苏州大学高等数学竞赛

苏州大学高等数学竞赛（精选12篇）

1.苏州大学高等数学竞赛 篇一

大学生数学竞赛训练五—微分方程

一、（15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式

1）求导数；

2）证明：当时，成立不等式：。

解：1）设，则有

当时有

两边关于求导得

解微分方程得

由条件可得，因此

2）当时，所以此时有；

又因为，当时，所以此时有，因此当时，有

二、（15分）设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。

解：1）如果为常数，则有

因为，所以，由此可得，此时方程变为

令，则有

2）如果不是常数，则有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，则有，解得，因为它们是线性无关的，所求通解为

三、（15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。

解：设所求曲线在面上的投影为，则其切向量与函数的梯度平行，因此有

此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到

所求曲线方程为。

四、（15分）求方程的通解。

解：设，则有，原方程化为

解得

五、(15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程

及初值条件。

解：解方程得

当时，当时，由的连续性可得，又因为可得，所求函数为。

六、（15分）已知二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足

证明：。

证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以

由此可得。

七、

2.苏州大学高等数学竞赛 篇二

关键词：竞赛,高等数学,实践,分析问题

高等数学是大学理工科学生的重要基础课程, 是培养学生逻辑思维空间想象能力、运用数学知识解决实际问题能力必不可少的课程。为了更好的开展高等数学的教学活动, 高等数学教学应以培养学生分析问题、解决问题的能力为主要目标, 而高等数学竞赛正是针对这一目标设立的一项数学活动, 力在推动高等数学教育使其进入一个新的阶段。

高等数学竞赛是常规教学的有益补充, 是对高等数学日常教学中知识的延伸、综合、重组与提升。能够激发学生学习高等数学的积极性, 提高运用数学知识解决问题的能力, 培养学生的创新思维, 进一步推动高等数学教学体系、内容和方法的改革。以一名高等数学教师的角度对开展高等数学竞赛有以下几点想法:

1. 高等数学竞赛从形式到内涵是一次全新的考核。对于新入学的大学生们, 普遍觉得高数课不好学, 觉得很多知识很难应用与实践中, 久而久之对高数学习就产生了厌倦的情绪, 最后直至放弃了。所以造成很多学生高等数学课程迟迟不能及格, 不断重修甚至因为高数一门课而得不到毕业证书, 所以在新生入学之初就应该将高数学习的重要性介绍给同学们, 将高数学习与实践应用之处细细向学生介绍, 激发学生学习数学的兴趣, 使同学们觉得高数有可用之处, 同时开展高数竞赛进一步激发学生学习高数的兴趣, 利用学生刚入学时对大学生活的憧憬和新鲜感, 激发他们对高数的学习兴趣, 有了学习的兴趣和热情, 才有学好高等数学的动力, 高等数学竞赛恰好就是学好高等数学的一支强心剂, 使得广大学生觉得数学可学, 可用, 有价值, 自然有动力学好它。

2. 高等数学竞赛的开展, 应该扎根于日常教学, 应遵循课堂教学为主, 课外辅导为辅的原则, 常规教学是高等数学竞赛学习的基础, 这两者之间, 并不是互相否定和对立的关系, 而是相辅相成、互为补充的。高等数学竞赛试题应符合学生的认知水平, 注重考察考生的数学能力, 包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力等。竞赛卷出题不宜过难, 当然要具有一些深度的试题, 这样对一些成绩较好的学生才会有的放矢, 起到对课上学习的补充作用, 但是我们说高数竞赛的试题绝不可以一味求难度, 使得很多同学看着直发蒙, 更别说具体求解了, 这就极大的违背了高等数学竞赛的初衷, 我们开展高数竞赛目的是激发学生学习高数的兴趣, 如果高数竞赛的试题过难, 将会严重打击学生学习高数的自信心, 兴趣之说更无从谈起, 所以我们的高数竞赛题目一定是课堂上讲授知识的延伸和推广, 要将课堂上所学的知识进行推广, 比如说定积分章节中介绍过积分上限函数, 在课堂上积分上限函数我们讲得很少, 一方面这种函数本身学生不太熟悉, 对积分上限函数求导的公式总是很模糊, 那么积分上限函数与洛必达法则结合求极限, 利用积分上限函数判断函数单调性, 凹凸性学生就掌握的更不好了, 在高数竞赛的试卷上就可以以积分上限函数为例拓展出一些稍有深度的试题, 对成绩基础好的同学的知识面起到扩充的作用。另外曲率的计算课堂上只介绍了公式, 并没有和实际很好的结合, 而实际上作为一所工科院校工程类专业的学生, 掌握曲率的计算会给学生学习其他工程课程带来很大帮助。那么在高数竞赛的试卷中就可以将曲率的计算融于实践中, 使学生通过高数竞赛了解课本上所学的知识如何应用于实践。总的说来试卷题目要难易结合, 紧贴应用实践。

3. 教师在日常教学中可把辅导竞赛的经验渗透其中, 以培养学生的思维能力为主要目标, 注重培养学生思维的灵活性、深刻性、敏捷性和独创性。同时, 作为教师本身通过开展高等数学竞赛, 对学生进行选拔培训也有助于教师本身的教学和科研向更广泛、更深入的方向开展, 提高研究成果的科学含量, 使教师本身的科研水平得以提高。

4. 在高等数学竞赛前加大宣传力度, 统一安排考试, 以闭卷形式由学生独立完成, 并对成绩优异的学生给予奖励, 比如给于学分的奖励等, 充分调动学生的参赛热情。可采用手机扫码或登陆学院网址等报名方式报名参赛, 充分利用现代科技手段, 使学生对竞赛产生新鲜感, 赛后开设高等数学讲座, 开设高等数学选讲和数学解题方法等选修课, 成立数学竞赛兴趣小组等供学生老师间相互交流学习。这种活动对教师本身也是一种极大的促进与提高, 也满足了学生对数学知识的渴求, 促进学生智力的有效开发。

作为一名高校数学教师, 以我校实际情况为例, 第一阶段高等数学竞赛宣传阶段。首先利用高等数学课堂由教师对高数竞赛作赛前讲解与宣传, 利用手机扫码或登陆网址等报名方式报名高等数学竞赛。

第二阶段:高等数学竞赛组织阶段。在长春工程学院理学院, 教务处等单位共同配合下, 统一组织闭卷考试。第三阶段:高等数学竞赛评奖阶段。由理学院统一组织老师阅卷, 并设立一二三等奖, 对成绩优异的学生给予奖励。第四阶段:高等数学竞赛总结讨论阶段。开设高等数学选讲和数学解题方法等选修课, 成立数学竞赛兴趣小组, 对高等数学竞赛中所涉及的数学题目组织讲解和讨论, 使学生们真正从竞赛中获益, 为参加全国数学竞赛, 数学建模大赛, 以及研究生考试打下坚实基础。将高等数学竞赛发展为理学院乃至长春工程学院的一个名牌竞赛项目, 每年组织一次, 让同学们通过高等数学竞赛更好地热爱数学学习, 将所学知识充分应用于实践中, 弘扬数学文化, 增进数学教养。

参考文献

[1]郑爱武.影响《高等数学》教学的问题分析及对策研究[J].大学教育, 2014 (01) .

