。

简析:设抛物线与x轴的两个交点坐标为A (x1, 0) , B (x2, 0) , 故x1, x2应为方程x2-2 (m+1) x+m2+4m-3=0的两个根, 由题意可知得:b2-4ac>0, x1x2<0且m≥0的整数, 求得m=0, 所以函数的解析式为y=x2-2x-3。

四、二次函数的对称性与字母系数

由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形, 故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的, 只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此, 当已知一条抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) , 我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。

1. 关于两坐标轴对称。

(1) 关于x轴对称。

求与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于x轴对称的抛物线解析式时, 由对称性可知, 它们的形状完全一致, 只是开口方向相反, 与y轴的交点坐标由原来的 (0, c) 变为它关于x轴的对称点 (0, -c) 。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c (a≠0) 。这里的二次项系数a, 一次项系数b和常数项c) 正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。

(2) 关于y轴对称。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式, 这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样, 也就是二次项系数和常数项不变, 只是对称轴由原来的直线变成了直线也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的一次项系数互为相反数, 故与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0) 。

2. 关于抛物线的顶点对称的抛物线。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于其顶点对称的抛物线的解析式, 这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致, 只是开口方向相反, 故所求的抛物线解析式为:

例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。

简析:抛物线y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, 其顶点坐标是 (1, -4) , 对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为:y=- (x-1) 2-4=-x2+2x-5

五、二次函数图像的形状、位置与字母系数的范围

由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。

例6已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交于点A (1, 0) 和点B (b, 0) , (点B在点A的右侧) 。与y轴交于点C (0, 2) , 请说明a、b、c的乘积是正还是负?

简析:由题意, 所以a、b异号, 又因为函数图像与y轴交于点 (0, 2) , 所以c=2>0, 所以a、b、c的乘积是负数。

综上, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切, 加强二次函数的字母系数的研究, 对探讨二次函数的图像性质大有裨益。

摘要：我们知道, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数确定了 (可以用待定系数法确定a、b、c的值) , 它的图像和性质也就决定了;反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质, 也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。

3.一次函数图像与性质的重难点讲析 篇三

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

由图可知：该函数图像不经过第四象限.

一、 重点透析

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的？

一次函数是我们学习的第一种函数，函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段，所以我们在学习一次函数的图像时，一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时，只画出了几个特殊的函数图像，通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律，即由特殊总结归纳一般规律，这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像，我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律，又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的

4.指数函数的性质与图像 篇四

《二次函数的图像与性质》教学反思

本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质

（一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。

讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。

成功之处：

1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。

5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。

不足之处：

5.一次函数的图像与性质教学设计 篇五

林州市临淇镇第三初级中学 刘振宇

教学分析：

由于前面的教学中，学生已经用描点法画出一次函数的图象是一条直线，本节课的重点是画正比例函数与一次函数的图象及由图象总结出函数的性质。为了能使学生顺利地掌握画图的方法，首先给学生一个感性的认识：一次函数的图象是一条直线，再通过几何知识得到，画一条直线只要知道两点即可。在画完图象的基础上，由学生对图象进行观察，教师对学生加以引导，使学生很顺利地得到一次函数的性质。整节课的关联性较强，一环扣一环，便于学生思考。

教学目标：

1、知识与技能：学生会利用两个点画出一次函数和正比例函数的图象；结合图象，学生直观地初步感知一次函数中的k和b的几何意义。

2、过程与方法：通过观察图象和师生、生生间的交流，学生初步感受图象在探索一次函数的性质中的作用

3、情感态度与价值观：学生进一步体会数形结合的思想方法在探索中的应用。

重点：一次函数y=kx+b的图象及b的几何意义

难点：正比例函数及一次函数解析式中k和b的几何意义及其应用

教学媒体的运用：本节课使用PowerPoint演示文稿和几何画板。

1、上课伊始，运用几何画板演示几个一次函数的图象，学生回忆画过的图象，感受一次函数的图象是一条直线。

2、使用几何画板拖动图象并观察解析式，发现k不同正比例函数所在的象限也不同。从而得出一次函数y=kx+b，当k>0时图象经过一、三象限；当k<0时图象经过二、四象限。解决重点问题。

3、拖动图象沿y轴上下运动，发现b不同一次函数的图象的变化规律：当b>0时，图象向上平移 |b| 个单位；当b>0时，图象向下平移 |b| 个单位，突破本课的难点。

教学过程：

一、引入：

复习题

1、直线y=3x过点（，0）、(1，)

直线y=3x＋2过点（，0）、（0，）

2、直线y=0.5x过点（，0）、(1，)

直线y=0.5x－2过点（，0）、（0，）

3、直线y=－0.5x过点（，0）、(1，)

直线y=－0.5x＋2过点（，0）、（0，）

4、直线y=kx过点（，0）、（1，）

学生填空并根据教师所给的点的坐标画出图象。体会一次函数的图像的画法：两点确定一条直线画一次函数的图象只要描出两点即可；体会k不同函数图像的位置就不同。

二、新授：

⑴教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像。

拖动正比例函数图像上一点A，使图像在一、三象限内运动，学生观察函数解析式中k的变化。

拖动正比例函数图像上一点A，使图像在二、四象限内运动，学生观察函数解析式中k的变化

得出结论：正比例函数y=kx的图像有如下结论

当k>0时，函数图像经过一、三象限；当k<0时，函数图像经过二、四象限。

⑵教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像y=3x及y=3x＋2。引导学生观察这两个图像有什么样的位置关系。学生很容易发现它们互相平行。那么，图像互相平行的一次函数的解析式中k和b有什么特点？

