正弦定理教案

正弦定理教案（共15篇）

1.正弦定理教案 篇一

《正弦定理》授课教案

湖南师范大学 数计院 数学一班 李雪

教材：人民教育出版社高中数学必修五第一章第一节

学生：高一年级学生

教学课时：8分钟

一、教材分析：

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，是解三角形重要手段之一，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。在此之前，学生已经学习过了三角形的相关性质，它是后续课程中解三角形的理论依据，因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

1.知识与技能

理解并掌握正弦定理的证明，能初步运用正弦定理解三角形。

2.过程与方法

探索正弦定理的证明过程，由特殊到一般，数学归纳的思想证明结论。灌输数学建模的思想，学会在给定情境中建立数学模型。

3.情感、态度与价值观

通过对公式证明过程的探究与发现，提高学生对数学的兴趣，树立学好数

1学的信心，让学生感受数学公式的整洁对称美和与其数学的实际应用价值。

三、教学重点、难点：

重点：正弦定理的内容及其证明。

难点：正弦定理的探索及证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

四、教学过程 ：

1.探究假设

在直角三角形中，证明过程： abc成立，对其进行证明。sinAsinBsinC

得出结论：abc sinAsinBsinC

探究问题：这个结论是否能推广到一般三角形？若成立，给出理由。若不成立，能否举出反例呢？

2.验证假设

 首先在锐角三角形中进行讨论（板书）

验证过程：

E

过C点作AB边的垂线CD，sinACD

得到：b

sinBCD

a

CDbsinA

asinB b

sinBa

sinA

同理，过A点作BC边的垂线AE，sinCAE

得到：b

sinBAE

c

AEbsinCcsinB b

sinBc

sinC

得出结论：a

sinAb

sinBc

sinC

 再次在钝角三角形中进行讨论

3.得出结论：

正弦定理（laws of sines）: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即：任意三角形中，a

sinAb

sinBc

sinC成立

4.例题详解：

例：AC=, BC=1,B=120o，求角A的度数。

解：由正弦定理可知

代入数据得：

故：

故A=150o或者30o

AC

sin

BBC

sinA

sinA=

15.课堂小结：

 正弦定理abc及其证明 sinAsinBsinC

 正弦定理的简单应用

6.课后思考：

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形的解是唯一的吗？

五、板书设计

2.正弦定理教案 篇二

新课程改革改变了教师的课程资源理念, “课本”已然成为教学的平台和知识的载体, 如何充分利用与开发课程资源, 实现知识的有效融合, 提高课堂教学的有效性成了教师必须直面的一个问题.本文以人教A教材高二上必修5《解三角形》正弦定理的证明为例, 谈点教学体会.

正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法1 考察结论是否适合用于锐角三角形时, 可以发现csin B和bsin C实际上是锐角三角形AB边上的高.这样, 利用高的两个不同表示, 即寻找到证明定理的思路.

若C为锐角 (图1) , 过点A作AD⊥BC于D, 此时有

$\begin{array}{l}sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}‚sin\text{C}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}‚\\ \therefore \text{c}sin\text{B}=\text{b}sin\text{C}\end{array}$

, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

$\begin{array}{l}\text{同}\text{理}\text{可}\text{得}\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\\ \therefore \frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\end{array}$

若C为钝角 (图2) , 过点A作AD⊥BC, 交BC的延长线于D, 此时也有$sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}$, 且$sin\text{C}=sin(180°-\text{C})=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}.$

同样可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

综上可知, 结论成立.

证法2 利用三角形的面积转换.由证法1的图像我们发现, 三角形的高可以转换为边和角的正弦值的积.

先作出三边上的高AD, BE, CF,

$\begin{array}{l}\text{则}\text{A}\text{D}=\text{c}sin\text{B}‚\text{B}\text{E}=\text{a}sin\text{C}‚\text{C}\text{F}=\text{b}sin\text{A}‚\\ \therefore \text{S}{}_{△\text{A}\text{B}\text{C}}=\frac{1}{2}\text{a}\text{b}sin\text{C}=\frac{1}{2}\text{a}\text{c}sin\text{B}=\frac{1}{2}\text{b}\text{c}sin\text{A}.\end{array}$

每项同除以$\frac{1}{2}$abc, 即得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法3 充分挖掘三角形中的等量关系, 可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具, 因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?

在△ABC中, 有$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$.设C为最大角, 过点A作AD⊥BC于D (图3) , 于是$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}$.设$\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$与$\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$的夹角为α, 则

$0=|\overrightarrow{\text{B}\text{A}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|\cdot cos(90°+\text{B})+|\overrightarrow{\text{A}\text{C}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|cos\text{α}‚$

其中, 当∠C为锐角或直角时, α=90°-C;

当∠C为钝角时, α=C-90°.

故可得csinB-bsinC=0, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

同理可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}$.因此得证.

另证 过点A作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{AC}$,

由向量的加法, 可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$

$\begin{array}{l}\text{则}\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})‚\\ \therefore \mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\mathit{j}\cdot \overrightarrow{CB}‚\\ |\mathit{j}||\overrightarrow{AB}|\cos (90°-A)=\\ 0+|\mathit{j}||\overrightarrow{CB}|\cos (90°-C)‚\end{array}$

∴csin A=asin C, 即$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}.$

同理, 过点C作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{BC}$, 可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

从而$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

类似可推出, 当△ABC是钝角三角形时, 以上关系式仍然成立.

