考研数学概率论与数理统计基础复习

考研数学概率论与数理统计基础复习（12篇）

1.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇一

2017考研数学「概率论与数理统计」复习攻略

考研数学数学一、数学三中概率论与数理统计占22%，两个大题三个小题，约34分。其特点是同学们学习不够重视，相对于高数、线代而言在三科中得分率最低。下面我们谈谈概率论与数理统计学习的策略。

一、把握学科核心主线

概率论与数理统计的核心主线就是分布与数字特征，所以两个大题一般就是从下列三个方面选两个：

1、一维随机变量及其函数的分布与数字特征

2、二维随机变量及其函数的分布与数字特征

3、点估计（矩估计、最大似然估计）与统计量的分布与数字特征

二、概率统计命题特点

纵观近十年概率统计真题，我们发现概率命题重视如下内容：

1、综合高数：现代概率统计的发展离不开高等数学、微积分知识。概率统计试题也与微积分知识密不可分，例如利用分布函数求一点处的概率就要用到分布函数的左极限。求离散型随机变量数字特征会用到级数求和，求连续性随机变量的数字特征肯定要用到积分。

2、分类讨论：例如一维、二维随机变量函数的分布问题，二维离散型随机变量与连续性随机变量综合问题等，我们一般都需要进行分类讨论，分类讨论要求既不重复又不遗漏，这就要求我们构造完备事件组进行全集分解。

3、数形结合：概率论中不少问题也有明显的几何意义，例如概率密度、分布函数、正态分布的对称性、分布函数的几何意义等。如果能够充分利用几何意义，我们将大大提升解题速度，化繁为简提高准确率。

4、正难则反：在处理概率大题过程中，如果我们遇到困难，无法继续做下去的时候，同学们要学会从反面来考虑，一般正面复杂的问题，反面往往比较简单，正难则反考察同学们的灵活性。

5、概率思维：近几年的.试题，我们发现越来越突出概率思维，即有些问题我们可以拼高等数学的知识做出来，但如果能结合概率思维（分布背景、统计替换的思想）可以大大简化计算，巧妙给出答案。

三、复习建议

概率统计学科主线清晰，建议同学们抽一定的时间强攻一下概率论与数理统计。概率论与数理统计的出题核心比较固定，建议同学们从历年真题中把握核心的主线。就拿历年真题来检验学习的效果，如果真题都能顺利解决，再结合一些模拟试卷开阔思维，概率一定是能学好，而且拿满分的！

2.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇二

一、考情分析

综观近几年全国各地的高考试题, 对概率统计与计数原理的考查, 基本呈现出以下特点.

1.题型全面, 知识点覆盖面广, 但有所侧重, 一般以一大和两小的格局出现, 约占22分.2012年也有少数省市减少了对概率统计与计数原理的考查, 如江苏卷、福建的文科卷, 只考查了两个小题, 且为中低档题.深入分析这些考题, 由于各地教材的版本不同, 各省市的考查要求也不同.

2.贴近教材, 贴近生活.有些试题由教材例习题的改编或从实际生活中概括而来, 情境新, 富有时代气息, 贴近社会生活, 并解决生产生活中的一些实际问题.如2012年, 天津卷理科第16题是掷骰子游戏问题, 全国新课标卷理科第18题是花店销售玫瑰花问题, 重庆卷理科第17题是投篮比赛问题, 四川卷理科第17题是小区安全防范系统问题, 辽宁卷理科第19题是体育节目收视率问题, 湖南卷理科第17题是超市购物量及结算时间问题, 陕西卷理科第20题是银行柜台办理业务所需的时间问题, 湖北卷理科第20题是工程施工期间降水量对工期的影响问题等.由此我们看到, 高考中出现的概率问题与其他题目有区别, 其应用性较强.

3.所有的试题注重对主干知识的考查, 新课程卷的多数试题淡化了求解过程中对计数原理的考查, 而强化了对必然与或然的数学思想和基础知识的考查.

4.注重与其他数学知识的整合.如2012年, 辽宁卷理科第5题与函数模型的应用、不等式解法、几何概型综合应用问题, 江苏卷第6题与等比数列的综合应用问题, 江西卷理科第18题以空间坐标为背景, 给出“立体”的新定义问题等.

5.统计内容进入解答题.原高考中文、理科概率一般都有一道解答题, 统计是以小题形式出现.新课标文科概率的内容删去了很多, 概率只占8课时, 而统计占到30课时;理科的统计和概率的课时数基本相等, 都是23课时.所以从课标要求、课时等方面来看, 统计这一内容显得更为重要, 以解答题的形式考查统计已成为可能, 特别是文科.事实上, 2012年高考单独出统计解答题的有:广东文、理卷第17题, 辽宁文、理卷第19题, 考查频率分布直方图的理解与应用;安徽文科卷第18题, 主要考查频率和频率分布表等统计学的基本知识, 用频率估计概率的基本思想.2012年以解答题的形式考查统计与概率的省份还有:新课程全国文、理卷第18题, 山东理科卷第19题, 浙江理科卷第19题, 福建理科卷第16题, 安徽理科卷第17题, 北京文、理卷第17题, 天津文科卷第15题、理科卷第16题.这些题目, 将统计概率应用融为一体, 综合考查数据处理能力.“会收集数据、整理数据, 能从大量数据中抽取对研究对象有用的信息, 并做出判断.数据处理能力主要依据统计进行整理、分析, 并解决给定的实际问题”.在复习时, 要重视统计中的数据整理、分析、预测等能力.

6.排列组合中对分类讨论思想的要求较高.如2012年, 四川卷理科第11题利用排列组合计算抛物线的条数问题, 北京卷理科第6题排数问题, 安徽卷理科第5题纪念品交换问题等.

二、命题走势

分析近几年的数学高考试题可以发现, 这一内容的高考命题有以下趋势.

对于统计的考查在逐渐升温, 由以往的以选择题、填空题的形式出现, 转为以解答题的面孔出现的可能性较大, 主要考查抽样方法、各种统计图表等内容, 多为中档题.由于统计中的抽样方法、总体分布的估计等内容与现实生活联系密切, 必将改变以往考试中较少涉及的现状, 逐渐成为高考的热点, 而线性回归、回归分析和独立性检验等知识目前仍为考试的冷点, 也有部分省市暂未列入考试要求.

对概率的考查文、理有别, 理科以解答题并设计多个小题的形式出现, 在考查古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容的同时, 将含离散型随机变量的分布列、期望、方差和各种概率的计算融合在一起进行考查, 经常通过对课本原题的改编, 或是对基础知识的重新组合、拓展, 并赋予时代气息, 常以熟悉的生活背景为载体, 以排列组合和概率知识为工具, 考查对概率事件的识别与概率计算.试题立意高、情境新、设问巧、贴近生活实际;由于文科不再学习排列组合知识和独立事件的概率, 因此有关古典概型问题的计算要求会有所降低, 主要考查不用排列组合知识的古典概型和几何概型的计算.

在题型上, 与往年类似, 选择题、填空题一般考查概率、统计的一些基础知识;在解答题中, 文科注重考查纯概率题, 理科应重点关注将概率与统计结合起来的问题.

三、特别提醒

1.求出离散型随机变量的分布列后, 要注意用分布列的两条性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.二项分布、几何分布是常见离散型随机变量的分布, 它们都是在做独立重复试验时产生的, 但二项分布是指n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率分布, 而几何分布是指在第k次独立重复试验时, 事件第一次发生的概率分布, 一定要注意区分, 避免混淆.

2.离散型随机变量的期望应注意两点:

(1) 期望是算术平均值概念的推广, 是概率意义下的平均.

(2) Eξ是一个实数, 由ξ的分布列唯一确定, 随机变量ξ是可变的, 可取不同的值, 而Eξ是不变的, 它描述ξ取值的平均状态.

3.离散型随机变量的方差应注意三点:

(1) Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度.Dξ越大, 表明平均偏离程度越大, 说明ξ的取值越分散;反之, Dξ越小, 说明ξ的取值越集中, 在Dξ附近, 统计中常用来描述ξ的分散程度.

(2) Dξ与Eξ一样也是实数, 由ξ的分布列唯一确定.

(3) 教材中给出D (aξ+b) =a2 Dξ, 在应用此结论时, 要注意D (aξ+b) ≠aDξ+b, D (aξ+b) ≠aDξ.

4.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础, 是一种等概率抽样, 由其定义, 应抓住以下三点:

(1) 它要求被抽取样本的个体数有限.

(2) 它是从总体中逐个地进行抽取.

(3) 它是一种不放回式抽样.

5.频率分布条形图和频率分布直方图是不同的概念, 虽然它们的横轴表示的内容是相同的, 但是频率分布条形图的纵轴 (矩形的高) 表示频率;频率分布直方图的纵轴 (矩形的高) 表示频率与组距的比值, 其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积.

四、考点解析

近几年全国各地新课程高考数学试卷中, 考查概率统计与计数原理的题型全面, 知识点覆盖面广, 但有所侧重.

1.新增内容, 全面考查

新课程高考数学试卷对新增加的概率与统计的内容都有所涉及, 例如几何概型、茎叶图、运用统计图表估计总体等, 这些知识在近几年的高考试题中均有体现, 一般以直接应用的基础试题为主.

例1 (2012年北京卷) 设不等式组{0≤y≤20≤x≤2, 表示的平面区域为D, 在区域D内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 () .

评析:本题主要考查几何概型的概率.用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的, 同属于“比例解法”, 即随机事件的概率可以用事件包含的基本事件的“测度”与试验的基本事件所占的总“测度”之比.几何概型与古典概型虽然都是等可能问题, 但是几何概型面对的基本事件具有无限性, 因此, 在求它的概率时, 需转化为相应线段的长度、图形的面积或几何体的体积等几何测度之比来实现.

例2 (2012年陕西卷) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 得到样本的茎叶图 (如图2所示) , 则该样本的中位数、众数、极差分别是 () .

解:根据茎叶图知, 共有30个数据, 所以中位数是, 众数是45, 极差是68-12=56.故选A.

