《反比例函数的应用》教学设计

《反比例函数的应用》教学设计（共17篇）（共17篇）

1.《反比例函数的应用》教学设计 篇一

反比例函数的应用教案设计

教学目标：使学生对反比例函数和反比 例函数的图象意义加深理解。

教学重点：反比例函数 的应用

教学程序：

一、新授：

1、实例1：(1)用含S的代数式 表示P，P是 S的反比例函数吗?为什么?

答：P=600s (s0)，P 是S的反比例函数。

(2)、当木板面积为0.2 m2时，压强是多少?

答：P=3000Pa

(3)、如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少 要多少?

答：至少0.lm2。

(4)、在直角坐标系中，作出相应的函数 图象。

(5)、请利用图象(2)和(3)作出直观 解释，并与同伴进行交流。

二、做一做

1、(1)蓄电池的电 压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R之间的函数关系如图5-8 所示。

(2)蓄电池的电压是多少?你以写出这一函数的表达式吗?

电压U=36V ， I=60k

2、完成下表，并 回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的`可变电阻应控制在什么范围内?

R() 3 4 5 6 7 8 9 10

I(A )

3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=60k 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(3 ，23 )

(1)分别写出这两个函 数的表达式;

(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流;

随堂练习：

P145~146 1、2、3、4、5

作业：P146习题5.4 1、2

2.《反比例函数的应用》教学设计 篇二

本节内容是利用反比例函数来解决生活中的实际问题, 其关键是从实际问题中抽象出函数关系, 从而将文字转化为数学语言, 通过反比例函数的概念列出函数关系式, 再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题.

利用反比例函数解决实际问题的关键是:建立反比例函数模型, 列出反映实际问题的反比例函数解析式:

(1) 列出反映实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的分式, 即:实际问题中的变量之间的关系→建立反比例函数模型→解决实际问题.

(2) 在列反映实际问题的函数关系式时, 一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.

【学法指津】

1. 学会把实际问题转化为数学问题, 充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.

2.要熟悉一些常见的函数模型, 能用函数的观点分析、解决实际问题, 让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系, 并得到解决.

3.要认真阅读题目, 理解题意, 抓住关键量, 主要是题目中的定值、常量和恒定不变的数据等, 准确地抽象出函数关系, 然后正确设出函数关系式, 用待定系数法求出待定系数.

4.由于实际问题中有很多限制条件, 因此当自己认为解决了问题后, 还要回头再把题目看一看, 是否有疏忽的地方, 以免求出的答案不符合题意.

【典例解析】

例1:

如下图, 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1) 储存室的底面积S (单位:m2) 与其深度d (单位:m) 有怎样的函数关系?

(2) 公司决定把储存室的底面积S定为500m2, 施工队施工时应该向下掘进多深?

(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下15m时, 碰上了坚硬的岩石, 为了节约建设资金, 储存室的底面积应改为多少才能满足需要 (保留两位小数) ?

分析: (1) 根据圆柱体的体积公式, 我们有S×d=104, 变形可得:;

(2) 把S=500代入所求得的解析式, 即可求得深度d;

(3) 把d=15代入解析式, 即可求得储存室的底面积S.

解: (1) ∵S×d=104, ∴ (d>0) .

(2) 把S=500代入, 得:.解得:d=20.

答:如果把储存室的底面积定为500m2, 施工时应向地下掘进20m深.

(3) 根据题意, 把d=15代入, 得:, 解得:S≈666.67 (m2) .

答:当储存室的深为15m时, 储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要.

例2:

某地上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度, 本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间, 经测算, 若电价调至x元, 则本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 又当x=0.65时, y=0.8;

(1) 求y与x之间的函数关系式;

(2) 若每度电成本价为0.3元, 则电价调至多少元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?[收益=用电量× (实际电价-成本价) .]

分析: (1) 此题属于把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题.

(2) 此题属于函数解析式的应用问题.要解决的问题是:若每度电成本价为0.3元, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?须考虑“收益=用电量× (实际电价-成本价) ”这一关系.而上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度.于是可算出本年度电力部分收益为0.6亿元.

解: (1) 由于本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 所以可设所求的关系式为:, 又当x=0.65时, y=0.8;代入, 可求得k=0.2,

于是可得:;

(2) 依据题意, 得:;

解得:x1=0.5, x2=0.6;根据实际问题, 这两个值都符合题意.

答:电价调至0.5或0.6元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%.

例3:

制作一种产品, 需先将材料加热达到60℃后, 再进行操作.设该材料温度为y (℃) , 从加热开始计算的时间为x (分钟) .据了解, 设该材料加热时, 温度y与x时间成一次函数关系;停止加热进行操作时, 温度y与x时间成反比例关系 (如下图) .已知该材料在操作加工前的温度为15℃, 加热5分钟后温度达到60℃.

(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时, y与x的函数关系式;

(2) 根据工艺要求, 当材料的温度低于15℃时, 须停止操作, 那么从开始加热到停止操作, 共经历了多少时间?

分析:本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法.但由于本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数, 所有要注意分类讨论, 分别写出函数关系式. (1) 显然将材料加热时, 即0≤x≤5, y与x是一次函数, 直线过点 (0, 15) , (5, 60) ;停止加热时, 即x≥5, y与x是反比例函数, 图像过点 (5, 60) , 易求得函数关系式; (2) 当材料的温度低于15℃时, 需停止操作, 即令y=15, 求对应的自变量的值.

解: (1) 将材料加热时, y与x是一次函数关系, 可设

∵当x=0时, y=15;当x=5时, y=60;

∴当0≤x≤5时, y与x的关系式为:y=9x+15.

停止加热时, y与x成反比例函数关系, 设,

∵当x=5时, y=60, ∴, ∴k1=300.

∴当x≥5时, y与x的关系式为:.

(2) 把y=15代入, 得,

∴x=20.即从开始加热到停止操作, 共经历了20min.

例4:

如下图, 已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图像交于A、B两点.求: (1) A、B两点的坐标; (2) △AOB的面积.

分析:综合运用一次函数和反比例函数的知识解题, 一般要先根据题意画出图像, 然后可借助图像和题目中提供的信息解题.

解得:∴A (-2, 4) , B (4, -2) .

(2) 解法一:

y=-x+2, 当y=0时, x=2, M (2, 0) .

∴OM=2.作AC⊥x轴于C, 作BD⊥x轴于D.

解法二:

y=-x+2, 当时x=0时, y=2, N (0, 2) .∴ON=2.

作AC⊥y轴于C, BD⊥y轴于D.

【总结反思】

用函数观点处理实际问题, 关键在于分析实际情境, 建立函数模型, 并进一步明确数学问题, 将实际问题置于已有的知识背景之中, 用数学知识重新解释这是什么?可以看到什么?逐步形成解决实际问题的能力.而在解决问题时不仅要充分利用函数的图像, 渗透数形结合的思想, 还要注意函数不等式、方程之间的联系, 以及学科之间知识渗透.重要的有以下几点经验:

1. 通过分析, 把实际问题中的数量关系转化为数学问题中的数量关系;

利用构建好的数学模型、函数思想来解决这类问题.

2. 通过观察图像, 把图像中提供、展现的信息转化为与函数有关的知识来解题.

3.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式, 往往仍用待定系数法.

