高等代数考研试题

高等代数考研试题（精选15篇）

1.高等代数考研试题 篇一

湖南大学2000年高等代数真题

1． 设a为实数，试证：多项式xnaxn1a2xn2...an1xan至少

有一个实根（重根以一个计算）。问此多项式何时无实根？何时有重根？

a1

2． xx...xxa2x...x

xa3...x 计算行列式x

.........xxx...an

3． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：V中至少有一个

向量不属于V1,V2,...,Vs中任何一个。

4． 设AE,，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，,是的2转置，试证明：（1）AA的充分必要条件是,1；

（2）当,1时，A是奇异矩阵。

5.令S是R上向量空间V的一些线性变换作成的集合，V的一个子空间W如果在S中每一线性变换下不变，那么就说W是S的一个不变子空间。设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可换，试证明：或者是零变换，或者是可逆变换。

6.设fXAX，gXBX,是正定二次型，其中

A(aij)bij)cij)nn,B(nn，令cijaijbij，对于阵C(nn，是 XCX,也是正定的。

em为n维欧式空间V的一组便准正交基，证明：对于任意V，7.设e1,e2,...,以下不等式成立

i1(,e)im22。,8.设A是s*n实矩阵，In是n阶单位阵，n是任一正整数A是A的转置求证：

r(InAA,)r(IsAA,)ns，其中，r（A）为A的秩。

2.高等代数考研试题 篇二

1. 传统高等代数教学中存在的问题

高等代数是数学抽象性较强的一门基础课,它是几何的抽象化,有概念多、抽象程度高、逻辑推理要求严密等特点.高等代数精品课程建设中需突出解决的问题,具体有以下六个方面:

(1)教学内容需要更新.高等代数是初等数学、高等数学和现代数学相衔接的一门课程,在高等代数课程教学之中强调与中学数学教学密切相关的教学内容,渗透数学思想方法和教育学基本思想是至关的重要.同时结合《高等代数》课程自身特点,进一步添加与其后继课程《近世代数》、《计算方法》和其他数学课程或其他学科有相互联系、相互渗透的教学内容,也是迫切需要的.

(2)教学方法需要变革.在《高等代数》课程教学中应注重使用引入图表法、几何直观法和实例法等启发式教学方法,在注重训练学生严密逻辑推理能力和抽象思维能力的同时,也注重解释每一个抽象概念如何从实际问题中得到.教学手段也应该适当地配合教学内容和教学方法,以提高教学效果为目的.

(3)实践教学有待全面启动.《高等代数》课程既体现对经典数学的继承,具有高度抽象性,又蕴含近代物理、计算机及信息技术等现代科学背景,具有重要的应用性.《高等代数》课程这一特质决定了应该突破传统的以理论教学为主的教学模式,在教学过程中适当添加相关数学实验内容,启动实践教学.

(4)教学手段需要丰富.充分利用现代化教学手段,建设《高等代数》网络课程和辅助双语教学课程,提高网络课程的利用率,使学生能够通过多渠道、多角度学习本课程.

(5)学习评价方式亟待改革.传统的期末考试往往是一张考卷定成绩,这是不科学的,没有考虑到学生的日常课堂表现,出勤状况,作业完成情况及期中考试成绩等诸因素.因此,成绩评定方法的改进是必要的.

(6)教学团队整体力量亟待发挥.目前教师教学任务普遍繁重,还缺乏进一步深造和短期培训的机会.随着教学环境的改善和教学研究经费的提高,应有计划、分阶段地加强教师培训,提高教师的教研科研能力.

2. 改革与创新

(1)更新教学理念,完善教学内容.依据大学本科数学专业的人才培养目标,结合高等代数的课程特点,我们认为,建设高等代数课程需树立新的教学理念,即增长知识、开阔视野、领会思想、感悟魅力.

(2)改革教学方法,激发创新意识.在以理论课教学为主的课堂教学中,除分析推理教学法以外,引入图表教学法、几何直观教学法和实例教学法等,使得高度抽象的内容让学生学起来感到更加生动形象,易于理解.将传统课堂教学方式与引导研究性学习结合起来,调动学生的主动性和积极性,加深学生对课程基本理论的理解和掌握,促进理论的应用,以便提升教学效果.

(3)启动实践教学,鼓励形象思维.突破传统以理论教学为主的教学模式,针对部分内容,设计实验课题,由学生自主选择并完成.有利于发挥高等代数传统的教育教学对满足学生获取知识功能和对学生创新能力培养的功能,有利于提升学生的数学修养和利用高等代数基本理论解决实际问题的能力.对高等代数相关数学实验内容的补充和研究性教学的开展,可促使更多的学生参与大学生数学建模竞赛、数学竞赛和教育教学有奖征文活动等.

(4)丰富教学手段.充分利用现代化教学手段,建设高等代数网络课程和辅助双语教学课程,使学生能够通过多渠道、多角度学习本课程.有利于进一步激发学生学习高等代数的兴趣,提高教学效果.作为数学专业考研科目,提高高等代数网络课程的利用率,积极采用现代化教学手段,开办“高等代数网上教室”及“网上高等代数讨论区”,将有效提高学习效果.

(5)改进学生成绩评定方法.通过调整学生平时成绩、其中成绩和期末成绩在总评成绩中的比例,鼓励学生注重平时的知识积累.鼓励学生参加学科竞赛和撰写课程论文,将其折合成分数,在成绩评定时,加大平时成绩分值,促使学生主动培养科研习惯和创新意识,使学生拓宽学习视野,增强数学应用能力.

(6)加强教师队伍建设.随着教学环境的改善和教学研究经费的提高,有计划、分阶段地加强教师培训,提高教师的教研和科研能力.同时注重课程负责人在实际教学工作的引领和示范作用,促进教学团队结构的完善和水平的提高.