3.苏州大学高等数学竞赛 篇三

【关键词】数学建模比赛；大学数学课程；分数系统；效用；SPSS相关性分析

一、学生调查

1.调查对象：①全国数学建模比赛：40支队伍参赛，队员来自于数学与统计学院、机电与信息工程学院、物理学院、商学院，共120名同学。其中获得全国奖的有6支队伍，省级奖的有20支队伍；②美国大学生数学建模比赛（MCM/ICM）：共有32支队伍参赛，队员分别来自数学与统计学院、机电与信息工程学院、物理学院、商学院，共96名同学。其中获得一等奖1支队伍，二等奖的有11支队伍。

二、效用分数系统设计

首先调查对象所评价的单科课程分数平均值直接可用于表示单科课程的效用值，利用该值就能够表现和比较各单科数学课程与数学建模比赛之间的效用。由于每門课程的学分可以代表该门课程的学习难易程度与重要性，不妨就用学分大小数值作为课程的重要系数。而科目重要系数与总学分数的比值可以表示此科目在数学教育中所占的比重，利用此比值乘以各科的效用分数后求和，该值可以表示出所有科目与数学建模比赛之间的总效用程度。根据这些数据结果我们就可以分析他们之间的效用大小及相关性。

三、数据展示与分析

通过比较两个图，我们同样发现提高学习效用分数较高的科目同样是在数学建模比赛中运用较多的科目，这说明数学建模比赛题目对特定科目的直接要求要大于其它科目，运用的最直接最多的科目必然在提高该科目能力上比其它科目强，因此在提高学生学习能力的效用上有着表上所表现出的高低情况。并且从调查问卷的主观问题回答中，我们发现很多学生在数学建模比赛中并不能大量运用到书上所学到的知识，虽然是与这些科目完全相关，但是学生大多数情况下是在网络上获取相关知识，利用已经学会的课本知识去学习其它资源（网络与其它书本）上可能对该建模比赛题目有用的知识，进而把它运用到题目中去。并且从大量同学对调查问卷中一个问题（参加数学建模大赛你最大的收获是什么）的回答中，大多数同学认为数学建模大赛让他们深刻的了解到数学在实际中运用的意义和广泛的应用基础，激发其学习数学的兴趣，并大大提高了自身的综合能力，比如从大量资源里面查找到相关资料、团队合作的能力、独立思考能力、论文写作能力等。

在对调查问卷统计后，学生在导师对数学建模比赛中效用一问所打分数的平均值为6分，众数为6分，也有一部分同学打分较高。大多数学生表示老师在比赛中的效用并不是很大，一般也不能在题目解答上提供较直接的帮助，但学生同时也表示老师能扩宽同学思考题目的思路且在最后修改论文所提供的帮助非常大。

数学科目与数学建模比赛相互总效用表

主要原因：数学建模比赛对一些高学分的基础课程如数学分析、高等代数等科目的要求并不如其它科目直接，然而基础课程在大学数学教学环节中所占比重又较大，其中数学分析学分高达18分，高等代数学分高达10分，所以导致总效用不高。

次要原因：数学建模比赛题目对课本知识要求也不直接，通常是根据已学会的知识去掌握学习其它资源的知识，导致学生对各科目的效用分数打分不高；两大数学建模比赛的题目选择性较少，导致对不同科目相关性的覆盖面较小。

四、SPSS相关性分析

首先选取各个课程的效用平均值作为分析对象，再利用SPSS从得到两组数值之间找到一种关系来刻画这种相关性的程度大小，之前的分析属于一种主观性的分析，以下作为效用相关性的客观分析。在利用SPSS软件分析中，我们采用两种检测方法即用Kendall秩相关系数与Spearman秩相关系数值来描述两者之间的相关性，数值越接近1表示他们之间的相关性越接近于完全正相关，如上图所示，Kendall秩相关系数的值为0.812，Spearman秩相关系数的值为0.865，这两组的数值都非常接近1，说明两者彼此之间的联系十分紧密，数学建模比赛确实能有效提高学生学习数学科目的能力，同时也说明各数学科目也能在数学建模比赛中得到充分的效用，这项活动对大学生数学教育是十分有效的且有意义的。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].高等教育出版社.

[2]孙成功.数学建模课程和数学建模竞赛的教育功能研究[J].天津科技大学理学院.

[3]贾晓峰.大学生数学模型竞赛与高等学校数学教学改革[J].工科数学.

4.苏州大学高等数学竞赛 篇四

2006/06/03

一． 求极限

解 由 an2limn222（n次复合）。

an2an1知

a122,a22a142,，2an142，an有上界； anan12an1,an1an，an单增，又an2an1,由单调有界数列必有极限知，an有极限。不妨设 limana,na2a,a2，即 limn2222。

二、xu设函数f(x)连续, 证明 f(t)dtdu0ox0(xu)f(u)du。

证 方法一 令 F(u)0u0f(t)dt, 则由分部积分法得，xx0uf(t)dtduoxF(u)duuF(u)0x0xuF(u)du

xF(x) 方法二 令 F1(x) F2(x) 因为 F1(x) F2(x)x0uf(u)duxf(t)dt0x0uf(u)du

x0xf(u)dux0uf(u)dux0x0(xu)f(u)du。(xu)f(u)du x0x0uf(t)dtdu, F(x)2o(xu)f(u)duxx0f(u)dux0uf(u)du

x0x0f(t)dt

f(u)duxf(x)xf(x)x0f(t)dt

所以F1(x)F2(x)C.又由于F1(0)F2(0)0,所以C0.xu因此, f(t)dtdu0ox0(xu)f(u)du。

三．若函数f(x)在闭区间[2,4]上有连续的导数,且f(2)f(4)0,试证明:

42f(x)dxmaxf(x)2x4

证法一 利用拉格朗日中值定理 f(x)f(x)f(2)f(1)(x2),1(2,x)

f(x)f(4)f(x)f(2)(4x),2(x,4)

f(x)M(4x)，f(x)dx 若记 Mmaxf(x), 则有 f(x)M(x2),2x44242323243所以 f(x)dxf(x)dxf(x)dxM(x2)dx3243M(4x)dx

2M2(x2)22x4(4x)M

34证法二 记Mmaxf(x), 对于任意实数c, 42f(x)dx42f(x)d(xc)

4[(xc)f(x)]242(xc)f(x)dx

42xcf(x)dxM42xcdx

令 c3, 则有 42f(x)dxM42x3dxMmaxf(x)

2x4证法三 由于f(2)f(4)0,根据牛顿_莱布尼茨公式,有

f(x)x2f(t)dtx4f(t)dt

若记Mmaxf(x), 则有f(x)M(x2),2x44242323243f(x)M(4x)，f(x)dx f(x)dxf(x)dxf(x)dxM(x2)dx43M(4x)dxM

四． 设函数fx在0,1上具有二阶导数，且f(0)f(1)0，证明 存在0,1，使f2f1。

证

令 Fx1xfx，F(0)F(1)0，在0,1上用罗尔定理知，存在0,1，使 F1ff0。

再令Gx1xfxfx，G()G(1)0，在,1上再用罗尔定理知，存在,10,1，使G()0，即 f2f1。

五． 证明：曲面xyza3（a0为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面

所形成的四面体的体积为常数。

证 令 Fx，y，zxyza3

则Fxyz，Fyxz，Fzxy

设x0，y0，z0为曲面xyza3上的任意一点，则在该点处的切平面方程为

y0z0xx0x0z0yy0x0y0zz00

化为截距式，有

x3x0y3y0z3z01

所以，所求四面体的体积为

V 163x03y03z092x0y0z092a3

即所求体积为常数。

六．判别级数

1!22!23!2n!2 2n!n1的敛散性。

解

0un1!22!23!2n!22n!n1n1!22n1!2nn!2n!n!2n!2n!2n!22n!14nn!22n!vn

而 limvn1vnnlimnn13limnn2n12n21

所以，由比值判别法，知级数vnn12n!n1nn!2收敛。

再由比较判别法知级数unn11!22!23!2n!22n!n1收敛。

七．设函数f(x)在(,)上连续可导，求

1yf(xy)L2 ydxxy2[yf(xy)1]dy2，其中L为从点A(3,)到B(1,2)的直

323 线段。

解 令P1yf(xy)y22，Qxy2[yf(xy)1]

PyQx[2yf(xy)xy2f(xy)]y1yf(xy)y2=

23yf(xy)xyf(xy)1y2

1y2[yf(xy)1]2xy2[yf(xy)]323yf(xy)xyf(xy)1y2

PyQx，故原积分与路径无关，选取路径ACCB，yB ∴原式=CBAC=2321y1[yf(y)1]dy221323[149f(23x)]dx

CoAx [23323f(231x)]dx2223[f(y)1y2]dy

23xu

32x332f(u)du223f(y)dy1y4。

23八． 设半径为R的球的球心在以原点为中心，半径为a2aR0的定球面上点0,0,a处，当R等于多少时前者夹在定球面内部的表面积最大？其中a为常数。

解

定球球心在以原点，半径为R的球的球心在0,0,a，则两球面方程分别为

x2y2z2a2,消去z，得

xy22xyzaR

2222R224a4a22R222

S:zxzaxRxy，yRxy222zyRxy222S位于定球面内部的面积为

ARDxyzz1ydxdyxRRxyR2a04aR2222Dxy222dxdy

02RRr22rdrdθ

2RAR4R2Ra33Ra200舍去

RAR44343a,R

5.大学生数学竞赛魅力何在 篇五

《中国教育报》2006年1月13日第3版

2005年，近800所高校的2.5万名选手参加了全国大学生数学建模竞赛，作为目前全国高校中规模最大的大学生课外科技活动——大学生数学建模竞赛魅力何在。

尤成超沉浸在数学建模的宫殿里，他正利用寒假留在学校里研究数学建模中用到的一些算法。他对记者说，这个春节他只能在四川老家呆大概一个星期，大年初二就要回校准备参加2006年2月初举行的国际性的美国大学生数学建模竞赛。这个春节将是他上大学后回家最短的一个春节。