【典题演练】 (供教师做习题参考.)

1.已知某矩形的面积为20cm2.

(1) 写出其长y与x宽之间的函数表达式;

(2) 当矩形的长为12cm时, 求宽为多少?当矩形的宽为4cm时, 其长为多少?

(3) 如果要求矩形的长不小于8cm, 其宽最多应是多少?

2. 某蓄水池的排水管每时排水8m3, 6h可将满池水全部排空.

(1) 蓄水池的容积是多少?

(2) 如果增加排水管, 使每时的排水量达到Q (m3) , 那么将满池水排空所需的时间t (h) 将如何变化?

(3) 写出t与Q之间的函数关系式;

3. 如下图所示, 正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像交于A、B两点, 其中点A的坐标为.

(1) 分别写出这两个函数的表达式.

(2) 你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?

(3) 若点C坐标是 (-4, 0) , 请求△BOC的面积.

4. 为了预防流行性感冒, 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.

已知, 药物燃烧时, 室内每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间x (分钟) 成正比例, 药物燃烧后, y与x成反比例 (如下图所示) .现测得药物8分钟燃尽, 此室内空气中每立方米的含药量为6毫克, 请你根据题中所提供的信息, 解答下列问题:

(1) 药物燃烧时y关于x的函数关系式为:, 自变量的取值范围是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;药物燃烧后y与x的函数关系式为:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(2) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室, 那么从消毒开始, 至少需要经过＿＿＿＿＿＿＿分钟后, 学生才能回到教室;

(3) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时, 才能有效杀灭空气中的病菌, 那么此次消毒是否有效?为什么?

答案与提示:

1.

2. (1) 蓄水池的容积为:8×6=48 (m3) . (2) 答:此时所需时间t (h) 将减少. (3) t与Q之间的函数关系式为:

3. (1) 正比例函数表达式为:y=2x;反比例函数表达式为:; (2) (1) 可利用图像, 根据对称性来求; (2) 可将y=2x与组成方程组, 求出方程组的解.答案:B的坐标为. (3) 由于点C坐标是 (-4, 0) , B的纵坐标为, 所以△BOC的底边长为4, 高为, 则 (面积单位) .

4. (1) ; (2) 30; (3) 答案:有效;因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克, 当到第16分钟时含药量开始低于3毫克, 这样含药量不低于3毫克的时间共16-4=12分钟, 故有效.

3.中考中的反比例函数应用问题探究 篇三

关键词：中考；反比例函数；数学；解答技巧；问题探究

数学中反比例函数应用问题是中考的重难点，对于考生来说每次的解题都是一次新的挑战。作为数学教师应该重視数学中反比例函数应用问题，将这一章节列为重点讲解对象，精心设计教学目标，优化教学内容，多利用多媒体课件等方式，提高学生对反比例函数的认知，做起练习题来得心应手，不再让反比例函数应用问题成为中考的困扰。笔者根据自身多年的教学经验，对中考中的反比例函数应用问题进行探究，提出了以下三大方面的要求。

一、认真分析反比例函数的题意

学生要想掌握反比例函数解题技巧，轻松解题，首先要知道什么是反比例函数，它的应用目的又是什么，知己知彼才能百战不殆。函数分为正比例函数和反比例函数，y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数，并且自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。因此，学生在解反比例函数应用问题时，应该认真仔细地分析题目要求，理清题中的函数关系，将文字语言转化为数学语言，然后再根据实际问题解决反比例函数应用问题。

二、注意反比例函数与方程联系

学生通过教师对反比例函数的讲解，已经能初步掌握反比例函数，但是学生对应用题解答上还是存在一定的困难。对此，教师还需要对学生进行引导，使他们将反比例函数与方程联系起来，利用函数解决实际问题。反比例函数与方程的结合，大大降低了难度系数，学生的自信心得以增加，进一步激发了学生解决问题的积极性。

三、注重反比例函数的数形结合思想

数形结合思想为反比例函数问题的解决创造了条件，也为开发学生思维能力提供了机会。在处理“数”的问题时，要有转化为“形”的意识，用“形”直观引发出直觉，从而定位解题方向。反比例函数的数形结合思想，可以使问题化繁为简，从而达到事半功倍的效果，让学生真正掌握解题技巧。

总之，学生只要重视反比例函数应用问题，掌握问题解答的技巧，在中考数学中碰见此类型题时就能快速解答，既省时间又能得高分，并且能为今后学习二次函数知识奠定基础。

参考文献：

高兴双.中考中的反比例函数应用问题[J].中学生数理化，2012.

4.《反比例函数的应用》教学设计 篇四

《反比例函数的应用》是苏科版八年级下册第九章第三节的课题，是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图象和性质的基础上的一节应用课。这一节的内容符合新课程理念，课程要面向生活世界和社会实践。反比例函数的知识在生产和实际生活中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动，解决日常生活中的实际问题具有实用意义。通过反比例函数的应用使学生明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型，它们之间有着密切联系，并在一定的条件下可以互相转化。在教学过程中，还渗透着建模思想、函数思想、数形结合思想，这些思想也为后面学习二次函数的应用奠定了基础。

二.说目标

“反比例函数的应用”是反比例函数及其图象中的一个重要的内容，它是前面几节课的综合应用。由于函数知识在日常生活中有重要的实用意义，根据教学大纲的明确规定并结合素质教育要求，通过本节课的教学达到以下目标：

1、知识目标

使学生了解反比例函数是日常生活和生产实际中应用十分广泛的数学模型，使学生掌握生活中有一类两变量的乘积为定值的实际问题可归结为反比例函数问题来解决的思想方法。

2、能力目标

①使学生能模仿“利用函数解决实际问题的基本步骤”来解决简单的实际问题;初步养成自己提出或构建数学模型的能力;提高综合运用函数、方程、不等式知识解决实际问题的能力。

②引例通过开放性的问题，作业中通过编题培养学生的发散思维能力。

3、情感目标

①通过本节知识的学习，使学生明确，应用反比例函数的知识可以解决生活中的许多问题，从而进一步培养学生热爱数学，进而努力学好数学的情感。

②使学生树立事物是普遍联系的辩证唯物观。

③引例中让学生具有一方有难八方支援的献爱心精神。

三.说教学重难点

我认为本节课的教学重点是把一类实际问题归结为反比例函数问题来解决，这是因为：

1.反比例函数是日常生活和生产实践中应用十分广泛的数学模型，它真正体现了数学知识来源于生活又应用于生活的重要意义。

2.“利用反比例函数解决实际问题的基本步骤”是通过对例题的解题过程进行归纳总结而得到的结论。它遵循了从“具体到抽象再到具体”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般再到特殊”的推理方法。对今后学习数学有着重要的指导意义。

我认为本节课的教学难点是从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，注意在实际问题中函数自变量的取值范围，用数学知识去解决实际问题。

在突破难点时，我注意：

1.使学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，教学生学会“数形结合”的研究方法，它直观、形象、好理解。

2.密切联系实际问题，注意观察生活。

四.说教学方法

(一) 教法分析

根据课程标准，当学生面对实际问题时，能主动尝试着，从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略。对于例1,由于学生初次接触反比例函数的应用,我采用的是教师引导法,降低难度.其余,我都采用的教学方法是问题教学法，让一个个有阶梯的问题充满课堂教学，时时启发学生的思维，这种教学方法符合以下教育规律：