总之, 随着新课标课程改革的日渐深入, 作为教学的组织者, 教师应该在日常教学中, 努力挖掘和开发知识的内在联系, 善于引导学生拓展引申, 使已有的课程资源得到充分的开发与利用.培养学生观察问题、发现问题、探究问题、解决问题的能力, 获取更好的教学效果, 提高课堂教学的有效性.

3.正弦定理教案 篇三

一、 解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知两角和任一边,求其他两边和一角;② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角.

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知三边,求三个角;② 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

例1在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,则边c= .

解法一 由正弦定理,得sinB==.又030°=A).

当B=60°时,c=90°,c==

4;而当B=120°时,C=30°,c=

2.

解法二 由余弦定理,得cosA=,即c2-6c+24=0,解得c=2或4.

点评 已知两边及其中一边的对角,解三角形时,需考虑解的个数.

二、 判断三角形的形状

利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地,利用正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可将边的关系转化为角的正弦关系,然后利用三角恒等变换公式进行化简,其中往往要用到三角形内角和定理A+B+C=π;利用余弦定理的公式cosA= ,cosB=,cosC=,可将角的余弦关系转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题.

例2在△ABC中,若=,判断△ABC的形状.

解法一 由正弦定理,得=,即=,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或 2A=180°-2B,即A=B或A+B=90°,所以△ABC为等腰或直角三角形.

解法二 由题设,有=,得=,化简,得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或 a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.

点评 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路:① 化边为角,再进行三角恒等变换,求出三个角之间的关系式;② 化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.两种转化主要是应用正弦定理和余弦定理.

三、 证明三角形中的恒等式

例3在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

证法一 a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2•2sinBcosB+(2RsinB)2•2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=2absinC,

所以原式得证.

证法二 左边=a2•2sinBcosB

+b2•2sinAcosA=a2••+b2••=2ab•=右边,

所以原式得证.

点评 此题所证结论为△ABC的一种边角关系,证明考虑两种途径:一是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;二是把角的关系转化为边的关系,若是正弦形式,则通过正弦定理,若是余弦形式,则通过余弦定理.

四、 解决实际问题

例4某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 n mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,于是我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.

分析 如上图,设舰艇与渔船在B处相遇,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh,∠1,∠2可以求出,而AC已知,BC,AB均可用x表示,故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题,则利用余弦定理建立方程来解决较好.而有了路程后,在已知速度的情况下,时间便很好求了.

解 有AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC=10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,

根据余弦定理,可得AB2=AC2

+BC2-2AC•BCcos120°,得(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°,即36x2-9x2×10=0,解得x1= ,x2=-(舍去).

所以AB=21x=14,BC=9x=6.

则cos∠BAC===0.928 6,所以∠BAC=21°47′.

45°+21°47′=66°47′,小时即40分钟.

答:舰艇应以66°47′的方位角方向航行,靠近渔船需要40分钟.

点评 解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向线顺时针旋转到目标方向线的角,其范围是[0°,360°).设出未知量x,将由两个出发点及一个相遇点构成的三角形的各边、角用含x的式子表示,则可利用余弦定理建立方程求出x.

1. 在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=,解此三角形.

2. 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形状.

3. 在△ABC中,若a2=b(b+c),求证:A=2B.

4. 在△ABC中,已知内角A=,边BC=2.设内角B=x,周长为y.

(1) 求函数y=f(x)的解析式和定义域;

(2) 求y的最大值.

1. b=+1,∠C=60°,∠B=75°或b=-1,∠C=120°,∠B=15°.

2. 法一 根据正弦定理,有2sinB=sinA+sinC,由B=60°,可解得A=60°,C=60°,因此△ABC是正三角形.

法二 根据余弦定理,得2=a2+c2-2accos60°,整理得(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC是正三角形.

3. 法一 因为cosB====,所以cos2B=2cos2B-1=2×-1===.

又因为cosA===,所以cosA=cos2B,而A,B是三角形内角,所以A=2B.

法二 由a2=b(b+c),可得sin2A=sinB(sinB+sinC),

所以sin2A=sin2B+sinBsin(A+B),所以sin(A-B)sin(A+B)=sinBsin(A+B),

所以sin(A-B)=sinB,则A=2B.

4. (1) 由A+B+C=π,A=,B>0,C>0,得0

应用正弦定理,知AC=•sinB=sinx=4sinx,AB=•sinC=4sin-x.

所以y=4sinx+4sin-x+20

(2) 由(1)知y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++2

4.正弦定理优秀教案设计 篇四

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角 正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 和它们的对边 正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 、正弦定理教学设计 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

（五）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如 正弦定理教学设计 ；

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 正弦定理教学设计 。

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：在 正弦定理教学设计 中，已知 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 正弦定理教学设计 求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：在 正弦定理教学设计 中，已知 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ， 正弦定理教学设计 ，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

（七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（ 正弦定理教学设计 ）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

5.正弦定理教案 篇五

一、课题：正弦定理（2）

二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；

2．熟记正弦定理abc2R（R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC

径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。

四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。

五、教学过程：

（一）复习：

1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，abc2R（R为ABC的外接圆的半径）； sinAsinBsinC