3.高等代数教学中的几点感悟 篇三

关键词：内容；概念；方法

高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。

一、尽量与中学数学内容相联系

高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法（克拉默法则）和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。

通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。

二、深刻理解概念

高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。

俗话说：“书读百遍，其义自见”，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。

三、课堂上注重教学方法

教师的教学方法是影响学生学习方式的重要因素，在培养学生的创新能力方面起到重要作用。为了上好每一堂课，老师一定要注意教学方法。我曾参加了全国高校教师网络培训课程，听了张贤科老师主讲的高等代数，受益很多。张老师在讲一些高等代数内容时，根本没有按课本思路去讲，有些性质的证明运用其他方法来证。大家都知道高等代数中很多章节内容是彼此相关联的。老师在讲课中，没必要完全照课本来讲，例如，讲一个定理或一条性质的证明，可以运用以前所学的知识证出来，老师可鼓励学生运用不同的方法来证明，激发学生的思维能力，这样学生也会觉得不是太枯燥。

上课时切忌照本宣科，要说课，这节课大家需要掌握什么，教学大纲的要求，考试要考的知识，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂的目的，做到有的放矢。代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。对于一些难于理解的定理的证明，则着重介绍证明思想及每个证明阶段的技巧和预备知识，并要求学生课后复习。对于一些较抽象的概念，在讲授之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。

针对高等代数这门课程的特点，应注意传统教学手段与现代化教学手段相结合。概念性知识较多的章节可以应用多媒体技术，而对那些理论证明较多，难以理解的内容，则采用传统的教学手段，一步步引导学生推理验证，更易于让学生接受、掌握。

四、培养学生数学思维的审美性

数学同其他学科一样，蕴含着美，存在着美的价值。代数学这朵奇葩，更以其高度的抽象性，理论的严谨性，应用的广泛性，在数学王国里独领风骚，展现出其多姿多彩的迷人风貌。

高等代数的美是内在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所发现、接受。这就要求我们在教学中注意引导学生挖掘数学美，审视数学美，追求数学美，创造数学美。只有如此，我们才能将抽象的概念、空洞的定理、刻板的推导、繁琐的计算、枯燥的理论变换成一种美的享受，美的追求。这对诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率起着极大的推动作用。

高等代数中，蕴含着许多数学特有的美，数学的语言美在高等代数中表现得淋漓尽致。数学语言是一种科学的语言，它除具有一般语言文字和艺术共有的特点外，更有“符号化”的特点。例如，用AX=B，其中A=（aij）mn，X=x1x2…xn，B=b1b2…bm，表示一个有m个方程n个未知量的线性方程组，多么简洁明快。另外，高等代数的美也体现在证明过程的逻辑严密上，许多定理的证明层层递进，严丝合缝，看懂了一个证明，就能给人一种惊叹佩服、赏心悦目的感觉。

总之，高等代数中的数学美无处不在，只要我们教师在教学过程中用心去揭示，从美的角度去挖掘，并积极引导学生去欣赏、体味定能感觉美不胜收，回味无穷，教学质量必将提高。

注：西安科技大学博士启动基金资助项目（2012QDJ040）。

（作者单位 陕西省西安科技大学理学院）

4.高等代数考研试题 篇四

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中

只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无

分。

1.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：B

2.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

3.

A.A

B.B

C.C

D.D



答案：C

4.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

5.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：C

6.A.A

B.B

C.C



D.D

答案：B

7.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：A

8.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：C

9.

A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D



10.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）

A.A的列向量组线性无关

B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关

D.A的行向量组线性相关

答案：A

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答

案。错填、不填均无分。

1.___

答案：

2.___

答案：

3.___

答案：



4.___

答案：

5.___

答案：

6.___

答案：



7.___

答案：

8.___

答案：

9.___

答案：



10.___

答案：



三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1.答案：

2.答案：

3.

答案：

4.

答案：

5.答案：



6.答案：



四、证明题(本题6分)

1.答案：

5.高等代数学习精选心得 篇五

1。书：课本+习题集(必备)，因为学好数学绝对离不开多做题(跟高中有点像，呵呵);建议习题集最好有本跟考研有关的，这样也有利于你将来可能的考研准备。

2。笔记：尽量有，我说的笔记不是指原封不动的抄板书，那样没意思，而且不必非单独用个小本，可记在书上。关键是在笔记上一定要有自己对每一章知识的总结，类似于一个提纲，(有时老师或参考书上有，可以参考)，最好还有各种题型+方法+易错点。

3。上课：建议最好预习后听听。(其实我是从来不听课的，除非习题课)，听不懂不要紧，很多大学的课程都是靠课下结合老师的笔记自己重新看。但remember，高数千万别搞考前突击，绝对行不通，所以平时你就要跟上，步步尽量别断层。

4。学好高数=基本概念透+基本定理牢+基本网络有+基本常识记+基本题型熟。数学就是一个概念+定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等，小弟你既要有形象的对它们的理解，也要熟记它们的数学描述，不用硬背，可以自己对着书举例子，画个图看看(形象理解其实很重要)，然后多做题，做题中体会。建议你用一只彩笔专门把所有的概念标出来，这样看书时一目了然(定理用方框框起来)。

基本网络就是上面说的笔记上的总结的知识提纲，也要重视。

基本常识就是高中时老师常说的“准定理”，就是书上没有，在习题中我们总结的可以当定理或推论用的东西，还有一些自己小小的经验。这些东西不正式但很有用的。

题型都明白了，比如各种极限的求法。

好了，这些都做到了，高数应该学得不会差了，至少应付考试没问题。如果你想提高些，可以做些考研的数学题，体会一下，其实也不过如此若时间充裕还可以学习一下数学软件,如matlab、mathematic，比如算积分都有现成的函数，通过练习可以加强对概念的掌握;此外还看些关于高数应用的书，其实数学本来就是从应用中来的，你会知道真的很有用(不知你学的什么专业)

最后再说说怎么提高理解能力的问题(一家之言)

1。举例具体化。如理解导数时，自己也举个例子，如f(x)=X^2+8。

2。比喻形象化。就是打比方,比如把一个二元函数的图形想成邻家女孩的头上的草帽。

3。类比初级化。比如把二元函数跟一元函数类比，泰勒公式想成二次函数，好理解。

4。多书参考法。去你们图书管借几本不是一个作者写的高数教材，虽然讲的内容都一样，但不同的作者往往对同一个问题从不同的角度表述，对你来说，从很多不同的角度、例子理解同一个问题，往往就容易多了。Just have a try!

6.高等代数考研试题 篇六

本文简要分析了纵关线性方程组理论及横联的数形互动。欢迎各位数学系的毕业生借鉴!