1、遵循由浅入深，由特殊到一般再到特殊，体现掌握知识与发展智力相统一的规律。

2、创设问题情境，教师不断启发引导学生思考，由易到难，化繁为简，体现教师的主导作用与学生主体作用相结合的规律。

(二) 学法分析

这种教学方法实际上也教给学生一种学习方法，使得学生学会观察生活，注意生活中的实际问题，学会自己探求知识;培养学生善于观察思考的习惯，鼓励学生将所学知识应用到生活中去。学会寻找、发现，学会归纳总结，逐步掌握主动获取知识的本领。

(三) 教学手段

采用多媒体教学，通过直观演示图象，更好地教会学生“数形结合”的研究方法，同时通过多媒体辅助手段展示教学内容，扩大课堂容量，提高教学效率。

五.说教学过程的设计

(一)创设情景，提出问题

“问题是数学的心脏”(P.R.Halmos语)，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力。在课堂教学的开始，我创设了这样一个情景：

去年下半年，励才中学初一(2)班黄晶晶同学的爸爸诊断为肝癌，家中又突发一场大火，真是祸不单行，一下急需的10万元款从何而来，关键时刻，群众积极响应镇政府的号召，一方有难八方支援,结果,捐款总额比预期的还要理想。如果你是镇政府领导，你除了积极做好思想动员工作之外,能不能运用反比例函数的知识对即将发动群众献爱心进行策划呢?

为了很好的解决这一问题,我们共同来学习以下两道题目:

设计意图:由学生身边的事出发，激起学生的爱心，为积极筹划这个活动，带着对数学的求知欲，进入例题的学习。

(二)范例设计

学习例1:

小明家离学校1500m，某天小明上学时，发现时间不多了，就加快了行车速度，①小明行车平均速度(υ)与所用时间(t)有怎样的函数关系?②如果所剩时间为15分钟，那么小明的平均速度至少达到多少才能按时到校?③为了安全起见，小明的平均速度最快达到90m/min，他至少要留多长时间，才能安全到校?④画出函数的图象。

例1中,出现了一个常量,两个变量;我们看,

平均速度(υ)随所用时间(t)的变化而怎样变化?是否为反比例函数关系?若是可用反比例函数的有关知识去解决问题.

②、③两问实际上就是函数的特殊情形,一是已知自变量,求函数值;一是已知函数值,求自变量.从这两问,再引导学生探求自变量的取值范围. ④问中,指导学生画图,分析问题(多媒体展示函数图象).

设计意图:这道题是课本例1的改编,更换背景的目的是为了更贴近学生的生活,以更好地激发学生的求知欲.后面的例2也是在课本例2的基础上添加了一个背景,目的也是如此.

由于学生初次接触反比例函数的应用问题,我选择教师引导法.引导学生联系反比例函数图象及性质建立反比例函数模型,渗透函数思想,数形结合思想.在画图象前,已引导学生探究自变量的取值范围,这样就化解了教学难点.

小华同学的爸爸在某自来水公司上班,现该公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池,小华爸爸把这一问题带回来与小华一起探讨:

①蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)有怎样的函数关系?

②如果蓄水池的深度设计为5m,那么蓄水池的底面积应为多少平方米?

③由于绿化以及辅助用地的需要,经过实地测量, 蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m,那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求?

这是个几何体积问题的应用题,我通过设置以下问题,引导学生观察思考,逐步分析,最后通过建立函数这种数学模型解决问题.

问题(1):这是一个几何体积问题,问题中包含有哪些量? 哪些是常量?哪些是变量?

问题(2):在容积不变的情形下, 蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)有怎样的函数关系?为什么?写出关系式.

问题(3): 函数关系式中自变量的取值范围如何确定?从而决定函数值的取值范围又是怎样?

问题(4):能否画出函数的图象? (指导学生画图,分析问题,多媒体展示函数图象.)

问题(5):题中②、③两问能否利用图象来解?如何解?

问题(6):题中②、③两问除了利用图象来解之外,是不是也可以利用方程解或不等式解?

设计意图:对例2采用了设计问题系列,启发学生思考,联系旧知识建立函数模型,解决了自变量的取值范围从而确定了函数值的取值范围,渗透了函数的思想,让学生初步了解函数模型的建立方法。最后渗透一题多解方法，培养学生思维的灵活性，渗透“函数——方程——不等式”思想和“数形结合”的研究方法，引导学生学会解题后的再思考，将知识系统化。

(三)反馈练习

“学数学而不练，犹如入宝山而空返”(华罗庚语)，为了让学生更好地学会反比例函数知识的应用，我设计了例2的后续问题，让学生练习。使课堂教学能前后连贯。

例2中的新建蓄水池工程需要运送的土石方总量为4×104m3，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务。

①运输公司平均每天的工程量υ(m3/天)与完成运送任务所需要的时间t(天)之间有怎样的函数关系?

②运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天运土石方100 m3，则需要多少天才能完成该任务?

可以通过此类题反馈本节所学，检查学生是否掌握了“数形结合”的研究方法，及时加强对数据和信息的处理能力。

(四)回到引例，前后呼应

①现在大家能否利用我们刚掌握的知识来策划发动群众献爱心呢?

②如果每人平均捐款100元，那么需要发动多少人捐献。根据实际生活水平，每人平均捐款只能达到50元，那么至少要发动多少人捐献?发动人数与每人平均捐款数成怎样的函数关系?当每人平均捐款数一定时，捐款总额与发动的人数成怎样的函数关系?

设计意图：让学生回到课堂之初的问题中，解决问题，使整个课堂教学浑然一体,体验学习数学的乐趣。

(五)收获

教师启发学生思考回答下列问题，再由教师补充归纳本节所学知识内容。

(1) 通过本节反比例函数的应用的学习，我们掌握了生活中有一类两变量的乘积为定值的实际问题可归结为反比例函数问题来解决的思想方法。

(2) 初步学会了数学建模的方法.

(3) 树立了事物是普遍联系的辩证唯物观。

(六)作业布置

根据新课程理念,人人学有价值的数学,不同的人在数学上有不同的发展.我的作业布置分必做题和选做题两部分,其中选做题是一道自编题,我的目的是既巩固所学知识,又复习了旧知,同时还能让学生体验一下做老师的愉悦.

(4)必做题： ①看课本例1、例2.

