函数的单调性讲稿

函数的单调性讲稿（共17篇）

1.函数的单调性讲稿 篇一

函数的单调性，函数的奇偶性，反函数

[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。

(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式；

(3)判断f(x1)-f(x2)的正、负；

(4)结论

理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。

(1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。

(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。

(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。

(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。

(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。

[例题分析]

例1．证明函数f(x)=

在定义域上的单调性。

[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。

函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

任取x1

==

当-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。

当0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。

例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。

[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。

例3．证明函数f(x)=的奇偶性。

[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。

由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函数。

例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明

f(x)的奇偶性。

[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。

例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。

[分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的单调递减函数。

例6．证明函数f(x)=

(x≠)的图象关于直线y=x对称。

[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。

∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。

[参考练习]

1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函数且是奇函数

B、增函数且是偶函数

C、减函数且是奇函数

D、减函数且是偶函数

2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[参考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x)

{x|0

2.函数的单调性讲稿 篇二

在这部分内容中主要应该掌握以下几点:

1. 增函数与减函数的定义

定义:对于函数f (x) 的定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2。

(1) 若当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是增函数。 (如图1)

(2) 若当x1<x2时, 都有f (x1) >f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是减函数。

说明: (1) 增函数描述的是f (x) 随x的增大而增大, 函数图象从左到右是呈上升的;减函数描述的是f (x) 随x的增大而减少, 函数图象从左到右是呈下降的。

(3) 增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大、小对小”;减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小、小对大”。

2. 单调性与单调区间

若函数y=f (x) 在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数y=f (x) 在这一区间具有 (严格的) 单调性, 这一区间叫做函数y=f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上, 增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的。

说明: (1) 函数的单调区间是其定义域的子集;

(2) 应是该区间内任意的两个实数, 忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数 (或减函数) , 例如图2中, 在x1, x2, 那样的特定位置上, 虽然使得f (x1) <f (x2) , 但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;

(3) 除了严格单调函数外, 还有不严格单调函数, 它的定义类似上述的定义, 只要将上述定义中的“f (x1) <f (x2) 或f (x1) >f (x2) ”改为“f (x1) ≤f (x2) 或f (x1) ≥f (x2) ”即可;

(4) 定义的内涵与外延:内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;外延: (1) 一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减。 (2) 几何特征:在自变量取值区间上, 若单调函数的函数图象从左到右上升, 则为增函数, 函数图象从左到右下降则为减函数。

函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以不存在单调性问题;另外, 中学阶段研究的函数, 对于闭区间内的任意值都有意义, 那么只要在开区间上单调, 它在闭区间上也就单调, 因此, 在考虑它的单调区间时, 包括不包括端点都可以;但若的取值函数无意义时, 则单调区间不包括该点。

3. 单调性的证明

根据定义证明函数单调性的一般步骤是:

(1) 设x1, x2是给定区间内的任意两个值, 且x1<x2;

(2) 作差f (x1) -f (x2) , 并将此差式变形 (要注意变形的程度) ;

(3) 判断f (x1) -f (x2) 的正负 (要注意说理的充分性) ;

(4) 根据f (x1) -f (x2) 的符号确定其增减性。

4. 复合函数的单调性

复合函数单调性的根据是:设y=f (u) , u=g (x) , x∈[a, b], u∈[m, n]都是单调函数, 则y=f[g (x) ]在[a, b]上也是单调函数。

(1) 若y=f (u) 是[m, n]上的增函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相同;

(2) 若y=f (u) 是[m, n]上的减函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相反。

复合函数单调性的规律见下表:

3.关于复合函数的单调性问题 篇三

一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：

例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a•0>0g(1)=2-a•1>0 ，解得a<2，∴1

二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：

例2讨论函数y=㏑(x2－4x+3)的单调性

解：令y= ㏑u，u= x2－4x+3，由x2－4x+3>0知函数的定义域为x＜1或x＞3

因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，

在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：

例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )

(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]

解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，

在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，

根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得

2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .

例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u

∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及

[ ，+∞)是u的取值范围)

因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ )

所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ()

(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；

(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则

(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，

由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，

u在x∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，

由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，

在x∈(0， 1]上是减函数，

∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数.

4.教学反思：函数的单调性 篇四

新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成；确定本节课的重点和难点．在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

一、函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在 1 该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径

二、判断增函数、减函数的方法：

①定义法：一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义：

⑴，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数，如果 那么就说 在这个区间上是增函数；如果 那么就说 在这个区间上是减函数；

如果函数 在某个区间上是增函数（或减函数），就说 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。

③复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数。

函数的单调性说明了物质是变化的，变化是有规律的，通过学习教会学生用变化的观点 2 看世界，树立与时俱进的思想意识。

5.专题：函数单调性的证明 篇五

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

1例1：证明：函数fx=在x∈（1，+∞）单调递减

x-

1例2：证明：函数fx=x+x+1在x∈R时单调递增

3[1，+）时单调递增 例3：证明：函数fx=x-1在x∈2

例4：讨论函数fx=x+

1在（1，+）的单调性，并求最小值 x-1

例5：求函数fx= x+2的单调区间 x-1+）单调递增 练习：

1、证明函数fx=x+（a＞0）在（a，2、讨论函数fx=1+x-x的单调性

2ax

（二）fx抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞0时，＞0.证明：f(x)在R上单调递增.例2：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，1.若f(x)0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.练习：

1、已知函数

fx对于任意的x、y∈R，fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0；f1=-23.f(x)＞f(x)＞总有（1）求证：fx在R上是减函数

（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数fx的定义域为R，且m、n∈R，恒有fm+fn=fm+n+1，且f-＞-1=0，当x21时，fx＞0.2（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足fx+y=fxfy，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.2（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式fx-1＞f2x



4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有fa+fb=fa+b+1，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数