评析:本题从统计中的茎叶图开始, 要求从茎叶图中正确读出相关数据并进行分析.

2.文、理要求, 分层考查

概率统计与计数原理对文理科的考试要求, 在高考试题中有非常明显的区别.如对计数原理和二项式定理的考查, 只出现在理科试卷中, 对概率问题的考查, 文科一般只考古典概型, 对问题中计数能力的要求仅限于会通过枚举得到;理科会在文科的基础上, 要求会用排列组合的方法来加以计数.必须注意, 这里对排列组合计数的要求也不高, 一般会直接使用就可以了.

例3 (2012年全国新课标理科卷) 将2名教师, 4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成, 不同的安排方案共有 () .

(A) 12种 (B) 10种

(C) 9种 (D) 8种

解:将4名学生均分为2个小组共有种分法, 将2个小组的同学分给两名教师带有A22=2种分法, 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22=2种分法.

故不同的安排方案共有3×2×2=12种分法.故选A.

评析:对于排列组合混合问题, 可运用先分组后排列的策略求解.无次序分组问题有“均匀分组 (比如本题) 、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型.计数时常有下面结论:对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题, 只需按“非均匀分组”列式后, 再除以均匀分组数的全排列数.

例4 (2012年浙江理科卷) 若将函数f (x) =x5表示为f (x) =a0+a1 (1+x) +a2 (1+x) 2+…+a5 (1+x) 5, 其中a0, a1, a2, …, a5为实数, 则a3=.

解:x5=[ (1+x) -1]5, 故a3为[ (1+x) -1]5的展开式中 (1+x) 3的系数, 由二项展开式的通项公式可得Tr+1=C5r (1+x) r (-1) 5-r.

令r=3, 得T4=C53 (1+x) 3 (-1) 2=10 (1+x) 3, 故a3=10.

评析:二项式定理这部分内容有独特的处理问题的方法和思考方法, 比如系数问题、特殊赋值等.本题在设计上注重考查思维方式, 又不回避通性通法的考查, 题目入口较宽, 又有一定的思维深度.

例5 (2012年山东卷) 袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张, 标号分别为1, 2, 3;蓝色卡片两张, 标号分别为1, 2.

(Ⅰ) 从以上五张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;

(Ⅱ) 现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

解: (Ⅰ) 从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:

红1红2, 红1红3, 红1蓝1, 红1蓝2, 红2红3, 红2蓝1, 红2蓝2, 红3蓝1, 红3蓝2, 蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况, 故所求的概率为

(Ⅱ) 加入一张标号为0的绿色卡片后, 从六张卡片中任取两张, 除上面的10种情况外, 多出5种情况:红1绿0, 红2绿0, 红3绿0, 蓝1绿0, 蓝2绿0, 即共有15种情况, 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,

所以概率为

评析:本题紧紧围绕教材, 依据教材改编而成, 着重考查高中数学的基本知识与基本内容, 既考查了计数原理, 同时又是概率论的经典问题.题目本身不难, 若不加分析就计算, 可能会失分.要是先进行分析和探索, 综合自己掌握的数学知识, 找到合适的切入点, 问题就迎刃而解.

3.重点知识, 重点考查

(1) 对统计知识的考查

分层抽样、频率分布直方图、样本估计总体、样本数据的数字特征 (平均数、方差等) 是考查重点.

例6 (2012年广东卷) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图3所示, 其中成绩分组区间是:[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100].

(Ⅰ) 求图中a的值;

(Ⅱ) 根据频率分布直方图, 估计这100名学生语文成绩的平均分;

(Ⅲ) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示, 求数学成绩在[50, 90) 之外的人数.

解: (Ⅰ) 由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1, 得

即20a=0.1.解之, 得a=0.005.

(Ⅱ) 由频率分布直方图可知, 这100名学生在各分数段上的人数分别为:

[50, 60) , 5人;[60, 70) , 40人;[70, 80) , 30人;[80, 90) , 20人;[90, 100) , 5人.

所以这100名学生的平均分为

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 及图表可知, 数学成绩在[50, 90) 内各分数段上的人数分别为

评析:本题以统计中的频率分布直方图为背景, 考查分析问题和解决问题的能力, 准确读取频率分布直方图中的数据是解决此类问题的关键.

(2) 对概率知识的考查

古典概型、离散型随机变量的分布列和期望、二项分布等是重点考查对象, 这类问题构成高考解答题的主体.

例7 (2012年天津卷) 现有4个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏, 掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(Ⅰ) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(Ⅱ) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(Ⅲ) 用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数, 记ξ=|X-Y|, 求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为C24p2 (1-p) 2=

(Ⅱ) 由题意知, X～B (4, p) , ∴P (X=k) =Ck4pk (1-p) 4-k (k=0, 1, 2, 3, 4) ,

因此, 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

(Ⅲ) ξ所有可能的取值为0, 2, 4.

随机变量ξ的分布列为:

评析:本题主要考查古典概型及其计算公式, 互斥事件、独立重复事件、离散型随机变量的分布列及数学期望等基本知识.这种类型的概率试题在近几年各地的高考试卷中出现的比例较高, 且常考常新.对于此类考题, 要注意认真审题, 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质, 将问题成功转化为古典概型, 独立事件、互斥事件等概率模型求解, 因此对概率型应用性问题, 理解是基础, 转化是关键.

声明:本刊选用了部分国内外图文, 为了更好地维护著作者权益, 敬请与本刊联系, 以便及时奉寄稿酬。

3.概率与统计专题复习策略 篇三

1． 复习时，要解决好两个问题：一是要理解体会离散型随机变量期望、方差的实际意义，这样才能把实际问题转化为期望、方差的计算问题；二是要准确理解把握问题中随机变量ξ、η的具体含义，这是解决分布列问题的关键．

2． 学习统计这部分内容时，应着重体会概念的实际意义，突出统计中处理问题的基本思想方法，亲自动手，结合使用计算器解决一些简单、典型的实际问题．尽管这部分内容在高考中分量轻，但对数学方法的理解有很大帮助．

3． 在复习中主要加强以下三种训练：(1)强化双基训练．主要是培养扎实的基础知识，快捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力；(2)强化方法选择．要掌握思维过程，发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系；(3)培养应用意识．要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”．再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.

（一）典题分析

1． 概率问题.

例1 A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是( )

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

答案：D.

解析 不妨假定最后赢得所有卡片的是A，则第5次抛掷硬币出现的是正面向上，且前4次的抛掷结果中必有3次正面向上、1次正面向下(这次正面向下不能出现在第4次)，因此恰好抛完5次硬币时赢得所有卡片是A的概率是■×■＝■，恰好抛完5次硬币时游戏结束的概率是■×2＝■.

点评 在排列组合以及概率的相关问题中，题目中常常出现“至多”“至少”“恰好”之类的词语，此时一定需要根据题意的叙述准确理解其含义，从而正确地解决问题．

2．“频率分布”与“累积频率分布”问题.

例2 有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：

［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8

［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.

分析本题主要要求考生能够准确地识图以及主要考查频率分布直方图的有关知识；注意频率分布与累积频率分布的区别，要掌握三种表格的区别与联系.

解析 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表：

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下：

点评 在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，而频数等于样本容量与频率的乘积，所有小矩形的面积之和等于1.

例3 考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：（1）作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.

分析 确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.

解析 ⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29.确定组距为3，组数为10，列表如下：

⑵频率分布直方图如下：

点评 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功．

3． 离散型随机变量的分布列、期望和方差.

在计算分布列时，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率. 在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，尽量避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确性.

例4 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：

则比较两名工人的技术水平的高低为 .

分析 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.

解析 工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

Eε=0×■+1×■+2×■=0.7，

Dε=(0-0.7)2×■+(1-0.7)2×■+(2-0.7)2×■=0.891；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

Eη=0×■+1×■+2×■=0.7， Dη=(0-0.7)2×■+(1-0.7)2×■+(2-0.7)2×■=0.664.

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.

点评 期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

例5 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为■，且各次射击的结果互不影响．

(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；

(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．

分析 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力．

解析 (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率：

P1＝P(A·A·■)＋P(■·A·A)＋P(A·A·A)＝■×■×■＋■×■×■＋■×■×■＝■.

(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P2＝C23×(■)2×■×■＝■.

(3)由题设，“ξ＝k”的概率为：

P(ξ＝k)＝C2k-1×(■)2×(■)k－3×■＝C2k-1×(■)k－3×(■)3

(k∈N*且k≥3)．

所以，ξ的分布列为：

点评 (1)二项分布与几何分布是两类重要的分布，要熟练掌握．在写分布列时，首先要判断随机变量是否满足其中一种．

(2)在进行概率计算时，要注意排列、组合等知识在等可能事件中的应用，要注意互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率公式的应用．

例6 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.1、0.5，今两人各投2次．

(1)求甲比乙投中次数多的概率；

(2)设ξ为甲投中次数与乙投中次数的差，求ξ的分布列．

分析 本小题主要考查概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识，体现数学的科学价值.

解析 (1)设甲投中的次数是1且乙投中的次数是0的概率为P1，

则P1＝C12×0.1×(1－0.1)×C02×(1－0.5)2＝0.18×0.25＝0.045；

设甲投中的次数是2且乙投中的次数是0的概率为P2，

则P2＝C22×0.12×C02×(1－0.5)2＝0.01×0.25＝0.0025；

设甲投中的次数是2且乙投中的次数是1的概率为P3，

则P3＝C22×0.12×C12×0.5×(1－0.5)＝0.01×0.5＝0.005，

所以甲比乙投中次数多的概率为：

P＝P1＋P2＋P3＝0.045＋0.0025＋0.005＝0.0525.

(2)由题设知，随机变量ξ的取值为－2，－1,0,1,2.