②做课本习题9.3

(5)选做题：

4月6日，姜堰溱湖湿地公园游人如织，来自世界各地的游人蜂拥而至，“小数学”利用早上上学前的时间，来到公园门口，他发现……。请你利用我们学过的知识，编两题，要求分别能利用正比例函数和反比例函数解决问题。

(七)板书设计

反比例函数的应用

数学思想 引例 ×× 例1 ×× 例2 ××

及本节新知 ×× ×× ××

×× ×× ××

收获

结束语:

教学过程是一个不断生成的过程，在教学过程中，我将根据学生实际情况，不断调整我的教学内容，以使学生在课堂上的思维永远处于一种亢奋状态。

说课对我来说是新事物,今后我将进一步说好课,并希望各位专家领导对本节课提出宝贵意见。

5.反比例函数的意义教学反思 篇五

一、掌握方面

通过本节课的教学，使学生理解反比例函数的意义。并会识别反比例函数，在掌握反比例函数的同时，并会建立反比例函数基本模型，学生由正比例函数向反比例函数认识转变，两个变量对应关系（比为定值或积为定值）的区别。通过回顾已有知识，在行程问题中路程一定时，时间与速度成反比，引导学生用函数关系式表示时间与速度的关系式，为后面进一步建立反比例函数关系式基本模型做铺垫。在通过对基本问题的讨论，激发起学生的强烈的求知欲和探索愿望，使学生用函数观点从新认识日常生活中变量之间的关系，并能用反比例函数关系式表示出来，初步建立反比例函数表达式基本模型。最后让学生从上述不同关系式中抽象出反比例函数的一般情形，让学生感受从特殊到一般数学思考问题方法，发展学生抽象思维和概括能力，从而得反比例函数的概念。学生在理解．掌握要注意反比例函数与正比例函数的区别。本节教学需由浅入深，循序渐进，逐步深入，学生探究的问题愈来愈有挑战性，教师适当点拨和学生充分讨论从而共性，形成共识，教师利用对反比例函数的认识，设置由浅入深一些练习题，加深对概念的理解与把握。通过例题学习，习题的训练，归纳出求反比例函数的一般步骤。

二、不足方面

在教学中，有部分学生对反比例函数理解不透，不明确x与y之间关系，对 y=KX与y=KX 易混淆不清，正比例与反比例的区别。另外，遇到实际问题时，不能准确的审题，不能准确的确定两个变量之间的关系，因此不能正确的列出函数关系式解决问题，还有不明确两个变量的意义，也就是题目中给定数据不知道哪一个变量对应的数值，还需培养学生的审题能力，从而进一步提高解题速度。

三、需注意的几个问题：

（1）注意师生互动，提高学生的思维效率。（2）针对学生的盲区，出相应的练习巩固。

6.《反比例函数的应用》教学设计 篇六

一、本课数学内容的本质、地位、作用分析

本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质．反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在．

反比例函数是最基本的初等函数之一，是继一次函数学习之后，对函数学习的一般规律和方法的再次强化．是学习后续各类函数的基础．反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐 标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．

因此，学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础．

二、教学目标分析

1．准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提．虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一．通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解；

2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质．

3．通过对反比例函数性质探究，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．

三、教学问题诊断

对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：（1）“列表”时确定自变量x的取值缺乏代表性及忽略x0等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．

在学习一次函数的时候，学生已经对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，但由于反比例函数图象比一函数图象的形态丰富，结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深刻理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难．

四、教法、学法特点分析 1．找准切入点

从正比例函数切入，通过类比学习揭示本节课学习内容，明确学习任务；渗透探究反比例函数图象和性质的方法．

2．抓住关键点

准确作出反比例函数的图象是探究性质的前提，探究性质的关键是“形”与“数”间的转化．

① 作图

（Ⅰ）描点法作图不是简单的复习与应用．“列表——描点——连线”体现的是描点法作图的一般步骤，而思维的真正起点在于对“解析式”中常量、变量以及变量间关系的分析（k0，x、y的取值以及x与y间的反比例关系），进而对函数图象的大致轮廓形成影象．这也是函数学习中作一般函数图象的思维规律．

（Ⅱ）连线时需防止学生受一次函数图象是一条直线的影响，而产生认识负迁移，把曲线连成折线．

（Ⅲ）图象由 “一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，折射出函数学习的深刻性，是继一次函数后，知识上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃．

②“形”与“数”间的转化

（Ⅰ）反比例函数性质本身就是“数”与“形”的整合体．（Ⅱ）探究反比例函数性质的思维主线是“数”“形”间的转化．（Ⅲ）“数形结合”是研究函数性质的一般方法． 3．注重发散点

反比例函数的性质是教材中的一个发散点．可以给学生一个更广阔的思维空间，让学生经历观察、类比、猜想、知识拓展的过程，在思维的“最近发展区”内，提出更新的问题，得出更多的结论．但如何发散，有个“度”的把握问题，诸如：k的几何意义；反比例函数ykk与反比例函数y图象的对称关系，反比例函数增减性的严格证明等，我的想法

xx是作为下节内容或以后结合例题去研究．

4．教学过程紧扣“三条主线”

教学中突出三条主线，并注重三条主线的和谐发展．

一是知识的“产生（反比例函数的图象是什么样的？）——发展（描点法作图、探究）——形成（反比例函数的图象和性质）——应用”主线；二是学生“动手（作图）——探究（观察、类比、猜想、交流）——巩固（练习）”的活动主线；三是教师“指导作图（列表：自变量取值, 连线：曲线的间断、大致趋势等）——引导探究（类比）——解析（归纳、概括、）——评价”的因“学”施“教”过程．

4．注重思想方法的培养

反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势“细微”到点，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．

5．注重学法指导

7.《反比例函数的应用》教学设计 篇七

一、有已知, 求面积

这一类题型就是给出已知的条件, 或点的坐标, 或函数解析式等, 然后根据题意求三角形或其他形状的图形面积.

例1如图, Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x+ (k+1) 在第四象限的交点, AB⊥x轴于B, 且S△ABO=

(1) 求这两个函数的解析式;

(2) 求直线与双曲线的两个交点A, C的坐标和△AOC的面积.

分析 (1) 要求函数的解析式关键是求出点A的坐标, 于是设A (x, y) , 然后将线段OB, AB的长度表示出来, 根据S△ABO=×OB×AB=, 可以求出k=-3, 从而得到反比例函数的解析式为y=-, 一次函数的解析式为y=-x-2.

(2) 求交点的坐标就是联立两个函数式y=-, y=-x-2, 将其组成方程组, 再解出方程组的解x1=-3, y1=1;x2=1, y2=-3, 得到交点的坐标A (1, -3) , C (-3, 1) .而△AOC的面积一般不能够直接求出, 而是转化为有一边在坐标轴上的三角形的面积的和或差.设直线AC与y轴交于点D, 则D点坐标为 (0, -2) , 所以OD=2, 于是△AOD和△DOC的面积之和就是△AOC的面积, S△AOC=S△AOD+

一次函数与反比例函数图像中的面积问题一般转化为三角形的面积来求, 而且这样的三角形通常至少有一边在坐标轴上, 三角形的高就是另一点的横坐标或纵坐标的绝对值.

二、有面积, 求未知

这一类题型往往给出一个三角形的面积, 而要求某个数的值, 比如求k值或者解析式的值.学生可先用带有某个未知数的式子表示三角形的面积, 通过面积求出未知数, 从而使问题得以解决.

例2如图, 已知一次函数y=-x+8和反比例函数y= (k≠0) 的图像在第一象限内有两个不同的公共点A, B.

(1) 求实数k的取值范围; (2) 若△AOB的面积S=24, 求k的值.

分析 (1) 因为A, B两点是一次函数y=-x+8和反比例函数y=的交点, 所以可以把这两个解析式结合起来组成方程组, 消去y, 得x2-8x+k=0, 又Δ=64-4k>0, k<16.设两个公共交点的坐标A (x1, y1) , B (x2, y2) , 又x1>0, x2>0, 所以, x1+x2=8>0, x1x2=k>0 (或者从图像可知k>0) , 所以, 0

(2) 在y=-x+8中, 令x=0, 得y=8, 所以可以得出OC=8, S△AOB=S△COB-S△COA=, 又x2-8x+k=0, 用k代替里面的x1与x2等值, 可以求出k=7.