2（2）若f4=5，解不等式f3m-m-2＜3

6.函数的单调性讲稿 篇六

1．复合函数的概念

如果y是的函数，又是x的函数，即yf()，g(x)，那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数yf()和g(x)的复合函数，其中是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数y()x1322x是由y()，x2x复合而成立。

221函数ylg(34xx)是由ylg，34xx复合而成立，、是中间变量。

2．复合函数单调性

一般地，定理：设函数g(x)在区间M上有意义，函数yf()在区间N上有意义，且当xM时，N

有以下四种情况：

（1）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数；

（2）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（3）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（4）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数。

即：同增异减

注意：内层函数g(x)的值域是外层函数yf()的定义域的子集。

例

1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）

（1）y()

解：

213x22x（2）ylg(34xx)

练习1：

1．求下列函数的单调区间。

（1）y

2（3）y

例

2、已知yf(x)，且lglgylg3xlg(3x)。

（1）求yf(x)的表达式及定义域；

（2）讨论yf(x)的单调性。

练习2 1．已知f(x)82xx，g(x)f(2x)，求g(x)的单调区间。

2．讨论函数yloga(x4x3)的单调性。2x25x2

（2）ylog1(x2x3)

22xx1（4）y(3xx)221222

练习题

1．若函数yf(x)的图象过点(0,1)，则yf(x4)的图象必过点（）

A．(4,1)

B．(1,4)C．(4,1)

D．(1,1)

2．函数ylog2x在区间,00,上（）2A.是奇函数，且在0,上是增函数 B.是偶函数，且在0,上是增函数 C.是奇函数，且在0,上是减函数 D.是偶函数，且在0,上是减函数

3．函数y166xx2(0x4)的最大值与最小值分别是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 11x4．函数y321值域为（）

A．(,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,)5．函数f(x)log1(6xx)的单调递增区间是()31313132A．[11,)

B．[,2)22x22(a1)x1C．(,)

D．(3,)

12126．函数f(x)2在区间[5,)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[6,+)

B.(6,)

C.(,6]

D.(,6)7．已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.0,1

B.1,2

C.0,2

7.指数函数单调性的应用 篇七

当0<a<1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递减;

当a>1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递增.

利用指数函数的单调性可以解决以下的典型问题.

1. 比较幂的大小

比较大小的常用方法:

(1) 作差 (商) 法;

(2) 函数单调性法;

(3) 中间值法.

例1比较下列各组数的大小:

分析要先判断能够转化为哪类函数, 再结合函数的单调性来解决, 如果不能看成同一函数的两个值, 则可借助于中间量来比较.

解 (1) 因为函数y=1.7x在R上是单调递增函数,

且2.5<3,

所以1.72.5<1.73;

(2) 因为指数函数y=0.8x在R上是单调递减函数,

且-0.1>-0.2,

所以0.8-0.1<0.8-0.2;

(3) 由指数函数的性质得

2. 解指数方程或不等式

对于形如af (x) =ag (x) (a>0, a≠1) 及af (x) >ag (x) (a>0, a≠1) 等问题, 这类问题往往可以归纳为指数方程或指数不等式, 需要观察底数的范围, 结合指数函数的单调性来解题.

(2) 解不等式ax2-5x>ax+7 (a>0, a≠1) .

分析 (1) 方程可以化为af (x) =ag (x) 的形式, 则底数相等, 指数也相等. (2) 可分为a>1与0<a<1两种情况分类讨论.

解 (1) 原方程可以化为

(2) 若当a>1时, ax2-5x>ax+7,

则x2-5x>x+7,

也即x2-6x-7>0,

得到x<-1或x>7;

若当0<a<1时, ax2-5x>ax+7, 则

综上, 当a>1时, 不等式的解集为

当0<a<1时, 不等式的解集为

8.浅谈高中数学函数的单调性 篇八

关键词：高中数学；函数；单调性；难点；对策

函数的单调性是高中数学中基础的教学内容，其贯穿于整个高中数学教学中。学好函数的单调性才能够支撑学生学习更深层次的高中数学。

因此，提高函数单调性的教学质量是高中数学教师不得不正视的问题。基于此，本文在此浅谈高中数学函数的单调性的学习难点，并提出相应的应对策略，以期能为有关人士提供有益参考。

一、高中数学函数的单调性的学习难点

1.学生没有掌握数形结合的学习方法

数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

2.对定义域的理解较为抽象

定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。

例如，已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

二、高中数学函数的单调性学习难点的应对策略

1.养成学生画图的习惯

首先，教师要针对学生的数学学习方法进行重点突破，也就是要让学生学会数形结合的重要方法，养成看题画图、以形解题的习惯和意识，要培养学生将抽象的条件通过直观的图形表现出来，并以此为根据进行正确的分析。

在函数单调性的教学中，教师就要引导学生制作坐标轴，必须要将函数绘制在坐标系中，将各种限制条件如函数的定义域等等标注出来，再以此为背景进行解题。通过直观的坐标系学生对函数的分析更加透彻，也更容易通过观察得出函数的单调性，并且不容易遗忘定义域的限制，最终得出正确答案。

要养成学生画图的习惯关键就在于教师的引导，教师应该引导学生在读题的同时进行绘制，将题中的条件一一标注出来。通过不断地引导和培养，学生就能够在日后读题的时候养成数形结合的习惯和意识。

2.通过一定的练习提高学生的能力

要提高函数单调性的教学质量，单纯的书面讲解是绝对行不通的，特别是针对函数定义域这种难以理解的抽象知识，必须要通过一定的练习，让学生在练习中发现问题、解决问题和总结问题。

只有在反复练习的过程中，学生才能够逐步理解相关题型的解题技巧，并且对定义域这一类知识有更深的领悟。

教师需要注意的是，学生的练习并不是盲目的，必须要有目的性和针对性，不能将不同的题型混在一起，这样容易让学生思维混乱，进一步阻碍学生的学习。因此，教师必须做好引导工作，要为学生安排好练习的题目，最好是以专题训练的方式对学生的弱点进行集中练习。

