圆的切线方程公式证明

圆的切线方程公式证明（共4篇）

1.圆的切线方程公式证明 篇一

圆的极坐标方程公式

圆的极坐标公式：ρ2=x2+y2，x=ρcosθ,y=ρsinθ tanθ=y/x，(x不为0)

1、如果半径为R的`圆的圆心在直角坐标的x=R,y=0点,即(R,0),也就是极坐标的ρ=R,θ=0,即(R,0)点：那么该圆的极坐标方程为：ρ=2Rcosθ。

2、如果圆心在x=R,y=R,或在极坐标的(√2R,π/4),该圆的极坐标方程为：ρ^2-2Rρ(sinθ+cosθ)+R^2=0。

3、如果圆心在x=0,y=R,该圆的极坐标方程为：ρ=2Rsinθ。

4、圆心在极坐标原点：ρ=R(θ任意)。

极坐标方程：圆

2.圆的切线方程公式证明 篇二

一、“连半径,证垂直”

当直线与圆有明确的公共点时,连接该点和圆心,证明直线垂直于经过这点的半径.

例1如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD = OB,点C在圆上,∠CAB = 30°. 求证:DC是⊙O的切线.

思路要想证明DC是⊙O的切线, 只要我们连接OC,证明∠OCD = 90°即可.

证明:连接OC,BC.

∵AB为⊙O的直径 ,

∴∠ACB = 90°.

∵∠CAB = 30°,

∴ BC =1/ 2AB = OB.

∵BD = OB,

∴BC = BD = OB,

∴∠BOC = ∠BCO,∠BCD = ∠BDC.

∵∠BOC + ∠BCO + ∠BCD + ∠BDC = 180°,

∴∠BCO + ∠BCD = 90°,即∠OCD = 90°.

∴ DC是⊙O的切线.

【评析 】 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论 ,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则直线就不是圆的切线.

二、“作垂直,证半径”

当不能确定直线与圆有公共点时,则作圆心到直线的垂线段,证明圆心到直线的距离等于半径长.

例2如图2, 已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E. 求证:OB与⊙D相切.

思路连接DE,过D作DF⊥OB于点F,证明DE = DF即可. 这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得.

证明:连接DE,过点D作DF⊥OB于点F.

∵ ⊙D与OA相切于点E,DF⊥OB于点F,

∴ ∠DEO = 90°,∠DFO = 90°,

∴ ∠DEO = ∠DFO.

∵ OC平分∠AOB,

∴ ∠EOD = ∠FOD.

∵ OD = OD,

∴ △EOD ≌ △FOD(AAS).

∴ DF = DE.

又 ∵ DF⊥OB,

∴ OB与⊙D相切.

【评析 】 一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径. 同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法,作辅助线时一定要注意表述的正确性.

例3如图3,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC. 求证:CD是⊙O的切线.

思路本题中既有圆的切线是已知条件, 又证明另一条直线是圆的切线. 也就是既要注意运用圆的切线的 性质定理, 又要运用圆的切线的判定定理. 欲证明CD是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90°即可.

证明:连接OD.

∵ OC∥AD,

∴ ∠1 = ∠3,∠2 = ∠4.

∵ OA = OD,

∴ ∠1 = ∠2.

∴ ∠3 = ∠4.

又 ∵ OB = OD,OC = OC,

∴ △OBC ≌ △ODC(SAS).

∴ ∠OBC = ∠ODC.

∵ BC是⊙O的切线,

∴ ∠OBC = 90°.

∴ ∠ODC = 90°.

∴ DC是⊙O的切线.

【评析 】 本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理 ,一定要注意区分这两个定理的题设与结论,注意在什么情况下可以用切线的性质定理,在什么情况下可以用切线的判定定理. 希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识. 本题若作OD⊥CD,就判断出了CD与⊙O相切,这是不对的,这样做相当于还未探究、判断,就已经得出了结论,显然是错误的.

3.两圆的公切线 篇三

（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；

（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．

教学重点：

会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．

教学难点 ：

综合知识的灵活应用和综合能力培养．

教学活动设计

（一）复习基础知识

（1）两圆的公切线概念．

（2）切线的性质，弦切角等有关概念．

（二）公切线在解题中的应用

例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？

观察、度量实验（组织学生进行）

猜想：（学生猜想）∠BAC=90°

证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．

∵OA、OB是⊙O1的切线，

∴OA=OB．

同理OA=OC．

∴ OA=OB=OC．

∴∠BAC=90°．

反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的.公切线是常见的一种作辅助线的方法．

例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．

求证：∠APC＝∠BPD．

分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．

证明：过P点作两圆的公切线MN．

∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，

∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，

即∠APC＝∠BPD．

反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．

拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）

己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．

是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．

答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．

（三）练习

练习1、教材145练习第2题．

练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．

求证：PA・PB=PD・PC．

证明：过点P作两圆的公切线EF

∵ AB是小圆的切线，C为切点

∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A

又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB

∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB

∴PA・PB=PD・PC

说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．

（三）总结

学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面

1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．

2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．

3、常用的辅助线：

（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；

（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．

4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．

（四）作业 教材P151习题中15，B组2．

探究活动

问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．

(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜想∠EAF与∠CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．

(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．

(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．

提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．

4.圆的切线方程公式证明 篇四

罗泥新 学习目标：

1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。

2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法

复习指导

1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？

2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？

3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？

（二）过程与方法：

1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力；

2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（三）情感态度与价值观：

形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程：

一、切线的判定及性质：

1、作图1：过⊙O外一点P作直线，(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)

作图2：若点A为⊙O上的一点，如何过点A作⊙O的切线呢？（请学生上黑板按要求作图）

（设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质）

归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？（设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知

2、课堂检测：

(1)已知⊙O直径为8cm，直线L到圆心O的距离为4 cm，则直线L为。

（2）PA切⊙O于点A,PA=4,OP=5,则⊙O的半径是____（设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想）（3）已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． ①求证：直线AB是⊙O的切线．

②若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长。

（设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说，可以从判定定理入手，旨在体会辅助线的添法（点已知，连半径，识体系）

O与⊙O的位置关系

AP在性质应用时体现辅助线

可以从数量关系证明，也证垂直）和判定方法的灵活应用；从性质入手的计算问题往往与直角三角形、勾股定理相关，让学生体会知识点间的密切联系和转化的思想）

二、当堂训练：

1、如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？

③若OA与⊙D相切于点F，且∠AOB=60º，⊙D上存 在一动点P(不与E、F重合),求∠EPF的度数。

于E，以DE为半径作⊙D，ACD EOB（设计意图：本题在问题①中旨在体会判定方法的灵活应用，当公共点未知时，应该从数量关系角度判定，所以要做垂直，证明距离等于半径（辅助线添加：点未知，做垂直，证半径）；问题②是变式练习，圆的切线相关知识还有切线长定理和三角形内切圆和内心等问题，所以在此为后继学习伏笔；另外对于问题③则是分类讨论思想的体会，让学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题）

2、小结提升：

①有关圆的切线证明和计算常用辅助线的添法有哪些？ ②本节课的学习过程中，渗透了哪些思想方法？

（设计意图：综合概括本节课添加辅助线解决圆的切线问题时的不同方法及体现的数学思想方法，使学生用数学的眼光看待圆的切线问题）

三、作业设计：

1、已知: 在△ABD中，∠BAD= 40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.四、板书设计：

圆的切线判定和性质复习

一、定义

例1

作图1

二、切线判定方法

作图2

例2

三、切线性质