这道题需要先把两个解析式组成方程组, 得出一个二元一次方程, 利用两个函数的交点个数确定k的取值范围.在第二问中已知△AOB的面积S=24, 而△AOB可以转化成两个小三角形来表示, 这样就顺利地把面积与函数联系起来, 从而轻松地求出k的值.

三、关于探索型面积问题

所谓探索型面积问题是指有些题目中的已知量并不是常量, 往往是一个动态变化的过程, 或分成几种情况讨论, 或其值为一个固定常数等.

总之, 初中反比例函数有关面积问题的题目无外乎以上三种类型, 当然在具体的试题当中也有许多变形和衍化, 这就需要学生灵活运用, 融会贯通, 通过勤练习, 一定能够掌握解答这类题型的方法和技巧.

摘要：反比例函数是初中函数部分的重要教学内容, 函数题目里有一种专门的题型就是有关面积问题的:有已知, 求面积;有面积, 求未知;探索型面积问题等.这种题型难度相对较大, 需要综合运用知识, 所以在课堂教学中, 教师要注重方法的传授, 提高学生解答有关面积问题题目的能力.

关键词：初中数学,反比例函数,面积

参考文献

[1]肖建祥.浅谈反比例函数图像中的面积问题.读与写 (教育教学刊) , 2009 (3) .

8.《反比例函数的应用》教学设计 篇八

■ 一次函数的图象和性质

主要考查一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴的交点坐标；考查k＞0（或＜0）时，y随x的增大而增大（或减小）；考查由k，b的取值来判断直线经过的象限；考查一次函数的图象的平移；考查一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0以及一元一次不等式kx+b＞0（或＜0）之间的关系等问题.

■ （2011贵州遵义）若一次函数y=（2-m）x-2的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）

A. m＜0 B. m＞0

C. m＜2 D. m＞2

■ 本题考查的是一次函数的性质，即在一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．因为一次函数y=（2-m）x-2的函数值y随x的增大而减小，所以2-m＜0，解得m＞2.

■ D.

■ （2011江苏镇江）已知关于x的一次函数y=kx+4k-2（k≠0），若其图象经过原点，则k=_______；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是_______.

■ 反比例函数的图象与性质

反比例函数y=■的图象是由两支曲线组成的，当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.

■ （2011辽宁本溪）反比例函数y＝■（k≠0）的图象如图1所示，若点A（x■，y■），B（x■，y■），C（x■，y■）是这个图象上的三点，且x■＞x■＞0＞x■，则y■，y■，y■的大小关系是（ ）

A． y■＜y■＜y■ B． y■＜y■＜y■

C． y■＜y■＜y■ D． y■＜y■＜y■

■

■ 根据反比例函数y=■的图象可得k＜0，在每一个象限内，y的值随x的增大而增大. 由x1＞x2＞0＞x3知（x1，y1），（x2，y2）两点在第四象限，（x3，y3）则在第二象限，因此y3最大. 因为x1＞x2，所以y1>y2，即y2

■ B.

■ （2011广东茂名）对于函数y=■，若y的值随x的值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）

A． m>－2 B． m<－2

C． m>2 D． m<2

■待定系数法求函数解析式

求一次函数或反比例函数的解析式时，一般是通过设待定的函数解析式（其中含有未知数的常数，即待定的系数），再根据条件列出方程（组），求出未知的系数，从而得到所求的解析式．

■ （2011湖南湘西）如图2，已知反比例函数y=■的图象经过点A（1，2）．

（1）求k的值．

（2）过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足为点B和点C，求矩形ABOC的面积.

■

■ 过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线所得矩形的面积为k.

■ （1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，得2=■，解得k=2.

（2）由于点A是反比例函数上的一点，所以矩形ABOC的面积S=k=2.

■ （2011甘肃兰州）如图3，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 y=■的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（ ）

A. 1 B. -3 C. 4 D. 1或-3

■

■

求直线y=k■x+b和双曲线y=■的交点，实际上就是求由两个函数解析式联立的方程组y=k■x+b，y=■的解.

■ （2011广东河源）如图4，反比例函数y■=■（x＞0）的图象与一次函数y■=－x+b的图象交于点A，B，其中A（1，2）．

（1）求m，b的值.

（2）求点B的坐标，并写出y■＞y■时x的取值范围.

■

■ （1）用待定系数法，由A（1，2）可以得出一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据一次函数与反比例函数的交点的求法，可以确定点B的坐标，然后根据图象确定出x的取值范围.

■ （1）m=2，b=3.

（2）由y=■，y=－x+3解得x■=1，y■=2， x■=2，y■=1.所以点B（2，1）. 根据图象可得，当1＜x＜2时，y■＞y■.

■ （2011浙江杭州）如图5，函数y■=x-1和函数y■=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y■＞y■，则x的取值范围是（ ）

A. x＜-1或0＜x＜2

B. x＜-1或x＞2

C. -1＜x＜0或0＜x＜2

D. -1＜x＜0或x＞2

■

■

利用一次函数与反比例函数的有关知识，将实际问题抽象出数学模型，再灵活运用数学知识解决生活中的问题，要做到具体问题具体分析，建立合适的函数模型. 解决这类问题，一般要利用题目中的数量关系，列出有关函数解析式，然后综合运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，中考中的热点题型有最值题、方案设计题等.

■ （2011湖南郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系式． 小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10 L），小敏每次用半盆水（约5 L），如果她们都用了5 g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5 g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2 g． 请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式.

■ 本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出相关的函数关系式.

■ 设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为y■=■，y■=■，分别将x=1，y=1.5和x=1，y=2分别代入两个关系式，得1.5=■，2=■，解得k■=1.5，k■=2．所以两个函数关系式分别是y■=■，y■=■．

■ （2011湖北武汉）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水．至12 min时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y L与时间x min之间的函数关系如图6所示，关停进水管后，经过______min，容器中的水恰好放完．

■

9.反比例函数的说课稿设计 篇九

我是来自XXX学校的XXX,今天我要说课的题目是人教版教材八年级下的《17.1反比例函数》，我将从以下五个方面进行设计说明：

一、说教材

首先是内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课。是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类函数。本节课主要是通过学生比较熟悉的生活实例，让学生归纳出反比例函数的概念，进一步体会函数是刻画两个变量之间关系的数学模型，从中体会函数思想。

其次是学情分析：（1）在知识经验方面，八年级学生已经经历了函数、正比例函数、一次函数的概念、图像、性质及应用的探索学习过程，积累了一定的函数经验，并且在日常的生活中存在着很多反映反比例函数关系的实例。这些生活经验是探索本节内容的基础。但估计个别学生生活经验不足，建立两个变量之间的关系稍有困难。（2）在能力方面，八年级学生已经初步具备比较强的观察能力、分析能力，以及语言表述能力。学生能够通过实际问题的观察与思考，建立函数模型，采用类比方法，归纳出反比例函数的概念。

二、说教学目标

基于课标要求和学生现有的认知能力，结合教材内容。我制定了本节课的教学目标为“理解反比例函数的概念，能够根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，能够判断一个给定的函数是否为反比例函数。