1112．三角形面积公式：SABCbcsinAacsinBabsinC． 222 即：

（二）新课讲解：

1．正弦定理的变形形式：

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC； 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c． ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解

3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。

4．例题分析：

例1在ABC中，1 AB2 sinAsinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，因此，选C．

说明：正弦定理可以用于解决ABC中，角与边的相互转化问题。

例2在ABC中，若lgalgclgsinB，且B为锐角，试判断此三角形的形状。解

：由lgalgclgsinB，得：sinB

B450B90，2asinA① 

c2sinC2

将A135CC2sin(135C)。



∴sinCsinCcosC，∴cosC0，故C90，

A45，∴ABC是等腰直角三角形。

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。



例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得



塔的最大仰角为30，求塔高。

D解：如图，由题设条件知：CAB1906030，ABC451453015，

















北 C

∴ACB180BACABC1803015135，又∵AB40米，在ABC中，B



AC40

，sin15sin135

40sin15

30)1)，∴AC

sin13

5在图中，过C作AB的垂线，设垂足E，则沿AB测得塔的最大仰角是CED，∴CED30，在RtABC中，ECACsinBACACsin301)，

在RtDCE中，塔高CDCEtanCED1)tan30



10(3（米）．

3例4如图所示，在等边三角形中，ABa,O为中心，过O的直线交AB于M，交AC

于N，求

1的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O为正三角形ABC的中心，∴AO

设MOA，则

，MAONAO，6A





2，在AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM，

sinMAOsin[()]sin()

M

N

B

在

AOM中，由正弦定理得：ON

sin()

6，1112121222

[sin()sin()](sin)，2222

OMONa66a223∵，∴sin1，33

41118

故当时取得最大值，2OM2ON2a2

2311152

所以，当,or时sin，此时取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、课练：《

七、课堂小结：1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？

2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外

接圆直径联系在一起。

八、作业：

1．在ABC中，已知atanBbtanA，试判断这个三角形的形状；

222

6.《正弦定理和余弦定理》测试卷 篇六

基础达标：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为()

A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定

2．在△ABC

中，若a2,bcA的度数是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，则∠A=()

A.60B.45C.120D.30

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a3，b2，B=45.求A、C及c.06．在ABC中，若B

45，c

bA.7.在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形.8．在ABC中，若a2b2c2bc，求A.能力提升：

AB的取值范围是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．锐角ΔABC中，若C=2B，则

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值为()A.

14B.1

422ABC.D.锐角ΔABC中，若C=2B，则的取值范围是 33AC

11.等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为()

12．在ABC中，已知三边a、b、c满足abcabc3ab，则C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．钝角ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 

sinC2(61)，则∠A=_______.sinB

5abc_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则sinAsinBsinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a，c长为_____.综合探究：

17．已知钝角ABC的三边为：ak,bk2,ck4,求实数k的取值范围.a2b2sin(AB)18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明:.2sinCc

参考答案：

基础达标：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45解法1：由正弦定理得：sinA b22

∴∠A=60或120

bsinC2sin7562当∠A=60时，∠C=75，c； sinB2sin45

bsinC2sin1562当∠A=120时，∠C=15，c.sinB2sin45

解法2：设c=x，由余弦定理bac2accosB 将已知条件代入，整理：xx10 解之：x222262 2

22222)3bca132 当c时，cosA2bc2622(1)22222（从而∠A=60，∠C=75； 2时，同理可求得：∠A=120，∠C=15.2

bc6.∵，sinBsinC当c

csinBsin45∴sinC，b∵0C180，∴C60或C120

∴当C60时，A75； 

当C120时，A15，；

所以A75或A15．

7.由余弦定理的推论得： 

b2c2a287.82161.72134.62

0.5543,cosAA56020；

c2a2b2134.62161.7287.82

 cosBB32053；

 C1800(AB)1800(5602032053)

8.∵bcb2c2a2，0.8398,b2c2a21∴由余弦定理的推论得：cosA ∵0A180，∴A60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由abcabc3ab，得ab2abc3ab 222

a2b2c21，∴由余弦定理的推论得：cosC2ab2

∵0C180，∴C60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。

选项A不能构成三角形； 

22324210，故该三角形为钝角三角形； 选项B中最大角的余弦值为2234

324252

0，故该三角形为直角三角形； 选项C中最大角的余弦值为：243

42526210，故该三角形为锐角三角形.选项D中最大角的余弦值为2458

14.120

1516.4综合探究：

17.∵ABC中边ak,bk2,ck4，∴ak0，且边c最长，∵ABC为钝角三角形

∴当C为钝角时 a2b2c2

0，∴cosC2ab

∴abc0, 即abc

∴k2(k2)2(k4)2, 解得2k6,又由三角形两边之和大于第三边：k(k2)k4,得到k2，故实数k的取值范围：2k6.18.证法一:由正弦定理得： 222222

a2b2sin2Asin2Bcos2Bcos2A c2sin2C2sin2C

=2sin(BA)sin(BA)sinCsin(AB)sin(AB)==.222sinCsinCsinC

222证法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2b2c22bccosA2b1cosA，则22ccc

又由正弦定理得bsinB，csinC

a2b22sinBsinC2sinBcosA1cosA∴ 2csinCsinC

sin(AB)2sinBcosA sinC

sinAcosBsinBcosAsin(AB).sinCsinC

sin(AB)sinAcosBsinBcosA证法三:.sinCsinC

sinAasinBb,，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(AB)acosBbcosA∴，sinCc

