必修5正弦定理课时二

必修5正弦定理课时二（精选6篇）

1.必修5正弦定理课时二 篇一

教学设计示例（第一课时）

一、教学目标

1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；

2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、教学重点正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用；

教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定．

三、教学准备

直尺、投影仪．

四、教学过程

1．设置情境

师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系： 生：RtABC中有abc 22

2acsinA

bcsinB

atanAb

AB90

ab sinAsinB

师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？

生：在直角三角形ABC中，cabc。sinAsinBsinC

师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）．

2．探索研究

（1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），ababcos，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子．

生：如图，在锐角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90A,j与的夹角为90C。

由向量的加法可得



对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到

j

ACCBjAB

9090C)

90A)

asinCcsinA

同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得

cb sinCsinB

∴abc sinAsinBsinC

师：当ABC为钝角三角形时，设A90，如图，过点A作与AC垂直的向量j，则j与的夹角为A90，j与的夹角为90C，同样可证得

abc sinAsinBsinC

师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？

师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三

角形问题？

生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

（2）例题分析

例1在ABC中，已知c10,A45,C30，求b（保留两个有效数字）bc且B180(AC)105 sinBsinC

csinB10sin105∴b19 sinCsin30解：∵

例2在ABC中，已知a4,b42,B45，求A。abasinB1得sinA sinAsinBb2

∵ABC中ab∴A为锐角∴A30 解：由

例3在ABC中，B45,C60,a2(1)，求ABC的面积S。解：首先可证明：SABC

这组结论可作公式使用。

其次求b边 1111ahabsinCbcsinAacsinB。2222



A180(BC)75

∴由正弦定理，basinBsinA2(31)(2)4 2

∴SABC11absinC2(31)4()623 222

3．演练反馈

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinAbsinBB．acosAbcosB

C．asinBbsinAD．acosBbcosA

（2）在ABC中，若a

Acos2bBcos2cCcos2，则ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形

（3）在任一ABC中，求证a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 参考答案：（1）C；（2）D；（3）证：由于正弦定理：令aksinA,BksinB,cksinC代入左边得：左边＝k(sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB)0＝右边

4．总结提炼

（1）三角形常用公式：ABC；S

弦定理以及下节将要学习的余弦定理。111absinCbcsinAcasinB；正222

a2RsinAabc（2）；b2RsinB；2R（外接圆直径）sinAsinBsinCc2RsinC

a:b:csinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

2.必修5正弦定理课时二 篇二

1.三角形的边角关系；2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.3.余弦定理与勾股定理之间的关系.【学习要求】

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理；

2.会运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5 页～第6 页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边.3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.例2 在ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面积S.变式: 在ABC中，已知a=8，c=

41），面积s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（学案）（第1课时）

11.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.x+2=0的两

1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5,求c的长度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教学目标】

1．通过对三角形边角关系的探索, 能证明余弦定理, 了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理.2．了解余弦定理与勾股定理之间的联系.3.能够应用余弦定理解三角形.【重点】: 通过对三角形边角关系的探索, 证明余弦定理, 并能应用它解三角形.【难点】: 余弦定理的证明.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5页～第6页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?(完全确定)

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.证法１（向量法）：见教材.证法２（解析法）：如图,以A点为原点，以ABC的边AB,所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由连点间的距离公式得：BC2(bcosAc)2(bsinA0)2，即

abcosA2bccosAcbsinA

所以 abc2bccosA,同理可证b2a2c22accosB ,c2a2b22abcosC

证法３（三角法）：提示：先分锐角，钝角两种情况。过C作CDAB(或其延长线)于D，则CD=bsinA，然后求出BD,在RtABC中，用勾股定理得

222

BCCDBD,化简即可.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.【审题要津】 由条件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法总结】已知三角形的两边及其夹角可直接用余弦定理求解

例2在ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面积s.【审题要津】根据已知条件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面积用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB

bsinAa

12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.Sabc

absinC【方法总结】(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角时,有时要讨论解的个数问题.变式: 在ABC中，已知a=8，c=4

1），面积S

.解:由正弦定理,得S

acsinB,即B=60,或B120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=84



1284





1



96,∴b,cosA

bca

2bc

222

,A45.C180AB180456075.0000

1.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 显然C最大,由cab2abcosC,得cosC



abc

2ab

222



3437234

1

2,∴C=1200.4.在ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的两

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.由根与系数关系知abab2, ,C120, 又2cosab1,cosC12

222

c=a+b-2abcosC=ab2ab2abcosC=12-4-4×

=10,C



1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5求c的长度.12

解:由SabsinC,得

=

45sinC,所以sinC

,∵C为三角形的内

角，∴C60或C120，当C60时，cab2abcosC45245cos60

21，∴C

00

当C120时，222220

cab2abcosC45245cos120

3.必修5正弦定理课时二 篇三

教学过程

推进新课

1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式 形式一

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+

b2-2abcosC形式二b2c2a2

cosA2bcc2a2b2cosB2caa2

b2c2cosC2ab

师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用

.[合作

探究

2.向量法证明余弦定理

(1)

证明思路分析

师

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢

生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角

师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提

(2)

向量法证明余弦定理过程

如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b

由向量加法的三角形法则，可得

∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC

=

c2-2accosB+a2，即b

2=a2+c2-2ac

cosB

由向量减法的三角形法则，可得BC=AC-AB

1∴BC

BC=(AC-AB)(AC-AB)=AC2-2ACAB+AB

2=AC-2ACABcosA+AB=b2-2bccosA+c2，即a=b+c-

2bccosA

由向量加法的三角形法则,可得AB=AC+CB=AC-BC

∴ABAB=(AC-BC)(AC-BC)=AC2-2ACBC+BC2

=AC2-

2ACBCcosC+BC=b2-2bacosC+a2，即c=a+b-2abcosC

[方法引导

(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则

(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与AB属于同起点向量,则夹角为A；AB与BC是首尾相接,则夹角为角B的补角180

?