尤成超是北京交通大学理学院信息与计算科学专业的学生。两年前还在上大一的他第一次接触数学建模比赛。那次只是校内比赛，因为一无所知而茫然不知所措，最后抱了个鼓励性质的“成功参赛奖”。那次“惨痛”的经历却使他从此产生了对数学建模的浓厚兴趣，此后他多次参加各种类型的数模竞赛。在2005年全国大学生数学建模竞赛上，他和他两名队友齐心协力，勇夺全国一等奖。这项和数学密切相关，却并非纯数学知识的竞赛，每年吸引着像尤成超这样的数以万计的大学生的踊跃参与。由教育部高教司等单位主办的全国大学生数学建模竞赛，已成为目前全国高校中规模最大的大学生课外科技活动。

学生热爱的竞赛 规模以年增长25%的速度发展

提到数学竞赛，人们脑海里马上会浮现出在严肃安静的考场，选手冥思苦想、孤身奋战的情景。而数学建模竞赛全然不是如此。它没有固定的考场，选手们翻书查资料、上网下载、激烈争论，到处跑来跑去也没人管，俨然就像一个科研课题组在突击完成一项任务。

全国大学生数学建模竞赛是从1994年开始举行的，每年一次，十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从1994年196个学校的867支参赛队，到2000年517个学校的3210支参赛队，再到2005年795个学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍，2005年竞赛的选手达到25000多名。

数模竞赛何以这么受欢迎？到底有什么魅力？记者采访了全国大学生数学建模竞赛组委会秘书长、清华大学数学科学系教授姜启源。他说，数模竞赛对青年学生非常有吸引力，它的题目由工程技术、经济管理、社会生活等领域中的实际问题简化加工而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。

赛题的设置非常具有实用性和挑战性。如，2003年的“SARS的传播”、“露天矿生产的车辆安排”、“抢渡长江”；2004年的“奥运会临时超市网点设计”、“电力市场的输电阻塞管理”、“饮酒驾车”、“公务员招聘”；2005年的“长江水质的评价和预测”、“DVD在线租赁”、“雨量预报方法的评价”——每一道题都紧扣当前社会热点，很有时代意义。

竞赛以通讯形式进行，三名学生组成一队，在三天时间内可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、软件和互联网，但不得与队外任何人包括指导教师讨论。每个队要完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。终生受益的竞赛 培养创新能力的极好载体

姜启源说，建立数模来解决实际问题，是学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。“数模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次‘真刀真枪’的训练。”姜启源说，它相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大学生的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。

随着赛事的开展，越来越多的人认识到，数模竞赛是培养创新能力的一个极好载体，而且能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分析能力、联想能力、使用当代科技最新成果的能力，等等。学生们同舟共济的团队精神和协调组织能力，以及诚信意识和自律精神的塑造，都能得到很好地培养。

姜启源说，很多学生用“一次参赛，终生受益”来描述他们的感受。许多参加过竞赛的学生的自主学习和科研能力显著提高，在毕业设计和研究生阶段的学习中表现出明显的优势，得到用人单位和研究生导师的普遍认可。

尤成超说，比赛提高了他主动寻找问题、思考问题、解决问题的能力，而这些是他参赛之前特别缺乏的。同样获得全国数模竞赛一等奖的清华大学数学科学系大四学生申孟宜说，竞赛增强了他用数学解决实际问题的能力，而且坚定了他在学科方面不断钻研的信心。他现在准备出国深造，而他的队友一个已保送读研，另一个正在全力考研。

推动教改的竞赛 将数学建模引入教育过程

“数学教育本质上是一种素质教育。数学的教学不能完全和外部世界隔离开来。”姜启源说，关起门来在数学的概念、方法和理论中打圈子，处于自我封闭状态，以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后，却不怎么会应用或无法应用。高等教育要在高度信息化的时代培养具有创新能力的高科技人才，将数学建模引入教育过程已是大势所趋。

据了解，十几年来在竞赛的推动下，许多高校相继开设了数学建模课程以及与此密切相关的数学实验课程，一些教师正在进行将数学建模的思想和方法融入数学主干课程的研究和试验。无疑，这是对数学教学体系和内容改革的一个有益的尝试。

四川理工学院学生赵金东认为，把建模融入到数学主干课程中，能将数学与现实更紧密地联系在一起，更“通俗”化。这真正体现了数学是生活中密不可分的工具的深刻意义。

十几年来，全国数以千计的数学教师在从事数学建模教学和指导竞赛的过程中，知识面拓宽了，知识结构改善了，利用数学工具和计算机技术解决实际问题的意识和能力提高了，也培养了热爱学生、不计名利、献身祖国教育事业的精神，这对一支新型的数学教师队伍的全面成长起着越来越大的作用。

姜启源说，尽管数学建模、数学实验教学在很多学校才起步不久，并且在数学教学中所占课时不多，但是却取得了傲人的成绩——2001年、2005年，高校国家级教学成果一、二等奖中，以数学建模、数学实验为主要内容的有11项，占整个数学类的38%；在2003年、2004年、2005年高校国家精品课程中，数学建模、数学实验有5项，占整个数学类的17%。

国际效应的竞赛 在美国发芽、中国开花结果

大学生数学建模竞赛在我国开展得如火如荼，谁能想到它其实并不是我国的“原创”。姜启源介绍说，它1985年首先在美国出现，1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。此后，我国学生参加美国大学生数学建模竞赛的积极性越来越高，近几年中国参赛校数、队数占到参赛总数相当大比例。复旦大学、中国科技大学、华东理工大学、清华大学、浙江大学、国防科技大学、北京大学、东南大学、东华大学、电子科技大学等高校，相继获得最高奖。

“可以说，数学建模竞赛是在美国发芽、而在中国开花、结果的。”姜启源这样评价。

在谈到数学建模对教育改革的意义时，全国大学生数学建模竞赛组委会主任、中国科学院院士李大潜指出，数学教育质量的优劣决定了一批人在知识经济中的竞争能力，而他们的能力缺失直接影响到国家的整体竞争力。由此，数学教育不能仅仅是按部就班的静态传授，它更应该注重对学科精神的领会，只有这样，学生在生动活泼的现实面前才不会束手无策，才能创新与发现。数学建模竞赛就是为适应这一社会要求采取的探索性措施。

2001年，第10届国际数学建模教学和应用会议在北京成功举办，这是此系列会议第一次在亚洲举行。会上，我国数学建模教学和竞赛的发展情况，把数学建模的思想和方法融入到大学的主干数学课程中去的进展情况，受到了国际同行们的关注和好评。美国及欧洲一些国家的专家表示，他们正在研究和评估我国的大学生数学建模竞赛及其对教学改革的推动作用。

正因为建模竞赛的特殊作用，在高校教学评估中，学生积极参加包括数学建模竞赛在内的各项课外科技活动的情况，已被列为评估指标之一。数模竞赛对我国高校教育改革的意义正越来越凸显。

【相关链接】

■什么是数学建模？

随着社会的发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。

社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人，善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

■建模竞赛怎样开始的？

大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年我国大学生(北京大学、清华大学、北京理工大学共4个队)开始参加美国的竞赛。经过两三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛。

6.大学数学知识竞赛活动策划方案 篇六

大学数学知识竞赛活动策划方案1

一、指导思想

为了激发小学生学习、钻研数学知识的兴趣，使学生逐步形成勇于实践、敢于创新的思维和良好品质，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长，我校决定在20年12月上旬举行数学学科知识竞赛活动。

二、活动目的

通过竞赛，提高学生分析问题和解决问题的能力、归纳推理的逻辑思维能力和探索实践的创新能力。进一步拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣；同时，通过竞赛了解小学数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的数学教学收集一些参考依据。