又由余弦定理得

a2c2b2b2c2a2absin(AB)sinCc

(a2c2b2)(b2c2a2) 22c

a2b2

7.正弦定理教案 篇七

1 教学实录

1.1 创设情境，提出问题

情境在我国古代就有嫦娥奔月的故事．宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道月亮离我们究竟有多远？早在1671年两个法国天文学家就借助数学上的解三角形原理近似测出了地球和月球之间的距离．解三角形主要用于测量，例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等．（投影图片）

师：许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题，那么你对三角形中的边角知识知多少？

（学生思考、交流、讨论后回答）

生众：……“大角对大边，大边对大角”．

师：这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否从定量的角度研究三角形中的边角关系？

1.2 观察特例，发现猜想

师：我们依直角三角形为例，看边角之间是什么定量关系？

生1：因为,sin C=1，所以

又因为

所以

1.3 数学实验，检验猜想

师：上面结论在任意三角形中还成立吗？（借助几何画板通过拖动点A演示任意三角形中上述各边角关系比值的变化）

a=4.15厘米b=4.90厘米c=5.02厘米

A=49.53°B=63.71°C=66.76°

师：同学们观察后发现了什么结论？

1.4 证明猜想，形成定理

师：猜想我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维，如何通过严格的数学推理，证明这个猜想呢？

（学生先思考几分钟，然后在小组内交流、验证，教师巡视）

生2：因为正弦定理在直角三角形时是成立的，所以我把斜三角形转化为直角三角形处理，即用化“斜”为“直”的策略来处理．

师：想法很好．你上黑板给我们展示一下证明过程好吗？

生2展示：不妨设△ABC为锐角三角形，则过点A作AD⊥BC于D（图3），此时有

所以

csin B=bsin C,

同理过点B作BE⊥AC于E，可得

所以

师：该学生是作边上的高把斜三角形转化为两个直角三角形，利用高相等得到的，如果△ABC是钝角三角形，结论还成立吗？

生3展示：不失一般性，不妨设角C为钝角，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D（图4），根据锐角三角函数的定义，有且

由此，得

同理可得

故有

师：通过证明我们发现，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即这就是本节课我们要sin Asin Bsin C

学习的正弦定理（引出课题）．

师：以上我们通过构造直角三角形的方法，分锐角，直角，钝角3种情况证明了正弦定理，感觉比较麻烦，有没有其他更好的办法证明正弦定理呢？

（学生摇头，从学生眼神中看出没有其它思路）

启发1解三角形处理的是三角形中的边长、角度等度量问题（属于代数范畴），而三角形中的边、角是几何概念．因此，我们必须寻找代数与几何的纽带．自然会想到一种方法是……

生5：老师，我知道是解析法，放在坐标系中研究．

师：太聪明了！解析法就是用代数方法研究几何问题，它是把几何中的基本元素———点，赋予代数含义———坐标，从而使数与几何元素实现了相互转化，因此，任意几何图形的性质可以用坐标法来研究，当然也可以证明正弦定理，有兴趣的同学课后可以证明一下．

启发2我们还学过哪个知识把长度与方向融为一体？

生众：向量．

追问1：真棒！根据向量加减法的三角形法则，对于任意一个三角形，我们可以抽象出来具体的向量等式是什么？

追问2：这3个等式本质是一样的，不妨以为例．此关系式如何转化为数量关系？

生众：作数量积．

追问3：很好！那如何转化？

（学生小组交流、讨论，教师巡视，让学生代表上台展示）

生7展示：在向量两边同时点乘得

即bcos A+acos B=c2.

生8展示：向量等式两边平方，可以得到

师：这两个结论虽然不是正弦定理的结论，但也是解三角形中的重要结论．

启发3：所证变形后得到什么？你会联想到向量的什么知识？

生9：即证

师：在三角形中怎样出现垂直向量？

生众：作高．

追问：如何出现向量积？

师：哪位学生上来证明一下？

生11展示：不妨设∠C为最大角，过B作BD⊥AC于D（图5），因为

所以

同理，过C作可得

所以

师：刚才同学们的证明是假设∠C为锐角或直角时定理是成立的，那么当∠C为钝角时请大家课后再证明一下．

1.5 解读定理，加深理解

师：这个定理在结构上有何特征？

生12：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美、和谐美．

师：正弦定理可以写成几个等式？

生13:3个：

师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？

生14：每个方程含有4个量，知其三求其一．

1.6 数学应用，深化理解

例在△ABC中，已知A=30°，B=135°，a=2，解三角形．

师：一般地，把三角形的3个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．

变式将a=2改成c=2结果如何？

探究通过本例，利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？

生15：已知三角形的任意两个角与一边，可求其他边和角的解三角形问题，其解具有唯一性．

1.7 回顾总结，提炼方法

师：通过本课的学习，同学们有什么新的收获和体会？可以从知识、方法、数学思想等方面来谈．

生16：知识方面我们学习了正弦定理：研究问题的方法是观察→猜想→检验→证明→应用，数学思想是转化与化归、分类讨论、从特殊到一般．

师：这种研究方法是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今后的学习中一定要注意这样的一个过程．