得出结论：两条直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b

2若 l1∥l2，则k1＝k2，b1≠ b2

⑶教师利用几何画板展示学生画的一次函数的图像y=3x－2及y=3x＋2；y=0.5x－2及y=0.5x＋2；y=－0.5x－2及y=－0.5x＋2。引导学生观察这三组图像有什么样的位置关系。学生很容易发现它们分别相交于y轴上同一点。那么，图像相交于y轴上同一点的一次函数解析式中的k和b有什么特点？

得出结论：两条直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b2

若l1与l2相交于y轴上一点，则k1≠k2，b1＝b2

三、练习：

1、直线y=kx＋b经过二、三、四象限，则k

，b ； 经过一、三、四象限，则k

，b ；经过一、二、三象限，则k

，b。

2、已知一次函数一次函数y=(1－3k)x ＋2k －1(1)当k＝

时，直线经过原点;(2)当k＝

时，直线与x轴交于点（，0);(3)当k

时，与y轴的交点在x轴的下方

(4)当k

时，直线经过二、三、四象限。

3、两条直线y=k1x＋b1，y=k2x＋b2交于y轴上同一点，则必有（）

A、k1＝k2，b1＝ bB、k1≠k2，b1＝b2

C、k1＝k2，b1≠ bD、b1＝ b2

4、在同一坐标系内画出函数y=－2x和y=－2x－6的图象，这两条直线的位置关系是。

5、将直线y=x+4向下平移2个单位，得到的直线解析式为（）

A、y=x+6 B、y=x+2 C、y=x+4 D、y=x+4

四、小结：大屏幕展示

五．作业

6.指数函数的性质与图像 篇六

管小红

教学目标

1、知识与技能目标：

（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；

（2）会做指数函数的图像；

(3)能归纳出指数函数的几个基本性质。

2、过程与方法目标：

通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：

（1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题

(2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

教学重点和难点

教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。教法：讲授法 学法：讨论法

教学过程

一．创设情境，揭示主题

1某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个„„，这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与x有怎样的函数对应关系？

2“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。木椎截取x次后，剩余量y与x有怎样的函数对应关系？

答：细胞个数y 与x的函数关系式是y=2x, 木棰的剩余量y与x的函数对应关系是y=。

在这个函数关系中，底数是一个常量，指数是一个变量，我们把这样的函数叫做指数函数，你能给出它的一般形式吗？

二．指数函数的概念

1． 形如y=ax 的函数.这里a的取值范围如何呢？

主要有两个目的,使函数的定义域为R,且具有单调性.（1）假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；(2)假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

（3）假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。

2．指数函数的定义：

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R。

了解了什么是指数函数，还需进一步研究其性质，从“数”的角度研究其解析式有难度，我们转而从“形”的角度研究其图象，然后从图象中看能否发现规律总结出指数函数的性质。

三．指数函数的图象和性质：

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤：列表、描点、连线 思考如何列表取值？教师与学生共同作出

图像。

利用几何画板演示函数像的共同特征。由特殊到一般,得出指数函数出图象性质：

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。的图象，观察分析图的图象特征,进一步得师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

特别地，函数值的分布情况如下：

四巩固与练习

例： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。五．课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 你又掌握了哪些数学思想方法？

你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？ 六．布置作业

习题：1,2 七：课后反思：

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。

7.指数函数的性质与图像 篇七

一般地, 函数y=f (x) 的图像和它的反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称, 并且y=f (x) 与y=f-1 (x) 具有相同的单调性.因此, 利用这一特征, 在解决函数y=f (x) 与函数y=f-1 (x) 的交点问题时, 常将问题转化, 使解题过程得以简化.

性质1 单调增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

证明 用反证法.

假设函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 存在不在y=x上的交点A (a, b) , 由互为反函数图像性质, B (b, a) 也为y=f (x) 与y=f′ (x) 的交点.

不妨设点A (a, b) 在y=x的左上方, 则a<b=f (a) , B (b, a) 在直线y=x的右下方, 且b>a=f (b) .故有a>b时f (b) >f (a) , 即y=f (x) 为单调减函数.这与y=f (x) 单调递增矛盾, 假设不成立.

所以单调递增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

例1 解方程$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}.$

解 令$y=\sqrt{2x+3}$, 则$x=\frac{x{}^2-3}{2}‚$

∴其反函数为$y=\frac{x{}^2-3}{2}.$

∵原方程的解为函数$y=\sqrt{2x+3}$与其反函数$y=\frac{x{}^2-3}{2}$的交点横坐标,

又$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定义域是$\left[-\frac{3}{2}‚+\infty \right)$,

则函数$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}$可转化为

∴x=3或x=-1.经检验x=3是原方程的根.

例析 利用这种方法对方程的求解达到最简化, 但必须注意的是y=f (x) 必为增函数, 否则不成立.

性质2 单调减函数与其反函数若有交点, 则交点在直线y=x上或交点关于直线y=x对称.

例2 求y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点.

解 ∵y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点横坐标为方程$-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根, 因此若设-x3=x, 得x=0, 交点为 (0, 0) .

事实上, $-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根为x=0或x=±1.