P(ξ＝－2)＝C22×0.52×C02×(1－0.1)2＝0.2025，

P(ξ＝－1)＝C22×0.52×C12×0.1×(1－0.1)＋C12×0.5×(1－0.5)×C02×(1－0.1)2＝0.450，

P(ξ＝0)＝C22×0.52×C22×0.12＋C12×0.5×(1－0.5)×C12×0.1×(1－0.1)＋C02×(1－0.5)2×C02×(1－0.1)2＝0.295，

P(ξ＝1)＝C12×0.5×(1－0.5)×C22×0.12＋C02×(1－0.5)2×C12×0.1×(1－0.1)＝0.050，

P(ξ＝2)＝C02×(1－0.5)2×C22×0.12＝0.0025.

所以ξ的分布列为：

点评 (1)第(1)小题既是概率的综合题，又是分类讨论问题，其中只要明确了分类的依据就是“不确定性”，问题就比较容易解决；(2)解决这个问题的关键是根据对实际问题背景的理解，首先确定随机变量，其次根据题意，对每个确定的随机变量用分类的方法求对应的概率，求概率时关键是理解事件的局部是独立重复试验的概率问题．

解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量ξ符合二项分布，即ξ～B(n，P)．分布列能完整地刻画随机变量ξ与相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示ξ的所有可能取值，第二行对应的各个值(概率值)必须都是非负实数且满足其和为1.

4．统计问题.

例7 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分到90分之间的有多少人？(Φ(1)＝0.8413)

分析 要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．

解析 设x表示这个班的数学成绩，则x服从

N(80,102)，设z=■，则z服从标准正态分布N(0,1)，查标准正态分布表，得Φ(1)＝0.8413，Φ(0)＝0.5000，所以

P(80

点评 这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．数学中应特别注意和重视利用正态分布的知识来解决现实生活中的一些实际问题．

5． 正态分布的概念及主要性质.

例8 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）.

（1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ；

（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d至少是 ?（其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.

分析 （1）要求P（ξ<89）=F（89），

∵ξ～N（d，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（－2.327），故需转化为标准正态分布的数值.

（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解d.

解析 （1）P（ξ<89）=F（89）=Φ（■）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.

（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），

即1－P（ξ<80）≥1－0.01，∴P（ξ<80）≤0.01.

∴Φ（■）≤0.01=Φ（－2.327）.

∴■≤－2.327.

∴d≤81.1635.

故d至少为81.1635.

点评 （1）若ξ～N（0，1），则η=■～N（0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f（x）是偶函数，x<0时，f（x）为增函数，x>0时，f（x）为减函数.

例9 设X~N(μ，σ2)，且总体密度曲线的函数表达式为：f（x）=■e■，x∈R.（1）则μ，σ是 ；（2）则P(x-1<■)及P(1-■

分析 根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体N(μ，σ2)与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.

解析 ⑴由于f(x)=■e■=■

e■，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，σ=■，故X～N（1，2）.

(2)P(x-1<■)=p(1-■

=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-1=0.6826.

又P(1-■

=Φ(■)-Φ(■)=Φ(2)-Φ(-1)

=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.

点评 通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.

（二）2012年高考预测与复习建议：

预测：

1． 有关概率的实际应用问题.这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目.

2． 有关统计的实际应用问题.这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题.

复习建议：

1． 掌握离散型随机变量的分布列，须注意：

(1)分布列的结构分为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．

(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

（3）在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．

（4）对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差．

（5）不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散型随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度，连续随机变量在某一点上是没有频率的.

2． 基本方法：

(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．

（4）分析总体特征，选择合理的抽样方法．

（5）若标准正态分布N(0,1)总体取值小于x0的概率用Φ(x0)表示，即Φ(x0)＝P(x＜x0)，则Φ(x0)＋Φ(－x0)＝1，对一般正态总体N(μ，?啄2)来说，取值小于x的概率F(x)＝

Φ(■)．

（作者单位：贵州省龙里中学）

4.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇四

经历了一年的学习，虽然不是高分通过，但总算是实现了自己的梦想，对于一个跨专业考数学专业的人来说，其中的艰辛可想而知。先说说我自己为什么选择厦大概率与数理统计专业吧。

首先，我本身虽然是理工科，本科大学也是一所“211”学校，在本省的名气还是不错的，但是因为大学四年学了一个并不喜欢的专业，到了就业的时候，才陡然感觉压力巨大，便决定考研，虽说是一种逃避心理，但我也在追求梦想的路上。

第二，从第一次去厦门，我就喜欢上了这个城市。一直以文艺小清新自居的我，总觉得这个城市的气息是多么的适合我。特别是美丽的厦大、环岛路和鼓浪屿，有一股让人流连忘返的气息。

第三，之所以选择概率论与数理统计，是因为数学一直以来都是我的最爱，同时也感觉这个专业的就业应该不难，还是挺有市场的。

总之，选择专业一定要综合多方面的因素来考量，选对了，才有持续复习下去的决心和动力。

接下来谈谈我的复习经验吧，公共课的复习经验网上已经很多了，我就不加赘述，我就说说我考的比较好的专业课吧。

关于专业课的复习问题，首先你要把课本好好的过一遍，现在复习时间很紧，还没开始这一步的同学要尽快去过一遍。

课后习题都很经典，自然要全做一遍。当然那些难的题目就可以放弃了，有些证明复杂，非常有技巧性的题目也就看看，因为这次你看了，在考试时不见得就是这个题目，如果换了个技巧性的，你一时半会也想不到的。

对于参考书，我选择了《厦门大学数学分析考研复习精编》、《厦门大学高等代数考研复习精编》，在硕考商城买的。厦大是不指定参考书的，不过数学考的知识点也就那么多，不会有太多的变化。之所以选择这两本书是因为具有针对性，毕竟是根据近年来考试的趋势所专门编订的。当然，对于参考书，选择一本就够了，把一本吃透比看两本要管用的多。最后不管你看哪本书，都要看好几遍才可以，如果只是草草的翻着看看，基本上收获都不会很大。先把书上的题做做，不用非要按顺序来，可以先挑几章自己感兴趣的做。还有一定要把时间安排好，不能三天打鱼两天晒网哦。看完第一遍书后，对了，忘记说了，看第一遍书时要把那些比较好的题目做上记号。第二遍时，只看那些你做记号的了，是“做”不是“看”，做时再从中挑出你还是不会做的，找个本子记下来，题目和解题方法。第三遍时就不用看那本书了，只看你的本子，那上面才是你的精华。记得把那些解题的思路，还有那些相关的题目也要标记下，方便记忆。

当然，数学最重要的还是做题，虽然只需要选择一本参考书，但是模拟题还是可以有好几本的，关键是要能做完并且吃透。现在冲刺阶段马上就要来了，大家一定要在这之前把真题过一遍，并加以分析，总结其出题的规律和趋势。

5.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇五

2014福州大学考研数学，线性代数和概率论与数理统计

发现时间已经越来越靠近2014考研了，接下来的时间短暂而已富有使命感，能否利用好这考研冲刺阶段，才是致胜的关键。下面思远福大考研网着重线性代数和概率论与数理统计两门课做个分析，也希望可以给考生在复习方面多些帮助。

实际上对于线性代数来讲是考研数学中比较容易拿分的部分，但是这门课程的难点就在于入门，入门的时候往往就让很多考生 望而却步了，但其实只要深入的进行学习就会无师自通，这门课由于思维上与高数南辕北辙所以一上来会很不适应，总体而言6章内容环环相扣，所以很多同学一上 来看第一章发现内容涉及到第五章，看到第二章发现竟有第4章的知识点，无法形成完整的知识网络，自然无法入门。这里在复习上就有技巧可续，接下来具体为大 家说一下复习的方法。

线性代数总共六章内容我们可以分成三个部分进行复习，逐个进行突破比整体看待要容易很多。首先是行列式和矩阵，这里说的是第三第五和第六章，为什么要对这三个部分进行整体的复习呢，因为他们的内容关联性比较大，逐个突破，以两章为一个单位。我们在复习的初期应该把每个章节中出现的知识点和定理都整理出来记在笔记本上，找到他们彼此的关系，将知识点整体框架化。我们在整理时可以以树形图的方式，最后根据每一个知识点各个击破。第5章不用细看，第六章第七章主要是记忆，在记忆的基础上尽可能的理解。福大版的书上每章的课后题相当经典，请同学们反复推敲，做过之后，请在总结一遍，针对题型对应知识点进行复习和归类。

这两门课程的做题技巧完全体现在知识点的连贯性和总结基础上，零散的看书完全达不到这些目的，只有看书也不能帮助你在这两门课程上拿到好的成绩。一定要在笔记整理方面下功夫，笔记的整理主要为了方便记忆，也是对知识点整理后的形象记忆法。最后根据这个大纲来一个各个击破，讲每个部分的内容所出现的题型，一口气做20道，在总结相应的思路，同时打开自己总结的笔记，来一个反馈。最好将自己的总结笔记分成两类，一类是知识点笔记，一类是题型思路归纳，这样一来反馈学习效果更明显，思路更清晰。

另外要学会发现自身的不足，要知道自己哪里不会。那个题做错了也是要注意的问题，错了不能只知道正确答案就行，要知道哪里错了为什么错了。正确答题的思路是什么，只有这样才能真正的了解到错误的意义，做题才没有白做。

6.考研数学概率论复习知识点 篇六

中国大学网考研数学在考中的地位是显而易见的，想要取得一个不错的成绩，不懈的努力是必不可少的。大家都知道考研数学是一个综合性强、知识面广、相对难度大的科目，这些都决定了考研数学的复习时间相对要比其他科目花的时间多。但是与其他的科目相比，考研数学的分数提高空间还是比较大的，只要复习的好，提高还是很容易的。考研数学一中概率统计占22%，数学二不考概率，数学三中概率统计占22%，概率统计在数一和数三中仍然占有很重要的地位，所以考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的。的考研数学计算量相对比较大，题目与相比较难，虽然仍是考察学生的三基本，但是其中也比较注意对学生综合能力的考察。根据这些特点以及结合数学考试大纲，我对春季基础复习概率论知识点做一下简单归纳：

第一章 随机事件和概率

重点内容是：事件的关系：包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立;事件的运算：并，交，差;运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律;概率的基本性质及五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;利用独立性进行概率计算，伯努力试验计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核。