三、参赛对象、内容、时间及要求

1.第一学段：三年级数学日记

第二学段：五年级数学小论文六年级解题竞赛

2.具体要求

（1）参赛年级以班为单位，自行组织初赛；日记、小论文按班级人数的20%上报电子文档，解题竞赛按15%的比例上报参赛名单。

（2）数学日记与数学小论文竞赛

数学日记、小论文可以写学习体会、数学发现，规律探究、知识应用等等。要特别注重数学知识与生活的联系，要能反映积极的主题，比如说学习数学带来的乐趣，解决难题的欢喜，发现规律的愉悦等等。

（3）数学解题竞赛

内容为以五六年级学科知识为主，适当提高要求。竞赛时间为12月6日下午1：30，地点为综合楼310。

四、奖项设置

设学生组等级奖若干、班级组织奖和指导老师奖，获奖论文择优推荐给有关学生数学报刊。

五、组委会人员分工

1.顾问组

丁宜林陈德华卞红喜

2.评委组

三年级数学日记：张生王晓静陈平

五年级数学小论文：唐成于明

六年级解题竞赛：卞红喜刘燕黄晶

注：参赛报名表、数学日记和论文稿纸及范文见校园平台，请相关数学老师及时上报至指定邮箱。

大学数学知识竞赛活动策划方案2

一、活动背景：

为提高大学生综合素质，培养敏捷的思维能力。拓展大学生视野，丰富校园生活，我们此次在比赛正常进行的前提下，力求在比赛的各个环节有所创新。全校各系部班级参与，共同打造一场全新的知识盛宴，为全校学生了解知识、学习知识、运用知识及深化科学认识，浓郁的校园科学氛围提供一个更广阔的空间，增加同学们对数学的兴趣，也为全校的学风建设以及知识文明建设和精神文明建设做出一定的贡献。

二、活动目的：

1、让广大数学爱好者有一个展示自己才能的机会

2、激发学生对数学的积极性，开拓知识面，丰富校园生活

3、提升大学生对数学的兴趣，

三、活动主题：趣味数学奥妙数学

四、承办单位：怀化学院数学建模协会

五、活动时间：时间20年11月16日

六、活动对象：怀化学院在校全日制学生

七、比赛形式：考试（自带考试工具）

八、报名方式:采取双重模式

（1）由本班学习委员报名，各班学习委员在规定时间内把名单交到各系社团部，在由每个系社团部统一交到数学系社团部

（2）也可以现场报名，在指定地点，现场向宣传人员报名

九、注意事项：

（1）考场教室的租借。

（2）考试考场纪律。

（3）活动前期做好各协干的工作安排。

（4）活动后协会协干搞好教室卫生。

十、奖项设置：

一等奖院级证书奖金一名

二等奖院级证书奖金二名

三等奖院级证书奖金五名

优胜奖院级证书五名

优秀工作者院级证书二名

十一、活动经费：

宣传单200份200-0.1=20元

报名表150份150-0.1=15元

复印试卷150份150-0.4=60元

试卷命题一套1-100元=100元

获奖奖金一等奖40-1=40元

二等奖30-2=60元

三等奖10-5=50元

总计：330元

大学数学知识竞赛活动策划方案3

一、活动目的

为了开发大学生思维，更好落实大学生素质拓展要求，丰富学生课余生活，为学生的多方位发展提供空间，数学与统计学院决定举办一系列与数学相关的校园活动，以更好展现我院的特色文化，同时让大家了解以及喜欢上“数学”——这门在高校教学中占据着不可替代的位置的学科。

二、活动口号

“展现数学的美，尽显理性的魅力！”

三、活动目标

使我系大一新生对数学文化有更深入的了解，感受到数学之精确、数学之周密、数学之趣味、数学之美感，同时为同学们提供一个展现自我的平台，更好的融入校园活动中。

四、活动内容与要求：

1.面向数学系大一新生举行，各班同学应积极参加，不得无故缺席。

2.采取智力测试的形式，在规定的时间（50分钟）内完成指定的题目，要求条理清晰。

3.在参赛选手中按比例评出一、二、三等奖和优秀奖数名。

五、所需设备及工具

1、多媒体教室及设备

2、复印资料、奖状、笔、A4答题纸

六、工作安排（人员另定）

1、大量数学资料的收集整理，竞赛题库的建立

2、参赛活动的宣传，活动地点的设定

3、评委、主持人

4、活动过程的记录（包括照片、新闻稿等）

七、奖项设置

7.苏州大学高等数学竞赛 篇七

试卷考点分布如下:第一大题重点考查了用定积分的定义求函数极限 (第1小题) 、不定积分的凑微分法 (第2小题) 、导数运算法则求导数值 (第3小题) 、参数方程确定的函数求导 (第4小题) , 同时也考查了学生对所学知识应用于实际的能力 (第5小题求旋转体的体积) ;第二大题考察导数的单调性应用;第三大题的证明题考查了积分中值定理和Rolle定理;第四、五、六大题重点考查了导数的其他应用, 体现了学生对知识的理解、灵活运用程度, 以及考虑问题的全面性和对问题的等价转化能力等等。

本次竞赛的成绩, 能较真实地反映选手们的数学思维能力、逻辑思维能力以及处事的严谨性和有序性。通过竞赛, 提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力, 使学生能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明和计算, 能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本文就一些典型题目进行如下评析, 供对数学微积分竞赛和专升本考试有兴趣和需求的学生参考。

解析:本题与08年的第二大题有异曲同工之妙, 但相比而言, 由于题型直接给出了求和的符号, 思路上就不会进入误区。对于初等要求的数学学习者而言, 数列极限的方法不外乎为:利用“单调有界函数必有极限”处理和夹逼准则 (2005年浙江省高等数学微积分竞赛文专组第五大题) 。本题中的和的极限即为函数f (x) =xsinπx在区间[0, 1]上的定积分。事实上, 函数f (x) =xsinπx在[0, 1]上是连续的, 因而可积分。这样便可将[0, 1]n等份, 并取ξi为小区间的左端点, 这样作出的和的极限就是题中所要求的极限。即:

评注:本题考查了学生对利用定积分求和的极限知识点的理解与灵活运用程度。

评注:本题难度适中, 考查了学生对求不定积分的基本方法的掌握和运用。对于被积函数出现根号的, 首先用凑微分法凑成基本积分公式的形式, 如果行不通, 再考虑用换元法把根号去掉。

解析:本题源自于课本上的习题:已知f (x) = (x-1) (x-2) ∧ (x-100) , 求f' (0) 。

评注:本题考查了学生对导函数和某点处的导数概念的理解。

解析:本题的题型属于思路容易计算繁琐。通过计算得到因因此此拐点为 (1, 0) , (-1, 0) 。

评注:考查了学生对参数函数的高阶导数求导的运用。参数函数的二阶阶导导数等于参数函数的一阶导数对参数求导再乘以参数t对自变量x求导导的的导数。

例5 (第一大题第5题) 已知极限=1, 求常数a, b的值。解析:本题通过观察, 发现条件中的极限是幂指结构未定型, 自然想到要要利利用复合函数的极限法则得到幂指函数的极限:

即b=-1。继续利用洛必达法则

评注:本题难度适中, 类似于05年第一大题的第3题和08年第一大题的第1题。考查了学生对幂指函数的极限转换和洛必达法则的运用程度。

例6 (第二大题) 设f (0) =0, 0<f' (x) <1, 证明:

(1) F (t) 为偶函数; (2) F (t2) =2F (t) 。

有唯一解。

解析:证明题一直是微积分竞赛的必考题 (2003年第三大题, 2004年第第六六大题, 2007第六大题) , 也是学生最薄弱的地方。

2009年试卷的证明题属于容易题。

第二大题要求证明不等式, 对此类不等式可利用函数的单调性来证明明。。

从条件中得到g (x) 单调增加, 因此g (x) >g (0) =0。进一步推出F (x) 单调增增加加, 得到所求不等式。

第五大题第一小题利用偶函数的定义易证:

第五大题第二小题利用第一小题的结论, 巧妙地化难为易。

第六大题要证明唯一解, 要先构造函数F (x) =2x-f (t) dt-1。再从两方面面入入手:一方面计算F (0) F (1) <0, 利用零点存在定理推得函数F (x) 至少存在在一一个零点, 即方程至少有一个根;另一方面利用求导F' (x) =2-f (x) >0, 推得得FF (x) 单调增加, 得到唯一解。