2 教学反思

教学贵在自然、本质，学习意在简单、深刻．课堂是以师生相互交流为载体，以最贴近学生思维“最近发展区”为支点，探究新知的动态生成过程．本节课教师本着“以生为本”的教学理念，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的时间和空间，让学生在学习中体验定理的产生、形成过程，在体验和感悟中培养积极探索、勇于发现的精神，从而使其知识、能力和素养不断得到丰富和提升．

2.1 理解学生，研究学情

要使课堂教学本真、有效，那么就应该以钻研教材、理解学生、研究学情开始．课堂教学的主体是学生，而学生的认知水平、知识经验是有差异的，所以课堂教学如果不深入钻研教材、研究学情、理解学生，就无法做到因材施教、有的放失．正弦定理从发现、证明到应用，每一步都需要大量的思考，必要的运算，各种信息的整合，思维方向的调整，直到抽象概括出定理．课堂上每一个问题的提出，都是学生思维活动的开始，教师只需在思维发展的十字路口，当好引导者，适时点拨、启发、指导，探究活动就能取得实效．如在正弦定理的证明探究中，根据已有知识经验学生能想到构造直角三角形来证明定理，但对向量法和坐标法证明定理学生基本想不到，教师应启发学生如何想到用向量法和坐标法证明定理，怎样用向量法和坐标法证明定理．

2.2 发挥教师的引领作用，让学生真正参与到课堂中来

张建跃博士说过，“要通过恰到好处的提问，提好的问题，引导他们主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的创新精神．”因而在教学中，引领学生在课堂中互动的最基本而有效的策略应该是设置问题，有了问题，学生就有了展示的机会，课堂也就会真正动起来．课堂中问题如何呈现，才能引发学生深度的思维是需要我们深思的问题．本节教学中，教师做了有心的追问者，适时、恰当、有度的追问可引发学生主体内心的冲突，打破主体已有的认知结构的平衡状态，从而唤起学生的思维，激发内驱力，使其真正进入学习活动之中．本节课在设置问题时充分依据“最近发展区”原理，构建问题串，知识链，刺激学生诉求的欲望与冲动，激发学生思维积极主动地、愉悦地投入，使“定理的发现和证明”成为学生自己主动思维的结果．

2.3 重视定理的建构过程，促进学生心智的发展

苏霍姆林斯基说过，“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学．”因此，引导学生在体验中学习，在体验中自主探究、自主发展是学好数学的关键．在整个教学中，教师通过创设情境、设置问题、情感交流等多种途径引导学生经历从具体问题抽象出定理的过程，拉长定理形成的思维过程，让学生经历完整的探究过程，让师生、生生在这个过程中达到和谐共振的境界，使学生知其然，知其所以然．这样设计，一方面还原了数学结论的历史真相，另一方面也激发了学生学习数学的兴趣，重要的是让他们从中体验数学家概括形成定理的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，即学会了知识又启迪了智慧．

参考文献

[1]章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报,2009,(6):19-24,(7):29-31.

[2]巨申文.余弦定理教学中的几点思考[J].中学数学教学参考(上旬),2014,(1-2):31-34.

8.正弦定理教案 篇八

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

9.正弦定理证明 篇九

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

10.正弦定理 教学反思 篇十

教学反思

（二）——关于《正弦定理》这一节课的教学反思

1．本节课虽然在教师的引导下，完成了教学任务，但是一味地为了完成任务而忽略了对学生正确思维的展开和引导.上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，只有从思想上真正转变为以学生的发展为根本，才不会为了进度而将学生强拉进自己事先设计好的轨道.正是教学有法，又无定法.2．问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.本节课通过对课本引例的解决、展开，引导学生在问题解决中发现结论.符合认识问题的思维规律，对激发学生探究问题兴趣是非常有益的.3．正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法.但在具体的推导时，要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力.在教学设计和课堂教学中应充分了解学生、研究学生，备课不仅是备知识，更重要的是备学生.作为教师只有真正树立以学生的发展为本的教学理念，才能尊重学生思维过程的发生、发展，才能从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，才能为学生提供充分的数学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人.

11.正弦定理教案 篇十一

1.教材分析

三角形是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容,三角形知识和几何思维水平都是螺旋上升的。在学生初中学习过解直角三角形知识,高中学习过三角变换知识的基础上,正弦定理探索任意三角形的边长和角度之间的定量联系。之后,随着三角函数图像和性质的继续研究,可以处理三角形中的范围与最值问题。可见,正弦定理承前启后,是对初中三角形和圆的知识的又一次应用,也是坐标法作用的一次体现。其实,利用三角变换知识,可以证明正弦定理和余弦定理是等价的。正弦定理和余弦定理作为三角形边角关系的代数表达,沟通了代数和几何这两大数学分支的联系,给我们带来了极大的计算优势,尽享不作或少作辅助线之便捷。它既是对初中解直角三角形内容的延伸,也是解决测量、航行、几何及工业问题的重要工具,具有广泛的应用价值。正弦定理的实质是揭示了三角形对边和对角正弦的数量关系。正弦定理是解三角形基本的、有力的工具,也是几何计算的基础。

