均值定理不等式练习题

均值定理不等式练习题（精选6篇）

1.均值定理不等式练习题 篇一

均值不等式

一、要点：

明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题

【二元均值不等式】

依据：a2b22ab(a,bR)

ab

2ab2

变式：ab2ab(a,bR)；ab(a,bR)；ab（ab2)

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”

【三元均值不等式】

依据：a3b3c33abc(a,b,cR)变式：abc3abc(a,b,cR)，abc(作用：与二元均值不等式相仿 推广：

x1x2x3xn

n

nnx1x2xn(x1,x2,,xnR)

abc

3)

3(即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)

二、分类练习

Ⅰ、直接运用

1.已知x0,y0，求

4yx

xy

x

3xy



yx的最小值

2.已知x,y同号，求

的最小值

y

41，则

3.已知x,yR，且满足4.已知x,yR，且满足



xy的最大值为，则的最小值为

25.设a,bR且2ab1,S2ab4ab的最大值是()

(A)21(B)

212

(C)21(D)

212

ab

6.若实数a,b满足ab2，则33的最小值是()

(A)18(B)6(C)23(D)243 7.已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值

8.证明：对于任意实数x,y,有x4y4xy(xy)2

Ⅱ、整体代入

1.若x0,y0,且x4y1,求

4x1y的最小值



11x,yR2.若,且2xy1，则的最小值为xy

3.已知x＞0，y＞0，且

4x1x



1y1y

2，求x4y的最小值

4.已知x0，y0，且



9，求xy的最小值

1a

1b

5.已知a0，b0，a2b1，求t6.已知x,yR，且满足



的最小值的最小值为，则

17.已知x,y,z是互不相等的正数且xyz1，求证：(1)(1)(1)

xyz8

Ⅲ、换元

1、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是.2、已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是.3、若正实数x，y满足，则xy 的最大值是。（变式：求2x+y的最小值为______）

Ⅳ、配凑

1、设a＞b＞0，则a

1ab



1aab的最小值是（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

2、设abc0，则2a

1ab



1a(ab)

10ac25c的最小值是（）

（A）2（B）4（C）

（D）

5Ⅴ、取平方、已知m

2、求函数y

2x6，求m的取值范围 52x（12x

52)的最大值

2x1

【对勾函数】

yx

kx

k0

1.若x0,求f(x)x2.若x0,求f(x)x

9x9x的最小值。的最大值.Ⅰ、分子分离

1.已知to,则函数y

t4t

1t

2的最小值为

2.若x0,求f(x)

4x2x9

xx3x1x1的最小值

3.已知x1,求f(x)最小值.4.求y

x7x10

x1x8x1

x22x52

(x≠1)的值域

5.求函数y(x1)的最小值

6.求函数y的最大值

7.求f(x)的最小值

Ⅱ、配凑

1.已知x

54，求函数f(x)4x2

1x3

14x5的最大值

2.求函数yx(x3)的最小值

9x5

3.若x5，求f(x)4x4.若对任意x0，的最小值

xx3x1

a恒成立，则a的取值范围是

2.均值不等式教案2 篇二

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程：

一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么推广：

abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。3a1a2ann≥a1a2an。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析： 例1：求函数y2x223333(x0)的最小值。x解一： y2x311122x2332x2334∴ymin334 xxxxx33312223解二：y2x22x26x当2x即x时 x2xx23 ∴ymin26122331226324 21的最小值。

(ab)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练1 若a,bR且ab,求a由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习1.函数y3x12(x0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

六、教学后记：

3.常用均值不等式及证明证明 篇三

这四种平均数满足HnGn

AnQn

、ana1、a2、R，当且仅当a1a2

an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a

2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b02ab

(4)对实数a,b，有

aa-bba-b

a2b2

2ab0

(5)对非负实数a,b，有

(8)对实数a,b,c，有

a2

b2c2abbcac

abcabc(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则ABAnnAn-1B

n

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0(用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak1是则设

a1,a2,,ak1中最大者，kak1a1a2ak1 sa1a2ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数fx,x1,x2,,xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个点，设fxlnx，f