∴交点为 (-1, 1) , (0, 0) , (1, -1) .显然二者不一样.

究其原因是函数y=-x3为R上的减函数造成.

由上可知, 求函数y=f (x) 与其反函数的交点 (或相关) 问题时, 我们首先判断函数y=f (x) 的单调性, 若为增函数时, 可将原题简化为求f (x) =x的根来确定交点的横坐标, 从而简化计算过程.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.

8.指数函数的性质与图像 篇八

关键词:网络环境;数学教学;探讨

一、基于网络环境下的数学教学的含义

基于网络环境下的数学课堂教学,根据新课程标准的教学内容和教学目标需要,继承传统教学的合理成分,打破传统教学模式,全天候,不间断,因材施教的新型教学方法,教学与评价的信息在互联网上传输与反馈,极大地优化了教师群体,丰富了学生的知识储备。

基于网络环境下的教学,可以共享教学资源,传递多媒体信息,适时反馈学生学习情况,刺激学生不同的感官,符合学生的学习认知规律,提高了学生的学习兴趣,扩大了信息接受量,增大了课堂教学容量,同时又具有实时性、交互性、直观性的特点,大大丰富了课堂教学模式,同时又满足了分层教学,因材施教,远程教学等社会需要,开创了教学的全新局面。

二、基于网络环境下数学教学与评价的应用

基于网络环境下数学教学与评价有两大优点:

1.能做到图文并茂,再现迅速,情境创设,感染力强,能突破时空限制,特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能,发挥个体的最大潜能和创造力,加快学生对知识的理解、接受和记忆,也最能体现新课标的精神,也极大地满足了社会全民教育、终身教育的要求。

2.同时全体老师又能通过网络共享教学资源,适时创新资源,使每一个老师都成为名师,使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时,二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像以及图像变换是重点内容,关于函数图像的传统画法,是通过师生列表,描点,连线而得,这些工作繁琐,静止孤立,间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大,时间又有限。而基于网络环境下的数学教学,就可以充分利用网络版课件,使教师有更多的时间进行创新研究,同时让学生在交互的动态的网络环境下学习,充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系,充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。

三、基于网络环境下数学教学突破教学难点

高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题,而这也正是高中数学的难点之一,基于网络环境下的教学可以化抽象为直观,有利于突破难点。

如“二次函数即:y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨,学生对二次函数的开口,对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解。在网络环境下,学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制,能深刻理解数学知识的要点,加上在网上的即时测试和评价,更能有效地掌握它,不再感到难以理解。

四、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化、即时化

传统的教学形式是教师讲,学生听。这样教学方式课堂容量有限,反馈方式单调,信息交流少,所有的学生步伐相同,不利于因材施教,不利于培养学生终身学习的能力,同时不能解放教师,让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求,培养活学活用的能力,真正实现教学以学生为中心,教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教,体现新课标的要求,

五、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

1.网络与学生的关系。和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学,应加强对互联网海量信息的搜索、筛选、加工、创新。在选好教育资源后,教师要努力探索适时、适用问题,创设学习情境,营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握,达到网络与人的和谐统一。

2.网络与教师的关系。基于网络环境下的学科教学优势空前,实践中发现,只有网络环境下的教学与教师灵活生动地讲解和创新地适时评价互相配合,相互促进,协调传递信息,最大限度地发挥网络和教师的优势。

9.二次函数的图像和性质教学反思 篇九

这节课的教学主要使学生在原有基础上，通过类比一次函数掌握二次函数图象和性质，突出的是探索交流合作的方式。

在知识学习过程中给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历了画图、观察、猜测、交流、反思等活动，借助图形教学，形象直观，体现了数形结合思想，激发了学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识最简二次函数的性质。

对于本节课，我个人认为在教学思路上还是比较清晰的，重难点把握得还是比较准确的，复习时利用原来学过的函数图像，让学生说出增减性，很自然的就引发出了探究二次函数性质的问题以及利用具体的图像，学生比较容易理解和掌握。

但是，整体来看，课堂容量稍有点偏大，学生没有充分的时间进行探究。在得出性质后，应该设置几道练习，让学生能运用新知识，有助于性质的掌握。课堂上时间较紧张，题目的设置还不够精，也没有给学生足够的思考时间，急于得出答案，造成正确率的下降。二次函数的性质教学反思--于洋

2011年10月21日 来源：本站

二次函数的性质教学反思

进入二次函数这一章节后，难点也就随之而来了，因为这一章节中大部分的内容都是数形结合的知识，学生在这部分也一直是难点。在学习一次函数的时候，涉及到函数增减性的问题，当时的解决方法是让学生动手去做，方法如下：首先做出一次函数的草图，然后用左手从图像的左到右移动，并且要求学生说出随着x的增大（手由左向右的移动过程中x是一直在增大的），图像是升高了还是降低了。最后把话说完整，随着x的增大y是增大了还是减小了，这种方法在当时大部分学生还是能够接受的。所以在二次函数的性质这节课之前我就决定了，还是用动手比划的方法让学生去理解增减性。

首先，让学生理解想求出二次函数的增减性首先要从二次函数的一般式转化为顶点式，目的在于通过顶点式就可以直接看出对称轴，再给学生充分的时间让学生发现，二次函数与一次函数的增减性是不同的，一次函数不用分段去说，而二次函数要求以对称轴为分界点分段去说。在这些都准备好之后，告诉学生判断增减性的要点：