沪教版教材中正弦定理的证明主要有作高法、等面积法和外接圆法,囿于教材编写的顺序,向量方法不可用。

2.学情分析

我所任教班级的大多数学生对数学的兴趣较高,数学基础较好,有一定的推理能力和创新能力。从教育价值角度看,实验归纳和逻辑推理都重要,让学生经历“直观感知、特例猜想、操作确认、思辨论证”的理性认识事物的过程是可能的,也是必须的。正弦定理的学习必须让学生参与结论生成的全过程,加强学生推理论证能力的培养。

[问题提出]

本文拟结合沪教版高一年级第二学期数学教材中《正弦定理(1)》的教学设计,谈如何培养学生的几何思维能力。

[教学设计]

(一)教学目标

1.掌握用两边夹角表示三角形面积的公式,懂得三角形任一边与其对角正弦比值的几何意义,初步运用正弦定理解决一些简单的问题。

2.经历观察、猜想、证明的过程,掌握推导正弦定理的方法。

3.感受几何、三角、代数的多样统一,欣赏正弦定理的对称、美好、和谐,体验分类讨论、数形结合的思想。

(二)重点和难点

教学重点:正弦定理的发现与证明,正弦定理的简单应用。

教学难点:正弦定理的猜想和求证;已知两边和其中一边的对角求其他角时,解的个数的确定。

(三)教学过程

正弦定理教学的流程为:从实际问题懂得引进正弦定理的必要性→抽象概括出解三角形问题内涵及符号表征→猜想三角形边角关系的正弦定理→证明正弦定理→欣赏正弦定理→典型问题求解→反思总结,形成体系。在教学设计前,教师需要关注学生已经知道了什么?还需要知道什么?需要教师提供什么样的帮助?教师准备给学生哪些观点?培养学生哪些几何思维能力?正弦定理的教学始于观察,基于试验,成于逻辑推理,升华于数学审美。

活动1:创设情景,激发兴趣,引入课题

上海市浦东新区的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,测量小组的学生沿湖边依次选取A、B、C三根标杆,测得AB=200m,并用测角仪测得∠BAC=5°,∠BCA=4°,不作辅助线,请你帮他们求出:(1) AC;(2)滴水湖的直径(精确到1m)。测量滴水湖的直径问题,可以引导学生进入一个新天地。

设计意图:通过创设情景,让学生在情景中获取经历和体验,激发学习动机,引起探究的欲望。强调不作辅助线,原有解直角三角形的知识不够用了,自然需要寻找新的工具。

为了研究方便,抽象出数学模型,在ΔABC中,AB=200,∠BAC=5°,∠BCA=4°,求:(1)AC;(2)ΔABC的外接圆的直径2R。

设计意图:一切思维都是从问题开始的。你没办法教人思考,你只能教那些供人思考的东西。问题引领,思维就有方向了。

一般化:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的边与角的三角比有什么关系?

a与A——对应,比过去的BC与∠A的对应更为方便、精确、简便,并且在思想上、时间上或论述的篇幅上都更为经济。

我们把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图:三角形作为平面几何最基本图形,可以放手让学生去抽象概括。在繁杂和简约之间,我们选择简约,作图标量简洁。符号化、形式化,这部分细小的教学内容具有丰富的求简思想。

提问:填写左下表,请你提出三角形任一条边及该边对角三角比关系的一个新结论。(说明:表格中的数据来源于课本70页的例1。)

设计意图:寻找一种能够自然地发现正弦定理的方法是困难的,过度引导和过度放手都不可取。我选择上述有一点测量误差的表格数据,只限于加减乘除运算和角的正弦,从简单到复杂,循序渐进,让学生去体验、去经历、去猜测、去交流,再去验证。学生想知道的不仅仅是已知的标准结果。教师若把猜想的部分隐瞒了,其实是把最有意义、最有启发的东西抽掉了。

活动2:特例引路,大胆猜想,“画板”支撑

提问:我们遇到一般问题时,是怎样处理的?

先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。先特殊、后一般是数学研究,也几乎是所有科学研究的规律,也是公民的重要素养之一。研究数学问题的程序是从简单到复杂。

从直角三角形入手分析,我借助《几何画板》进行动态数学实验(略)。设计意图:通过动态的几何图形演示,眼见为实,心悦诚服。在测量误差的范围内,让学生直观感受、、的不变性,延伸了有效的学习活动;让学生的思维保持积极探究的状态,丰富了学习方式,用较少的时间达到了相信猜想成立的效果。

活动3:言必有据,小心求证,滴水不漏

预案1:作高法

回归初中,从高入手,化“斜”为“直”,“高算”两次,分类讨论直角三角形、锐角三角形和钝角三角形,各个击破。这是学生最容易想到的方法。

预案2:等面积法

提问:如果不用三角形的高,还能表示三角形的面积吗?

