高数同济版知识点总结

高数同济版知识点总结（精选4篇）

1.高数同济版知识点总结篇一

总结是社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经验，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料。下面是小编为大家带来的高数下知识点总结，希望能够帮到大家!

初中数学知识点全总结(一)

1.有理数：

(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;p不是有理数;

(2)有理数的分类: ① ②

2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;

(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

(2)绝对值可表示为：或;绝对值的问题经常分类讨论;

5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数> 0，小数-大数< 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若 a≠0，那么的倒数是;若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数.7.有理数加法法则：

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

(3)一个数与0相加，仍得这个数.8.有理数加法的运算律：

(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;

(2)任何数同零相乘都得零;

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：

(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);

(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.13.有理数乘方的法则：

(1)正数的任何次幂都是正数;

(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时:(-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n.14.乘方的定义：

(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

初中数学知识点全总结(二)

1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2.单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫多项式.4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：

1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

2.理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

3.理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

4.能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

初中数学知识点全总结(三)

1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.2.一元一次方程的标准形式： ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).3.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 ……(检验方程的解).4.列一元一次方程解应用题：

(1)读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程解应用题的常用公式：

(1)行程问题：距离=速度·时间;

(2)工程问题：工作量=工效·工时;

(3)比率问题：部分=全体·比率;

(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;

(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，;

(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥= πR2h.本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。

初中数学知识点全总结(四)

一、知识框架

本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.二、本章书涉及的数学思想：

1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论;在画图形时，应注意图形的各种可能性。

2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。

3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。

4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。

七年级数学(下)知识点

人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。

初中数学知识点全总结(五)

1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质

对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

12.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

13.平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。

初中数学知识点全总结(六)

1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b)

2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。

平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。

初中数学知识点全总结(七)

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

12.公式与性质

三角形的内角和：三角形的内角和为180°

三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。

初中数学知识点全总结(八)

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:二元一次方程组解决实际问题

初中数学知识点全总结(九)

1.用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。

7.定理与性质

不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式(组)的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。

初中数学知识点全总结(十)

1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

8.频率：频数与数据总数的比为频率。

9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。

本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。

2.考研高数知识总结1 篇二

一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等价无穷小替换?

分析只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。

x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2

2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？

分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如奇函数 f(－x)= －f(x)周期为T的函数 f(x+T)= f(x)等式两端分别求导，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）

所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为(x)ˊ= 1，有的非周期函数，比如y = x + sinx，的导数却是周期函数。

（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）

单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

（画外音：写出来很吓人啊。x → 1 时，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）

3．连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？

分析连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：

取分段函数 g（x）为，x ＞ 0 时 g =1，x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。取 f（u）=√u，则 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。

取 f（u）= u的平方，则 f（g（x））= 1，显然是个连续函数。

4．设 f(x)可导，若x趋于 +∞ 时，lim f(x)= +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x，x 趋于 +∞ 时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。5．设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）：因为 lim fˊ(x)= +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潜台词: ξ=ξ(x)。你有这种描述意识吗？)进而就有, x ＞x0 时, f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（画外音：这一步是高级动作。）因为 f(x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。设 f(x)可导，若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是

若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 则必有 lim f(x)= +∞

7．设 f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim f(x)= c（常数，）是否必有lim f ˊ(x)= 0 分析否。lim fˊ(x)有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x)= c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x)不存在的后果。对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，则必有 lim fˊ(x)= 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x)= A ＞0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x＞x0 时，总有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有

f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。

8．函数在一点可导，且导数大于0，能说函数在这一点单增吗？

分析不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f(x)＞ f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f(x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，则（a，b）内必有点c，fˊ(c)= 0

分析对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分别在a，b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：

函数的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。考研数学讲座（18）泰勒公式级数连

中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。

中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。

在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。1.“微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：

f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾项，比Δx高阶的无穷小）

（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。）

历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

2.拉格郎日公式 —— 若函数f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）

定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，3.泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）²，ξ 在x与x0之间式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情况下，我们无法知道

ξ=ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。

如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）

f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²）泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数 f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，„„

可以写出，f（x）= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项

4.泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数

f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(0)/ 3！）x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！

（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）

关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。

美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。

exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞ sin x = x － x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞

（逐项求导，cos x = 1－ x²/2！+ „„

－∞＜x＜∞）此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + „„ －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3！）x³+ „„ 1/(1－x)= 1 + x² + x³ + „„ －1＜x＜ 1，上同

泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有，x → 0 时，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x² / 2

sin x ~ x，sin x － x ~ － x³ / 3！，cos x －1 ~ － x²/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x²/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3)－A－B(x －1)－(x －1)²)/(x －1)² = 0，试确定常数，A，B，C 分析

已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。

题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有

常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。

于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。如果只有两个参数，可看讲座（9）。）

泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限

例88 若 x→ 0 时，极限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0，则

x→ 0 时，极限 l im(6 + f（x）)/ x² = ? 分析

分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x，（潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）

这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）³/3！+ ο（|Δx| ³）代入已知极限，移项得 lim(6 + f（x）)/ x² = 36

例89 设函数 f(x)在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 记 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ

f(3h)一 f(0)，试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 时，F(h)是比 h ² 高阶的无穷小。分析讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+ ο（|x| ²）

这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h ²+ ο（| h | ²）

f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）²+ ο（| h | ²）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）²+ ο（| h | ²）（潜台词：常数因子不影响尾项。）将各式代入F(h),整理得

F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h ²/2 + ο（| h | ²）

要让 h → 0 时，F(h)是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0，这就得到未知量

λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论例90 —— 凸函数不等式

如果函数 f(x)二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式

f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）

实际上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)²，ξ 在 x 与 x0之间

设 f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)² ＞ 0，舍掉此项就得到不等式。

*例91 函数 f(x)在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，试证明在区间内至少有一点 ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式

3.高数同济版知识点总结篇三

以下整理了一元函数微分学考试重点，建议同学们好好复习，预祝同学们考研成功过!

一元函数微分学考试内容：

导数和微分的概念;导数的几何意义和物理意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;导数和微分的四则运算;基本初等函数的导数;复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法;高阶导数;一阶微分形式的不变性微分中值定理;洛必达(L’Hospital)法则;函数单调性的判别;函数的极值;函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数图形的描绘;函数的最大值与最小值;弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径。

考试重点：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3.了解高阶导数的`概念，会求简单函数的高阶导数。

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。