（1）通过函数的顶点和开口方向，画出二次函数的草图。

（2）在草图上标出对称轴，然后用对称轴把二次函数的定义域分成两部分。

10.一次函数的图像和性质教案123 篇十

一、教学目标

1、知识与技能目标:能熟练做出一次函数的图像，并能通过图像归纳总结出一些简单的性质。

2、过程与方法目标：

（1）经历一次函数的图像和性质探究后，能解决一些简单的问题。

（2）进一步培养数型结合及分类讨论的意识和思想。

（3）在思考活动中培养他们的探索和动手能力及合作交流意识。

3、情感态度与价值观目标：让学生全心投入到学习活动中，积极参与讨论，发展探索能力和创新能力。

二、教学重点、难点

重点：

1、能熟练做出一次函数的图像

2、能结合图像掌握一次函数的性质

难点：一次函数的性质及应用图像解决问题

三、教学过程

（一）复习提问，引出课题（多媒体展示）

1．什么是正比例函数？正比例函数有哪些性质？

正比例函数y=kx的性质

A.当K＞0时，y随x的增大而增大。B.当K＜0时，y随x的增大而减小。2．画函数图像的一般步骤是什么？

列表描点

连线

3．正比例函数的学习流程 函数解析式

函数的图像

函数的性质

上节课已学习了一次函数的解析式，对比与正比例函数引出本节课的课题。——《一次函数的图像和性质》（板书课题）

（二）动手操作，合作探究，归纳总结 活动一 1.布置作图任务y=-6x,y=-6x+5 2.学生通过列表描点连线的方法做出函数图象后，让他们与同学对比所做图象的异同。

3.直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

练习：

(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过____________ 而得到;

直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过_____________而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过____________ _而得到.（2）将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是______ 活动二：画一次函数的图象（两点法）

用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象

拓展出两条直线垂直时的条件。归纳：对于直线y=k1x+b1与直线 y=k2x+b2（1）当________时，这两条直线互相平行；（2）当________时，这两条直线重合；（3）当________时，这两条直线相交；（4）当________时，这两条直线互相垂直；

活动三：在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1 的图象

引导学生思考：通过对比四个函数图象，思考是什么导致一次函数图象的走向不同？（答：比较四个不同解析式的函数图像，可以看出k=1和k=2的两个函数图象都是y随x的增大而增大，而k=-1和k=-2的函数图象都是y随x的增大而减小，进而得出k值的正负决定了一次函数图像的走向，b 决定直线与y轴交点位置。）活动二

1.提出新问题：一次函数y＝kx＋b(k≠0)经过哪几个象限，与 k、b的正负的关系？依然研究他们画出的那四个函数图象，通过观察，引导他们归纳出结论： A.K＞0,b＞0时，图像过一、二、三象限。

B.K＞0,b＜0时，图像过一、三、四象限。

C.K＜0,b＞0时，图像过一、二、四象限。

D.K＜0,b＜0时，图像过二、三、四象限。

（三）学以致用，反馈练习

例

1、已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：（1）函数值y 随x的增大而增大；

（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且当

X1y2；（3）函数图象与y 轴的负半轴相交；（4）函数的图象过第二、三、四象限；（5）函数的图象过原点；

(6)函数的图象平行于直线y=-5x；（7）函数的图象不经过第二象限。

练习：1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为______;与y轴的交点坐标为______;图象经过________象限,y随x的增大而___ 2.直线y=kx+b与直线y=5x+2平行，与y轴的交点为（0，-7），则解析式为_______.3.直线y=2x+5与直线y=-3x+5都经过轴上的同一点(___,___)4.已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则k_____,m_______ 5.对于一次函数y=(a+4)x+2a-1,如果y随x的增大而增大，且它的 图象与y轴的交点在x轴的下方，试求a的取值范围

例

2、已知直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b的值是__________ 练习：

1、一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b。

2、一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为8,求这个一次函数的关系式。

3、一次函数y=kx+b 的图象过点A(3,0).与y轴交于点B，若△AOB的面积为6，求这个一次函数的解析式

4、已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=24,求△ABP的面积.（四）小结

11.三角函数的图象与性质 篇十一

关键词：三角函数;知识点;教学策略

数学一直都被认为是一门比较抽象的科目，但其实，只要学生结合图象和性质，加上老师的有效教学方式，学生掌握起来也就没那么难了。本文就以三角函数为例，根据知识点解析教师如何进行教学。

一、三角函数的主要知识点

1.三角函数的单调性与值域

求三角函数的值域，首先必须要清楚其单调性以及在定义域的范围内。很多学生都会忽略定义域，这是不能小视的，因为定义域不同，值域也可能是不同的。教师在教这方面知识的时候要重点提醒学生千万不能忘记值域范围内的定义域。

而最好解决这个问题的办法就是数形结合，虽然并不是适用于所有题型，但是一般都比较适用，而且图形是最直观的东西，出错率会没那么高。

例：求函数y=的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P（cosx，sinx）与定点Q（2，0）所确定的直线斜率的范围。作出如图1的图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数y=的最值，由几何知识易求得过Q的两切线的斜率分别为-、。结合图形可知，此函数的值域是[-、]。