摘 要：初等代数的研究对象扩充形成高等代数后，对原来的许多概念和量进行了创新和扩充。

关键词：高等代数;数形互动;线性方程

一、纵关

线性方程组理论对高等代数来说尤为重要和不可或缺，通过与初等代数的加减消元法相比较，对线性方程组矩阵解法、一般性数域上的多元线性方程组解的判断及对解的结构的研究、讨论了线性方程组解在几何上的意义，解决了关于线性方程组中初等代数没有能够解决的诸多问题，表现出高等代数解决问题的成熟性规范。

科学技术领域和工程中的很问题都是通过对非线性方程组的求解来解决。因此，对非线性方程组的求解是科学研究和工程建设中不可避开的问题。学术界的许多专家，多年来对于高等代数中非线性方程组的求解问题做了很多研究。例如我们常听到的牛顿法、迭代法、共轨方向法、梯度法等，就是为求解非线性方程组而提出来的。但是这些方法无一例外的是针对一些具有特殊性质的非线性方程组求解，对于那些缺少特殊性质的复杂方程组并不能顺利求解。

进化计算技术的兴起，和在和优化问题上的广泛应用，引起了学术界的`普遍关注。特别用粒子群优化算法求解非线性方程组成了学术界思考所在。粒子群优化算法极少的参数设置、极快的收敛速度，极强的使用性，成了学术界不可抵制的“诱惑”。各种利用粒子群优化算法求解非线性方程组的方法纷纷被提了出来，非线性方程组的求解迎来了另一个春天。差异算法的稳健性让人吃惊，无论是求解多峰函数、非凸函数还是非线性函数的优化问题都游刃有余，而且对同样的精度要求，差异算法收敛的速度十分惊人，并在解决函数的优化问题上，迅速“流行”，而在各种解决方案中也颇受欢迎。学术界利用差异演化的算法在非线性方程组的通用模型上演算，然后将演算结果与粒子群优化算法同等条件下的演算结果进行对比，发现两者并无误差，这为差异演化的算法的广泛应用提供了坚强的后盾。

二、横联

“数”“形”互动完美的形容了高等代数和解析几何的关系，可以说这两门学科是互相依存的，“你在，故我在”，离开其中的一门，单纯谈论另一门，是十分空洞的。高等代数高度抽象性的概念与高度概括性的定理，对于许多初学者来说显得十分飘渺虚无，看不到，又摸不着。高等代数的这些特点使其成为一门让人“望而生畏”的学科。初学者在学习高等代数的时候往往感觉十分抽象，面对各种习题往往无从下手。特别是线性代数作为高等数学与解析几何的桥梁，将两者紧密相连，相互依赖，使高等代数的理论延伸到了解析几何，高等代数成了“无边无尽”的学科。解析几何将高等代数中向量空间与欧式空间的理论应用于二维空间、三维空间当中，其本质其实就是二维或者三维的线性代数。所以很多高校老师都会面对这么一个问题，究竟采用何种方法可以通过某些几何的具体实例来进行高数与解析几何之间的数形互动，能够让学生通过几何模型“看得见”代数概念，同时代数的理论、概念也能简化我们对几何的研究，这对学生来说是很有帮助的。对于很多初学者来说，高数抽象的概念是令人难于理解的，对原理、定理更加难以推导和应用。几何实例适时适当的应用于高等数学是至关重要的，就像将本来虚无缥缈的东西变得可见了，使抽象的东西变得不再抽象了，这对初学者是十分重要的。不仅如此，还能更好的体验和掌握一般的代数理论，并用之于解析几何。

很多初学者都在避谈“建模”的抽象，尽量以图形作为分析的手段。但是，无论我们是否承认，传统学习方法中很多方法对于我们来说还是十分受用的。数学模型和数学概念就像一对双胞胎，没有谁好谁差之分，都是科学研究中十分重要的方法。逻辑思维与形象思维既对立又相互联系，都是从低到高逐渐发展。简单的说逻辑思维就是物质的本质，通过分析、对比、剥离、综合、简化分析概念，在此基础上，利用概念对新的问题进行判别、推算。形象思维则是一种“看得见”的思维，它通过“看物体”对知识进行分析、对比、剥离、综合和概括。

三、结论

高等代数看似独立，但是和其他的学科之间，却是彼此牵连、相通。因此，在学习过程中不仅需要关注各体系，各学科之间的交互，还应该学会如何在高等代数中“纵关”与“横联”，只有这样才能真正学好高等代数。

参考文献

[1]刘静.基本初等矩阵与矩阵的分解[J].滨州学院学报,,(06).

[2]方逵,朱幸辉,刘华富.二元凸函数的判别条件[J].纯粹数学与应用数学,2008,(01).

[3]Cheng S L，Hwang C.Optimal approximation of linear systems by a differential evolution algorithm[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics―Part A，(06)

[4]Babul B V，Jean M M L.Differential evolution for multi-objective optimization[J].Evolutionary Computation，(04)

7.高等代数考研试题 篇七

一、学习障碍的具体表现及原因

学习障碍具体表现为：在课堂听讲时基本概念理解不清，定理内容不明，性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上，不明意思，形成不了整体认识;在做习题时，对证明题找不到思路或缺乏明确思路，导致无法动笔或不能完整证明，对求解题，不会运用所学知识，或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的，除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外，很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多，抽象化、形式化程度更高，运算与推理也更繁杂，而此时学生刚走出中学大门，他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式，比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”，做题时对类型、套模式，不能迅速适应大学课程的学习。

二、排除对策

1. 注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。

在学习内容上，教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用，让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头，在联系对比中辨别其异同，从而加深印象。通过这种比较，学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决，而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上，教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取，主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质，领悟其思想内涵。

2. 学习《高等代数》，首先要学好概念。

《高等代数》中的概念，突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘，所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时，首先要深刻体会，反复琢磨，挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中，有时概念之中有概念，比如向量空间中不变子空间的概念，就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚，势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出，常常引入一些实例作为抽象概念的引导，这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况，进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构，一般分为基本条件、特点和结论三部分，这有助于学生加深对概念的理解与记忆。

3. 学习《高等代数》，要掌握好定理。

定理是概念之间的规律性联系，是《高等代数》的核心部分，在这门课程中所获得的规律性认识，主要来源于定理。学生要学好定理，一方面要深入理解定理中所包含的内容，记住结论，搞清定理成立的前提条件，会运用定理进行论证，另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明，对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说，初学者要读懂一个定理的证明，需要反复阅读几遍，并认真思考，从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。

4. 学习《高等代数》，要做一定数量的习题。

学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密，互相渗透，学生在做题时要注重知识点的衔接与转换，知识要成网，使所学知识融会贯通，这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分，计算题能巩固和加深学生对概念的理解，其中有些计算量比较大，如求最大公因式，求线性方程组的通解，求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题，它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力，因此学生要重视它，多花时间与精力去提高解答证明题的能力，当然，这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题，笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。

5. 学习《高等代数》，要注重归纳总结，使知识系统化。

学习《高等代数》，要善于归纳总结。一方面，对每一章，在教师指导下，学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况，及时查漏补缺。另一方面，所谓“站得高可看得远”，对全书来说，学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系，理清来龙去脉，这样可从宏观整体上理解和把握教材。

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2]胡运红.关于高等代数教学的几点思考[J].运城学院学报, 2004, (2) .