B；AC与

BC是

同终点,则夹角

仍是角C[合作探究

师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2

b2a2c2

cosA,cosB,cosC

2bc2ac2ba

师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC

中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变

成可定量计算的公式了．

师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B

通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有

关三角形的问题

(1)已知三边,求三个角

这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形

所产生的判断取舍等问题

接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）

解：

根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=

csinA34sin413

40.656

≈a4141

因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得

C

B=180°-A-C=180°-41°-

【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形解：由余弦定理的推论,得

b2c2a287.82161.72134.62

cosA=≈0.554 3,A

2bc287.8161.7c2a2b2134.62161.7287.82

cosB=≈0.839 8,B

2ca2134.6161.7

C =180°-(A+B)=180°-

[

知识拓展 补充例题：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精确到

分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二

b

2c2a2102627

20.725 解：∵cosA

2bc2106

∴

A

a2b

2c27210262113∵cosC=

2ab2710140

∴

C

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.[

教师精讲

(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出

(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到

1′)

分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两

种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c

b2c

2a23.69624.29722.7302

∵cosA=

2bc23.6964.297

∴

A

∴B=180°-(A+C)=180°-[教师

精讲

通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△

ABC

分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=

acsinB

可以求出 2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A

2∴C1=38.2°,C

2由

87

sinAsin60

7c

,得c1=3,c2

sin60sinC

1∴S△ABC=ac1sinB6或S△ABC=ac2sinB

1022

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacos

B

∴72=c+82-2×8×

cco 整理得c2-8c 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=

ac1sinB6或S△ABC= ac2sinB

10322

[教师精讲]

在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意

综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习1.在△ABC

中

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A(2)已知a=20,bB=29,c=21，求

B(3)已知a=33,c=2,b=150°,求

B(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A

解：(1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A

c2a2b220221229

20.∴

(2)由cosB,得cosBB

2ca2202

1(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b

b2c2a2(2)2(31)2222

(4)由cosA,得cosA.∴

A

2bc222(1)

评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题

效率

2.根据下列条件解三角形（角度精确到(1)a=31,b=42,c(2)a=9,b=10,c

b2c2a2422272312解：(1)由cosA,得cosA≈0.675 5,∴

A

2bc24227c2a2b2312272422由cosB≈-0.044 2,∴

B

2ca23127

∴C=180°-(A+B)=180°-

b2c2a210215292,得cosA

(2)由

2bc2101

5∴

A

c2a2b215292102

由cosB≈0.763 0,2ca2915

∴

B

∴C=180°-(A+B)=180°-

评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结

通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业

课本第8页练习第1（1）、2（1）题

教学反思

１．注重过程与方法，提升探究能力

数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程．本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动．余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。从平面几何法—解析法—向量法，层层递进，环环相扣，让学生从不同角度去认识余弦定理，对求边长的方法也有个深入的了解，有利于学生思维的扩展，充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法．整节课气氛活泼，教学目标得到较好的落实．

2．关注师生间互动，提高课堂效益

大部分学生对于定理教学通常都是依赖老师的讲解,被动接受教材中的证明思路,觉得理所当然,缺乏主动性,积极性.教师如何引导学生发现问题，提出问题就非常重要.教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

3．创造性使用教材，优化教学结构

4.必修5正弦定理课时二 篇四

一、正弦定理

1．正弦定理及其证明

abc． sinAsinBsinC

课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：

当△ABC为锐角三角形时（如图所示），过点A作单位向量i垂直于AB，因为ACABBC，所以·iAC·i(ABBC)·iAB·iBC，bcos(90°A)0acos(90°B)，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

ab． sinAsinB

当△ABC为钝角或直角三角形时也可类似证明．

2．正弦定理常见变形公式 即bsinAasinB，得

bsinAcsinAcsinBasinBasinCbsinC，b，c； sinBsinCsinCsinAsinAsinB

（2）a:b:csinA:sinB:sinC；

（3）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC（R为△ABC外接圆的半径）；（1）a

（4）sinA（5）abc，sinB，sinC； 2R2R2Rabcabc． sinAsinBsinCsinAsinBsinC

注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．

3．正弦定理的运用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．

二、余弦定理

1．余弦定理及表达式

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．

a2b2c22b2c2a22bcco；s Acao；s Bc2a2b22acbo．s C注：余弦定理反映了a，b，c，A，B，C元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．