8.大学物理与高等数学相结合初探 篇八

【摘要】大学物理和高等数学承载着培养学生分析问题、解决问题的能力与创新精神的重任。在内蒙古科技大学数理教学基地建设的推动下，将大学物理和高等数学双学科相结合。力图培养学生在学习后续专业课时运用物理的模型思维与数学定量化的语言对实际问题进行分析与解决。

【关键词】高等数学 大学物理 结合

【课题项目】教育部高等学校大学物理课程教学指导委员会2014年高等学校教学研究项目：工科院校大学物理课程建设的研究与实践（项目编号：DWJZW201411hb）。内蒙古科技大学教改项目：大学物理与高等数学相结合教学改革研究与探讨（项目编号：JY2013103）。

【中图分类号】G642【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0156-02

大学物理是高等院校理工类专业必修的基础课，承载着传授物理知识、衔接专业课程、培养学生科学素养的重任[1]。同时大学物理也是本科生第一门将高等数学知识加以运用的课程，因此也肩负着深入理解、巩固掌握高等数学的重任。然而，现阶段由于两门课程的各自单独授课，使学生很难将两门课程有机的衔接，这样势必影响高等数学、大学物理时课程的学习，以及对后续专业课程的学习以及对近代科学技术的了解与掌握。因此，将大学物理与高等数学相结合是势不容缓的重要课题。

一、大学物理与高等数学的相关性

1687年牛顿撰写的《自然哲学的数学原理》中已将数学与物理的联系紧密结合。爱因斯坦相对论时空观替代牛顿经典时空观，量子论代替连续能量观点，经典物理延伸到近代物理。物理学的每一次进步都离不开数学的运用。

高等数学是舍弃具体对象，仅保留了数量关系和空间形式的一门高度抽象、逻辑严密的课程。大学物理是一门研究物质基本结构、相互作用及基本运动规律的数学化程度极高的课程[2]。大学物理中的很多知识点，由于其数学形式上的极大相似，从而具有极大的关联性。如变力的功、电磁场理论、简谐振动、麦克斯韦方程和气体速率分布率等众多知识点无不反映大学物理与高等数学的相互依托共同发展的依存关系。

二、大学物理与高等数学目前存在的问题

大学物理和高等数学是理工科学生必修的基础课，大学物理与高等数学之间存在密切联系，决定了它们需要贯通协调，共同发展[3]。然而两门课程之间的脱节已成为提高其教学效果的重大障碍[4]。大学物理与高等数学两门课之间的内容、方法、甚至例题，本有着非常高的关联性[5]，像转动惯量、变力做功、万有引力定律等问题上，高等数学中作为定积分的具体例子，一般教高等数学的老师会详尽求解，而在大学物理课程中，这些知识点又是承上启下的重点内容，往往大学物理的教师又会系统的讲解推导，这样势必会造成学生在同一个问题上的重复学习。因此针对大学物理和高等数学两门必修课程进行深化教学改革。对课程设计做相应调整，从大纲、教材、知识渗透与思想方法意识等方面，做好知识的相互连接，使学生能够更好的将高等数学知识灵活应用于大学物理。因此做好大学物理与高等数学的相结合不仅是提高大学物理教学效果的必经之路，也是将高等数学更有效的为大学物理和其他专业课服务的必经之路。

三、大学物理与高等数学相结合的探索

如何更好地开展大学物理与高等数学两门课程的教学，许多教师已进行了深入的研究。但工科基础课各自为政、不相往来的局面由来已久。尤其在学时数被大幅压缩的大背景下，需要通过教学管理层面的全局掌控、整合资源和教学单位的内容优化、重点分解等具体手段来实现。

内蒙古科技大学数理与生物工程学院于2009年5月启动了数理教学基地建设项目。贯彻“数理基础教学与专业课相结合，为工科专业人才培养服务；在学校数理教学基地建设的大环境下，提出了适应内蒙古科技大学培养目标的《大学物理》、《高等数学》的教学大纲、教学日历改革方案，特别要注重两门课程衔接的科学性、系统性、连贯性。在讲授《大学物理》课程的同时，培养学生灵活运用《高等数学》的知识将具体问题模型化后准确、定量的表达为数学的语言。拓宽学生的理论基础的同时，着重培养学生的思维方式和解决问题的能力。加强物理与数学学科教师之间的学习与交流，提高本学科的实用性。

经过几年的探索，内蒙古科技大学努力使大学物理课程做到重要的承上启下的作用，让学生深化理解用高等数学定量、精确、简洁的语言描述实际问题的方法，同时对后续专业课程的学习奠定良好的科学的学习方法和解决问题的能力，对高素质、高科学素养和创新人才的培养具有更深远的意义。

参考文献：

[1]陈华，张雪峰，杜晓红，大学物理与工科专业相结合教学模式研究，中国冶金教育，（2010）26-27.

[2]朱玉华，雷庆，高等数学和大学物理课程的认知学习过程比较，北京航空航天大学学报（社会科学版），（2001）61-64.

[3]苟立云，袁威威，高等数学与大学物理课程融合研究，黑河学院学报，（2012）53-55.

9.苏州大学高等数学竞赛 篇九

主持人串词

（开场舞）

男：尊敬的各位领导、各位来宾 女：亲爱的同学们，大家 合：晚上好！

男：在这倡扬科学精神的圣地，在这彰显人文魅力的殿堂，我们分享成功的喜悦 女：在这微笑与祝福构成的舞台，在这鼓励与拼搏汇成的海洋，我们欢聚一堂 男：竢实扬华的精神，让我们牢记，用智慧支撑理想的天空，用奋斗实现青春的梦想

女：自强不息的交大传统，带给我们无穷动力，鼓舞我们走上征程，激励我们勇往直前

男：我们相聚在交大，共同感受百年名校的沧桑 女：我们相逢在建模，一起体验创新思维的碰撞

合：XXXX大学第二届“新秀杯”数学建模竞赛暨2011年高教社杯全国大学生数学建模竞赛表彰大会现在开始！

男：XXXX大学“新秀杯”数学建模竞赛，由教务处，数学学院，社团联合会主办，XXXX大学数学建模协会承办。

女：活动自10月27日筹办以来，得到学校领导、老师的大力支持，在此，对关心、支持本次活动的领导、老师致以最诚挚的谢意！男：现在，请允许我们介绍今天来到晚会现场的嘉宾。

（来宾名单（男女交替））让我们以热烈的掌声欢迎他们的到来。

男：下面请XXXXXX数学建模协会会长XXX致辞。

（会长致辞）

男：听会长这么说，我们学校的建模成绩是越来越好了，听着都感觉很自豪啊！女：是啊，大家都被数学建模的智慧与激情所感染了，越来越多的人为它着迷。男：这个你说的很对，今年的新秀杯就展现了这一点。我跟你说，这次新秀杯只是针对大一和大二两个年级，可到最后交论文的就有几百支队伍哦！

女：这么多啊！几百支队伍，每队三个人，这还真是很多人啊！那肯定会有很多优秀论文。

男：是啊！那就让我们来看一下都有哪些队伍获奖了吧！首先颁发的奖项是新秀杯的三等奖。女：有请（宣读名单）上台领奖

男：有请XXX老师上台为获奖代表颁奖。（合影留念）

女：这么多人获奖，看来我们学校将来的建模成绩会更上一层楼啊！

男：是啊！我们收到的鼓励与祝福也越来越多了，就连外校的都祝福我们呢！女：哦！真的吗？那他们是怎么说的？

男：那我们一起来看看外校对我们的祝福吧！

（播放外校祝福VCR）

男：非常感谢他们的祝福，我们也祝福他们以后能取得更好的成绩。

女：是啊，真心的祝愿所有的人在这条路上越走越好。那接下来就继续我们的主题吧！男：好，接下来要颁发的奖项是新秀杯的二等奖。他们分别是（宣读名单）有请他们上台领奖。

女：有请XXX老师上台为他们颁奖。（合影留念）

女：接下来是在这次新秀杯初露锋芒的选手，他们获得了一等奖。有请（宣读名单）上台领奖。

男：有请XXX老师上台为一等奖的获奖代表颁奖。（合影留念）

男：我听说数学建模竞赛最看重的是经验，下面我们有请获奖选手将他们这次参加新秀杯的体会跟大家分享一下。

（新秀杯一等奖获奖选手发表获奖感言）

女：我想今天在这里的所有的获奖的选手的心情都是无比喜悦，几个队友一起努力，才走到今天的国奖颁奖台上。

男：恩是啊，曾经有人说笑话：珍惜生命，远离建模。每一个参加建模的队伍，至少也经历了半年纠结的建模的参赛和训练过程。有一些队伍更是从大一开始就接触了。

女：嗯，经历了这么久的训练，队员们肯定会有很多的心情独白吧，大家也一定很怀念当初百感交集的建模历程。

男：那好，现在为大家带来一段小小的心情独白，其实热衷于建模的贰逼青年背后也有文艺青年的感性一面~~请看短片：《独白》

（播放短片）

男：虽然只有短短的十几个画面，可是我觉得里面浓缩了很多的记忆和故事。女：是啊，或者我们作为局外人，很多的心情或者都还不能深切体会吧。

男：闲话不多说了，我们继续我们今天的主题。接下来就是2011年全国大学生数学建模竞赛的奖项了，首先是获得省三等奖的同学，他们是（宣读名单），有请获奖代表上台领奖。