8.高等代数考研试题 篇八

摘要： 本文主要从我校现状出发，讨论了高等代数与解析几何一体化实施的必要性，并从教学内容、教学手段、教学对象三个方面介绍了在实施高等代数与解析几何一体化过程中的注意事项。

关键词：高等代数与解析几何一体化 课程改革 多媒体辅助教学

基金项目：唐山师范学院校级成人学历教育与教师继续教育教育教学改革项目（JJ2012030）

唐山师范学院教育教学改革项目（编号：2013001030）

Abstract：Starting from the reality of our school， we dicusse the necessity of the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry and introduce some notes of Higher Algebra and Analytic geometry in the integration process from three aspects such as teaching content， teaching methods and teaching odject.

Key words： the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry ， Curriculum Revolution， Multimedia aided teaching

·O15-4；O182-4

作为大学数学系学生的基础课，高等代数与解析几何同时也是理工科学生的基础课程。计算机的普及以及应用数学科学的发展，使得越来越多相关课程相继开设，减少基础课与专业课学时势在必行。但是数学分析与高等代数是数学专业的基础，运用广泛，不容削减。削减解析几何的课时，必将给数学专业的学生带来重大损失。基于解析几何与高等代数的特点及其关系，将这两门课合并不失为一个好办法。这样不仅不会太多地削减解析几何，更可以省出许多时间。从更高意义上说，这两门课都能得到加强，从而形成统一的整体。

目前我校数学与信息科学系高等代数与解析几何的教学现状是：两门学科分别独立，各自为政???——新生入学第一学期开设解析几何，第二学期开设高等代数。由于两门课程在教学实施过程中的衔接性较差，讲授解析几何的同时，需要花很长的时间来讲授高等代數的相关内容。而高等代数本来就相对抽象，晦涩难懂，再加上我校目前所用教材与几何完全脱节，学生理解起来难度很大。这样不仅影响了解析几何的正常教学，也加大了学生的心理压力。因此，高等代数与解析几何一体化教学迫在眉睫。

解析几何的主要内容是向量代数及空间曲线、曲面等图形性质。高等代数则以多项式理论及线性代数为主要内容。线性代数是主要讨论有限维线性空间及其线性映射（变换）的学科。这两门课程的内容密切相关：一方面，解析几何中向量、几何变换等概念是高等代数中线性空间与线性变换等抽象概念的直观来源；另一方面，高等代数中矩阵、线性方程组及二次型理论又为解析几何提供了有力的计算工具和简洁的证明与表述方式。由此可见，学习与运用高等代数和解析几何的最佳途径便是将此二者融会贯通。

根据高等代数与解析几何的密切联系，我们认为在实施高等代数与解析几何教学一体化的过程中，要注意以下几点：

第一，找准二者在知识上的切合点。高等代数与解析几何的合并绝非机械地拼凑，而是从逻辑系统和理论高度妥善处理好二者之间的关系。例如：在行列式的教学中，学生最初接触时可能感到很深奥、难以理解，但是如果我们换个角度，先从几何问题出发讨论二阶和三阶行列式的几何意义，然后把它们推广到高维也就是高阶行列式，这样就显得具体了很多，学生接受起来也就不会有太大的困难，而且还可以由此渗透一些高维欧氏几何的思想，进而开阔学生的视野；而在讲授线性空间的内容时，要先从解线性方程组出发引入线性空间的概念，而为了加强对线性空间的理解，我们可以把维数降低，讨论低维（几何）情况，然后再推广到高维。换言之，解析几何是低维的线性代数，而线性代数是解析几何的高维推广。在教学过程中一定要处理好它们之间的关系，教会学生用代数的眼光去审视几何问题，也要会用几何的眼光去审视代数问题。

第二，充分重视多媒体辅助教学在一体化教学中的重要作用。对于数学专业的学生，我们不仅要着力培养他们的抽象思维能力，还要重视他们的空间想象能力的提高。多媒体辅助教学的利用，使得一些抽象思维图形化，从而极大地激发学生的几何直觉思维。例如：在讲授单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性时，如果利用多媒体展示直线形成二次曲面的过程，将会大大提高学生对两种曲面的直纹性的感官认识水平。

第三，在授课过程中对不同专业要各有侧重。比如对于数学与应用数学专业的学生，我们的目标是将其培养成基础型的研究人才或中学教师，因此在教学过程中要十分注意语言的严密性及理论推导的严谨性。另外，这些知识在中学数学中的应用同样不容忽视。例如在讲授向量代数的内容时，可以适量添加利用向量解决中学几何问题的例题，以加深学生对向量运算性质及其规律的理解和掌握；而对于信息与计算科学及统计学专业的学生来说，开设高等代数与解析几何课程主要是为了应用数学理论去解决实际问题，如此情况下我们必须注重矩阵的计算方法与技巧讲解，对于线性变换的矩阵，应以掌握三维几何变换的矩阵为重点，由此出发进行推广。此外，数学实验在教学中的重要作用也不能忽视。因此，我们还应对内容及手段做必要的调整以满足不同专业的需要。

高等代数和解析几何作为两门独立的基础课程已有很长历史，要把它们重新溶合为一个完整统一的课程体系并非易事。在实施过程中可能会遇到一些尚未预料到的问题，这需要我们教师在实施过程中进一步持续深入探讨并实践。

参考文献：

[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M] . 北京： 高等教育出版社

[2] 孟道骥. 高等代数与解析几何（第二版）. 北京：科学出版社

[3] 戴清平 、李超、谢端强，高等代数与解析几何教学一体化教学思考

《数学理论与应用》 2004年第24卷第四期： 92-94

[4] 郁金祥、刘锦萍，高等代数与解析几何的教学实践与认识 《高等理科教育》

9.线性代数试题4 篇九

一、1． √ 2． × 3.× 4． × 5． √

二、1.D 2.D 3．B 4.C 5.D

三、1．-5 2．-36 O3．B2AO1O=1A12B。O14． 2 5． |A1|3=164。

6． R(A*B*)= 1 7．a12

8．(1,2,1)T。9．y12y22 10． tn

四、1．

解：问题转化为方程组求解问题

x1x2x312x1(a2)x2(b2)x33 3ax(a2b)x323

增广矩阵

1A201a23a1b2a2b1130031a01bab11 0（1）a0时,(若b=0则R(A)1,R(A)2,若b0则R(A)2,R(A)3)方程组无解，即不能用1,2,3线性表示