图1

值域就是在定义域内求最大值或者最小值，解题思路就是：首先，明确定义域;然后，求该函数在定义域内的单调性，根据其单调性找出最值。

2.三角函数的奇偶性与图象的对称性

三角函数是对称的图形，我们根据其对称性，可以求其对称轴、对称坐标等。

例：函数y=3sin（2x+）图象的一条对称轴方程是（  ）

A.x=0 B.x= C.x=- D.x=

解：由性质1知，令3sin（2x+）=±1，得2x+=kπ+（k∈Z），即x=π+（k∈Z），取k=1时，x=，故选B。

例：求函数y=3tan（2x+）的对称中心的坐标。

解：由性质3知，令tan（2x+）=0，得2x+=kπ（k∈Z），即x=π-（k∈Z），所以函数y=3tan（2x+）的图象的对称中心是（π-，0）（k∈Z）。

3.三角函数的周期性与图象的变换

三角函数是具有周期性的，图象的变换与周期性密切相关。

例：已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（  ）

A.函数f（x）的最小正周期为2π

B.函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C.函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D.函数f（x）是奇函数

分析：先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A正确;利用余弦函数图象判断出B错误;利用三角函数的奇偶性判断出C，D正确。

二、教学策略

1.以学生为主体

学生是学习的主体，老师要多倾听学生的意见，了解关于三角函数这个知识点，学生的薄弱环节是什么，然后一一击破。因为学好三角函数最重要的是理解，对性质的深刻理解，所有的题目都是万变不离其宗的，只要对性质有深刻的了解，解答题目也就轻松多了，不论是求值域、对称轴，还是周期，只要把握奇函数和偶函数的性质，知道其变换方式，就能很好地答题。但是，很多老师都不了解學生究竟是哪里不明白，所以就要给学生表达意见的机会，以学生为中心，毕竟数学是不能靠死记硬背达到效果的。

2.联想法

奇函数和偶函数的联系是密切的，学生要对图象有一个基本的了解和记忆，因为这样才能更好地答题，所以，教师在教学中，可以由奇函数或者偶函数为切入点，根据两者的联系，再讲另一个，这样，学生能比较好地掌握函数的图象和性质，当遗忘了另一个性质的时候，还能很好地根据记住的这个联想起来。

如下图（图3，图4）：

图3

y=sinx向左移动π，得到：

图4

联系两者，加深学生的印象。

3.数图结合

数图结合是数学解答中常用的方法，因为图片看起来更加具体，没有那么抽象，可以说是化抽象为具体，学生答题时，可以充分利用这种方法。但是，教师首先要重视数图结合的方法，在平时的三角函数教学中，在知识点的讲解中，要重视这个方法，给学生树立一个参照的对象，让学生在答题时，一看到某种题型，就想起这种方法。

例：已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R.

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期;

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值。

作函数f（x）=sin（2x-）在长度为一个周期的区间[，]上的图象如下（图5）：

图5

由图象得函数f（x）在区间[，]上的最大值为，最小值为f（）=-1.

三角函数的知识点是很明确的，所以教师要根据知识点的特性，结合相应的教学方法，让学生更好地掌握其图象和性质。

参考文献：

[1]翟阳琴.三角函数教学中学习能力培养的策略[J].文理导航：中旬，2013（8）.

[2]范正君.在三角函数学习中提高能力[J].数理化学习：高中版，2013（8）.

12.指数函数的性质与图像 篇十二

什么叫正切函数?(演示定义:设α为任意角,在α的终边上任取一点P(x,y),规定:比值叫做α的正切,即显然,x≠0,即终边不能在y轴上).

如果我们记正切函数为y=tan x(注意:y=tan x中的x,y不是定义里所取任意点的横纵坐标,而是以角度作为自变量,比值作为相应函数值),我们看到,定义并不能直接体现函数的自变量和因变量的关系.

再思考,除定义外,你还知道与正切函数有关的哪些知识?(同角关系,三角函数线)

回到课题:研究正切函数;方法:从图像到性质.

一、作正切函数y=tan x的图像

1.回顾:常用的作图方法有哪些?列表、描点、作图或利用图像变换.结合上面与正切函数有关的信息,我们选择什么方法?图像变换行不通,超出我们现有的能力;直接描点难度大,因为非特殊角的函数值我们不易求出,即使是特殊角,其纵坐标也很难准确找到.

2.在研究一个函数之初,我们希望尽可能精确地作出函数图像,如何达到这个要求呢?

在直角坐标系的x轴上任取一点,以O1为圆心做单位圆.取角α,得其正切线.在坐标系下取点遇到问题了:我们看到单位圆中的角度和对应函数值不能直接体现成图像中点的横纵坐标的关系.怎么办?也就是说,对应到坐标系下,横纵坐标如何取?(在弧度制下,对应弧的长度即角的大小,而纵坐标即为正切线长,可通过平移得到)

4.学生画图,亲自体验图像的形成过程.

5.课件演示动态形成过程,描述图像特征:呈蜿蜒向上的趋势,曲线位于两直线之间,向上向下无限接近但始终无法超越(渐近线).

6.那么的图像又如何得到?由诱导公式可知,自变量相差π的整数倍,对应函数值相等.故只需将上述图像以π为长度单位向左、右依次平移即可得在定义域上的完整图像.

7.用文字语言描述总体特征:正切曲线是由互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成,每支曲线向上向下无限接近相应的两条直线.