2．余弦定理的另一种表达形式

b2c2coAs2bc

c2a2coBs2aca2； b2；

用心爱心专心

a2b2c2

coC； s2ab

注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．

3．余弦定理的运用

利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

注：这两类问题在有解时都只有一个解．

4．勾股定理和余弦定理的区别与联系

勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．

5.必修5正弦定理课时二 篇五

【考纲说明】对作文“发展等级”的要求：

①深刻（透过现象深入本质，揭示问题产生的原因，观点具有启发作用）；

②丰富（材料丰富，形象丰满，意境深远）；

③有文采（用词生动，句式灵活，善于运用修辞的手法，文句有意蕴）；

④有创新（见解新颖，材料新鲜，构思新巧，推理想象有独到之处，有个性特征）。

高考作文发展等级序列训练1——深刻

第一课时

教学目标：

1.结合示例，体会何为“深刻”并揣摩写得深刻的基本方法。2.根据要求，尝试使用1、2种方法发掘深刻的道理。高考作文发展等级要求：

深刻：透过现象深入本质，揭示问题产生的原因，观点具有启发作用。教学过程：

一.1.导入：请学生阅读下面2个文段，谈谈哪一个文段揭示的道理更深刻、透彻。

要求：达芬奇14岁那年,拜著名的画家费罗基俄为师。老师对学生的要求很严, 他的教法也很有些特别：达•芬奇來到画室的第一天是学画鸡蛋, 第二天是学画鸡蛋, 第三天仍是这样。无休止地画呀画呀, 枯燥乏味极了, 就这样画了一年。芬奇画腻了, 心里想: “这有什么必要呢？一笔下去画一个圈儿就行了。”费罗基俄老师仿佛一眼就看穿了他的心思, 对他說：“别以为画蛋很容易, 很简单, 要是这样想就错了。在一千只鸡蛋当中从來没有兩只蛋的形状完全相同, 即使是同一个蛋, 只要变换一下角度看它, 形状便立即不同了„„所以, 如果要在画布上准确地把它表现出來, 非要下一番苦功不可。”

听了老师这番教诲, 达•芬奇懂得了老师的苦心,他每天一大早就对着鸡蛋画起來, 直到夜深人静了, 仍然对着鸡蛋画。经过３年的努力, 达•芬奇的技艺大长并最终成为了一代大师。

请结合这个故事，自选角度，谈谈你的理解 参考段落

文段1：世界上没有完全相同的蛋，当你画了一个，再去画另一个时，形态又不同了。即使同一个蛋，从不同的角度去看，其形态也有很大的区别。只有把鸡蛋画好了，才能画出更好的画。达•芬奇的故事，说出了一个真理：画画要做好基本功。这也就是他后来成为欧洲文艺复兴时期卓越画家的原因。

文段2：试想，如果达•芬奇没有扎实的绘画基本功，就不能从不同角度观察到同一对象的细微差别，不能发现创作对象随着光影、色调的变化而变化，不能认识到“世界上是没有完全相同的鸡蛋的”，那他能创作出被誉为世界画坛一绝的《蒙娜丽莎》吗？那“神秘的微笑”决不可能是信手就能抹出来的。干什么事，都要从打基础开始。俗话说得好，万丈高楼平地起，这也是达•芬奇画蛋的故事给予人们的深刻的教育意义所在。

2.简析：在学生发言后，教师总结过渡。

文段1观点局限在画画上面，可以说就事论事，未能结合示例缘事析理，说理不深入、透彻。文段2能够以小见大，由画画拓展到“干什么事，都要从打基础开始”这个道理上。而且采用了假设论证与探究因果的办法，说理更加透彻、深刻。

因此，我们本节课的核心问题就是“揣摩缘事析理的方法，尝试从客观事物中发掘深刻的道理”。

二.(一)观点阐释——什么是深刻呢？ 1.何为“深刻” 所谓“深刻”，首先是具有深透的见解，对人具有启发作用。其次是能够进行深入的分析，揭示问题产生的原因。

也就是说记叙性文章要生动形象，思想深邃；议论性文章要说理透彻，论点独到。高考作文鼓励见解深刻且多种多样，或深入本质，揭示事物内在的因果关系；或说明结果，指出规律，预见发展；或抓住要害，给人启发等等。于形象中见哲理、质朴中见深刻、含蓄中见真义。2.举例分析：

（1）写记叙文，应着眼于对人物思想品质、精神世界和事件的意义、影响进行发掘。例如，《母亲很丑》片段：

慢慢地，我长大了，越长越美，母亲老了，越老越丑，当同学们夸我漂亮时，我就会想到母亲的那半边脸。当村里人夸我美丽时，母亲总是背一直，腰一挺，头也抬得高高的，我知道母亲为我的外貌美而骄傲。母亲认识的字不多，但她坚持伴我夜读，有时我也悄悄地注视着母亲的另一边脸，母亲的眼睛圆又圆，比我的还要明亮，鼻子挺直得很，嘴巴微微地向上翘，我才知道父亲说得很对，我的美是出自母亲。但母亲的确是丑了，因为人们总不会去注意她很美的那一边脸。

（点评：本文着眼于对“母亲”思想品质、精神世界的挖掘，如既写“母亲”“越老越丑”，更挖掘“母亲为我的外貌美而骄傲”的精神世界；既写“母亲”美的意义——“我才知道父亲说得很对，我的美是出自母亲。”更抨击“人们总不会去注意她很美的那一边脸”的狭隘精神世界。）

（2）写议论文，应透过纷繁复杂的事物表象，抓住问题的核心，探讨事物的内在属性。比如湖北高考满分作文《学会历史般的旁观》片段：

历史的高峰回响着一个声音：“再伟大的君王，他的身后也有白骨累累，血汗斑斑。” 跳出爱憎后的我们，会有一双清澈灵动的心眼。环视世间一定会有新的认知，更加公正、更加客观。

以清澈的眼审视自己，对于任何过失，“有则改之，无则加勉”；以灵动的心审视世界，对任何对错，保留一份最真实的了解。

给所有的事物一个旁观的眼神，让历史的车辙辗过额头，留下赞许的痕迹。

（点评：从现实到历史，再从历史到现实，感情色彩怎样影响我们对历史的反思，客观真实与主观感受又有怎样的联系，作者站在历史的高度，为我们作出了深刻和独到的剖析。而这种深刻更借助了形象，这样独到又不失于空泛；写现实硬实，能以自然景物为喻，生动形象；评历史事件，又以素描的方式勾勒人物，通篇融精辟的广义于具体形象的“具象”之中，深得鲁迅先生“形象论证”之妙。）

（二）如何做到深刻呢？

也就是说如何做到“具有深透的见解并能够进行深入的分析，揭示问题产生的原因”。

1.在学生简单发言后要求学生阅读课本71页，“怎样才能从客观事物中发掘出深刻的道理。”明确“以小见大”和“比较鉴别”的方法。

2.简单小结：

以小见大就是从小事情中发掘出大道理。

比较鉴别就是通过比较揭示出事物之间的差别，进而抓住事物的本质。

三.拓展提升

1.阅读课本73页练习五。

（1）要求：1.根据材料提出并简要阐述自己的观点，可以按照作文开头段的方式写作，100字左右。2.反思自己采用了怎样的方法来使道理讲得深刻。

（2）说明：1.上学期第二次月考即使用了该题，可以作为复习提升的例子。

2.可以要求当堂完成，教师收阅。

3.根据课时安排作为下节课的导入或者连堂课的过渡练习。（3）简析：

作文题中两则材料讲了孔子及其弟子的两个故事: 第一则讲的是孔子表扬学生见义勇为后收取贵重酬谢礼品 第二则讲的是孔子批评学生赎回奴隶后不到官府报销。

两个学生一个是救人，一个是赎人，概括起来都是善举；一个学生收取报酬遭到人们非议却得到孔子表扬，一个学生私人掏腰包得到人们夸奖却受到孔子的责备。（比较鉴别）可见孔子是赞成善举得到酬报，不让行善之人蒙受损失的。这里会产生一个疑问：一向倡导儒家道德的圣人为什么这样看重钱财？解答这个疑问正是完成这篇作文的关键之所在（以小见大），即如何看待道德与利益的关系。德与利的关系完全对立吗？这得看谁是最大受益者。个人虽收受了贵重酬劳，但最大受益者却是国家和社会。因为孔子以多数人、社会甚至国家利益为重。（以人为本）（4）范例：

道德旗帜下的沉思

抚卷于案，初对孔子的话语感到不解：义救鲁奴而不报账的学生受责备，同样是救人一命却收下谢礼的学生反得表扬。掩卷沉思，方觉意义深远。(采用比较鉴别来引论)

看问题做事情应以谁为最大受益者为出发点。个人虽然收了贵重酬劳，但最大受益者却是国家和社会，孰大孰小，不言而喻。其实德与利的关系并非完全对立，只是因为在我们的心中高树道德旗帜使我们对一切与之稍有偏差的行为做出错误的判断。（以小见大提出问题并简析）

第二课时

教学目标：

1.评议上节课小作文，深入体会以小见大与比较鉴别的方法。

2.加强对缘事析理技巧的把握，尝试使用1、2种方法将文章写得深刻 高考作文发展等级要求：

深刻：透过现象深入本质，揭示问题产生的原因，观点具有启发作用。课时安排：

1课时，最好用定时练习时间，20分钟讲评与引导，40分钟作文。教学过程：

一.导入：1.展示上次片段小作文中的佳作，结合“以小见大“与”比较鉴别“的方法进行评析。

说明：如果是连堂课，可以使用上面的示例来进行展示分析。或学生当堂展示自己的习作。二.深入学习

（一）下面，我们在上次学习的基础上继续学习如何将文章写得深刻。本节课的核心问题就是：深入把握缘事析理的方法，争取将文章写得深刻一些

（二）要求学生阅读课本72页内容，明确除了“以小见大”外，“由表及里”与“探究因果”也是缘事析理的基本方法。1.学生自读，勾画。

2.教师引导注意方法的概括。举例分析1：

一个事物的出现，一种现象的存在，总是有其必然的原因的，分析已然的原因，是为了更好的认识事物或者现象本身。不是停留在感知事物现象的表象层面上，而是设法探求这种客观现象存在背后的原因，从而有所认识和发现。例如我们学习夏衍的《包身工》，在上个世纪20年代末的上海，对“包身工”这种社会现象有感知的人很多，但有几人能揭示产生“包身工”这种社会现象的原因？

夏衍却能透过现象本身，深入思考，追索造成这种现象的原因。认识到日本资本家大量雇佣包身工来代替普通的自由劳动者，是因为包身工可靠、安全、廉价，认识到这种包身工制度是帝国主义对中国工人的一种最残酷、最野蛮的剥削。正是这一认识，奠定了《包身工》这篇报告文学的社会价值。举例分析2：

例如08年山东卷满分作文《等待也是一种智慧》开篇： 俗话说“心急吃不了热豆腐”，西方谚语也说“不要急着去拿刚打好的宝剑”，可见无论东方还是西方，等待都被认为是一种智慧，不会等待，就会失去命运女神的眷顾。

（点评：作者在一开始就亮出自己的观点“等，也是一种智慧”，显然作者并没有否认积极进取的智慧，却巧妙地提升了“等”的价值，从而使观点具有启发性，为后文透过现象分析本质打下了基础）

三.总结提升

1.缘事析理的四种技巧

2.应试作文应该采用开门见山的方式来彰显自己发掘出的深刻道理。

四.实战演练，要求完整作文。1.阅读下面的材料，按要求作文。

材料1 清晨的公共汽车里，往往是一个让人心情压抑的地方，这里没有对话，没有微笑，只有一张毫无表情的脸。材料2 澳洲的一位媒体记者在中国的一些地方考察了一圈，他说：“清晨，空气多么清新，扫过水的街道湿漉漉的，没有灰尘扬起。太阳已经升上来了，金色的光辉从高楼大厦斜射过来，这是多么美好的事情。人们经过了一夜的酣睡，该精神抖擞才对。可是，如此美妙的清晨，人们的表情为什么像地球末日即将来临般严肃？”

材料3 当今社会人们笑容缺失的现象引起不少人的关注，一位叫流沙的作者以“醉人的笑容你有没有”为题，对这一现象做了一些探讨。

全面理解上述三则材料提供的信息，自定立意，自拟题目，写一篇不少于800字的文章，要求文体特征鲜明，思想内容深刻。

2.阅读下面的材料，按要求作文。(备用)在西伯利亚雪原上有一种动物叫白貂，白貂十分爱惜自己一身纯白、漂亮的毛皮，在任何情况下都不愿意玷污。于是猎人们抓住白貂这个弱点，在它巢穴周围撒上一圈煤粉，这样白貂往往束手就擒了。白貂没有因此改变自己的习性，依然年复一年地守护着自己纯白、漂亮的毛皮。

请根据材料，自选角度，自定立意，自拟题目，写一篇不少于800字的文章，要求文体特征鲜明，思想内容深刻。

第三课时

教学目标： 1.对照示例，引导明确本次作文审题中的问题。

2.复习议论文一般结构，要求修正作文中散乱的问题。课时安排： 1课时 教学过程：

一.通报本次作文的基本情况： 1.表扬： 2.问题：（1）审题不准，没有通过“比较鉴别”的方法明确材料重点。

（2）观点表述不明确或者提出太晚。

（3）较长时间没有作文，对议论文基本架构淡忘，行文比较混乱。观点提出晚，纵横向结构不明。

（4）个别同学文体不明。

二.利用年级统一学案，对本次作文的审题进行分析。（详见学案）

明确：1.写“是什么”不能偷换概念，也就是“为什么微笑缺失”不等于“当今社会人们压力大”，作文不能写成生活现状分析。必须紧扣“微笑缺失”来分层次，分角度。

2.“为什么”引导而出的“怎么样”是重点，即如何面对与改变。三.对应例文分析结构问题

1.就例文1、2来看，均采用了总分式的横向结构，开头1段提出论点，再围绕论点提 出分论并论证。结构清晰。

2.行文中存在的典型问题，错误示例

„„

1我们要学会微笑，学会取下一张严肃与疲惫的面具。

2每日清晨，伴随着世界的宁静„„（材料）可我们不该这样，本有着丰厚资源的我们，应该学会从苦中找乐，给他人一个微笑，给自己一个放下负担的机会。

3如果世界失去了微笑，我们会变得怎样？一个外国记者（材料）。如果我们失去了笑容，争吵会变得更多，心情会变得浮躁与不安，这都不是有利的，多的只是一个黑白世界。（？）

一位读者对于这个问题写了文章《醉人的微笑你有没有》，我们都应该反思自己能否还世界一个微笑。

5社会的压力让学生与上班族只伴随着匆忙的步伐与急切的心情，不给一丝怠慢，所有心思都用到了脚上，哪来力气顾得上笑容，就算有，都应该是挤出来的。

6我们应该放下带着面具的微笑，拥有一张灿烂的笑脸，享受世界的美好，放慢在社会中的脚步，一步一步走，记得带着微笑。分析，问题在哪里？

1段提出了观点，后文就应该是如何取下，即如何学会微笑（可以参考例文2）。但是本文后面是如何论述的呢？2段写为什么要放下；3段反面写失去的结果；且末尾表达“黑白世界”与前后文无关；4段，反思能否还，与1段矛盾了；5段其实是写不能改变；6段又说我们应该放。但没说如何放下。可见，思路未能围绕1段的观点来展开，停留在想到什么写什么的阶段。

反思提升，如何修改：

主要问题是不能紧密联系自己的论点来理清思路，所以：

首先是明确观点，开门见山的提出自己的观点。以此作为下文展开的核心；

其次是根据已经学习的纵横向架构思想，理清分论点，结构清晰了才说得上每段的论 证。

四.修改作文 1.课内修改

根据以上分析，修改自己作文。要求：1.42分及以上的同学在原文修改，主要是重新归纳出论点，拟写各段开头句，建立结构。2.42分以下的同学，主要是重新审题，修订文体，模仿例文，重新写作。

2.课后拓展（备用,也可以作为下一节课）

阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的文章。

在西伯利亚雪原上有一种动物叫白貂，白貂十分爱惜自己的一身纯白、漂亮的羽毛，在任何情况下都不愿玷污。于是猎人们抓住白貂这个弱点，在它的巢穴周围撒上一圈煤粉，这样白貂往往就束手就擒了；白貂没有因此改变自己的习性，依然年复一年的守护着自己的纯白、漂亮的羽毛。

要求全面理解材料，但可以选择一个侧面，一个角度构思作文。自主确定立意，确定问题；不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。

作为拓展练习，要求写出开头引论，论点，全文结构段，再详细写出一个段落。

指导与分析 一.解读材料

材料中涉及到两个角度：白貂和猎人。但这两个角度有明显的主次之分，开头部分写“白貂十分爱惜自己的一身纯白、漂亮的羽毛，在任何情况下都不愿玷污。”结尾依然强调，即使束手就擒，“白貂没有因此改变自己的习性，依然年复一年的守护着自己的纯白、漂亮的羽毛。”可见，重点要强调的是白貂，而非猎人，因为写到猎人的只有“抓住白貂这个弱点”这一点内容。所以，这个材料的审题立意的角度只能扣住“白貂”，从正反两方面去考虑，可以立意为，“当我们面临困境威胁甚至生死考验的时候，应如何坚守”或“当我们无路可走，固守只会带来灾难的时候，应当学会灵活的变通”后一种可以看作是反向立意，但不是材料的表意重点。二.立意分析

（一）正确片断一

守护自我

也许有人会说，白貂是一种愚笨的动物，分不清羽毛和生命孰重孰轻，然而，我要说，白貂是一种面对死亡的威胁，仍旧坚守自我的美丽精灵，纯白漂亮的羽毛，对他而言，绝非是一种简单的外在的美丽，而更是一种内心纯洁无瑕的象征。

守护自我，白貂成为西伯利亚雪原的美丽天使。守护自我，苏武成为茫茫北海上一座不朽的丰碑，矗立千年，激励万代。„„

守护自我不是简单的坚持自己的个性，执行自己的人生准则。守护自我需要的是一种面对困难挫折甚至死亡时的一种对自己人生信仰的坚守和执著。守护自我，让你忘记黑夜的迷茫和恐惧，勇敢地等待黎明。守护自我，让你战胜暴雨狂风的侵袭，自信地去迎接那片风和日丽。守护自我，方能演绎生命的精彩。

分析：这个片断从白貂的角度抓住白貂“面对死亡的威胁，仍旧坚守自我，纯白漂亮的羽毛，对他而言，绝非是一种简单的外在的美丽，而更是一种内心纯洁无瑕的象征。”从而立意为“守护自我需要的是一种面对困难挫折甚至死亡时的一种对自己人生信仰的坚守和执著。”非常切合题意。正确片断二

当我们无路可走的时候 百万年前，沧海桑田的巨变使第一批猿人从树上来到地上，如果他们固守枝头，恐怕我们仍是野兽一族；两百年前，新诞生的美利坚没有固守人类几千年“立国则必有君”的传统，确立总统制，开后世民主政治的先河；三十年前，偌大的中国没有固守计划经济的僵化体制毅然改革开放，巨龙又腾起在东方。坚持固然可贵，但灵活的变通却能使航船避开前方的礁石。当我们无路可走的时候，应该懂得固守已然成灾，灵活变通另寻一条新路，才会发现世界别样的精彩。

分析：这段文字没有从材料入手引出观点，但观点与材料非常吻合，“当我们无路可走的时候，应该懂得固守已然成灾，灵活变通另寻一条新路，才会发现世界别样的精彩。”属于反向立意，也属于切合题意。但在写作时最好在后文适当联系材料。正确片断三

以变为生

最可悲，白貂嗜洁如命，一年又一年守护着纯白的羽毛却不懂得改变习性，最终难以脱逃被猎人捉住的下场。

人要想生存，必须懂得改变。对那些华而不实，于身无益的东西就要果断舍弃。舍弃才能发展。

改则通，通则顺，顺则生。于国如此，于身亦如此。

耳顺之年的倪萍，用自身的经历为我们阐释了变的真谛。在荧屏上已达登峰造极的她没 有被名缰利锁所缚，毅然由主持行业转向演艺圈。她在变，变得坚强，放弃了那周身“洁白”呈现给观众的是一个又一个性格鲜明的形象。

成龙，这位华语影坛的领军人物，在以往电影中以搞笑，不拘一格而红透全球，而如今，这种风格再难提起人们的兴致了。改，于是，成龙一改束缚自己的风格特色，不断尝试新的技法，于是“神话”里显现了一位严肃忠贞的“蒙毅”大将军。

不论是倪萍还是成龙，他们都在向世人阐述这样一个通理；固守过去只能走向死亡，只有不断改革，才能使自己不断获得进步。分析：文中的观点“要懂得变通”“ 固守过去只能走向死亡，只有不断改革，才能使自己不断获得进步。”看似扣题很紧，但在实际论述的过程中却没有按照材料作文去写（好像是按照话题作文去写了），因为它只强调了“变通”，却丢了材料中的前提“当我们面临困境威胁甚至生死考验的时候”或“当我们无路可走，固守只会带来灾难的时候”，况且两个论据与材料并不完全一致，因此这样的立意只能算作是符合题意，而不能是切合题意。

（二）错误分析

材料作文虽然要求“可以选择一个侧面，一个角度构思作文”，但同时也要求“不要脱离材料的含意作文”，要想符合材料的含意，必须关照材料的整体，抓住材料的重点、结局，由果溯因，挖掘材料的内涵。

如果只是抓住材料的只言片语不放，或只是抓住一些表象不作深入的分析，跑题也是很正常的。以下几个片断基本上都属于“脱离材料含意”的立意，可以看作是“基本符合题意”或“不符合题意”，这样的文章在高考作文中只能在三、四类打分，按我们平时的要求，等于是跑题了。

错误片断一

改变 创新

白貂不试图改变它们的习性，恐怕会有亡族灭种的灾难，试想一下，我们人类不学会改变，不也会有同样的遭遇吗？ 世界不变的惟有改变，如一味坚守自己某种思想观念或某种做法，而不懂得去创新，去创造，将会被淘汰。（例，清闭关锁国走向没落，„„日本明治维新开创一片新的天地，„„所以说，创新是一个国家不断向前发展的不竭动力）

分析：立意为“改变”还算是从材料出发，但立意为“创新”则是在材料的基础上随意延伸了，在自己任意想象的基础上立意，跑题是必然的。错误片断二

爱美也要讲究适度

真是不可思议，人们常常说这样一句话，爱美之心人皆有之，让我想不到的是，原来动物比人类还疯狂，为了美丽居然连生命都舍弃了，真是佩服，什么，你不信？人们常说生命诚可贵，你说它们怎么就不懂这个理呢？更可恨的是白貂的固执，执迷不悟，你知道动物界怎么说白貂啊，说它们是傻帽，美什么美呀，再美也得有个度啊，决定要把他们开除出动物籍了。

分析：羽毛仅仅代表的就是一种美吗？往深处挖掘应是一种节操，气节，品质，精神。错误片段三

走出弱点的怪圈

万物皆有弱点，但当弱点成为你成功的制约，当弱点成为你困扰的怪圈时，正视弱点，挣脱怪圈，便是成功的起点——题记

白貂过于守护自己的纯白，漂亮的羽毛使它落入猎人煤粉圈套的葬身之地，然而这是猎人技艺高超吗？恐怕不是，正是白貂落入了守护弱点的怪圈，偏于优势，而将弱点置之一旁，正视弱点是必要的。

分析：洁白的羽毛并不是他的“弱点”啊！错误片断四

不放弃追求

白貂正因为自己追求的梦想才没有改变自己的习性，这样虽然是白貂的处境更加危险，但也改变不了它执著追梦的心，人类这样的例子比比皆是。分析：洁白的羽毛是他本身固有的东西，就像节操、气节是它自身所拥有的一样，而“追求”是本身不具备时要积极努力去求取，去获得的，因此把“守护节操”说成“是不放弃追求”不恰当。

分析：本文从猎人的角度立意，没有抓住材料的重点，错误片断五

善于发现

善于发现的猎人看到并抓住了白貂的这个弱点，逮住了白貂，在我们的实践中存在着许多可发现之处，也存在着善于发现的猎人，当我们在面临问题时，要善于发现。分析：随意延伸，造成跑题。

（三）优秀例文展示1

守护那一种高洁

为白貂的行为感动。

为了守护自己纯白的羽毛，为了使它们不受玷污，白貂宁可被擒，这是一种多么高洁的品格。我为白貂感动并为之喝彩。

与白貂一样，在滚滚的历史长河中，又有多少仁人志士守护了自己的一份高洁，从而让五千年的历史长河泛起美的浪花？

忘不了他，屈原，这位伟大的爱国诗人。在那个黄钟毁弃，瓦釜雷鸣的时代，在那个谗人高张，贤士无名的社会，屈子守护住心中那份高洁，“举世混浊而我独清，众人皆醉唯我独醒”。他不愿自己受到不正之风的玷污，他不会“随其流而扬其波”。他坚信他的“香草美人”，他忠爱着生他养他的楚国。可是，楚国污浊的空气令他窒息，他要守护自己的高洁，于是，汨罗江边，他吟诵完《怀沙》，遂自沉汨罗。汨罗的江水啊，你的体内融入 了一位高洁情操的三闾大夫，历经千年洗涤也不会失色。

忘不了他，陶潜，这位寄情山水的田园诗人。在那个人人渴求出仕的年代，在那个官场上黑云盖日的社会，陶潜守护住了心中那一份高洁。“舟遥遥以轻扬，风飘飘而吹衣”他站在小舟上，按奈不住归隐的喜悦。他不肯为五斗米折腰向乡里小儿，他不肯同流合污。陶渊明在菊花遍野的南山下守护了自己的高洁，那是一种不与官员同流合污的高洁。南山下的菊花啊，有这样一位高洁的隐士与你们同风雨，共明月，你们定会开得更加灿烂呢！历史的长河依旧翻滚，在夕阳的照耀下，泛着带着金色的波纹。你是在赞颂这些守护住自己高洁品性的文人吗？你是不是以他们为自己的骄傲，为中华民族的骄傲？是，是的，我听见了你的回答。

对了，还有很多这样的人。文天祥“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的高尚气节；朱自清不接受美国救济粮的高尚气节„„

中华民族的文人墨客、平民百姓都能够守护自己的那种高洁。正是如此，我们的民族精神、社会责任感才会永不磨灭。

守护那一种高洁，让历史的长河更加美丽，让这些高洁之花芬芳无限，点缀神州！优秀例文展示2

维持纯白

西伯利亚高原上的白貂，即使被猎人抓住，付出生命的代价，也要维持自己的纯白，属于高山雪原的洁净。

为什么，一个如此弱小的生灵宁死也不愿受玷污？是为了那外在的美观吗？是为了生命的尊严吗？还是为了„„可是，这值得吗？

吟咏着“与天地兮同寿，与日月兮争光”的三闾大夫坚定的说着值得。纵然他的头发披散，形容枯槁，他的眼神中分明流露着日月的光芒。纵然被贬流放，命运多舛，依然心系着多艰的百姓，依然要上下求索。宁可葬乎江鱼腹中，也不愿见楚国的上空飘着秦国的旗，不愿听楚国的都城响着秦地的歌。纵然醒着有醒的苦楚寂寥凄戚哀伤，也要保持清醒，纵然举世混浊，也要保持纯洁，因为不能以身之察察受物之污垢，不能以浩浩之白蒙世之污浊。于是汨罗的江心开出一朵纯白的莲花，可远观不可亵玩，出淤泥却不被玷染。当龙舟轻滑，粽米飘香时，你读懂了几千年前那个关于气节的传说了吗？当然值得，因为那是对生命尊严的捍卫。

是谁诵着“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”而被历史铭记。是谁咏着“不指南方不肯休”而被人们推崇。他也曾畏惧过，九死一生谁能不胆颤心惊；他也曾感伤过身世浮沉雨打萍；他也曾徘徊过惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。可是他没有放弃过，千方百计地要挣脱敌人的束缚，多次逃亡；可是他没有低过头，元世祖亲自劝降又怎样，我的生命早已属于那个破败的王朝，即使死又怎样，我的热血也要溅在故国的旗帜上，我的灵魂也要回归故国的热土。既然选择了留名史册还畏惧什么，感伤什么，徘徊什么。拿去吧，我的生命！但请留下我的纯白，我的诗歌，我的尊严，我的豪情。

当再次翻开历史，翻开《指南录》时，你读懂了那首关于名节的诗了吗？句句深沉，叩响着民族尊严坚守的赞歌。

所以，即使付出生命，也要挥洒热血，如西伯利亚雪原的白貂，如屈平，如文天祥，维持那纯白的象征。

优秀例文展示3

宁为玉碎

古人云：“宁为玉碎，不为瓦全。”西伯利亚雪原上一白貂为了守护自己洁白的羽毛，因不堪煤粉的浊染，而甘心束手就擒，正是这种精神的一种极生动的写照。固然，世上难免会有一些人对此嗤之以鼻，以为白貂因小失大，得之太少，失之太多，有什么比生命更可贵的呢？ 更何况有壁虎弃尾，有海星弃腑，更有韩信的甘受胯下之辱以求有所作为，刘邦的“大行不顾细谨，大礼不辞小让”而不惜耍无赖反复无常。小到动物界的榜样，大至人世间的英豪，有多少为图将来甚至置气节尊严而毫不顾惜，而何况是你白貂那身脏尚可以“洗洗干净”的羽毛呢？

纯白诚可贵，生命价更高，皮之不存，毛将焉附？愚哉，白貂！

然而，我却于此种观点不敢苟同。正所谓，三军可以夺帅，匹夫不可以夺志。我认为，人生天地间，肉体的存在，固然是活着的证据，而精神的坚守，才是永恒的前提。臧克家曾说过：“有的人活着，他已经死了，有的人死了。他还活着。”历览先贤志士，有多少人贫贱不移，威武不屈，富贵不淫。坚守节操，万世留名!三闾大夫屈原，于汨罗江畔在生与死之间徘徊的时候，渔夫以“哺糟啜糲”“随流扬波”劝他寄身人世，莫弃人生，但屈原说：“人谁能以身之察察而蒙世俗之温蠖乎？”怀瑾握瑜，不改高洁，投身汨罗，以死明志。

隐逸之宗陶渊明，家贫无以为业，投身仕途，以求升斗之资来事父母、蓄妻子，然当小吏告之以整衣冠拜督邮时，他昂然曰：我不为五斗米折腰以事乡间小吏！”挂冠封印，归隐田园。

持节汉使苏武，出使匈奴，遭逢兵变，身陷敌手，备受凌辱。当李陵劝之以权宜之计时，苏武斥之以数典忘祖，不忠不孝，宁弃性命，不改气节，北海牧羊，狐死首丘。

南宋遗臣文天祥，领兵抗元，以身家性命为汉民族的存亡作最后一战，然不幸被俘，当贼虏诱之以高官厚禄时，他做诗说：“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”慷慨赴义，青史留名。

民主斗士朱自清，为民生而呐喊，为民族而奋斗，举家食粥而不能得时候，宁死不吃美国的救济粮，以生命的消逝彰显了民族精神的伟大！

还不够么？

我承认生命的可贵，我也渴望人生有所成就，但我永远无法容忍的便是人格的辱没，品德的沦丧，气节的缺失，操守的无行！我永远牢记我的人生座右铭——

6.必修5正弦定理课时二 篇六

5．三角形内角和定理（第1课时）

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。

活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．

二、教学任务分析

上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。

4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结

第一环节：情境引入

活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果

（1）

（2）

（3）

（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的：

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明． 教学效果：

说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。

第二环节：探索新知 活动内容：

① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理．

② 看哪个同学想的方法最多？

B C

B C

D

A D A E

E 方法一：过A点作DE∥BC

∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。教学效果：

添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．

第三环节：反馈练习活动内容：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏． 教学效果：

学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。

第四环节：课堂小结 活动内容：

① 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ ② 辅助线的作法技巧.③ 三角形内角和定理的简单应用.活动目的：

复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度． 教学效果：

学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能 熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.课后练习：课本第239页随堂练习；第241页习题6.6第1，2，3题

四、教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：