4.平均值不等式归纳法证明 篇四

湖南省张家界市永定区永定小学覃文周整理

1、设ai(i=1,2,…,n)为正数，求证：（a1+a2+…+an）

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。证明：由1na1a2an…（1）a1a2210得：a1a2a1a2。即当n=2时（1）式成立。2

假设当n=k时（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）

1令（a1+a2+…+ak+ak1）=a，于是有： k11ka1a2ak。则当n=k+1时 a=1111[a1+a2+…+ak+ak1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak1+(k-1）a)] 2k2kk

1(2

2ka1a2ak+12kk1ak1ak1k1)2k1a1a2akak1a aaaaaa

2即 ak1a1a2akak1 k1（a1+a+…+a1k+ak1）ka1a2akak1

即当n=k+1时（1）式成立。

5.均值定理不等式练习题 篇五

建水县第二中学：

贾雪光

 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin(AB)sinC、cosAB2sinC的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如：

1、在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A1212sin2A，a7求△ABC的面积的最大值；

2、已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：

a2bc2bccosA, 2

2b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2c22bc，a2c22ac，b2a22ab在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：a22bc(1cosA),b22ac(1cosC)

c22ab(1cosc)于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；

二、导函数；

三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：

例1：在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A12sin2A，a7求△ABC的面积的最大值。

解析：由已知条件cos2A得A=312sin2A有cos2Asin2A12即cos2A212所以知道2A=

323解，同时由于a2b2c22bccosA、b2c22bc知7b2c22bccos1212 即有：72bcbc也就是有bc7 同时又因为SABC734734bcsinAbcsin312732于是有：SABC即△ABC的面积的最大值是

例2：已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求

2角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

解析：由两向量共线知：2sin2A3cosAsinA3即：1cos2A3sin2A3也就是说

3sin2Acos2A2有辅助角公式可知2sin(2A6)2即有sin(2A6)1解得角A3，又由于：a2b2c22bccosA、b2c22bc知22b2c22bccos即有：42bcbc也就是有bc4 同时又因为SABC43412123

1232bcsinAbcsin34

于是有：SABC 3即△ABC的面积的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。

解析：（1）由MN72解得cosA12所以A3

3A222（2）在△ABC 中abc2bccosA且a3bc2bc22所以有32bc2bccos223bcbc22即有bc3当且仅当bc时取等号，此时有abc所以当

△ABC面积最大时，三角形式正三角形。

6.均值定理不等式练习题 篇六

均值不等式是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不过在行测考试的数学运算中，涉及均值不等式的考察仅仅用于几何平均数和算术平均数，这个知识点一般是结合几何问题和利润问题来考察的。中公教育专家认为大家在应用过程中不需要死记公式，领会下面两句话就可以快速解题了：

(1)两个数的和为定值时，这两个数越接近，它们的乘积越大。(2)两个数的乘积为定值时，这两个数越接近，它们的和越小。

规律中的“两个数”可以替换成“多个数”。比如说当a+b=24的时候。a×b可以取到最大值，此时a×b的最大值为144。a=b=12的时候取到最大值。反过来。当a×b=64时，a+b在a=b=8的时候取到最小值16。

例1.现在有一段长为40米的篱笆，要围成一个矩形菜园，菜园的一边是足够长的墙，请问当矩形的长和宽分别人多少的时候，这个矩形菜园的面积最大?

A 100 B 150 C 1600/9 D 200 答案：D。中公解析：假设矩形的长为a，宽为b，根据题意，有a+2b=40，矩形的面积为a×b，这里要注意不是a=b 的时候a×b取得最大值，而应该把2b看作一个整体，即a=2b时候，a×2b取得最大值，同时a×b也取得了最大值。a=2b=20，所以 a=20，b=10，矩形的最大面积为a×b=200，故答案选择D。