(这正是图像作用的体现.对于一个函数而言,图像描绘了函数的大致面貌,帮助我们从直观上认识一个函数的特征.我们要透过现象看本质,通过图像特征挖掘出函数的一系列性质.)展开第二个问题:

二、通过图像探究正切函数的性质

谈函数性质,主要讨论哪些方面?

定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性.

推敲单调性的表述,总结三个错误说法:

说法一:“定义域”.

说法二:“每个周期”.

说法三:“一、四象限”.

三、举例说明图像性质的简单应用

练习:比较大小

方法:利用正切函数的单调性

引申:把角化到同一单调区间

四、小结

从知识角度来说:

1.通过动手描点绘图,亲身感受了图像的形成过程.

2.通过图像挖掘出正切函数的一系列性质.

从数学思想方法来说:

体验到数形结合的思想,从特殊到一般的思想.

五、思考与拓展

提出这样一个问题:我们从图像上可以得出,正切函数在是单调递增函数,但只是感性认识.如何从理论上严格证明这一结论?

六、教后反思

13.指数函数的性质与图像 篇十三

教学内容:6.2二次函数的图像和性质(3 课 型:新授课 学生姓名:______ 学习目标:

1、经历探索二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象作法和性质的过程;

2、能够理解函数y= y=a(x-h2与y=ax 2的图象的关系,知道a、h 对二次函数的图象的影响;

3、能正确说出函数y=a(x-h2的图象的性质.教学过程:

一、叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0的图象和性质。

二、探索二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象作法和性质:

1、操作:

y=(x+3的图象;

2、思考:(1函数y=(x+32的图象与y=x 2的图象有什么关系?(2函数y=(x+32的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?(3从表格中的数值看,函数y=(x+32的函数值与函数y=x 2的函数值相等时,它们所对

应的自变量的值有什么关系?(4从点的位置看,函数y=(x+32的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系?它是轴

对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

3、结论:函数y=(x+32的图象可以由函数y=x 2 的图像沿x 轴向平移 个单位长度得到, 所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4、观察右图,思考并回答下列问题: ①抛物线y=-3(x-12可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴平移了 个单位;抛物线 y=-3(x+12可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴平移了 个单位.②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?

5、归纳:二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象和性质:

三、例题:

1、二次函数y=2(x+52的图像是 ,开口 ,对称轴是 ,当

x= 时,y 有最 值,是。它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为___________。

2、将函数y=3(x-42 的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是;将函数y=3(x-42 的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是。

3、把抛物线y=a(x-42 向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h 2 的图象,则a= ，h=。若抛物线y= a(x-42的顶点A ,且与y 轴交于点B ,抛物线y=-3(x-h 2 的顶点是M ,则S ΔMAB =.4、9.如图所示,在直角坐标系中,函数1y x =-+与21(12 y x =--的图象大致是（5、将抛物线2(2(0y a x a =+>向右平移2个单位后与直线AB 相交于B,C 两点,如图,已知A 点的坐标是(2,0,B 点坐标是(1,1.(1求直线AB 和平移后的抛物线所表示的函数解析式;(2如果平移后的抛物线上有一点D,使得OAD OBC S S = ,求这时点D 的坐标.三、课堂小结

四、课堂作业 初三数学课堂作业(42

1、二次函数y=-3(x-42的图像是由抛物线y=-3x2向平移个单位 得到的;开口,对称轴是,当x= 时,y有最值,是.2、将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数的图像, 其对称轴是,顶点是,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小。

3、将二次函数y=-3(x-22的图像向左平移3个单位后得到函数__________的图像,其

顶点坐标是________,对称轴是________,当x=________时,y有最_____值,是______。

4、将抛物线y=2x2-3先向上平移3单位,就得到函数的图象,再向平移个单位得到函数y= 2(x-32的图象。

5、函数y=(3x+62的图象是由函数的图象向左平移5个单位得到的, 其图象开口向,对称轴是,顶点坐标是,当x 时,y随x 的增大而增大,当x= 时,y有最值是。

6、已知二次函数y=a(x-h2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3,求此

函数的解析式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大?

7、如图,在平行四边形ABCD中,BC=6,S□ABCD=12,求抛物线解析式。

8、如图,一抛物线拱桥,拱顶O离水面高4米,水面宽AB=10米,现有一竹排运送一只

货箱欲从桥下通过,已知货箱长10米,宽6米,高2.5米(竹排与水面持平,问货箱能否顺利通过该桥? 课后作业:

1.抛物线23(1y x =-与抛物线23y x =的________相同,________不同。2.抛物线22(1y x =-+的开口________,对称轴是_________,顶点坐标是_______,当

x =____时,函数22(1y x =-+有最_____值为________。3.抛物线21(32 y x =-可由抛物线212 y x =向________平移________个单位得到。

4.抛物线235y x =+的开口__________,对称轴是__________,顶点坐标是__________。

5.抛物线279y x =-与抛物线27y x =的__________相同,__________不同;抛物线 279y x =-可由抛物线27y x =向_______平移______个单位得到。6.已知,函数2327 y x =-+ ,当x <0时,y 随x 的增大而______;当x > 1 2 时,y 随x 的增大而________。7.由抛物线21(33y x =+得到抛物线213 y x =只需将抛物线21(33y x =+(A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位

C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 8.对于二次函数2(1y x =-,下列结论正确的是(A.y 随x 的增大而增大