另外，教师必须要重视课后总结，也就是要让学生在练习后总结和回顾，而不是一味的反复练习，只有通过不断总结，才可以不断提升，避免出现重复的问题并且对知识体系进行梳理和总结，达到巩固的效果。

总的来说，高中数学中函数的单调性是基础性的教学内容，其对于学生的难点就在于定义域这一类抽象的知识难以把握，而且学生没有掌握数形结合这种正确的学习方法。要提高学生学习函数单调性的效率就必须针对这两个难点，通过引导和练习的方式让学生养成使用数形结合方法的意识和习惯，并且得到解题技巧，在练习和总结中进步。

参考文献：

9.复合函数的单调性的证明 篇九

例

1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)

f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)g(x2)f(x1)f(x2)

f(x)是R上的增函数，g(x)是R上的减函数，且x1x2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)即f(x1)f(x2)0，g(x1)g(x2)0.又f(x)的值域为0,，g(x)的值域为,0，f(x1)0,g(x2)0.F(x1)F(x2)0即F(x1)F(x2)

10.对函数单调性的教学反思 篇十

《函数的单调性》这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高，我是这样安排教学流程的：首先通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。其次，根据其定义进行逻辑推理的严格方法。最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。我的设计理由是：在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

教学重、难点的制定：在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：教学重点：函数的单调性的判断与证明；教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。我是这样突破重难点的——让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点。例题与练习由浅入深，完整，全面。练习的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台。

11.函数单调性教学实录与反思 篇十一

关键词：函数单调性；实录；数学思维

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-049-03

本课教学目标：（1）通过观察函数的图像，直观说出函数的单调性和单调区间；（2）由特殊到一般发现、探究函数的单调性，并会用数学语言描述函数的单调性；（3）通过例题的探究，会模仿例题用函数单调性的定义证明函数的单调性。

教学重点是函数单调性的应用，难点是发现、探究函数单调性的定义，有意识培养学生的数学思维习惯。

一、课堂实录

1、函数单调性概念的生成

师：初中我们学习过一元一次函数和一元二次函数，请同学们作出函数 的图象以及 的图象。

（由学生展示 以及 的列表和图象，略。）

师：对于函数的图 的图像，你观察到什么？ >0）的图象，你又观察到什么？它们的图像有什么共同特征？

生：图像是上升的。

师：能否确切一点，图像是如何上升的？

生：从左向右看，图像是上升的。

师：很好。这是我们从小养成的直观经验，它是我们数学思维的起点，这种直观感觉往往为我们解决数学问题指明了方向，但仅仅有直观描述还不够，还需用更简明的逻辑方式来表述。换句话说，就是用抽象的数学语言描述直观的形，具体到上面的函数图形，这种上升的趋势，你能用变量 、 描述吗？

生： 随 的增大而增大。

师：这位同学的回答不仅看出了图像的变化，还结合了函数概念的本质即自变量 和函数 来讨论。非常好。这是我们初中研究问题的思维方式，经验型思维向逻辑思维过渡，但这种描述还是建立在直观的基础上，就是把这种直观感知用数学的语言来描述。那么，我们是否还能用数学式子来刻画这种函数 随自变量 的变化而变化的关系呢？请同学们观察函数 的列表，自变量 的两个值，与之相对应的函数 的的两个值，你能用数学式子来表示吗？（同学们陷入思考）

生：表1中取两组变量，当 。

生：表1中再取两组变量 ，有 。

生：我们也取了两组值，也有当 。那我们能不能说对任意的有x1、x2，和相应的y1、y2。当 ，都有 。

（师将探寻的目光转向同学，但没有作出回答。同学们就此展开了讨论，得到了肯定的答案。）

师：那也就是说，对与函数 来说，图像是上升的，即 随 的增大而增大；还可以表示为对于函数定义域内的任意两个变量 、 ，当 ，都有 。反过来成立吗？即能不能说对于函数定义域内的任意两个变量当 、 ，当 ，都有 ；也可以说 随 的增大而增大；也可以说函数的图像是上升的？

生：可以，因为这里的 、 是任意的。

师：同学们考虑一下我们刚才从对自变量 取特殊值1、2或2、3或其他两个值时得到的结论推广到一般。反过来，对于任意函数我们能否通过两组特殊值当 。就得到这个函数的图像是上升的呢？

生：（在黑板上画出一个函数的图像，略），在此图像上取这样的两个点，当 时，有 ，而图象是先下降再上升的，这说明这里的任意性不能用特殊值代替。

师：很好。这种由特殊值成立，推广到一般结论，是我们数学中常用的一种思维方法，体现了规律的发现过程。但是这种只有特殊值成立，而一般结论不一定成立。

师：象满足这样的数量关系的数学式子的函数在这个区间上是增函数。这个区间就叫做函数的单调增区间。你能确切的给出函数是增函数的定义吗？

生：对于函数 在其定义域内的某个区间I上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间上是单调增函数，该区间叫该函数的单调增区间。

师：在这里为什么要强调定义域内的某个区间上，而不是整个定义域呢？

生：比如，我们开始做的函数 的图像，在想 时，图像是下降的，函数在 时不是增函数；而当 时，图像是上升的，即函数在 才是增函数。

师：你认为函数在 时是什么函数呢？

生：应该是减函数。两个相对嘛。

师：很好，这位同学运用了类比推理。那你能给减函数下个定义吗？

生：对于函数 在其定义域内的某个区间 上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间 上是单调减函数。

师：很好，非常准确地定义了函数的单调增区间和单调减区间。函数的增减性，我们称为函数的单调性。刚才我们探讨的函数单调性的过程，就是一个严谨的逻辑思维的过程，希望大家能好好体会。