（2）a0,ab0时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解，即可由1,2,3唯一地表示，求表示式：

1A001a01bab1101001a0001110100010011a10a 101(11)2 1aa

（3）a0,ab0时，R(A)R(A)2，可由1,2,3表示，但表示式不惟一，求表示式：

1A001a01a011010001011a11a 0001(11)(k)2k3 1aa 其中k为任意常数。

2．解：(1)由题意

2422T1211112 1211T的特征方程为

4222110，即2(6)0 211所求特征值为0,0,6

0时，特征向量(x1,x2,x3)T满足方程

422x02111x2211x0 30

得0对应的特征向量(0,1,1)T,(1,1,1)T 同理得6对应的特征向量(2,1,1)T

（2）取正交阵

12036Q111236 1112360得QTTQ0 6

3.解：(1)设R3中自然基为1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1)

4

则

123121321233001123123314521116故

121313212333711231452111612273947120124198基1,2,3到1,2,3的过渡矩阵为：

坐标变换公式：

这里

P127P947120124198y1x11y2Px2yx33139719131018146329945

（2）向量2123在基1,2,3下的坐标为：

（3）向量12243在基1,2,3下的坐标为：

五、139719131018141156632109286499427947120124125891118112证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组 ax2by3c0bx2cy3a0

有解 cx2ay3b0a2b2c2a3c1bcaca0 b故 R(A)R(A)bc1bcac3a0(abc)13b1由于11a1[(ba)(cb)(ac)]0 2b222所以abc0

充分性：abc0b(ac)所以ab2b2c2(acb)2[ac(ac)][ac(ac)]0

22222R(A)R(A)2,因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0

10.线性代数试题及答案 篇十

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则（D）

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=（B）

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.设A为四阶矩阵，且则（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量组α1，α2，…，αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.设有二次型则（C）

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________.16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的二次型是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算四阶行列式的值.=

22.设A=,求A.A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26.设A=,求P使为对角矩阵.=

P= =

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．（答案~~略）

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AAAB0。（）

2．A，B是同阶方阵，且3．如果4．若

111(AB)BA。（），则A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

（）A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。

（）5．n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100010000020100(B)010(C)001(D)（A）2．设向量组（A）（C）

100012001

1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

12,23,31（B）1,2,31 1,2,2132（D）2,3,223）

12(A2E)（AA5E03．设A为n阶方阵，且。则(A)AE(B)EA(C)11(AE)(AE)33(D)

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解； A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；

（C）若（D）若5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）A（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012nn101．。

2．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。

1021112423421570是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。3．向量组，，14241233444R(A)，Axb的三个解，其中A的秩，则方程组Axb的通解为。=3，4． 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15．设503，且秩(A)=2，则a=。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A3421．已知A+B=AB，且221，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。

2）A是否可相似对角化？为什么？；（7

11.高等代数考研试题 篇十一

摘 要：本文针对工科应用数学专业高等代数教学中存在的问题，结合教学实践，在高等代数教学中应用MES教学法，给出教学中的具体实施方法，通过实际举例体现MES教学法的效果。

关键词：应用数学专业； MES教学法； 高等代数

中图分类号：G64

一、前言

工科院校应用数学专业的高等代数教学主要是让学生通过抽象、逻辑性的训练形成应用代数知识解决实际问题的思维方式和思维习惯。由于高等代数内容具有概念多，抽象性高，思维方式独特的特点。初学者会感到吃力，很多学生不知道学代数有什么用，学习初期跟不上，就失去了学习的动力和兴趣。而目前工科应用数学专业的基础课教学一直注重理论内容的讲解，忽视数学应用。教材和教学模式多以理论讲解为主，忽视学生的主导作用，造成学生学习积极性不高，教学效果不好的现象。

模块化教学法（MES），是20世纪70年代初由国际劳工组织研究开发出来一种教学模式，是一种新的教学理念。它一出台就在许多国家，特别在发展中国家得到了广泛应用。MES教学打破了原有的课程体系，以理论应用为主线，将理论知识与专业训练融为一体，突出学生在教学中的主体地位，突出“做”在教学中的重要作用，突出知识、技能、态度三位一体的教学目标，充分体现了“教、学、做合一”的教学理念。

结合工科院校应用数学专业的现状，考虑学生的发展，我们将 MES 应用到高等代数课程基础课程的课堂教学中，重点考虑如何有效地对高等代数教学合理得调整，并付诸实践，经过近两年的教学实践证明，教学中采取恰当的方法对教学效果的有显著影响。

二、模块化教学法在高等代数课程教学中模式和具体实践

（一）以班为单位划分学习小组

小组人数4～6人，推选组长，组与组之间大体上要平衡，细致调查学生的思想表现学习，各科的入学成绩、知识结构、认知能力、认知方式、家庭背景、性格爱好，乃至交朋结友等都考虑进去。采用互补方式分组，如成绩好的学生与成绩差的学生相搭配，既有利于差生的转化，又有利于促进优等生的灵活变通，即所谓“教学相长”；不同知识结构的学生相搭配，可以取长补短，相互借鉴；不同认知方式的学生相搭配，在各自发挥其优势的情况下，相互学习，使认知风格“相互强化”。

（二）确定教学内容

一节课的教学目标、教学内容，通过完成一项或几项具体的任务融合到教学过程中，从任务中引出教学目标，使学生产生学习知识的兴趣.教师在实践教学中认真研究、分析教材，确定教学的目标、内容、重点、难点、疑点，找准教学的切入点，考虑学生的心理特征和兴趣爱好，以便恰当地安排任务。把知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度的目标融入任务中，使任务有利于学生的发展。

（三）教学实践实施

向学生讲明要做什么，最后希望得到的结果。给学生留出探索任务的时间和空间，在此期间教师也不能采取“放鸭式”方式。教师要时刻把指挥、调度教学进度的，适时地让学生知道怎么做，指导学生想办法、找出路，特别是对有困难的学生要给予必要的指导，使每个学生都能顺利完成任务。这一阶段，教师是“指导者”身份较为明显，学生在亲切友好、和谐平等的气氛中进行知识、技能的学习和构建。