三、说教法，说学法

为了达到本节课的`教学目标，在教法与学法的选择上，我采用教师引导发现，学生自主探究，合作交流的方法。把本节课的课型定为在以学生为主体，以引导为辅的导学式目标探究课。

四、说教学流程

为使教学目标更好德达成，我设计了本节课的教学流程为：”实际问题引入、探索发现、交流归纳、巩固练习、课堂小结五个环节。“而这五个环节对应着学生探究学习的五个环节”由实际问题建立模型产生探究兴趣-明确探究目标-经历探索过程-得出探究结论-应用探究结论-反思与总结。“

首先，我设定学生特别易懂的简单实际问题：一个工作问题，一个实际问题，一个长方形面积问题。这几个小题学生比较容易建立两个变量之间的关系式。

接下来是探索发现环节：”是本节课的重点和难点因此设计为让学生观察这些关系式的特点，再举两个类似的例子，之后给学生一定的自己思考时间，在学生思考之后，学生得出了自己的结论并不完善，甚至不准确，所以我又设置了合作交流的环节，让同学以小组为单位，进行交流讨论，利用合作交流来完善，补充结论，同时也个学困生带来同伴的帮助，尽管学生的语言表述并不准确，但这个环节中，给同学充分的时间阐述自己的观点，即暴露了学生的思维过程，有培养了学生的语言的表述能力。通过表述与交流，把对反比例函数的认识进一步深化。"

至此，学生能够初步理解反比例函数的意义，于是设计一组练习来达成另一个目标：会判断一个函数是否是反比例函数。

通过这个小题的练习，既巩固了基础知识，又增加了反比例函数与正比例函数、一次函数的对比。通过练习对比得出正比例函数、一次函数自变量x所在的式子是整式，因式自变量的取值范围是全体实数，常数k为x的系数。而反比例函数自变量x所在的式子是分式。x在分母中因此x≠0,常数k在分子。到此学生通过比照，对反比例函数的认识又有所提升。

接下来设置第三个目标达成，确定反比例函数的解析式。

首先设定3个实际问题，一个是圆柱体积方面的，一个是电流电压方面的，一个是京沪高铁方面的。有了前面积累的解题经验。这三个小题学会比较快的建立反比例函数模型，在此又增设一个研究互助小环节。目的是为了使班级的学困生再次得到同伴的互助，促使每一个学生都得到发展，再次领悟到反比例函数在实际中的广泛应用。

随后设计一组阶梯练习：地基是，y是X的反比例函数，当x=2时，y=6,求y与X的关系式，并求X=5时，y的值。这一练习是直接运用待定系数法求解析式，以及求相应的的函数值。指导学生要会规范的书写，自我完善解题规范；台阶一，y与x的平方成反比，其中，x=3,y=4,求y与X的关系式，并求x=10时，y的值。台阶二，y与x-1成反比例，其中，x=3,y=4,求y与X的关系式，并求X=5时，y的值以及y=10时X的值。这组阶梯练习，能够有助于学生抓住问题的关键点，进一步理解和掌握反比例函数及应用有利于学生发散思维的培养。

紧接着是课堂小结与作业布置

我设定了这样几个小问题，通过本节课的学习，你获得的知识上的收获有哪些，你积累了哪些解题的经验与方法？你能联想正比例函数以及一次函数的学习，猜想下一节要学习的内容是什么？请做好预习，基础作业教材P46-1,2;选做题为，Y与2X成反比例，当X=2时，Y=1,（1）求Y与X的关系式。（2）X=5时，Y的值。（3）求Y=5时，X的值

10.反比例函数教学反思 篇十

数学知识来源于生活，同时也服务与生活，在教学这一课时我从实际引入，采用了大量的生活情境，为同学创造了探索知识的条件，将学生参与到获取新知识的过程中去，将抽象的知识形象化，让学生在不知不觉中接受了新知识；在与旧知识的对比中掌握了新知识；在阶梯式的练习中，巩固了新知识。

在教学设计上，分为四步：

第一、复习正比例函数的有关知识，目的是让学生回顾函数知识，为学习反比例函数作好铺垫。

第二、给出了三个实际情景要求列出函数关系式，通过归纳总结这些函数的特征，得出反比例函数的定义。通过学习讨论得出反比例函数的几种形式，自变量的取值范围。

第三，在学生理解反比例意义的基础上，让学生尝试判断给出的例子是否成反比例。

第四、通过做一做的三个练习进一步巩固新知。

教学之路是每天每节课点点滴滴的积累，这条路的成功秘诀只有一个：踏实！对于我，任重而道远，我将默默前行，提高自己，让我教的每一个孩子更优秀。

篇二：反比例函数教学反思

经过二周的教学，对学生的学习有了初步的了解，本班学生的差生比较多，优秀生也不尖，在完成作业时不够积极主动，交作业没有及时，有可能在家没完成或者早晨想到学校后抄袭别人的作业。完成作业的质量也不高，每次作业全对的学生只有少数的几个。

课堂中，我营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断的发展。主要表现在：、思维往往是从动手开始的，在教学中，引导学生用多种感官参与到知识的生成过程中。、重视合作交流，使学生在合作交流的过程中真正掌握作图的技能、相互评价可以培养学生之间团结合作的精神

在数学课堂教学中，评价的形式有很多，但较多的是由教师对学生的学习作出的评价，教师扮演着“裁判员”的角色。而在这节课中，除了教师对学生的评价外，更重视了学生之间的相互评价，让学生在相互评价中既培养了能力，又寻找到了问题解决的方法，最终达到自我矫正的目标。、让学生养成在众多意见中进行甄别、选择的习惯，使学生在实践的过程中形成了自己独特的数学学习方法

反思今后在教学中我需要解决的问题，主要是要注重提高学生分析问题、解决实际问题的能力。

数形结合是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个目的。近几年中考都有这方面的考题，所占分值也不少，我在教学中加强了这方面的指导，但基础差的同学仍然不会做，今后在这教学中要在这方面下功夫，使学生牢固掌握基本知识，提高基本技能，发展数学能力。

篇三：反比例函数教学反思

反比例函数的内容比较抽象、难懂，是学生怕学的内容。如何化解这一教学难点，使学生有效地理解和掌握这一重点内容呢？我在反比例函数的意义的教学中做了一些尝试。学生已有一定的函数知识基础，并且有正比例的研究经验，这为反比例的数学建模提供了有利条件，教学中我利用类比、归纳的数学思想方法开展数学建模活动。

一、创设情景，激发求知欲望。

我选择了百米赛跑中时间与速度的关系等素材组织活动，让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景并激发了积极的情感态度。因为反比例的意义这一部分的内容的编排跟正比例的意义比较相似，在教学反比例的意义时，我以学生学习的正比例的意义为基础，在学生之间创设了一种相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生主动、自觉地去观察、分析问题再组织学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，概括、发现规律，在此基础上来揭示反比例的意义，构建反比例的数学模型就显得水到渠成了。