女：有请XXX老师上台为他们颁奖。（合影留念）

女：不同的比赛有不同的体会，我们再来听听他们参加国赛的体会吧！

（获奖选手发表获奖感言）

男：参加了比赛就有一定的收获，相信你们以后一定会取得更好的成绩。下面颁发的省二等奖。女：有请省二等奖的获得者（宣读名单）上台领奖。男：有请XXX老师上台为他们颁奖。（合影留念）

男：相同的比赛获得不同的奖项，心情不同，体会也不同。我们有请获得省二等奖的学长学姐来交流一下经验，好不好？

（获奖选手发表获奖感言）

女：听他们谈经验果真是收益良多啊！看来以后要多多向他们请教。下面颁发的是奖项是省一等奖。男：有请省一等奖的获得者（宣读名单）上台领奖。女：有请XXX老师上台为他们颁奖。（合影留念）

男：相信大家都想拥有更多的经验，那么我们听听获得一等奖的学长学姐们的获奖感言吧！这次是可要随机点名发言的哦！

女：那我们就请XXX学姐和XXX学长来说一下他们的经验吧！

（获奖选手发表获奖感言）

男：接下来的奖项就是今天的重头戏了，不过在这之前我们先玩一个游戏来轻松一下吧！

（游戏规则）

男：游戏之后就是我们今天的闪耀明星登场了。首先有请获得2011年全国大学生数学建模竞赛国家二等奖的同学上台领奖。女：他们是（宣读名单），有请获奖代表上台领奖。

男：有请XXXX老师和XXX老师上台为他们颁奖。（合影留念）

女：奖项一冠上国家这个级别就特别令人羡慕了，相信台下的学弟学妹们也很想听听他们的经验之谈，我们就再请他们为我们介绍一下参加竞赛的体会，大家想不想听？

（获奖选手发表获奖感言）

男：这些获奖的人都是我们的榜样，从他们身上学到的还真是多呢！接下来颁发的是今天晚上的最后一个奖项了，那就是2011年全国大学生数学建模竞赛的国家一等奖。

女：有请XXX、XX、XXX、XX、XXX、XXX上台领奖。

男：再次有请陈燕灵老师和董艳云老师为他们颁奖。（合影留念）男：获得每一个奖项的同学都有他们的过人之处，那就请我们最羡慕的一等奖获得者再为学弟学妹们交流一下经验吧！

（获奖选手发表获奖感言）

女：交大真是卧虎藏龙啊！2011年的全国大学生数学建模竞赛已经尘埃落定，获奖的同学也是锦衣荣归，没获奖的同学也获得了一次宝贵的经验。但是交大的建模之路仍在继续。下面有请（职称）老师为今年的数学建模竞赛做总结。

（老师发言）

男：谢谢老师的精彩点评。听了老师的总结，看到这么多队伍获奖，XX的建模真是名不虚传啊！

女：那是当然，而且今年的新秀杯更是为明年的国赛储蓄人才呢！男：这点很对，赛请讲座上老师就说国赛有很多获奖选手都是新秀杯选出来的呢！所以说，今年参加新秀杯的同学很有希望在明年的国赛上取得不错的成绩哦！

女：那我们就期待明年的国赛吧！

男：一分耕耘，一分收获。在集体的努力下，我们体会团结的力量！女：重在参与，公平竞争。在不断的奋斗中，我们体验成功的喜悦！

男：再次感谢各位来宾的光临！本次“新秀杯”数学建模竞赛暨2011年全国大学生数学建模竞赛颁奖 合：到此结束。

10.大学 高等数学 历年考题 篇十

1.[2012]

求曲面在点处的切平面和法线方程

解

令，则

从而切点的法向量为

从而切平面为

法线方程为

3、[07]曲线在点的切线方程为.4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。

解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上

因此切平面为

5.[2006]已知直线和平面则（B）

A、在内

B、与平行，但不在内

C、与垂直

D、不与垂直，不与平行

6.[2006]曲面在点处的法线方程是

7.[2006]（化工类做）

已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。

证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以

设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以

所求方程为

二。多元函数

1.【2012】设，则

0

2.【2012】设,则

3.【2012】

函数在点处沿指向点方向的方向导数

4.【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数

解

因为

与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又，或，或

于是函数在点存在有一阶偏导数。

5.【2012】设,求

解

令，则，于是用公式得

6.[2012]

在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解

设点为，则

等价于求在约束之下的最小值。令

且由

解得驻点，最短距离为

（令计算起来更加方便，舍去驻点，）

7.[2011]

8.[2011]

9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？

11.【2011】求函数的极值.12.[2010]

13.[2010]

14.[2010]

15.[2010]

16.[2009]

17.[2009]

18.[2009]

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

19.[2009]

求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点

当时，是条件极值，考虑函数，解方程组

可得

所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。

20.[2009]

（化工类做）

求由方程组所确定的及的导数及。

21.[2009]

（化工类做）

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？

22、[2008]

函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要

条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分

条件（填必要、充分或充要）

23、[2008]

设有连续偏导数，则

24、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点

证：令，则

从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。证毕

25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数

解：方程组两端对求导，得

把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为

所求方向导数为

26、[2008]

设，求

解：两边取微分，得

从而，27、[2008]

设，则它有极小值

28、[2008]

设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。

解：令

则，从而

再由即约束条件，可得，从而

由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。

29、[2007]

设，则

30、[2007]

已知，则

031、[2007]

函数在点处沿从点到点方向的方向导数是

32、[2007]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：

33、[2007]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续

解：由定义

同理

由于

从而函数在原点处可微。

当

由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。

34、[2007]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求

解：对方程两边取微分得

即

35、[2007]求在约束条件下的最大值和最小值

解：令

则

由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为

36.[2006]

若在点处可微，则下列结论错误的是（B）

A、在点处连续

B、在点处连续

C、在点处存在D、曲面在点处有切平面

37.[2006]

二重极限值为（D）

A、0

B、1

C、D、不存在38.[2006]，则

39.[2006]

函数在点沿方向的方向导数为

40.[2006]

设函数

证明：1）在点处偏导数存在2）在点处不可微

证明：1）因为

所以在点处偏导数存在2）因为

当取时

随之不同极限值也不同，即

所以此函数在处不可微。

41.[2006]

设，具有连续二阶偏导数，求

解：，42.[2006]

在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为

化成截距式方程

此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）

要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。

由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点

得

由此得，所以

当时，有最小体积，最小体积为。

切点坐标为。

三。二重积分

1.[2012]

设是所围成的区域,则

2.[2012]

计算二重积分，其中

解

被积函数有

而积分区域关于对称，取

从而

3.[2012]设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.[2011]

5.[2011]

交换二次积分的积分次序：。

6.[2009]

求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.[2009]（化工类做）

计算二重积分，其中为圆域。

8、[2008]

交换二次积分的积分次序

9、[2008]

求球面含在圆柱面内部的那部分面积

解：上半球面的部分为

10、[2007]

计算二重积分.是由所围成的闭区域

解：作图知

11.[2006]

交换积分次序后，12.[2006]

计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。

解：原式

四。三重积分

1.[2012]

设为两球的公共部分，计算三重积分

解

由

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得

2.【2011】对于任何不自交的光滑闭曲面上的单位外法向量,所围成的区域,证明:

3.[2010]

计算三重积分

4.[2009]

计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则

原式

5、[2008]

计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域

解：由对称性

从而

6、[2007]

计算三重积分，其中.由所确定

解：由交线（舍去）

于是投影区域为，柱坐标下为

7.[2006]