第二章 随机变量及其分布

本章的主要内容是：随机变量及其分布函数的概念和性质，分布律和概率密度，随机变量的函数的分布，一些常见的分布：0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用。而重点要求会计算与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，以及随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。

第三章 二维随机变量及其分布

本章是概率论重点部分之一，尤其是二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布。

第四章 随机变量的数字特征

本章内容是：随机变量的.数字特征：数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数，常见分布的数字特征。而重点是利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。

第五章 大数定律和中心极限定理

本章内容包括三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律，以及两个中心极限定理：棣莫弗――拉普拉斯定理、列维――林德伯格定理。

本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。

常见题型有

1.估计概率的值

2.与中心极限定理相关的命题

第六章 数理统计的基本概念

数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩。重点是正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。这会涉及标准正态分布、分布、 分布和 分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表。

本章是数理统计的基础，也是重点之一。

1.样本容量的计算

2.分位数的求解或判定

4.总体或统计量的分布函数的求解或判定或证明

5.求总体或统计量的数字特征

第七章 参数估计

本章的主要内容是参数的点估计、估计量与估计值的概念、一阶或二阶矩估计和最大似然估计法、未知参数的置信区间、单个正态总体均值和方差的置信区间、两个总体的均值差和方差比的置信区间。而重点是矩估计法和最大似然估计法，有时要求验证所得估计量的无偏性。

常见题型有

1.统计量的无偏性、一致性或有效性

2.参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征

3.参数的最大似然估量或估计量或估计量的数字特征

4.求单个正态总体均值的置信区间

kaoyan/

7.考研数学 概率部分复习指导 篇七

网友：概率是比较难的，有什么好的方法来学概率?

费允杰：我不知道这位考生是不是马上就要考试了，如果马上就要考试了，我可以直接说学概率的最后阶段，就是如何把概率的章节之间弄清楚。如果还有别的一些考生，比如后面才去考试，我就可以说一说学概率的三个阶段具体是什么。先说第一个阶段，就是学习初期了。主要着眼于背一些公式，把公式理解了，把书后面的题做一做。这是最基本的阶段，这是本科教学要达到的目的。第二个阶段就要准备去考研了，就要理解公式本身的含义，而且要解决一些比较难一点的题。不管是填空题、选择题都要能够解出大部分的。到了最后就不仅仅是要理解每个公式的含义，还要解考研中具体的题，还要解决章节之间的关系。公式是在某一个节一内的，比如说在概率论第一章所学到的随机事件，把二维随机事件看作是两个交集的话，可以看作是第一章里两个随机交集的乘法方式计算，这样比较方面。另外在二维随机事件里所提到的边缘分布就是第一章里面的全概公式，像这些公式之间的关系一定要弄清楚。刚才这位学员正好是问到最后这个阶段应该怎么去学习，其实只要把章节之间的关系弄清楚，所谓概率难就不难了。

网友：我是考数一的，现在数理统计的公式太多了，到了冲刺阶段应该怎么办呢?

费允杰：其实我在讲考研数学的课当中从去年的暑假班到今年的暑假班，所有学生在上我的课之前总是提这个问题，数列统计的公式太多了，而且一看到式子头都大，不知道它的意思，不知道该怎么用它。其实数理统计部分，大家最头疼的是四个分布，正态分布、x的平方、t分布、F分布，这四个分布是学数理统计中最头疼的部分，但是我们要注意考试当中考什么。在考这四个分布时只会考这四个分布的自变量的来源以及它们图形的.对称性，而自变量的来源是很简单的。比如说X的平方的分布它的自变量无非就是n个独立的标准正态分布的平方和，至于别的分布我不用去赘述，大家会觉得很简单。再一个是图形的对称性，大家都知道正态分布和t分布是关于y轴对称的，而F分布和x的平方的分布并没有这个关系，因此我们在计算区间估计以及假设检验时就要根据不同图形的对称性而取不同位置的分位数，这样就很简单地把这四大分布掌握住。我们可能还想得起来这四大分布t分布、x的平方的分布及其复杂的概率分布，但是这些是考试中所不考的，所以一定要看清楚历年的考题在考什么，这个东西在大纲里是不会专门告诉你的，但是我们去研究历年的考题就会发现它是不考的。

网友：我是理工类的考生，概率部分是不是以期望和点估计为主?

费允杰：首先我要纠正一下这位考生的观点，期望这个概念是在概率部分的，点估计是在统计部分的。而整个概率统计部分的考试统计部分本来考的就少，所以要说以点估计为主这肯定是不正确的。另外还有一个期望，其实在历年的考题里大题都会牵扯到期望，但是不能说重点就考期望，还牵扯到方差等等。所以不能说期望就是它的重点。在整个概率统计当中应该把握的重点应该是二维随机变量、数字特征，这两部分在概率的统计当中都是很有可能要出大题的，因此这个才是我们的重点。至于说数理统计部分统计部分的重点是不是点估计其实也不是。因为点估计每次考试最多出填空题或者是选择题，即使是大题的话，占分也不多，真正占分多的是自然估计，大家可以看一下历年由考试中心所出的考试样卷，在样卷当中如果是概率部分的话都出在二维随机变量。

8.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇八

教学目标: 1.复习整数的意义,明确相关概念的联系和区别。

2.复习整数的读写,大小比较,改写及省略尾数的方法,构建较完整的整数知识体系。3.在探究和交流中培养归纳概括能力,提高创新意识。教学重点：正确认识整数，构建较完整的整数知识系统。教学难点：掌握大数中间或末尾有0的整数的读写方法。教学过程：

一、谈话揭题

1．复习回顾：小学阶段的数学我们已经学完了，到目前为止，我们都学过哪些数？（整数、小数、分数、百分数、正数、负数）

2．揭示课题：这节课，我们就一起来复习整数的相关知识。板书课题：整数的认识

二、回顾与整理

1．整数的意义

⑴什么是整数？根据整数的意义，整数可以分成哪几类？ ⑵什么是自然数？什么是负数？ ⑶说一说整数的特点。2．多位数的读法和写法

⑴怎样读多位数？从高位到低位，一级一级的读，读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0。然后老师举例说明：1850080070 读作：十八亿五千零八万零七十

⑵怎样写多位数？从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。然后老师举例说明：五亿九千零二十万零五 写作：590200005 3．整数的大小比较

⑴如何比较两个多位数的大小，谁能举例说明？让学生举例说明。⑵如何比较负数或正数与负数的大小？结合数轴举例说明。4．改写和省略尾数

⑴根据需要，有时需要将一个比较大的数改写成“万”或“亿”作单位的数，谁能举例说说如何将一个较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数？让学生举例，结合例子回顾。

⑵谁能举例说说，如何把一个数某一位后面的尾数省略，求它的近似数？让学生举例，结合例子回顾。

三、合作探究

1．明确活动要求：小组合作，用4个7和3个0按下列要求组成七位数。⑴只读一个零。⑵一个零也不读出来。

2．讨论写数方法。3．汇报写数结果。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 小数的认识

教学目标：

1.复习小数的意义，明确相关概念的联系和区别。

2.复习小数的读写,性质,掌握小数的读写、分类、大小比较和小数数位的变化规律等，构建较完整的小数知识体系。

3.提高理解、归纳、概括能力，培养知识的迁移能力。教学重点：正确认识小数，掌握小数的意义、性质等。教学难点：灵活运用小数知识解决问题。教学过程：

一、谈话揭题

上节课，我们从意义、读法、写法、大小比较、改写与省略尾数等几个方面复习了整数的相关知识，这节课我们按类似的思路来复习小数的相关知识。板书课题：小数的认识

二、回顾与整理

1．小数的意义

⑴在某些情况下，我们分东西常常得不到整数，例如把一个苹果平均分给2个人，每个人只能得到半个苹果。半个怎么表示？谁来说说小数的意义？

2．小数的数位顺序表：让学生独立把课本中P73的数位顺序表补充完整，老师再指名学生回答，集体交流。

3．小数的读法和写法 ⑴怎样读小数？怎样写小数？

⑵写小数时需要注意什么？（空位用0补足）4．小数的分类

⑴谁知道根据小数部分的位数是否有限，小数可以分成哪几类？ ⑵谁能举例说明什么是有限小数？什么是无限小数？

⑶无限小数还可以再细分吗？如果细分可以分成哪几类？ ⑷关于无限不循环小数和循环小数，你都了解哪些知识？

5．小数的性质：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。6．小数点位置的变化

提问：小数点位置移动引起小数大小变化的规律是什么？移动小数点时需要注意什么？（强调小数点向左或者向右移动数位不够时，要用0补足）

三、巩固应用

1．一个四位数，给它加上小数点后比原数小2003.4，这个四位数是多少？ 2．P75第5题

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第三节 分数（百分数）的认识

教学目标：

1.通过复习，进一步掌握分数、百分数的意义，分数的分类及分数的基本性质等知识。2.复习分数与除法的关系，熟练地进行小数、分数、百分数的互化。3.构建较完整的分数（百分数）知识体系。4．体会知识间的联系，培养归纳概括能力。教学重点：复习分数、百分数，构建较完整的知识体系。教学难点：小数与分数、分数与百分数的联系和区别。教学过程：

一、谈话揭题

上节课我们复习了小数，那么小数与分数之间，分数与百分数之间又有怎样的区别和联系呢？希望通过这节课对分数、百分数相关知识的复习，你能找到正确答案。板书课题：分数（百分数）的认识

二、回顾与整理

1．分数的意义、单位及分数与除法的关系 ⑴什么是分数？什么是分数单位？ ⑵分数与除法有怎样的关系？ 2．真分数、假分数的特点

⑴真分数的分子小于分母，真分数的分数值小于1。

⑵假分数的分子大于分母，假分数的分数值大于或者等于1。3．分数的基本性质、约分和通分

⑴什么是分数的基本性质？ ⑵什么是约分和通分？ ⑶什么是最简分数？

4．小数、分数、百分数的互化 ⑴小数和分数互化。⑵小数和百分数互化。⑶分数和百分数互化。

三、巩固应用

1．P75第4题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第四节 因数、倍数、质数、合数

教学目标：

1.复习因数、倍数、质数、合数等意义，能熟练地找出两个数的公因数、公倍数。2.复习2、3、5的倍数的特征，并正确解决有关问题。

3.进一步感受事物之间的联系与区别，体会辩证唯物主义思想。教学重点：2、3、5的倍数的特征及公因数、公倍数的找法。教学难点：各概念之间的联系与区别。教学过程：

一、谈话揭题

关于因数、倍数、质数、合数，我们学过了哪些概念？这些概念之间又有怎样的联系？板书课题：因数、倍数、质数、合数

二、回顾与整理

1．复习、理解相关概念 ⑴因数和倍数 ⑵质数与合数

⑶公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数 ⑷2、3、5的倍数的特征

2．下面的数哪些有因数3？哪些有因数5 ？哪些既有因数3又有因数5 ？哪些有因数2、3、5？ 21、30、150、275、420、6360 让学生独立完成后，集体交流反馈。

3．两个质数的和是39，这两个质数的积是多少？37×2=74

三、巩固应用

1．《同步》P48。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

数的运算 第一节 四则运算

教学目标：

1.回顾四则运算的意义，归纳整理整数、小数、分数计算方法的异同点，加深对算理本质的理解。

2.回顾四则运算中的一些特殊情况，掌握四则运算的运算顺序。3.使学生养成良好的计算习惯。

教学重点：理解四则混合运算的意义，掌握运算顺序并能正确计算。教学难点：从本质上认识和理解四则运算的算理。教学过程：

一、谈话揭题

我们学过哪些运算？这些运算的意义是怎样的？相关的知识都有哪些呢？这节课，我们就来系统地归纳、整理四则运算的知识。板书课题：四则运算

二、回顾与整理

1．四则运算的意义

⑴让学生结合加法、减法、乘法、除法算式，说说每种运算的含义。

⑵整数、分数、小数运算的哪些意义相同？（加法、减法、除法意义相同）哪些意义有拓展？（乘法的意义在小数乘法和分数乘法中有拓展）

⑶谁知道加法、减法、乘法、除法相互间的关系？完成P ⑷如何应用这些关系对加法、减法或乘法、除法进行验算？ 2．四则运算的计算法则 ⑴加、减法的计算法则

① 整数、小数加减法的计算法则是什么？（整数：数位对齐；小数：小数点对齐。）② 分数加减法的计算法则是什么？（分数单位相同）③ 它们有什么相同点？（计数单位相同才能直接相加减）⑵乘、除法的计算法则

老师结合学生的回答，明确整数、小数、分数乘、除法的计算法则。

3．四则运算中的一些特殊情况。

a+0=()a×0=()0÷a=()a-0=()a×1=()a÷a=()a-a=()a÷1=()1÷a=()（引导学生完成，当a作除数时不能为0）4．四则运算的运算顺序

三、巩固应用

1．P76做一做。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 简便运算

教学目标：

1.复习、整理四则运算的运算顺序和运算定律。

2.使学生在简便运算和四则运算的过程中，进一步巩固运算顺序，灵活运用运算定律。3.培养灵活运用知识的能力和认真计算、书写、检验的良好习惯。教学重点：整理四则运算的运算顺序和运算定律。教学难点：能正确、灵活地选择简便算法间算。教学过程：

一、谈话揭题

上节课，我们复习了四则运算的意义，运算顺序等知识，如何保证在四则运算时，既做到结果准确，又做到过程简便呢？这节课我们来复习运用相关运算定律和性质来进行简便运算。板书课题：简便运算

二、回顾与整理

1．运算定律、性质。

⑴在学习四则运算时，我们学过哪些运算定律？老师引导学生填写课本中的表格。⑵复习减法和除法的运算性质。① 减法运算性质：a-b-c=a-(b+c)② 除法运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)⑶简便运算：关于简算，除了运用定律和运算性质，你还知道哪些方法？请举例子说一说。（引导学生在举例中掌握方法）

① 利用和、差、积、商的变化规律进行简算。例如：0.8×4+0.3×8=0.8×4+0.8×3=5.6 ② 利用特殊数相乘法进行简算。例如：利用4×25、8×25、125×4、125×8等进行简

算。

③ 利用拆数法进行简算。例如：75×32=3×25×4×8 2．简算8.8×12.5 ⑴小组合作，观察、分析和思考，看哪组掌握的简便方法最多。⑵讨论和汇报。方法一：8.8×12.5 =1.1×(8×12.5)=1.1×100 =110 方法二：8.8×12.5 =8×12.5+0.8×12.5 =100+10 =110 通过刚才的实践，你都想到了什么？

⑵ 遇到题目不要急于动笔，要先观察题目的结构特点。⑵两数相乘，要结合数的特点，拆分，凑整或运用性质等进行简算。

三、巩固应用

1．P77做一做第1题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第三节 估算、用计算器计算及借助计算器找规律计算

教学目标：

1.整理和复习估算的方法，结合具体情境进行估算并解释估算过程。2.复习用计算器计算及借助计算器找规律计算。

3.培养估算意识，提高估算能力及探究数学问题的能力。教学重点：估算及借助计算器找规律计算。

教学难点：根据具体情境选择合适的估算方法和策略。教学过程：

一、谈话揭题

估算在生活中的应用非常广泛，计算器为人们解决具体计算问题，发现数学规律带来了便利。这节课我们主要来复习估算、用计算器及借助计算器找规律计算。板书课题：估算、用计算器计算及借助计算器找规律计算

二、回顾与整理

1．估算

⑴什么叫估算？一般怎样估一个数？（对事物的数量或计算结果作出粗略的推断或估计叫估算。估算一般用“四舍五入”发，把这个数估成整

十、整百或整千数，使它与实际结果相差最少。）

⑵举例说明：加减乘除法的估算各应该怎样进行？

① 加法估算是把加数最高位后面的尾数用“四舍五入”法省略，求出近似数，然后用近似数求和。例如：1586+3769≈6000 ② 减法估算是把被减数和减数的最高位后面的尾数用“四舍五入”法省略，求出近似数，然后用近似数求差。例如：5160-3178≈2000 ③ 乘法估算分两种情况

a)一个因数是一位数的乘法估算，把另一个因数最高位后面的尾数用“四舍五入”法省略，求出近似数，然后用近似数和这个一位数相乘。例如：816×3≈2400 b)一个因数是两位数的乘法估算，把两个因数最高位后面的尾数用“四舍五入”法省略，求出近似数，然后用两个近似数相乘。例如：816×33≈24000 ⑶除法估算分两种情况

a)除数是一位数的除法估算，如果被除数的最高位上的数够除，就用“四舍五入”法把被除数最高位后面的尾数省略；如果被除数的最高位上的数不够除，就用“四舍五入”法把被除数前两位后面的尾数省略，求出近似数，然后求商。例如：8632÷3≈3000，632÷9≈70 b)除数是两位数的除法估算，先分别求出除数和被除数的近似数，把除数十位后面的尾数 “四舍五入”；如果被除数最高位上的数比除数十位上的数大，就把被除数最高位后面的尾数“四舍五入”；如果被除数最高位上的数比除数的十位数小，就把被除数左起第二位后面的尾数“四舍五入”，再求这两个近似数的商。例如：538÷62≈9（538≈540，62≈60）

898÷31≈30（898≈900，31≈30）

⑶ 如何用估算解决问题？应具体问题具体分析，根据要解决的具体问题选择适当的估算方法（“四舍五入”法、“进一”法和“去尾”法）使估算的结果符合问题的实际。

2．复习用计算器计算和借助计算器找规律计算 ⑴回顾对计算器的认识

⑵老师读题，同桌合作，用计算器计算。

⑶借助计算器找规律（用计算器独立计算，观察算式特点及计算结果找规律，最后用计算器验证规律）

三、巩固应用

1． P77做一做。2． P79第3题。3.P79第6题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第四节 解决问题

（一）教学目标：

1.复习简单应用题中常见的数量关系及部分典型复合应用题的知识。2.复习常见复合应用题的特点和解法，经历解应用题的过程。3.在探究活动中培养学生解决问题的能力和创新思维。教学重点：掌握几种常见复合应用题的特点及解法。教学难点：正确解决较复杂的行程问题。教学过程：

一、谈话揭题

因为简单的应用题是一切应用题的基础，所以今天我们从简单应用题入手，进入解决问题的复习。板书课题：解决问题

（一）二、回顾与整理

1．简单应用题

⑴明确：只含有一种基本数量关系或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。⑵简单应用题的解题步骤： ① 审题，理解题意。② 选择算法和列式计算。③ 检验。2．复合应用题

⑴引导明确：由两个或者两个以上的基本数量关系组成，用两步或者两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。

⑵复合应用题常用的分析方法：分析法、综合法、图解法。⑶整理回顾常见的复合应用题的类型、特点和解法。

三、巩固应用

1．P78做一做第1、2题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第五节 解决问题

（二）教学目标：

1.复习分数及百分数乘、除法应用题的解法。2.灵活运用分数除法的知识解决工程问题。

3.形成解决问题的一些策略、方法，提高分析问题的能力。

教学重点：找准量和率之间的对应关系，运用分数乘、除法的知识解决有关问题。教学难点：能够画出教复杂应用题的线段图。教学过程：

一、谈话揭题

这节课我们复习用分数和百分数的知识解决问题。板书课题：解决问题

（二）二、回顾与整理

1．分数（百分数）的一般应用题

⑴分数（百分数）乘法应用题的特征及解题关键各是什么？（已知“1”用乘法）① 特征：已知“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。

② 解题关键：准确判断“1”的量。找准所求问题对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。

⑵分数（百分数）除法应用题的特征及解题关键各是什么？（求“1”用除法）① 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。② 解题关键：从问题入手，理清把谁看作标准量，也就是把谁看作“1”，谁和“1”的量做比较，谁就是被除数。

⑶分数（百分数）应用题的常见题型有哪些？如何解答？（老师根据学生的回答进行整理板书）

2．分数应用题的特例：工程问题 ⑴什么是工程问题？

⑵解决工程问题的关键是什么？

明确：把工作总量看作“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式解决问题。

⑶工程问题的数量关系式有哪些？ 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率

三、巩固应用

1．P80第8~11题。2．P80第13~14题。

3．小结：用画图来分析分数（百分数）应用题是一种很好的选择，有时数形结合法和转化法并用，会使图示中的数量关系更清晰。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

式与方程

第一节 用字母表示数、解方程

教学目标：

1.复习用字母表示数的作用，能熟练运用字母表示数、数量关系和计算公式。2.复习方程的含义，能较熟练地解简单的方程。

3.在探索知识间内在联系的过程中培养抽象概括的能力。

教学重点：能正确地运用含有字母的式子表示数、数量关系和计算公式。教学难点：明确方程与等式之间的联系。教学过程：

一、谈话揭题

看下面的字母，你知道它们分别是什么意思吗？ SOS EMS M2 SOS表示求助信号；EMS表示中国邮政快递；M2表示平方米

字母在生活中随处可见，这说明它很重要。今天我们就来进一步巩固用字母表示数及解方程等知识。板书课题：用字母表示数、解方程

二、回顾与整理

1．用字母表示数

⑴用字母表示数的作用和意义：用字母可以简明地表示数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来很多方便。

⑵我们曾经学过哪些用字母表示数的知识？ ① 用字母表示数的简写。② 用字母表示数量关系。③ 用字母表示运算定律。④ 用字母表示计算公式。

⑶常见的用字母表示的数量关系有哪些？常用的运算定律有哪些？常见的用字母表示的计算公式有哪些？让学生完成课本上P81的表格。

⑷用字母表示数时要注意什么？ 2．方程

⑴什么是方程？它与算术式有什么不同？（方程一定是等式，而等式不一定是方程）⑵什么是方程的解？（使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。）什么是解方程？（求方程的解的过程叫做解方程。）解方程的依据是什么？（等式的性质）

三、巩固应用

1．P81做一做。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 列方程解决实际问题

教学目标：

1.复习列方程的步骤，能根据题意正确地列出方程并解决问题。

2.培养学生分析数量关系的能力，使学生能根据问题特点，灵活选用恰当的方法解决问题。

3.培养学生检验的习惯。

教学重点：根据题意正确地列方程并解决问题。教学难点：找出题中的等量关系。教学过程：

一、谈话揭题

上节课我们复习了用字母表示数、解方程，这节课我们复习列方程解决实际问题。板书课题：列方程解决实际问题

二、回顾与整理

1．列方程解应用题的步骤

⑴弄清题意，确定未知数并用x表示； ⑵找出题中数量之间的等量关系； ⑶列方程，解方程； ⑷检查，并写答语。

2．列方程解应用题的关键及找等量关系的方法

⑴关键：找出题中的等量关系，根据等量关系列方程并解答。⑵找等量关系的方法：

根据关键词语找；根据常见的数量关系找；根据计算公式找；根据常见的四则混合运算的意义及各部分之间的关系找。

三、巩固应用

1．P83第9~14。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

比和比例

第一节 比和比例

（一）教学目标：

1.复习比的意义与性质，能够正确、迅速地求出比值和化简比。

2.复习比和分数、除法的关系，能熟练地解决按比例分配等有关比的问题。3.探索知识间的联系，培养归纳、比较及解决问题的能力。

教学重点：复习比的意义与性质，会求比值和化简比，能熟练地解决按比例分配等有关比的问题。

教学难点：能够运用比和分数的关系解决问题。教学过程：

一、谈话揭题

我们学过了关于比的哪些知识？结合学生回答，板书知识网络。同学们说的很全面，这节课我们就来复习有关比的知识。板书课题：比和比例

（一）二、回顾与整理

1．比的意义

⑴什么叫比？比的各部分名称是怎样规定的？

⑵比和分数、除法有怎样的关系？根据回答填写课本P84的表格。2．比的基本性质是什么？

3．求比值和化简比的方法各是什么？两者的区别是什么？ 4．按比例分配

⑴按比例分配的意义：把一个数量按照一定的比分成几部分，叫做按比例分配。⑵按比例分配的方法：首先求出各部分数量占总量的几分之几，然后分别求出总量的几分之几是多少。

三、巩固应用

1．P85练习十七1.3.4。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 比和比例

（二）教学目标：

1.复习比例的意义、性质及与比例之间的联系，会解比例。

2.复习正、反比例的含义，掌握正、反比例的判断方法，能正确应用正、反比例的知识解决生活中的实际问题。

3.明确事物之间是有相互联系的，培养分析问题、解决问题的能力。教学重点：应用正、反比例的知识解决生活中的实际问题。教学难点：正确判断实际问题中的正、反比例关系。教学过程：

一、谈话揭题

上节课我们复习了比的知识，这节课我们来复习比例的知识以及用正、反比例的知识解决问题。板书课题：比和比例

（二）二、回顾与整理

1．构建比例知识网：通过课前的复习，你了解了比例的哪些知识？老师结合学生回答，板书知识网络。

2．复习比例的意义和基本性质 3．复习正比例和反比例

⑴正比例的意义和关系式是什么？ ⑵反比例的意义和关系式是什么？ 4．应用正、反比例的知识解决问题

⑴应用正、反比例的知识解决问题的关键和步骤是什么？ ① 关键：正确判断正、反比例是解决问题的关键。② 步骤：

a)分析数量关系，判断两种两成什么比例；

b)找等量关系。如果成正比例，按“等比”找等量关系；如果成反比例，按“等积”找等量关系；

c)列比例式。设未知数x并带入等量关系式，得到正比例式或反比例式； d)解比例；

e)检验并写出答语。

三、巩固应用

1．P85练习十七2.5.6.。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

2．图形与几何 图形的认识 第一节平面图形的认识

教学目标：

1.比较系统地复习整理直线、射线、线段、角、三角形、四边形和圆的特征以及相互间的联系。

2.经历知识的整理过程，掌握一些整理知识的方法。3.发展空间观念，培养空间想象力。

教学重点：了解各平面图形的特征及相互间的联系。教学难点：建立知识联系，构建知识网络。教学过程：

一、谈话揭题

关于平面图形，我们都学过那些知识？根据学生回答，老师进行引导归纳和板书。刚才结合大家的回答，我们比较完整地构建了平面图形的认识这一知识体系，接下来，我们一起复习关于平面图形的认识的内容。

二、回顾与整理

1．直线、射线、线段。

⑴直线、射线和线段有什么区别？（提示学生从意义、端点数量和是否可以测量三方面回答问题。老师根据学生回答板书。

⑵同一平面的两条直线有几种位置关系？（平行和相交两种，垂直是相交的特例。）2．角

什么是角？角的大小与什么有关？如果按角的大小分，角可以分成哪几类？（由一点引出两条射线所组成的图形叫做角；角的大小与角的两条边的张开程度有关。按角的大小分，可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角）

3．三角形

⑴三角形有什么特性？（稳定性）

⑵如何给三角形分类？（按边分：不等边三角形，等腰三角形，其中等边三角形是等腰三角形的特殊情况；按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）

⑶三角形的边有什么性质？三角形的内角和是多少度？（三角形任意两边和大于第三条边；三角形内角和是180度）

4．四边形

⑴常见的四边形有哪几种？应如何分类？（长方形、正方形、平行四边形和梯形）⑵平行四边形和梯形各有什么特征？平行四边形有什么特性？（平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角相等，平行四边形有容易变形的特性。梯形只有一组对边平行，等腰梯形有一条对称轴，直角梯形有一条腰垂直于底。）

⑶长方形和正方形各有什么特征？（长方形对边平行且相等，四个角都是直角；正方形四条边都相等，四个角都是直角。正方形是特殊的长方形。）

5．圆

⑴关于圆你知道哪些知识？老师根据学生回答，板书整理知识网络图。

三、巩固应用

1．P86做一做。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 立体图形的认识

教学目标：

1.引导学生对立体图形进行分类整理，形成知识体系。

2.复习和整理各种立体图形的特征，会辨认从不同方向看到的物体的三视图。3.建立空间观念，培养分析、比较、归纳、整理的能力。教学重点：进一步理解各种立体图形的特征及相互联系。教学难点：构建知识网络，理解三视图与立体图形的关系。教学过程：

一、谈话揭题

我们在小学阶段学过哪些立体图形？如果把这些图形进行分类，可以怎样分？（长方体、正方体为一类因为它们是由平面围成的；圆柱、圆锥分为另一类，因为它们是由平面和曲面围成的。）今天我们就来分类复习这些立体图形的知识。板书课题：立体图形的认识

二、回顾与整理

1．长方体和正方体

⑴长方体和正方体各有什么特点？让学生分别从面、顶点和棱来回答，老师根据学生回答板书。

2．圆柱和圆锥

你对圆柱和圆锥有怎样的认识？引导学生从特征回答，老师结合学生回答板书。3．观察物体

关于观察物体你有哪些经验和感受？（把长方体或正方体放在桌面上，最多只能同时看

到3个面；一个立体图形，从不同角度看到的图形不一定相同。）

三、巩固应用

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

测量

第一节平面图形的周长和面积

教学目标：

1.通过复习近平面图形的周长和面积公式，引导学生构建知识网络。2.熟练地应用平面图形的周长、面积知识解决简单的实际问题。3.培养学生归纳、总结、比较、分析的逻辑思维能力及解决问题的能力。教学重点：复习近平面图形周长和面积的含义及计算公式。教学难点：根据平面图形之间的相互联系，构建知识网络。教学过程：

一、谈话揭题

什么是平面图形的周长？什么是平面图形的面积？这节课我们就来复习近平面图形的周长和面积的相关知识。老师板书课题：平面图形的周长和面积。

二、回顾与整理

1．周长和面积的计算公式

⑴我们学过哪些图形的周长和面积的计算公式？（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的周长和面积的计算公式。）结合学生的回答，有序地画出相关的平面图形，为构建知识网络做准备。

⑵如何计算这些平面图形的周长和面积？各面积公式之间有什么联系？（结合学生回答，课件演示各计算公式的推导过程，并在相关图形下板书字母公式，并完成课本87页第3题知识网络图）

三、巩固应用

1．P87做一做1.2.3.4。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 立体图形的表面积和体积

教学目标：

1.复习学过的各种立体图形的表面积与题记的计算方法。2.应用公示解决问题，培养解决问题的能力。

教学重点：进一步巩固集合图形的计算公式以及它们之间的联系。教学难点：能够灵活运用公示解决问题。教学过程：

一、谈话揭题

1.提问：立体图形的表面积和体积指的是什么？什么是容器的容积？你会求哪些立体图形的表面积、体积或容积？

2.导入：这节课，我们一起来复习长方体、正方体、圆柱的表面积与体积计算方法及圆锥体积的计算方法。

二、回顾与整理

1．立体图形表面积的计算

⑴长方体、正方体、圆柱表面积的计算公式。2．立体图形体积（容积）的计算。3．立体图形体积计算公式之间的联系。

⑴长方体、正方体、圆柱体积的统一公式是体积=底面积×高。

⑵圆柱的体积计算公式是如何推导的？（结合学生回答，课件演示圆柱体积公式的推导过程。）

⑶圆锥体积计算公式是如何推导的？（结合学生回答，课件演示圆锥体积公式的推导过程。）

三、巩固应用

1．P88做一做。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

平面图形与立体图形的综合应用

教学目标：

1.在解决实际问题的过程中，进一步加深对平面图形与立体图形的相关知识的理解，体会知识间的关系。

2.深入了解运用平面图形，立体图形知识解决相关问题时需要注意的事项。3.在合作探究中，进一步提高综合运用知识解决问题的能力。

教学重点：灵活运用平面图形和立体图形知识解决问题，体会知识间的联系。教学难点：了解运用平面图形和立体图形知识解决问题是需要注意的事项。教学过程：

一、谈话揭题

之前，我们复习了平面图形的周长，表面积以及立体图形的表面积，体积等知识。这节课，我们就在综合运用平面图形和立体图形知识解决问题的过程中，充分体会平面图形与立体图形之间的区别和联系。老师板书课题：平面图形与立体图形的综合应用

二、回顾与整理

1．思考：在解答平面图形的周长和表面积问题时，要注意什么？

教师结合学生的回答明确：在解答平面图形的周长和表面积问题时，条件比较隐蔽的，要想办法把复杂问题转化为比较简单的，求平面图形的周长和面积的问题。

2．思考：在解答立体图形的表面积问题时，要注意什么？ ⑴学生小组讨论、汇报。

⑵教师小结：把一个立体图形切成两部分，先增加的表面积等于切面面积的两倍；把两个立体图形粘和在一起，减少的表面积等于长和面积的两倍；如果把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，严把他们最小的面拼合起来，如果把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把他们最大的面拼合起来。

3．思考：在解答立体图形的体积问题时要注意什么？ ⑴学生分组进行讨论，教师适当引导。⑵学生汇报，教师小结。

三、巩固应用

1．P89练习十八1~5。2．P90练习十八6~11。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

组合图形的面积及体积

教学目标：

1.复习计算组合图形面积、表面积、体积的多种方法，会求不规则图形的面积或体积。2.能根据各种组合图形或不规则图形的条件，有效的选择计算方法并进行正确计算。3.渗透转化思想培养学生的创新能力。

教学重点：掌握组合图形的面积、表面积、体积的计算方法。教学难点：理解计算组合图形表面积的简单方法。教学过程：

一、谈话揭题

1．谈话：我们学过哪些平面图形？你知道它们的周长、面积计算公式吗？你学过哪些立体图形？你知道它们的表面积、体积的计算公式吗？

2．揭示课题：我们曾经学过的这些图形，一般称为基本图形或规则图形，这节课我们来复习组合图形、不规则图形的面积或体积。

二、回顾与整理

1．组合图形的周长、面积或体积的计算

⑴提问：如何求组合图形、不规则图形的周长或面积？（一般通过割补、平移、旋转等方法，将它们转化成球基本图形的周长或面积的和、差等）

⑵提问：如何计算例题组合图形的表面积或体积？

⑶教师小结，在计算例题组合图形的表面积时，可以把每个面的面积进行累加，也可以借助视图来求表面积。

在计算例题组合图形的体积时，有的要把几个物体的体积相加来求组合图形的体积，有的要从一个物体的体积里减去另一个物体的体积，这样根据具体情况而定。

无论是分割还是填补，都是把复杂的图形转化成简单的图形。

三、巩固应用

1．P91第14、15题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

图形的运动

第一节 图形的运动

（一）教学目标：

1.复习图形的平移、旋转、轴对称等运动方式，发展学生的空间观念。

2.复习确定轴对称图形的对称轴及在方格纸上画一个图形的轴对称图形的方法，能识别平移和旋转，并按要求完成相应的图形运动。

3.通过观察、操作，等活动，培养学生对数学学习的兴趣。教学重点：复习图形的平移、旋转、轴对称的运动方法。

教学难点：按要求完成图形的旋转，会画已知图形的对称图形的。教学过程：

一、谈话揭题

1．课件出示P92情境图，说一说图中3个少先队员剪出的图案、设计的图案和板报设计的花边，各采用了什么运用方法。（学生回答，老师板书）

2．揭示课题：这节课，我们首先来复习图形运动中第平移、旋转和轴对称。

二、回顾与整理

1．平移

⑴什么是平移？（把一个图形沿某条直线移动一定距离的过程叫做平移。）

⑵判断平移后图形的位置，关键有几点？（判断平移后图形的位置，有关键两点：一是平移的方向，二是平移的距离。）

⑶举例说一说，生活中常见的平移现象。（电梯的上下运动、抽屉的推拉等）2．旋转

⑴什么是旋转？（把一个图形绕着某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定角度的过程叫做旋转。）

⑵旋转的三要素是什么？（旋转的三要素有：一是旋转中心，二是旋转方向，三是旋转角度。）

⑶举例说一说生活中常见的旋转现象。（电风扇扇叶的转动、汽车行驶时车轮的转动等。）3．轴对称

⑴什么是轴对称图形？什么叫对称轴？（一个图形沿着一条直线对折，对折后折痕两边的部分完全重合这个图形，就是轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴。）

⑵我们学过的图形中，哪些是轴对称图形？各有几条对称轴？

三、巩固应用

1．P92做一做。2.P93练习十九。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 图形的运动

（二）教学目标：

1.复习整理图形放大与缩小的含义，掌握图形放大或缩小的变换方法。2.能将简单的图形按要求进行放大与缩小。3.在观察、操作中发展空间观念。教学重点：复习图形放大与缩小的变换方法。教学难点：能够将简单的图形放大与缩小。教学过程：

一、谈话揭题

关于图形的运动，除了上节课复习的平移、旋转、和轴对称三种外，我们还学过图形的放大与缩小，这节课我们就来复习图形的放大与缩小。板书课题：图形的运动

（二）二、回顾与整理

1．图形放大或缩小后有什么特点？（一个图形的放大图或缩小图与原图相比：形状相同

大小不同）

2．完成图形的放大与缩小的步骤 ⑴学生讨论，小组汇报。

⑵教师明确，先按一定的比将图形的各边放大或缩小，也就是计算出放大或缩小后相应各边的长度，在按算出的新边长度画出原图形的相似图形。

3．为什么要按相同的比进行放大或缩小呢？如何理解“相同的比“中的前项和后项？ ⑴图形变换后，如果要和原图形的形状相同就必须做到各部分按相同的比进行放大或缩小。

⑵这个相同的比的前项可以理解为是变换后图形的大小，后项可以理解为是原图形的大小。

⑶如果按3:1变化，就是说变换后的图形的大小是原图的3倍，如果按1:2变换就是说变换后的图形的大小是原图的1/2。

三、巩固应用

1．《同步》P72第七题。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

图形与位置 第一节 比例尺

教学目标：

1.复习比例尺的意义，并能正确地求出平面图的比例尺会有两种形式表示。2.复习根据比例尺求图上距离或实际距离的方法。

3.感受数学在解决问题中的作用，提高学生学习数学的兴趣和信心。教学重点：复习比例尺的意义能根据比例尺正确求出图上距离或实际距离。教学难点：能够用比例尺知识解决实际问题。教学过程：

一、谈话揭题

1．解决问题：南湖小学有一块长方形草坪，长50米，宽30米，把这块草坪按一定的比缩小，画出的平面图长5厘米，宽3厘米，你能瞧出这幅图的比例尺吗？（学生自由作答）

2．导入。1:1000就是上副图的比例尺这节课我们就来复习比例尺的知识。

二、回顾与整理

1．比例尺的计算公式。

2．求一幅图的比例尺，通常需要注意什么？

⑴求比例尺时，图上距离与实际距离的单位一定要化成同级单位。⑵为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。3．比例尺的表现形式。⑴数字比例尺。⑵线段比例尺。

4.线段比例尺与数值比例尺如何互相改写？ 5.根据比例尺求图上距离或实际距离。图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺

三、巩固应用

1．在比例尺为1:5000的图纸上，画一个边长为4厘米的正方形草坪，草坪的实际周长是多少？实际面积是多少？

2.小组合作，讨论解法。3.会把解题思路和解题过程。

4.观察比较：同样是球草坪的实际面积得到了结果为什么不同？

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

确定位置与描述行走路线

教学目标：

1.复习各种描述或确定物体位置的方法。

2.在运用相关知识解决问题的过程中，体会用不同的方法确定位置的特点和作用。3.培养学生的方向感和空间感，提高学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。教学重点：用数对或方向和距离描述平面图中物体的位置。教学难点：能够综合运用所学知识解决实际问题。教学过程：

一、谈话揭题

1．谈话：我们今天继续复习图形与位置的相关知识。板书课题，确定位置与描述行走路线

2．导入：这节课我们主要复习根据方向和距离确定物体的位置，用数对表示物体的位置和辨认方向及使用路线图。

二、回顾与整理

1．根据方向和距离确定物体的位置。如何把方向和距离这两个条件结合起来确定平面图

内物体的位置？

2．用数对表示物体的位置。如何用数对表示物体的位置？ ⑴学生回忆旧知，分组讨论。⑵汇报。

3．结合P94页图形与位置例题进行分析与解答。

三、巩固应用

1．P95练习二十。

四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

3.统计与概率 第一节 统计

教学目标：

1.通过复习,进一步认识统计的意义和重要性。

2.简单回顾所学的统计知识、复习有关统计表统计图和平均数的知识。3.通过复习，形成统计观念和依据数据进行分析和解决问题的意思。教学重点：复习有关统计表、统计图和平均数的知识。教学难点：结合图表进行分析、预测。教学过程：

一、谈话揭题

在日常生活和生产实践中，我们经常需要对一些数据进行分析、比较、研究，这就需要统计知识。今天我们就来进一步复习统计知识中的统计表、统计图和统计量等相关知识，板书课题：统计。

二、回顾与整理

1．复习统计知识 ⑴统计表

① 我们学过的统计表有哪几类？（单式统计表、复式统计表）② 制作统计表要注意的事项。（学生回忆旧知，讨论汇报）⑵统计图

① 我们学过哪些统计图？（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）② 这些统计图的意义是什么？各有什么特点？ ③ 制作统计图时要注意什么？ ⑶统计量

① 什么叫平均数？（一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。）② 怎样求一组数据的平均数？平均数=总数量÷总份数

③ 在实际应用中有哪些求平均数的特殊方法？（比如在歌手大赛中，计算成绩通常要去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分作为歌手的成绩。）

2．例题解析P97第4.5题

三、巩固应用

1．P98 1.2.3.4.5.四、小结：通过本课学习，你有哪些收获？

第二节 可能性

教学目标：

1.复习可能性的初步知识，会求简单的时间发生的可能性并对事件发生的可能性作出预测。

2.体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性。

3.能设计一个方案，符合指定的要求。提高学生解决问题的能力。

教学重点：认识事件发生的等可能性和游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性并对事件发生的可能性作出预测。

教学难点：能够准确地用分数表示可能性的大小。教学过程：

一、谈话揭题

之前，我们学过一些可能性的知识，大家还记得多少？这节课，我们进一步来复习可能性的相关知识。

二、回顾与整理

1．确定现象和不确定现象。⑴确定现象

⑵确定于不确定。让学生说一说什么是确定与不确定。

⑶一定、可能与不可能。让学生举例说说什么是“一定”、“可能”与“不可能”。2．事件发生的可能性

如何描述事件发生的可能性的大小？

某些事件发生的可能性有大有小，对事件发生的可能性大小，可以用“一定”“经常”“偶尔”“不可能”“可能”等词语来描述。

3．游戏输赢的可能性

游戏的输赢取决于游戏双方各自出现的机会。出现的机会多，则赢的可能性大；出现的机会少，则赢的可能性小；出现的机会均等时，游戏的结果一般仍会有输赢。

三、巩固应用

1．P99第6.7题。

9.考研数学复习夯实基础 篇九

转眼间又送走了一届考研学子，迎来了新一年的学生。而每逢此时总是有好多准备考研的学生很是迷茫，不知道怎样展开复习。为此结合这几年通过在一线辅导学生的亲身经验来跟大家共同探讨一下基础阶段(专家一致认为从现在开始 -6 月份是复习数学的基础阶段)考研数学的复习。

在大学里，对于高数、线代和概率，绝大部分学生都是为了期末考试而应付过去的，所以相距考研真题的水平还有很大的距离，大家一定要在基础阶段把教材(建议《高等数学》同济版 ，《线性代数》同济版 ，《概率论与数理统计》浙大版 )上的基本概念、性质、定理和方法等理解透彻，需要强调的是一定要根据考试大纲来展开复习，这是因为在我跟学生进行沟通和辅导的时候发现有好多是不考的，而他都复习了，这既浪费时间又给了自己很大的压力，所以在刚开始复习时一定要先了解大纲的要求范围。对于概念要全方位的掌握，因为概念是组成数学试卷的架子。不仅要知道这个公式成立的条件，还要记它的结论。不仅要记它的结论，还要记它公式的成立和条件，正反都要记。对于性质，大纲中所要求掌握和理解的重要性质，教科书给出证明的，要会证明，然后要知道这个性质是怎么用的，用在哪些计算题或者是证明题，或者是应用题。最后是定理。因为数学是一个公理化系统，对于定理大纲上要求的.定理有两个层次，一个是要求掌握和理解的定理，还有一个是要求了解和会用的定理。要求掌握和会用的定理，教科书上给出的证明思路要大致了解，大家在复习过程中，凡是大纲要求掌握和理解的定理不管是微积分还是线性代数、概率论与数学统计，一定首先了解定理的证明，然后是会定理的应用。比如在利用等价无穷小量代换求极限时，一定要记住一般在乘除运算中才能用等价无穷小量替换，在加减运算中不用。

10.数学零基础考生考研复习建议 篇十

对于考研数学基础相对弱的同学来说，看课本是必须的。但是应该如何看呢?必竟考研不是期末考，两者有很大的区别。

2015考研复习拉开帷幕，很多同学已经提早进入考研数学的复习状态中了，对于基础差的考生来说，更要注重基础，我们建议基础再差的同学也要尽量在六月份前完成基础阶段复习，以下对2015考研数学的辅导建议，就很适合数学基础差的同学参考。

对于考研数学基础相对弱的同学来说，看课本是必须的。但是应该如何看呢?必竟考研不是期末考，两者有很大的区别。

一、选对教材、考生这个时候一定要心平气和的把课本看一遍，推荐的.课本有：同济大学的《高等数学》、《线性代数》，两者分别用第五版和第四版的，《概率论与数理统计》推荐大家用浙江大学盛骤等老师编写的。这些书都是经典中的经典，考生一定要仔细的将书中的例题全部都搞懂(大纲范围内)，并且做到合上书也能够完整的做题。

二、把某一知识点对应的适用条件也掌握好、记得知识点以后要做什么?自然是用于解题。这时候就出现了一个值得注意的问题，那就是定理和公式成立的条件，就我个人的经验以及和与所辅导的学生沟通的情况来看，很多人容易忽视这个环节。连续函数的若干性质，如最大值最小值定理、零点定理等，都是指的闭区间上连续函数的性质;中值定理那一章节里，很多定理成立的条件都是所给函数在闭区间上连续、开区间上可导;强烈建议大家在复习过程中自己多总结，总的来说，记得知识点不是难事，但是一定要注意同时把某一知识点对应的适用条件也掌握好!只有同时把这两方面把握住了，概念这一块才算过关，才算打好了基础。

三、不断重复、数学基础的复习重在牢固，基础不好可以尽早复习，但不能尽快，因为步伐太快会让复习的效果打折扣，因此不断地重复以前复习的内容，让复习的知识在脑海中形成一个框架，不仅能让自己复习效果比较显著，还能为以后的强化、冲刺做好准备。

11.考研数学复习仍须重视基础 篇十一

把握一门考试，如考研，首先要从考试要求入手，也就是教育部考试中心大纲规定的考试内容和要求。《大纲》虽是纲领性文件，但也没必要每个人都买新大纲，只要考生能把握大纲的变化点，完全可以用去年的大纲。2012考研大纲已经出来了，数学依然保持以往的平稳与连续性，没有什么变化，考生完全可以按部就班地进行复习。但大纲的作用仍不容忽视。

虽然数学考试大纲没有变化，但对大纲的正确解读对考试有莫大的帮助。当然可以自己来研读所考门类的数学考试大纲，看看哪些内容是“理解”、“掌握”、“会用”，哪些内容是“了解”，但是在看大纲的时候也许只有初浅的印象，即使记下了大纲中的文字规定，也很难将其与考试中题目挂钩。

看完数学考试大纲，考生同学会感觉到基础对考研是重中之重。每年考试中基础所占比例都会在60%左右，而且一般还只右不左。考生基础扎实不扎实，直接影响着后面对概念的理解，对定理的应用，对方法的掌握，对技巧的灵活应用。复习最为直接的测试就是做题，做数学题一定要养成自己的一套方法或者说习惯，如果能达到看到一个题就知道它是在考什么知识点，对应的用哪些方法有可能可以解决问题，那数学高分将不是童话!

12.考研数学概率论与数理统计基础复习 篇十二

1.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量

XY与XY

不相关的充分必要条件为().00数一考研题

(A)E(X)E(Y);(B)E(X2)[E(X)]2

E(Y2)[E(Y)]2

;(C)E(X2)E(Y2);

(D)E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2.2.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).00数一考研题

3.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于().01数一考研题

(A)1;

(B)0;

(C)

;(D)1.4.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计

P{|XE(X)|2}_________.01数一考研题5.设随机变量X的概率密度为

02数一考研题

12cosx,0x,f(x)20,其他.对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3的次数,求Y2的数学期望.6.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件

次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱中,求:

(1)乙箱中次品件数X的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.03数一考研题

7.设随机变量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布,且其方差为20.令.8.n

Y

1n

iXi,1

则().04数一考研题

(A)cov(X2

1,Y)

n

;

(B)cov(X1,Y)2;(C)D(Xn21Y)

n

2

;(D)D(X1Y)

n12

n

.8.设A,B为随机事件,且P(A)

14,P(B|A)13,P(A|B)1,令X

1,A发生,0,A不发生;

Y

1,B发生,0,B不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;

(2)X与Y的相关系数XY.04数一考研题

9.设随机变量X服从正态分布N(22

1,1),Y服从正态分布N(2,2),且P{|X1|1}P{|Y2|1},则().06数一考研题

(A)12;

(B)12;

(C)12;

(D)12.10.设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则

P{XE(X)2}_______.08数一考研题

11.设随机变量X~N(0,1),Y~N(1, 4)且相关系数XY1,则().(A)P{Y2X1}1;(B)P{Y2X1}1;(C)P{Y2X1}1;

(D)P{Y2X1}1.08数一考研题

12.设随机变量X概率分布为P{Xk}

C

k!,k0,1,2,,则E(X2) __________.10数一考研题