在预案1中稍作变化,即得三角形面积公式。传统方法证明也需分类讨论。

在现实生活中,角和距离比较容易直接测量,借助笛卡尔坐标来计算比较方便。把三角形置于平面直角坐标系里去研究,面积公式证明有统一的坐标法(坐标法来源于三角比的坐标定义,不受三角形形状的限制,可作为普遍方法去掌握)。在教学中,教师应特别关注学生去想这个事情了没有。学生想出来更好,想不出来只要经历了、做过了也行。自然生成这一方法,需要复习任意角的概念,需要回忆研究方法的变化——放在平面直角坐标系下研究,选用几何代数化的方法。思维的起点是坐标,借助坐标表示高和面积,是对简洁美的追求。坐标法是一种几何意识,考虑角度不同,统一而灵活。学生想不出来,教师可直接给出坐标法。这是建构这一正弦定理和余弦定理坐标法推导的统一模型。多年教学实践表明,此时的学生们几何知识结构单一,虽然已经学了很多三角知识，但往往受困于三角公式繁多,想不到用坐标法统一证明三角形面积公式,需要教师采用讲授法为主的教学方式。

预案3:外接圆法

圆是最完美的平面图形。把三角形放到它的外接圆内来考察,三角形的边长成了弦长,三角形的内角转化成了圆周角,探究三角形的边角关系成了探索三角形外接圆中弦长与圆周角的关系,不难得出,并且也需分类讨论;揭示了两者比值不仅相等,而且为2R,指出了正弦定理为什么不取这一更简洁形式的原因。

提问:如何命名这一定理?

设计意图:如果学生能真正理解正弦定理及证明方法,就掌握了三角形边角转化的方法,形成了扩充和扩展自己几何、代数、三角知识结构的能力。在这里多花一些教学时间是值得的。

活动4:欣赏定理,运用定理,升华认识

文字语言:三角形中的任意一条边长与对角正弦的比值为常数2R。

符号语言:。

图形语言:略。

有边又有角,要么边化角,要么角化边。边角转换借半径,正弦定理的有用变形如下。

品味三角形各边与其对角的正弦严格对应,上下对称,体现了对称美、和谐美。正弦定理的建构,既是审美的过程,也是塑造美的过程。

设计意图:正弦定理体现了混乱中见有序,复杂中见简洁,多样中见统一的美感。边与角是辩证统一的,让学生感受到三角形边角关系的和谐性、统一性,欣赏正弦定理成了一种享受。

课堂练习:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1).若∠A=45°,∠B=75°,b=8,求a;(2)若BC=12,∠A=60°,∠B=45。,求AC;(3)若a=3,,∠A=60。,求∠B。

由,知:①在已知两角(可知三个角）一边的情况下必选择正弦定理:②在已知两边及一边的对角的情况下,可选择正弦定理,再根据角A的范围或A+B+C=π确定角A;③。

活动5:学生先交流学习心得,教师后传授治学经验

今天我们研究了三角形中一类边角等量关系。

我们是如何研究的?

研究结果有什么用?

还有其他的变式关系吗?

一个定理,两种应用,三种证法。

正弦定理角边齐,角边转换借半径。

两角一边用正弦,两角对边慎处理。

体验:几何法化斜为直,分类作高法——辛苦;解析法事半功倍,统一坐标法——美妙。

设计意图:作为数学教师,课上要时刻关注学生的行为、思想、感情,锤炼学生喜爱的教学语言。亲其师,信其道,这是最重要的。

[自我反思]

今天认识正弦定理的一小步是明天提升几何思维能力的一大步,况且这一小步包含了众多的方法论内涵。“教学有法,而无定法”是由教学方法既有科学性,又有艺术性这一双重特性所决定的。每次教学正弦定理,我都或多或少、或明或暗有新的感悟。本课借用滴水湖问题宣情泄绪,效果较好。面对课堂教学实际,猜测这个正弦定理结论的开放度还不够高。现代教学的本质特征是探究与建构,表现为一系列有效的教学活动,让学生获得理性思维和情感体验。教师最重要的是在教学过程中确立学生的主体地位以及在教学中对学生情感、态度的关注和过程评价。巧妙创设情景,加强与信息技术的融合,关注科学性、思想性、艺术性、实效性,始终是课堂教学的内在要求。

[专家点评]

基于对教材内容的理解和研究,曹东辉老师撰写的教学设计有着比较丰厚的理论支撑,教学结构具有相当强的逻辑关系,教学过程以学生思维为主线,层分缕析、抽丝剥茧,充分体现出了体验与感悟。

三角形是数学学科中的基本图形,对三角形边角关系的研究纵贯初中和高中数学教学,横穿代数几何,既是核心概念知识,也是数学思想方法的重要载体。这一课例以“在高中数学教学中培养学生的几何思维能力”为标题,将教学的关注点聚焦于思维能力的培养,既有“以小见大”的立意,也有“从小到大”的发展。

12.正弦定理的证明 篇十二

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

这样就得到正弦定理了

2

一种是用三角证asinB=bsinA

用面积证

用几何法，画三角形的外接圆

听说能用向量证，咋么证呢?

三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j 与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,

因为AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

3

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证

4

13.正弦定理导学案 篇十三

【使用说明】

1、预习教材P2-P4页，在规定时间完成预习学案

【预习目标】1.明确在直角三角形中边与角的正弦之间的关系，2.弄清楚正弦定理的表达形式，能对表达式做简单的变形.3.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐

.【重点难点】正弦定理的推导过程和定理的应用.一、知识链接

1.在RtABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材导读

1、从直角三角形中边与角的正弦之间的关系可以得到

锐角三角形的证明在钝角三角形中进行证明。

2、思考正弦定理的其他证明方法，可以借助向量来证明吗？

3、从正弦定理的结构形式上看正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？（教材第3页）

4、尝试完成例1和例2。注意：①例1和例2的条件有什么不同；②为什么例2会有两种情况呢？是否已知两边及其一边的对角就有两种情况呢？可能还有哪些情况？（参考教材P8和P9）.asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC，仿照教材第2页