二、深入探究，理解涵义

为了使学生进一步弄清反比例函数中两种量之间的数量关系，加深理解反比例的涵义，体验探索新知、发现规律的乐趣。我设计了问题二使学生对反比例的一般型的变式有所认识，设计问题三使学生从系数、指数进一步领会反比例的解析式条件，至此基本完成反比例的数学的建模。以上活动力求问题有梯度、由浅入深的开展建模活动。教学中按设计好的思路进行，达到了预计的效果。此环节暴露的问题是：学生逐渐感受了反比关系，但在语言组织上有欠缺，今后应注意对学生数学语言表达方面的训练。

三、应用拓展：

设置问题的目的是让学生得到求反比例函数解析式的方法： 待定系数法。提高学生的分析能力并获得数学方法，积累数学经验。此环节学生基本达到预定效果。从生活走向数学，从数学走向社会。

11.反比例型函数求值域的应对策略 篇十一

关键词：反比例函数;值域;反解法

中图分类号：G632                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-251-02

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

                 

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

【解】设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

【另解】（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

三、反比例函数模型给我们的启示

反比例函数作为一种重要的函数模型，在求值域时经常被使用，操作起来较为简单，正面处理，即通过换元，分离常数，作图像等方法为工具达到有效求解。逆向思维，即“逆求法”或“反解法”，把自变量表示为函数值y的函数，根据自变量的范围，建立关于函数值的不等式，达到求解目的，不仅给学生提供了不同的解题方法，又起到了拔高的效果。

12.《反比例函数》教学反思 篇十二

1、教学目标：

（1）、能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的图象。 （2）、进一步理解函数的3种表示方法，即列表法、解析式法和图象法及各自的特点。

（3）、经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。

2、重点：画反比例函数的图象。

3、难点：根据反比例函数图象初步感知反比例函数的性质。

二、教后反思

1、优点： （1）、让学生经历“回忆——对比——猜想——分析——验证”的思维过程。先让学生画一次函数y=2x+4的图象。回忆函数图象的画法（列表，描点，连线），再让学生猜想 的图象，并引导学生围绕图象点的横纵坐标的符号特征，来预测它的图象，并与y=2x+4的图象进行对比，最后，学生带着疑问进行探索，画 的图象，并最终验证了自己的猜想。

（2）、在学生亲手画出一次函数y=2x+4的图象后，通过对比辨析反比例函数的图象概念及其特点，使学生得到深刻的认识和理解。

（3）、无限接近的理解。这是难点，学生没有生活经验。为了增加学生的感性认识，我拓展介绍了“无限可分和无限接近”的概念。并用直尺进行演示，使学生对于“无限”的理解有了实例的依托。

（4）、在讲解 的图象是中心对称图形时，列举了特殊的点来对比认识其中心对称性，让学生真正理解。

2、不足：

（1）、反比例函数图象的概念出示过早，特别是图象的两个分支在“一、三或二、四”象限时，学生没有感性认识。

（2）、学案设计有缺陷。直角坐标系和表格准备不当，给学生在操作画图时带来了不必要的干扰。影响了教学效果。

（3）、习题练习不充分，讲解时学生的主动性没有发挥。

3、改进：

（1）、学生画函数图象时，细节不够重视，教师可在课前把范例准备好，

以便学生能够对比发现自己的不足，进而改进。

（2）、对于反比例函数图象的画法，可让学生先小组讨论完成，这样有助于学生对反比例函数的深入理解，也可为后续学习其性质和应用增加一些思维锻炼。

（3）、学案设计要简明，要求和步骤应在学案上清楚表明，以便学生能够清楚认识学习的任务和步骤，也方便教师掌握教学进度。 也许您也喜欢下面的内容：

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★ 二次函数教学反思

13.反比例函数图像和性质教学设计 篇十三

教学目标

1．知识与技能

会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．

2．过程与方法

通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．

3．情感、态度与价值观

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．

教学重点难点

重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．

难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．

(一)创设情境，导入新课

问题：1．若y=≠-1 ．

2．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表、描点、连线 ．

3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．

(二)合作交流，解读探究(2n1)(n1)x是反比例函数，则n必须满足条件 n≠

12或n

问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，•那么反比例函数ykx(k为常数且k≠0)的图象是什么样呢？

尝试 用描点法来画出反比例函数的图象．

画出反比例函数y=

解：列表

6x和y=-

6x的图象．

（请把表中空白处填好）

描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．

连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究 反比例函数y=和y= −

x66x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

做一做 把y=和y= −x66x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．

归纳 反比例函数y=和y= −

x66x的图象的共同特征：

（1）它们都由两条曲线组成．

（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．

（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．

此外，y=6x的图象和y= −

6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= −

x33x的图象．

交流 两个函数图象都用描点法画出？

【分析】 由y=

6x和y= −

6x的图象及y=

3x和y= −

3x的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？

（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？

（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？

猜想 反比例函数ykx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？

【归纳】（1）反比例函数ykx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．

（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而减小．

（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．

(三)应用迁移，巩固提高

例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y坐标系中的图象()

kx(k≠0)在同一

【分析】 对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于ykx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．

【答案】 B

（四）总结反思，拓展升华

1．画反比例函数的图象．

2．反比例函数的性质．

3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．

4．在ykx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．

反比例函数的性质及运用

（1）k的符号决定图象所在象限．

（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．

（3）从反比例函数ykx的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂

12足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│．

14.反比例函数考点解读 篇十四

1. 反比例函数的图像的形状和反比例函数的性质

①反比例函数的图像是关于原点对称的两支双曲线；②当k＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、第三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、第四象限内，在每一象限内，y随

这里应特别注意，反比例函数的性质中的“在每一象限内”这几个关键性的字眼不可丢掉。因为如当k＞0时，整个图像并非y随x的增大而减小；只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小。

≠0）图像上的一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝x·y=xy=k，因此，k的几何意义是：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k。比如，点P（x，反比例函数的概念、图像及其性质是中考的必考内容，而用待定系数法求函数解析式、已知图像求参数的值或取值范围以及与其他函数结合的综合型问题是中考常考题型。现以近年的中考题为例，对本章的考点归纳如下。

二、考点分析

考点1考查反比例函数的概念

该考点主要涉及反比例函数的定义和一般形式，同学们应理解反比例函数的定义，熟记反比例函数的表达式及其取值范围。

为D，求直线、双曲线的解析式。

考点2考查反比例函数的解析式

该考点主要涉及用待定系数法求反比例函数解析式。复习时，应理解并熟记用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设所求的函数一般式；（2）根据题意列出方程或方程组并求解，求出待定的系数；（3）写出所求的函数关系式。

例2如图3所示，点P为反比例函数图像在第二象限内的一点，且长方形PEOF的面积为3，则该函数的解析式为。

∴k＝3，则k＝±3，由于该函数的图像分布在第二、四象限，故k＜0，

∴ k＝－3。

考点3考查反比例函数的图像性质

该考点主要涉及反比例函数的增减性、字母的取值范围和图像分布等，复习时，应结合反比例函数图像分布与增减性，从“数（k的符号）形（函数图像）结合思想”的角度加以分析理解。

半轴上，没有适合的。故答案应选C。

考点4考查反比例函数的应用

该考点主要涉及反比例函数生产、生活实际应用问题等，复习时，应把握解应用性问题的关键是如何运用数学建模思想把实际问题转化为数学问题，如果能够成功地将实际问题转化为数学问题，将使问题化难为易，迅速求解。

例4某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图5表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为()。

点评解答本题的关键是要学会从图像中找到所需要的条件，即从图像上的某一点作为切入点。

考点5考查比例系数k的几何意义

例5如图6，点P在反比例函数的图像上，过P点作PA⊥x轴于A点，作PB⊥y轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为。

可获解。

因为点P在反比例函数的图像上，且矩形OAPB的面积为9，所以k＝xy＝9。

案选D。

考点6考查反比例函数的综合利用

（1）求k和b的值；（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB∶OM的值。

解析以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图像上）求解相应问题。

15.反比例函数第一课时教学反思 篇十五

第二步：组内合学，通过组内对学、群学，展示学会的，学会不会的。教师设计引导，完成对反比例函数更清晰和准确的认识。

第三步：班级展示，通过学生对学习情况的展示，教师有针对性的进行课堂点拨追问，完成本节课的学习。

第四步：整理反思，通过课堂学生与学生之间，教师与学生之间的互动交流，修正学案内容，并形成自己的反思总结。

第五步：达标测评，对本节课的基础知识和技能进行学习反馈，教师了解掌握学生学习情况，便于下一阶段的学习。

二、本节课突出了“四本”的基本要求

1、以学生为本，整个课堂充分放手让学生去学习，以学生为主体，调动了学生的积极性。

2、以文为本，课堂活动以课本为基础，围绕课本知识展开活动，突出了课本的设计意图。

3、以实为本，课堂真实有效，学练结合，具有很高的实用性。

4、以真为本，课堂不做假，真实的展现了学生的学习思路和思考过程，课堂以真为本更显实效和高效。

三、本节课的不足

1、教师放手不够，还是担心学生学不到位，没有充分的放手把学习还给学生。

2、课堂的整个流程还需进一步细致打磨，让每一个环节更适合学生的学习，才能有更高效的学习效率。

16.实际问题与反比例函数的教学反思 篇十六

一．预见到的问题

1.学生可能记不清圆锥体积公式，影响教学进度，2.学生对分米厘米的换算可能会出现问题，3.使用小组会占时间长，独立完成，小组交流，个别展示，每一环节都要时间，所以可能完不成教学任务。

二．课堂效果

1.回顾思考部分占用时间较多，用了4分钟，学生在写基本公式时没有写到体积公式，没有达到为本节学生打基础的目的。评课老师意见，学生说出公式后应写在黑板上，不如老师直接给出节约时间。我的想法是，学生这样写出后互相交流提高了复习面，虽然他们提到的面积公式例题中用不着，但在练习中都会用到，所以虽占用时间较多，却不是没有效果。在后边学习中，主要困难是圆锥体积公式学生都回意不起来，通过这个小波折，学生对圆锥体积公式掌握的比老师直接给出要好。

2.例题由小组研讨后，教师没有板书，只是让学生看书对照答案写出解题过程，目的是想让学生掌握规范的解题过程，整理思维。但由于研究解题思路占用时间多，所以这部分没有专门给时间，是与尝试运用一起完成的。

3.解题思路在例1后马上给出，使学生明确了解题的过程，有助于他们条理清晰的完成下面的习题，在完成习题中感觉到了学生对解题思路的认识清楚，应用较好。

4.尝试运用环节占时太长，学生完成后，找一生板演，该生在单位换算处出现了问题，在让其他同学改题时，找了一位很聪明但学习不踏实的学生去改，结果他也没有做对，在公式变形处出现了问题。这样一来时间都耗费过去了，只好由老师草草收场。评课时，老师们指出，改错应找优秀生，才能达到示范的目的，我想确实是，由中等生板演后，优生改两种颜色的笔对比，把问题显现无遗，可成为很好的教学资源，以后要注意。另外，时间紧教师就跟着紧张了，处理两题时显得草率，这个地方是本节课出现的不该是难点的难点，应继续找学生改正题，或教师详细讲解，以帮助学生解决问题。

三．自评

17.反比例函数创新题赏析 篇十七

一、按部就班的程序框图题

（2011年河北省）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图像，过点M作PQ∥x轴交图像于点P、Q，连接OP、OQ。则以下结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°。

其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤

解析 根据程序图可知，当x＞0时，y=，x＜0时，y=-，因此①错误。

直接从图像可以看出，当x＞0时，y随x的增大而减小，因此③错误。

而S△OPQ=S△POM+S△QOM=×4+×2=3为定值，因此②正确。

设点M的坐标为（0，a），则点P（-，a），点Q（，a），

所以MQ=，PM=，所以MQ=2PM，因此④正确。

从图像可以看出，随着直线PQ向下移动时，∠POQ逐渐增大，当PQ无限靠近x轴时，∠POQ近似成为平角。所以∠POQ可以等于90°，因此⑤正确。

因此正确的结论是②④⑤，故答案选B。

点评 本题以程序框图的形式命题，形式活泼新颖。另外，本题直接从图像可以判断③错误，这样可以排除选项C、D，再根据程序框图可以判断①错误，又可排除选项A，从而可以快速找出正确选项，而无需再看②④⑤是否正确。

二、一箭双雕的双反比例函数题

（2011年陕西省）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A、B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）

A．3B．4

C．5D．6

解析 连接AO、BO，

因为AB//x轴，所以△ABC和△ABO在AB边上的高相等。

所以S△ABC=S△ABO。

而S△AOB=S△APO+S△BPO=×-4+×2=3。

所以S△ABC=3。故答案选A。

点评 本题将两个不同的反比例函数放在同一个坐标系中考查，解答本题的关键是利用平行线的“传递面积功能”（即同底等高的两个三角形的面积相等），将△ABC的面积转化为△ABO的面积，进而利用反比例函数的比例系数k的几何意义分别求出△APO和△BPO的面积，从而求出△ABO的面积。

三、按图索骥的规律探究题

（2011年四川省达州市）给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线y=有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=有一个交点是（，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=有一个交点是（，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=有一个交点是（，16）；

…………

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题。

解析 （1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）；

（2）将x=代入y=n3x，得y=n3×=n2，所以（，n2）在直线y=n3x上。

将x=代入y=，得y==n2，所以（，n2）在直线y=上。

所以直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）。

点评 解答本题既要注意横向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标之间的关系，又要注意纵向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标各自之间的关系。

四、现学现用的实际应用题

（2011年湖南省郴州市）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系。寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）。如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克。

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；

（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？

解析 （1）可先分别设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式，然后将x=1，y=1.5和x=1，y=2分别代入函数关系式，利用待定系数法求出函数关系式；

（2）将y=0.5分别代入已经求出的函数关系式即可求出漂洗次数，根据题意又知小红、小敏每次漂洗的用水量，将漂洗次数与每次漂洗的用水量相乘即得用水量。

（1）设小红的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=，小敏的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=。

把x=1y=1.5代入y1=，得1.5=，所以k1=1.5。

把x=1y=2代入y2=，得2=，所以k2=2。

所以小红的函数关系式为y=（x为正整数），小敏的函数关系式为y=（x为正整数）。

（2）把y=0.5分别代入y=和y=，得0.5=，0.5=。

所以x1=3，x2=4。

小红共用水10×3=30（升），小敏共用水5×4=20（升），从节约用水的角度来看，小敏的方法更值得提倡。