B.当x >0时,y 随x 的增大而增大 C.当x >-1时,y 随x 的增大而增大 D.当x >1时,y 随x 的增大而增大 10.由函数2113y x =-+的图象得到21 13y x =--的图象,只需将抛物线2113 y x =-+(A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 11.与抛物线2415 y x =--的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函 数是(A.2415y x =-

14.指数函数的性质与图像 篇十四

九年级数学《二次函数的图像和性质》评课稿

陈老师执教的《二次函数的图像和性质》是很成功的一趟课。主要表现在以下。

一是教学设计严谨，环环相扣，每个教学步骤之间都有逻辑的联系。

二是在课堂教学中实行分组竞争教学，以激发学生学习的主动性和积极性，课堂气氛热烈，师生互动多。

三是对教材的研究深，重点、难点把握好，以聋人单考单招真题为切入口和教学内容，以点带面复习教学知识。

四是应用了几何画板，作为一个简单易用的数学教学软件，我一直倡导数学老师都应该学，不仅可以用在课堂教学上，几何画板在出一些练习题需要画图时也有很多优势，比纯粹用word画图方便多了。

但在课堂教学过程中也有一些不足之处，在此提出一起讨论。

一是教师讲的偏多。这是一节复习课，复习课的主要目的是梳理知识、理清思路，对某类题、某系列知识进行重点分析、深挖、加固。在这个过程中教师应多引导学生，对学生在学习过程中遇到的问题一些讲解和点拨即可。这样看起来教学气氛会稍差，但如果能精心设计练习，一样能收到很好的教学效果。这样一堂课既有学生自主练习又有教师适时分析引导，动静结合，张弛有度，学生、老师都不会感到累。

二是建议一节课就讲一个重点知识。本节课内容除了二次函数的图像和性质外，还有二次函数和不等式之间的关系。感觉教学内容比较多，其实二次函数的图像和性质已包含了很多内容，这些基础知识学生能够掌握，对于学习能力一般的聋生已经很了不起了。如果真都能完全掌握，则对该部分知识进行拓展和深化。这样一节课看起来是一个整体，很完整。

15.指数函数的性质与图像 篇十五

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时学生必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：

S=x (50-x)，故函数关系式为：S=x (50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，学生必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，学生应注意函数定义域。如：

例2：求函数的值域。

错解：令，则2x=t2+3,

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，学生若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2，∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上时，u为减函数;在x∈(0，+∞)上时，u为增函数，

又∵f (x)=log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x)=log2 (x2+2x)在(-∞，-2)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数。

即函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调递增区间(0，+∞)，单调递减区间是(-∞，-2)。

如果在做题时，学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]，

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称，

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

如果学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、单调性、奇偶性等问题中，如果我们能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]田万海.数学教育学.浙江教育出版社.

[2]庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学编辑部出版.

16.指数函数的性质与图像 篇十六

利用函数的观点认识方程与不等式，在初中解决一次，二次的方程与不等式中就有基础性的要求与渗透。高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“导数中不等式类问题的证明”、都是在不断深化学生利用函数的能力，以及适当转化能力，有利于使学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。

对与这一年的考题我对考试标准答案不是很满意，我个人认为此解题过程不算理想，在第二问中 转为研究 转为 更为合理。构造 研究最值。且求导后 分子部分正是第一问中研究的，因此在 上 是单调递减的，最值也就清晰了。这种做法在两问的延续性上更具美感，同时也避免了分类讨论，只是g（x）的最大值问题上涉及极限问题，不太符合目前人教版课标要求。可以在最大值问题上进行转化 研究即可。但我们今天主要是探究这个不等式很成立问题的立意，也许本质图像的探究会带来更好方法。

我們看二问中若 在 上恒成立是什么意义，即在 时我们把不等式化为 恒成立，即函数图象y=bx，y=sinx，y=ax三者位置是上中下的关系，能否利用过原点直线与正弦图象解决这道高考难题呢，有兴趣的朋友可以进行尝试，我想这已经把这道高考大题，不等式的恒成立问题挖掘到出题的起点了。

17.一次函数图像和性质教学设计说明 篇十七

本节内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2.2一次函数”（第二课时）

一、本课数学内容的本质、地位和作用分析

本课数学内容的本质是通过研究具体一次函数的图象特征和函数性质，抽象得到一般的一次函数的图象特征和函数性质，在这个过程中使学生认识到由具体到一般的研究问题的方法．同时在学生了解了正比例函数ykx的图象和性质的基础上，通过比较一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式上的区别，得到一次函数图象与正比例函数图象之间的关系，进而得到一次函数的图象和性质，也使学生体会到当两个函数有密切联系时，可以通过类比以前研究函数的方法来研究新的函数．在“观察图象——分析解析式——归纳结论”的过程中，培养学生的数形结合的能力．

一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础．

从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式．

二、教学目标分析

（一）教学目标））1.使学生理解函数ykxb（k0与函数ykx（k0图象之间的关系，会利用两个合适的点画出一次函数的图象，掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响．

2.通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳k的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3.通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法．

4.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神．

三、教学问题诊断分析

本节课主要是研究一次函数的图象和性质，在此之前学习者已经学习了正比例函数的图象和性质，一次函数的定义．由于授课班级为我校普通班级，学生虽然已经经历了研究正比例函数的图象和性质的过程，但是对于函数的理解还是比较浅显，将函数解析式与函数图象结合起来解决问题的能力较弱，故本节课的教学难点为通过对解析式的比较分析理解一次函数的图象和性质，并能灵活应用．