（四）评价体系重建

学生完成任务之后，教师要对其结论，进行讨论、总结、评比，使教材内容得到进一步的强化。各小组学生代表要依次对完成的任务发表见解，其他小组提问或发表自己的看法，由教师或小组负责人进行总结，最后由教师评价。评价包括学生对知识的掌握程度、运用知识解决新问题的能力以及学生在活动中的表现等，注意多褒奖，少贬低，以激发学生进行下一轮学习的兴趣。评价结果采用模糊综合评价体系，作为学习成绩的一项参考数据。

三、实践举例

模块分析法应用于一堂介绍矩阵计算的教学实践，首先确定本节课的教学目的是让学生掌握矩阵的计算，在上课之前要求各小组自己给出矩阵乘法的的定义，引导学生从数学史发展的观点和数学应用于实际的要求探讨每种定义的意义和可推广性。实践表明5个小组几乎不约而同地给出了对应元素相乘来定义矩阵乘法运算的想法，教学实践中引导学生考虑线性变换的传递如何利用矩阵的运算来实现，学生经过实际操作和运算深刻理解矩阵乘法运算的定义和意义。

四、结论

模块教学法作为围绕一个能力和素质的教育专题，在教法上强调知能一体，在学法上强调知行一致，集中开展相关的理论知识、实践经验、操作技能以及活动方式、方法、方案的同步式一体化的教与学，以实现具体能力和素质的培养目标的教学模式。经过两年的实践教学，我们发现在应用数学专业的基础理论课教学中开展模块教学法有助于提高学生的学习积极性，激发学生的学习潜力，学习效果有明显提高。

参考文献：

[1] 张禾瑞，郝灿新.高等代数 （第四版）[M ].北京： 高等教育出版社， 2002

[2] 北京大学数学系.高等代数（第三版） [M ].北京： 高等教育出版社

12.高等代数考研试题 篇十二

下面, 结合高等代数这门课程的特点, 分别从发展问题解决技能, 发展表征技能和发展推理技能这三个方面研究高等代数对发展数学思维工具的功能, 从而体现高等代数教育的思维价值。

1 发展问题解决技能

在数学背景下, 问题解决技能主要体现于会使用问题解决策略和探索多种解决方法两个方面, 有问题解决策略工具包 (例如, 猜测和检查、列清单、逆向工作、利用模型、解决简单一点的问题, 等等) 的学生遇到问题时更容易入手处理问题, 并发现如何解决。此外, 留给学生用多样的方法去探索数学问题的机会, 或设计有多种解法的数学问题, 可使学生发展更好的问题解决技能。

高等代数课程概念多, 符号多, 定理多, 运算规律多, 内容相互纵横交错, 知识前后紧密联系, 其中渗透着丰富的数学思想, 诸如, 转换变换思想、归纳演绎思想、函数映射思想、集合与对应思想、公量化与结构思想、符号模型思想、数学审美思想等, 对于丰富学生的问题解决策略工具包具有良好的帮助。在具体教学中, 可通过结合有关内容使学生学会如何从客观实际中或数学本身的发展中抽象出概念, 学会如何提出数学问题, 如何对所提出的问题进行探索, 如何对初步形成的想法 (猜测) 进行论证等, 来发展学生的问题解决技能。

例如, 在讲授阶行列式的定义时, 可从分析二阶、三阶行列式展开中的项数、项的结构、项的符号入手, 与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出如何推广二阶和三阶的结果到任意阶的问题, 通过引导学生探索项的符号与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出需给出元排列、奇、偶排列的问题, 最后得到阶行列式的定义。

例如, 在讲授复系数与实系数一元多项式一节时, 可从复习提问一般数域上一元多项式的主要研究问题入手, 进而提出本节新课要研究的主要问题:在复数域C和实数域R上怎样的多项式是不可约的?n次多项式f (x) 的标准分解式是怎样的?n次多项式f (x) 有多少个根?等问题, 通过引导学生探索, 总结出本节课的主要结论。

再如, 在讲完行列式这章后可提出问题:如何对一般的线性方程组直接从它的系数和常数项判断方程组有无解、有多少解?通过引导学生观察高斯消元法的过程, 发现很自然地要引入矩阵及其运算, 向量及其相关理论。

另外, 在高等代数中不乏可用多种方法去探索与解决的数学问题, 教学中善于挖掘并充分应用好它们, 也可使学生的问题解决技能得到更好的发展。比如, 文献[2]分别借助矩阵代数、线性空间、线性变换和矩阵等四套相关理论, 用五种方法分别解答了一道几乎涉及高等代数所有主要内容的习题:令P为一数域。证明, 若, 则与在上相似 (即, 存在上的可逆矩阵C, 使得。

总之, 在高等代数教学中有意识渗透对问题解决策略的使用, 挖掘或设地有多种解法的数学问题, 可大大提高学生对课程的兴趣, 同时培养学生的问题意识以及举一反三、触类旁通的能力, 提高学生学习的主动性以及分析问题解决问题的能力, 从而发展问题解决技能。

2 发展表征技能

数学知识表征是记载和表达数学知识的方式, 即数学知识或信息在学习者头脑中是如何表示的, 表征的形式也可以称为表征的编码。通常一个好的数学探索应包括多种表征, 因为每个形式都对理解呈现的思想有所贡献。创造、解释和翻译不同表征的能力可以带给学生有力的数学思维工具。

高等代数中的矩阵表示贯穿了各个章节, 通过矩阵表示, 许多高等代数问题都可归结于矩阵问题, 有意识总结、挖掘、利用好它们, 可发展学生的表征技能。例如, 线性方程组可用它的增广矩阵表示。在线性空间中, 取定一个基后, 向量可由它的坐标组成的行矩阵或列矩阵表示;向量组可由各个向量的坐标组成的矩阵表示;两个基之间的关系可由它们的过渡矩阵表示, 线性空间的线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数等都可用矩阵表示。在欧氏空间里, 取定一个标准正交基后, 正交变换可用正交矩阵表示, 对称变换可用对称矩阵表示等等, 所以许多人说线性代数实质上是矩阵代数。