（通过课堂上经历函数单调性概念的生成过程，体验逻辑思维的展开。）

2、函数单调性概念剖析和应用

师：请同学们认真阅读我们刚刚探讨的函数单调性的概念，你认为哪些词语比较关键，请指出来。

生：定义域内的某个区间上，是指特定的区间，说明不一定是整个定义域；任意两个变量 、 而不能用具体数值来代替。

师：回答的很好，函数的单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，是函数的局部性质。尽管是局部性质，也是在一定区间上的本质属性，即刚才说的特定区间的性质，它为我们认识函数带来了方便，也可以推广到对其他事物的认识。在定义域内就是某一事物存在的条件，定义域变化，函数将会发生变化，事物的性质也会发生变化，这就需要具体问题具体分析。还有同学要补充吗？

生：单调区间是定义域的子集。

师：很好，这位同学又结合函数的三要素进行了分析。刚才，我们讨论了函数单调性的概念，用直观感知了单调函数图象的变化，即儿童时代的思维形式，这是我们思维的逻辑起点；在直观描述的基础上，同学们用语言定性地描述了单调函数的变化，即用少年时代的思维方式，已经带有明显的逻辑思维特点；最后我们又用数学表达式定量地刻划了函数的单调性，即我们用严密的逻辑思维方式准确表述了函数单调性，这是典型的数学思维方法，具体说来，就是我们使用了数学思维中的数形结合、集合、对应等逻辑思维方法。而这种思维方法是我们学习数学常用的的方法，我们要逐步适应它，从思想上接受它，并自觉的使用它，而不是让今后的教学内容适应你。

下面我们结合具体例题，体会函数单调性的实际应用。

例1观察函数的图像，写出函数的单调区间。学生自主完成，没有难度。学生之间交流后到黑板上展示。

师：这是应用了直观感知来解决问题，是不是我们学习了高中数学知识，直观感知的思维就可以否定呢，当然不是，直观感知往往会给我们指出问题的方向，有了方向，才有努力的目标。

这里还要注意一个问题，函数的单调性是在某个区间上体现的，同样是单调性相同的两个区间，即本题中的两个单调性相同的区间能合在一起吗？举出例子。

生：不能。在同一个区间上取值时，函数是单调的，当两个值取在不同区间时，就不能满足，所以这两个值没有任意性。

（有些同学有疑惑，同组展开讨论。）

师：例2，用定义证明函数 在( 上是增函数。请同学们讨论一下如何用定义证明函数的单调性。

生：在区间( 任取两个值 、 ，当 时，总有 。

师：请你把你的想法展示给大家。

生：（在黑板上完整地展示过程）在区间（ 上任取两个值 、 ，当 时， , ， ，故 ，即 ，亦即 。所以函数 在 时是增函数。

师：从这里大家可以体会逻辑推理的严谨性，以及用定义证明的形式化方法。数学本身就是形式化的科学，形式化在数学的学习中有很多应用。咱们讨论的函数的单调性的证明就是形式化的应用。观察函数的图象可以直观感知函数的变化趋势，以及确定函数的单调区间，但它不能代替严格的证明。

师：同学们，我们再观察函数 与函数 的整体图像，大家下去思考函数图像具有怎样的性质，这是我们下一节要讨论的内容。下面同学们回顾本节学习内容，并作出小结。

（师生共同总结，略。）

二、教学分析和反思

函数的性态常常可以用图像清晰的表现出来。学习函数单调性时，用简单的函数的图像更容易时学生观察和概括。本节课就是引导学生通过概括“函数单调性”概念，结合一次、二次函数理解函数单调性及其几何意义，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质。这节课内容比较简单，但从简单中让学生理解函数单调性的实质，体验数学的思维方式与方法。课堂中始终贯穿思维方法这条主线，在学习数学知识的同时，和同学们一起数学的思考，数学的概括；学习内容的设置注重知识的结构化和内在一致性，使得知识的学习具有连贯性；课堂组织形式灵活多样，为学生发现、探索新知创造条件。这节课能够获得学生认同，我认为主要有以下方面的原因：

1、精心设计教学内容与组织形式，使学生的课堂学习始终贯穿数学思维方法的探索与体验

教师的课堂组织形式要致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。人们只有通过练习解决问题和努力于发现，方能学会探索方法。一个人越有这方面的实践经验，就越能把学习所得归纳成一种解决问题的习惯，在学习时体会发现、概括的快乐，培养学生学习的兴趣。而这种良好的思考、探索的习惯不仅有利于数学的学习，也有利于培养他们对生活的兴趣和热爱。本节课，不管是概念的教学还是应用概念解决数学问题，都是学生在教师的引导下，单人或小组探索、发现、归纳、总结及应用，通过这种教学的方式，形成学生思考的习惯，培养学生思考的能力和意识。在本节课上，教师教授数学概念的过程的方法：教师通过适当的引导，设置相应的问题，课堂讨论等形式，使学生进入学习的情境，使学生自行推论出函数单调性的概念，并经历由特殊到一般的逻辑推理过程。在运用概念解决问题时，通过教师相应的引导、适当的举例、课堂讨论等形式，让学生自行推论出相关的解题过程，把所学习的数学概念应用于解决数学问题。在教学的过程中，问题的设置是一个关键，是提起学生兴趣把握教学内容逐步推演展开课堂教学内容的钥匙。教师要精心抛锚：课堂初始要精心设计；课程过程中，要根据回答的问题、情景随机应变，让学生根据抛出的问题开展思索、探讨。