在本节课的学习中，学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解．所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力．

四、本节课的教法特点及预期效果分析

1．由于本课的教学内容是在学生以往学习了正比例函数的图象和性质以及一次函数的定义的基础上进行的，学生在学习一次函数定义时对于课后的一个实际问题的练习掌握情况不好，因此这节课从这个问题复习开始，起到承接以前学习过内容的目的，同时对这个问题稍作改动，吸引学生的注意力，再引出本课的内容，让学生在复习的过程中感受用函数模型描述实际问题的作用．

2．根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式．在教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，发现归纳结论．利用计算机的《几何画板》软件增强数与形结合的直观性，并通过学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．

3．八年级的学生好奇、好学、好动，所以在教学过程中通过让学生自己动手画图，同学之间交流画法，谈谈想法等活动，充分发挥学生的主体性，进一步激发学生的求知欲，课件中的动画过程使数与形的关系可视化，有利于学生对问题的感知。

4．在由具体函数y2x1与函数y2x的图象关系抽象得到一般一次函数ykxb与直线ykx之间的关系的过程中，我们将抽象的过程分成两步完成，第一步先由函数y2x抽象到正比例函数ykx，函数y2x1抽象到一次函数ykx1，第二步由一次函数ykx1抽象到函数ykxb，同时利用《几何画板》直观演示，有利于学生从具体向一般过渡．

5．在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会，也体现了学生是数学学习的主人的理念．学生所发表的见解不一定全都是本节课的重点，只要是学生的观点正确又的确是他的知识收获则教师就给与认可和鼓励．

6．在作业的布置上，通过阅读作业培养学生的数学阅读能力，同时养成学生及时复习、梳理知识的良好学习习惯，通过巩固性作业使学生巩固落实课堂所学的知识，通过探究作业为下节课学习利用待定系数法求一次函数解析式作铺垫，起到与下节课衔接的作用．

18.指数函数的性质与图像 篇十八

(2010年全国卷 (Ⅰ) 理科第10题) 已知函数f (x) =|lgx|, 若0

A. (2 21/2 , +∞) B.[2 21/2, +∞)

C. (3, +∞) D.[3, +∞)

错解 (一) :当0

当x>1, f (x) =|lgx|=lgx, 此时f (x) 单调递增.

又∵f (a) =f (b) 且0

∴01

∴-lga=lgb, 则1g1/a=lgb

∴b=1/a

∴, 故选择B选项.

错解 (二) :同错解 (一) 得

但是取“=”条件是a=2/a, 则a= 21/2, 与0

二、“双勾”函数的性质

我们把函数y (x) =x+a/x (a>1) 称之为“双勾”函数.

法 (一) :利用描点法 (或作y=x和y=a/x叠加) 作函数f (x) =x+a/x (a>1) 的图像, 判断其单调性、奇偶性以及读出顶点坐标. (略)

法 (二) :利用所掌握的函数知识, 探究函数f (x) =x+a/x (a>0) 的性质.

1.定义域: (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .

2.奇偶性:奇函数f (-x) =-f (x) .

3.“双勾”函数以直线y=x和y轴为渐近线.

4.确定函数f (x) =x+a/x (a>0) 的单调区间.

∴x∈ (-∞, - a) 和 ( a% 姨 , +∞) 时f' (x) > 0, f (x) 单调递增;

x∈ (- a% 姨 , 0) 和 (0, a% 姨时f' (x) <0, f (x) 单调递减.

5.函数f (x) =x+a/x (a>0) 的值域: (-∞, -2 a% 姨 ) ∪ (2 a% 姨 , +∞) .

6.函数f (x) =x+a/x (a>0) 的大致图像

7.补充定理:“双勾”函数f (x) =x+a/x (a>0) 曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值, 其值为2a.

证明: (略)

三、“双勾”函数性质的应用

1.解决“一”中的问题

由错解 (一) 知道

∴令f (a) =a+2/a, (0

∴根据“双勾”函数的性质知道:a∈ (0, 21/2 ) 上单调递减

∴a∈ (0, 1) 时f (a) 单调递减

∴f (a) >f (1) =3

即a+2b的取值范围为: (3, ∞) 应选答案C.

2.“双勾”函数的性质在高考题中的应用

例1. (2008年高考宁夏、海南数学文科卷压轴题改编)

设函数f (x) =x+3/x, 证明:曲线y=f (x) 上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

解:通过对“补充定理:“双勾”函数曲线f (x) =x+a /x (a> 0) 上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值, 其值为2a”.很容易得到曲线y=f (x) 上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为6.

例2. (2006年安徽卷20) 已知函数f (x) 在R上有定义, 对任何实数a>0和任何实数x, 都有f (ax) =af (x)

(Ⅰ) 证明f (0) =0;

(Ⅱ) 证明其中k和h均为常数;

(Ⅲ) 当 (Ⅱ) 中的k>0时, 设讨论g (x) 在 (0, +∞) 内的单调性并求极值.

证明 (Ⅰ) (略)

(Ⅱ) (略)

(Ⅲ) 当k>0, x>0时,

∴由已经证明的“双勾”函数的性质知道

在 (0, 1/k) 上单调递减, 在 (1/k, +∞) 上单调递增.∴当x=1/k时, gmin (x) =2

19.函数的性质及应用 篇十九

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint