初中几何辅助线的连接方法

初中几何辅助线的连接方法（精选4篇）

1.初中几何辅助线的连接方法 篇一

牢记几何语言

几何证明题，要使用几何语言，这对于刚学几何的学生来说，仅当又学一门“外语”，并努力尽快地掌握这门“外语”的语言使用和表达能力。

首先，从几何第一课起，就应该特别注意几何语言的规范性，要让学生理解并掌握一些规范性的几何语句。如：“延长线段AB到点C，使AC=2AB”，“过点C作CD⊥AB，垂足为点D”，“过点A作l∥CD”等，每一句通过上课的教学，课后的辅导，手把手的作图，表达几何语言;表达几何语言后作图，反复多次，让学生理解每一句话，看得懂题意。

其次，要注意对几何语言的理解，几何语言表达要确切。例如：钝角的意义是“大于直角而小于平角的叫钝角”，“大于直角或小于平角的角叫钝角”，把“而”字说成了“或”字，这就是学习对几何语言理解不佳，造成的表达不确切。“一字之差”意思各异，在辅导时，注重语言的准确性，对其犯的错误反复更正，做到学习之初要严谨。

规范推理格式

数学中推理证明的书写格式有许多种，但最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求证的结论来。这种证题格式一般叫“演绎法”，课本上的定理证明，例题的证明，多数是采用这种格式。它的书写形式表达常用语言是“因为…，所以…”特别是一开始学习几何证明，首先要掌握好这种推理格式，做到规范化。

积累证明思路

“几何证明难”最难莫过于没有思路。怎样积累证明思路呢?这主要靠听讲，看书时积极思考，不仅弄明白题目是“如何证明?”，还要进一步追究一下，“证明题方法是如何想出来的?”。只有经常这样独立思考，才会使自己的思路开阔灵活。随着证明题难度的增加，还要教会学生用“两头凑”的方法，即在同一个证明题的分析过程中，分析法与综合法并用，来缩短已知与未知之间的距离，在教学安排时，要给其足够的时间思考，而且重复证明思路，提高对解题思路的理解和应用能力。

初中数学几何做辅助线技巧

2.初中几何辅助线的连接方法 篇二

一、全等三角形法

若要证明线段或角相等, 最基本的方法就是全等三角形法, 即将题中所给条件及结论分散到两个全等三角形中去。如若无此现成的全等三角形时, 就要布设最关键的辅助线, 使之产生我们所需要的、理想的全等三角形。

例1: 已知: 矩形ABCD中, AD = 3AB, E、G和F、H分别为AD和BC之三等分点, 连AF、AH、AC。

求证: ∠AFB + ∠AHB +∠ACB = 90°

分析:

( 1) 要证∠AFB + ∠AHB+ ∠ACB = 90°, 由∠AFB =45°知, 须证∠AHB + ∠ACB =45°。

( 2) 要证∠AHB + ∠ACB = 45°, 须把∠AHB或∠ACB进行“搬家”, 使∠AHB + ∠ACB = 45°成为三角形一内角, 最理想的三角形将是等腰直角三角形。

( 3) 若是将∠AHB“搬家”, 显然就要联想到△ABH为直角三角形, 且两直角边之比为1 /2时, 可延长EF到L, 使FL = EF, 连AL, CL。则△ABH≌△AEL≌△LFC, 所以∠AHB = ∠ALF = ∠FCL, 即转化为证∠FCL + ∠ACB =45°。

( 4) 要证∠FCL + ∠ACB = 45°, 须证△ALC为等腰直角三角形, 而∠ALE + ∠ELC = 90°, AL = CL成立。

同时, 还可应用全等三角形法来比较两线段或两角的大小, 即研究不等量问题。

二、平行移动法

平移法是布设辅助线中最常用的一种方法。它的产生是源于分析平行四边形的性质。平移的目的是要把不在同一个三角形之中需要比较的两个线段或两个角进行“搬家”, 组成平行四边形, 然后充分利用平行四边形的性质及有关条件进行比较, 创造机会进一步研究其关系, 使问题得到解决。

例2: 已知: 四边形ABCD中, AB = CD, E、F分别为线段BC、AD之中点, 延长CD、BA、EF交于G、H。

求证: ∠EGC = ∠BHE

分析1:

( 1) 作平行四边形ABMF, 平行四边形CDFN。

( 2) 因为BM平行且相等于CN, 所以四边形BNCM为平行四边形。

( 3) BC和MN互相平分于E, 所以ME = EN。

( 4) FE为等腰△FMN底边之中线, 即顶角的平分线, 所以∠EFN = ∠MFE。

( 5) 又∠EFN = ∠EGC, ∠MFE = ∠BHE, 所以∠EGC= ∠BHE。

分析2:

( 1) 作平行四边形ABMD, 所以DM = DC = AB, 即△DMC为等腰三角形。

( 2) 取MC之中点N, 连EN, 所以EN平行且等于FD, 所以四边形ENDF为平行四边形。

( 3) 连结线段DN, 所以∠NDC = ∠MDN。

( 4) 又∠EGC = ∠NDC, ∠BHE = ∠MDN, 所以∠EGC= ∠BHE。

此外, 还可借助平移, 把需要比较的线段安置在同一个三角形中, 然后利用三角形的基本性质比较其大小。

三、作两边相等的两三角形法

当要证明两个线段或两个角不等时, 可用平移使之要比较的线段或角整合在同一个三角形中进行研究。但有时发现在平移后, 前面所述情形不会产生时怎么办? 这时就要看能否结合条件把要比较的元素安置在两个两边对应相等的三角形之中, 如有可能, 就可根据其夹角或第三边的大小来决定第三边或夹角的大小了。

例3: 已知: △ABC中, AB > AC, BE、CF为中线且交于G, 求证: BE > CF。

分析:

( 1) BE, CF暂不可能安置在同一个三角形中, 按其所对之角的大小来确定BE、CF的大小。

( 2) 一个三角形不可行时, 可考虑利用两个三角形。要连AG, 交BC于D, 则D为BC之中点。

( 3) 在△ABD和△ADC中, 因为AD = AD, BD = DC, 又AB > AC, 所以∠BDG > ∠GDC。

( 4) G为重心, 所以GB =2/3BE, GC =2/3CF。

( 5) 在△BDG和△CDG中, 因为GD = GD, BD = DC, 又∠BDG > ∠GDC, 所以GB > GC, 即2/3BE >2/3CF, 则BE> CF成立。

四、中位线法

要证明两直线平行或证明某线段是另一线段倍半时, 往往离不开中位线的性质。所以, 凡是遇到中点时, 就要考虑中位线的性质和证题是否有关系。

例4: 已知: △ABC中, H为垂心, O为外心, OD为外心到BC边的距离, D为垂足, 求证: AH = 2OD。

分析:

( 1) 先须说明, 要在AH上截取一段等 于OD或是延长OD, 使之等于AH来证, 都是较困难的。

( 2) 必须寻找新关系, 从D为BC之中点得到启发, 作直径COE, 连接BE, 所以BE = 2OD。

( 3) 问题就转化为证BE =AH。

( 4) 连AE, 四边形AEBH为平行四边形, 问题就有了解答。

五、拆补法

此方法常用到证明某线段等于其他两线段之和。其作用是: ( 1) 在线段上截取两线段之一, 证明其差等于另一线段; ( 2) 在两线段中, 延长一线段等于另一线段, 证明新的和线段等于要证明的和线段。

例5: 已知: P为正△ABC外接圆的弧BC上的一点, 求证: PA = PB + PC。

证法 ( 1) :

( 1) 延长BP到D, 使PD =PC, 连CD。

( 2) 因为∠CPD = ∠BAC= 60°, 所以△PCD为正三角形。

( 3) △BCD≌ACP, 所以PA= BD = PB + PC。

证法 ( 2) :

( 1 ) 在AP上截取线 段PD, 使PD = PB, 连BD。

( 2) 因为∠APB = ∠ACB =60°, 所以△BPD为正三角形。

( 3) △ABD≌△BPC, 所以AD= PC, 即PA = PB + PC。

证法 ( 3) :

( 1) 在弧BC上取一点D, 使AD = PC, 连BD交PA于E。

( 2) 四边形CDEP为平行四边形。

( 3) △ADE和△BPE均为正三角形, 所以PE = PB, AE = AD =PC, 则PA = PE + AE = PB + PC。

六、截长补短法

当我们要比较某些线段和的大小时, 全等三角形法、平移法等可能都解决不了问题。面对这类问题, 截长补短法较为适宜。所谓截长补短法, 就是在比较的众多线段中, 从较长的线段中取一段后, 然后来处理所剩余的线段问题。

例6: 求证: 直角三角形中, 勾与股的和小于弦与弦上高的和。已知: △ABC中, ∠ACB = 90°, CD⊥AB, D为垂足, 求证: AC + BC < AB + CD。

分析1:

( 1) 要证AC + BC < AB +CD, 由AC > CD, AB > BC想到, 须证AC - CD < AB - BC。

( 2) 在AC上截取CE = CD, 在AB上截取BF = BC, 转化为证AE < AF。

( 3) 因为BC·AC = CD·AB, 即BF·AC = CE·AB, 所以BF/AB=CE/AC, 所以EF∥BC, ∠AEF = 90°。

( 4) 在△AEF中, ∠AEF = 90°, 所以AE < AF。

分析2:

( 1) 在AC上截取AE = CD, 在AB上截取AF = BC, 问题转化为证CE < BF。

( 2) 因为∠BCD = ∠A, 所以△BCD≌△EAF, ∠AEF =90°。

( 3) 过F作FG∥AC交BC于G, 连EF, 所以四边形GFEC为矩形, 所以有GF = CE。

( 4) 在△BGF中, ∠BGF =90°, 所以GF < BF, 即CE < BF。

结论:

1. 以上的方法及范例告诉我们, 要处理较复杂的平面几何问题, 想回避辅助线是不现实的。恰恰相反, 有很大一部分平面几何问题必须要在布设最关键的辅助线后, 问题解决才会有眉目。

2. 布设辅助线的方法很多, 上述几种方法是较常用的重要方法。真正领悟这些方法后, 证明平面几何问题的能力一定会得到提高。

3. 处理一个平面几何问题的方法很多, 因此要比较各法择优。若能布设出理想的辅助线, 不仅可以快速寻找出证题途径, 还可以选择出一个较优的证法。

4. 辅助线布设的原则是: 从条数上讲要最少, 从其作用上看要最关键。

3.试论初中数学辅助线的应用方法 篇三

关键词：初中数学；辅助线；应用方法

一直以来，不论在哪一阶段，辅助线在数学解题中的地位都是至关重要的，在加上数学题目的变化往往都是灵活无穷的，因此，辅助线的添加方式也是灵活多样的。不论那一道几何题，图形与条件都是必不可少的两部分，而通过结合其图形、条件具有的特殊性巧妙的添加辅助线，不仅可以使得原本复杂、难懂的题目迎刃而解，也能够不断拓展学生解题思维，为其今后的学习、解题提供有力参考，不断提升学生解题效率。

一、辅助线在三角形中的科学运用

对于三角形中辅助线的添加来讲，主要是结合问题特点与需求来进行辅助线的科学运用。例如，在无法利用现有条件将三角形三边关系直接证明出来时，可以将其中一边延长，也可以通过将其两点连接来构成三角形，以此来得出其线段在一个或是多个三角形中的结论，然后再利用三角形三边的不等关系来进行证明；又如：在无法利用现有条件将三角形外角大于任何不与其相邻的内角这一定义直接证明出来时，就可以引导学生将某一边延长，或者是通过连接其中两点构成三角形，以此来让其小角位于其图形的内角，之后再证明出其大角处于其三角形的外角位置，在此基础上再运用相应外角定理来最终解答。此外，若题目中给出了平分线时，通常都是在其角的两边取相同的线段来构成全等三角形等。

上述只是总结了三角形辅助线比较常见的添加方式，但是对于数学辅助线的应用来讲，通常都是法无定法的，因此，要想将辅助线的积极作用充分发挥出来，并在解题中实现科学灵活运用，往往还是需要在实践解题练习中不断归纳与总结，不仅可以单独添加，也可以结合实际情况，进行恰当的组合运用，也只有这样在解答相应题目过程中才能够真正做到有的放矢，才能够引导学生真正掌握其运用规律与技巧，因此，出了总结、归纳外，其数学教师还应结合学生实际认知需求，积极为学生设计针对性较强的练习活动。

二、辅助线在圆形中的有效运用

对于圆形来讲，其添加辅助线的方法主要可以从以下几方面着手：

1.可以结合垂径平分的定理，过圆心做弦的垂线，在此基础上进行问题的解答。同时，也可以结合同圆、等圆中的圆周角、圆心角，以及弦、弧的互相转换关系，与圆上相关点进行连接来妥善解决其题目，为学生分析、解答相应题目提供全新思路。

2.若题目中给出了直徑的相关已知条件，通常情况下，都要结合“直径所对的圆周角是直角”这一定理来进行相关辅助线的添加，这样不仅可以保障准确性，也能够进一步拓展学生解题思路，促进其解题效率的不断提升。

3.若题目重给出了切线的相关已知条件时，一般都是进行过切点连接其半径或直径，充分考虑切线与其垂直的特点来进行问题的解析。或者是作过切点的弦，做好弦切角与圆心、圆周角之间关系的妥善处理与沟通，在此基础上更便捷的解答相应题目，这样不仅可以帮助学生巩固所学知识，也能够让其在此过程中积累到更多解题技巧与经验，激活其数学思维。

4.若题目中给出了两圆相切的已知条件，学生在解答时，教师应指导学会过切点作两圆的公切线，以此来更好的实现弦切角、圆周角间关系的沟通，拓展解题思路。也可以结合现有条件，作两圆的连心线，灵活利用其切点，在连心线上实现圆心距、两圆半径之间关系的有效沟通，通过其辅助线的巧妙添加，获得更便捷的解题方法。

5.在两圆处于相交状态时，对于这样的题目，教师可以指导学生作两圆的公共弦，并充分利用公共弦这一桥梁，更好的实现两圆圆周角、其他角之间关系的有效沟通，以此来为题目的证明提供更简便的思路，也进一步锻炼、提升学生实践探究解题能力。总之，圆形辅助线的添加方式有很多，为了使辅助线的积极作用能够在证明题目中充分发挥出来，教师应引导学生对题目现有条件、现有知识结构做出综合考虑，从而选择更适合、准确的辅助线添加方式，帮助学生积累更丰富的解题技巧与经验。

三、辅助线在平行四边形中的恰当运用

平行四边形主要包括正方形、菱形，以及矩形，这些图形的两组对边、对角等具有的性质都有一定的相似之处，所以，辅助线在这些图形中的添加方法一般都具有较大的相似性，往往都是为了实现线段的垂直与平行，在此基础上构成相应的全等、相似三角形。通常情况下，都是平移、连接图形对角线，或者是结合实际情况连接其中一边的中点与顶点等方式，从而将平行四边形巧妙转化成相应的矩形、三角形等图形，这样再分析解决其该题目则更加便捷。

例如，在解答下面这道题目时：已知AB与CD平行，BC平行于AD，证明，CD=AB。

在解答这道题目时，教师就可以通过添加辅助线AC来将图形分割成两个三角形进行证明。解答如下：

证明：连接AC。因为AB与CD平行，BC与AD平行，结合两直线平行、内错角相等的定理，所以∠1=∠2，∠3=∠4。在△ABC与△CDA中，因为∠1=∠2，∠4=∠3，CA=AC，所以根据角边角定理可以得出△ABC≌三角形CDA，在结合全等三角形的对应边相等定理可以得出AB=CD。通过指导学生将平行四边形分割成两个三角形，学生就可以轻松点运用三角形的相关知识来证明其对边相等，让其在此过程中掌握较为典型的辅助线添加方法，也更便捷的解答此题目。

四、结语

总之，初中数学教师在带领学生学习、解答几何问题过程中应充分认识到，积极应用辅助线，对拓展学生解题思维，提升授课效率等方面的重要性。在教学实践中，其教师应结合实际需求与条件，带领学生不断总结几何题中添加辅助线的规律，指导其做出一个较为系统的总结。在此基础上，不仅可以进一步拓展学生解题思维，也能够让其在总结、实践应用中积累更多解题技巧与方法。

参考文献：

[1] 李蓉.例谈全等三角形问题中常见的辅助线的作法[J].都市家教（下半月），2016，（2）：118-119.

[2] 周美丽.初中数学解题中辅助圆的应用探析[J].新课程·中学，2014，（8）：158-158，159.

4.初中几何辅助线的连接方法 篇四

教学重点中点模型的构造(倍长中线法;构造中位线法;构造斜边中线法教学目标系统有序掌握几何求证思路,掌握何时该用何种方法做辅助线

开场:1.行礼;2.晨读;3.检查作业;4.填写表格 新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形(或者其他图形一边上的中点,可以考虑:倍长中线法(构造全等三角形;2.已知任意三角形两边的中点,可以考虑:连接两中点形成中位线;3.已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一:倍长中线法

经典例题1:如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】

1.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:

①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是(A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第2题图

2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1, BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为(A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有(①BD=DE=EC;②AB+AE>2AD;③AD+AC>2AE;④AB+AC>AD+AE。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,在△ABC 中,AB >BC ,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交CA 的延长线于G ,求证:BF =CG.5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AE =EF ,求证:AC =BF.6.如图所示,在△ABC 中,分别以AB、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ,F 为BC 边上中点,FA 的延长线交DE 于点G ,求证:①DE =2AF;②FG ⊥DE.F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

7.如图所示,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,点E、F 分别为AB、AC 上的点,且ED ⊥FD.以线段BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形,或者是钝角三角形? 8.四边形ABCD 是矩形,E 是BC 边上的中点,△ABE 沿着直线AE 翻折,点B 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G ,请探究线段AB、AG、G C 之间的关系.9.如图所示,△ABC 中,点D 是BC 的中点,且∠BAD =∠DAE ,过点C 作CF//AB ,交AE 的延长线于点F ,求证:AF +CF =AB.F D A B C E G F E D B C A F D B C A E

做辅助线思路二:构造中位线法

经典例题2:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =12,BC =16,中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ,则GH 的长是________.【课堂训练】

1.已知,如图,四边形ABCD 中,AB =CD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,BA、FE 的延长线相交于点M ,CD、FE 的延长线相交于点N.求证:∠AME =∠DNE.2.已知,如图,四边形ABCD 中,AC、BD 相交于点O ,且AC =BD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,EF 分别交AC、BD 于点M、N.求证:OM =ON.A B F C D N M E D A B C O E F M N P

3.BD、CE 分别是的△ABC 外角平分线,过A 作AF ⊥BD ,AG ⊥CE ,垂足分别是F、G ,易证FG= 2 1(AB+BC+AC。(1若BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图1并说明理由;(2若BD、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图2并说明理由.4.已知,如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD +BC =AB ,M 是CD 的中点试说明:AM ⊥BM。

B C M N A D 奉爱树教育个性化辅导 5.如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD⊥AD 于 D，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB＝6，AC＝14，则求 DE 的