高等代数中的有些概念可以从不同的角度予以等价的描述, 善于挖掘并充分应用好它们, 可使学生的表征技能得到更好的发展。例如:矩阵= () ×为对称矩阵, 既可用= (, =1, 2, 3…) 来定义, 也可用=来定义。前者着眼于元素, 它清楚地反映了矩阵元素在相关位置上的特点, 后者从整体上揭示了矩阵的特征, 反对称矩阵也有类似的情况。它们的表征形式不同, 使得在不同情况下使用的方便程度大不一样。

3 发展推理技能

众所周知, 推理主要有归纳推理和演绎推理。演绎推理是从一般规律出发, 运用逻辑证明或数学运算, 得出特殊事实应遵循的规律, 即从一般到特殊。归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论, 即从特殊到一般。

在高等代数中, 由于大量存在性、唯一性和结构与表述复杂的命题、法则的存在, 使探索发现过程的归纳推理及论证过程的演绎推理, 变得异常复杂;许多的推理过程, 还往往需要辨证地思考。因此, 通过高等代数的学习, 可以大大促进各种推理能力的提高和思维的发展, 从而发展推理技能。

总之, 在高等代数教学中注意发展数学思维工具, 按照代数的思维方式进行教学, 可使学生在学习高等代数知识的过程中, 受到代数思维方式的熏陶, 从而使他们今后不论从事何种工作, 都会应用这些科学的思维方式进行严密的分析, 抓住主要矛盾, 减少失误, 把工作做得更加有条有理, 开创新的工作局面, 从而终身受益。

摘要：高等代数是高师数学专业的主干专业基础课之一, 蕴涵着丰富的数学思想和方法, 历来以严密性、抽象性、逻辑性著称。结合这门课程的特点, 本文从发展问题解决技能、表征技能和推理技能这三个方面研究它对发展数学思维工具的功能。

关键词：高等代数,数学思维工具,功能,技能

参考文献

[1]曹一鸣, 王竹婷.数学“核心思想”代数思维教学研究[J].数学教育学报, 2007.16 (1) :8-11.

13.线性代数历年考试试题 篇十三

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

14.考研数学线性代数复习建议 篇十四

研究生入学考试中，线性代数考试题型不多，计算方法比较初等，但是往往计算量比较大，导致很多考生对线性代数感到棘手。从理论的角度出发，线性代数的很多概念和性质之间的联系很多，特别是每年线性代数的两道大题考试内容，所涉及到的概念与方法之间需要考生着重掌握。从目前阶段来看，考生在复习过程中，跨考教育数学教研室李擂老师给广大考生提出四点复习建议：

1.理解与把握基本概念，熟练运用基本运算

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

2.网状化知识结构，提高综合分析能力

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对，再问做得好不好。只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

文章开头提到了历年真题中，两道大题考试内容。考生应注意掌握知识点间的联系与区别，例如向量组的秩与矩阵的秩之间的联系，向量的线性相关性与齐次方程组是否有非零解之间的联系，向量的.线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系，实对称阵的对角化与实二次型化标准形之间的联系等。灵活掌握他们之间的联系与区别，对做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。

3.加强逻辑性，正确简明叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

4.综合掌握“一条主线，两种运算，三个工具”

复习过程中，综合掌握“一条主线，两种运算，三个工具”。一条主线是解线性方程组，线代概念非常多而且相互联系，但线代贯穿的主线求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。两种运算是求行列式、矩阵的初等行（列）变换，三个工具是行列式、矩阵、向量。其中，向量组线性相关性是难点，要理解记忆各条定理，理清其中关系，多做题巩固知识点。特征向量与二次型虽不难，但年年必考，计算能力要跟上，多做题才能提高正确率。

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15.高等代数考研试题 篇十五

一、对创新思维概念的认识

创新思维是“创新过程中的思维活动”, 即只要思维的结果具有创新性质, 则它的思维过程就是创造性思维。“创新思维的实质是合理、协调地运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式, 使有关信息有序化, 以产生积极的效果或成果。它具有新颖独特、突破常规和灵活变通的特征。”“创新思维是一切创新活动的核心和灵魂, 其主要成分包括抽象思维、类比思维、求异或发散思维、逆向思维、直觉思维等。”高等代数教学在大学数学教学, 乃至整个高等教育教学中起奠基性作用, 从事高等代数教学的教育工作者们充分认识到改革高等代数教学的重要性。然而, 如何对现行的传统高等代数教学进行改革, 使其为我们的高等教育改革之目标服务却不是一件容易的事情。综合考虑, 首先要对创新思维这个概念有一个全面的认识。由此我们可以清楚地认识到创造性思维它不是数学思维基本形式中一种单一性的思维形式, 而是由逻辑思维、抽象思维、发散思维、直觉思维以及猜想思维等各种思维方式辩证运用而最终形成的。创新性思维能力是日积月累、循序渐进逐渐形成的, 是多种因素综合发生作用的结果。所以, 在高等代数教学中, 一定要根据教学内容, 培养学生对同一个问题运用各种思维方式进行思考的习惯和能力, 只有从这些方面不断地为学生进行实践积累, 才能使高等代数教学顺应时代发展的要求。

二、在教学方法上注重学生创新能力的培养

高等代数是一门比较成熟的课程, 其中的大部分内容如多项式理论、行列式、线性方程组、线性空间的讨论都是相当完整的, 然而由于学科特点, 理解和掌握这门课程往往是学生感到比较困难的。这就要求教师着眼课堂, 在课堂上把课本上那些讨论得比较完整的内容作好示范, 不要把它们当成现成的知识向学生讲解, 而应理清知识发生、发展的脉络, 按照科学家研究问题的思维模式重新整合授课内容, 对教材内容进行艺术化、科学化处理。

1.采用设问式和启发式相结合的教学方法

“问题是数学的心脏”, 在课堂教学中, 可采用设问式和启发式相结合的教学方法, 首先设置一些有趣的、新颖的问题, 通过这些问题引出每次课所要讲授的内容。例如, 在介绍逆矩阵之前, 可以先设立一个具体的问题:在战争中一方的机密电报一旦被敌方截获并破解, 必将处于不利境地。通常的明码电报是以英文字母代表某数字的方法进行收发。如, 以数字1, 2, …, 26分别作为英文字母a, b, …, z的代码, 若需要发出一个内容是“action”的电文, 对应明码是1, 3, 20, 9, 15, 14;利用矩阵乘法对明码加密后发1 2 3出, 加密矩阵为。需要考虑的是我方收到0 0 1电报后该如何进行破译?带着这样一个问题学习该节的逆矩阵内容, 让学生明白数学来源于实践, 服务于实践, 进而激发同学们学习数学的热情和兴趣。又如, 在介绍二三阶行列式的概念后, 简单复习初中解方程组的代入法和消元法, 提出能否应用二阶行列式解二元线性方程组?在完成这项任务后, 又引导学生找出行列式与线性方程组之间的互联规律, 进而推导出应用三阶行列式解三元线性方程组的问题。甚至可以再提出问题, 让学生猜想用n阶行列式求解n元线性方程组的可能性, 为以后学习克莱姆法则作铺垫。这种推导和猜想是符合逻辑的, 具有创新意识的, 在教学实践中, 这种设问式和启发式相结合的教学方法, 能引起同学们的好奇和思索, 不仅可以启迪隐藏在学生身上的悟性, 在课内发挥创新意识、积极思考, 提出各种有争议的看法, 还会激发学生课后继续研究学习的动力, 把辩论带到课外, 大大提高学习的成效。