2、充分利用学习卷（导学案），注重教学过程的结构化形式和内在一致性

数学课堂的教学要呈现出一定的结构化特征。主要步骤如下：在学习卷的编写中将新授知识与学生的原有知识相联系；本节课就通过简单的一元一次函数、一元二次函数的直观图形和函数单调性对接，从对图形的逐步严密的描绘中概括函数的单调性。通过学生对学习卷的预习明确学生对已有知识的掌握程度以及对新授知识的初步了解，在此基础上，教师提出本节问题，师生共同探究，学生动手操作，共享实验结果；整理实验数据；验证、修改假设；探讨规律；明确尚未解决的问题，为下一个教学内容做铺垫。

上述教学步骤使得学生的知识习得过程具有联贯性。学生可以根据原有的知识，设计实验，逐步推演，获得新知，并成为下一轮学习的基础。

3、关注数学知识系统性，教学活动建构在学生已有认知、思维、情感上

本节课从学生的已有知识出发，师生共同经历了函数单调性的形成过程，了解了函数单调性概念的实质；获得了探讨规律的一般方法；形成了函数单调性的概念及其应用；发展了学生的逻辑思维能力。

教师的课堂组织形式只有建立在学生已有知识的基础上，才能激发学生的求知欲；在此基础上把握学生思维发展的特点，才能致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。课堂上特别关注学生的讨论，鼓励学生发言，肯定学生发言的视角、内容，激发学生的热情和思考的深入在学习中使同学们探索、表现、成功的快乐。

课堂教学在知识学习的过程中，实现师生间、生生间情感的交流，使情绪、情感、知识、思维、活动互相交融，师生共同完成学习活动，始终体现“教师为主导，学生为主体”新课程教学理念。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版［M］．北京：人民教育出版社2009.

[2]普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003.

[3]钱佩玲．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，2008.

[4]〔美〕R•柯朗，H•罗宾．什么是数学—对思想和方法的基本研究［M］．上海：复旦大学出版社，2008.

12.关于复合函数单调性的研究 篇十二

一、复合函数的有关基础知识

综上所述当内外层两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当内外层两个函数的单调性不同时,其复合函数为减函数.即“同增异减”规律.

二、求复合函数单调性的一般步骤

(1)求出复合函数的定义域;

(2)确定构成原复合函数的外层函数y=f(u)和内层函数u=g(x);

(3)求外层函数y=f(u)的单调区间D1,D2,…,Dr;

(4)令内层函数u=g(x)∈Di(i=1,2,…,r),求出x的取值范围Mi;

(6)根据复合函数“同增异减”的规律,得到复合函数在y=f[g(x)]单调子区间的增减性.

三、求复合函数单调区间的常见类型

(一)外层函数和内层函数仅有一种单调性

例1已知函数y=loga(4-ax)在[0,2]上是x的减函数,求a的取值范围.

解设y=logau,u=4-ax.因为a是底数,所以a>0.因此u=4-ax在[0,2]上是减函数.根据复合函数“同增异减”的规律,得y=logau在其定义域内为增函数.因此有a>1,且u=4-ax在[0,2]上恒大于0.解得1<a<2.

(二)外层函数只有一种单调性,而内层函数有两种单调性

例2求函数y=log2(-x2+5x-6)的单调区间.

(三)外层函数有两种单调性,而内层函数只有一种单调性

例3讨论函数y=(log4x)2+2 log4x的单调性.

解显然函数的定义域为(0,∞).

(四)外层函数与内层函数都有两种单调性

例4已知函数g(x)=4-x2,f(x)=x2-2x-3,求y=f(g(x))的单调区间.

在研究复合函数单调性问题上,除了能够准确求出上述所给类型复合函数的单调区间外,还要多做一些含参数的复合函数单调性题型,从正反两个方面,加深对复合函数单调性问题的理解.

摘要：从复合函数的概念入手,归纳出复合函数的单调性原理,并指出求复合函数单调区间的一般步骤,最后通过具体实例总结出有关复合函数单调性的常见题型.

13.必修一《函数的单调性》教学设计 篇十三

必修一《函数的单调性》教学设计

本节课是北师大版必修1,§3《函数的单调性》新授课的微课程教学设计。

课程标准：

通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。

教学目标：

1.理解函数单调性的定义，掌握其图象特征；

2.能够根据函数的图象，读出函数的单调区间；

3.会用定义法证明函数的单调性；

4.能够判断抽象函数的单调性.教学重点：

函数单调性的定义，及单调函数的图象特征。

教学难点：

数形结合的数学思想方法在函数单调性中的应用。

教学过程：

第1个环节：复习函数单调性的定义。

一般地，设函数f(x)的定义域内的一个区间A上：

如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是减函数.给出函数单调性的定义，强调定义中的“任意”二字，指出函数的单调性是一个整体的概念，在给定的区间内的所有的 均要满足单调性的数学表达式。

【设计意图】对函数单调性的定义进行学习，特别是要领会定义中的“任意”二字。

第2个环节：单调函数的图象特征。

给出3个具体的例子，剖析函数单调性的图象特征。

然后给出一个函数的图象，读出单调递增和单调递减区间，将抽象的定义具体化。

在本环节，要重点突出的两个问题：

（1）单调区间区间端点的“开”和“闭”的问题；

因为函数的单调性是一个整体的概念，在区间端点讨论单调性是毫无意义的。但是要注意，如果函数在区间端点处没有定义，则区间端点必须是“开”的，有定义则“可开可闭”。

（2）单调区间不能写成并集的形式。

两个集合的并集相当于是进行集合的运算，结果是一个集合，而显然函数在[0,4]∪[14,24]图象不是一直下降的，所以不能写成并集的形式。

【设计意图】数形结合提升学生对函数单调性的认识，会根据图象读出函数的单调区间。

第3个环节：用定义法证明函数的单调性。

给出一个具体的例题，讲解单调性证明的步骤。

例:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.步骤：

（1）任取定义域内某区间上的两变量x1，x2，设x1<

（2）判断f(x2)– f(x1)的正、负情况；

（3）得出结论.证明：

在R上任取x1，x2，设x1<

△y= f(x2)– f(x1)