计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。

解：方法一：利用柱面坐标计算,原式

方法二、截片法,原式

五。曲线积分

1.[2012]

设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分

2.[2012]

计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解

由于

补两条直线是逆向的闭曲线，故

原式

或由曲线积分与路径无关，直接得

原式得

或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式

或者由是全微分表达式，凑微分，因

及

得

原式

3.[2011]

4.【2011】计算

5.[2011]

6.[2010]

7.[2010]

计算

8.[2010]

(化工类做)计算

9.[2009]

10.[2009]

计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为

由格林公式有

11、[2008]

计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关

取路径，12、[2007]

设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分

13、[2007]设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分.14.[2006]

曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于

15.[2006]

计算，其中为从点沿椭圆到点的一段。

解：原式

16.[2006]

设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。

解：，由得，所以

六。曲面积分

1.[2012]

计算曲面积分，式中是上半球面的上侧.解

补一个平面，取下侧，则原式

另法（看看:

归一化，多次换元够烦的）

即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=

2.[2012]

求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解

记为在部分的面积，或者

3.【2011】计算

4.【2011】计算曲面积分

5.[2010]

计算

6.[2010]

计算曲面积分

7.[2009]

向量场的散度为。

8.[2009]

计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得

原式

9、[2008]

向量场的散度为.向量场的旋度为.10、[2008]

设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分

0，11、[2008]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧

解：取上侧

则原式

12、[2007]

计算，其中为半球的上侧

解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式

原式

（用对称性可以简化计算）

13、[2007]

计算，其中为抛物面

解：，投影区域为

由对称性，原式

14.[2006]已知曲面的方程为，则（B）

A、B、C、1

D、分析：

15.[2006]计算，其中为旋转抛物面的上侧。

解：方法一、利用两类曲面积分的联系

对应侧的法向量为

原式=

方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧

原式

七。微分方程

1.[2012]

求定解问题的解

解

标准化，由标准方程的解的公式，得

由初值条件，有，于是特解为

2.[2012]

求微分方程的通解

解

对应的齐次方程为，解得特征根

非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得

即

于是根据解的结构定理得，所求通解为

3.[2012]

设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.【2011】求微分方程的通解.5.[2011]

6.【2011】(化工类做)求微分方程的通解.7.[2010]

8.[2010]

9.[2010]

.[2010]

(化工类做)求微分方程

11.[2010]

(化工类做)

12.[2009]

求如下初值问题的解

解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为

变量分离两边积分得

由可得

解可得，由可得

所求解为：。

13.[2009]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为

因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解为

14、[2008]

求微分方程的通解

解：，15、[2008]

计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得

即，这是标准的一阶线性微分方程

原方程令得，代入通解得，从而

16、[2008]（化工类做）求解初值问题

解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为

容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为

从而，由初值条件可得。

因此

17、[2007]

求微分方程的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程

由公式

18、[2007]

设具有二阶连续导数，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。

解：由全微分方程的条件知

有特解有形式，代入原方程得

从而通解

由初值条件

因此

原方程即为

即

19.[2006]

用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（B）

A、B、C、D、20.[2006]

设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。

解：因为，原方程为

这是一个一阶线性微分方程，其通解为

八。级数

1.[2012]

判别无穷级数的收敛性。

解

由于，故

而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.[2012]

求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解

比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为

当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.[2012]

将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解

利用，从而

4.【2011】(非化工类做)

5.【2011】(非化工类做)

6.【2011】(非化工类做)

7.[2010]

(非化工类做)

8.[2010]

(非化工类做)

9.[2010]

(非化工类做)

10.[2009]

（非化工类做）

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.[2009]

（非化工类做）

将函数展成余弦级数。

12.[2009]

（非化工类做）

求幂级数的收敛半径和收敛域。

13.[2008]

设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14.[2008]

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15.[2008]

设，证明满足微分方程，并求。

16.[2007]（非化工类做）

求幂级数的收敛域及其和函数。

17、[2007]（非化工类做）

将函数展成的幂级数。

18、[2007]（非化工类做）

11.苏州大学高等数学竞赛 篇十一

摘要：《高等数学》是应用型本科大学教育中不可或缺的一门基础性必修课程，它可以很好的培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，对学生的成长有着重要的意义。但对于高等数学课程来说，不管是课程设计还是课程的改革还存在着一些不足，达不到应用型本科大学人才培养的要求，因此，本文对应用型本科大学高等数学课程从传统授课和微型课程设置作一些讨论

关键词：应用型本科大学；高等数学；课程

高等数学是应用型本科大学的必修基础课程之一，几乎每个专业都涉及到高等数学课程。所以如果能对高等数学课程有一个很客观，很深刻的认识，不仅仅对应用型本科大学合理的课程设计大有益处，而且能够充分利用高等数学的学科优势激发学生各方面的潜能，最终推动应用型本科大学的发展。

一、应用型民办高校高等数学的传统授课有以下特征

1、教师不仅要“向学生传递人类科学文化知识和技能”，还要“对学生进行思想道德教育，培养学生高尚的审美情趣，把受教育者培养成社会需要的人才的专业人员”。教育的中心和主体是学生，教师对学生的学习起指导和服务作用。正确定位教师角色，是转变教学观念，有效开展高等数学课程教学的前提。

2、目前，各高校根据自身办学情况，定位培养目标。高等数学课程教育应根据培养目标制定教学目标，确定相应的教学内容和教学重点。例如，笔者所在单位中国矿业大学徐海学院，是第三批本科招生的独立学院，以培养应用型、复合性人才为目标。在制定数学课程教学大纲和教学内容方面，与以培养研究型人才为目标的中国矿业大学有较大的不同。条件成熟的高校，高等数学课程应采取分层次教学，根据学生数学基础和学习能力，把学生分成若干层次，教师依据各种层次学生学习特点制定各层的教学目标，设置不同的教学过程，采取相应的教学方法。教学过程中，教师加强个别指导和分层辅导，达到因材施教、共同提高的目的。分层次教学的实施，可以有效避免数学基础好、学习能力强的学生吃不饱，数学基础差、学习能力差的学生吃不消的现象，各层次的学生都能接受适当的教育，增强学生的学习信心和学习兴趣，从而提高教学质量，学有所成。

3、课堂是教学的主要场所，课堂气氛是一种心理背景，是教学的软环境。积极的课堂气氛有利于提高学生学习效率。数学课程本身具有理论性强、连续性强的特点，学生容易产生疲倦甚至厌倦心理，高等数学课程要使用一些有效的教学方法，使学生对教学内容产生兴趣，并自觉自主的学习，从而学得轻松有效。

4、数学教学设计是数学教学的预案，是一种课堂教学前对教学实践的计划.这一计划在课堂上的实施可能出现一些课前没有预想到的一些情况.如与我们设想的不同，多数学生在理解概念上出现了困难.又如，某些教学材料的选择和安排并不如我们预想的那样有效.当然，也有些情况与我们预想的完全相同.总结教学设计和实践中的优点和不足是教学反思的基本内容.并且，仅是总结优点和不足是不够的，教学反思应该更进一步，即明确教学设计合理性的理论基础是什么？不足的原因是什么？应该如何改进？因此数学教学反思可以在宏观层面，如是否符合某种教育理念.但是我认为，要使反思成为有效的教师专业发展途径，反思一定要回到一些微观层面.特别是不能只停留在教育学层面来反思数学教学.