2.加强实验教学, 培养学生的动手能力

当前, 科学计算、理论分析、科学实验成为当代科研的三大支柱, 计算机技术的进展, 使得数学实验成为可能, 并且变得越来越快捷。通过数学实验, 运用多种数学软件 (如matlab等) , 培养学生的动手能力, 并能使学生以更直观、更真切的方式理解枯燥玄妙的数学理论和数学原理, 通过对大量数据的处理, 提出新的假设及猜想, 丰富数学知识。这种新视觉、新感受会激发学生学数学、用数学的兴趣和热情, 增强他们的创新意识和创新能力, 对提高学生的探索意识和兴趣, 加深对数学知识的理解和应用是非常重要和有效的。

3.运用网络信息技术, 提供全方位的教育环境

信息技术与数学课程的整合是为了使学生学会使用信息化的技术, 让学生在网络上得到更多的学习资源, 开阔视野, 拓展思维。目前, 教学环节常见的信息技术主要是网上理论辅导及网上数学问题讨论。在课堂教学过程中, 由于环境及心理的作用, 部分学生无法全身心地投入到探究式教学活动中, 他们不成熟的想法往往闷在心里没有得到充分的论证与探讨。在网上匿名探讨数学问题的过程中, 所有的学生都没有心理负担, 他们畅所欲言, 新奇的设想比比皆是, 合理的、不合理的想法层出不穷。既锻炼了自己解决问题的能力, 又启发了别人的思维, 使创新成为有源之水, 有本之木。

三、从多角度思考问题, 训练思维的灵活性, 进而培养学生的创新思维

培养学生思维的灵活性就是培养学生不要过多地受思维定式的影响, 善于从旧的模式中解脱出来, 对一个对象能从多种角度观察, 对一个题目能想出各种不同解法的思维品质。数学思维的灵活性是良好思维品质的重要内容, 也是素质教育乃至创新教育的必然要求。要训练学生思维的灵活性, 在课堂上教师要善于选择典型的例题, 创设问题情境, 启发诱导学生独立思考, 勇于提出与别人不同的见解, 积极引导学生多角度、多方位、多层次地思考问题, 逐步提高学生的创新思维能力。同样是矩阵求逆的问题:

设矩阵, 求A-1

一般求逆矩阵常用的方法有三种:公式法、初等变换法、分块乘法的初等变换法。这是一个四阶方阵, 无论用哪一种方法, 计算起来都比较复杂, 但如果能换个角度思考, 也许问题就会简单得多。首先可以让学生观察这个矩阵有什么特点, 细心的同学会发现上面矩阵是一个反对称矩阵, 请同学试着将这个矩阵自身与其转置矩阵相乘, 看看有什么样的结果, 则有

AAT= (22+12+32) E=14E, 根据逆矩阵的定义, 于是有

至此, 学生就会明白, 对称矩阵和反对称矩阵在求逆矩阵时, 原来也可以这样求。在教学过程中, 教师善于诱导他们的求异意识, 对于学生在思维过程中偶尔出现的求异因素要及时给予肯定和表扬, 使学生真切体验到自己求异成果的价值, 反馈出更大程度的求异积极性。而当学生陷入困境时, 则要细心点拨和引导, 使他们豁然开朗, 让他们在对于问题求异的艰苦追求并且获得成功中, 备享思维发散这一创造性思维活动的乐趣, 使学生渐渐生成自觉的求异意识, 并日渐发展为稳定的心理倾向, 在面临具体问题时, 就会能动地作出“试试看, 再换角度分析一下”的求异思考。对于同一道题, 我们从不同的方向切入进行思考, 就会得到不同的解题思路与方法。要做到这点必须要有扎实的数学知识基础, 而且要有敏锐的观察力和丰富的想象力, 这都需要长期的训练与积累。

此外, 还应充分发挥学生的自主性, 培养学生的创新思维。由于高等代数内容的抽象性, 学生仅仅在课堂上学习是远远不够的, 还要鼓励学生在课下投入一定的时间和精力。然而, 学生在课下练习时会经常感到束手无策, 不知如何下手, 针对这种情况, 在课堂教学中应适当讲解一些例题, 剖析别人的解题思路, 把学生“引进门来”, 使学生建立起自主学习的兴趣和能力。同时, 创新思维能力的培养, 不可否认能力因素的专项训练。因此, 教学中应设计侧重某一能力因素的训练题目, 如思维简缩方面的能力就必须去练习。苏联学者梅钦斯卡亚曾指出, 推理的缩短“完全是因为练习的结果”。皮戈亚夫林斯基以同样的语气指出:“思维过程, 最初是完全按详细方式进行的, 当学生经过一定程度的练习后, 就逐渐表现为缩短的省略形式。”通过练习, 在头脑中建成思维块, 思维块一旦建成, 再通过有目的的练习, 就形成运用该思维块的能力了。

总之, 我们要重视高等代数这门基础课的教学, 把对大学生创新能力的培养贯穿高等代数整个课程体系建设的始终, 充分挖掘其潜能培养学生的数学创造性思维能力, 为进行数学素质教育与创新人才的培养作出应有的贡献。

摘要：从高等代数课程本身的特点和学生的实际情况出发, 阐述了创新思维的概念及教学过程中如何转变学生的思维方式, 进而培养学生的创新思维能力。

关键词：高等代数,创新思维,教学方法

参考文献

[1]杜红, 李岚, 孙淑兰, 周永芳.线性代数[M].北京:科学出版社, 2007.

[2]蔺云.高等代数的抽象性及其育人功能[J].海南大学学报, 2003, (21) .