三、预习自测

《点金训练》P2自我评价和知识整合例1；

1.在ABC中，(1)sinA=

012 ,则A=_______(2)cosA=012，则A=_______ 2.在ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.23

3．在ABC中，sinA1

2，sinB

0032，则ABC对应三边的比值为a︰b︰c=4．在ABC中，已知A45,C30,c10，求边a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圆中正弦定理

可以得到哪些边角关系？

14.正弦、余弦定理综合应用 篇十四

正、余弦定理的综合应用

一、知识要点

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．变形公式：（1）a2RsinA，bc

（2）sinAa

2R，sinB，sinC

（3）a:b:c。

3．三角形面积公式：SABC。

（二）1.余弦定理：a2b2c2

。

2.余弦定理的变形：cosA，cosBcosC。

二、基本类型

类型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52，A＝2B，则cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32

则a的值为()A．1B．2C.3234、、三角形的三边分别为a,b,c，且满足(abc)(abc)

3ab，则c边所对的角等于（）

A

45B60C30D150

5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，则角B的值为()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．

类型

二、判定三角形的形状

7、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosBbcosA,则三角形为

8、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosB

acosA,则三角形为

9、若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10、已知在ABC中，sin

Asin2Bsin2CsinBsinC，则ABC是（）

A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边的长，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比数列，试判断△ABC的形状．

三、体验高考题

12、（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C14

(1)求sinC的值；(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

13、（2010辽宁文数）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（1）求A的大小；（2）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.14、（2010安徽文数）ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA1213

。(1)求AB

AC

15.正弦定理和余弦定理练习题 篇十五

一.选择题：

1.在ABC中，a23，b22，B45，则A为（）

A.60或120B.60C.30或150D.30

sinAcosB

2.在C中，若，则B（）

abB.45C.60D.90

A.30

3.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）B.45C.120D.30

A.60|AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523，4.在ABC中，则边|AC|等于（）

A.5B.523C.523D.523

5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角或钝角三角形

6.在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

7.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（）

A.52 B.21

3C.16 D.4

二.填空题：

9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________

10.在ABC中，化简bcosCccosB___________

11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC654::，则cosA___________

12.在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________

三.解答题：

13.已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。

14.在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。

15.已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。

（1）求角C。

（2）求ABC面积的最大值。

四大题

证明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圆半径 sinAsinBsinC

证略

见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例 二 在任一

△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证=

：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

asinB3sin453解一：由正弦定理得：sinA b22∵B=45<90 即b

∴A=60或120

bsinC2sin7562当A=60时C=75 c sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15 c sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 解之：x62 2222622)3bca13622 当c时cosA2bc2622(31)22222（从而A=60

C=75

当c62时同理可求得：A=120

C=15 2例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=ab232由题设：

ab2∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120 22∴C=120 222a2b2ab(ab)2ab(23)2210

即AB=10

111333S△ABC=absinCabsin1202 22222例六 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA 即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

A

B D

C 解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD

1515(x24x)442．如图ABBC CD=33 ACB=30 BCD=75 BDC=45 求AB的长(112)

A

B

C 3 【试题答案】

一.选择题：

1.A

提示：aba3，sinAsinB sinAsinBb

22.B

提示：由题意及正弦定理可得tanB3.C

1提示：由余弦定理及已知可得cosA

24.D 2

提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)

2AC52

32|AC|AC523

5.A

提示：长为6的边所对角最大，设它为

1625361

则cos0

2458

090

6.C

提示：由余弦定理可将原等式化为

b2c2a2a2c2b2a

b

2bc2ac

即2b22a2，ab

7.C

提示：原不等式可变形为cos(AB)0

0AB，B(0，)

从而C(AB)（8.B

2，)

3提示：由题意得cos或2（舍去）三角形的另一边长5232253cos52213 二.填空题：

9.36126，1262提示：absinAsin606，abbb sinAsinBsinBsin452

又ab12，a36126，b12624

10.a

a2b2c2a2c2b2ca

提示：利用余弦定理，得原式b2ab2ac1

11.8提示：由正弦定理得a:b:c654::

设1份为k，则a6k，b5k，c4k

b2c2a21

再由余弦定理得cosA2bc8

12.钝角三角形

提示：由cosAsinB得sin（A、B均为锐角，2A)sinB

A(0，)，B(0，)222

而ysinx在(0，)上是增函数 2AB

即AB2

C(AB)(，)

2三.解答题：

13.解：由正弦定理得：

sinCc623sinAa222

C60或120

当C60时，B180(AC)75 a262sinB31 sinA422

当C120时，B180(AC)15

b

ba2sinBsinA226231 b31，C60，B75

或b31，C120，B15

14.解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x

则有3x7x4x10x360

解得x15

A45，B105，C60，D150

连BD，在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2

BD3a

此时，DC2BD2BC2

BCD是以DC为斜边的直角三角形

CDB30

BDA15030120

在BD中，由正弦定理有：

ABBDsinBDAsinA3a3232a

2225 32a 2

15.解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinB

AB的长为2

(22)2(si2nAsinC)(ab)22sinB

即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB

由正弦定理知a2c2(ab)b

即a2b2c2ab

a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC2ab2ab2

C60

（2）SabsinC

2RsinA2RsinBsin60

232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]

3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2

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