5、数学教师要不断探索改进教学方法，通过各种渠道进行教学反思。教学反思除了教师自己不断总结提高，教师之间相互讨论分析之外，还要特别注重学生的意见和建议。

6、要安排好课外作业、辅导答疑。目前，市面上有关教材的跟踪辅导材料琳琅满目，学生盲目抄袭答案的现象比较常见。教师应该改进学生作业方式，多布置使用创造性思维的作业，增进学生的创造性思维能力和独立思考能力。数学课程安排辅导答疑尤其重要。要鼓励学生多问、为学生提问提供尽可能的方便。笔者每次开学之初都会向学生公布自己的手机、固定电话、电子邮箱，并且开通个人网页，鼓励学生随时提问，不遗留问题。

7、教师对待教育事业的积极的态度和认真负责的精神，也是影响学生的重要人格品质 课后要经常与学生接触，关心学生的学习和生活，拉近师生距离，增强学生学习的信心。要了解学生的学习能力和学习需要，对后进学生要鼓励，加强辅导，需要时可以给部分同学开辅导课，用自己的耐心和认真负责的态度打动学生，激励学生的学习动机，消除两极分化。对学有余力的同学，可以加强引导，按照专业要求和兴趣方向，鼓励他们通过自学等形式，拓宽学习内容，不断提高学习能力。可以成立互帮小组或讨论小组的形式，组织学生利用课外时间互相帮助，讨论数学在本专业的应用情况，共同提高学习成绩和增强学习兴趣。

二、微型课程在应用型民办高校高等数学的应用

传统的授课方式已经不能满足学生对于学习的所有需求，在这种情况下，微型课程应时而生。随着网络的日益发达，微型课程不仅仅作为传统授课的一种补充方式，越来越多的学生已经适应以这种方式来获取知识，微型课程在应用型本科大学的应用中需要注意以下几点：

1、教师评议要得体，在微型课中，学生活动被省略后，老师的讲解水平将会倍受关注。老师的评议在要求生动，富有感染力的同时，更应做到准确，逻辑性强，简单明了。

2、讲授线索要清晰。在微型课的讲授中，要尽可能地只有一条线或精要讲授。力争在有限时间内圆满完成课题所规定的教学任务。尤其是对于高等数学中复杂的定理定义的证明，一定要掌握好时间。

3、要迅速的切入课题，微型课教学时间短，切入课题必须要迅速增长，可以从以前的基本内容入手；可以从生活现象、实际问题引入课题；也可以开门见山引入课题。但是一定要在最短的时间内让学生认识到尽管是复杂的数学理论，它仍然有一个很强的逻辑在主导整个课堂。

4、课后小结要快捷。在微型课的结尾一定要有一个小结，且二三分钟对一节课的教学进行总结和归纳，使微型课的结构趋于完整。微型课的小结不在于多而在于精，在注重总结内容的同时，更应注重学生方法的总结。对于计算比较多的章节，一定要总结出一些浅显易懂的计算方法，让学生能一目了然的获取本节课的重点内容。

5、课堂板书要简约。不宜太多，也不宜太少，要真正直到对内容要点的提示作用。在微型课中，部分板书内容，可以提前写到纸板上，以挂图在形式展示给学生，这样可以节省时间，而且也达到了板书的效果。

6、微型课与说课存在着很大的差别。微型课和说课作为教师培训、教师选拔、教学竞赛和教师评价的形式，为人们所喜闻乐见。也特别受到学校的青睐。因为，它们可以在有限的时间内，提高参与度，增大容量，提高效率。但微型课和说课是两种截然不同的形式，切忌把微型课看成是说课。

12.苏州大学高等数学竞赛 篇十二

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的, 初等数学是高等数学的基础, 正如中学的函数论初步与一元函数微积分学、立体几何椭圆曲线与多元函数微分积分、数列与无穷级数、三角方程与常微分方程等。理工科院校高等数学的架构由三部分组成, 即微积分、线性代数和概率统计。这三部分也是数学对近现代社会发展做出最大贡献的三个科目。虽然意义重大, 但学生的看法确是这门课程无关紧要, 不愿学, 不想学。究其原因笔者认为, 中学阶段的数学教育教学理念和教学方法与大学数学教育的严重脱节是真正的罪魁祸首。现今中学的数学教学偏重知识的传授, 对数学思想、理念的拓展涉足很少。导致迈入大学校园后, 高等数学与中学数学难以有效地衔接, 犹如空中楼阁, 那么应该做好什么准备呢?不妨从以下几个方面入手:

一、做好观念的储备

很多毕业生都会提到, 毕业后好多年了, 从没用到过哪怕一丁点的高等数学啊。“非数学专业的学生学那么多数学有用吗?”不可否认, 高等数学的知识在日常生产生活中确实很少直接用到, 但是随着人类社会由工业社会向信息社会的转化, 社会的进步对大多数普通工作者的需求并不是要他们能利用数学的运算去寻求解答, 而是要他们能借助数学素养在复杂错综的境遇中, 去找寻有条理的分析, 有助于最终的决策。

二、做好方法的储备

如今大学生的一个较为普遍的认识就是“高等数学不就是背背公式, 做做计算题吗?没什么大不了的, 记忆力好就万事大吉了吧。”如果一个大学生认为数学学习就是去记忆书本上的一批法则和公式, 然后用来解题, 那么他在数学学习进程中的收获必然会少的可怜。尤其是, 现在的中学无一例外的过度采用常规解题的操练方法, 这一教育模式产出的大学生就只通过接收问题的刺激, 对照相应法则作出反应, 不再去顾及对数学思想、原理、法则的理解、探究和反省, 直接的后果将是学生对数学把握是浅显的。主要表现在以下几个方面:

一是从素质教育来看, 当前中学数学教学中的操作练习, 已经把数学这一学科中凝聚着的人类文化精髓的生动、有意义的思想、观点和方法贬低为一种技巧化、工具化的训练。在应试模式下, 数学的观念、价值和应用因对应付考试不是立竿见影而被置于一旁, 这就影响了学生正确数学观的形成。同时, 也使学生对数学的地位、价值和情感发生理解的偏颇。

二是中学数学教学过程中, 数学各个科目的教学过程往往是割裂的, 而由于备考的需要, 学生自己也没有时间将数学科学的统一性和协调性直观起来。

因此对学生来讲关注数学内容间的协调统一, 在学习中努力建立起一种联系, 形成数学知识链条是大有裨益的。还要发现体会数学之美, 因为数学和谐美是任何学科无法比拟的。比如, 高等数学中的空间解析几何与线性代数之间就有着密切的联系, 把它们结合起来思考会有很大收获。解析几何中的三张平面对应于代数中的三元一次方程组。三张平面有唯一交点对应于代数中的三元一次方程组有唯一解。三张平面有唯一交点的条件是三张平面的三个法向量不共面, 它对应于代数中的三元一次方程组的系数行列式不为0。学习中注意到它们的结合, 会使你对数学之美产生深入探寻的渴望。

三、做好心态的储备

做好任何一件事情取决于一个好的心态, 在“高等数学太难了, 不是一般人能学会的。”这一心态下, 必将导致的是学习动力下降, 兴趣降低。不可否认, 高等数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着较大的困难。在解决数学问题的过程中, 学生普遍体验到挫折和失败。而且, 通常的一些数学课程也使人产生一种错觉, 它们给出一个系统的逻辑叙述, 使学生们有这种印象:“数学家们几乎理所当然的从定理到定理, 几乎没有任何困难的阻碍。”当他们开始学习的时候, 往往湮没在成串的定理中。课本中字斟句酌的叙述, 并未体现出数学家探索定理过程中的斗争、挫折, 以及经历的艰苦摸索的漫长道路。

事实上, 许多重要的数学概念异常缓慢的进入人类的智力生活, 并遭遇重重阻挠。从一流数学诞生开始, 数学家花了三百年才理解复数;数学家花了一千年才得到负数概念, 又花了一千年接受这一概念;数学家花了数千年时间才理解无理数, 如此种种, 不一而足。从这方面看, 数学不过是人类的一种文化活动, 人人可学, 人人可做, 尽管并非人人都有数学家的才能。而从事这种文化活动的数学家也是平凡的人, 同样会遇到困难、挫折、失败。那么把学习数学过程中体验到的挫折和失败看作磨砺意志打磨心理品质的绝好时机, 让他们意识到愈挫愈奋, 百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成。

四、做好常识的储备

在《概率论与数理统计》这门课讲到贝叶斯公式的时候, 有一道例题:一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性, 但也有0.01的概率误将健康人检出阳性。设已知该种疾病的发病率为0.005, 求已知一个个体检出为阳性的条件下, 该个体确实患有此种疾病的概率。“血液化验结果呈阳性是什么意思?”大学生在概率课堂上提问。这道题的本意在于:按照普遍的“常规”认识, 化验结果为阳性, 而事实上该个体是带菌的机会应该很大, 也就是说人们普遍认识阳性即为有病。但是对这道题来说, 由于发病率偏低, 虽然化验结果为阳性, 但按照贝叶斯公式, 进行精准的数学计算后发现, 实际带菌的概率约为0.323, 远远低于人们的心理预期。但是在实际讲授的过程中, 由于学生常识的缺乏, 并不知道人们的普遍认识, 往往体会不到这种严密数学计算的必要性和可靠性。