=(3x2+2)-(3x1+2)

=3(x2-x1)0

∴ f(x)=3x+2在R上是增函数.强调符号的判断是最重要的一个环节，特别是要将最终的式子化简成因式相乘和相除的形式，然后逐一判断符号。

【设计意图】强调单调性判断或证明的步骤。结合具体的证明步骤学习如何用定义法证明函数的单调性。

第4个环节：抽象函数的单调性的判断。

研究两个问题：

（1）函数y=f(x)与y=f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性。

借助一个函数的图象进行学习，深化理解。

举例：

如：函数y=x2 与y=x2-1具有相同的单调性.（2）函数y=f(x)与y=c f(x)（c为常数）的单调性之间的关系。

举例：

如：函数y=x2与y=-x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相反，（0，+ ∞）单调性相反.如：函数y=x2与y=2x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相同，（0，+ ∞）单调性相同.对这两个问题，只要求借助于具体的函数单调性归纳得出，不要求给出严格的证明。对学生的要求是记住结论，能够使用这两个结论进行简单函数单调性的判断即可。

【设计意图】将许多函数单调性的判断简单化，克服每题从定义出发，进行证明的弊端，从而提升能力。

第5个环节：课堂小结。

1.函数单调性的定义是什么？

2.单调函数的图象特征是什么？

3.函数单调性的判断有哪两种方法？

4.本节课你学习了哪些数学思想方法？

【设计意图】总结回顾本节课学过的知识。

评价设计：

本微课程的设计具有以下特色：

（1）突出学生自主学习能力的提升。

微课程的设计旨在让学生通过自主学习，让学生在课前预习、上课听讲、课后复习等环节得到提升，因此特别注重举例，例子虽然简单，却能激发学生思考。

（2）注重数形结合思想方法的培养。

对函数单调性的学习，定义是抽象的，如果仅从定义出发，学生会“照葫芦画瓢”，而结合图象学习，学生对单调性的认识会上升到一个新的层次。

（3）重视学生的数学学习发展。

14.高一函数单调性的求法和步骤 篇十四

1、导数法

首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

2、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1f(x2)，则此函数为减函数.

3、性质法

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

① f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;

②f(x)与c?f(x)当c>0具有相同的单调性，当c<0具有相反的单调性;

③当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)都是增(减)函数;

④当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数;

4、复合函数同增异减法

对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，令 t=g(x)，则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

拓展资料：

函数的定义：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数单调性的定义：

一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2，

1)、当X1

2)、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。

二.高一数学怎么学

1、积极调整心态。对于高一学生暂时学数学有困难的问题，千万不要产生畏难情绪，因为大部分的高中生都遇到过这种问题。困难是暂时的，只要树立好学习数学的信心，找好学习数学的方法，就一定能学好数学的。高一学生要调整好自己的心态，学会对自己的学习情况进行评估，分数可以直观的反应出自己的一些情况，只有明白自己的问题，才能有效的纠正它。

2、多动笔、勤做题。在高中的数学课堂上，老师的板书还是挺多的。这个时候需要高一学生跟着老师勤动笔，勤做题。因为不动脑跟不上老师的思路，不动笔，就不会知道下一步是什么。多动笔，不仅是需要学生们几段，更重要的是通过解题步骤的书写，理清自己的思路。

3、重视概念的学习。高中数学中有很多概念知识，是数学重要的组成部分，很多时候对于数学概念的了解，不能只局限于字面上，要学会从正面理解概念，还要能举出反例，甚至是从符号，图形角度来理解概念。

15.利用函数的单调性证明不等式 篇十五

一、利用一次函数的单调性证明不等式

例1已知|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证:abc+2>a+b+c.

证明:欲证abc+2>a+b+c, 需证 (bc-1) a+2-b-c>0.视a为主元, 构造函数f (a) = (bc-1) a+2-b-c.因为|b|<1, |c|<1, 所以bc-1<0, 故函数f (a) 在 (-1, 1) 上是减函数.又f (1) =bc-1+2-b-c= (1-b) (1-c) >0, 所以当a∈ (-1, 1) 时, 总有f (a) >0, 故原不等式得证.

二、利用三次函数的单调性证明不等式

例2已知p3+q3=2, 求证:p+q≤2.

证明:设f (x) =x3+q3-2, 则函数f (x) 在R上是增函数, 因为f (2-q) = (2-q) 3+q3-2=6 (1-q) 2≥0, f (p) =p3+q3-2=0, 所以f (2-q) ≥f (p) , 从而2-q≥p, 故原不等式得证.

三、利用分式函数的单调性证明不等式

四、利用指数函数的单调性证明不等式

例4已知a、b、c>0, 且a2+b2=c2, n>2且n∈N*, 求证:an+bn

例5已知a∈R, 求证:a8-a5+a2-a+1>0.

证明: (1) 当a≤0或a=1时, 原不等式显然成立.

(2) 当a>1时, 函数y=ax在R上是增函数, 所以a8>a5, a2>a, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

(3) 当0a5, 1>a, 又a8>0, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

综上, 对一切a∈R, 不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

五、利用三角函数的单调性证明不等式

六、利用“莱克”函数的单调性证明不等式

16.第2讲 函数单调性与最值 篇十六

函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时是一个重要手段，函数最值在处理函数综合问题用途很多. 高考中经常以一道小题直接考查，就是5分，当然，还会在综合题中用到相关知识，那样，分值就更大.

命题特点

结合这几年高考题，函数单调性主要有如下一些命题特点：（1）考查求函数单调性和最值的基本方法. （2）利用函数的单调性求单调区间. （3）利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. （4）函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题. （5）结合具体函数单调性求最值.多以选择填空题形式出现，也有与最值，参数范围等结合在解答题中出现.下面以例题来体现高考特点.

1. 单调性的判断是基础

例1 下列函数中，在[0，+∞]上为增函数的是 （ ）

A. [y=lnx+2] B. [y=-x+1]

C. [y=12x] D. [y=x+1x]

解析 直接利用基本初等函数和复合函数单调性来判断.

答案 A

例2 求函数[y=log12（x2-3x+2）]的单调区间.

解析 令[u=x2-3x+2]，则原函数可以看作[y=log12u]与[u=x2-3x+2]的复合函数.

令[u=x2-3x+2>0]，则[x<1]或[x>2].

∴函数[y=log12（x2-3x+2）]的定义域为（-∞，1）∪（2，+∞）.

又[u=x2-3x+2]的对称轴[x=32]，且开口向上.

∴[u=x2-3x+2]在（-∞，1）上是单调减函数，

在（2，+∞）上是单调增函数.

而[y=logu]在（0，+∞）上是单调减函数，

∴[y=log12（x2-3x+2）]的单调减区间为（2，+∞），

单调增区间为（-∞，1）.

点拨 复合函数单调性必须注意两点：（1）定义域优先；（2）分清内外层函数的结构及各自的单调性. 要熟悉基本初等函数性质，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，还要注意优先考虑定义域.

2. 利用单调性求参数范围

例3 若函数[fx=x2+ax+1x]在[12，+∞]上是增函数，则[a]的取值范围是（ ）

A. [[-1，0]] B. [[-1，+∞）]

C. [[0，3]] D. [[3，+∞）]

解析 通过求导转化为导数非负恒成立，再分离变量求解.

答案 D

例4 已知函数[f（x）=logax （x≥1），-ax2+（2a+1）x-3（x<1），][（a>0]且[a≠1）]，如果对任意[x1≠x2]，都有[（x1-x2）[f（x1）][-f（x2）]>0]成立， 则[a]的取值范围是 .

解析 分段函数的单调性要注意每段单调和端点处比较，即[loga1>-a+（2a+1）-3].

答案 [1

点拨 分段函数是高考重点，另外本题还给出了单调函数的其它表示形式[（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0].导数与单调性结合是高考热点，尤其是和求参数范围结合的题目更是高考“宠儿”，分离参数这一常见方法更应重视.

3. 与不等式结合是常见题型

例5 已知偶函数[f（x）]在区间[[0，+∞）]上单调递增，则满足[f（2x-1）

解析 （1）当[x>1]时.由[f（x）]在[[0，+∞）]上增函数及[f（2x-1）

解得，[x<23]，所以[12

（2）当[x<12]时.由偶函数[f（x）]在[[0，+∞）]上是增函数知，[f（x）]在[（-∞，0）]上是减函数，

所以[f（2x-1）-13].

解得[x>13]，故[13

综上，[x]的范围是[（13，12）∪（12，23）]

答案 [（13，12）∪（12，23）]

点拨 本题将原不等式等价为[|2x-1|<13]，更为方便.函数型不等式通常就是利用单调性去掉函数符号，转化为一般不等式求解.

4. 函数单调性与最值

例6 已知函数[f（x）=x2+2x+ax]，[x∈][1，+∞）.

（1）当[a=12]时，求[f（x）]的最小值；

（2）若对任意[x∈[1，+∞），f（x）>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解析 （1）当[a=12]时，[f（x）=x+12x+2].

设[x1>x2≥1]，则[f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+12x1+12x2]

=[（x1-x2） ·2x1x2-12x1x2].

∵[x1>x2≥1]，

∴[f（x1）>f（x2）]，

∴[f（x）]在[1，+∞）上为增函数.

∴[f（x）≥f（1）=72]，即[f（x）]的最小值为[72].

（2） ∵[f（x）>0]在[x∈[1，+∞）]上恒成立，

即[x2+2x+a>0]在[1，+∞）上恒成立，

∴[a>[-（x2+2x）]max].

∵[t（x）=-（x2+2x）]在[1，+∞）上为减函数，

∴[t（x）max=t（1）=-]3， ∴[a>-]3.

nlc202309032056

∴[f（x1-x2）<0]，即[f（x1）

∴[f（x）]在[R]上为减函数.

点拨 求函数最值通常利用函数单调性求，在处理时必须先判断函数单调性，再确定最值点.函数最值和值域是高中考查重点，利用单调性求最值是重要方法，遇到这类问题，可以先判断一下函数单调性，再直接求其最值.

备考指南

（1）函数单调性的定义与判断是解决单调性的基础，要求熟练掌握基本初等函数的单调性、复合函数单调性判别方法.

（2）重点理解单调性的意义，注意单调函数的等价性，即函数[f（x）]单调增有[f（x1）>f（x2）?x1>x2]，[f（x）]单调减就有[f（x1）>f（x2）?x1

（3）会利用转化与化归思想解决恒成立问题，注意分离变量等常见处理方法.

限时训练

1. 已知函数[f（x）=loga|x|]在（0，+∞）上单调递增， 则 （ ）

A. [f（3）

C. [f（-2）

2. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数是 （ ）

A. [y=x2] B. [y=|x|+1]

C. [y=-lg|x|] D. [y=2|x|]

3. 函数[f（x）=ln（4+3x-x2）]的单调递减区间是 （ ）

A. （-∞， [32]] B. [[32]，+∞）

C. （-1，[32]] D. [[32]，4）

4. 设函数[fx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0，][g（x）=x2?f（x-1）]，则函数[g（x）]的递减区间是 （ ）

A. （-∞，0] B. [0，1）

C. [1，+∞） D. [-1，0]

5. 若函数[f（x）=loga（x+1）（a>0，a≠1）]的定义域和值域都是[0，1]，则[a]等于 （ ）

A. [13] B. [2]

C. [22] D. 2

6. 定义在[R]上的函数[f（x）]在区间（-∞，2）上是增函数，且[f（x+2）]的图象关于[x=0]对称，则 （ ）

A. [f（-1）f（3）]

C. [f（-1）=f（3）] D. [f（0）=f（3）]

7. 设函数[y=f（x）]在（-∞，+∞）上有定义，对于给定的正数[K]，定义函数[fK（x）=f（x），f（x）≤K，K，f（x）>K，]取函数[f（x）=2-|x|]，当[K=12]时，函数[fK（x）]的单调递增区间为 （ ）

A. （-∞，0） B. （0，+∞）

C. （-∞，-1） D. （1，+∞）

8. 已知函数[f（x）]的导函数为[f（x）=4+3cosx，][x∈（-1，1）]，且[f（0）=0]，如果[f（1-a）+f（1-a2）<0]，则实数[a]的取值范围是 （ ）

A. （1，[2]） B. （0，1）

C. （-∞，1）∪（2，+∞） D. （-∞，-2）∪（1，+∞）

9. 已知函数[f（x）=log2x-2log2（x+c）]，[c>0]. 若对任意的[x∈（0，+∞）]，都有[f（x）]，则[c]的取值范围是 （ ）

A. [（0，14]] B. [[14，+∞）]

C. [（0，18]] D. [[18，+∞）]

10. 已知函数[fx=x2-2a+2x+a2，gx=-x2][+2a-2x-a2+8.]设[H1x=maxfx， gx， H2x=][minfx，gx，maxp，q]表示[p，q]中的较大值，[minp，q]表示[p，q]中的较小值，记[H1x]得最小值为[A，][H2x]得最小值为[B]，则 （ ）

A. [a2-2a-16] B. [a2+2a-16]

C. [-16] D. [16]

11. 函数[f（x）=2xx+1]在[1，2]上的最大值和最小值分别是 .

12. 设函数[y=x2-2x，x∈[-2，a]]，若函数的最小值为[g（a）]，则[g（a）]= .

13. 已知[t]为常数，函数[y=|x2-2x-t|]在区间[0，3]上的最大值为2，则[t=] .

14. 已知函数[f（x）=e-x-2，x≤0，2ax-1，x>0，][a]是常数且[a>0]. 对于下列命题：①函数[f（x）]的最小值是-1；②函数[f（x）]在[R]上是单调函数；③若[f（x）>0]在[12，+∞]上恒成立，则[a]的取值范围是[a>]1；④对任意的[x1<0，x2<0]且[x1≠x2]，恒有[f（x1+x22）

15. 已知[f（x）=xx-a（x≠a）].

（1）若[a=-2]，试证[f（x）]在（-∞，-2）上单调递增；

（2）若[a>0]且[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求[a]的取值范围.

16. 已知函数[f（x）]在（-1，1）上有定义，[f12]=-1，当且仅当[0

（1）[f（x）]为奇函数；

（2）[f（x）]在（-1，1）上单调递减.

17. 函数[f（x）=x2+x-14].

（1）若定义域为[0，3]，求[f（x）]的值域；

（2）若[f（x）]的值域为[-12，116]，且定义域为[[a，b]]，求[b-a]的最大值.

18. 定义：已知函数[f（x）]在[[m，n]（m

（1）判断函数[f（x）=x2-2x+2]在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由.

（2）若[f（x）=x2-ax+2]在[[a，a+1]]上具有“DK”性质，求[a]的取值范围.

17.函数单调性说课课件 篇十七

函数单调性说课课件已经为大家准备好啦，老师们，大家可以参考以下教案内容，整理好自己的授课思路哦!

一、教学内容的分析

1.教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础.

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.

2.教学的重点和难点

对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:

首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.

其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.

根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求，本节课的教学重点是函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性;难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标：

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

三、教学方法的选择

1.教学方法

本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.

2.教学手段

教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学.目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;掌握证法，适当延展;归纳小结，提高认识.具体过程如下：

(一)创设情境，引入课题

概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从具体材料——有关奥运会天气的例子出发，而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性，明确本课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.

在课前，我给学生布置了两个任务：

(1) 由于某种原因，北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.

(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上我引导学生观察8月8日的气温变化曲线图，引导学生体会在某些时段温度升高，某些时段温度降低.

然后，我指出生活中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子(如燃油价格等). 随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.

(二)归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.

1.借助图象，直观感知

本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的.单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.

在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：

问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律?

在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大;第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.

而后两个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2.

问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

教学中，我引导学生用自己的语言描述增函数的定义：

如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数.

然后让学生类比描述减函数的定义.至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识.

2.探究规律，理性认识

在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识.

问题1：右图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?

对于问题1，学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.

问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数?

在前边的铺垫下，问题2是形成单调性概念的关键.在教学中，我组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈，评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.

对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为,所以在上为增函数.

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以在上为增函数.

对于这两种错误，我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上，引导学生从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答:

任意取,有,即，所以在为增函数.

这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性;(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明单调性的方法，为后续用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此，学生对函数单调性有了理性的认识.

3.抽象思维，形成概念

本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.

教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.

同时我设计了一组判断题：

判断题：

②若函数满足f(2)

③若函数在和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数.

④因为函数在上都是减函数，所以在上是减函数.

通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数.

从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学.

(三)掌握证法，适当延展

本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展.

例证明函数在上是增函数.

在引入导数后，用定义证明单调性的作用已经有所降低，我选择一个较难的例子，主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有一个比较深刻的认识.

证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤.

1.难点突破

对于函数单调性的证明，由于前边有对函数在上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:

证明：任取,

因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔;另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.

针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数在上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式,提取后即可考虑判断符号.

2.详细板书

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.

五、学习小结

在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.

在方法层面上，首先引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果;同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.

2.布置作业

在布置书面作业的同时，为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.

(1) 证明：函数在上是增函数的充要条件是对任意的，且有.

目的是加深学生对定义的理解，而且这种方法进一步发展同样也可以得到导数法.

(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图.